Mat Fin - Aula 04 - Progressão Geométrica e disposição gráfica do montante composto. Descontos Compostos. Equivalência de Capitais.

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Aula 04 
 
1  Progressão Geométrica ..................................................................................................... 2 
1.1  Conceito ....................................................................................................................... 2 
1.2  Cálculo da razão ......................................................................................................... 2 
1.3  Termo Geral ................................................................................................................ 3 
1.4  Soma dos termos de uma Progressão Geométrica finita .................................... 3 
1.5  Soma dos termos de uma Progressão Geométrica Infinita ................................. 4 
1.6  Exercício Resolvido .................................................................................................... 4 
2  Disposição gráfica do montante composto .................................................................... 5 
3  Descontos Compostos ....................................................................................................... 6 
3.1  Conceito ....................................................................................................................... 6 
3.2  Desconto Racional (por dentro) Composto ............................................................ 7 
3.3  Desconto Comercial (por fora) Composto .............................................................. 9 
3.4  Exercícios Resolvidos – Descontos Compostos ................................................. 10 
3.5  Demonstração da fórmula dos valores tabelados ............................................... 25 
4  Equivalência Composta de Capitais .............................................................................. 25 
4.1  Conceito ..................................................................................................................... 25 
4.2  Exercícios Resolvidos .............................................................................................. 26 
5  Relação das questões comentadas nesta aula ........................................................... 42 
6  Gabaritos ........................................................................................................................... 49 
 
 
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1 Progressão Geométrica 
 
Faremos uma breve exposição teórica sobre as Progressões Geométricas com 
o intuito de, futuramente, poder utilizar livremente as fórmulas nos assuntos 
subsequentes de Matemática Financeira. 
1.1 Conceito 
 
Considere uma sequência de números reais ሺܽଵ, ܽଶ, ܽଷ, … , ܽ௡ሻ. 
Esta sequência será chamada de Progressão Geométrica (P.G.) se cada 
termo, a partir do segundo, for igual ao produto do anterior com uma constante 
real ݍ. 
O número real ݍ é denominado razão da progressão geométrica. 
ܽଵ é o primeiro termo, ܽଶ é o segundo termo, e assim por diante. O termo ܽ௡ de 
ordem n é chamado n-ésimo termo. 
Exemplos: 
Progressão Geométrica Primeiro termo (ܽଵ) Razão (ࢗ) 
ሺ3, 6, 12, 24, 48, 96,… ሻ 3 2 
ሺ96, 48, 24, 12, 6, 3, … ሻ 96 1
2
 
ሺ2, 2, 2, 2, 2, … ሻ 2 1 
ሺ1, െ2, 4, െ8, 16,െ32,… ሻ 1 െ2 
ሺ5, 0, 0, 0, 0, … ሻ 5 0 
 
1.2 Cálculo da razão 
 
Considere uma progressão geométrica não-estacionária, ou seja, cuja razão é 
diferente de 0 (ver último exemplo do tópico anterior). 
Para calcular a razão de uma P.G., basta calcular o cociente entre dois termos 
consecutivos. 
No nosso primeiro exemplo, ݍ ൌ 6 3ൗ ൌ
12
6ൗ ൌ ڮ ൌ 2. 
No nosso segundo exemplo, ݍ ൌ 48 96ൗ ൌ
24
48ൗ ൌ ڮ ൌ
1
2ൗ . 
No nosso terceiro exemplo, ݍ ൌ 2 2ൗ ൌ
2
2ൗ ൌ ڮ ൌ 1. 
No nosso quarto exemplo, ݍ ൌ െ2 1ൗ ൌ
4
െ2ൗ ൌ ڮ ൌ െ2. 
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1.3 Termo Geral 
 
Considere a progressão geométrica ሺܽଵ, ܽଶ, ܽଷ, … , ܽ௡ሻ. Existe uma expressão 
que permite calcular qualquer termo da progressão conhecidos um termo 
qualquer e a razão. 
Comecemos com a expressão básica que relaciona um termo qualquer com o 
primeiro termo e a razão. 
ܽ௡ ൌ ܽଵ · ݍ௡ିଵ 
Em que ܽଵ é o primeiro termo, ݍ é a razão da progressão e ܽ௡ é o termo de 
ordem n (n-ésimo termo). 
Exemplo: Qual o décimo primeiro termo da progressão geométrica 
ሺ3, 6, 12, 24,… ሻ? 
Resolução 
Queremos calcular o décimo primeiro termo, e, portanto, ݊ ൌ 11. 
Utilizemos a fórmula do termo geral: 
ܽଵଵ ൌ ܽଵ · ݍଵଵିଵ ൌ ܽଵ · ݍଵ଴ 
ܽଵଵ ൌ 3 · 2ଵ଴ ൌ 3.072 
Obviamente não seremos obrigados a ficar presos a esta fórmula. Ou seja, não 
somos obrigados a conhecer o primeiro termo para calcular um termo qualquer 
da P.G. Vejamos um exemplo análogo ao da progressão aritmética (aula 1). 
Exemplo: O décimo termo de uma progressão geométrica é igual a 4. Calcule o 
décimo sexto termo sabendo que a razão da progressão é 3. 
Resolução 
Devemos avançar 6 termos do décimo ao décimo sexto termo. 
Assim, a expressão do termo geral ficará: 
ܽଵ଺ ൌ ܽଵ଴ · ݍ଺ 
ܽଵ଺ ൌ 4 · 3଺ ൌ 2.916 
1.4 Soma dos termos de uma Progressão Geométrica finita 
 
A soma dos ݊ termos iniciais de uma progressão geométrica é: 
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ܵ௡ ൌ
ܽଵ · ሺݍ௡ െ 1ሻ
ݍ െ 1
 
Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G. ሺ3, 6, 12, 24,… ሻ. 
Resolução 
A razão, como já vimos, é igual a 2. 
ଵܵ଴ ൌ
ܽଵ · ሺݍଵ଴ െ 1ሻ
ݍ െ 1
 
ଵܵ଴ ൌ
3 · ሺ2ଵ଴ െ 1ሻ
2 െ 1
ൌ
3 · ሺ1.024 െ 1ሻ
1
ൌ 3 · 1.023 
ଵܵ଴ ൌ 3.069 
1.5 Soma dos termos de uma Progressão Geométrica Infinita 
 
Se ሺܽଵ, ܽଶ, ܽଷ, … , ܽ௡, … ሻ é uma P.G. com razão െ1 ൏ ݍ ൏ 1, então: 
ܵ ൌ ܽଵ ൅ ܽଶ ൅ڮ൅ ܽ௡ ൅ڮ ൌ
ܽଵ
1 െ ݍ
 
Exemplo 
Calcular a soma dos infinitos termos da P.G. ሺ9, 6, 4, … ሻ. 
Resolução 
Para calcular a razão basta dividir o segundo termo pelo primeiro: 
ݍ ൌ
6
9
ൌ
2
3
 
Assim, 
ܵ ൌ
ܽଵ
1 െ ݍ
ൌ
9
1 െ 23
ൌ
9
1/3
ൌ 9 ·
3
1
ൌ 27 
Observação: Utilizaremos este conceito no estudo das Rendas Perpétuas. 
1.6 Exercício Resolvido 
 
01. (EBDA 2006/CETRO) Numa P.G, de termos positivos, O primeiro termo é 
igual a 5 e o sétimo termo é 320. Somando os dez primeiros termos dessa PG, 
obtém-se: 
 
(A) 5.000 
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(B) 5.115 
(C) 4.995 
(D) 5.015 
(E) 4.895 
Resolução 
Ora, o problema nos forneceu o primeiro e o sétimo termos de uma P.G. e nos 
pede a soma dos dez primeiros termos. Para calcular a soma dos termos de 
uma P.G. precisamos apenas do primeiro termo e da razão. A relação entre o 
primeiro e o sétimo termos de acordo com a fórmula do termo geral é a 
seguinte: 
ܽ଻ ൌ ܽଵ · ݍ଺ 
320 ൌ 5 · ݍ଺ 
ݍ଺ ൌ 64 ֜ ݍ଺ ൌ 2଺ ֜ ݍ ൌ 2 
Dessa forma, a soma dos dez primeiros termos será: 
ܵ௡ ൌ
ܽଵ · ሺݍ௡ െ 1ሻ
ݍ െ 1
֜ ଵܵ଴ ൌ
ܽଵ · ሺݍଵ଴ െ 1ሻ
ݍ െ 1
 
ଵܵ଴ ൌ
5 · ሺ2ଵ଴ െ 1ሻ
2 െ 1
 
ଵܵ଴ ൌ 5 · 1023 ൌ 5.115 
Letra B 
2 Disposição gráfica do montante composto 
 
Sabemos que o montante no regime composto é calculado a partir da fórmula 
ܯ ൌ ܥ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡. 
Obviamente estamos considerando que o capital aplicado é constante e que a 
taxa de juros também é constante. Vamosconsiderar que 1 ൅ ݅ ൌ ܽ. A fórmula 
toma o seguinte aspecto: 
ܯ ൌ ܥ · ܽ௡ 
Temos claramente que o montante é uma função exponencial do tempo. 
Como as grandezas envolvidas são sempre não-negativas, consideraremos a 
parte do gráfico da função exponencial que se encontra no primeiro quadrante. 
Observe ainda que quando n=0, o montante é igual ao capital inicial C. Isto 
porque: 
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ܯ ൌ ܥ · ܽ଴ ൌ ܥ · 1 ൌ ܥ 
 
Desta forma, o gráfico do montante em função do tempo terá o seguinte 
aspecto: 
 
 
 
 
3 Descontos Compostos 
3.1 Conceito 
 
A operação de desconto foi estudada na aula 02. Foi visto que desconto é o 
abatimento que se faz no valor de uma dívida quando ela é negociada antes da 
data de vencimento. Os principais elementos de uma operação de desconto 
são: 
Valor Nominal, Valor de Face, 
Valor Futuro (N) 
É o valor que está escrito no título. É o 
valor que deve ser pago na data do 
vencimento. 
Valor Atual, Valor Presente, Valor 
Líquido, Valor Descontado (A) 
O valor líquido é obtido pela diferença 
entre o valor nominal e o desconto. 
 
Desconto (D) 
Desconto é o abatimento que se faz no 
valor de uma dívida quando ela é 
negociada antes da data de vencimento. 
É a diferença entre o valor nominal e o 
valor atual. 
 
Não importa qual o tipo de desconto que estamos trabalhando: o valor 
atual sempre será igual ao valor nominal menos o desconto. 
ܣ ൌ ܰ െ ܦ 
Os elementos da operação de desconto composto são os mesmos dos 
elementos da operação de desconto simples. A única coisa que irá mudar é a 
natureza da taxa. 
M 
n 
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O cálculo do desconto pode ser feito por dois critérios. Existe o desconto 
racional, também chamado de desconto por dentro. O desconto racional é o 
desconto “teoricamente” correto. Existe também o desconto comercial ou 
desconto por fora. É o desconto sem fundamentação teórica, mas muito 
praticado no mercado financeiro. 
Desconto composto é aquele obtido pela aplicação do regime de 
capitalização composta. Pode ser, também, de dois tipos (por fora e por 
dentro). 
Nesta aula estudaremos o Desconto Racional Composto e o Desconto 
Comercial Composto. 
Para se responder qualquer questão sobre descontos, devemos saber qual é a 
modalidade do desconto (racional ou comercial) e o regime da operação 
(simples ou composto). 
 
3.2 Desconto Racional (por dentro) Composto 
 
A operação de desconto racional composto, por definição, é equivalente a 
uma operação de juros compostos. 
Enquanto que na operação de juros compostos, o nosso objetivo é projetar um 
valor presente para o futuro, na operação de desconto racional composto 
teremos como objetivo projetar o Valor Nominal para a data atual. 
O desconto composto por dentro ou desconto composto racional é obtido 
aplicando-se a taxa de desconto ao valor atual do título, ou seja, corresponde 
ao juro simples sobre o valor atual durante o tempo que falta para o vencimento 
do título. 
Já que o desconto racional simples equivale à operação de juros simples, 
podemos fazer um desenho comparativo. 
 
 
 
 
 
 
 
Capital Inicial 
JUROS COMPOSTOS 
Juros 
Montante 
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Æ O valor atual do desconto racional composto corresponde ao capital 
inicial da operação de juros compostos. 
Æ O valor nominal do desconto racional composto corresponde ao 
montante da operação de juros compostos. 
Æ O desconto da operação de desconto racional composto corresponde 
ao juro da operação de juros compostos. 
Correspondência entre os elementos das operações 
Juros Compostos Desconto Racional Composto (por 
dentro) 
Capital Inicial (C) Valor Atual (A) 
Montante (M) Valor Nominal (N) 
Juro (J) Desconto (D) 
 
Vamos então “deduzir” a fórmula da operação de desconto racional simples 
(por dentro). 
Juros Compostos: (1 )
nM C i= ⋅ + 
 
Desconto Racional Simples: 
 
 
Valor Atual 
0 
(Data zero) 
Linha do tempo
  Desconto 
Valor Nominal 
DESCONTO RACIONAL 
(1 )nN A i= ⋅ +
 
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Vejamos um esquema comparativo entre o regime simples e o regime 
composto. 
Desconto Racional Simples (por 
dentro) 
Desconto Racional Composto (por 
dentro) 
(1 )N A i n= ⋅ + ⋅ (1 )nN A i= ⋅ + 
 
A única coisa que mudou foi o “lugar do n”. Ao passarmos do regime simples 
para o regime composto, o n (número de períodos) foi para o expoente. 
O mais importante de tudo é lembrar que a operação de desconto racional 
composto equivale a uma operação de juros compostos. 
3.3 Desconto Comercial (por fora) Composto 
 
Vimos que o desconto racional composto equivale a uma operação de juros 
compostos. Na operação de juros compostos, a taxa de juros incide sobre o 
capital inicial. Obviamente, no desconto racional composto (que equivale ao 
juro simples) a taxa incide sobre o valor atual. 
O desconto comercial composto não é o “teoricamente” correto. A taxa no 
desconto comercial composto incide sobre o valor nominal. 
Vimos a semelhança entre os descontos racionais simples e composto. 
 
Desconto Racional Simples (por 
dentro) 
Desconto Racional Composto (por 
dentro) 
(1 )N A i n= ⋅ + ⋅ (1 )nN A i= ⋅ + 
 
Qual é a diferença entre as duas fórmulas? Que no desconto composto o “n” foi 
para o expoente. O mesmo acontecerá com o desconto comercial composto. 
 
Desconto Comercial Simples 
(por fora) 
Desconto Comercial Composto (por 
fora) 
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(1 )A N i n= ⋅ − ⋅ (1 )nA N i= ⋅ − 
 
Não importa qual o tipo de desconto que estamos trabalhando: o valor 
atual sempre será igual ao valor nominal menos o desconto. 
ܣ ൌ ܰ െ ܦ 
3.4 Exercícios Resolvidos – Descontos Compostos 
 
02. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um título é descontado dois anos antes de 
seu vencimento segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa 
de juros compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$ 
20.000,00. Caso este título tivesse sido descontado segundo o critério do 
desconto comercial composto, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual 
seria de 
a) R$ 21.780,00 
b) R$ 21.600,00 
c) R$ 20.702,00 
d) R$ 19.804,00 
e) R$ 19.602,00 
Resolução 
Sabemos que a operação de desconto racional (por dentro) composto equivale 
à operação de juro composto. 
Assim, ܰ ൌ ܣோ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ ֜ ܰ ൌ 20.000 · ሺ1 ൅ 0,10ሻଶ ൌ 24.200 
A relação entre o valor atual e o valor nominal na operação de desconto 
comercial composto é a seguinte: 
ܣ஼ ൌ ܰሺ1 െ ݅ሻ௡ 
ܣ஼ ൌ 24.200 · ሺ1 െ 0,1ሻଶ ൌ 19.602,00 
 
Letra E 
 
03. (SUSEP 2010/ESAF) Um título sofre um desconto racional composto dois 
meses antes do seu vencimento a uma taxa de 5% ao mês. Dado 
que o valor do desconto é R$ 10 000,00, qual o valor mais próximo do valor 
nominal do título? 
 
a) R$ 100 000,00. 
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b) R$ 107 561,00. 
c) R$ 102 564,00. 
d) R$ 97 561,00. 
e) R$ 110 000,00. 
 
Resolução 
 
A operação de desconto racional composto equivale a uma operação de 
juros compostos. 
 
N ൌ A · ሺ1 ൅ iሻ୬ 
 
N ൌ A · ሺ1 ൅ 0,05ሻଶ 
 
N ൌ 1,1025 · A 
 
O desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual. 
 
ܰ െ ܣ ൌ 10.000 
 
1,1025 · A െ ܣ ൌ 10.000 
 
0,1025 · A ൌ 10.000 
 
A ൌ 97.560,98 
 
N ൌ 97.560,98 ൅ 10.000 ൌ 107.560,98 ؆ 107.561,00 
 
Letra B 
 
04. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um título com o valor de R$ 
50.000 e 2 anos para o vencimento é descontado, no regime de juros 
compostos, com uma taxa de desconto comercial de 20% ao ano. O valor do 
desconto composto é, então, 
a) R$ 10.000,00 
b) R$ 18.000,00 
c) R$ 22.653,86 
d) R$ 24.000,00 
e) R$ 20.000,00 
Resolução 
No desconto comercial composto, a relação entre o valor atual e o valor 
nominal do título é dada pela expressão 
ܣ ൌ ܰ · ሺ1 െ ݅ሻ௡ 
ܣ ൌ 50.000 · ሺ1 െ 0,2ሻଶ ൌ 32.000 
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Assim, o desconto composto é igual a D = 50.000 – 32.000 = 18.000,00. 
Letra B 
05. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Com relação aos conceitos 
de desconto bancário e comercial, nos regimes de juros simples e compostos, 
analise as afirmativas a seguir: 
 
I. A fórmula do Desconto Racional, no regime de juros simples, é dada por: 
ܦ݁ݏܿ݋݊ݐ݋ ൌ ௏ி
௡௜
, em que VF é o valor futuro, n é o número de períodos e i é a 
taxa de juros. 
 
II. A relação entre a taxa de desconto racional (i) e a taxa de desconto 
comercial (d), ambas no regime de juros simples, é expressa por 
݀ ൌ
݅
1 ൅ ݅݊
, 
Em que n é o número de períodos. 
 
III. A relação entre Valor Presente (VP) e Valor Futuro (VF), no regime de juros 
compostos e usando-se a taxa de desconto comercial, é expressa por: 
ܸܲ ൌ ܸܨ ڄ ሺ1 െ ݀ሻ௡, 
Em que n é o número de períodos. 
 
Assinale 
 
a) se somente a afirmativa III estiver correta. 
b) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. 
c) se todas as afirmativas estiverem corretas. 
d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. 
e) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. 
 
Resolução 
 
I. Falsa. 
A operação de desconto racional simples, por definição, é equivalente a 
uma operação de juros simples. 
Enquanto que na operação de juros simples, o nosso objetivo é projetar 
um valor presente para o futuro, na operação de desconto racional 
simples teremos como objetivo projetar o Valor Nominal para a data atual. 
O desconto simples por dentro ou desconto simples racional é obtido 
aplicando-se a taxa de desconto ao valor atual do título, ou seja, corresponde 
ao juro simples sobre o valor atual durante o tempo que falta para o vencimento 
do título. 
Æ O valor atual do desconto racional simples corresponde ao capital inicial 
da operação de juros simples. 
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Æ O valor nominal do desconto racional simples corresponde ao montante 
da operação de juros simples. 
Æ O desconto da operação de desconto racional simples corresponde ao 
juro da operação de juros simples. 
Podemos dizer que o valor nominal é o montante do valor atual em uma 
operação de juros simples em que o juro é igual ao desconto racional 
simples!! 
Vamos então “deduzir” as fórmulas da operação de desconto racional simples 
(por dentro). 
Juros Simples: J C i n= ⋅ ⋅ 
 
 
Desconto Racional Simples: 
 
II. A relação entre a taxa de desconto racional (i) e a taxa de desconto 
comercial (d), ambas no regime de juros simples, é expressa por 
݀ ൌ
݅
1 ൅ ݅݊
, 
Em que n é o número de períodos. 
 
Vejamos: Para fazermos uma comparação entre as taxas, devemos ter o 
mesmo valor atual e o mesmo valor nominal. Dessa forma, os descontos 
também são iguais. 
 
ܦோ ൌ ܦ஼ 
 
ܣ ڄ ݅ ڄ ݊ ൌ ܰ ڄ ݀ ڄ ݊ 
ܣ ڄ ݅ ൌ ܰ ڄ ݀ 
 
Lembrando que 
 
ܰ ൌ ܣ ڄ ሺ1 ൅ ݅ ڄ ݊ሻ ֜ ܣ ൌ
ܰ
1 ൅ ݅ ڄ ݊
 
 
ܰ
1 ൅ ݅ ڄ ݊
ڄ ݅ ൌ ܰ ڄ ݀ 
 
1
1 ൅ ݅ ڄ ݊
ڄ ݅ ൌ ݀ 
 
D A i n= ⋅ ⋅  
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݅
1 ൅ ݅ ڄ ݊
ൌ ݀ 
 
A proposição II, portanto, é verdadeira. 
 
III. Verdadeira. A taxa de desconto comercial composto é aplicada no valor 
nominal (valor futuro). 
 
Letra D 
 
06. (AFRF 2001 ESAF) Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro meses 
antes de seu vencimento. Calcule o desconto obtido considerando um 
desconto racional composto de 3% ao mês. 
a) R$ 140,00 
b) R$ 104,89 
c) R$ 168,00 
d) R$ 93,67 
e) R$ 105,43 
Resolução 
A = 840,00. 
Sabemos que a operação de desconto racional composto equivale à operação 
de juros compostos; onde o valor nominal equivale ao montante e o valor 
descontado equivale ao capital inicial. Temos a seguinte expressão: 
(1 )nN A i= ⋅ + 
4840 (1 0,03)N = ⋅ + 
4840 1,03N = ⋅ 
Para calcular o valor de 1,034, calcularemos primeiramente 1,032 e em seguida 
multiplicaremos 1,032 por 1,032 
1,032 = 1,0609 
1,034 = 1,032 x 1,032 = 1,0609 x 1,0609 = 1,1255088 
4840 1,03 840 1,1255088 945,43N = ⋅ = ⋅ ≅ . 
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Como estamos interessados no valor do desconto, utilizaremos o fato de que 
em qualquer tipo de desconto o valor do desconto é igual à diferença entre o 
valor nominal e o valor atual. 
D N A= − 
945,43 840 105,43D = − = 
Letra E 
07. (Analista de Compras de Recife 2003 – ESAF) Um título é descontado por 
R$ 10.000,00 quatro meses antes de seu vencimento a uma taxa de 3% ao 
mês. Calcule o valor nominal do título considerando que o desconto usado foi o 
desconto racional composto. Despreze os centavos. 
a) R$ 11.255,00 
b) R$ 11.295,00 
c) R$ 11.363,00 
d) R$ 11.800,00 
e) R$ 12.000,00 
Resolução 
Quando o enunciado diz que o título é descontado por R$ 10.000,00 quer dizer 
que o valor atual é R$ 10.000,00. 
(1 )nN A i= ⋅ + 
410.000 (1 0,03)N = ⋅ + 
410.000 1,03 10.000 1,1255088N = ⋅ = ⋅ 
11.255,00N = 
Letra A 
08. (AFRF 2002 ESAF) Um título sofre um desconto composto racional de R$ 
6.465,18 quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo 
do valor descontado do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% ao 
mês. (dado que 1,054 = 1,215506) 
a) R$ 25.860,72 
b) R$ 28.388,72 
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c) R$ 30.000,00 
d) R$ 32.325,90 
e) R$ 36.465,18 
Resolução 
Temos a seguinte expressão que relaciona o valor nominal e o valor 
descontado no desconto racional composto. 
(1 )nN A i= ⋅ + 
O que acontece aqui é que o problema nos forneceu o valor do desconto. O 
desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual. 
Assim, 
6.465,18N A− = 
Substituindo o valor de N por A.(1+i)n temos: 
(1 ) 6.465,18nA i A⋅ + − = 
4(1 0,05) 6.465,18A A⋅ + − = 
Lembre-se que A em álgebra significa 1.A (um vezes A). 
41,05 1 6.465,18A A⋅ − ⋅ = 
Podemos então colocar A em evidência: 
4(1,05 1) 6.465,18A⋅ − = 
4
6.465,18 6.465,18
1,05 1 1,215506 1
A = =− − 
6.465,18 30.000,00
0,215506
A = =
 
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Letra C 
09. (CEF 2008 CESGRANRIO) Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será 
descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto 
de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor 
do desconto racional composto. A diferença D – d, em reais, vale 
a) 399,00 
b) 398,00 
c) 397,00 
d) 396,00 
e) 395,00 
Resolução 
Dados do problema: 
N = 24.200,00 
n = 2 meses 
i = 10% a.m. = 0,10 a.m. 
1º) Desconto comercial composto (D) 
Sabemos que é válida a seguinte expressão no desconto comercial composto: 
(1 )nA N i= ⋅ − 
224.200 (1 0,10)A = ⋅ − 
224.200 0,90 24.200 0,81A = ⋅ = ⋅ 
19.602,00A = 
E como sabemos que o desconto, qualquer que seja a modalidade, é a 
diferença entre o valor nominal e o valor atual, temos que 
D = 24.200 – 19.602 
D = 4.598,00 
2º) Desconto racional composto (d) 
Sabemos que é válida a seguinte expressão no desconto racional composto: 
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(1 )nN A i= ⋅ + 
224.200 (1 0,10)A= ⋅ + 
24.200 1,21A= ⋅ 
24.200 20.000,00
1,21
A = =
 
E como sabemos que o desconto, qualquer que seja a modalidade, é a 
diferença entre o valor nominal e o valor atual, temos que 
d = 24.200,00 – 20.000,00 
d = 4.200,00. 
Dessa forma, a diferença D – d = 4.598,00 – 4.200,00 = 398,00 
Letra B 
10. (MDIC – 2002 ESAF) Um título deveria sofrer um desconto comercial 
simples de R$ 672,00 quatro meses antes do seu vencimento. Todavia uma 
negociação levou à troca do desconto comercial simples por um desconto 
racional composto. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de 
3% ao mês. 
a) R$ 600,00 
b) R$ 620,15 
c) R$ 624,47 
d) R$ 643,32 
e) R$ 672,00 
Resolução 
Temos nessa questão, novamente, dois tipos de desconto. Um desconto 
comercial simples e um desconto racional composto. Dois regimes: 
simples e composto. Duas modalidades: comercial e racional. 
1º) Desconto Comercial Simples 
Sabemos, pela teoria exposta na aula 2, que a taxa do desconto comercial 
simples é incidida sobre o valor nominal ! 
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Assim, temos que D N i n= ⋅ ⋅ 
672 0,03 4N= ⋅ ⋅ 
672 0,12N= ⋅ 
672 672,00 67.200 5.600
0,12 0,12 12
N = = = = 
Assim, o valor nominal é igual a R$ 5.600,00. 
2º) Desconto Racional Composto 
Lembremos que o desconto racional composto equivale a uma operação 
de juros compostos. Temos a seguinte relação: 
(1 )nN A i= ⋅ + 
Assim, 
(1 )n
NA
i
= + 
4
5.600
(1 0,03)
A = + 
Para efetuar esse cálculo você terá duas saídas. 
i) Efetuar o cálculo na base da mão. 
 
4
5.600 5.600 4.975,53
(1 0,03) 1,1255088
A = = =+ 
 
ii) Utilizando tabelas financeiras. 
 
Nessa prova do MDIC realizada pela ESAF, foram fornecidas duas tabelas. 
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Uma que fornece os valores de (1+i)n. 
 
 
Essa tabela não ajuda muito. Pois o nosso real problema é efetuar 5.600
1,125508
. 
A outra tabela fornecida é a seguinte. 
 
 
Essa tabela será utilizada na aula sobre Sistemas de Amortização. 
E no presente momento, para que nos serve? 
Para utilizarmos um artifício. 
O artifício serve para calcular os valores de ( )
1
1 ni+ . No nosso caso, para 
calcular 4 4
5.600 15.600
(1 0,03) (1 0,03)
A = = ⋅+ + 
Temos a seguinte relação: 
( ) ( 1)
1
1
n i n in a ai
¬ − ¬= −+ 
Os valores de n ia ¬ constam na tabela acima. 
A demonstração desta relação se encontra na seção 3.5 desta aula. 
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( 1)4 4
5.600 15.600 5.600
(1 ) (1 ) n i n i
A a a
i i ¬ − ¬
⎡ ⎤= = ⋅ = ⋅ −⎣ ⎦+ + 
[ ]4 3% 3 3%5.600A a a¬ ¬= ⋅ − 
Esses valores são tabelados. 
 
[ ]5.600 3,717098 2,828611A = ⋅ − 
5.600 0,888487A = ⋅ 
4.975,53A = . 
Agora que sabemos utilizar essa tabela vamos resolver novamente essa 
questão uma maneira um pouco mais rápida. 
2º) Desconto Racional Composto 
Lembremos que o desconto racional composto equivale a uma operação 
de juros compostos. Temos a seguinte relação: 
(1 )nN A i= ⋅ + 
Assim, 
( 1)
5.600 5.600
(1 ) (1 ) n i n in n
NA a a
i i ¬ − ¬
⎡ ⎤= = = ⋅ −⎣ ⎦+ + 
[ ]4 3% 3 3%5.600A a a¬ ¬= ⋅ − 
Esses valores são tabelados. 
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[ ]5.600 3,717098 2,828611A = ⋅ − 
5.600 0,888487A = ⋅ 
4.975,53A = . 
Ou seja, utilizando esse artifício, trocamos uma divisão de um número natural 
por um número com 6 casa decimais para efetuar uma subtração e uma 
multiplicação. 
O novo desconto será d = N – A = 5.600 – 4975,53 = 624,47 
Letra C 
11. (APOFP – SEFAZ – SP 2009 ESAF) Um título no valor de face de R$ 
1.000,00 deve ser descontado três meses antes do seu vencimento. Calcule o 
valor mais próximo do desconto racional composto à taxa de desconto de 3% 
ao mês. 
a) R$ 92,73 
b) R$ 84,86 
c) R$ 87,33 
d) R$ 90,00 
e) R$ 82,57 
Resolução 
Valor de face é o mesmo que valor nominal. 
Vejamos a expressão do desconto racional composto: 
(1 )nN A i= ⋅ + 
(1 )n
NA
i
= + 
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( 1)
11.000 1.000
(1 ) n i n in
A a a
i ¬ − ¬
⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ −⎣ ⎦+ 
[ ]3 3% 2 3%1.000A a a¬ ¬= ⋅ − 
Vejamos a tabela fornecida na prova. 
 
Assim, 
[ ]3 3% 2 3%1.000A a a¬ ¬= ⋅ − 
[ ]1.000 2,828611 1,913469A = ⋅ − 
1.000 0,915142A = ⋅ 
915,14A = 
Dessa forma, o valor do desconto é 1.000 – 915,14 = 84,86 
Letra B 
12. (Fiscal de Rendas – SP 2009/FCC) Um título é descontado dois anos antes 
de seu vencimento, a uma taxa positiva ݅ ao ano. Se for utilizado o desconto 
racional composto, o valor atual do título é igual a R$ 25.000,00 e, se for 
utilizado o desconto comercial composto, o valor atual é igual a R$ 23.040,00. 
O valor nominal deste título é igual a 
a) R$ 40.000,00 
b) R$ 36.000,00 
c) R$ 34.000,00 
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d) R$ 32.000,00 
e) R$ 30.000,00 
Resolução 
1º) Desconto Racional Composto 
ܰ ൌ ܣ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ 
ܰ ൌ 25.000 · ሺ1 ൅ ݅ሻଶ 
2º) Desconto Comercial Composto 
ܣ ൌ ܰ · ሺ1 െ ݅ሻ௡ 
ܰ ൌ
ܣ
ሺ1 െ ݅ሻ௡
 
ܰ ൌ
23.040
ሺ1 െ ݅ሻଶ
 
Como o valor nominal é o mesmo nos dois descontos, podemos igualar as 
duas expressões obtidas: 
25.000 · ሺ1 ൅ ݅ሻଶ ൌ
23.040
ሺ1 െ ݅ሻଶ
 
ሺ1 െ ݅ሻଶ · ሺ1 ൅ ݅ሻଶ ൌ
23.040
25.000
 
ඥሺ1 െ ݅ሻଶ · ሺ1 ൅ ݅ሻଶ ൌ ඨ
2.304
2.500
 
ሺ1 െ ݅ሻ · ሺ1 ൅ ݅ሻ ൌ
48
50
 
1 െ ݅ଶ ൌ 0,96 
݅ଶ ൌ 0,04 
݅ ൌ 0,2 
Sabemos que: 
ܰ ൌ 25.000 · ሺ1 ൅ ݅ሻଶܰ ൌ 25.000 · ሺ1 ൅ 0,2ሻଶ ൌ 36.000 
Letra B 
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3.5 Demonstração da fórmula dos valores tabelados 
Queremos mostrar que ( 1)
1
(1 )n i n i n
a a
i¬ − ¬
− = + . 
1
( 1) 1
(1 ) 1 (1 ) 1
(1 ) (1 )
n n
n i n i n n
i ia a
i i i i
−
¬ − ¬ −
+ − + −− = −⋅ + ⋅ + 
Para subtrair frações de denominadores diferentes, devemos calcular o m.m.c. 
dos denominadores. Em seguida, dividir o m.m.c. por cada denominador e 
multiplicar pelo numerador. Observe que 1
(1 ) 1
(1 )
n
n
i i i
i i −
⋅ + = +⋅ + 
11
( 1) 1
(1 ) 1 (1 ) 1 (1 )(1 ) 1 (1 ) 1
(1 ) (1 ) (1 )
n nn n
n i n i n n n
i i ii ia a
i i i i i i
−−
¬ − ¬ −
⎡ ⎤+ − − + − ⋅ ++ − + − ⎣ ⎦− = − =⋅ + ⋅ + ⋅ + 
( 1)
(1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 1
(1 ) (1 )
n n n n
n i n i n n
i i i i i ia a
i i i i¬ − ¬
+ − − + + + + − + − + +− = =⋅ + ⋅ + 
( 1)
(1 ) (1 ) 1 1
(1 ) (1 )
n n
n i n i n n
i i i ia a
i i i i¬ − ¬
+ − + − + +− = =⋅ + ⋅ + 
( 1)
1
(1 )n i n i n
a a
i¬ − ¬
− = + 
4 Equivalência Composta de Capitais 
 
4.1 Conceito 
 
Dois ou mais conjuntos de capitais, com datas diferentes, são ditos 
equivalentes quando, transportados para uma mesma data, a uma mesma taxa 
de juros, produzem, nessa data, valores iguais. 
Praticamente não há diferenças nos problemas de equivalências entre os dois 
regimes: simples e composto. O que vai mudar é a natureza da taxa. 
O problema precisa deixar claro outras duas informações: a taxa de juros e a 
data focal. A taxa de juros já é nossa conhecida. E o que é a data focal? É a 
data de referência. 
Qual a necessidade de existir uma data de referência? 
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Não é permitido em Matemática Financeira comparar valores que estão em 
datas diferentes. 
Temos, na equivalência composta de capitais, uma informação que nos ajudará 
bastante. 
Em juros compostos, se dois conjuntos de capitais são equivalentes em 
determinada data focal, então eles também serão equivalentes em qualquer 
outra data focal. Isso não ocorre a juros simples. 
Assim, para resolver os problemas de equivalência composta de capitais, 
podemos escolher qualquer data para ser a data focal. 
Além disso, temos um fato importante: todas as questões de equivalência 
composta de capitais serão resolvidas utilizando o DESCONTO RACIONAL 
COMPOSTO. Ou seja, trabalharemos com taxa de juros compostos. 
Vejamos a fórmula do montante composto: 
(1 )nM C i= ⋅ + 
Para facilitar o entendimento, chamaremos o montante de valor futuro e 
representaremos por F. O capital inicial será chamado de valor atual e 
será indicado por A. 
Assim, 
(1 )
(1 )
n
n
FF A i A
i
= ⋅ + ⇔ = + 
No fundo, só há um único problema de Matemática Financeira: deslocar 
quantias no tempo. 
 
Essa é a fórmula fundamental de equivalência de capitais: 
i) Para obter o valor futuro, basta multiplicar o atual por (1 )ni+ . 
ii) Para obter o valor atual, basta dividir o futuro por (1 )ni+ . 
 
Ou seja, para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )ni+ . 
Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )ni+ . 
4.2 Exercícios Resolvidos 
 
13. (Aneel 2004 ESAF) Carlos contraiu um empréstimo que deverá ser pago da 
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seguinte forma: dois anos após a data do fechamento do negócio, R$ 
20.000,00; três anos após a data do fechamento do negócio, R$ 30.000,00. 
Sabendo que o empréstimo foi contraído a uma taxa de juros compostos de 3% 
ao mês, conclui-se que Carlos tomou emprestada, em reais, a quantia de: 
a) 24 36
20.000 30.000
1,03 1,03
+ 
b) 2 3
20.000 30.000
1,03 1,03
+ 
c) 2 31,03 20.000 1,03 30.000× + × 
d) 21,03 20.000 1,03 30.000× + × 
e) 2,06 20.000 3,09 30.000× + × 
Resolução 
Temos o seguinte “desenho” do problema. 
 
A quantia que Carlos tomou emprestada está na data 0 (presente). O valor de 
X reais na data 0 equivale a R$ 20.000,00 daqui a 2 anos (24 meses) mais R$ 
30.000,00 daqui a 3 anos (36 meses). 
E como calcularemos o valor de X? 
 
Obviamente o valor de X não é igual a R$ 50.000,00 (R$ 20.000,00 + R$ 
30.000,00). Isso porque não podemos comparar quantias em épocas 
diferentes. Devemos transportar esses valores na linha do tempo. Para isso, 
lembre o fato de que 
 
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Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )ni+ . 
Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )ni+ . 
 
No nosso caso, estamos interessados em transportar valores do futuro para o 
presente. Para isso devemos dividir esses valores por (1 )ni+ . 
Ou seja, R$ 20.000,00 daqui a dois anos valem hoje ( )24 24
20.000 20.000
1,031 0,03
=+ . 
Assim como R$ 30.000,00 daqui a três anos valem hoje ( )36 36
30.000 30.000
1,031 0,03
=+
. 
Dessa forma, 24 36
20.000 30.000
1,03 1,03
X = + . 
Letra A 
14. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) Uma dívida é composta de duas parcelas de R$ 
2.000,00 cada, com vencimentos daqui a 1 e 4 meses. Desejando-se substituir 
essas parcelas por um pagamento único daqui a 3 meses, se a taxa de juros é 
2% ao mês, o valor desse pagamento único é: (Despreze os centavos na 
resposta.) 
a) R$ 2.122,00. 
b) R$ 1.922,00. 
c) R$ 4.041,00. 
d) R$ 3.962,00. 
e) R$ 4.880,00. 
 
Resolução 
Temos o seguinte “desenho” do problema: 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
4 1
3 
2.000,00  2.000,00 
X 
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Devemos efetuar o transporte das quantias para a data 3. 
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )ni+ . 
Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )ni+ . 
Dessa forma: 
ܺ ൌ 2.000 · ሺ1 ൅ 0,02ሻଶ ൅
2.000
ሺ1 ൅ 0,02ሻଵ
ൌ 4.041,58 
Letra C 
 
15. (AFC – STN 2005 ESAF) Uma imobiliária coloca à venda um apartamento 
por R$ 85.000,00 a vista. Como alternativa, um comprador propõe uma entrada 
de R$ 15.000,00 e mais três parcelas: duas iguais e uma de R$ 30.000,00. 
Cada uma das parcelas vencerá em um prazo a contar do dia da compra. A 
primeira parcela vencerá no final do sexto mês. A segunda, cujo valor é de R$ 
30.000,00, vencerá no final do décimo segundo mês, e a terceira no final do 
décimo oitavo mês. A transação será realizada no regime de juros compostos a 
uma taxa de 4% ao mês. Se a imobiliária aceitar essa proposta, então o valor 
de cada uma das parcelas iguais, desconsiderando os centavos, será igual a: 
a) R$ 35.000,00 
b) R$ 27.925,00 
c) R$ 32.500,00 
d) R$ 39.925,00 
e) R$ 35.500,00 
Resolução 
Temos o seguinte “desenho” do problema. 
 
Queremos calcular o valor da prestação X de modo que pagar R$ 85.000,00 
hoje seja o mesmo que pagar (seja equivalente) R$ 15.000,00 hoje, mais X 
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reais daqui a 6 meses, mais R$ 30.000,00 daqui a 12 meses, mais X reais 
daqui a 18 meses. 
Não podemos comparar quantias em épocasdiferentes. Para isso, devemos 
escolher alguma data como referência. No regime composto, você pode 
escolher qualquer data para servir como referência. Dê preferência à última 
data (aquela que está na extrema direita do desenho). Isso porque estamos 
deslocando quantias na linha do tempo. E sabemos que 
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )ni+ . 
Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )ni+ . 
E é fato que preferimos multiplicar por (1 )ni+ a dividir por (1 )ni+ . Assim, nossa 
estratégia será transportar todos os valores para o futuro. 
Temos dois conjuntos de capitais: 
- A proposta do comprador (as quatro parcelas). 
- A proposta da imobiliária (pagar R$ 85.000,00 a vista). 
Utilizaremos como data focal o 18º mês. 
Vamos efetuar o transporte de cada uma dessas quantias para o 18º mês. 
Para transportar R$ 85.000,00 (data 0) para o 18º mês devemos multiplicar por 
18(1 )i+ . 
Para transportar R$ 15.000,00 (data 0) para o 18º mês devemos multiplicar por 
18(1 )i+ . 
Para transportar X reais (6º mês) para o 18º mês devemos multiplicar por 
12(1 )i+ . 
Para transportar R$ 30.000,00 (12º mês) para o 18º mês devemos multiplicar 
por 6(1 )i+ . 
Não precisamos transportar X reais (18º mês), pois ele já está na data 
focal. 
Temos então a seguinte equação de equivalência de capitais: 
18 18 12 685.000 1,04 15.000 1,04 1,04 30.000 1,04X X⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + 
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85.000 2,025816 15.000 2,025816 1,601032 30.000 1,265319X X⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + 
172.194,36 30.387, 24 1,601032 37.959,57X X= + ⋅ + + 
1,601032 172.194,36 30.387, 24 37.959,57X X⋅ + = − − 
2,601032 103.847,55X⋅ = 
103.847,55
2,601032
X = 
39.925,52X = 
Letra D 
16. (AFC – STN 2005 ESAF) Um carro pode ser financiado no regime de juros 
compostos em dois pagamentos. Uma entrada de R$ 20.000,00 e uma parcela 
de R$ 20.000,00 seis meses após a entrada. Um comprador propõe como 
segunda parcela o valor de R$ 17.000,00, que deverá ser pago oito meses 
após a entrada. Sabendo-se que a taxa contratada é de 2% ao mês, então, 
sem considerar os centavos, o valor de entrada deverá ser igual a: 
a) R$ 23.455,00 
b) R$ 23.250,00 
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c) R$ 24.580,00 
d) R$ 25.455,00 
e) R$ 26.580,00 
Resolução 
Temos o seguinte “desenho” do problema. 
 
O problema se resume no seguinte: 
Dar uma entrada de X reais e efetuar um pagamento de R$ 17.000,00 daqui a 
8 meses é o mesmo que (é equivalente a) dar uma entrada de R$ 20.000,00 
e efetuar um pagamento de R$ 20.000,00 daqui a 6 meses. 
Não podemos comparar quantias em épocas diferentes. Para isso, devemos 
escolher alguma data como referência. No regime composto, você pode 
escolher qualquer data para servir como referência. Dê preferência à última 
data (aquela que está na extrema direita do desenho). Isso porque estamos 
deslocando quantias na linha do tempo. E sabemos que 
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )ni+ . 
Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )ni+ . 
E é fato que preferimos multiplicar por (1 )ni+ a dividir por (1 )ni+ . Assim, nossa 
estratégia será transportar todos os valores para o futuro! 
Temos dois conjuntos de capitais: 
Utilizaremos como data focal o 8º mês. 
Vamos efetuar o transporte de cada uma dessas quantias para o 8º mês. 
Para transportar R$ 20.000,00 (data 0) para o 8º mês devemos multiplicar por 
8(1 )i+ . 
Para transportar R$ 20.000 (6º mês) para o 8º mês devemos multiplicar por 
2(1 )i+ . 
Para transportar X reais (data 0) para o 8º mês devemos multiplicar por 8(1 )i+ . 
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Não precisamos transportar R$ 17.000,00 (8º mês), pois ele já está na data 
focal. 
Temos então a seguinte equação de equivalência de capitais: 
8 8 21,02 17.000 20.000 1,02 20.000 1,02X ⋅ + = ⋅ + ⋅ 
8 8 21,02 17.000 20.000 1,02 20.000 1,02X ⋅ + = ⋅ + ⋅
 
Utilizaremos o valor dessa tabela. 
81,02 17.000 20.000 1,171659 20.000 1,0404X ⋅ + = ⋅ + ⋅ 
81,02 23.433,18 20.808 17.000X ⋅ = + − 
81,02 27.241,18X ⋅ = 
8 8
27.241,18 127.241,18
1,02 1,02
X = = ⋅ 
Utilizando o fato de que ( 1)
1
(1 ) n i n in
a a
i ¬ − ¬
= −+ 
8 2% 7 2%8
1
(1 2%)
a a¬ ¬= −+ 
8 2% 7 2%8
1
1,02
a a¬ ¬= − 
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8
1 7,325481 6,471991
1,02
= −
 
 
 
Assim, 
27.241,18 0,85349X = ⋅ 
23.250,07X = 
Letra B 
17. (AFRF 2001/ESAF) Uma empresa deve pagar R$20.000,00 hoje, 
R$10.000,00 ao fim de trinta dias e R$31.200,00 ao fim de noventa dias. Como 
ela só espera contar com os recursos necessários dentro de sessenta dias e 
pretende negociar um pagamento único ao fim desse prazo, obtenha o capital 
equivalente que quita a dívida ao fim dos sessenta dias, considerando uma 
taxa de juros compostos de 4% ao mês. 
a) R$ 62.200,00 
b) R$ 64.000,00 
c) R$ 63.232,00 
d) R$ 62.032,00 
e) R$ 64.513,28 
Resolução 
Há duas alternativas de pagamento: 
i) Pagar R$ 20.000,00 hoje, R$ 10.000,00 ao fim de trinta dias (1 mês) e R$ 
31.200,00 ao fim de noventa dias (3 meses). 
ii) Pagamento único ao fim de sessenta dias (2 meses). 
8
1 0,85349
1,02
=
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Eis o desenho da questão: 
 
 
 
 
 
Devemos efetuar o transporte das quantias para a data 2. 
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )ni+ . 
Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )ni+ . 
Dessa forma: 
ܺ ൌ 20.000 · ሺ1 ൅ 0,04ሻଶ ൅ 10.000 · ሺ1 ൅ 0,04ሻଵ ൅
31.200
ሺ1 ൅ 0,04ሻଵ
 
ܺ ൌ 21.632 ൅ 10.400 ൅ 30.000 
ܺ ൌ 62.032,00 
Letra D 
18. (Auditor Fiscal de Fortaleza 2003/ESAF) Qual o capital hoje que é 
equivalente, a uma taxa de juros compostos de 10% ao semestre, a um capital 
de R$ 100.000,00 que venceu há um ano mais um capital de R$ 110.000,00 
que vai vencer daqui a seis meses? 
a) R$ 210.000,00 
b) R$ 220.000,00 
c) R$ 221.000,00 
d) R$ 230.000,00 
e) R$ 231.000,00 
 
Resolução 
 
Já que a taxa fornecida é semestral, coloquemos os prazos expressos em 
semestres. 
 
O primeiro capital venceu há um ano, portanto 2 semestres. 
O segundo capital vencerá daqui a 6 meses, portanto 1 semestre. 
 
 
 
Eis o desenho da questão: 
 
 
3 
X 
2 
10
10.000,00 20.000,00 
31.200,00 
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Devemos efetuar o transporte das quantias para a data 0. 
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )ni+ . 
Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )ni+ . 
Dessa forma: 
ܺ ൌ 100.000 · ሺ1 ൅ 0,10ሻଶ ൅
110.000
ሺ1 ൅ 0,10ሻଵ
 
ܺ ൌ 121.000 ൅ 100.000 
ܺ ൌ 221.000,00 
Letra C 
19. (AFTE-RO 2010 FCC) A compra de um equipamento por uma indústria 
poderá ser feita por uma das duas opções seguintes: à vista por R$ 41.600,00 
ou em duas prestações anuais e consecutivas devalores iguais, vencendo a 
primeira um ano após a data da compra. Considerando-se uma taxa de juros 
compostos de 8% ao ano e o critério do desconto composto real, tem-se que o 
valor de cada prestação referente à segunda opção que torna equivalentes, na 
data da compra, as duas opções é 
 
a) R$ 20.400,00 
b) R$ 20.800,00 
c) R$ 21.600,00 
d) R$ 22.064,00 
e) R$ 23.328,00 
 
Resolução 
 
Questão sobre equivalência de capitais. 
 
É sempre importante construir o “desenho” da questão. Ei-lo: 
semestres 
110.000,00 
1
0
‐2 
100.000,00 
X
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Não podemos comparar quantias em épocas diferentes. Para isso, devemos 
escolher alguma data como referência. No regime composto, você pode 
escolher qualquer data para servir como referência. Dê preferência à última 
data (aquela que está na extrema direita do desenho). Isso porque estamos 
deslocando quantias na linha do tempo. E sabemos que 
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )ni+ . 
Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )ni+ . 
E é fato que preferimos multiplicar por (1 )ni+ a dividir por (1 )ni+ . Assim, nossa 
estratégia será transportar todos os valores para o futuro. 
Temos dois conjuntos de capitais: 
- As duas parcelas de X reais. 
- O valor a vista de R$ 41.600,00 
Utilizaremos como data focal o 2º ano. 
Vamos efetuar o transporte de cada uma dessas quantias para o 2º ano. 
Para transportar R$ 41.600,00 (data 0) para o 2º mês devemos multiplicar por 
2(1 )i+ . 
Para transportar X reais (data 1) para o 2º ano devemos multiplicar por 1(1 )i+ . 
Não precisamos transportar X reais (2º ano), pois ele já está na data focal. 
Temos então a seguinte equação de equivalência de capitais: 
1 21,08 41.600 1,08X X⋅ + = ⋅ 
2,08 48.522,24X⋅ = 
23.328,00X = 
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Letra E 
20. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) Uma rede de lojas, que atua na venda de 
eletroeletrônicos, anuncia a venda de notebook da seguinte forma: 
 
- R$ 1.125,00 à vista em boleto bancário; ou 
- 3 prestações mensais iguais, sem juros, de R$ 450,00, vencendo a primeira 
prestação no ato da compra. 
 
Embora na propaganda seja utilizada a expressão “sem juros”, os clientes que 
escolhem a segunda opção pagam juros ao mês de, aproximadamente: 
(Utilize se necessário: √7 ൌ 2,646.) 
 
a) 13,5% 
b) 20,0% 
c) 21,5% 
d) 19,0% 
e) 9,5% 
 
Resolução 
 
Eis o “desenho” da questão. 
 
 
 
 
 
 
 
Efetuemos o transporte dos valores para a data 0. As duas formas de 
pagamento devem ser equivalentes nesta data. 
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )ni+ . 
Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )ni+ . 
 
1.125 ൌ 450 ൅
450
ሺ1 ൅ ݅ሻଵ
൅
450
ሺ1 ൅ ݅ሻଶ
 
675 െ
450
ሺ1 ൅ ݅ሻଵ
െ
450
ሺ1 ൅ ݅ሻଶ
ൌ 0 
450,00 450,00 450,00 
1.125,00 
0 
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Para facilitar os cálculos, adotemos que 1 ൅ ݅ ൌ ݔ 
675 െ
450
ݔଵ
െ
450
ݔଶ
ൌ 0 
675 · ݔଶ െ 450 · ݔ െ 450
ݔଶ
ൌ 0 
675 · ݔଶ െ 450 · ݔ െ 450 ൌ 0 
Simplificando os termos por 225: 
3 · ݔଶ െ 2 · ݔ െ 2 ൌ 0 
ݔ ൌ
െܾ േ √ܾଶ െ 4ܽܿ
2ܽ
 
ݔ ൌ
െሺെ2ሻ േ ඥሺെ2ሻଶ െ 4 · 3 · ሺെ2ሻ
2 · 3
 
ݔ ൌ
2 േ √28
6
 
Observe que o enunciado sugeriu utilizar √7 ൌ 2,646. 
Assim, √28 ൌ √4 · 7 ൌ √4 · √7 ൌ 2 · 2,646 ൌ 5,292 
ݔ ൌ
2 േ 5,292
6
 
Como ݔ ൐ 0, 
ݔ ൌ
2 ൅ 5,292
6
 
ݔ ؆ 1,215 
1 ൅ ݅ ؆ 1,215 
݅ ؆ 0,215 ൌ 21,5% 
Letra C 
21. (AFTE-RO 2010 FCC) Considere o fluxo de caixa abaixo referente a um 
projeto em que o desembolso inicial foi de R$ 25.000,00. A uma taxa de 
atratividade de 20% ao ano, o índice de lucratividade apresenta um valor de 
1,176. 
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O valor de X é igual a 
 
a) R$ 17.280,00 
b) R$ 15.000,00 
c) R$ 14.400,00 
d) R$ 13.200,00 
e) R$ 12.000,00 
 
Resolução 
 
Desembolsando R$ 25.000,00 a um índice de lucratividade igual a 1,176, 
então o valor apurado no projeto (na data 0) é igual a 25.000 x 1,176 = 
29.400. Adotando a data focal como a data 0, então devemos transportar 
os recebimentos para a data 0 e igualar a R$ 29.400,00. 
 
Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )ni+ . 
Para transportar X reais (data 1) para a data 0 devemos dividir por 1(1 )i+ . 
Para transportar R$ 21.600,00 (data 2) para a data 0 devemos dividir por 
2(1 )i+ . Temos a seguinte equação de equivalência de capitais. 
1 2
21.600 29.400
(1 ) (1 )
X
i i
+ =+ + 
Como a taxa de atratividade é de 20% ao ano: 
2
21.600 29.400
1,20 1,20
X + = 
15.000 29.400
1,20
X + = 
14.400
1,20
X = 
1,20 14.400X = ⋅ 
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17.280,00X = 
Letra A 
22. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Uma empresa parcela a venda de seus produtos 
que podem ser financiados em duas vezes, por meio de uma série uniforme de 
pagamentos postecipada. A taxa de juros efetiva cobrada é de 10% ao mês no 
regime de juros compostos e o cálculo das parcelas é feito considerando-se os 
meses com 30 dias. Se um indivíduo comprar um produto por R$ 1.000,00, o 
valor de cada prestação mensal será: 
(A) R$ 525,68. 
(B) R$ 545,34. 
(C) R$ 568,24. 
(D) R$ 576,19. 
(E) R$ 605,00. 
Resolução 
 
 
 
 
Escolhendo a data 2 como data focal. Para transportar uma quantia para o 
futuro devemos multiplicar o seu valor por ሺ1 ൅ ݅ሻ௡. 
A equação da equivalência fica: 
ܺ ൅ ܺ · ሺ1 ൅ ݅ሻଵ ൌ 1.000 · ሺ1 ൅ ݅ሻଶ 
ܺ ൅ 1,1 · ܺ ൌ 1.000 · ሺ1 ൅ 0,10ሻଶ 
2,1 · ܺ ൌ 1.210 
ܺ ൌ 576,19 
Letra D 
 
X X 
2 1 
0 
1.000,00 
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5 Relação das questões comentadas nesta aula 
 
01. (EBDA 2006/CETRO) Numa P.G, de termos positivos, O primeiro termo é 
igual a 5 e o sétimo termo é 320. Somando os dez primeiros termos dessa PG, 
obtém-se: 
 
(A) 5.000 
(B) 5.115 
(C) 4.995 
(D) 5.015 
(E) 4.895 
02. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um título é descontado dois anos antes de 
seu vencimento segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa 
de juros compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$ 
20.000,00. Caso este título tivesse sido descontado segundo o critério do 
desconto comercial composto, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual 
seria de 
a) R$ 21.780,00 
b) R$ 21.600,00 
c) R$ 20.702,00 
d) R$ 19.804,00 
e) R$ 19.602,00 
03. (SUSEP 2010/ESAF) Um título sofre um desconto racional composto dois 
meses antes do seu vencimento a uma taxa de 5% ao mês. Dado 
que o valor do desconto é R$ 10 000,00, qual o valor mais próximo do valor 
nominal do título? 
 
a) R$ 100 000,00. 
b) R$ 107 561,00. 
c) R$ 102 564,00. 
d) R$ 97 561,00. 
e) R$ 110 000,00. 
 
04. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um título com o valor de R$ 
50.000 e 2 anos para o vencimento é descontado, no regime de juros 
compostos, com uma taxa de desconto comercialde 20% ao ano. O valor do 
desconto composto é, então, 
a) R$ 10.000,00 
b) R$ 18.000,00 
c) R$ 22.653,86 
d) R$ 24.000,00 
e) R$ 20.000,00 
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05. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Com relação aos conceitos 
de desconto bancário e comercial, nos regimes de juros simples e compostos, 
analise as afirmativas a seguir: 
 
I. A fórmula do Desconto Racional, no regime de juros simples, é dada por: 
ܦ݁ݏܿ݋݊ݐ݋ ൌ ௏ி
௡௜
, em que VF é o valor futuro, n é o número de períodos e i é a 
taxa de juros. 
 
II. A relação entre a taxa de desconto racional (i) e a taxa de desconto 
comercial (d), ambas no regime de juros simples, é expressa por 
݀ ൌ
݅
1 ൅ ݅݊
, 
Em que n é o número de períodos. 
 
III. A relação entre Valor Presente (VP) e Valor Futuro (VF), no regime de juros 
compostos e usando-se a taxa de desconto comercial, é expressa por: 
ܸܲ ൌ ܸܨ ڄ ሺ1 െ ݀ሻ௡, 
Em que n é o número de períodos. 
 
Assinale 
 
a) se somente a afirmativa III estiver correta. 
b) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. 
c) se todas as afirmativas estiverem corretas. 
d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. 
e) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. 
 
06. (AFRF 2001 ESAF) Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro meses 
antes de seu vencimento. Calcule o desconto obtido considerando um 
desconto racional composto de 3% ao mês. 
a) R$ 140,00 
b) R$ 104,89 
c) R$ 168,00 
d) R$ 93,67 
e) R$ 105,43 
07. (Analista de Compras de Recife 2003 – ESAF) Um título é descontado por 
R$ 10.000,00 quatro meses antes de seu vencimento a uma taxa de 3% ao 
mês. Calcule o valor nominal do título considerando que o desconto usado foi o 
desconto racional composto. Despreze os centavos. 
a) R$ 11.255,00 
b) R$ 11.295,00 
c) R$ 11.363,00 
d) R$ 11.800,00 
e) R$ 12.000,00 
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08. (AFRF 2002 ESAF) Um título sofre um desconto composto racional de R$ 
6.465,18 quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo 
do valor descontado do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% ao 
mês. (dado que 1,054 = 1,215506) 
a) R$ 25.860,72 
b) R$ 28.388,72 
c) R$ 30.000,00 
d) R$ 32.325,90 
e) R$ 36.465,18 
09. (CEF 2008 CESGRANRIO) Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será 
descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto 
de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor 
do desconto racional composto. A diferença D – d, em reais, vale 
a) 399,00 
b) 398,00 
c) 397,00 
d) 396,00 
e) 395,00 
10. (MDIC – 2002 ESAF) Um título deveria sofrer um desconto comercial 
simples de R$ 672,00 quatro meses antes do seu vencimento. Todavia uma 
negociação levou à troca do desconto comercial simples por um desconto 
racional composto. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de 
3% ao mês. 
a) R$ 600,00 
b) R$ 620,15 
c) R$ 624,47 
d) R$ 643,32 
e) R$ 672,00 
11. (APOFP – SEFAZ – SP 2009 ESAF) Um título no valor de face de R$ 
1.000,00 deve ser descontado três meses antes do seu vencimento. Calcule o 
valor mais próximo do desconto racional composto à taxa de desconto de 3% 
ao mês. 
a) R$ 92,73 
b) R$ 84,86 
c) R$ 87,33 
d) R$ 90,00 
e) R$ 82,57 
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12. (Fiscal de Rendas – SP 2009/FCC) Um título é descontado dois anos antes 
de seu vencimento, a uma taxa positiva ݅ ao ano. Se for utilizado o desconto 
racional composto, o valor atual do título é igual a R$ 25.000,00 e, se for 
utilizado o desconto comercial composto, o valor atual é igual a R$ 23.040,00. 
O valor nominal deste título é igual a 
a) R$ 40.000,00 
b) R$ 36.000,00 
c) R$ 34.000,00 
d) R$ 32.000,00 
e) R$ 30.000,00 
13. (Aneel 2004 ESAF) Carlos contraiu um empréstimo que deverá ser pago da 
seguinte forma: dois anos após a data do fechamento do negócio, R$ 
20.000,00; três anos após a data do fechamento do negócio, R$ 30.000,00. 
Sabendo que o empréstimo foi contraído a uma taxa de juros compostos de 3% 
ao mês, conclui-se que Carlos tomou emprestada, em reais, a quantia de: 
a) 24 36
20.000 30.000
1,03 1,03
+ 
b) 2 3
20.000 30.000
1,03 1,03
+ 
c) 2 31,03 20.000 1,03 30.000× + × 
d) 21,03 20.000 1,03 30.000× + × 
e) 2,06 20.000 3,09 30.000× + × 
14. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) Uma dívida é composta de duas parcelas de R$ 
2.000,00 cada, com vencimentos daqui a 1 e 4 meses. Desejando-se substituir 
essas parcelas por um pagamento único daqui a 3 meses, se a taxa de juros é 
2% ao mês, o valor desse pagamento único é: (Despreze os centavos na 
resposta.) 
 
a) R$ 2.122,00. 
b) R$ 1.922,00. 
c) R$ 4.041,00. 
d) R$ 3.962,00. 
e) R$ 4.880,00. 
 
15. (AFC – STN 2005 ESAF) Uma imobiliária coloca à venda um apartamento 
por R$ 85.000,00 a vista. Como alternativa, um comprador propõe uma entrada 
de R$ 15.000,00 e mais três parcelas: duas iguais e uma de R$ 30.000,00. 
Cada uma das parcelas vencerá em um prazo a contar do dia da compra. A 
primeira parcela vencerá no final do sexto mês. A segunda, cujo valor é de R$ 
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30.000,00, vencerá no final do décimo segundo mês, e a terceira no final do 
décimo oitavo mês. A transação será realizada no regime de juros compostos a 
uma taxa de 4% ao mês. Se a imobiliária aceitar essa proposta, então o valor 
de cada uma das parcelas iguais, desconsiderando os centavos, será igual a: 
a) R$ 35.000,00 
b) R$ 27.925,00 
c) R$ 32.500,00 
d) R$ 39.925,00 
e) R$ 35.500,00 
16. (AFC – STN 2005 ESAF) Um carro pode ser financiado no regime de juros 
compostos em dois pagamentos. Uma entrada de R$ 20.000,00 e uma parcela 
de R$ 20.000,00 seis meses após a entrada. Um comprador propõe como 
segunda parcela o valor de R$ 17.000,00, que deverá ser pago oito meses 
após a entrada. Sabendo-se que a taxa contratada é de 2% ao mês, então, 
sem considerar os centavos, o valor de entrada deverá ser igual a: 
a) R$ 23.455,00 
b) R$ 23.250,00 
c) R$ 24.580,00 
d) R$ 25.455,00 
e) R$ 26.580,00 
17. (AFRF 2001/ESAF) Uma empresa deve pagar R$20.000,00 hoje, 
R$10.000,00 ao fim de trinta dias e R$31.200,00 ao fim de noventa dias. Como 
ela só espera contar com os recursos necessários dentro de sessenta dias e 
pretende negociar um pagamento único ao fim desse prazo, obtenha o capital 
equivalente que quita a dívida ao fim dos sessenta dias, considerando uma 
taxa de juros compostos de 4% ao mês. 
a) R$ 62.200,00 
b) R$ 64.000,00 
c) R$ 63.232,00 
d) R$ 62.032,00 
e) R$ 64.513,28 
18. (Auditor Fiscal de Fortaleza 2003/ESAF) Qual o capital hoje que é 
equivalente, a uma taxa de juros compostos de 10% ao semestre, a um capital 
de R$ 100.000,00 que venceu há um ano mais um capital de R$ 110.000,00 
que vai vencer daqui a seis meses? 
a) R$ 210.000,00 
b) R$ 220.000,00 
c) R$ 221.000,00 
d) R$ 230.000,00 
e) R$ 231.000,00 
 
19. (AFTE-RO 2010 FCC) A compra de um equipamento por uma indústria 
poderá ser feita por uma das duas opções seguintes: à vista por R$ 41.600,00 
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ou em duasprestações anuais e consecutivas de valores iguais, vencendo a 
primeira um ano após a data da compra. Considerando-se uma taxa de juros 
compostos de 8% ao ano e o critério do desconto composto real, tem-se que o 
valor de cada prestação referente à segunda opção que torna equivalentes, na 
data da compra, as duas opções é 
 
a) R$ 20.400,00 
b) R$ 20.800,00 
c) R$ 21.600,00 
d) R$ 22.064,00 
e) R$ 23.328,00 
 
20. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) Uma rede de lojas, que atua na venda de 
eletroeletrônicos, anuncia a venda de notebook da seguinte forma: 
 
- R$ 1.125,00 à vista em boleto bancário; ou 
- 3 prestações mensais iguais, sem juros, de R$ 450,00, vencendo a primeira 
prestação no ato da compra. 
 
Embora na propaganda seja utilizada a expressão “sem juros”, os clientes que 
escolhem a segunda opção pagam juros ao mês de, aproximadamente: 
(Utilize se necessário: √7 ൌ 2,646.) 
 
a) 13,5% 
b) 20,0% 
c) 21,5% 
d) 19,0% 
e) 9,5% 
 
21. (AFTE-RO 2010 FCC) Considere o fluxo de caixa abaixo referente a um 
projeto em que o desembolso inicial foi de R$ 25.000,00. A uma taxa de 
atratividade de 20% ao ano, o índice de lucratividade apresenta um valor de 
1,176. 
 
 
O valor de X é igual a 
 
a) R$ 17.280,00 
b) R$ 15.000,00 
c) R$ 14.400,00 
d) R$ 13.200,00 
e) R$ 12.000,00 
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22. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Uma empresa parcela a venda de seus produtos 
que podem ser financiados em duas vezes, por meio de uma série uniforme de 
pagamentos postecipada. A taxa de juros efetiva cobrada é de 10% ao mês no 
regime de juros compostos e o cálculo das parcelas é feito considerando-se os 
meses com 30 dias. Se um indivíduo comprar um produto por R$ 1.000,00, o 
valor de cada prestação mensal será: 
(A) R$ 525,68. 
(B) R$ 545,34. 
(C) R$ 568,24. 
(D) R$ 576,19. 
(E) R$ 605,00. 
 
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6 Gabaritos 
 
01. B 
02. E 
03. B 
04. B 
05. D 
06. E 
07. A 
08. C 
09. B 
10. C 
11. B 
12. B 
13. A 
14. C 
15. D 
16. B 
17. D 
18. C 
19. E 
20. C 
21. A 
22. D