Análise de Circuitos Elétricos

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Prof. Paulo Ricardo 
Análise e Teorema de Circuitos 
Aula 05 
Ramos de um Circuito 
 Ramo: caminho direto percorrido por uma corrente 
elétrica. Contém componente simples como 
resistores, fontes, capacitores, etc. 
 
R1
C1 L1
V1
R2 R3
R4 R5
L2R6
C2
R7
Nós em um Circuito 
 Nó: conexão entre dois ramos, ponto onde a 
corrente elétrica se divide. Um nó engloba todos os 
pontos de mesmo potencial. 
 
R1
C1 L1
V1
R2 R3
R4 R5
L2R6
C2
R7
Laços em um Circuito 
 Laço: caminho fechado percorrido por uma 
corrente elétrica. Um circuito pode conter 
vários laços. 
 
R1
C1 L1
V1
R2 R3
R4 R5
L2R6
C2
R7
Malhas em um Circuito 
 Malha: laço que não possui caminhos 
fechados em seu interior. Um laço pode 
conter várias malhas. 
 
R1
C1 L1
V1
R2 R3
R4 R5
L2R6
C2
R7
Equivalência de Fontes 
 Uma fonte de tensão com uma resistência em 
série é equivalente a um fonte de corrente 
com uma resistência em paralelo. 
 I1
R6
IO3
IO4
IO1
R1
V1
IO2𝑉 
𝑅 
𝑉
𝑅
 𝑅 
I1
R6
IO3
IO4𝐼 𝑅 
IO1
R1
V1
IO2
𝐼𝑅 
𝑅 
Antes de Prosseguir... 
Instrumentos de Medição de 
Corrente e Tensão 
 Voltímetro analógico: 
 
 
 
 
 
 Amperímetro analógico: 
a b 
+ 
V 
_ 
Vab 
a b 
I 
+ 
A 
_ 
Instrumentos de Medição de 
Corrente e Tensão 
 A conexão dos instrumentos em um circuito é normalmente 
subentendida e, portanto, raramente indicada explicitamente 
nos diagramas de circuitos eletrônicos. 
 
 
 
 
 As anotações de valores de correntes e tensões nos diagramas 
de circuitos são usualmente feitas com sinais + e -. 
 
 
 
V
I
R1
A
V
+
_
+
_
V
I
R1
+
_
+
_
VR1 = R1 I
Polaridade real do circuito 
Polaridade real do instrumento 
Conexão de Multímetros em 
Diagramas de Circuitos 
 A corrente indicada no instrumento terá um valor positivo se o 
sentido indicado pelo amperímetro for o do deslocamento 
(aparente ou real) de cargas positivas e negativo se o sentido 
indicado for o do deslocamento de cargas negativas. 
 
 Se a polaridade do instrumento for usada como referência no 
diagrama do circuito o sinal indicado no amperímetro 
corresponde ao sinal do portador de carga que se desloca no 
sentido indicado no circuito. 
 
 Desta forma evita-se confusões com conceitos como sentido de 
corrente eletrônica ou sentido de corrente convencional, pois o 
instrumento indica o sentido e o sinal do portador de carga que 
“desloca”. 
 
Conexão de Multímetros em 
Diagramas de Circuitos 
 
1
.5
k R
A
C
É
U
S
M
a
s
 A
c
a
b
a
mA
Conexão dos instrumentos 
VBBR
Amperímetro
A
Voltímetro V
1.5V
R
1k5
1.5V
-1.0mA
O sentido indicado 
pelo Amperímetro é 
de deslocamento de 
cargas negativas
Fig.b: Representação esquemática dos instrumentos 
Leis de Kirchoff e Aplicações e 
Diversas e Circuitos Elétricos... 
R1
V1
R2 R4
R3 R5
R6
R7
Lei de Kirchhoff para Correntes 
LKC 
 “A soma das correntes que entram em um nó 
é igual a soma das correntes que saem”. 
 
I4 
I7 I3 I5 
I6 
I2 I1 
𝐼1 = 𝐼2 + 𝐼3 
𝐼2 = 𝐼4 + 𝐼5 + 𝐼6 
𝐼7 = 𝐼4 + 𝐼6 
Gustav Kirchhoff 
1824 - 1887 
A ponta da seta indica o 
sentido da corrente elétrica 
R1
V1
R2 R4
R3 R5
R6
R7
Lei de Kirchhoff para Tensões 
LKT 
 “A soma algébrica das tensões em uma malha 
é igual a zero”. 
 𝑉𝐹 − 𝑉1 − 𝑉3 = 0 
𝑉3 − 𝑉2 − 𝑉5 = 0 
𝑉5 − 𝑉4 − 𝑉7 = 0 
V1 
VF V3 
V2 
V6 
V5 
V4 
V7 
𝑉4 − 𝑉6 = 0 
A ponta de seta indica o 
potencial (+) e o lado oposto o 
potencial (–) do voltímetro. 
R1
V1
R2
R4
R3
Aplicação da LKT 
 Circuito simples contendo apenas uma malha. 
 
𝑉𝐹 
VF 
V2 
V4 
V1 V3 
−𝑉1 −𝑉2 −𝑉3 −𝑉4 = 0 
I 
𝑉𝐹 − 𝑅1𝐼 − 𝑅2𝐼 − 𝑅3𝐼 − 𝑅4𝐼 = 0 
𝑉𝐹 = 𝑅1𝐼 + 𝑅2𝐼 + 𝑅3𝐼 + 𝑅4𝐼 
Divisor de Tensão 
 Qual é a queda de tensão (d.d.p.) em R1? E em R3? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O divisor de tensão permite calcular a queda de 
tensão em uma resistência sem que seja necessário 
conhecer a corrente do circuito. 
 
R1
V1
R2
R4
R3
V1 V3 
I 
𝑉1 = 𝑅1𝐼 
𝑉1 =
𝑅1
𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝑉𝐹 
𝑉3 = 𝑅3𝐼 
𝑉3 =
𝑅3
𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝑉𝐹 
𝑉𝑁 = 𝑅𝑁𝐼 
𝑉𝑁 =
𝑅𝑁
𝑅1 + 𝑅2 +⋯+ 𝑅𝑁
𝑉𝐹 
V1
R4R2R1 R3
Aplicação da LKC 
 “A soma algébrica das tensões em uma 
malha é igual a zero”. 
 
I1 I2 
IF 
I3 I4 
Ia Ib 
𝐼𝐹 = 𝐼1 + 𝐼𝑎 𝐼𝑎 = 𝐼2 + 𝐼𝑏 𝐼𝑏 = 𝐼3 + 𝐼4 
𝐼𝐹 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 + 𝐼4 
𝐼𝑎 
𝐼𝑏 
𝐼𝐹 =
𝑉1
𝑅1
+
𝑉2
𝑅2
+
𝑉3
𝑅3
+
𝑉4
𝑅4
 
 Qual é a corrente elétrica em R2? E em R4? 
 
 
 
 
 
 
 
 O divisor de corrente permite calcular a corrente 
elétrica um ramo sem que seja necessário conhecer a 
tensão do circuito. 
 
 
 
𝐼2 =
1
𝑅2
 
1
𝑅1
 + 1 𝑅2
 + 1 𝑅3 +
 1 𝑅4
 
𝐼𝐹 
Divisor de Corrente 
V1
R4R2R1 R3
I2 I4 
𝐼2 =
𝑉2
𝑅2
 
IF 
𝐼4 =
1
𝑅4
 
1
𝑅1
 + 1 𝑅2
 + 1 𝑅3 +
 1 𝑅4
 
𝐼𝐹 
𝐼4 =
𝑉4
𝑅4
 𝐼𝑁 =
1
𝑅𝑁
 
1
𝑅1
 + 1 𝑅2
 +⋯+ 1 𝑅𝑁
 
𝐼𝐹 
𝐼𝑁 =
𝑉𝑁
𝑅𝑁
 
R1
V1
R2
R5
R3
R4
Aplicações das Leis de Kirchhoff 
Exemplo 01 
 O número de equações linearmente independentes é igual ao 
número de malhas do circuito. 
 
𝑉𝐹 
VF 
VR2 
VR5 
VR1 VR3 
−𝑉1 −𝑉2 −𝑉4 = 0 
𝑉4 
𝑉𝐹 − 𝑅1𝐼𝑎 − 𝑅2𝐼𝑎 − 𝑅4𝐼𝑐 = 0 
VR4 
−𝑉3 −𝑉5 = 0 
Ic 
𝑅4𝐼𝑐 − 𝑅3𝐼𝑏 − 𝑅5𝐼𝑏 = 0 
𝐼𝑎 = 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐 
𝐼𝑐 = 𝐼𝑎 − 𝐼𝑏 
𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅4 𝐼𝑎 − 𝑅4𝐼𝑏 = 𝑉𝐹 
𝑅4𝐼𝑎 − (𝑅3 + 𝑅4 + 𝑅5)𝐼𝑏 = 0 
Ia Ib 
R1
V1
R5
R4R2
R3
R6
Aplicações das Leis de Kirchhoff 
Exemplo 02 
 Para um circuito com três malhas, tem-se três equações 
linearmente independentes: 
 
𝑉𝐹 VR3 
VR6 
VR1 VR5 
−𝑉1 −𝑉2 = 0 
−𝑉6 = 0 
𝑉2 
𝑉𝐹 − 𝑅1𝐼𝑎 − 𝑅2𝐼𝑑 = 0 
VR4 
−𝑉3 −𝑉4 = 0 
Ie 
𝑅2𝐼𝑑 − 𝑅3𝐼𝑏 − 𝑅4𝐼𝑒 = 0 
𝐼𝑎 = 𝐼𝑏 + 𝐼𝑑 
𝐼𝑏 = 𝐼𝑐 + 𝐼𝑒 
(𝑅1 + 𝑅2)𝐼𝑎 − 𝑅2𝐼𝑏 = 𝑉𝐹 
𝑅2𝐼𝑎 − (𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4)𝐼𝑏 + 𝑅4𝐼𝑐 = 0 
Ia 
VF 
Ib Ic 
VR2 
Id 
𝑉4 −𝑉5 
𝐼𝑑 = 𝐼𝑎 − 𝐼𝑏 
𝐼𝑒 = 𝐼𝑏 − 𝐼𝑐 
𝑅4𝐼𝑒 − 𝑅5𝐼𝑐 − 𝑅6𝐼𝑐 = 0 𝑅4𝐼𝑏 − (𝑅4 + 𝑅5 + 𝑅6)𝐼𝑐 = 0 
Regra de Cramer 
 A regra de Crammer auxilia na solução de sistemas equações 
linearmente independentes. Para o Exemplo 01, com R1 = 100 
Ω; R2 = 100 Ω; R3 = 150 Ω; R4 = 200 Ω; R5 = 150 Ω e VF = 12 
V, tem-se: 
𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅4 𝐼𝑎 − 𝑅4𝐼𝑏 = 𝑉𝐹 
𝑅4𝐼𝑎 − (𝑅3 + 𝑅4 + 𝑅5)𝐼𝑏 = 0 
𝐼1 =
12 −200
0 −500
400 −200
200 −500
=
12 ∙ −500 − (0 ∙ −200)
400 ∙ −500 − (200 ∙ −200 )
=
−6000
−160000
= 0,0375 𝐴 
400𝐼𝑎 − 200𝐼𝑏 = 12 
200𝐼𝑎 − 500𝐼𝑏 = 0 
𝐼2 =
400 12
200 0
400 −200
200 −500
=
400 ∙ 0 − (200 ∙ 12)
400 ∙ −500 − (200 ∙ −200 )
=
−2400
−160000
= 0,0150 𝐴 
Regra de Cramer 
 Para o Exemplo 02, com R1 = 20 Ω; R2 = 20 Ω; R3 = 15 Ω; R4 = 
20 Ω; R5 = 15 Ω; R6 = 25 Ω e VF = 50 V, tem-se: 
𝐼𝑎 =
50 −20 0 50 −20
0 −55 20 0 −55
0 20 −60 0 20
40 −20 0
20 −55 20
0 20 −60
=
145000
92000
= 1,58 𝐴 
(𝑅1 + 𝑅2)𝐼𝑎 − 𝑅2𝐼𝑏 = 𝑉𝐹 
𝑅2𝐼𝑎 − (𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4)𝐼𝑏 + 𝑅4𝐼𝑐 = 0 
𝑅4𝐼𝑏 − (𝑅4 + 𝑅5 + 𝑅6)𝐼𝑐 = 0 
40𝐼𝑎 − 20𝐼𝑏 + 0𝐼𝑐 = 50 
20𝐼𝑎 − 55𝐼𝑏 + 20𝐼𝑐 = 0 
 0𝐼𝑎 + 20𝐼𝑏 − 60𝐼𝑐 = 0 
𝐼𝑏 =
40 50 0
20 0 20
0 0 −6040 −20 0
20 −55 20
0 20 −60
=
60000
92000
= 0,65 𝐴 𝐼𝑐 =
40 −20 50
20 −55 0
0 20 0
40 −20 0
20 −55 20
0 20 −60
=
20000
92000
= 0,22 𝐴 
𝐼𝑎 =
50 −20 0
0 −55 20
0 20 −60
40 −20 0
20 −55 20
0 20 −60
= 
Exemplo 03 
 Calcule as correntes Ia e Ib para R1 = 10 Ω; R2 = 20 Ω; R3 = 10 Ω; 
V1 = 75 V; V2 = 30 V e V3 = 50 V, tem-se: 
 
 
 Equações do circuito: 
 Pela LKC, tem-se: 
 
 
 
 
 Pela LKT, tem-se: 
 
R1
V1
R2
R3
V2
V3
Ia Ib 
V3 
VR1 VR3 
V1 
V2 
V2 
VR2 VR2 Ic 
𝑉1 − 𝑅1𝐼𝑎 − 𝑅2𝐼𝑐 − 𝑉2 = 0 
𝑉2 + 𝑅2𝐼𝑐 − 𝑅3𝐼𝑏 − 𝑉3 = 0 
𝐼𝑎 = 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐 
𝐼𝑎 = 1,9 𝐴 𝐼𝑏 = 0,6 𝐴 
𝐼𝑐 = 1,3 𝐴 
R1
V1
R2
R3
V2 V3
R5
R4
V4
V5
Exemplo 04 
 Calcule as correntes Ia, Ib e Ic para R1 = 10 Ω; R2 = 5 Ω; R3 = 10 
Ω; R4 = 8 Ω; R5 = 12 Ω; V1 = 75 V; V2 = 30 V; V3 = 42 V; V4 = 
50 V e V5 = 50 V, tem-se: 
 
Ia Ib Ic 
V3 
V4 
VR3 
V5 
VR1 V5 
V4 VF 
VR2 VR4 
V4 V2 
VR2 
V3 
V2 
VR4 
Id Ie 
Exemplo 04 
 Equações do circuito: 
 Pela LKC, tem-se: 
 
 
 
 
 Pela LKT, tem-se: 
 
𝑉1 − 𝑅1𝐼𝑎 − 𝑅2𝐼𝑑 + 𝑉2 = 0 
−𝑉2 + 𝑅2𝐼𝑑 − 𝑅3𝐼𝑏 − 𝑉3 − 𝑅4𝐼𝑒 − 𝑉4 = 0 
𝐼𝑎 = 𝐼𝑑 + 𝐼𝑏 
𝐼𝑏 = 𝐼𝑒 + 𝐼𝑐 
𝑉2 + 𝑅4𝐼𝑒 − 𝑅5𝐼𝑐 + 𝑉5 = 0 
𝐼𝑎 = 6,14 𝐴 
𝐼𝑏 = −2,59 𝐴 
𝐼𝑐 = 3,96 𝐴 
𝐼𝑑 = 8,73 𝐴 
𝐼𝑒 = −6,56 𝐴 
Exercícios 
 Lista de Exercícios 05: 
 
 Livro Análise de Circuitos - O’Malley: 
 Exercícios Cap. 4: 4.34, 4.35, 4.36, 4.37, 
4.39, 4.40, 4.41, 4.43 e 4.48 
 
 
Referências 
O’MALLEY, J. Análise de Circuitos. 2ª. Edição, 
Makron Books, SP, 1994. 
DORF, R. C.; SVOBODA, J. A. Introdução aos 
Circuitos Elétricos. 5ª. Edição. Editora LTC. 
Rio de Janeiro, RJ, 2003 
GUSSOW, M. Eletricidade Básica. 2ª. Edição, 
Pearson Makron Books, SP, 1997.