Tópico 1

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ESTATÍSTICA I | UDESC-ESAG | CIÊNCIAS ECONÔMICAS | 2º TERMO | PROFª DRª THAIS WAIDEMAN NIQUITO
TÓPICO 1
ESTATÍSTICA I | UDESC-ESAG | CIÊNCIAS ECONÔMICAS | 2º TERMO | PROFª DRª THAIS WAIDEMAN NIQUITO
ഥX =
σi=1
n Xi
n
μ =
σi=1
n Xi
n
Razão entre a soma dos valores 
dos dados e o número total de 
observações 
Exemplo 1: Considere os tamanhos de 
classe para uma amostra de cinco classes 
universitárias U = {46,54,42,46,32}
Exemplo 2: Considere o conjunto
A = {2,3,5,6,7,10}
1.1 Medidas de posição
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G =
𝑛
ෑ
𝑖=1
𝑛
𝑋𝑖
A média geométrica de n valores 
não-negativos (X1, X2, … , Xn) é:
Exemplo 1: U = {46,54,42,46,32}
Exemplo 2: A = {2,3,5,6,7,10}
1.1 Medidas de posição
 Para qualquer conjunto de n valores não-negativos, temos G ≤ ഥX, com G =
ഥX se, e somente se, os n valores forem todos iguais 
 O logaritmo da média geométrica é igual à média aritmética dos 
logaritmos dos valores observados
log G =
1
n
෍
i=1
n
log Xi
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A média harmônica de n valores 
diferentes de zero, (X1, X2, … , Xn) é o 
inverso da média aritmética dos 
inversos dos valores observados: 
H =
1
n
෍
i=1
n
Xi
−1
−1
Exemplo 1: U = {46,54,42,46,32}
Exemplo 2: A = {2,3,5,6,7,10}
 Para qualquer conjunto de n valores positivos, temos H ≤ G, com H = G se, 
e somente se, os n valores forem todos iguais 
1.1 Medidas de posição
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Valor central quando os 
dados estão organizados 
de maneira crescente
Valor que ocorre com mais frequência
 Nº ímpar de observações: valor que 
ocupa a posição central
 Nº par de observações: média dos 
dois valores centrais
Exemplo 1: U = {46,54,42,46,32}
Exemplo 2: A = {2,3,5,6,7,10}
1.1 Medidas de posição
ESTATÍSTICA I | UDESC-ESAG | CIÊNCIAS ECONÔMICAS | 2º TERMO | PROFª DRª THAIS WAIDEMAN NIQUITO
Valor tal que, quando os dados estão organizados de maneira crescente, 
pelo menos 𝑝 por cento das observações são menores ou iguais a esse valor 
e pelo menos 100 − 𝑝 por cento das observações são maiores ou iguais a 
esse valor
i =
p
100
× n
 Se 𝑖 não for um nº inteiro, arredonde-o para cima. O próximo 
inteiro maior do que 𝑖 denota a posição do p-ésimo percentil.
 Se 𝑖 for um nº inteiro, o p-ésimo percentil será a média dos 
valores que ocupam a posição 𝑖 e 𝑖 + 1
Exemplo 1: U = {32,42,46, 46,54}
Exemplo 2: A = {2,3,5,6,7,10}
1.1 Medidas de posição
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São usados para dividir um conjunto de dados em quatro partes, cada uma 
delas contendo aproximadamente 25% dos dados
 Q1 1º quartil, ou 25º percentil
 Q2 2º quartil, ou 50º percentil (também é a mediana)
 Q3 3º quartil, ou 75º percentil
Exemplo 1: U = {32,42,46, 46,54}
Exemplo 2: A = {2,3,5,6,7,10}
1.1 Medidas de posição
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= Maior Valor − Menor valor
Diferença entre 𝑄3 (3º quartil ) e 𝑄1 (1º quartil ). Corresponde aos 50% 
dos dados intermediários
IQR = Q3 − Q1
Atenção: medida altamente influenciada por valores extremos
Exemplo 1: U = {32,42,46, 46,54}
Exemplo 2: A = {2,3,5,6,7,10}
1.2 Medidas de 
variabilidade
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Desvios dos valores ao redor da média elevados ao quadrado
σ2 =
σi=1
n (Xi−μ)
2
n
s2 =
σi=1
n (Xi−ഥX)
2
n − 1
Exemplo 1: U = {32,42,46, 46,54}
Exemplo 2: A = {2,3,5,6,7,10}
Atenção: por estar elevada ao quadrado, é difícil a compreensão e 
interpretação intuitiva em torno do valor numérico da variância. Por que, 
então, elevamos ao quadrado?
1.2 Medidas de 
variabilidade
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Raiz quadrada positiva da variância
σ = σ2 s = s2
Razão entre o DP e a média, 
multiplicado por 100.
CV =
DesvioPadrão
Média
× 100
Exemplo 1: U = {32,42,46, 46,54}
Exemplo 2: A = {2,3,5,6,7,10}
1.2 Medidas de 
variabilidade
ESTATÍSTICA I | UDESC-ESAG | CIÊNCIAS ECONÔMICAS | 2º TERMO | PROFª DRª THAIS WAIDEMAN NIQUITO
Se tivermos n observações da variável, nas quais 𝑤1 são iguais a 𝑋1, 𝑤2
são iguais a 𝑋2 etc., 𝑤𝑛 iguais a 𝑋𝑛. Então a média (também chamada de 
média ponderada) pode ser escrita como:
ഥX =
σi=1
n wiXi
σi=1
n wi
Xi = valor da observação i
wi = frequência absoluta da observação i
1.3 Média ponderada e o trabalho 
com dados agrupados
 σi=1
n wi = n é o tamanho da amostra/população
 fi =
wi
n
é a frequência relativa da observação Xi
Logo, a média ponderada pode ser escrita como: ഥX =෍
i=1
n
fiXi
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AQUISIÇÃO
CUSTO POR 
KG (R$)
Nº DE KG
1 3,00 1.200
2 3,40 500
3 2,80 2.750
4 2,90 1.000
5 3,25 800
1.3 Média ponderada e o trabalho 
com dados agrupados
Exemplo 3: Considere a aquisição de 5 matérias primas usadas na produção. 
Qual é o custo médio da matéria prima utilizada?
Também podemos calcular a variância:
σ2 =
σi=1
n wi(Xi−ഥX)
2
σi=1
n wi
ou σ2 =෍
i=1
n
fi(Xi−ഥX)
2
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1.3 Média ponderada e o trabalho 
com dados agrupados
Exemplo 4: Quer se estudar o número de erros de impressão de um livro. 
Para isso escolheu-se uma amostra de 50 páginas, encontrando-se o número 
de erros por página da tabela abaixo.
a) Qual o número médio de erros por página?
b) E o número mediano?
c) Qual é o desvio padrão?
d) Se o livro tem 500 páginas, qual o número total de erros esperados no 
livro?
Erros
Nº de 
páginas
0 25
1 20
2 3
3 1
4 1
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Aqueles exibidos em intervalos de classe
ഥX =
σi=1
n wiMi
n
Mi = ponto médio da classe i
wi = frequência absoluta da classe i
Média:
Variância 
amostral: s
2 =
σi=1
n wi Mi − ഥX
2
n − 1
1.3 Média ponderada e o trabalho 
com dados agrupados
Exemplo 5: Distribuição de frequência 
amostral do tempo, em dias, necessário 
para a conclusão de auditorias de fim de 
ano realizadas pela empresa de 
contabilidade Sanderson e Clifford.10-14 4
15-19 8
20-24 5
25-29 2
30-34 1
TEMPO 
P/CONCLUSÃO 
DAS 
AUDITORIAS 
(DIAS)
FREQUÊNCIA 
ABSOLUTA
σi=1
n wi = n é o tamanho da 
amostra/população
ESTATÍSTICA I | UDESC-ESAG | CIÊNCIAS ECONÔMICAS | 2º TERMO | PROFª DRª THAIS WAIDEMAN NIQUITO
35
40
45
50
55
60
65
0 1 2 3 4 5 6
SEMA
NA
Nº DE 
COMERC 
(𝑿𝑰)
VENDAS
(R$ 100) 
(𝒀𝑰)
1 2 50
2 5 57
3 1 41
4 3 54
5 4 54
6 1 38
7 5 63
8 3 48
9 4 59
10 2 46
Primeiramente, deve-se fazer um 
gráfico de dispersão para averiguar 
se existe alguma relação entre os 
dados
1.4 Medidas de associação 
entre duas variáveis
Muitas vezes o tomador de decisões está interessado na relação entre duas variáveis.
Exemplo 6: O gerente da loja quer saber a relação entre comerciais de TV no fim de 
semana e vendas na semana seguinte. Para isso, ele conta com uma amostra de 10 
semanas.
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Covariância 
Amostral𝑠𝑋𝑌 =
σ𝑖=1
𝑛 (𝑿𝑰 − ഥ𝑿)(𝒀𝑰 − ഥ𝒀)
𝑛 − 1
Covariância 
Populacional
𝜎𝑋𝑌 =
σ𝑖=1
𝑛 (𝑿𝑰 − 𝝁𝑿)(𝒀𝑰 − 𝝁𝒀)
𝑁
Medidas de Associação Linear: Covariância e Correlação
Correlação 
Amostral
𝑟𝑋𝑌 =
𝑠𝑋𝑌
𝑠𝑋𝑠𝑌
Correlação 
Populacional
𝜌𝑋𝑌 =
𝜎𝑋𝑌
𝜎𝑋𝜎𝑌
1.4 Medidas de associação 
entre duas variáveis
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Interpretando: Covariância
1.4 Medidas de associação 
entre duas variáveis
35
40
45
50
55
60
65
0 1 2 3 4 5 6
III
IVIII
 Em I: 𝑋𝑖 > ത𝑋 e 𝑌𝑖 > ത𝑌, portanto, 
𝑋𝐼 − ത𝑋 𝑌𝐼 − ത𝑌 > 0.
 Em II: 𝑋𝑖 < ത𝑋 e 𝑌𝑖 > ത𝑌, portanto, 
𝑋𝐼 − ത𝑋 𝑌𝐼 − ത𝑌 < 0.
 Em III: 𝑋𝑖 < ത𝑋 e 𝑌𝑖 < ത𝑌, portanto, 
𝑋𝐼 − ത𝑋 𝑌𝐼 − ത𝑌 > 0.
 Em IV: 𝑋𝑖 > ത𝑋 e 𝑌𝑖 < ത𝑌, portanto, 
𝑋𝐼 − ത𝑋 𝑌𝐼 − ത𝑌 < 0.
Assim, se 𝑠𝑋𝑌 > 0, então os pontos que exercem maior influência sobre 𝑠𝑋𝑌
estão nos quadrantes I e III. Sugestão de associação linear positiva. 
Por outro lado, se 𝑠𝑋𝑌 < 0, então os pontos que exercem maior influência 
sobre 𝑠𝑋𝑌 estão nos quadrantes II e IV. Sugestão de associação linear 
negativa. 
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Interpretando: Correlação
1.4 Medidas de associação 
entre duas variáveis
 Teremos, sempre, −1 ≤ 𝑟𝑋𝑌≤ 1.
 Se 𝑟𝑋𝑌 = 1 correlação perfeita (positiva).
 Se 𝑟𝑋𝑌 = −1 correlação perfeita (negativa).
 Quanto mais próximo 𝑟𝑋𝑌 de 1 ou −1, mais forte a correlação entre 𝑋
e 𝑌.
 Se 𝑟𝑋𝑌 = 0, não há correlação entre os dados.
 Se 𝑟𝑋𝑌 for muito próxima a zero, a correlação é baixa.
Atenção: CORRELAÇÃO NÃO IMPLICA CAUSALIDADE. Exemplo: 
podemos descobrir que a avaliação da qualidade e o preço de um prato 
típico vendido em um restaurante estão positivamente correlacionadas. 
Isso não implicará que que simplesmente aumentar o preço em um 
restaurante fará a qualidade se elevar.
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1.4 Medidas de associação 
entre duas variáveis
Correlações Espúrias
Fonte: http://www.tylervigen.com/spurious-correlations
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1.4 Medidas de associação 
entre duas variáveis
Correlações Espúrias
Fonte: http://www.tylervigen.com/spurious-correlations
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1.4 Medidas de associação 
entre duas variáveis
Correlações Espúrias
Fonte: http://www.tylervigen.com/spurious-correlations
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1.4 Medidas de associação 
entre duas variáveis
Correlações Espúrias
Fonte: http://www.tylervigen.com/spurious-correlations
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Regra dos cinco itens
 Menor Valor
 Primeiro Quartil (Q1)
 Mediana (Q2)
 Terceiro Quartil (Q3)
 Maior Valor
Box Plot
 Passo 1: ordenar os dados e encontrar os 5 itens;
 Passo 2: desenhe um retângulo cujas extremidades são 
Q1 e Q3;
 Passo 3: Marcação da mediana;
 Passo 4: 1,5 × IQR determina os limites do gráfico 
(imaginário). Dados fora desse limite são outliers, 
marque-os;
 Passo 5: Construção das hastes. Das bordas até o 
menor/maior valor dentro dos limites.
1.5 Outras medidas
Exemplo 7: Salários mensais iniciais de uma amostra de 12 graduados em administração.
Graduado Salário Mensal (R$) Graduado Salário Mensal (R$)
1 3.450 7 3.490 
2 3.550 8 3.730 
3 3.650 9 3.540 
4 3.480 10 3.925 
5 3.355 11 3.520 
6 3.310 12 3.480 
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Box Plot (Exemplo 7)
1.5 Outras medidas
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Salários iniciais por Setor (amostra com 111 recém-formados)
1.5 Outras medidas
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Forma da Distribuição: Assimetria
Assimetria à direita 
(positiva)
Simetria
Assimetria à esquerda 
(negativa)
Média = Mediana = ModaMédia > Mediana > Moda Média < Mediana < Moda
1.5 Outras medidas
 O box plot dá uma ideia da posição (mediana), dispersão (IRQ), 
assimetria (posições relativas de 𝑄1, 𝑄2 e 𝑄3), causas (hastes) e dados 
discrepantes
Para o Exemplo 7: 
3200 3300 3400 3500 3600 3700 3800 3900 4000
Média (3.540) > Mediana 
(3.505) > Moda (3.480)
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Referências
• SWEENEY, Dennis J., WILLIANS, Thomas A. e ANDERSON, 
David R. Estatística Aplicada à Administração e Economia. 3ª ed. 
São Paulo: Cengage Learning, 2013. (Capítulo 3).
• HOFFMANN, Rodolfo. Estatística para Economistas. 4ª ed. São 
Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. (Capítulos 4 e 5).
• BUSSAB; MORETTIN. Estatística básica. 5ª edição. São Paulo: 
Saraiva, 2004 (Capítulo 3).
Obrigada!