Apostila_Eletricidade_II

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COLÉGIO SATC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disciplina na modalidade a distância 
 
APOSTILA DE ELETRICIDADE II 
 
Professora Tutora: Janaína Quarti 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CRICIÚMA – SC 
 
COLÉGIO SATC 
 
 
Diretor 
Carlos Antônio Ferreira 
 
Coordenadora Colégio SATC 
Izes Ester Machado Beloli 
 
Coordenadora Geral 
Maria da Graça Cabral 
 
Orientadora Pedagógica 
Ana Aliria da Silva Peres 
 
Coordenador do Curso 
Gilberto Fernandes da Silva 
 
Professor Conteudista 
Janaína Quarti 
 
Designer Instrucional 
Patrícia Medeiros Paz 
 
Diagramadoras 
Flavia Giassi Patel 
Patrícia Medeiros Paz 
 
Revisoras Ortográficas 
Flavia Giassi Patel 
Patrícia Medeiros Paz 
 
 
 
 
 
 
 
Este material é de responsabilidade do autor. O conteúdo está licenciado para o Colégio SATC 
e a sua reprodução e distribuição autorizada no âmbito dos cursos técnicos/EaD. 
O conteúdo poderá ser citado em trabalhos acadêmicos e/ou profissionais, desde que 
identifique a fonte. 
A cópia total ou parcial sem autorização expressa da Coordenação dos Cursos Técnicos em 
EaD, constitui crime contra a propriedade intelectual, conforme estipulado na Lei de Direitos 
Autorais vigente, com sanções previstas no Código Penal. 
 
SUMÁRIO 
 
APRESENTAÇÃO .................................................................................................... 07 
 
UNIDADE 1: INTRODUÇÃO A ANÁLISE DE CIRCUITOS ...................................... 09 
TÓPICO 1: ANÁLISE DE CIRCUITOS ..................................................................... 10 
TÓPICO 2: VARIÁVEIS ELÉTRICAS ....................................................................... 10 
TÓPICO 3: ELEMENTOS DOS CIRCUITOS ............................................................ 12 
TÓPICO 4: LEI DE OHM ........................................................................................... 17 
TÓPICO 5: POTÊNCIA ELÉTRICA .......................................................................... 19 
EXERCÍCIOS ............................................................................................................ 21 
CHECK LIST ............................................................................................................. 23 
 
UNIDADE 2: LEIS DE KIRCHHOFF ......................................................................... 24 
TÓPICO 1: DEFINIÇÕES .......................................................................................... 25 
TÓPICO 2: LEI DE KIRCHHOFF PARA CORRENTES ............................................ 27 
TÓPICO 3: LEI DE KIRCHHOFF PARA TENSÕES ................................................. 30 
TÓPICO 4: AS CORRENTES NAS MALHAS ........................................................... 33 
TÓPICO 5: TENSÕES NOS NÓS ............................................................................. 35 
EXERCÍCIOS ............................................................................................................ 38 
CHECK LIST ............................................................................................................. 40 
 
UNIDADE 3: TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO ....................................................... 41 
TÓPICO 1: DEFINIÇÃO ............................................................................................ 42 
TÓPICO 2: EXEMPLO DE APLICAÇÃO .................................................................. 43 
EXERCÍCIOS ............................................................................................................ 50 
CHECK LIST ............................................................................................................. 51 
 
UNIDADE 4: TEOREMA DE THÉVENIN .................................................................. 52 
TÓPICO 1: TEOREMA DE THÉVENIN ..................................................................... 53 
TÓPICO 2: EQUIVALENTE DE THÉVENIN ............................................................. 54 
EXERCÍCIOS ............................................................................................................ 58 
CHECK LIST ............................................................................................................. 59 
UNIDADE 5: TEOREMA DE NORTON .................................................................... 60 
TÓPICO 1: TEOREMA DE NORTON ...................................................................... 61 
TÓPICO 2: EQUIVALENTE DE NORTON ............................................................... 62 
EXERCÍCIOS ............................................................................................................ 66 
CHECK LIST ............................................................................................................ 67 
 
UNIDADE 6: CORRENTE ALTERNADA ................................................................. 68 
TÓPICO 1: PRINCÍPIOS DA CORRENTE ALTERNADA ....................................... 69 
TÓPICO 2: MEDIÇÃO ANGULAR ........................................................................... 71 
TÓPICO 3: ONDA SENOIDAL ................................................................................. 72 
TÓPICO 4: CORRENTE ALTERNADA .................................................................... 72 
TÓPICO 5: FREQUÊNCIA E PERÍODO ................................................................... 72 
TÓPICO 6: VALORES CARACTERÍSTICOS DE TENSÃO E CORRENTE CA ...... 73 
TÓPICO 7: RELAÇÕES DE FASE ........................................................................... 76 
TÓPICO 8: FASORES .............................................................................................. 77 
EXERCÍCIOS ............................................................................................................ 81 
CHECK LIST ............................................................................................................ 82 
 
UNIDADE 7: CIRCUITOS RESISTIVOS EM CORRENTE ALTERNADA................ 83 
TÓPICO 1: RESISTÊNCIA EM CIRCUITOS CA ...................................................... 84 
TÓPICO 2: CARACTERÍSTICAS DE TENSÃO E CORRENTE DOS CIRCUITOS 
RESISTIVOS EM CA ................................................................................................ 84 
EXERCÍCIOS ............................................................................................................ 86 
CHECK LIST ............................................................................................................ 87 
 
UNIDADE 8: CIRCUITOS INDUTIVOS .................................................................... 88 
TÓPICO 1: INDUTORES .......................................................................................... 89 
TÓPICO 2: REATÂNICA INDUTIVA ........................................................................ 90 
TÓPICO 3: ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES ........................................................... 91 
TÓPICO 4: CIRCUITOS INDUTIVOS ....................................................................... 92 
TÓPICO 5: POTÊNCIA EM CIRCUITOS RL ............................................................ 99 
EXERCÍCIOS .......................................................................................................... 101 
CHECK LIST .......................................................................................................... 103 
 
UNIDADE 9: CIRCUITOS CAPACITIVOS .............................................................. 104 
TÓPICO 1: CAPACITORES .................................................................................... 105 
TÓPICO 2: CAPACITÂNCIA ................................................................................... 105 
TÓPICO 3: ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES ..................................................... 107 
TÓPICO 4: REATÂNCIA CAPACITIVA .................................................................. 108 
TÓPICO5: CIRCUITOS CAPACITIVOS ................................................................. 110 
EXERCÍCIOS .......................................................................................................... 116 
CHECK LIST ........................................................................................................... 117 
 
GABARITO COMENTADO ..................................................................................... 118 
 
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 140 
 
 
 7 
 
APRESENTAÇÃO 
 
Bem-vindo(a) ao componente curricular Eletricidade II do curso Técnico de 
Eletrotécnica, na modalidade a distância, da SATC. Este material foi desenvolvido para 
ensinar você a resolver circuitos elétricos de acordo com os métodos de análise 
existentes. 
Nosso ponto de partida, Unidade 1, conheceremos alguns dos elementos que 
compõem um circuito elétrico. Além disso, será possível relembrar alguns conceitos 
relacionados à Lei de Ohm, incluindo o cálculo de grandezas elétricas em circuitos 
básicos. Na Unidade 2 iniciaremos nossos estudos sobre análise de circuitos através do 
estudo das Leis de Kirchhoff. A Unidade 3 refere-se ao estudo do Teorema da 
Superposição, outro método utilizado para resolução de circuitos complexos, assim 
como as Leis de Kirchhoff, apresentando como vantagem a análise do circuito sob os 
efeitos de uma única fonte de cada vez. Nas Unidades 4 e 5 conheceremos os Teoremas 
de Thévenin e Norton que são utilizados para simplificar circuitos elétricos complexos 
em circuitos simples. A Unidade 6 possibilitará entender os conceitos relacionados à 
corrente alternada, os conceitos de frequência, período e representação gráfica das 
ondas de tensão e corrente CA. E por fim, nas Unidades 7, 8 e 9 estudaremos o 
comportamento das grandezas elétricas mediante a aplicação de uma corrente alternada 
em circuitos resistivos, indutivos e capacitivos. 
A carga horária dessa disciplina é de120 horas/aula, mas você poderá organizar 
seus momentos de estudos com autonomia, conforme os horários de sua preferência. 
No entanto, não esqueça que há um prazo limite para a conclusão desse processo. Então 
fique atento as datas para realizar as avaliações presenciais, as on-line, publicadas pelos 
professores no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA), e possíveis trabalhos 
solicitados pelo educador. 
Para o estudo dessa apostila você terá auxílio de alguns recursos 
pedagógicos que facilitarão o seu processo de aprendizagem. Perceba que a margem 
externa das páginas dos conteúdos são maiores. Elas servem tanto para você fazer 
anotações durante os seus estudos quanto para o professor incluir informações 
adicionais importantes. Esse material também dispõe de vários ícones de aprendizagem, 
os quais destacarão informações relevantes sobre os assuntos que você está estudando. 
Vejamos quais são eles e os seus respectivos significados: 
8 
ÍCONES DE APRENDIZAGEM 
 
Indica a proposta de 
aprendizagem para cada 
unidade da apostila. 
 
Mostra quais conteúdos serão 
estudados em cada unidade 
da apostila. 
 
Apresenta exercícios 
sobre cada unidade. 
 
Apresenta os conteúdos mais 
relevantes que você deve ter 
aprendido em cada unidade. 
Se houver alguma dúvida 
sobre algum deles, você deve 
estudar mais antes de entrar 
nas outras unidades. 
 
Apresenta a fonte de 
pesquisa das figuras e as 
citações presentes na 
apostila. 
 
Traz perguntas que auxiliam 
você na reflexão sobre os 
conteúdos e no 
sequenciamento dos mesmos. 
 
Apresenta curiosidades e 
informações 
complementares sobre 
um conteúdo. 
 
Traz endereços da internet ou 
indicações de livros que 
possam complementar o seu 
estudo sobre os conteúdos. 
 
Lembre-se também de diariamente verificar se há publicações de aulas no 
Portal. Pois é por meio delas que os professores passarão a você todas as orientações 
sobre a disciplina. 
Ainda é bom lembrar que além do auxílio do professor, você também poderá 
contar com o acompanhamento de nosso sistema de Tutoria. Você poderá entrar em 
contato sempre que sentir necessidade, seja pelo email tutoria.ead@satc.edu.br ou 
pelo telefone (48) 3431 – 7590/ 3431 – 7596. 
Desejamos um bom desempenho nesse seu novo desafio. E não esqueça: 
estudar a distância exige bastante organização, empenho e disciplina. 
 
Bom estudo! 
9 
 
UNIDADE 1 
INTRODUÇÃO A ANÁLISE DE CIRCUITOS 
 
Objetivos de Aprendizagem 
 
Ao final desta unidade você deverá: 
 
 identificar os elementos de um circuito elétrico; 
 aplicar a Lei de Ohm para resolução de circuitos 
elétricos; 
 calcular a potência elétrica dissipada por um resistor. 
 
 
Plano de Estudos 
 
Esta unidade está dividida em cinco tópicos, 
organizados de modo a facilitar sua compreensão dos conteúdos. 
 
TÓPICO 1: ANÁLISE DE CIRCUITOS 
TÓPICO 2: VARIÁVEIS ELÉTRICAS 
TÓPICO 3: ELEMENTOS DOS CIRCUITOS 
TÓPICO 4: LEI DE OHM 
TÓPICO 5: POTÊNCIA ELÉTRICA 
10 
 
 
TÓPICO 1 
ANÁLISE DE CIRCUITOS 
 
Antes de iniciarmos nossos estudos, vamos relembrar 
alguns conceitos importantes. 
 
 
 
 
 
Roteiro para análise de circuitos 
 
Para resolver um circuito elétrico devemos seguir os 
seguintes passos: 
 
 identificar claramente os dados e o que é pedido; 
 simplificar ou redesenhar o circuito; 
 escolher o método de análise mais simples; 
 verificar se a solução encontrada é fisicamente 
possível. 
 
TÓPICO 2 
VARIÁVEIS ELÉTRICAS 
 
Todo circuito elétrico será composto por variáveis 
elétricas. Identificar cada variável elétrica é fundamental para 
compreender o funcionamento de um circuito. 
 
 
Circuito elétrico - modelo matemático de um 
sistema elétrico real; 
Análise de circuito - permite prever o 
comportamento do circuito e de seus 
componentes. 
 
Esta unidade 
foi elaborada com base no 
site: 
http://www.eletrica.ufpr.br/t
helma/Capitulo2.pdf 
 
11 
 
Unidades de Base 
 
O Sistema Internacional de Unidades (SI) é o sistema de 
medição mais utilizado no mundo. De acordo com o SI as sete 
grandezas básicas e fundamentais estão descritas na tabela a 
seguir. 
 
 veja na tabela abaixo as unidades base do SI: 
 
 
Grandeza Unidade Símbolo 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
Tempo segundo s 
Corrente elétrica Ampère A 
Temperatura Kelvin K 
Intensidade luminosa Candela cd 
 
 
Unidades Derivadas Úteis na Teoria de Circuitos 
 
Além das unidades base do SI, para análise de circuitos 
são necessárias outras grandezas que são denominadas unidades 
derivadas. 
 
 veja na tabela abaixo as unidades derivadas: 
 
 
Esta tabela foi 
elaborada pela professora 
Janaina Quarti, com base 
no SI – Sistema 
Internacional de Unidades. 
 
12 
 
 
 
Grandeza Nome / Símbolo 
Fórmula 
dimensional 
Frequência Hertz (Hz) s-1 
Força Newton (N) kg.m/s2 
Energia ou trabalho Joule (J) N.m 
Potência Watt (W) J/s 
Carga elétrica Coulomb (C) A.s 
Potêncial elétrico Volt (V) W/A 
Resistência elétrica Ohm () V/A 
Condutância elétrica Siemens (S) A/V 
Capacitância Farad (F) C/V 
Fluxo magnético Weber (Wb) V.s 
Indutância Henry (H) Wb/A 
 
TÓPICO 3 
ELEMENTOS DOS CIRCUITOS 
 
Os circuitos podem ter cinco elementos básicos: 
 
 fontes de tensão; 
 fontes de corrente; 
 resistores; 
 indutores; 
 capacitores. 
 
Fontes Ideais de Tensão e Corrente 
 
 
 
Esta tabela foi 
elaborada pela professora 
Janaina Quarti, com base 
no SI – Sistema 
Internacional de Unidades.. 
 
O que são fontes? 
13 
 
Fontes são dispositivos capazes de gerar energia 
elétrica. Existem duas categorias de fontes: 
 
 fontes independentes; 
 fontes dependentes (fontes controladas). 
 
Fontes Independentes 
 
Uma fonte independente ideal é um elemento ativo que 
fornece uma tensão ou corrente específica que é completamente 
independente de outros elementos do circuito.Fonte Ideal Independente de Tensão 
 
Estabelece uma tensão que não depende das ligações 
externas, ou seja, v é fixa, independente de i. 
 
veja o exemplo a seguir. Note que a fonte de 12 V 
têm um valor fixo independente do valor da corrente elétrica: 
 
 
 
Fonte Ideal Independente de Corrente 
 
Estabelece uma corrente que não depende das ligações 
externas, ou seja, i é fixa, independente de v. 
 
Esta figura foi 
elaborada pela professora 
Janaina Quarti. 
 
14 
 
 
 veja o exemplo a seguir. Note que a fonte de 5 A 
têm um valor fixo independente da tensão elétrica: 
 
 
 
Fontes Dependentes ou Controladas 
 
Fonte controlada é aquela que estabelece uma tensão 
ou uma corrente que depende do valor da tensão ou corrente em 
outro ponto do circuito. 
 
Fonte de Tensão Controlada por Tensão 
 
Uma fonte de tensão controlada por tensão é um 
elemento ativo do circuito que é controlado, ou dependente de 
outra tensão do circuito. 
Observe a figura abaixo e note que a fonte de tensão v 
é dependente do valor de v1: 
 
 
Essa figura foi 
retirada do site: 
http://www.decom.fee.unica
mp.br/~baldini/EA513/Cap3
.pdf 
 
Esta figura foi 
elaborada pela professora 
Janaina Quarti. 
 
15 
 
Fonte de Tensão Controlada por Corrente 
 
Uma fonte de tensão controlada por corrente é um 
elemento ativo do circuito que é controlado, ou dependente da 
corrente elétrica em um determinado ponto do circuito. 
Observe a figura abaixo. Note que a fonte de tensão v é 
dependente do valor de i1: 
 
 
 
 
Fonte de Corrente Controlada por Corrente 
 
Uma fonte de corrente controlada por corrente é um 
elemento ativo do circuito que é controlado, ou dependente da 
corrente elétrica em um determinado ponto do circuito. 
Observe a figura a seguir e note que a fonte de corrente 
i é dependente do valor de i1: 
 
Essa figura foi 
retirada do site: 
http://www.decom.fee.unica
mp.br/~baldini/EA513/Cap3
.pdf 
 
16 
 
 
 
 
Fonte de Corrente Controlada por Tensão 
 
Uma fonte de corrente controlada por tensão é um 
elemento ativo do circuito que é controlado, ou dependente da 
tensão elétrica em um determinado ponto do circuito. 
Observe a figura a seguir e note que a fonte de corrente 
i é dependente do valor de v1. 
 
 
 
Resistores 
 
Os resistores são elementos que possuem resistência 
elétrica. 
 
As figuras 
dessa página foram 
retiradas do site: 
http://www.decom.fee.unica
mp.br/~baldini/EA513/Cap3
.pdf 
 
17 
 
 
 
Resistência elétrica pode ser definida como a 
capacidade do material para impedir a circulação da corrente ou 
especificamente a circulação das cargas elétricas. 
A figura a seguir representa um condutor elétrico com 
comprimento l, resistividade ρ e seção transversal S. A resistência 
elétrica desse condutor pode ser calculada aplicando-se a fórmula: 
 
 
𝑅 = 
𝜌 . 𝑙
𝑆
 
Onde: 
 
R – resistência (Ω) 
Ρ – resistividade do material (Ω.m) 
l – comprimento (m) 
S – seção transversal (m²) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a figura abaixo representa um resistor: 
Resistência Elétrica? 
 
Essa figura foi 
retirada do site: 
www.google.com.br/search
?q=resistividade&biw=1920
&bih=986&source=lnms&tb
m=isch&sa=X&sqi=2&ved=
0CAcQ_AUoAmoVChMIgPj
i9eWpyAIVhUOQCh2_aQ
m-#imgrc=366gZDjZOLp-
qM%3A 
 
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRxqFQoTCKDE75bmqcgCFYqCkAodhD4Cvg&url=http://www.infoescola.com/fisica/leis-de-ohm/&psig=AFQjCNGAE540XadwdMyr4dp_4aD_JCHTeg&ust=1444081768388468
18 
 
 
 
 
 
TÓPICO 4 
LEI DE OHM 
 
Estabelece uma relação algébrica entre tensão e 
corrente em um resistor. Num resistor linear é utilizada a 
convenção passiva, esta lei pode ser escrita da seguinte forma 
conforme a representado na figura a seguir: 
 
 
 
 uma bateria de 24 V é ligada em uma resistência R, de tal 
maneira que a corrente elétrica no circuito é de 3,0 A. Qual o valor da 
resistência elétrica do circuito? 
 
De acordo com a Lei de Ohm: 
 
𝑅 = 
𝑉
𝐼
 
 
Substituindo os valores temos: 
 
Esta figura foi 
elaborada retirada do site: 
http://pt.scribd.com/doc/378
06595/RESISTOR-
Simbolos#scribd 
 
Esta figura foi 
elaborada pela professora 
Janaina Quarti. 
 
19 
 
𝑅 =
24
3
= 8 Ω. 
 
TÓPICO 5 
POTÊNCIA ELÉTRICA 
 
 A potência elétrica é definida como sendo o trabalho 
realizado pela corrente elétrica. Para calcular a potência dissipada 
por um resistor basta aplicar a fórmula: 
 
 
 
 
 calcule a potência dissipada por uma resistência 
de 3 Ω quando esta é submetida a uma tensão de 12 V. 
 
Sendo: 
 
𝑃 = 𝑉 𝑥 𝑖 
 
𝑖 =
𝑉
𝑅
 
 
 
Podemos dizer que: 
 
 
𝑃 = 𝑉 𝑥 
𝑉
𝑅
= 
𝑉2
𝑅
 
 
Substituindo os valores temos: 
 
Esta figura foi 
elaborada pela professora 
Janaina Quarti. 
 
20 
 
 
 
𝑃 = 
122
3
 = 48 W 
 
 
Nesse capítulo conhecemos alguns dos elementos que 
compõem um circuito elétrico. Foi possível relembrar alguns 
conceitos relacionados à Lei de Ohm para determinar as grandezas 
elétricas de um circuito básico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Um chuveiro elétrico é submetido a uma d.d.p de 220 V, sendo 
percorrido por uma corrente elétrica de intensidade 10A. Então, 
qual a resistência elétrica do chuveiro? 
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________ 
 
2. Um resistor de resistência equivalente a 10 Ω é percorrido por 
uma intensidade de corrente elétrica igual a 6 A. Qual a ddp (V) 
entre os extremos do resistor? 
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________ 
 
3.Um resistor de resistência elétrica R igual a 10 Ω é percorrido por 
uma intensidade de corrente elétrica equivalente a 5 A. Qual é a 
potência dissipada (P) pelo resistor? 
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________ 
 
22 
 
 
4.Uma lâmpada incandescente (de filamento) apresenta em seu 
rótulo as seguintes especificações: 60 W e 120 V. Determine: 
 
a. a corrente elétrica i que deverá circular pela lâmpada se ela for 
conectada a uma fonte de 120 V. 
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________ 
 
b. a resistência elétrica R apresentada pela lâmpada, supondo que 
ela esteja funcionando de acordo com as especificações. 
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________ 
 
 
23 
 
 CHECK LIST 
 
Nessa unidade você pôde aprender: 
 
 um circuito elétrico qualquer pode ser transformado 
em um modelo matemático; 
 fontes, resistores, capacacitores e indutores são 
elementos que constituem um circuito elétrico; 
 a Lei de Ohm permite calcular os valores de tensão 
corrente e resistência de um circuito. 
 
 
24 
 
 
UNIDADE 2 
LEIS DE KIRCHHOFF 
 
Objetivos de Aprendizagem 
 
Ao final desta unidade você deverá: 
 
 identificar em um circuito elétrico, o que são ramos,nós e malhas; 
 aplicar a Lei de Kirchhoff para correntes na resolução 
de circuitos elétricos; 
 aplicar a Lei de Kirchhff para tensões na resolução de 
circuitos elétricos. 
 
 
Plano de Estudos 
 
Esta unidade está dividida em cinco tópicos, 
organizados de modo a facilitar sua compreensão dos conteúdos. 
 
TÓPICO 1: DEFINIÇÕES 
TÓPICO 2: LEI DE KIRCHHOFF PARA CORRENTES 
TÓPICO 3: LEI DE FIRCHHOFF PARA TENSÕES 
TÓPICO 4: AS CORRENTES NAS MALHAS 
TÓPICO 5: TENSÕES NOS NÓS 
Esta unidade 
foi elaborada com base na 
obra Eletricidade Básica de 
Milton Gussow. 
 
25 
 
TÓPICO 1 
DEFINIÇÕES 
 
As leis de Kirchhoff envolvem conceitos básicos para a 
resolução e análise de circuitos elétricos, tanto em corrente 
contínua como em alternada. Antes de apresentar essas leis, 
vejamos algumas definições relacionadas aos circuitos elétricos. 
 
Ramo 
 
É qualquer parte de um circuito elétrico composta por um 
ou mais dispositivos ligados em série. 
Note na figura a seguir que o ramo identificado possui 
um resistor R5 em série com uma fonte de tensão E3: 
 
 
É qualquer ponto de um circuito elétrico no qual há a 
conexão de três ou mais ramos. 
A figura a seguir apresenta dois nós, ou seja, dois pontos 
onde há conesão de três ramos: 
 
 
 
 
 
 
As figuras dos 
Tópicos 1 e 2 desta Unidade 
foram retiradas do site: 
http://www.google.com.br/url
?url=http://lapolli.pro.br/escol
as/anhembi/elemec/teoria/un
idade5.pptx&rct=j&frm=1&q=
&esrc=s&sa=U&ei=ICj3U9_
RDKzKsQTKzoCABA&ved=
0CCAQFjAC&usg=AFQjCN
ER0FXrvKGzfU25BEHDka4
pCnupUA. 
 
Nó 
 
26 
 
 
Malha 
 
É qualquer parte de um circuito elétrico cujos ramos 
formam um caminho fechado para a corrente. Veja a seguir um 
exemplo de malha: 
 
 
 
 no circuito abaixo, identifique os seus nós, ramos 
e malhas: 
 
 
 
Nós 
 
Podemos verificar que os pontos C e G do circuito são 
nós, ou seja, possuem conexão de três ramos: 
 
 
27 
 
Ramos 
 
Notamos que nos três casos identificados temos um ou 
mais elementos ligados em série: 
 
 
 
Malhas 
 
Podemos verificar que o circuito dispõe de duas malhas 
internas (1 e 2) e uma malha externa (3). 
 
 
TÓPICO 2 
LEI DE KIRCHHOFF PARA CORRENTES 
 
Definindo arbitrariamente as correntes que chegam ao 
nó como positivas e as que saem do nó como negativas, a lei de 
Kirchhoff para correntes pode ser enunciada como segue: 
 
28 
 
 
 a soma algébrica das correntes em um nó é igual a 
zero; 
 a soma das correntes que chegam a um nó é igual à 
soma das correntes que saem desse nó. 
 
 
 
Observe atentamente o circuito abaixo: 
 
 
 
 
Note que é possível identificar um nó no circuito. Nesse 
nó podemos observar correntes entrando e saindo do nó. As 
correntes que chegam no nó são positivas (+) e as correntes que 
saem do nó são negativas. 
 
 no circuito abaixo são conhecidos os valores I1, I2 
e I4. Determinar I3, I5 e I6: 
 
Correntes que chegam e correntes que saem de 
nó, como assim? 
29 
 
 
 
Solução 
 
Analisando o circuito, verificamos que ele possui quatro 
nós, conforme representado pelas Letras A, B, C e D na figura 
abaixo: 
 
 
 
A Lei de Kirchhoff para correntes diz que: a soma das 
correntes que entram em um nó é igual a soma das correntes que 
saem do nó. 
Aplicando a LKC no nó B teremos: 
 
I2 = I5 + I4 
 
Substituindo os valores indicados teremos: 
 
I2 = I5 + I4 
6 = I5 + 3 
30 
 
 
Resolvendo a equação: 
 
6 – 3 = I5 
I5 = 3 A 
 
Agora é possível aplicar a LKC no nó A: 
 
I5 = I1 + I6 
 
Se substituirmos os valores indicados: 
 
I5 = I1 + I6 
3 = 2 + I6 
3 – 2 = I6 
I6 = 1 A 
 
Em seguida, aplica-se a LKC no nó D: 
 
I6 + I4 = I3 
 
Se substituirmos os valores indicados: 
 
1 + 3 = I3 
I3 = 4 A. 
 
TÓPICO 3 
LEI DE KIRCHHOFF PARA TENSÕES 
 
Antes de enunciar a lei de Kirchhoff para tensões, é 
necessário analisar um outro comportamento possível para as 
fontes de tensão num circuito elétrico. 
Num circuito elétrico formado por mais de uma fonte de 
alimentação, é possível que em alguma fonte a corrente entre pelo 
31 
 
polo positivo e saia pelo polo negativo. Nesse caso, ao invés de 
elevar o potencial do circuito a fonte estaria provocando a sua 
queda, isto é, ao invés de gerador, ela estaria funcionando como 
um receptor ativo. 
Vejamos agora o que é a lei de Kirchhoff para tensões. 
Adotando um sentido arbitráriode corrente para a análise de uma 
malha, e considerando as tensões que elevam o potencial do 
circuito como positivas (geradores) e as tensões que causam 
queda de potencial como negativas(receptores passivos e 
ativos). A lei de Kirchhoff para tensões pode ser enunciada como 
segue: 
 
 a soma algébrica das tensões em uma malha é zero; 
 a soma das tensões que elevam o potencial do 
circuito é igual à soma das tensões que causam a 
queda de potencial. 
 
 
 no circuito abaixo, são conhecidos os valores E1, 
E2 e E3, V3 e V4. Determine V1 e V2: 
 
 
Esta figura 
foi retirada do site 
http://www.google.com
.br/url?url=http://lapolli.
pro.br/escolas/anhemb
i/elemec/teoria/unidad
e5.pptx&rct=j&frm=1&
q=&esrc=s&sa=U&ei=I
Cj3U9_RDKzKsQTKzo
CABA&ved=0CCAQFj
AC&usg=AFQjCNER0
FXrvKGzfU25BEHDka
4pCnupUA 
Esta figura 
foi retirada do site 
http://www.google.com
.br/url?url=http://lapolli.
pro.br/escolas/anhemb
i/elemec/teoria/unidad
e5.pptx&rct=j&frm=1&
q=&esrc=s&sa=U&ei=I
Cj3U9_RDKzKsQTKzo
CABA&ved=0CCAQFj
AC&usg=AFQjCNER0
FXrvKGzfU25BEHDka
4pCnupUA 
 
32 
 
 
Solução 
 
Para encontrarmos os valores de V1 e V2 vamos aplicar 
a Lei de kirchhoff para tensões LKT que diz: a soma algébrica das 
tensões em uma malha é igual a zero. 
Vamos, inicialmente, aplicar a LKT na malha 2, partindo 
do nó A em direção ao nó B. Para isso adotamos um sentido para 
corrente, o sentido foi arbitrário. Logo teremos: 
 
 
 
Malha 2 
 
 
 
 
Vamos discutir aqui os sinais utilizados: 
 
 + V3 = o sinal positivo foi utilizado porque o sentido 
da corrente arbitrado é o mesmo indicado; 
 - E2 = devemos utilizar o sinal de saída da fonte; O 
traço maior da fonte indica o polo positivo e o traço 
menor o polo negativo. Como a saída da corrente é 
no polo negativo, utiliza-se o sinal negativo; 
 + V4 = o sinal positivo foi utilizado porque o sentido 
da corrente arbitrado é o mesmo indicado; 
+ V3 - E2 + V4 + V2 = 0 
 
33 
 
 + V2 = o sinal positivo foi utilizado porque o sentido 
da corrente arbitrado é o mesmo indicado. 
 
Substituindo os valores na equação teremos: 
 
+ V3 - E2 + V4 + V2 = 0 
+ 5 – 20 + 8 + V2 = 0 
V2 = 7 V 
 
Agora aplicamos a LKT na malha 1, partindo do nó A: 
 
- V2 – V1 + E1 = 0 
 
Substituindo teremos: 
 
 - 7 – V1 + 10 = 0 
V1 = 3 V. 
 
TÓPICO 4 
AS CORRENTES NAS MALHAS 
 
As leis de Kirchhoff podem ser simplificadas por meio de 
um método que utiliza as correntes nas malhas. Uma malha é 
qualquer percurso fechado de um circuito. Não se leva em conta se 
o percurso contém ou não uma fonte de tensão. Ao se resolver um 
circuito utilizando as correntes nas malhas, precisamos escolher 
previamente quais os percursos que formarão as malhas. 
A seguir, designamos para cada malha a sua respectiva 
corrente de malha. Por conveniência, as correntes nas malhas são 
geralmente indicadas no sentido horário. Este sentido é arbitrário, 
mas o horário é o mais usado. As equações resultantes 
determinam as correntes de malha desconhecidas. A partir dessas 
correntes, pode-se calcular a corrente ou a tensão de qualquer 
resistor. 
34 
 
 
Na figura a seguir, há um circuito com duas malhas (1 e 
2). A malha 1 é formada pelo percurso abcda e a malha 2 é formada 
pelo trajeto adefa. São conhecidas todas as resistências e todas as 
fontes de tensão. O procedimento para se determinar as correntes 
das malhas I1 e I2 é o seguinte: 
 
 
 
 
1. após escolher as malhas, indicar as correntes das 
malhas I1 e I2 no sentido horário. Indicara polaridade 
da tensão através de cada resistor, de acordo com o 
sentido adotado para a corrente. Lembre-se de que o 
fluxo convencional da corrente num resistor produz 
uma polaridade positiva na qual a corrente entra; 
2. aplique a lei de Kirchhoff para a tensão, Σ V = 0, ao 
longo de cada malha. Percorra cada malha no sentido 
da corrente da malha. Observe que há duas correntes 
diferentes (I1 e I2) fluindo em sentidos opostos através 
do mesmo resistor, R2, que é comum a ambas as 
malhas. Por esse motivo aparecem dois conjuntos de 
polaridades para R2. Percorra a malha 1 no sentido 
abcda; 
 
+ VA – I1R1 – I1R2 + I2R2 = 0 
+ VA – I1. (R1 + R2) + I2R2 = 0 
+ I1( R1 + R2) – I2R2 = VA (1) 
 
Esta figura 
foi retirada do site 
http://www.dca.ufrn.br/~b
runo/downloads/kirchhof 
35 
 
Observe que na primeira expressão I2R2 é + (positivo), 
pois passamos por uma queda de tensão do – (negativo) para o +. 
Percorra a malha 2 no sentido adefa: 
 
– I2R2 + I1R2 – I2R3 – VB = 0 
+I1R2 – I2. (R2 + R3) = VB 
 
 calcule I1 e I2 resolvendo as Eqs. (1) e (2) 
simultaneamente; 
 quando as correntes das malhas forem conhecidas, 
calcule todas as quedas de tensão, através dos 
resistores, utilizando a lei de Ohm; 
 verifique a solução das correntes das malhas 
percorrendo a malha abcdefa. 
 
VA – I1R1 – I2R3 – VB = 0 
 
TÓPICO 5 
TENSÕES NOS NÓS 
 
Um outro método para se resolver um circuito com 
correntes de malhas utiliza as quedas de tensão para determinar 
as correntes num dado nó. Escreve-se, então, as equações dos 
nós para as correntes, de modo a satisfazer a lei de Kirchhoff para 
a corrente. Resolvendo as equações dos nós, podemos calcular as 
tensões desconhecidas nos nós. Um nó é uma conexão comum a 
dois ou mais componentes. Um nó principal possui três conexoes 
ou mais. A cada nó, num circuito, se associa uma letra ou um 
número. A, B, G e N são nós principais ou junções. Uma tensão de 
nó é a tensão de um dado nó com relação a um determinado nó 
chamado de nó de referência. 
 
36 
 
 
 
 
 
Escolha o nó G ligado ao terra do chassi como o nó de 
referência. Então, VAG é a tensão entre os nós A e G; VBG é a tensão 
entre os nós B e G; e VNG é a tensão entre os nós N e G. Como a 
tensão do nó é sempre determinada em relação a um determindo 
nó de referência, a notação VA, VB e VN é usada para substituir 
VAG, VBG e VNG, respectivamente. 
Com exeção do nó de referência, pode-se escrever 
equações que usam LKC em cada nó principal. Logo, o número de 
equações necessárias é igual ao número de nós principais menos 
1. Como o circuito contém dois nós principais (N e G), precisamos 
escrever somente uma equação para o nó N, a fim de poder 
calcular todas as quedas de tensão e as correntes do circuito. 
Admita que as correntes nos ramos I1 e I2 entrem no nó 
N, e I3 saia do nó N. A escolha do sentido das correntes é arbitrária. 
Da LKC: 
 
Σ I = 0 
I1 + I2 – I3 = 0 
I3 = I1 + I2 (1) 
 
Pela lei de Ohm: 
 
2
3
R
VN
I 
 
1
1
R
VNVA
I


 
Esta figura 
foi retirada do site: 
http://www.dca.ufrn.br/~b
runo/downloads/kirchhof 
37 
 
 
3
2
R
VNVB
I


 
 
Substituindo estas expressões na equação (1): 
 
312 R
VNVB
R
VNVA
R
VN 



(2) 
 
Se VA, VB, R1, R2 e R3 forem conhecidos, VN pode ser 
calculado a partir da equação 2. Assim, podem ser determinadas 
todas as quedas de tensão e as correntes do circuito. 
O estudo das Leis de Kirchhoff torna possível a 
resolução de circuitos elétricos complexos com mais de uma fonte, 
conforme verificamos ao longo dessa unidade. Essas leis porém, 
não são os únicos métodos de análise de circuitos existentes. Nas 
próximas unidades estaremos conhecendo outros métodos que 
podem ser utilizados para esse tipo de circuito elétrico. 
 
38 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Para o circuito abaixo, determine a quantidade de ramos, nós e 
malhas e represente-os no circuito: 
 
 
 
2. Aplicando a Lei de Kirchhoff para tensões, encontre os valores 
de I1 e I2. Depois determine o valor da corrente no resistor de 2 
ohms. 
 
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________ 
39 
 
3. Utilizando o mesmo circuito da questão anterior, aplique a Lei de 
Kirchhoff para correntes para determinar os valores de I1, I2 e I3. 
 
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________ 
 
 
40 
 
 
 CHECK LIST 
 
Nessa unidade você pôde aprender: 
 
 circuitos elétricos com maior complexidade incluindo 
mais de uma fonte podem ser resolvidos utilizando-se 
as Leis de Kirchhoff; 
 as leis de Kirchhoff se dividem em Lei de Kirchhoff 
para correntes (LKC) e Lei de Kirchhoff para Tensões 
(LKT); 
 é possível resolver um circuito elétrico aplicando-se 
qualquer uma das Leis de Kirchhoff. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
UNIDADE 3 
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO 
 
Objetivos de Aprendizagem 
 
Ao final desta unidade você deverá: 
 
 identificar o teorema da superposição; 
 aplicar o teorema da superposição para determinar os 
valores de tensão, corrente e potência em diferentes 
pontos do circuito. 
 
 
Plano de Estudos 
 
Esta unidade está dividida em dois tópicos, organizados 
de modo a facilitar sua compreensão dos conteúdos. 
 
TÓPICO 1: DEFINIÇÃO 
TÓPICO 2: EXEMPLO DE APLICAÇÃO 
42 
 
 
TÓPICO 1 
DEFINIÇÃO 
 
O teorema da superposição afirma que, numa rede com 
duas ou mais fontes, a corrente ou a tensão para qualquer 
componente é a soma algébrica dos efeitos produzidos por cada 
fonte atuando independentemente. A fim de se usar uma fonte de 
cada vez, todas as outras fontes são retiradas do circuito. Ao se 
retirar uma fonte de tensão, faz-se no seu lugar um curto-circuito 
em seu lugar.Quando se retira uma fonte de corrente, ela é 
substituída por um circuito aberto. 
A figura abaixo representa uma fonte de tensão sendo 
substituída por um curto-circuito e uma fonte de corrente sendo 
substituída por um circuito aberto. Veja: 
 
 
A fim de superpor correntes e tensões, todos os 
componentes precisam ser lineares e bilaterais. 
 
 
 
Por linear entende-se que a corrente é proporcional a 
tensão aplicada, isto é, a tensão e a corrente obedecem a lei de 
Ohm, I = V/R. Então, as correntes calculadas para diferentes fontes 
de tensão podem ser superpostas, isto é, somadas algebricamente. 
Esta figura 
foi retirada do site: 
http://www.eletrica.ufpr.b
r/thelma/Capitulo6.pdf 
 
Mais o que são componentes lineares e bilaterais? 
 
Esta unidade 
foi elabora com base na 
Obra Eletricidade Básica de 
Milton Gussow. 
 
43 
 
Por bilateral entende-se que a corrente deve ter o mesmo valor nas 
polaridades opostas da fonte de tensão. Então, os valores em 
sentidos opostos de corrente podem ser somados algebricamente. 
 
TÓPICO 2 
EXEMPLO DE APLICAÇÃO 
 
A seguir veremos um exemplo de como aplicar o 
teorema da superposição em um circuito elétrico. Observe o 
circuito abaixo: 
 
 
Note que o circuito é composto por duas fontes de 
tensão. Para esse circuito deve-se calcular os valores das 
correntes I1, I2 e I3. De acordo com o teorema da superposição: 
 
 calcule as correntes produzidas somente pela fonte 
de tensão V1; 
 calcule as corrente produzidas somente pela fonte de 
tensão V2; 
 some algebricamente as correntes individuais para 
determinar as correntes produzidas pelas duas fontesV1 e V2. 
 
 
 
 
 
 utilizando o teorema da superposição, determine 
a intensidade da corrente elétrica no resistor R: 
Esta figura 
foi elaborada pela 
professora Janaina 
Quarti. 
 
I1 = I1, V1 + I1, V2 
I2 = I2, V1 + I2, V2 
I1 = I3, V1 + I3, V2 
 
44 
 
 
 
Resolução 
 
Inicialmente, elimina-se a fonte de tensão E2. Para isso 
deve-se fechar um curto no ponto onde está a fonte, conforme 
ilustrado abaixo: 
 
 
 
Para determinar a corrente elétrica que circula no 
resistor R, em consequência da aplicação da tensão da fonte E1, é 
necessário calcular a corrente total. De acordo com a Lei de Ohm: 
 
 
 
 
Calculando a resistência equivalente: 
Esta figura foi 
retirada do site: 
file:///C:/Users/Documentos
/Downloads/Aula_1_Teore
mas_da_An%C3%A1lise_d
e_Circuitos[1]%20(1).pdf 
 
𝐼𝑡 =
𝐸1
𝑅𝑒𝑞
 
 
45 
 
 
 
Os resistores R e R2 estão associados em paralelo, 
logo: 
 
𝑅𝑒𝑞 = 
1 𝑥 0,2
1+0,2
= 0,167 Ω. 
 
Redesenhando o circuito teremos: 
 
 
𝐼 =
20
0,5 + 0,167
= 29,98 𝐴 
 
 
29,98 A 
46 
 
 
Sendo a corrente total igual a 29,98 A, é possível 
calcular a corrente no resistor R aplicando-se a fórmula do divisor 
de corrente: 
 
𝐼𝑅 =
𝐼𝑇 𝑥 𝑟2
𝑅 + 𝑟2
 
 
Substituindo os valores teremos: 
 
𝐼𝑅 =
29,98 𝑥 0,2
1 + 0,2
= 5 𝐴 
 
 
 
Agora é necessário calcular a corrente produzida pela 
fonte E2. Para isso, retornar-se ao circuito original e elimina-se a 
fonte E1. Observe: 
 
 
Para determinar a corrente elétrica que circula no 
resistor R em consequência da aplicação da tensão da fonte E2, é 
necessário calcularmos a corrente total: 
 
A corrente elétrica, no resistor R em 
consequência da fonte de tensão E1 é igual a 
5 A. 
 
47 
 
𝐼𝑡 =
𝐸2
𝑅𝑒𝑞
 
 
Calculando a resistência equivalente: 
 
 
Os resistores R e r1 estão associados em paralelo, logo: 
 
𝑅𝑒𝑞 = 
1 𝑥 0,5
1 + 0,5
= 0,33 Ω 
 
Redesenhando o circuito: 
 
 
 
𝐼 =
10
0,33 + 0,2
= 18,87 𝐴 
 
48 
 
 
 
 
Sendo a corrente total igual a 18,87 A, é possível 
calcular a corrente no resistor R aplicando-se a fórmula do divisor 
de corrente: 
𝐼𝑅 =
𝐼𝑇 𝑥 𝑟1
𝑅 + 𝑟1
 
 
𝐼𝑅 =
18,87 𝑥 0,5
1 + 0,5
= 6,27 𝐴 
 
A corrente elétrica, no resistor R em consequência da 
fonte de tensão E2 é igual a 6,27 A. 
A corrente resultante será a soma algébrica das 
correntes produzidas pelas fontes: 
 
 
 
Visto que as duas correntes estão entrando no mesmo 
sentido no resistor a corrente total será 5 + 6,27 = 11,27 A. 
Nessa unidade verificamos que o Teorema da 
Superposição também pode ser utilizado para resolução de 
18,87 A 
49 
 
circuitos complexos, assim como as Leis de Kirchhoff, 
apresentando como vantagem a análise do circuito sob os efeitos 
de uma única fonte de cada vez. 
 
 
50 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Para o circuito abaixo, utilize o método da Superposição para 
calcular as correntes nos resistores. Encontre o valor de IR1 
(corrente no resistor R1) e IR2 (corrente no resistor R2). 
 
 
 
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________ 
 
2. Para o circuito ilustrado abaixo, calcule a corrente elétrica e a 
tensão no resistor utilizando o Teorema da Superposição. 
 
 
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________ 
51 
 
 CHECK LIST 
 
Nessa unidade você pôde aprender: 
 
 circuitos elétricos que contenham mais de uma fonte 
de tensão e/ou corrente podem ser resolvidos 
utilizando-se o teorema da superposição; 
 em um circuito elétrico com duas ou mais fontes, a 
corrente ou a tensão para qualquer componente é a 
soma algébrica dos efeitos produzidos por cada fonte 
atuando independentemente. 
 
52 
 
 
UNIDADE 4 
TEOREMA DE THÉVENIN 
 
Objetivos de Aprendizagem 
 
Ao final desta unidade você deverá: 
 
 aplicar o Teorema de Thévenin para resolver circuitos 
elétricos. 
 
 
Plano de Estudos 
 
Esta unidade está dividida em dois tópicos, organizados 
de modo a facilitar sua compreensão dos conteúdos. 
 
TÓPICO 1: TEOREMA DE THÉVENIN 
TÓPICO 2: EQUIVALENTE DE THÉVENIN 
53 
 
TÓPICO 1 
TEOREMA DE THÉVENIN 
 
O teorema de Thévenin afirma que, do ponto de vista de 
qualquer par de terminais, um circuito linear pode sempre ser 
substituído por uma fonte de tensão com resistência interna. 
Quando o objetivo da análise de um circuito se resume a identificar 
a corrente, a tensão ou a potência a jusante de um par de terminais, 
então o teorema de Thévenin indica que todo o circuito a montante 
pode ser reduzido a dois elementos apenas, constituindo 
globalmente uma fonte de tensão com resistência interna. O 
conjunto de componentes vTh e RTh é designado por equivalente de 
Thévenin do circuito. 
Note na figura abaixo que nos dois casos o circuito 
elétrico foi simplificado e substituído por uma fonte de tensão em 
série com uma resistência: 
 
 
 
 
 
 
Mas por que Teorema de Thévenin? 
 
Para saber mais 
sobre Léon Charles 
Thévenin acesse o site: 
http://pt.wikipedia.org/wiki/L
%C3%A9on_Charles_Th%
C3%A9venin 
Esta figura foi 
retirada do site: 
http://www.ufrgs.br/eng040
30/Aulas/teoria/cap_06/the
venin.htm 
 
 
Esta unidade 
foi elaborada com base no 
site: 
https://itligado.files.wordpre
ss.com/2013/04/3-
thevenin-norton-exercicios-
1.pdf 
 
 
54 
 
 
A esta configuração chamamos de Equivalente de 
Thévenin em homenagem a Léon Charles Thévenin (30 de 
março de 1857- 21 de setembro de 1926). Thévenin foi um 
engenheiro telegrafistafrancês que estendeu a Lei de Ohm à 
análise de circuitos elétricos complexos. O teorema que leva o seu 
nome é muito útil para reduzirmos circuitos maiores a um circuito 
equivalente com apenas dois elementos a partir de um determinado 
ponto, onde se deseja, por exemplo, saber as grandezas elétricas 
como tensão, corrente ou potência. 
A metodologia de cálculo do equivalente de Thévenin 
difere consoante o tipo de fontes em presença no circuito. É comum 
distinguirem-se circuitos com fontes independentes; circuitos com 
fontes independentes e dependentes; e circuitos com fontes 
dependentes. Focalizaremos nossos estudos nos circuitos com 
fontes independentes. 
 
TÓPICO 2 
EQUIVALENTE DE THÉVENIN 
 
O cálculo do Equivalente de Thévenin baseia-se no 
Teorema da superposição quando o circuito a ser reduzido é 
separado do circuito a ser estudado e as análises de circuito aberto 
e em curto-circuito são aplicadas para se conseguir as relações que 
permitam a redução desejada. 
O Equivalente de Thévenin pode ser construído a partir 
de quatro etapas: 
 
 retira-se a carga do circuito. A carga é a resistência 
entre os pontos a e b; 
 coloca-se a(s) fonte(s) de tensão em curto-circuito, ou 
circuito aberto caso sejam fontes de corrente; 
 calcula-se o valor de RTh, ou seja, a resistência 
equivalente do circuito após a retirada da(s) fonte(s); 
http://pt.wikipedia.org/wiki/30_de_mar%C3%A7o
http://pt.wikipedia.org/wiki/30_de_mar%C3%A7o
http://pt.wikipedia.org/wiki/1857
http://pt.wikipedia.org/wiki/21_de_Setembro
http://pt.wikipedia.org/wiki/1926
http://pt.wikipedia.org/wiki/Tel%C3%A9grafo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Tel%C3%A9grafo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Ohm
http://pt.wikipedia.org/wiki/Circuito_el%C3%A9trico
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_da_superposi%C3%A7%C3%A3o
55 
 
 insirir a(s) fonte(s) de tensão (ou corrente) e encontrar 
o valor de VTh, ou seja, a queda de tensão entre os 
pontos a e b. 
O equivalente de Thevenin consiste em transformar o 
circuito em uma fonte de tensãoVTh em série com uma resistência 
RTh. Note o exemplo abaixo. 
 
 obtenha o equivalente de Thévenin para o circuito abaixo, 
considerando-se R3 a carga do circuito: 
 
 
Solução 
 
Para a solução do problema, vamos realizar um passo a 
passo: 
 
 retira-se a carga do circuito. A carga é o resistor R3; 
 
56 
 
 
 em seguida, coloca-se a fonte de tensão em curto-
circuito: 
 
 
 calcula-se o valor de RTh, ou seja, a resistência 
equivalente do circuito após a retirada da fonte. Visto 
que os dois resistores estão em paralelo: 
 
𝑅𝑇ℎ = 
𝑅1 𝑥 𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
 
 depois é necessário inserir a fonte de tensão e 
encontrar o valor de VTh, ou seja, a queda de tensão 
entre os pontos a e b: 
 
 
Aplicando a fórmula do divisor de tensão: 
 
57 
 
𝑉𝑇ℎ = 
𝐸 𝑥 𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
 
 
Circuito equivalente de Thévenin: 
 
 
 
Conforme você pode observar, o Teorema de Thévenin 
é utilizado para simplificar um circuito elétrico complexo a um 
circuito simples, chamado equivalente de Thévenin. Ele possibilita 
resolver circuitos que possuem uma carga RL que pode variar ao 
longo do tempo, tornando assim os cálculos mais simples e 
rápidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Encontre o valor da Resistência de Thévenin RTh para o circuito 
abaixo. 
 
 
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________ 
 
2. Encontre o equivalente de Thévenin para o circuito abaixo, 
considerando-se que a carga é o resistor R2. 
 
 
 
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________ 
59 
 
 CHECK LIST 
 
Nessa unidade você pôde aprender: 
 
 o teorema de Thévenin estabelece que qualquer 
circuito linear visto de um ponto, pode ser 
representado por uma fonte de tensão em série com 
uma resistência; 
 circuitos elétricos complexos com cargas variáveis 
podem ser simplificados utilizando-se o equivalente 
de Thévenin. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
 
UNIDADE 5 
TEOREMA DE NORTON 
 
Objetivos de Aprendizagem 
 
Ao final desta unidade você deverá: 
 
 identificar o Teorema de Norton; 
 aplicar o Teorema de Norton para resolver circuitos 
elétricos. 
 
 
Plano de Estudos 
 
Esta unidade está dividida em dois tópicos, organizados 
de modo a facilitar sua compreensão dos conteúdos. 
 
TÓPICO 1: TEOREMA DE NORTON 
TÓPICO 2: EQUIVALENTE DE NORTON 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
TÓPICO 1 
TEOREMA DE NORTON 
 
O teorema de Norton é usado para simplificar uma rede 
em termos de correntes em vez de tensões. Para a análise de 
correntes, esse teorema pode ser usado para reduzir uma rede a 
um circuito simples em paralelo com uma fonte de corrente, que 
fornece uma corrente de linha total que pode ser subdividida em 
ramos paralelos. 
O símbolo para a fonte de corrente é um círculo com 
uma seta dentro, o qual indica o sentido da corrente. Este sentido 
deve ser o mesmo que o da corrente produzida pela polaridade da 
fonte de tensão correspondente. 
 
 
 
O teorema de Norton afirma que qualquer rede ligada a 
uma carga pode ser substituída por uma única fonte de corrente IN 
em paralelo com uma única resistência RN. IN é igual à corrente de 
curto-circuito através dos terminais ab (a corrente que a rede 
produziria através de a e b com um curto-circuito entre estes dois 
terminais). RN é a resistência nos terminais a e b, olhando por trás, 
a partir dos terminais abertos ab. O valor desse resistor único é o 
mesmo para os dois circuitos equivalentes: Norton e Thevenin. 
 
 
 
 
 
TÓPICO 2 
Lembre-se de que uma fonte produz um fluxo de 
corrente que sai do terminal positivo. 
 
Esta unidade 
foi elaborada com base no 
site: 
https://itligado.files.wordpre
ss.com/2013/04/3-
thevenin-norton-exercicios-
1.pdf 
 
 
62 
 
 
EQUIVALENTE DE NORTON 
 
 
 
O Equivalente de Norton consiste em reduzir um circuito 
elétrico complexo a um circuito mais simples, composto por uma 
fonte de corrente em paralelo com uma resistência, conforme 
ilustrado na figura abaixo: 
 
 
 
Para a obtenção do equivalente de Norton deve-se: 
 retira-se a carga do circuito. A carga é a resistência 
entre os pontos a e b; 
 substituir a(s) fonte(s) de tensão por um curto-circuito 
e a(s) fonte(s) de corrente por um circuito aberto; 
 determinar a resistência total entre os terminais a e b. 
O valor encontrado é a resistência de Norton: RN; 
 insirir novamente a(s) fonte(s) no circuito; 
 curto circuitam-se os terminais da carga e determina-
se a corrente de curto-circuito ou corrente de Norton: 
IN. 
O que é o Equivalente de Norton? 
 
63 
 
 obtenha o equivalente de Norton para o circuito abaixo, 
considerando-se R3 a carga do circuito. 
 
Solução 
 
Retira-se a carga do circuito. A carga é o resistor R3. 
Veja: 
 
 
Coloca-se a fonte de tensão em curto-circuito: 
 
64 
 
 
Calcula-se o valor de RN, ou seja, a resistência 
equivalente do circuito após a retirada da fonte. Visto que os dois 
resistores estão em paralelo: 
𝑅𝑁 = 
𝑅1 𝑥 𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
 
Insirir novamente a fonte no circuito: 
 
 
 Curto circuitam-se os terminais da carga e determina-
se a corrente de curto-circuito ou corrente de Norton: IN. Visto que 
temos um curto em paralelo com o resistor R2, a corrente vai 
circular por R1 e pelo curto: 
 
 
𝐼𝑁 = 
𝐸
𝑅1
 
 
65 
 
Veja o circuito Equivalente de Norton: 
 
 
 
Conforme você pode observar, o Teorema de Norton, 
assim como o Teorema de Thévenin é utilizado para simplificar um 
circuito elétrico complexo a um circuito simples, chamado 
equivalente de Norton e que possibilita resolver circuitos que 
possuem uma carga RL que pode variar ao longo do tempo, 
tornando assim os cálculos mais simples e rápidos. 
 
 
66 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Encontre o equivalente de Norton para o circuito a seguir: 
 
 
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________ 
 
2. Observe o circuito abaixo e em seguida calcule a tensão na 
carga usando o teorema de Norton. 
 
 
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
____________________________________________________ 
67 
 
 CHECK LIST 
 
Nessa unidade você pôde aprender: 
 
 que o teorema de Norton estabelece que qualquer 
circuito linear visto de um ponto pode ser 
representado por uma fonte de corrente em paralelo 
com uma resistência; 
 circuitos elétricos complexos com cargas variáveis 
podem ser simplificados utilizando-se o equivalente 
de Norton. 
 
 
68 
 
 
UNIDADE 6 
CORRENTE ALTERNADA 
 
Objetivos de Aprendizagem 
 
Ao final desta unidade você deverá: 
 
 identificar os princípios da corrente alternada; 
 identificar como é gerada a energia elétrica que 
utilizamos; 
 calcular valores característicos de tensão e corrente 
alternada. 
 
 
Plano de Estudos 
 
Esta unidade está dividida em oito tópicos, organizados 
de modo a facilitar sua compreensão dos conteúdos. 
 
TÓPICO 1: PRINCÍPIOS DA CORRENTE ALTERNADA 
TÓPICO 2: MEDIÇÃO ANGULAR 
TÓPICO 3: ONDA SENOIDAL 
TÓPICO 4: CORRENTE ALTERNADA 
TÓPICO 5: FREQUÊNCIA E PERÍODO 
TÓPICO 6: VALORES CARACTERÍSTICOS DE TENSÃO E 
CORRENTE CA 
TÓPICO 7: RELAÇÕES DE FASE 
TÓPICO 8: FASORES 
 
69 
 
TÓPICO 1 
PRINCÍPIOS DA CORRENTE ALTERNADA 
 
Uma tensão CA é aquela cujo módulo varia 
continuamente e cuja polaridade é invertidaperiodicamente. O eixo 
zero é uma linha horizontal que passa pelo centro. As variações 
verticais na onda de tensão mostram a variação do módulo. As 
tensões acima do eixo horizontal tem polaridade positiva (+), 
enquanto as tensões abaixo do eixo horizontal tem polaridade 
negativa. 
 
 a figura a seguir representa uma onde de tensão 
alternada. 
 
 
 
Uma tensão CA pode ser produzida por um gerador, 
chamado alternador. No gerador simplificado da figura a seguir, a 
espira condutora gira através do campo magnético e intercepta 
linhas de força para gerar uma tensão CA induzida através de seus 
terminais. Uma rotação completa da espira é chamada de ciclo. 
Veja: 
 
As figuras do 
Tópico 1 desta Unidade 
foram retiradas da Obra 
Eletricidade Básica de 
Milton Gusso W. 
 
Esta unidade 
foi elaborada com base na 
obra Eletricidade Básica de 
Milton Gusso W. 
 
70 
 
 
 
 
Uma espira girando num campo magnético produz uma 
tensão CA. Analise a posição da espira em cada quarto de volta 
durante um ciclo completo na figura abaixo: 
 
 Posição A: a espira gira paralelamente ao fluxo 
magnético e, consequentemente, não intercepta 
nenhuma linha de força. A tensão induzida é igual a 
zero; 
 Posição B: a espira intercepta o campo num ângulo 
de 90º, produzindo uma tensão máxima; 
 Posição C: o condutor está novamente paralelo ao 
campo e não pode interceptar o fluxo; 
 
A onda ca de A a C constitui um meio ciclo de rotação. 
71 
 
 
 Posição D: a espira intercepta o fluxo, gerando 
novamente uma tensão máxima com polaridade 
negativa. 
 
A espira completa um quarto de volta do ciclo retornando 
à posição A, ponto de partida do ciclo. O ciclo de valores de tensão 
se repete à medida que a espira continua a girar. Um ciclo inclui as 
variações entre dois pontos sucessivos que apresentam o mesmo 
valor e variam no mesmo sentido. 
 
TÓPICO 2 
MEDIÇÃO ANGULAR 
 
Pelo fato de os ciclos de tensão corresponderem à 
rotação da espira em torno de um círculo, os trechos desse círculo 
são expressos em ângulos. O círculo completo vale 360º; meio 
círculo vale 180º e um quarto de volta vale 90º. Os graus são 
expressos em radianos (rad). Um radiano é igual a 57,3º. Um 
círculo completo tem 2π rad, portanto: 
 
 
 
 
 
Num gerador de dois polos, a rotação da bobina da 
armadura ao longo de 360º geométricos (1 rotação) gera sempre 1 
ciclo (360º) de tensão CA. Mas num gerador de quatro polos, uma 
rotação da armadura de somente 180 graus geométricos gera 1 
ciclo CA ou 180 graus elétricos. Portanto, a graduação que aparece 
ao longo do eixo horizontal de uma tensão CA ou de uma corrente 
CA se refere aos graus elétricos e não aos graus geométricos. 
TÓPICO 3 
ONDA SENOIDAL 
360º = 2π rad 
 
72 
 
 
 
A forma de onda da tensão é chamada senoidal. O valor 
instantâneo da tensão em qualquer ponto da onda senoidal é dado 
pela equação: 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
 v = valor instantâneo da tensão, em Volts; 
 VM = valor máximo da tensão, em Volts; 
 θ = ângulo de rotação, em graus. 
 
TÓPICO 4 
CORRENTE ALTERNADA 
 
Quando uma onda senoidal de tensão alternada é ligada 
aos terminais de uma resistência de carga, a corrente que passa 
pelo circuito também é uma onda senoidal. 
 
TÓPICO 5 
FREQUÊNCIA E PERÍODO 
 
O número de ciclos por segundo é chamado de 
frequência, a qual é representada pelo símbolo f e dada em hertz 
(Hz). Um ciclo por segundo é igual a um hertz. Portanto, 60 ciclos 
por segundo são iguais a 60 Hz. 
O intervalo de tempo para que um ciclo se complete é 
chamado de período. É representado pelo símbolo T e expresso 
em segundos (s). 
 observe na figura a seguir. Nela podemos observar 
a representação do período de uma onde de tensão ou de corrente. 
v = VM sen θ 
 
73 
 
 
 
 
Relação entre frequência e período: 
 
 
 
 
 
 
 
TÓPICO 6 
VALORES CARACTERÍSTICOS DE TENSÃO E CORRENTE CA 
 
Uma onda senoidal possui vários valores instantâneos 
ao longo de um ciclo. É conveniente especificar os módulos para 
efeitos de comparação de uma onda com outra. 
Valor de pico, valor médio, valor quadrático médio ou 
rms, ou valor eficaz. Estes valores aplicam-se tanto à corrente 
como à tensão. 
 
Esta figura foi 
retirada da Obra 
Eletricidade Básica de 
Milton Gusso W. 
 
(Hz) 
 
Quanto mais elevada a frequência, menor o 
período. 
 
74 
 
 
 veja na figura abaixo os valores de amplitude para 
uma onda senoidal CA: 
 
 
 
Valor de Pico 
 
É o valor máximo VM ou IM. É aplicado tanto ao pico 
positivo quanto ao negativo. O Valor de pico-a-pico também pode 
ser especificado e correspondente ao dobro do valor de pico 
quando os picos positivos e negativos são simétricos. 
 
 
 
VM refere-se ao valor máximo, ou valor de pico de uma 
onda de tensão alternada e IM refere-se ao valor máximo, ou valor 
de pico de uma onda de corrente. 
 
Valor Médio 
 
É o cociente entre a área e o tempo, sendo considerada 
a área contida entre a forma de onda correspondente e o eixo do 
Esta figura foi 
retirada da Obra 
Eletricidade Básica de 
Milton Gusso W. 
 
VM e IM? 
 
75 
 
tempo, num intervalo de tempo igual a um período. Áreas acima do 
eixo do tempo são (+) e abaixo são (-). As áreas devem ser 
somadas algebricamente para a obtenção da área total entre a 
forma de onda e o eixo de tempo para um período. O valor médio 
é sempre considerado como calculado num período, salvo dito em 
contrário. O valor médio de uma senóide é zero (num período as 
áreas (-) e (+) cancelam-se). Para algumas aplicações é utilizado 
o valor médio num semi-ciclo positivo = 0,637 Vpico. 
 
Valor Eficaz 
 
Corresponde à mesma quantidade de corrente ou 
tensão contínua capaz de produzir a mesma potência de 
aquecimento. Uma tensão alternada com um valor eficaz de 115 V 
tem exatamente a mesma eficiência no aquecimento do filamento 
de uma lâmpada de incandescência que os 115 V provenientes de 
uma fonte de tensão cc fixa. 
É usado na especificação de eletrodomésticos, por 
exemplo. Um secador de 220 V é o seu valor eficaz. 
Contrariamente, todas as medidas das tensões e correntes 
senoidais são em valor eficaz. 
 
 uma tensão de alimentação de 220 V tem um 
valor eficaz de 220 V. Assim, o seu valor de pico é de Vpico= 1,41. 
Veficaz= 310 V. 
 
 
 
 
 
TÓPICO 7 
RELAÇÕES DE FASE 
 
O ângulo de fase entre duas formas de onda da mesma 
frequência é a diferença angular num dado instante. 
76 
 
 
 
o ângulo de fase entre as ondas B e A da figura 
abaixo é de 90º. 
 
 
 
Considere o instante para 0º < t < 90º: 
 
 onda B começa com o seu valor máximo e cai para 
zero em 90º; 
 onda A começa em zero e cresce até o seu valor 
máximo em 90º; 
 onda B atinge o seu valor máximo 90º à frente da 
onda A; 
 onda B está adiantada relativamente à onda A de 
90º; 
 as ondas B e A estão defasadas de 90º. 
 
Este ângulo de fase de 90º entre as ondas B e A é 
mantido durante o ciclo completo e todos os ciclos sucessivos. Em 
qualquer instante, a onda B passa pelo valor que a onda A terá, 90º 
mais tarde. 
A diferença de fases entre duas ondas senoidais pode 
ser encontrada pela diferença entre os ângulos de fase das duas, 
Esta figura foi 
retirada da Obra 
Eletricidade Básica de 
Milton Gusso W. 
 
77 
 
considerando que ambas tenham a forma seno ou cosseno e que 
as amplitudes tenham o mesmo sinal – ambas positivas ou 
negativas. Além disso, as duas ondas devem ter a mesma 
frequência. 
 
 analise a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veja que vA está adiantada de 30º em relação a vB ou 
vB está atrasada de 30º em relação a vA. 
 
TÓPICO 8 
FASORES 
 
Na comparação de ângulos de fase ou simplesmente 
fases de correntes e tensões alternadas, é mais conveniente a 
utilização de diagrama de fasores correspondentes às formas de 
onda da tensão e da corrente. 
Um fasor é uma entidadecom módulo e sentido. Os 
termos fasor e vetor são usados para representar quantidades que 
possuem um sentido. Entretanto, o fasor varia com o tempo, 
enquanto o vetor tem sentido no espaço. 
Esta figura foi 
retirada da Obra 
Eletricidade Básica de 
Milton Gusso W. 
 
78 
 
 
O comprimento da seta que representa o fasor num 
diagrama indica o módulo da tensão alternada. O ângulo que a seta 
forma com o eixo horizontal indica o ângulo de fase. Escolhe-se 
uma forma de onda como referência. Então, a segunda forma de 
onda pode ser comparada com a de referência através do ângulo 
entre as setas que representam os fasores. Por exemplo, o fasor 
VA representa a onda de tensão A com um ângulo de fase de 0º. O 
fasor VB é vertical para mostrar o ângulo de fase de 90º com relação 
ao fasor VA, que serve de referência. Como os ângulos de avanço 
de fase estão representados no sentido anti-horário a partir do fasor 
de referência, VB esta adiante de VA de 90º. 
 
 
 
Quando duas ondas estão em fase, o ângulo de fase é 
zero. As amplitudes se somam como você pode observar na figura 
abaixo: 
 
 
 
Todas as 
figuras deste Tópico foram 
retiradas da obra 
Eletricidade Básica de 
Milton Gusso W. 
 
79 
 
Quando as duas ondas estão exatamente fora de fase, 
o ângulo de fase é de 180º. Suas amplitudes são opostas. Valores 
iguais de fases opostas se cancelam. Observe: 
 
 
 
 qual o ângulo de fase entre as ondas A e B? Faça 
o diagrama de fasores primeiro com a onda A como referência e 
depois com a onda B como referência: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ângulo de fase é a distância angular entre pontos 
correspondentes nas ondas A e B; 
 os pontos correspondentes mais convenientes são os 
pontos de máximo, dos mínimos e dos zeros de cada 
onda; 
 no cruzamento dos zeros no eixo horizontal, θ = 30º. 
 
Onda A como referência: 
 
80 
 
 
 
 
Onda B como referência: 
 
 
 
 
O estudo dessa unidade possibilitou entender os 
conceitos relacionados à corrente alternada, os conceitos de 
frequência e período e representação gráfica das ondas de tensão 
e corrente CA. Os conteúdos estudados nessa unidade serão 
fundamentais para o estudo das unidades seguintes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Uma tensão CA é aquela cujo módulo varia continuamente e cuja 
polaridade é invertida periodicamente. O eixo zero é uma linha 
horizontal que passa pelo centro. As variações verticais na onda de 
81 
 
tensão mostram as variações do módulo. Calcule as grandezas 
que estão faltando na tabela abaixo. 
 
 
Valor de 
Pico 
Valor 
RMS 
Valor 
Médio 
Ângulo de 
Fase 
Valor 
instantâneo 
45 A 45⁰ 
 220 V 60⁰ 
 10 A 30⁰ 
200 V 60⁰ 
 
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________ 
 
2. Qual o período de uma onda CA que tem uma frequência de 50 
Hz? 
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________ 
 
82 
 
 
 CHECK LIST 
 
Nessa unidade você pôde aprender: 
 
 uma tensão CA é aquela cujo módulo varia 
continuamente e cuja polaridade é invertida 
periodicamente; 
 uma onda senoidal possui valores característicos 
em relação ao tempo e podem ser facilmente 
calculados; 
 ângulo de fase é a distância angular entre pontos 
correspondentes de ondas distintas; 
 quando duas ondas de corrente alternada estão 
em fase, o ângulo de defasagem entre elas é igual 
a zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
83 
 
UNIDADE 7 
CIRCUITOS RESISTIVOS EM CORRENTE ALTERNADA 
 
 
Objetivos de Aprendizagem 
 
Ao final desta unidade você deverá: 
 
 calcular as grandezas elétricas nos circuitos resistivos 
em corrente alternada; 
 identificar as características das grandezas elétricas 
nos resistores quando da aplicação de corrente 
alternada. 
 
 
Plano de Estudos 
 
Esta unidade está dividida em dois tópicos, organizados 
de modo a facilitar sua compreensão dos conteúdos. 
 
TÓPICO 1: RESISTÊNCIA EM CIRCUITOS CA 
TÓPICO 2: CARACTERÍSTICAS DE TENSÃO E CORRENTE 
DOS CIRCUITOS RESISTIVOS EM CA 
 
 
 
 
 
 
 
 
84 
 
 
TÓPICO 1 
RESISTÊNCIA EM CIRCUITOS CA 
 
Assim como nos circuitos alimentados em corrente 
contínua, os circuitos resistivos em corrente alternada podem ser 
resolvidos utilizando-se a Lei de Ohm. 
 
𝑅 =
𝑉
𝐼
 
 
Onde: 
 
 R é a resistência elétrica em ohms (Ω); 
 V é a diferença de potencial, ou a tensão elétrica em 
Volts (V); 
 I é a corrente elétrica em Ampéres (A). 
 
TÓPICO 2 
CARACTERÍSTICAS DE TENSÃO E CORRENTE DOS 
CIRCUITOS RESISTIVOS EM CA 
 
Num circuito CA somente com resistência, as variações 
na corrente ocorrem em fase com a tensão aplicada. Esta relação 
entre V e I em fase significa que esse circuito CA pode ser 
analisado pelos mesmos métodos usados para circuitos CC. Os 
cálculos nos circuitos CA são geralmente em valores rms, a menos 
que seja feita alguma observação. 
 
 para o circuito série, calcule a corrente elétrica e 
a potência dissipada pelo resistor: 
 
85 
 
 
I = V/R = 110/10 = 11 A. 
A potência rms dissipada é P = I² R = 11² (10) = 1.210 W. 
 
Entendemos nessa unidade o comportamento das 
grandezas elétricas mediante a aplicação de uma tensão alternada. 
Aprendemos que a tensão e a corrente estão sempre em fase, ou 
seja, o ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente é igual a 
zero. 
 Nas próximas unidades veremos o comportamento de 
outros elementos que compõem um circuito elétrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta figura foi 
retirada da obra 
Eletricidade Básica de 
Milton Gusso W. 
 
86 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Um circuito alimentado em 100 V – 60 Hz alimenta duas 
resistências em paralelo (R1 = 20 ohms e R2 = 50 ohms. Com base 
nesses dados calcule: 
 
a. a corrente elétrica em cada resistência; 
b. a corrente total; 
c. a tensão em cada resistência; 
d. as potências ativa, reativa e aparente do circuito; 
e. desenhe o diagrama de fasores representando tensão e 
corrente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
87 
 
 CHECK LIST 
 
Nessa unidade você pôde aprender: 
 
 a lei de Ohm pode ser aplicada em circuitos de 
corrente alternada; 
 nos circuitos CA somente com resistências, as 
variações na corrente ocorrem em fase com a tensão 
aplicada. 
 
 
 
 
88 
 
 
UNIDADE 8 
CIRCUITOS INDUTIVOS 
 
Objetivos de Aprendizagem 
 
Ao final desta unidade você deverá: 
 
 calcular as grandezas elétricas nos circuitos 
indutivos; 
 identificar as características das grandezas elétricas 
nos indutores quando há aplicação de corrente 
alternada. 
 
 
Plano de Estudos 
 
Esta unidade está dividida em cinco tópicos, 
organizados de modo a facilitar sua compreensão dos conteúdos. 
 
TÓPICO 1: INDUTORES 
TÓPICO 2: REATÂNICA INDUTIVA 
TÓPICO 3: ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES 
TÓPICO 4: CIRCUITOS INDUTIVOS 
TÓPICO 5: POTÊNCIA EM CIRCUITOS RL 
 
 
 
 
 
89 
 
TÓPICO 1 
INDUTORES 
 
Basicamente, o indutor é um dispositivo de dois 
terminais, composto de um fio condutor enrolado em espiral. 
 
 
 
O comportamento dos indutores se baseia em 
fenômenos associados a campos magnéticos. 
A aplicação de uma corrente variável no indutor produz 
um campo magnético variável no seu redor. 
Um campo magnético variável induz uma tensão nos 
terminais do indutor e essa tensão é proporcional à taxa devariação de corrente que o atravessa. 
Matematicamente: 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
L = indutância, H; 
vL = tensão induzida através da bobina, V; 
 
 
Esta figura foi 
retirada do site: 
http://www.ceunes.ufes.br/
downloads/2/helderrocha-
8-
AulaDeCircuitosEletricos1-
Indutores.pdf 
 
Esta unidade 
foi elaborada com base na 
obra Eletricidade Básica de 
Milton Gusso W. 
 
90 
 
 
Δi/Δt = taxa de variação da corrente, A/s. 
 
TÓPICO 2 
REATÂNICA INDUTIVA 
 
A reatância indutiva XL é a oposição à corrente ca devido 
à indutância do circuito. A unidade da reatância indutiva é o ohm. 
A fórmula para a reatância indutiva é: 
 
 
 
 
Onde: 
 
XL = reatância indutiva, Ω; 
f = frequência, Hz; 
L = indutância, H; 
 
Num circuito formado apenas por indutância, pode-se 
aplicar a lei de Ohm para calcular a corrente e a tensão, bastando 
para isso substituir XL por R: 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
IL = corrente por meio da indutância, A; 
VL = tensão através da indutância, V; 
XL = reatância indutiva, Ω. 
 
 
 
91 
 
TÓPICO 3 
ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES 
 
Indutores em Série 
 
Os indutores em série se associam como resistores em 
série. 
 
 veja a seguir a figura de indutores em série: 
 
 
 
A indutância total LT será a soma das indutâncias 
individuais. 
 
 
 
 
 
 
 
Indutores em Paralelo 
 
Os indutores em paralelo se associam como resistores 
em paralelo. 
 
 veja a seguir a figura de indutores em paralelo: 
Esta figura foi 
retirada do site: 
http://www.ceunes.ufes.br/
downloads/2/helderrocha-
8-
AulaDeCircuitosEletricos1-
Indutores.pdf 
 
Leq = L1 + L2 + L3 + ... + Ln 
 
92 
 
 
 
 
 
 
A indutância total de duas bobinas em paralelo é dada 
por: 
 
 
 
 
 
Para n bobinas associadas em paralelo: 
 
 
 
 
 
TÓPICO 4 
CIRCUITOS INDUTIVOS 
 
Somente Indutância 
 
Se em uma tensão CA, v for aplicada a um circuito que 
tenha somente indutância, a corrente CA resultante que passa pela 
indutância iL, estará atrasada com relação à tensão da indutância, 
vL de 90º, com você pode verificar na figura abaixo: 
 
 
Esta figura foi 
retirada do site: 
http://www.ceunes.ufes.br/
downloads/2/helderrocha-
8-
AulaDeCircuitosEletricos1-
Indutores.pdf 
 
93 
 
 
 
RL em Série 
 
Quando uma bobina tem uma resistência em série, a 
corrente I é limitada tanto por XL quanto por R. 
 
 
 
Para associar duas formas de onda fora de fase, 
somamos seus fasores equivalentes. O método consiste em se 
acrescentar a extremidade de um fasor à ponta da seta do outro, 
utilizando o ângulo para identificar a fase relativa. A soma dos 
fasores produz um fasor resultante que parte da base de um fasor 
e vai até a extremidade da seta do outro. Como os fasores VR e VL 
formam um ângulo reto, o fasor resultante é a hipotenusa de um 
triângulo retângulo. Pode-se, então, calcular a tensão total através 
da equação: 
 
 
Esta figura foi 
retirada da obra 
Eletricidade Básica de 
Milton Gusso W. 
 
Esta figura foi 
retirada da obra 
Eletricidade Básica de 
Milton Gusso W. 
 
94 
 
 
Veja a seguir o triângulo retângulo: 
 
O ângulo de fase θ entre VT e VR é: 
 
VR
VL
tg 
 
 
Como VR está em fase com I, θ também é o ângulo de 
fase entre VT e I, onde I está atrasado em relação a VT. 
 
 um circuito CA com RL em série tem uma corrente 
de 1 A de pico com R = 50 Ω e XL = 50 Ω. Calcule: 
 
a. VR, VL, VT e θ; 
b. faça o diagrama de fasores entre VT e I; 
c. faça o diagrama de tempo de i, vR, vLe VT. 
 
 
 
 
Esta figura foi 
retirada da obra 
Eletricidade Básica de 
Milton Gusso W. 
 
Esta figura foi 
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Eletricidade Básica de 
Milton Gusso W. 
 
95 
 
Solução 
 
a. VR = IR = 1.50 = 50 V de pico; 
VL = I XL = 1.50 = 50 V de pico 
22 VLVRVT  = 
22 5050 VT = 70,7 V de pico 
1
50
50
arctgarctg
VR
VL
arctg 
 = 45º 
 
b. Num circuito série, como I é a mesma em R e em XL, 
é conveniente representar I como o fasor de 
referência em 0º. 
 
 
 
c. note que utilizamos como referência a corrente 
elétrica i. A tensão no resistor vR está em fase com a 
corrente i. A tensão no indutor vLestá na frente de i 
em 90º. A tensão total vT está na frente de i em 45º. 
 
Esta figura foi 
retirada da obra 
Eletricidade Básica de 
Milton Gusso W. 
 
96 
 
 
 
 
Impedância RL em série 
 
A resultante da adição dos fasores R e XL é chamada de 
impedância. O símbolo que representa a impedância é o Z. A 
impedância é a reação total ao fluxo de corrente, expressa em 
ohms: 
 
 
 
 
 
 
RL Paralelo 
 
Para circuitos em paralelo contendo R e XL (figura 
abaixo), a mesma tensão aplicada VT passa através de R e de XL, 
pois ambas estão em paralelo com VT. Não há diferença de fase 
Esta figura foi 
retirada da obra 
Eletricidade Básica de 
Milton Gusso W. 
 
 
 
Esta figura foi 
97 
 
entre as tensões. Portanto, VT será usado como fasor de referência. 
A corrente no ramo resistivo IR = VT/R está em fase com VT. A 
corrente no ramo indutivo IL = VT/XL está atrasada em relação a VT 
de 90º porque a corrente numa indutância está atrasada em relação 
à tensão através dela de 90º. O fasor soma de IR e IL é igual à 
corrente total da linha IT. Observe: 
 
 
 
22 ILIRIT  
 
IR
IL
tg 
 
 
 um circuito CA com RL paralelo tem uma tensão 
de pico de 100 V aplicada através de R = 20 Ω e XL = 20 Ω. 
 
 
 
Calcule: 
 
a. IR, IL, IT e θ; 
b. faça o diagrama de fasores entre VT e IT; 
Esta figura foi 
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Milton Gusso W. 
 
98 
 
 
c. faça o diagrama de tempo de vT, iR, iL e iT. 
 
Solução 
 
a. 20
100

R
VT
IR
= 5 A de pico 
20
100

XL
VT
IL
 = 5 A de pico 
2222 55  ILIRIT = 7,07 A de pico 
)1()
5
5
(  arctgarctg
= -45º. 
 
b. Como VT é o mesmo através de todo o circuito em paralelo, VT 
aparece como o fasor de referência em 0º. IT está atrás de VT de 
45º. 
 
 
 
c. note que utilizamos como referência a tensão totalvT. 
A corrente no resistor iR está em fase com a tensão 
vT. A corrente no indutor iLestáatrás de vT em 90º. A 
corrente total iT está atrás de vT em 45º. 
 
 
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Eletricidade Básica de 
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99 
 
 
 
Impedância em RL Paralelo 
 
Para o cálculo da impedância total em paralelo utiliza-se 
a equação: 
 
 
 
 
 
TÓPICO 5 
POTÊNCIA EM CIRCUITOS RL 
 
Num circuito CA com reatância indutiva, a corrente de 
linha I segue atrás da tensão aplicada V. A potência real P é igual 
à tensão multiplicada somente por aquela parte da corrente da linha 
que está em fase com a tensão. Portanto, 
 
 
 
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100 
 
 
Onde θ é o ângulo de fase entre V e I e cos θ é o fator 
de potência do circuito. Além disso: 
 
 
 
 
Onde R é a componente resistiva total do circuito. 
A potência reativa Q em (VAR), é expressa da seguinte 
forma: 
 
 
 
 
A potência aparente S é o produto de V x I. A unidade é 
o (VA). Na forma da equação: 
 
 
 
 
Em todas as fórmulas de potência, V e I são dados por 
valores de rms (eficazes). 
 
 Nessa unidade aprendemos sobre os circuitos 
indutivos. Entendemos qual é o comportamento da tensão e da 
corrente mediante a indutância, característica dos indutores. 
 A próxima unidade tratará de outro elemento 
fundamental dos circuitos elétricos, o capacitor. 
Potência reativa Q = VI sen θ 
 
Potência aparente S = VI 
 
Potência real P = I² R, W 
 
101 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Uma bobina de reatância com resistência desprezível serve para 
limitar a corrente através dela em 50 mA, ao ser aplicada aos seus 
terminais uma tensão CA de 25 V em 400 kHz. Calcule a sua 
indutância. 
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