Mat Fin - Aula 03 - Juros Compostos. Logaritmos e propriedades operatórias. Aplicações dos logaritmos no Regime Composto. Convenção Linear e Convenção Exponencial. Taxas proporcionais, equivalentes. Taxas nominal, efetiva, real e aparente. Inflação. Capitalização Contínua

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Olá pessoal! 
Dando continuidade ao nosso cronograma, nesta aula veremos uma breve 
exposição teórica sobre os logaritmos, assunto importantíssimo para resolver 
diversas questões no regime composto. Em seguida estudaremos 
profundamente o regime composto e a descrição dos diversos tipos de taxas. 
Logaritmos 
 
Os logaritmos serão de uma utilidade extrema em problemas de juros 
compostos. Primordialmente naqueles em que teremos que resolver equações 
exponenciais. Teremos agora uma breve exposição teórica com os principais 
temas de logaritmos essenciais para as soluções dessas equações. 
Definição 
 
Considere dois números reais e positivos ܽ e ܾ. Por motivos que ficam além 
dos objetivos deste curso, consideraremos que ܽ ് 1. Denominamos logaritmo 
ܾ na base ܽ o expoente que se deve dar à base ܽ de modo que a potência 
obtida seja igual a ܾ. 
Na simbologia algébrica, temos: 
log௔ ܾ ൌ ݊ ֞ ܽ௡ ൌ ܾ 
Nomenclaturas 
Na expressão log௔ ܾ ൌ ݊: 
Î ܽ é a base. 
Î ܾ é o logaritmando ou antilogaritmo. 
Î ݊ é o logaritmo. 
Logaritmação 
 
Qual o significado da expressão logଷ 9? 
Em suma, como se calcula o valor de logଷ 9? 
Devemos raciocinar da seguinte forma: 3 elevado a que número é igual a 9? A 
resposta é 2. 
Portanto, logଷ 9 ൌ 2. 
Ou seja, logଷ 9 ൌ 2 ֞ 3ଶ ൌ 9. 
Vejamos outro exemplo. Calcular o valor de logହ 125. 
Devemos raciocinar da seguinte forma: 5 elevado a que número é igual a 125? 
A resposta é 3. 
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Portanto, logହ 125 ൌ 3. 
Ou seja, logହ 125 ൌ 3 ֞ 5ଷ ൌ 125. 
Propriedades decorrentes da definição 
 
i) O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a 0. 
log௔ 1 ൌ 0 
Esse fato é de fácil explicação, visto que qualquer número não-nulo elevado a 
0 é igual a 1. 
Exemplo: Qual o valor de logସ 1? 
Devemos raciocinar: 4 elevado a que número é igual a 1? A resposta é 0. 
Portanto, logସ 1 ൌ 0 ֞ 4଴ ൌ 1. 
ii) O logaritmo da base em qualquer base é igual a 1. 
log௔ ܽ ൌ 1 
Esse fato também é de fácil explicação, visto que qualquer número elevado a 1 
é igual a ele mesmo. 
Portanto, temos que: 
logହ 5 ൌ 1 
logଵ଴ 10 ൌ 1 
log௘ ݁ ൌ 1 
iii) Dois logaritmos são iguais se e somente se os logaritmandos são iguais. 
log௔ ݔ ൌ log௔ ݕ ֞ ݔ ൌ ݕ 
Observe, que já que se trata de um “se e somente se”, podemos utilizar essa 
propriedade nos dois sentidos. Ou seja: 
Se os logaritmos são iguais, então os logaritmandos são iguais. 
Se os dois números são iguais (números positivos), então os logaritmos em 
qualquer base também são. 
Utilizaremos bastante este fato na solução de equações exponenciais. 
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Bases especiais 
 
Existem dois sistemas de logaritmos que são muito importantes (inclusive em 
Matemática Financeira), que são: 
i) Sistema de logaritmos decimais 
É o sistema de base 10. 
Utilizaremos a seguinte notação: 
logଵ଴ ݔ ൌ log ݔ 
Observe que: 
logଵ଴ 10 ൌ log 10 ൌ 1. 
ii) Sistema de logaritmos neperianos ou naturais. 
É o sistema de base ݁ ൌ 2,71828182 … 
O número ݁ tem uma infinidade de aplicações na Matemática. 
Utilizaremos o número ݁ em Matemática Financeira no estudo das 
Capitalizações Contínuas. 
Adotaremos a seguinte notação: 
log௘ ݔ ൌ ݈݊ݔ 
Observe que: 
log௘ ݁ ൌ ݈݊݁ ൌ 1 
Propriedades operatórias 
 
i) Logaritmo do produto 
O logaritmo do produto de dois ou mais fatores reais e positivos é igual a soma 
dos logaritmos dos fatores (em qualquer base). 
log௔ሺݔ · ݕሻ ൌ log௔ ݔ ൅ log௔ ݕ 
Exemplo: 
Sabemos que: 
logଶ 8 ൌ 3, ݌݋ݎݍݑ݁ 2ଷ ൌ 8. 
logଶ 16 ൌ 4, ݌݋ݎݍݑ݁ 2ସ ൌ 16. 
Vamos calcular o logaritmo de 128 ൌ 8 ൈ 16 na base 2. 
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logଶ 128 ൌ logଶሺ8 · 16ሻ ൌ logଶ 8 ൅ logଶ 16 ൌ 3 ൅ 4 ൌ 7 
Portanto, 
logଶ 128 ൌ 7 
O que é verdade, já que 2଻ ൌ 128. 
ii) Logaritmo do Cociente 
O logaritmo do cociente de dois números reais e positivos é igual à diferença 
entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor (em qualquer base). 
log௔ ൬
ݔ
ݕ
൰ ൌ log௔ ݔ െ log௔ ݕ 
Exemplo: 
Sabemos que: 
logଷ 9 ൌ 2, ݌݋ݎݍݑ݁ 3ଶ ൌ 9. 
logଷ 243 ൌ 5, ݌݋ݎݍݑ݁ 3ହ ൌ 243. 
Vamos calcular o logaritmo de 27 ൌ 243/9 na base 3. 
logଷ 27 ൌ logଷ ൬
243
9
൰ ൌ logଷ 243 െ logଷ 9 ൌ 5 െ 2 ൌ 3 
Portanto, 
logଷ 27 ൌ 3 
O que é verdade, já que 3ଷ ൌ 27. 
iii) Logaritmo da potência 
O logaritmo de uma potência de base real positiva e expoente real é igual ao 
produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. 
log௔ ݔ௬ ൌ ݕ · log௔ ݔ 
Exemplo: 
Sabemos que: 
logଶ 8 ൌ 3, ݌݋ݎݍݑ݁ 2ଷ ൌ 8. 
Vamos calcular o logaritmo de 512ൌ 8ଷ na base 2. 
logଶ 512 ൌ logଶ 8ଷ ൌ 3 · logଶ 8 ൌ 3 · 3 ൌ 9 
Portanto, 
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logଶ 512 ൌ 9 
O que é verdade, já que 2ଽ ൌ 512. 
01. (Companhia Catarinense de Águas e Saneamento 2008/FEPESE) Um dos 
problemas da captação de água de rios é a presença de algas potencialmente 
tóxicas, responsáveis pelo mau cheiro e o gosto ruim na água. No entanto, se a 
quantidade de células (algas) estiver dentro dos limites tolerados pelo 
organismo, as algas não causam riscos à saúde. O padrão considerado 
preocupante é a partir de 20 mil células por mililitro. Suponha que a quantidade 
n de células (algas) por mililitro em função do tempo, em semanas, seja dada 
pela expressão algébrica n(t) = 20 · 2t. Determine, aproximadamente, o tempo 
necessário, em semanas, para que entre no padrão “preocupante”. 
(Considere: log10 2 = 0,3) 
a) 4 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 16 
Resolução 
O padrão preocupante é de 20 mil células por mililitro (no mínimo). O tempo 
necessário para que entre no padrão é a raiz da equação 
20 · 2௧ ൌ 20.000 
2௧ ൌ 1.000 
O logaritmo de “auxílio” dado pela questão está na base 10. Podemos, portanto 
“logaritmar” ambos os membros na base 10. Lembre-se da terceira propriedade 
dos logaritmos. 
logଵ଴ 2௧ ൌ logଵ଴ 1.000 
logଵ଴ 2௧ ൌ logଵ଴ 10ଷ 
Lembrando que log௔ ݔ௬ ൌ ݕ · log௔ ݔ, 
ݐ · logଵ଴ 2 ൌ 3 · logଵ଴ 10 
Lembrando também que log௔ ܽ ൌ 1, 
ݐ · 0,3 ൌ 3 · 1 
ݐ ൌ
3
0,3
ൌ 10 
Letra C 
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02. (Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Usando os 
valores log 2 = 0,3 e log 3 = 0,47, calcule e assinale o valor correspondente a 
log 144. 
a) 2,22. 
b) 2,19. 
c) 2,06. 
d) 2,14. 
e) 2,27. 
Resolução 
Quando a base não é escrita, por convenção, utiliza-se a base 10. Portanto, os 
logaritmos escritos no enunciado são todos de base 10. 
Se queremos calcular log 144 dados log 2 e log 3, o primeiro passo é fatorar 
144. 
 
Temos então que 144 ൌ 2ସ · 3ଶ 
log 144 ൌ log ሺ2ସ · 3ଶሻ 
Sabemos que o logaritmo do produto é a soma dos logaritmos. 
logሺ2ସ · 3ଶሻ ൌ log 2ସ ൅ log 3ଶ 
Sabemos também que o logaritmo da potência é o produto do expoente pelo 
logaritmo da base. 
log 2ସ ൅ log 3ଶ ൌ 4 · ݈݋݃2 ൅ 2 · ݈݋݃3 
Portanto, 
݈݋݃144 ൌ 4 · ݈݋݃2 ൅ 2 · ݈݋݃3 ൌ 4 · 0,3 ൅ 2· 0,47 ൌ 1,2 ൅ 0,94 ൌ 2,14 
Letra D 
03. (TCM SP 2006/CETRO) A população de uma cidade aumenta segundo a 
equação ܰ ൌ 30.000 · ሺ1,01ሻ௧, onde N é o número de habitantes e t é o tempo 
em anos. O valor de t para que a população dobre em relação a hoje é de 
a) ୪୭୥ ଶ
୪୭୥ ଵ,଴ଵ
 
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b) log 2 െ ݈݋݃1,01 
c) 2 · ሺ݈݋݃2ሻ · ሺ݈݋݃1,01ሻ 
d) ଶ ୪୭୥ ଶ
୪୭୥ ଴,଴ଵ
 
e) 50 
Resolução 
Para calcular a população hoje, basta fazer t = 0. 
௛ܰ௢௝௘ ൌ 30.000 · ሺ1,01ሻ଴ ൌ 30.000 · 1 ൌ 30.000 
Portanto, queremos saber quando a população será 60.000. 
Basta fazer N = 60.000 
30.000 · ሺ1,01ሻ௧ ൌ 60.000 
O 30.000 que está multiplicando “passa para o segundo membro dividindo”. 
ሺ1,01ሻ௧ ൌ 2 
i) Se dois números são iguais, então os seus logaritmos em qualquer 
base também são. 
 
 
ሺ1,01ሻ௧ ൌ 2 
Logaritmando os dois membros: 
݈݋݃ሺ1,01ሻ௧ ൌ ݈݋݃2 
ݐ · ݈݋݃1,01 ൌ ݈݋݃2 
ݐ ൌ
݈݋݃2
log 1,01
 
Letra A 
04. (CEF 2010/CESPE-UnB) A população P de uma comunidade, t anos após 
determinado ano – considerado ano t = 0 - , pode ser calculada pela fórmula 
ܲ ൌ ଴ܲ · ݁௞௧, em que k é uma constante positiva, ଴ܲ é a quantidade de 
indivíduos na comunidade no ano t = 0 e ݁ é a base do logaritmo neperiano. 
Nesse caso, considerando 0,63 como valor aproximado para ௟௡ଶ
௟௡ଷ
 e que a 
população ଴ܲ triplique em 6 anos, então ଴ܲ será duplicada em 
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a) 3,38 anos. 
b) 3,48 anos. 
c) 3,58 anos. 
d) 3,68 anos. 
e) 3,78 anos. 
Resolução 
Quando a população for triplicada, teremos: P = 3P0. Isto ocorrerá em 6 anos. 
Logo: 
3 · ଴ܲ ൌ ଴ܲ · ݁௞·଺ 
Ou seja: 
݁଺௞ ൌ 3 
Vamos aplicar o logaritmo neperiano em ambos os membros da equação. 
݈݊݁଺௞ ൌ ݈݊3 
6݇ · ݈݊݁ ൌ ݈݊3 
Lembre-se que ݈݊݁ ൌ 1. 
6݇ ൌ ݈݊3 
݇ ൌ
݈݊3
6
 
Quando a população for dobrada, teremos: P = 2P0. Isso ocorrerá em t anos. 
Logo: 
2 · ଴ܲ ൌ ଴ܲ · ݁௞·௧ 
݁௞௧ ൌ 2 
Vamos aplicar o logaritmo neperiano em ambos os membros da equação. 
݈݊݁௞௧ ൌ ݈݊2 
݇ݐ · ݈݊݁ ൌ ݈݊2 
Lembre-se que ݈݊݁ ൌ 1. 
݇ݐ ൌ ݈݊2 
ݐ ൌ
݈݊2
݇
 
Como sabemos que ݇ ൌ ௟௡ଷ
଺
׷ 
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ݐ ൌ
݈݊2
݈݊3
6
ൌ ݈݊2 ·
6
݈݊3
 
ݐ ൌ 6 ·
݈݊2
݈݊3
ൌ 6 · 0,63 ൌ 3,78 ܽ݊݋ݏ. 
Letra E 
Juros Compostos 
No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período 
agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo 
período. Daí que surge a expressão “juros sobre juros”. 
Imagine a seguinte situação: Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros 
compostos durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados 
em cada período e o montante após o período de cada aplicação. 
Os juros gerados no primeiro ano são ଶ଴
ଵ଴଴
· 10.000 ൌ 2.000 e o montante após 
o primeiro ano é 10.000 + 2.000 = 12.000. 
Os juros gerados no segundo ano são ଶ଴
ଵ଴଴
· 12.000 ൌ 2.400 e o montante 
após o segundo ano é 12.000+2.400=14.400. 
Os juros gerados no terceiro ano são ଶ଴
ଵ଴଴
· 14.400 ൌ 2.880 e o montante após 
o terceiro ano é 14.400 + 2.880 = 17.280. 
Os juros gerados no quarto ano são ଶ଴
ଵ଴଴
· 17.280 ൌ 3.456 e o montante após o 
quarto ano é 17.280 + 3.456 = 20.736. 
Os juros gerados no quinto ano são ଶ଴
ଵ଴଴
· 20.736 ൌ 4.147,20 e o montante 
após o quinto ano é 20.736 + 4.147,20 = 24.883,20. 
Período de Capitalização 
 
O intervalo de tempo em que os juros são incorporados ao capital é 
chamado de período de capitalização. 
Dessa forma, se o problema nos diz que a capitalização é mensal, então os 
juros são calculados todo mês e imediatamente incorporados ao capital. 
Capitalização trimestral: os juros são calculados e incorporados ao capital uma 
vez por trimestre. 
E assim por diante. 
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Caso a periodicidade da taxa e do número de períodos não estiverem na 
mesma unidade de tempo, deverá ser efetuado um “ajuste prévio” para a 
mesma unidade antes de efetuarmos qualquer cálculo. Abordaremos este 
assunto em seções posteriores (taxas de juros). 
 
Fórmula do Montante Composto 
 
Para calcular o montante de uma capitalização composta utilizaremos a 
seguinte fórmula básica: 
ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ 
M → montante (capital + juros). 
C → Capital inicial aplicado. 
i → taxa de juros 
n → número de períodos. 
Observe que se a capitalização é bimestral e aplicação será feita durante 8 
meses, então o número de períodos é igual a 4 bimestres. 
Não utilizaremos uma fórmula específica para o cálculo dos juros compostos. 
Se por acaso em alguma questão precisarmos calcular o juro composto, 
utilizaremos a relação: 
ܯ ൌ ܬ ൅ ܥ ֞ ܬ ൌ ܯ െ ܥ 
Comparação entre as Capitalizações Simples e Composta 
 
Considere a seguinte situação: João aplicará a quantia de R$ 1.000,00 a uma 
taxa de 10% ao mês. Calcule os montantes simples e compostos para os 
seguintes períodos de capitalização: 
a) 1 mês 
b) 15 dias (meio mês) 
c) 2 meses 
Resolução 
a) Capitalização Simples 
ܯௌ ൌ ܥ · ሺ1 ൅ ݅ · ݊ሻ 
ܯௌ ൌ 1.000 · ሺ1 ൅ 0,1 · 1ሻ ൌ 1.100 
Capitalização Composta 
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ܯ஼ ൌ ܥ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ 
ܯ஼ ൌ 1.000 · ሺ1 ൅ 0,1ሻଵ ൌ 1.100 
Observe que, para ݊ ൌ 1, o montante simples é igual ao montante composto. 
b) Capitalização Simples 
ܯௌ ൌ ܥ · ሺ1 ൅ ݅ · ݊ሻ 
ܯௌ ൌ 1.000 · ሺ1 ൅ 0,1 · 0,5ሻ ൌ 1.050 
Capitalização Composta 
ܯ஼ ൌ ܥ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ 
ܯ஼ ൌ 1.000 · ሺ1 ൅ 0,1ሻ଴,ହ ൌ 1.048,81 
Observe que, para ݊ ൌ 0,5, o montante simples é maior do que o montante 
composto. 
c) Capitalização Simples 
ܯௌ ൌ ܥ · ሺ1 ൅ ݅ · ݊ሻ 
ܯௌ ൌ 1.000 · ሺ1 ൅ 0,1 · 2ሻ ൌ 1.200 
Capitalização Composta 
ܯ஼ ൌ ܥ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ 
ܯ஼ ൌ 1.000 · ሺ1 ൅ 0,1ሻଶ ൌ 1.210 
Observe que, para ݊ ൌ 2, o montante simples é menor do que o montante 
composto. 
Em resumo, temos as seguintes relações 
݊ ൌ 1 O montante simples é igual ao montante composto. 
0 ൏ ݊ ൏ 1 O montante simples é maior do que o montante 
composto. 
݊ ൐ 1 O montante simples é menor do que o montante 
composto. 
 
Convenção Linear e Convenção Exponencial 
 
Vimos que se o número de períodos for menor do que 1, é mais vantajoso para 
o credor cobrar juros simples. 
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Utilizaremos esse fato a favor do credor quando, na capitalização composta, o 
número de períodos for fracionário. 
Por exemplo, estamos fazendo uma aplicação a juros compostos durante 3 
meses e meio. Podemos dizer que o tempo 3,5 meses é igual a 3 meses + 0,5 
meses. Assim, poderíamos calcular o montante no período fracionário sob o 
regime simples (para ganhar mais dinheiro obviamente). 
Em Matemática Financeira, quando o número de períodos é fracionário, 
podemos calcular o montante de duas maneiras: 
- Convenção Exponencial 
- Convenção Linear 
Um capital de R$ 10.000,00 será aplicado por 3 meses e meio à taxa de 10% 
ao mês, juros compostos, em que se deseja saber o montante gerado. 
- Convenção Exponencial 
A convençãoexponencial diz que o período, mesmo fracionário, será utilizado 
no expoente da expressão do montante. 
Assim, (1 )nM C i= ⋅ + 
3,510.000 (1 0,10)M = ⋅ + 
3,510.000 1,10M = ⋅ 
O valor 1,103,5 = 1,395964 deverá ser fornecido pela questão. 
10.000 1,395964M = ⋅ 
13.959,64M = 
- Convenção Linear 
A convenção linear considera juros compostos na parte inteira do período e, 
sobre o montante assim gerado, aplica juros simples no período fracionário. 
Podemos resumir a seguinte fórmula para a convenção linear: 
(1 ) (1 )Int fracM C i i n= ⋅ + ⋅ + ⋅ 
Nessa formula “Int” significa a parte inteira do período e nfrac a parte fracionária 
do período. 
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310.000 (1 0,10) (1 0,10 0,5)M = ⋅ + ⋅ + ⋅ 
310.000 1,10 1,05M = ⋅ ⋅ 
13.975,50M = 
Como era de se esperar, o montante da convenção linear foi maior do que o 
montante da convenção exponencial. 
Exercícios Resolvidos 
 
05. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de um investimento 
de R$ 20 000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao final de 
dois anos é 
 
a) R$ 45.000,00 
b) R$ 47.500,00 
c) R$ 60.000,00 
d) R$ 90.000,00 
e) R$ 50.000,00 
 
Resolução 
 
ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ 
 
ܯ ൌ 20.000 · ሺ1 ൅ 0,50ሻଶ ൌ 45.000,00 
 
Letra A 
 
06. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num 
CDB com vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% ao 
mês. O valor de resgate dessa operação foi, em reais, de (Nota: efetue as 
operações com 4 casas decimais) 
a) 20.999,66 
b) 21.985,34 
c) 22.111,33 
d) 22.400,00 
e) 22.498,00 
 
Resolução 
ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ 
 
ܯ ൌ 20.000 · 1,04ଷ 
 
O enunciado mandou efetuar as operações com 4 casas decimais. 
 
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1,04 ൈ 1,04 ൌ 1,0816 
1,0816 ൈ 1,04 ൌ 1,124864 ؆ 1,1249 
 
ܯ ൌ 20.000 · 1,04ଷ ൌ 20.000 · 1,1249 ൌ 22.498,00 
Letra E 
07. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicação de um 
capital no valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma taxa de juros 
compostos de 8% ao ano, são iguais aos da aplicação de um outro capital no 
valor R$ 10.400,00, a juros simples, à taxa de 15% ao ano. O tempo em que o 
segundo capital ficou aplicado foi igual a 
a) 22 meses 
b) 20 meses 
c) 18 meses 
d) 16 meses 
e) 15 meses 
Resolução 
Aplicação a juros compostos: 
ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ 
ܯ ൌ 12.500 · ሺ1 ൅ 0,08ሻଶ 
ܯ ൌ 14.580 
Assim, o juro composto é a diferença entre o montante e o capital aplicado 
14.580 – 12.500 = 2.080. 
Esse juro é igual ao da aplicação à taxa simples. A resposta do tempo de 
aplicação será dada em meses. Como a taxa é de 15% ao ano, a taxa 
equivalente mensal é 15%/12 = 1,25%=0,0125 ao mês. 
ܬ ൌ ܥ · ݅ · ݊ 
2.080 ൌ 10.400 · 0,0125 · ݊ 
2.080 ൌ 130 · ݊ 
݊ ൌ 16 ݉݁ݏ݁ݏ 
Letra D 
08. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Suponha que uma taxa de juros compostos de 
10% ao mês acumule no final de 5 meses $ 10.000,00. Calcule o valor inicial 
do investimento e assinale a alternativa que indica a resposta correta. 
a) $ 2.691,43 
b) $ 3.691,43 
c) $ 4.691,43 
d) $ 5.691,43 
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e) $ 6.691,43 
Resolução 
Na capitalização composta o montante é dado por 
ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ 
10.000 ൌ ܥ · ሺ1 ൅ 0, 10ሻହ 
10.000 ൌ ܥ · 1,61051 
ܥ ൌ
10.000
1,61051
ൌ 6.209,21 
Não há gabarito compatível. 
09. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Uma pessoa aplicou 
metade de seu capital, durante um ano, a uma taxa de juros compostos de 8% 
ao semestre. Aplicou o restante do capital, também durante um ano, a uma 
taxa de juros simples de 4% ao trimestre. A soma dos juros destas aplicações 
foi igual a R$ 4.080,00. O montante referente à parte do capital aplicado a juros 
compostos apresentou o valor de 
a) R$ 14.400,00. 
b) R$ 14.560,00. 
c) R$ 14.580,00. 
d) R$ 16.000,00. 
e) R$ 16.400,00. 
Resolução 
Digamos que o capital total aplicado seja 2x. Assim, como utilizamos a 
metade do capital em cada uma das aplicações, então o capital das 
aplicações será x. 
1ª aplicação (Regime Composto) 
Sabemos que ܯ ൌ ܥ ൅ ܬ ֞ ܬ ൌ ܯ െ ܥ 
No regime composto, a relação entre o montante e o capital é a seguinte. 
ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ 
A taxa é de 8% ao semestre e o tempo de aplicação é igual a 1 ano (2 
semestres). 
ܯ ൌ ݔ · 1,08ଶ 
ܯ ൌ 1,1664 · ݔ 
Como ܬ ൌ ܯ െ ܥ, 
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ܬ஼ ൌ 1,1664 · ݔ െ ݔ 
ܬ஼ ൌ 0,1664 · ݔ 
2ª aplicação (Regime Simples) 
ܬௌ ൌ ܥ · ݅ · ݊ 
Lembrando que a taxa é trimestral e que um ano é composto por 4 trimestres. 
ܬௌ ൌ ݔ · 0,04 · 4 
ܬௌ ൌ 0,16 · ݔ 
A soma dos juros compostos com os juros simples é igual a R$ 4.080,00. 
ܬ஼ ൅ ܬௌ ൌ 4.080 
0,1664 · ݔ ൅ 0,16 · ݔ ൌ 4.080 
0,3264 · ݔ ൌ 4.080 
ݔ ൌ 12.500 
Na aplicação do regime composto tivemos o seguinte montante. 
ܯ ൌ 1,1664 · ݔ 
ܯ ൌ 1,1664 · 12.500 ൌ 14.580,00 
Letra C 
10. (CEF 2004 FCC) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro simples por 3 
meses, à taxa de 4% ao mês. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a 
juros compostos por 2 meses à taxa de 5% ao mês. Ao final da segunda 
aplicação, o montante obtido era de 
a) R$ 560,00 
b) R$ 585,70 
c) R$ 593,20 
d) R$ 616,00 
e) R$ 617,40 
 
Resolução 
Temos nesta questão duas aplicações: uma no regime de capitalização simples 
e outra na capitalização composta. É fato que o montante na capitalização 
simples é dado por (1 )SM C i n= ⋅ + ⋅ 
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A taxa de juros e o tempo de aplicação do capital já estão na mesma unidade. 
Podemos aplicar diretamente a fórmula acima. O enunciado informou que a 
taxa é de 4% ao mês e o tempo é igual a 3 meses. Dessa forma, 
500 (1 0,04 3)SM = ⋅ + ⋅ 
500 1,12SM = ⋅ 
560SM = 
Esse montante obtido na capitalização simples será o capital da segunda 
aplicação. 
Teremos agora uma aplicação em juros compostos com capital inicial igual a 
R$ 560,00, taxa de juros igual a 5% ao mês durante dois meses. 
O montante da capitalização composta é dado por (1 )nCM C i= ⋅ + . 
2560 (1 0,05)CM = ⋅ + 
2560 1,05CM = ⋅ 
617, 40CM = 
Letra E 
11. (AFRE-CE ESAF 2006) Metade de um capital foi aplicada a juros 
compostos à taxa de 3% ao mês por um prazo de doze meses enquanto a 
outra metade foi aplicada à taxa de 3,5% ao mês, juros simples, no mesmo 
prazo de doze meses. Calcule o valor mais próximo deste capital, dado que as 
duas aplicações juntas renderam um juro de R$ 21.144,02 ao fim do prazo. 
(Considere que 1,0312 = 1,425760) 
a) R$ 25 000,00. 
b) R$ 39 000,00. 
c) R$ 31 000,00. 
d) R$ 48 000,00. 
e) R$ 50 000,00. 
 
Resolução 
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Chamemos o capital total aplicado de 2C. Assim, metade (C) será aplicada 
a juros compostos e a outra metade (C) será aplicada a juros simples. 
Em qualquer um dos dois tipos de regime, o montante sempre é a soma do 
capital com os juros. 
M CJ J M C= + ⇒ = − 
Capitalização Composta 
Capital aplicado: C 
Taxa de juros: 3% = 0,03 ao mês 
Tempo de aplicação: 12 meses 
Assim, o juro da capitalização composta será dado por: 
12(1 )CJ M C C i C= − = ⋅ + − 
121,03CJ C C= ⋅ − 
1, 425760 1CJ C C= ⋅ − ⋅ 
0, 425760CJ C= ⋅ 
Capitalização Simples 
Capital aplicado: C 
Taxa de juros: 3,5% = 0,035 ao mês 
Tempo de aplicação: 12 meses 
Assim, o juro da capitalização simples será dado por: 
SJ C i n= ⋅ ⋅ 
0,035 12SJ C= ⋅ ⋅ 
0, 42SJ C= ⋅ 
As duas aplicações juntas renderam um juro de R$ 21.144,02. 
 
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21.144,02S CJ J+ = 
0, 42 0, 425760 21.144,02C C⋅ + ⋅ = 
0,84576 21.144,02C⋅ = 
21.144,02
0,84576
C = 
25.000C = 
O capital total aplicado é 2 · ܥ. 
Logo, 2 50.000C⋅ = 
Letra E 
12. (AFRE-MG ESAF 2005) A que taxa mensal de juros compostos um capital 
aplicado aumenta 80% ao fim de quinze meses. 
a) 4%. 
b) 5%. 
c) 5,33%. 
d) 6,5%. 
e) 7%. 
Resolução 
Podemos, para facilitar o raciocínio, admitir o que o capital inicial é igual a R$ 
100,00. Para que o capital aumente 80%, os juros serão iguais a R$ 80,00 
(80% de 100,00). Então o montante será igual a R$ 180,00. A taxa e o tempo 
estão na mesma unidade. 
Apliquemos a fórmula dos juros compostos. 
(1 )nM C i= ⋅ + 
15180 100 (1 )i= ⋅ + 
151,80 (1 )i= + 
Foi fornecida uma tabela na prova para o auxílio de questões como essa. 
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De acordo com essa tabela, a uma taxa de 4% temos 
151,04 1,80≅ . 
 Letra E 
13. (Auditor Interno do Poder Executivo-Secretarias de Estado da Fazenda e 
da Administração – 2005 – FEPESE) Determine o tempo em meses que um 
capital aplicado a uma taxa de juro composto de 3,00% ao mês será triplicado. 
Informações adicionais: log 3 ؆ 0,48 e log 1,03 ؆ 0,012. 
Assinale abaixo a única alternativa correta. 
a) 5 meses 
b) 10 meses 
c) 20 meses 
d) 30 meses 
e) 40 meses 
Resolução 
Já que a taxa de juros é mensal, então diremos que a capitalização também é 
mensal. 
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Queremos que o capital seja triplicado. Ou seja, o montante será o triplo do 
capital (M = 3.C) 
Assim, 3M C= ⋅ . 
Ora, mas sabemos que na capitalização composta o montante é dado por 
(1 )nM C i= ⋅ + . Temos então: 
(1 ) 3nC i C⋅ + = ⋅ 
(1 0,03) 3n+ = 
1,03 3n = 
log1,03 log 3n = 
log1,03 log 3n ⋅ = 
log 3
log1,03
n = 
0, 48
0,012
n = 
 
0, 480 0480 480 40 meses.
0,012 0012 12
n = = = = 
Letra E 
14. (CEF 2008 CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa as evoluções no 
tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos 
à mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma 
unidade de tempo a que se refere à taxa de juros utilizada. 
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Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso 
emprestar a juros 
a) compostos, sempre. 
b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de 
tempo. 
c) simples, sempre. 
d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo. 
e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. 
Resolução 
O gráfico acima descreve bem o exemplo que fizemos anteriormente (aquele 
em que o montante simples foi maior do que o montante composto). 
Quando o número de períodos da capitalização for menor do que 1 o juro 
simples será maior do que o juro composto. 
Letra E 
15. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) A fração de período pela convenção linear produz 
uma renda a e pela convenção exponencial produz uma renda b. Pode-se 
afirmar que: 
a) ܽ ൌ log௡ ܾ 
b) ܽ ൏ ܾ 
c) ܽ ൌ ܾ 
d) ܽ ൌ √ܾ೙ 
e) ܽ ൐ ܾ 
Resolução 
Vimos que: 
݊ ൌ 1  O montante simples é igual ao montante composto. 
0 ൏ ݊ ൏ 1  O montante simples é maior do que o montante 
composto. 
݊ ൐ 1  O montante simples é menor do que o montante 
composto. 
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Assim, a fração de período pela convenção linear produz uma renda maior do 
que a convenção exponencial. 
Letra E 
16. (AFRE – PB 2006 FCC) Um capital no valor de R$ 20.000,00 foi investido a 
uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. O 
montante no final do período, adotando a convenção linear, foi igual a 
a) R$ 25.500,00 
b) R$ 24.932,05 
c)) R$ 24.805,00 
d) R$ 23.780,00 
e) R$ 22.755,00 
Resolução 
Nesse problema temos uma taxa de 10% ao ano e o capital será investido 
durante 2 anos e 3 meses. Devemos adotar a convenção linear, então a parte 
fracionária do período (3 meses) será utilizada no regime simples. Como o ano 
tem 12 meses, 3 meses é igual a 1/4 do ano= 0,25 anos. 
Assim, 
(1 ) (1 )Int fracM C i i n= ⋅ + ⋅ + ⋅ 
220.000 (1 0,10) (1 0,10 0, 25)M = ⋅ + ⋅ + ⋅ 
220.000 1,10 1,025M = ⋅ ⋅ 
24.805,00M = 
Letra C 
17. (BESC 2004/FGV) O montante de um principal de R$ 300,00 em 2 meses e 
10 dias, a juros de 10% ao mês pela convenção linear, é igual a: 
 
a) R$ 370,00 
b) R$ 372,00 
c) R$ 373,00 
d) R$ 375,10 
e) R$ 377,10 
Resolução 
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De acordo com a convenção linear, a parte inteira do período será aplicada a 
juros compostos enquanto que a parte fracionária será aplicada a juros 
simples. O período de 10 dias equivale a 1/3 do mês. 
ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ൅ ݅ሻூே் · ሺ1 ൅ ݅ · ݊௙௥௔௖ሻ 
ܯ ൌ 300 · ሺ1 ൅ 0,10ሻଶ · ൬1 ൅ 0,10 ·
1
3
൰ 
ܯ ൌ 300 · 1,21 · ൬1 ൅
1
30
൰ ൌ 363 · ൬1 ൅
1
30
൰ 
ܯ ൌ 363 ൅
363
30
ൌ 363 ൅ 12,1 ൌ 375,10 
Letra D 
18. (AFRF 2003/ESAF) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% 
ao ano durante um ano e meio. Calcule o valor mais próximo da perda 
percentual do montante considerando o seu cálculo pela convenção 
exponencial em relação ao seu cálculo pela convenção linear, dado que 1,401,5 
=1,656502. 
 
a) 0,5% 
b) 1% 
c) 1,4% 
d) 1,7% 
e) 2,0% 
Resolução 
Assuma, por hipótese, que o capital aplicado é de R$ 100,00. 
Convenção Exponencial 
ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ 
ܯ ൌ 100 · ሺ1 ൅ 0,40ሻଵ,ହ ൌ 100 · 1,40ଵ,ହ ൌ 100 · 1,656502 ൌ 165,6502 
Convenção Linear 
ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ൅ ݅ሻூே் · ሺ1 ൅ ݅ · ݊௙௥௔௖ሻ 
ܯ ൌ 100 · ሺ1 ൅ 0,40ሻଵ · ሺ1 ൅ 0,40 · 0,5ሻ 
ܯ ൌ 100 · 1,40 · 1,20 ൌ 168,00 
Cálculo da perda percentual 
௜ܸ௡௜௖௜௔௟ ൌ 168,00 
௙ܸ௜௡௔௟ ൌ 165,6502 
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݅ ൌ ௙ܸ௜௡௔௟
െ ௜ܸ௡௜௖௜௔௟
௜ܸ௡௜௖௜௔௟
ൌ
165,6502 െ 168
168
ൌ
2,3498
168
· 100% ൌ
234,98
168
% ؆ 1,398% 
Letra C 
19. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) José dispõe de R$ 10.000,00 para aplicar durante 
seis meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguintes propostas 
de investimento: 
I – Juros simples de 2% ao mês. 
II – Juros compostosde 1% ao mês. 
III – Resgate de R$ 12.000,00, ao final de um período de seis meses. 
Assinale: 
a) se todas apresentarem o mesmo retorno. 
b) se a proposta I for a melhor alternativa de investimento. 
c) se a proposta II for a melhor alternativa de investimento. 
d) se a proposta III for a melhor alternativa de investimento. 
e) se as propostas I e III apresentarem o mesmo retorno. 
Resolução 
I – Juros simples de 2% ao mês durante 6 meses. 
ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ൅ ݅ · ݊ሻ ൌ 10.000 · ሺ1 ൅ 0,02 · 6ሻ ൌ 11.200 
II - Juros compostos de 1% ao mês durante 6 meses. 
ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ ൌ 10.000 · ሺ1 ൅ 0,01ሻ଺ ൌ 10.615,20 
Portanto, a proposta III é a melhor alternativa de investimento. 
Letra D 
Taxas Equivalentes 
 
Duas taxas são ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital 
inicial, pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante. 
Essa definição de taxas equivalentes aplica-se tanto a juros simples quanto a 
juros compostos. Só que falar em taxas equivalentes no regime simples é o 
mesmo que falar em taxas proporcionais. 
Essa afirmação não é verdadeira quando se trata de juros compostos. 
Exemplo 
Qual é a taxa trimestral equivalente à taxa de juros compostos de 10% ao 
mês? 
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Duas taxas são ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital 
inicial, pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante. 
Se considerarmos o tempo igual a um trimestre (três meses), então teremos a 
seguinte equação: 
3 1(1 ) (1 )m tC i C i⋅ + = ⋅ + 
3(1 0,10) 1 ti+ = + 
1 1,331ti+ = 
0,331ti = 
33,1%ti = 
Portanto, a taxa de 10% ao mês é equivalente a 33,1% ao trimestre. 
Para o cálculo das taxas equivalentes basta efetuar a comparação dos fatores 
ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ 
Exemplo 
Qual é a taxa anual equivalente à taxa de juros compostos de 20% ao 
trimestre? 
Já que 1 ano é o mesmo que 4 trimestres, temos a seguinte relação: 
ሺ1 ൅ ݅௔௡௨௔௟ሻଵ ൌ ሺ1 ൅ ݅௧௥௜௠௘௦௧௥௔௟ሻସ 
1 ൅ ݅௔௡௨௔௟ ൌ ሺ1 ൅ 0,2ሻସ 
1 ൅ ݅௔௡௨௔௟ ൌ 2,0736 
݅௔௡௨௔௟ ൌ 1,0736 
݅௔௡௨௔௟ ൌ 107,36% ܽ݋ ܽ݊݋ 
Taxa Nominal e Taxa Efetiva 
 
Há um mau hábito em Matemática Financeira de anunciar taxas proporcionais 
(no regime composto) como se fossem equivalentes. Uma expressão do tipo 
“24% ao ano com capitalização mensal” significa na realidade “2% ao mês”. 
A taxa de 24% ao ano é chamada taxa nominal e a taxa 2% ao mês é chamada 
de taxa efetiva. 
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No regime de juros compostos, uma taxa é dita nominal quando o período a 
que a taxa se refere não coincidir com o período de capitalização. Por exemplo, 
uma taxa de 24% ao ano com capitalização mensal é uma taxa nominal 
porquanto a taxa se refere ao período de um ano, mas a capitalização dos 
juros é realizada mensalmente (ou seja, os juros são calculados uma vez por 
mês e imediatamente incorporados ao capital). Já quando a taxa é efetiva 
quando o período a que a taxa se refere coincide como período de 
capitalização. No nosso exemplo, a taxa de 2% ao mês com capitalização 
mensal é uma taxa efetiva. 
São exemplos de taxas nominais: 
- 30% ao mês com capitalização diária. 
- 48% ao ano com capitalização bimestral. 
Uma taxa de juro é dita efetiva se o período a que ela estiver referenciada for 
coincidente com o período de capitalização. Assim, uma taxa de juros de 20% 
ao ano com capitalização anual é uma taxa efetiva. 
Nesse caso, podemos dizer simplesmente “taxa efetiva de 20% ao ano” que 
estará subentendido “20% ao ano com capitalização anual”. 
A taxa de juros nominal é a mais comumente encontrada nos contratos 
financeiros. Contudo, apesar de sua larga utilização, pode conduzir a ilusões 
sobre o verdadeiro custo financeiro da transação, pois os cálculos não são 
feitos com taxa nominal !!! 
Ao se deparar com uma taxa nominal, para efeito de cálculo, a mesma deve 
ser convertida para taxa efetiva por meio da seguinte fórmula: 
 
ܶܽݔܽ ݂݁݁ݐ݅ݒܽ
ൌ
ܶܽݔܽ ܰ݋݈݉݅݊ܽ
ܰú݉݁ݎ݋ ݀݁ ݌݁ݎí݋݀݋ݏ ݀݁ ܿܽ݌݅ݐ݈ܽ݅ݖܽçã݋ ܿ݋݊ݐ݅݀݋ݏ ݊ܽ ݐܽݔܽ ݊݋݈݉݅݊ܽ
 
Vejamos alguns exemplos que mostram a conversão de taxa nominal para taxa 
efetiva. 
Exemplo 1: Taxa nominal de 60% ao ano com capitalização bimestral. 
1 ano corresponde a 6 bimestres. Assim, a taxa efetiva bimestral será 
60% 10% a.b.
6b
i = = 
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Se quisermos calcular a taxa efetiva anual, temos que utilizar o conceito de 
taxas equivalentes. 
Portanto, a taxa efetiva anual será calculada da seguinte maneira: 
1 6(1 ) (1 )a bi i+ = + 
61 (1 0,10)ai+ = + 
61,10 1ai = − 
0,7715ai = 
77,15%ai = 
Ou seja, se a unidade do período utilizado for ano, a taxa que deverá ser 
utilizada para efeito de cálculo será 77,15% a.a. (essa é a taxa efetiva) e não 
60% (taxa nominal). Já se a unidade utilizada for bimestre, a taxa utilizada para 
efeito de cálculo será 10% a.b.. 
Para o cálculo dos juros ou do montante, nunca utilizaremos a taxa nominal 
diretamente. Devemos utilizar a taxa efetiva implícita na taxa nominal. 
Taxa Real e Taxa Aparente 
 
Imagine que Thiago fez uma aplicação financeira durante 2 anos e obteve um 
rendimento total de 80%. Mas nesse período de 2 anos houve uma inflação 
total de 60%. Então, na verdade, o ganho real não foi de 80%, pois se assim 
fosse, não estaríamos levando em conta a perda causada pela inflação! 
A taxa de 80% do nosso problema é denominada taxa aparente. 
A taxa real é aquela que leva em consideração a perda influenciada pela 
inflação. 
E como calcular a taxa real nessa situação? 
Para facilitar o processo mnemônico, utilizaremos as seguintes notações: 
 
A → taxa aparente 
I → inflação no período 
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R → taxa real 
É válida a seguinte relação: 
A I R I R= + + ⋅ 
No nosso exemplo: 
A = 80% = 0,8 
I = 60% = 0,6 
R → taxa real = ? 
A I R I R= + + ⋅ 
0,8 0,6 0,6R R= + + ⋅ 
0,8 0,6 1,6 R− = ⋅ 
1,6 0, 2R⋅ = 
0, 2 2 0,125
1,6 16
R = = = 
12,5%R = 
Podemos concluir, que a taxa real de juros nesse ambiente inflacionário foi de 
12,5%. 
A expressão que fornece a taxa real em função da taxa aparente e da inflação 
é a seguinte: 
1
A IR
I
−= + 
No nosso exemplo, 
0,8 0,6 0, 2 12,5%
1 1 0,6 1,6
A IR
I
− −= = = =+ + . 
 
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Exercícios Resolvidos 
 
20. (CEF 2008 CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de 
juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, 
capitalizada bimestralmente? 
a) 75,0% 
b) 72,8% 
c) 67,5% 
d) 64,4% 
e) 60,0% 
Resolução 
Vamos analisar cada parte do enunciado. 
“ ... uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente”. 
Já que um quadrimestre (4 meses) é composto por dois bimestres (2 meses), a 
taxa efetiva bimestral é dada por 
40% 20% a.b.
2b
i = = 
Já que a taxa efetiva bimestral é 20%, para calcular a taxa efetiva 
semestral devemos utilizar o conceito de taxas equivalentes. Lembrando 
que um semestre é composto por 3 bimestres. 
1 3(1 ) (1 )s bi i+ = + 
31 (1 0, 20)si+ = + 
1,728 1 0,728si = − = 
72,8%si = 
Letra B21. (AFRF 2001/ESAF) Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de 
juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. 
a) 12,3600% 
b) 12,5508% 
c) 12,6825% 
d) 12,6162% 
e) 12,4864% 
Resolução 
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Já que um ano é composto por 12 meses, a taxa efetiva mensal é: 
݅௠ ൌ
12%
12
ൌ 1% ܽ݋ ݉êݏ 
Devemos fazer a comparação dos fatores ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ para o cálculo da taxa de 
juros anual. 
ሺ1 ൅ ݅௔ሻଵ ൌ ሺ1 ൅ ݅௠ሻଵଶ 
1 ൅ ݅௔ ൌ ሺ1 ൅ 0,01ሻଵଶ 
Consultando a tabela financeira: 
1 ൅ ݅௔ ൌ 1,126825 
݅௔ ൌ 0,126825 ൌ 12,6825% 
Letra C 
22. (Auditor Fiscal – Pref. de Fortaleza 2003/ESAF) O capital de R$ 20.000,00 
é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral. Obtenha 
o montante ao fim de dezoito meses de aplicação. 
a) R$ 27.200,00 
b) R$ 27.616,11 
c) R$ 28.098,56 
d) R$ 28.370,38 
e) R$ 28.564,92 
Resolução 
Já que um ano é composto por 4 trimestres, a taxa efetiva trimestral é: 
݅௧ ൌ
24%
4
ൌ 6% ܽ݋ ݐݎ݅݉݁ݏݐݎ݁ 
O tempo de aplicação é de 18 meses, mas como a nossa taxa efetiva é 
trimestral, então usaremos o fato de que 18 meses equivalem a 6 trimestres. 
ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ 
ܯ ൌ 20.000 · ሺ1 ൅ 0,06ሻ଺ ൌ 28.370,38 
Letra D 
23. (SUSEP 2010/ESAF) No sistema de juros compostos, o Banco X oferece 
uma linha de crédito ao custo de 80 % ao ano com capitalização trimestral. 
Também no sistema de juros compostos, o Banco Y oferece a mesma linha de 
crédito ao custo dado pela taxa semestral equivalente à taxa cobrada pelo 
Banco X. Maria obteve 100 unidades monetárias junto ao Banco X, para serem 
pagas ao final de um ano. Mário, por sua vez, obteve 100 unidades monetárias 
junto ao Banco Y para serem pagas ao final de um semestre. Sabendo-se que 
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Maria e Mário honraram seus compromissos nos respectivos períodos 
contratados, então os custos percentuais efetivos pagos por Maria e Mário, 
foram, respectivamente, iguais a: 
 
a) 320 % ao ano e 160 % ao semestre. 
b) 120 % ao ano e 60 % ao semestre. 
c) 72,80 % ao ano e 145,60 % ao semestre. 
d) 240 % ao ano e 88 % ao ano. 
e) 107,36 % ao ano e 44 % ao semestre. 
 
Resolução 
 
Banco X: 80% ao ano com capitalização trimestral (taxa nominal). Logo, a taxa 
efetiva trimestral é 80% /4 = 20% a.t. 
 
O custo efetivo pago por Maria ao longo de um ano (4 trimestres) foi de: 
 
ሺ1 ൅ ݅௔ሻଵ ൌ ሺ1 ൅ ݅௧ሻସ 
 
݅௔ ൌ ሺ1 ൅ ݅௧ሻସ െ 1 
 
݅௔ ൌ ሺ1 ൅ 0,20ሻସ െ 1 ൌ 1,0736 ൌ 107,36% 
 
 
Banco Y: Já que a taxa efetiva trimestral do banco Y é de 20% a.t., a taxa 
equivalente semestral será (1+20%)2 – 1 = 0,44 = 44% ao semestre. Como 
Mário pagará sua dívida ao final de um semestre, seu custo percentual foi de 
44%. 
 
Letra E 
 
24. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) A taxa de juros compostos 
anual equivalente à taxa de 30% ao quadrimestre é 
 
a) 114,70% 
b) 107,55% 
c) 109,90% 
d) 90,00% 
e) 119,70% 
 
Resolução 
 
Lembremos que o quadrimestre é um período de 4 meses e que 1 ano é 
composto por 3 quadrimestres. 
 
ሺ1 ൅ ݅௔ሻଵ ൌ ሺ1 ൅ ݅௤ሻଷ 
 
1 ൅ ݅௔ ൌ ሺ1 ൅ 0,3ሻଷ 
 
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1 ൅ ݅௔ ൌ 2,197 
 
݅௔ ൌ 1,197 ൌ 119,70% 
Letra E 
 
25. (DNOCS 2010/FCC) Uma pessoa fez um empréstimo em um banco no 
valor de R$ 25.000,00, tendo que pagar todo o empréstimo após 18 meses a 
uma taxa de juros de 24% ao ano, com capitalização mensal. O valor dos juros 
a serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por: 
 
a) ሾሺ1,02ሻଵ଼ െ 1ሿ 
b) ൣሺ18 · √1,36భఴ െ 1൧ 
c) ൣሺ18 · √1,24భమ െ 1൧ 
d) ൣሺ3 · √1,24 െ 1൧ 
e) ൣሺ6 · √1,24య െ 1൧ 
 
Resolução 
 
O primeiro passo é calcular a taxa efetiva mensal. O problema forneceu a taxa 
nominal de 24% ao ano com capitalização mensal. Portanto, a taxa efetiva 
mensal é de 24%/12 = 2%. 
 
ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ 
 
ܥ ൅ ܬ ൌ ܥ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ 
 
ܬ ൌ ܥ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ െ ܥ 
 
ܬ ൌ ܥ · ሾሺ1 ൅ ݅ሻ௡ െ 1ሿ 
 
ܬ ൌ 25.000 · ሾሺ1 ൅ 0,02ሻଵ଼ െ 1ሿ 
 
ܬ ൌ 25.000 · ሾሺ1,02ሻଵ଼ െ 1ሿ 
Letra A 
 
 
26. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um empréstimo pós-fixado foi 
pago com uma taxa aparente de 23,20%. Sabendo-se que a taxa de inflação 
no período do empréstimo foi de 10%, a taxa de juros real foi de 
 
a) 12,00% 
b) 25,52% 
c) 16,52% 
d) 33,20% 
e) 13,20% 
 
Resolução 
 
Para facilitar o processo mnemônico, chamaremos de: 
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A → taxa aparente 
I → inflação no período 
R → taxa real 
É válida a seguinte relação: 
ܣ ൌ ܫ ൅ ܴ ൅ ܫ · ܴ 
0,2320 ൌ 0,10 ൅ ܴ ൅ 0,10 · ܴ 
0,2320 െ 0,10 ൌ 1,10 · ܴ 
1,10 · ܴ ൌ 0,1320 
ܴ ൌ 0,12 ൌ 12% 
Letra A 
27. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um investidor aplicou o capital de 
R$ 24.000,00, resgatando todo o montante após um ano. Sabe-se que a taxa 
real de juros desta aplicação e a taxa de inflação do período correspondente 
foram iguais a 10% e 2,5%, respectivamente. O montante resgatado pelo 
investidor foi de 
a) R$ 27.060,00 
b) R$ 27.000,00 
c) R$ 26.460,00 
d) R$ 26.400,00 
e) R$ 25.800,00 
Resolução 
Para facilitar o processo mnemônico, chamaremos de: 
A → taxa aparente 
I → inflação no período 
R → taxa real 
É válida a seguinte relação: 
ܣ ൌ ܫ ൅ ܴ ൅ ܫ · ܴ 
࡭ ൌ ૙, ૙૛૞ ൅ ૙, ૚૙ ൅ ૙, ૙૛૞ · ૙, ૚૙ ൌ ૙, ૚૛ૠ૞ ൌ ૚૛, ૠ૞% 
Então o montante resgatado pelo investidor é dado por 
ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ൅ ݅ሻଵ ൌ 24.000 · ሺ1 ൅ 0,1275ሻଵ ൌ 27.060,00 
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Letra A 
28. (BESC 2004/FGV) Uma rentabilidade nominal de 80%, em um período em 
que a inflação foi de 20%, equivale a uma rentabilidade real de: 
a) 20% 
b) 44% 
c) 50% 
d) 55% 
e) 60% 
Resolução 
Para facilitar o processo mnemônico, chamaremos de: 
A → taxa aparente 
I → inflação no período 
R → taxa real 
É válida a seguinte relação: 
ܣ ൌ ܫ ൅ ܴ ൅ ܫ · ܴ 
0,80 ൌ 0,20 ൅ ܴ ൅ 0,20 · ܴ 
0,60 ൌ 1,20 · ܴ 
ܴ ൌ
0,60
1,20
ൌ 0,50 ൌ 50% 
Letra C 
29. (BNB 2004 ACEP) A quantia de R$ 5.000,00 foi aplicada por um período de 
2 anos, transformando-se em R$ 40.000,00. Se a rentabilidade real no período 
foi de 100%, qual a inflação medida no mesmo período? 
a) 100% ao período 
b) 200% ao período 
c) 300% ao período 
d) 400% ao período 
e) 500% ao período 
 
Resolução 
O problema já nos deu diretamente o valor de R (taxa real): 100% = 1. 
Calculemos a taxa de juros aparente no período. 
(1 )nM C A= ⋅ + 
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O valor de n é igual a 1, pois a taxa real foi dada para todo o período de 2 
anos (biênio). 
140.000 5.000 (1 )A= ⋅ + 
8 1 A= + 
7A = 
Para calcular a inflação no período, vamos utilizar a fórmula descrita 
anteriormente. 
A I R I R= + + ⋅ 
7 1 1I I= + + ⋅ 
6 I I= + 
 
3I = 
Para transformar a inflação em termos percentuais devemos multiplicar 
por 100%. 
3 100% 300%I = ⋅ = 
Letra C 
30. (SEFAZ-SP 2006/FCC) Um investidor aplicou R$ 80.000,00 no início de um 
determinado ano e resgatou no final de dois anos o montante de R$ 98.280,00, 
esgotando-setotalmente seu crédito referente a esta operação. Sabe-se que a 
taxa de inflação referente ao primeiro ano de aplicação foi de 5% e ao 
segundo, 4%. Então, a correspondente taxa real de juros, no período desta 
aplicação foi de 
a) 11,25% 
b) 12,5% 
c) 12,85% 
d) 13,65% 
e) 13,85% 
Resolução 
Para calcular a inflação acumulada podemos utilizar a seguinte fórmula: 
2 6I⋅ =
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ࡵ ൌ ሺ૚ ൅ ࢏૚ሻ · ሺ૚ ൅ ࢏૛ሻ · ڮ · ሺ૚ ൅ ࢏࢑ሻ െ ૚ 
Dessa forma, a inflação acumulada nos dois anos foi de: 
ܫ ൌ ሺ1 ൅ 0,05ሻ · ሺ1 ൅ 0,04ሻ െ 1 ൌ 0,092 
Para o cálculo da taxa aparente, consideraremos ݊ ൌ 1, pois queremos calcular 
a taxa real no período de 2 anos. 
ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ 
98.280 ൌ 80.000 · ሺ1 ൅ ܣሻଵ 
ܣ ൌ 0,2285 
ܣ ൌ ܫ ൅ ܴ ൅ ܫ · ܴ 
0,2285 ൌ 0,092 ൅ ܴ ൅ 0,092 · ܴ 
0,1365 ൌ 1,092 · ܴ 
ܴ ൌ
0,1365
1,092
ൌ 0,125 ൌ 12,5% 
Letra B 
31. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) O artigo 1º da Lei 11.948 de 28 de junho de 2007, 
que dispõe sobre o salário mínimo a partir de 1º de abril de 2007, é transcrito a 
seguir: “A partir de 1º de abril de 2007, após a aplicação do percentual 
correspondente à variação do Índice Nacional de Preços ao Consumidor – 
INPC, referente ao período entre 1º de abril de 2006 e 31 de março de 2007, a 
título de reajuste, e de percentual a título de aumento real, sobre o valor de R$ 
350,00 (trezentos e cinqüenta reais) o salário mínimo será de R$ 380,00 
(trezentos e oitenta reais).” Considerando que o INPC acumulado no período 
foi de 3,4%, o percentual a título de aumento real a que a lei se refere foi de: 
a) 5,2%. 
b) 4,8%. 
c) 5,0%. 
d) 5,8%. 
e) 5,5%. 
Resolução 
Vejamos primeiramente qual foi o aumento aparente do salário mínimo. 
௜ܸ௡௜௖௜௔௟ ൌ 350 e ௙ܸ௜௡௔௟ ൌ 380 
ܣ ൌ ௙ܸ௜௡௔௟
െ ௜ܸ௡௜௖௜௔௟
௜ܸ௡௜௖௜௔௟
ൌ
380 െ 350
350
ൌ 8,57% 
A inflação no período considerado, medido pelo INPC, foi de 3,4%. 
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Calculemos o aumento real: 
ܣ ൌ ܫ ൅ ܴ ൅ ܫ · ܴ 
0,0857 ൌ 0,034 ൅ ܴ ൅ 0,034 · ܴ 
0,0517 ൌ 1,034 · ܴ 
ܴ ൌ
0,0517
1,034
ൌ 0,05 ൌ 5% 
Letra C 
Capitalização Contínua 
 
Voltemos à fórmula ࡹ ൌ ࡯ · ሺ૚ ൅ ࢏ሻ࢔. 
Essa formula é a base para virtualmente todos os cálculos financeiros, 
aplicando-se a contas bancárias, empréstimos, hipotecas e anuidades. 
Alguns bancos calculam o juro acumulado não uma vez, mas várias vezes por 
ano! 
Se, por exemplo, uma taxa de juros anual de 5% é capitalizada 
semestralmente, o banco usará metade da taxa de juros anual como taxa por 
período. Daí que, num ano, um capital inicial de R$ 100,00 será composto duas 
vezes, cada vez a uma taxa de 2,5%. Assim, teremos 
100 x 1,0252 = 105,0625, cerca de seis centavos a mais do que o mesmo 
dinheiro renderia se fosse composto anualmente a 5%. 
Na comunidade bancária podemos encontrar todos os tipos de composição de 
juros - anual, semestral, trimestral, e mesmo diário. 
Suponha que a capitalização será feita 12 vezes ao ano (uma vez por mês). O 
banco usa a taxa de juros anual dividida por 12. A taxa usada seria igual a 5% 
dividido por 12. 
O montante obtido seria igual a 
120,05100 1
12
M ⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
105,11M = 
Cerca de 11 centavos a mais do que o mesmo dinheiro renderia se fosse 
composto anualmente a 5%. 
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Suponha que a capitalização será feita 1000 vezes ao ano . O banco usa a 
taxa de juros anual dividida por 1000. A taxa usada seria igual a 5% dividido 
por 1000. 
O montante obtido seria igual a 
10000,05100 1
1000
M ⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
105,12M = 
Cerca de 12 centavos a mais do que o mesmo dinheiro renderia se fosse 
composto anualmente a 5%. 
Parece que qualquer aumento no número de capitalizações no período não 
afetará o resultado – as mudanças acontecerão em dígitos cada vez menos 
significativos. 
Mas será que esse padrão continua? É possível que, não importa o quão 
elevado seja n, os valores do montante estacionem em algum ponto. 
Esta intrigante possibilidade foi de fato confirmada!! 
Imagine agora que queiramos capitalizar o nosso valor principal a TODO 
INSTANTE. Não estamos falando a cada hora, nem a cada minuto, nem muito 
menos a cada segundo. Estamos falando a TODO INSTANTE. Qual seria o 
montante ao final de um ano? 
Essa resposta é dada pela fórmula, 
inM C e= ⋅ , onde 
2,7182818...e = . 
Essa capitalização “a todo instante” é denominada capitalização 
contínua. 
Vejamos um exemplo: 
Calcule o montante após 20 anos, da aplicação, a juros compostos, de um 
capital de R$ 1.000,00, à taxa de 5% ao ano, considerando a capitalização 
contínua. 
Resolução 
Devemos aplicar a fórmula do montante em uma capitalização contínua. 
inM C e= ⋅ 
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0,05 201.000M e ⋅= ⋅ 
11.000 1.000 2,71828M e= ⋅ = ⋅ 
2.718, 28M = 
Exercícios Resolvidos 
 
32. (Inspetor Fiscal – Prefeitura do Município de São Paulo – 1998) Um capital 
de R$ 10.000,00 é aplicado à taxa mensal de 5% por um prazo de 40 meses, 
com regime de capitalização contínua. Qual o montante resultante dessa 
aplicação? (Use e = 2,7) 
a) R$ 62.300,00 
b) R$ 63.900,00 
c) R$ 66.700,00 
d) R$ 72.900,00 
e) R$ 75.600,00 
Resolução 
Devemos aplicar a fórmula do montante em uma capitalização contínua. 
inM C e= ⋅ 
0,05 4010.000 2,7M ⋅= ⋅ 
210.000 2,7M = ⋅ 
72.900,00M = 
Letra D 
33. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Considere que o logaritmo neperiano de 1,8 é igual 
a 0,6. Aplicando um capital de R$ 25.000,00 a uma taxa de 4% ao mês, com 
capitalização contínua, verifica-se que o montante, no momento do resgate, é 
igual a R$ 45.000,00. O período de aplicação é igual a 
 
a) 12 meses. 
b) 15 meses. 
c) 18 meses. 
d) 21 meses. 
e) 24 meses. 
Resolução 
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O montante, na capitalização contínua é dado por ܯ ൌ ܥ · ݁௜௡ 
45.000 ൌ 25.000 · ݁଴,଴ସ௡ 
݁଴,଴ସ௡ ൌ 1,8 
ln ݁଴,଴ସ௡ ൌ ln 1,8 
0,04n · ln ݁ ൌ ln 1,8 
0,04݊ · 1 ൌ 0,6 
݊ ൌ
0,6
0,04
ൌ 15 ݉݁ݏ݁ݏ 
Letra B 
34. (SEFAZ-SP 2006/FCC) Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado à taxa 
semestral ݅, durante 2 anos, com capitalização contínua, apresentando, no final 
do período, um montante igual a R$ 200.000,00. Utilizando ln 2 ൌ 0,69 (ln é o 
logaritmo neperiano), tem-se que ݅ é igual a 
a) 14,02% 
b) 17,25% 
c) 30% 
d) 34,5% 
e) 69% 
Resolução 
Observe que como a taxa é semestral, então o número de períodos é igual 
a 4 semestres. 
O montante, na capitalização contínua é dado por ܯ ൌ ܥ · ݁௜௡ 
200.000 ൌ 50.000 · ݁ଶ௜ 
݁ସ௜ ൌ 4 
ln ݁ସ௜ ൌ ln 4 
ln ݁ସ௜ ൌ ln 2ଶ 
4݅ · ݈݊݁ ൌ 2 · ݈݊2 
4݅ · 1 ൌ 2 · 0,69 
݅ ൌ 0,345 ൌ 34,5% 
Letra D 
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Relação das questões comentadas nesta aula 
 
01. (Companhia Catarinense de Águas e Saneamento 2008/FEPESE) Um dos 
problemas da captação de água de rios é a presença de algas potencialmente 
tóxicas, responsáveis pelo mau cheiro e o gosto ruim na água. No entanto,se a 
quantidade de células (algas) estiver dentro dos limites tolerados pelo 
organismo, as algas não causam riscos à saúde. O padrão considerado 
preocupante é a partir de 20 mil células por mililitro. Suponha que a quantidade 
n de células (algas) por mililitro em função do tempo, em semanas, seja dada 
pela expressão algébrica n(t) = 20 · 2t. Determine, aproximadamente, o tempo 
necessário, em semanas, para que entre no padrão “preocupante”. 
(Considere: log10 2 = 0,3) 
a) 4 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 16 
02. (Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Usando os 
valores log 2 = 0,3 e log 3 = 0,47, calcule e assinale o valor correspondente a 
log 144. 
a) 2,22. 
b) 2,19. 
c) 2,06. 
d) 2,14. 
e) 2,27. 
03. (TCM SP 2006/CETRO) A população de uma cidade aumenta segundo a 
equação ܰ ൌ 30.000 · ሺ1,01ሻ௧, onde N é o número de habitantes e t é o tempo 
em anos. O valor de t para que a população dobre em relação a hoje é de 
a) ୪୭୥ ଶ
୪୭୥ ଵ,଴ଵ
 
b) log 2 െ ݈݋݃1,01 
c) 2 · ሺ݈݋݃2ሻ · ሺ݈݋݃1,01ሻ 
d) ଶ ୪୭୥ ଶ
୪୭୥ ଴,଴ଵ
 
e) 50 
04. (CEF 2010/CESPE-UnB) A população P de uma comunidade, t anos após 
determinado ano – considerado ano t = 0 - , pode ser calculada pela fórmula 
ܲ ൌ ଴ܲ · ݁௞௧, em que k é uma constante positiva, ଴ܲ é a quantidade de 
indivíduos na comunidade no ano t = 0 e ݁ é a base do logaritmo neperiano. 
Nesse caso, considerando 0,63 como valor aproximado para ௟௡ଶ
௟௡ଷ
 e que a 
população ଴ܲ triplique em 6 anos, então ଴ܲ será duplicada em 
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a) 3,38 anos. 
b) 3,48 anos. 
c) 3,58 anos. 
d) 3,68 anos. 
e) 3,78 anos. 
05. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de um investimento 
de R$ 20 000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao final de 
dois anos é 
 
a) R$ 45.000,00 
b) R$ 47.500,00 
c) R$ 60.000,00 
d) R$ 90.000,00 
e) R$ 50.000,00 
 
06. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num 
CDB com vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% ao 
mês. O valor de resgate dessa operação foi, em reais, de (Nota: efetue as 
operações com 4 casas decimais) 
a) 20.999,66 
b) 21.985,34 
c) 22.111,33 
d) 22.400,00 
e) 22.498,00 
 
07. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicação de um 
capital no valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma taxa de juros 
compostos de 8% ao ano, são iguais aos da aplicação de um outro capital no 
valor R$ 10.400,00, a juros simples, à taxa de 15% ao ano. O tempo em que o 
segundo capital ficou aplicado foi igual a 
a) 22 meses 
b) 20 meses 
c) 18 meses 
d) 16 meses 
e) 15 meses 
08. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Suponha que uma taxa de juros compostos de 
10% ao mês acumule no final de 5 meses $ 10.000,00. Calcule o valor inicial 
do investimento e assinale a alternativa que indica a resposta correta. 
a) $ 2.691,43 
b) $ 3.691,43 
c) $ 4.691,43 
d) $ 5.691,43 
e) $ 6.691,43 
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09. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Uma pessoa aplicou 
metade de seu capital, durante um ano, a uma taxa de juros compostos de 8% 
ao semestre. Aplicou o restante do capital, também durante um ano, a uma 
taxa de juros simples de 4% ao trimestre. A soma dos juros destas aplicações 
foi igual a R$ 4.080,00. O montante referente à parte do capital aplicado a juros 
compostos apresentou o valor de 
a) R$ 14.400,00. 
b) R$ 14.560,00. 
c) R$ 14.580,00. 
d) R$ 16.000,00. 
e) R$ 16.400,00. 
10. (CEF 2004 FCC) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro simples por 3 
meses, à taxa de 4% ao mês. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a 
juros compostos por 2 meses à taxa de 5% ao mês. Ao final da segunda 
aplicação, o montante obtido era de 
a) R$ 560,00 
b) R$ 585,70 
c) R$ 593,20 
d) R$ 616,00 
e) R$ 617,40 
11. (AFRE-CE ESAF 2006) Metade de um capital foi aplicada a juros 
compostos à taxa de 3% ao mês por um prazo de doze meses enquanto a 
outra metade foi aplicada à taxa de 3,5% ao mês, juros simples, no mesmo 
prazo de doze meses. Calcule o valor mais próximo deste capital, dado que as 
duas aplicações juntas renderam um juro de R$ 21.144,02 ao fim do prazo. 
(Considere que 1,0312 = 1,425760) 
a) R$ 25 000,00. 
b) R$ 39 000,00. 
c) R$ 31 000,00. 
d) R$ 48 000,00. 
e) R$ 50 000,00. 
12. (AFRE-MG ESAF 2005) A que taxa mensal de juros compostos um capital 
aplicado aumenta 80% ao fim de quinze meses. 
a) 4%. 
b) 5%. 
c) 5,33%. 
d) 6,5%. 
e) 7%. 
13. (Auditor Interno do Poder Executivo-Secretarias de Estado da Fazenda e 
da Administração – 2005 – FEPESE) Determine o tempo em meses que um 
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capital aplicado a uma taxa de juro composto de 3,00% ao mês será triplicado. 
Informações adicionais: log 3 ؆ 0,48 e log 1,03 ؆ 0,012. 
Assinale abaixo a única alternativa correta. 
a) 5 meses 
b) 10 meses 
c) 20 meses 
d) 30 meses 
e) 40 meses 
14. (CEF 2008 CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa as evoluções no 
tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos 
à mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma 
unidade de tempo a que se refere à taxa de juros utilizada. 
 
Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso 
emprestar a juros 
a) compostos, sempre. 
b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de 
tempo. 
c) simples, sempre. 
d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo. 
e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. 
15. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) A fração de período pela convenção linear produz 
uma renda a e pela convenção exponencial produz uma renda b. Pode-se 
afirmar que: 
a) ܽ ൌ log௡ ܾ 
b) ܽ ൏ ܾ 
c) ܽ ൌ ܾ 
d) ܽ ൌ √ܾ೙ 
e) ܽ ൐ ܾ 
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16. (AFRE – PB 2006 FCC) Um capital no valor de R$ 20.000,00 foi investido a 
uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. O 
montante no final do período, adotando a convenção linear, foi igual a 
a) R$ 25.500,00 
b) R$ 24.932,05 
c)) R$ 24.805,00 
d) R$ 23.780,00 
e) R$ 22.755,00 
17. (BESC 2004/FGV) O montante de um principal de R$ 300,00 em 2 meses e 
10 dias, a juros de 10% ao mês pela convenção linear, é igual a: 
 
a) R$ 370,00 
b) R$ 372,00 
c) R$ 373,00 
d) R$ 375,10 
e) R$ 377,10 
18. (AFRF 2003/ESAF) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% 
ao ano durante um ano e meio. Calcule o valor mais próximo da perda 
percentual do montante considerando o seu cálculo pela convenção 
exponencial em relação ao seu cálculo pela convenção linear, dado que 1,401,5 
=1,656502. 
a) 0,5% 
b) 1% 
c) 1,4% 
d) 1,7% 
e) 2,0% 
19. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) José dispõe de R$ 10.000,00 para aplicar durante 
seis meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguintes propostas 
de investimento: 
I – Juros simples de 2% ao mês. 
II – Juros compostos de 1% ao mês. 
III – Resgate de R$ 12.000,00, ao final de um período de seis meses. 
Assinale: 
a) se todas apresentarem o mesmo retorno. 
b) se a proposta I for a melhor alternativa de investimento. 
c) se a proposta II for a melhor alternativa de investimento. 
d) se a proposta III for a melhor alternativa de investimento. 
e) se as propostasI e III apresentarem o mesmo retorno. 
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20. (CEF 2008 CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de 
juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, 
capitalizada bimestralmente? 
a) 75,0% 
b) 72,8% 
c) 67,5% 
d) 64,4% 
e) 60,0% 
21. (AFRF 2001/ESAF) Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de 
juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. 
a) 12,3600% 
b) 12,5508% 
c) 12,6825% 
d) 12,6162% 
e) 12,4864% 
22. (Auditor Fiscal – Pref. de Fortaleza 2003/ESAF) O capital de R$ 20.000,00 
é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral. Obtenha 
o montante ao fim de dezoito meses de aplicação. 
a) R$ 27.200,00 
b) R$ 27.616,11 
c) R$ 28.098,56 
d) R$ 28.370,38 
e) R$ 28.564,92 
23. (SUSEP 2010/ESAF) No sistema de juros compostos, o Banco X oferece 
uma linha de crédito ao custo de 80 % ao ano com capitalização trimestral. 
Também no sistema de juros compostos, o Banco Y oferece a mesma linha de 
crédito ao custo dado pela taxa semestral equivalente à taxa cobrada pelo 
Banco X. Maria obteve 100 unidades monetárias junto ao Banco X, para serem 
pagas ao final de um ano. Mário, por sua vez, obteve 100 unidades monetárias 
junto ao Banco Y para serem pagas ao final de um semestre. Sabendo-se que 
Maria e Mário honraram seus compromissos nos respectivos períodos 
contratados, então os custos percentuais efetivos pagos por Maria e Mário, 
foram, respectivamente, iguais a: 
 
a) 320 % ao ano e 160 % ao semestre. 
b) 120 % ao ano e 60 % ao semestre. 
c) 72,80 % ao ano e 145,60 % ao semestre. 
d) 240 % ao ano e 88 % ao ano. 
e) 107,36 % ao ano e 44 % ao semestre. 
 
24. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) A taxa de juros compostos 
anual equivalente à taxa de 30% ao quadrimestre é 
 
a) 114,70% 
b) 107,55% 
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c) 109,90% 
d) 90,00% 
e) 119,70% 
 
25. (DNOCS 2010/FCC) Uma pessoa fez um empréstimo em um banco no 
valor de R$ 25.000,00, tendo que pagar todo o empréstimo após 18 meses a 
uma taxa de juros de 24% ao ano, com capitalização mensal. O valor dos juros 
a serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por: 
 
a) ሾሺ1,02ሻଵ଼ െ 1ሿ 
b) ൣሺ18 · √1,36భఴ െ 1൧ 
c) ൣሺ18 · √1,24భమ െ 1൧ 
d) ൣሺ3 · √1,24 െ 1൧ 
e) ൣሺ6 · √1,24య െ 1൧ 
 
26. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um empréstimo pós-fixado foi 
pago com uma taxa aparente de 23,20%. Sabendo-se que a taxa de inflação 
no período do empréstimo foi de 10%, a taxa de juros real foi de 
 
a) 12,00% 
b) 25,52% 
c) 16,52% 
d) 33,20% 
e) 13,20% 
 
27. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um investidor aplicou o capital de 
R$ 24.000,00, resgatando todo o montante após um ano. Sabe-se que a taxa 
real de juros desta aplicação e a taxa de inflação do período correspondente 
foram iguais a 10% e 2,5%, respectivamente. O montante resgatado pelo 
investidor foi de 
a) R$ 27.060,00 
b) R$ 27.000,00 
c) R$ 26.460,00 
d) R$ 26.400,00 
e) R$ 25.800,00 
28. (BESC 2004/FGV) Uma rentabilidade nominal de 80%, em um período em 
que a inflação foi de 20%, equivale a uma rentabilidade real de: 
a) 20% 
b) 44% 
c) 50% 
d) 55% 
e) 60% 
29. (BNB 2004 ACEP) A quantia de R$ 5.000,00 foi aplicada por um período de 
2 anos, transformando-se em R$ 40.000,00. Se a rentabilidade real no período 
foi de 100%, qual a inflação medida no mesmo período? 
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a) 100% ao período 
b) 200% ao período 
c) 300% ao período 
d) 400% ao período 
e) 500% ao período 
 
30. (SEFAZ-SP 2006/FCC) Um investidor aplicou R$ 80.000,00 no início de um 
determinado ano e resgatou no final de dois anos o montante de R$ 98.280,00, 
esgotando-se totalmente seu crédito referente a esta operação. Sabe-se que a 
taxa de inflação referente ao primeiro ano de aplicação foi de 5% e ao 
segundo, 4%. Então, a correspondente taxa real de juros, no período desta 
aplicação foi de 
a) 11,25% 
b) 12,5% 
c) 12,85% 
d) 13,65% 
e) 13,85% 
31. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) O artigo 1º da Lei 11.948 de 28 de junho de 2007, 
que dispõe sobre o salário mínimo a partir de 1º de abril de 2007, é transcrito a 
seguir: “A partir de 1º de abril de 2007, após a aplicação do percentual 
correspondente à variação do Índice Nacional de Preços ao Consumidor – 
INPC, referente ao período entre 1º de abril de 2006 e 31 de março de 2007, a 
título de reajuste, e de percentual a título de aumento real, sobre o valor de R$ 
350,00 (trezentos e cinqüenta reais) o salário mínimo será de R$ 380,00 
(trezentos e oitenta reais).” Considerando que o INPC acumulado no período 
foi de 3,4%, o percentual a título de aumento real a que a lei se refere foi de: 
a) 5,2%. 
b) 4,8%. 
c) 5,0%. 
d) 5,8%. 
e) 5,5%. 
32. (Inspetor Fiscal – Prefeitura do Município de São Paulo – 1998) Um capital 
de R$ 10.000,00 é aplicado à taxa mensal de 5% por um prazo de 40 meses, 
com regime de capitalização contínua. Qual o montante resultante dessa 
aplicação? (Use e = 2,7) 
a) R$ 62.300,00 
b) R$ 63.900,00 
c) R$ 66.700,00 
d) R$ 72.900,00 
e) R$ 75.600,00 
 
 
D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8
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33. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Considere que o logaritmo neperiano de 1,8 é igual 
a 0,6. Aplicando um capital de R$ 25.000,00 a uma taxa de 4% ao mês, com 
capitalização contínua, verifica-se que o montante, no momento do resgate, é 
igual a R$ 45.000,00. O período de aplicação é igual a 
 
a) 12 meses. 
b) 15 meses. 
c) 18 meses. 
d) 21 meses. 
e) 24 meses. 
34. (SEFAZ-SP 2006/FCC) Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado à taxa 
semestral ݅, durante 2 anos, com capitalização contínua, apresentando, no final 
do período, um montante igual a R$ 200.000,00. Utilizando ln 2 ൌ 0,69 (ln é o 
logaritmo neperiano), tem-se que ݅ é igual a 
a) 14,02% 
b) 17,25% 
c) 30% 
d) 34,5% 
e) 69% 
 
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Gabaritos Oficiais 
01. Letra C 
02. Letra D 
03. Letra A 
04. Letra E 
05. Letra A 
06. Letra E 
07. Letra D 
08. Não há gabarito compatível. 
09. Letra C 
10. Letra E 
11. Letra E 
12. Letra E 
13. Letra E 
14. Letra E 
15. Letra E 
16. Letra C 
17. Letra D 
18. Letra C 
19. Letra D 
20. Letra B 
21. Letra C 
22. Letra D 
23. Letra E 
24. Letra E 
25. Letra A 
26. Letra A 
27. Letra A 
28. Letra C 
29. Letra C 
30. Letra B 
31. Letra C 
32. Letra D 
33. Letra B 
34. Letra D