Análise de circuitos corrente alternada Exercícios resolvidos Rômulo Albuquerque

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An�lise de circuitos corrente alternada - Exerc�cios resolvidos/Analise de Circuitos em Corrente Alternada cod-143X.pdf
Análise de Circuitos em Corrente 
Alternada - Editora Érica 
Análise de Circuitos em Corrente 
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Números Complexos 
? 4
Unidade imaginaria: 
Desta forma: 
ou 
241414 j .).(
Definição: 
1j
12 j
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Deduções: 
jjjjj  ).(. 123
111224  )).((. jjj
jjjjjj  ).).((.. 11225
11112226  )).().((.. jjjj
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Formas de Representação de um Numero Complexo 
•Forma Carteziana 
•Forma Polar 
•Forma Trigonometrica 
Forma Carteziana 
a e b são números reais 
j é a unidade imaginaria 
Z=a+jb 
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Plano Carteziano Z(a,b) 
Eixo Imaginario (Im) 
Eixo Real (R) 
b 
a 
Forma Carteziana 
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Exemplos: 
Representar os números complexos no plano carteziano 
Z1=4+j4 
4 
4 
Im 
R 
Z1 
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Z2=7 (não tem parte imaginaria) 
Im 
R 
Z2 
7 
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Im 
R 
Z3=j3 (não tem parte real) 
3 Z3 
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Z5=3+j3 
Im 
R 
-1 -2 1 
1 
 2 
-1 
-2 
-3 
 3 
2 3 -3 
Z4 
Z5 
Z4=-3+j2 
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Im 
R a 
 b 
o 
P 
Z 
 
Z=a +jb forma carteziana 
Segmento de reta 
ZOP 
Representa o MODULO 
Do numero complexo z 
O ângulo  representa o 
ARGUMENTO ou ÂNGULO DE 
FASE de z 
MÓDULO 
FASE 
Forma Polar 
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Na forma polar um numero complexo é representado por: 
z = Z  
Numero complexo é representado por letra minúscula, z 
E o seu modulo por letra maiúscula, Z 
Z= Z  
Z é o modulo 
 e 
 é a fase do numero complexo 
Forma alternativa 
Forma Polar 
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Transformação da Forma Carteziana para Polar 
Im 
R a 
b 
Z 
22 baZ 
Dado: z=a+jb 
Determinar: Z e  
 
z = Z  
a
b
tg 
a
b
arctg
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Exemplos: 
Transformar os números para a forma polar 
Z1=4+j4 
Im 
R 
4 
4 
Z1 
z1 
1 
24441 22 Z
0
1 45
4
4
 arctg
z1 = 24 045
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Z2=7 (não tem parte imaginaria) 
Im 
R 
7 
Z2 
z2 
2 
z2 = 7 00
2=0
0 
Z2=7 
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z3=j3 (não tem parte real) 
Im 
R 
z3 
Z3 3 
Z3=3 
3 
3=90
0 
z3 = 3 090
Ou.......... 
z3 = 3 0270
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Z4=-3+j2 
Im 
R 
z4 
Z4 
631323 224 ,)( Z
’ 
034
3
2
 arctg'
2 
-3 
4 4=180-34=146
0 
z4 = 3,6 0146
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Z5=-5 
Im 
R 
z5 
Z5=5 
Z5 
5 
5=180
0 
z5 = 5 0180
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Z6=-4-j3 
Im 
R 
-4 
-3 
z6 
Z6 
534 226  )()(Z
6 
’ 
037
4
3
 arctg'
6=180+37=217
0 
z6 = 5 0217
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Z7=-j4 
Im 
R 
z7 -4 
Z7=4 
7 
7=270
0 
z7 = 4 0270
Ou..... 
z7 = 4 090
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Z8=4-j3 
Im 
R 
z8 Z8 
4 
-3 
534 228  )(Z
8 
’ 
037
4
3
 arctg'
8=360-37=323
0 
z8 = 5 0323
ou............... z8 = 5 037
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Operações com Números Complexos 
SOMA e SUBTRAÇÃO 
Na soma e na subtração é usada a forma cartesiana 
z1=10+j10 z2=5+j4 
z3=z1+z2=(10+j10) + (5+j4)= (10+5)+j(10+4)=15+j14 
z4=z1-z2= (10+j10) - (5+j4)= (10-5)+j(10-4)=5+j6 
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MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
Na multiplicação e divisão é usada a forma polar 
z1=4+j4=5,65 450 
z2=5+j8,66=10 600 
 
 
Z4= -5+j8,66= 10 1200 
Z3=-j4=4 -900 
Operações com Números Complexos 
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Exercícios Propostos 
Dados os complexo: 
Z3=-j4=4 -900 
z1=4+j4=5,65 450 z2=5+j8,66=10 600 
 
 Z4= -5+j8,66= 10 1200 
Obter: 
a) Representação no plano cartesiano de z1,z2,z3 e z4 
b) z2.z4 z2.z3 
c) z2/z4 z2/z3 
An�lise de circuitos corrente alternada - Exerc�cios resolvidos/CCAexerResolvidos 1.pdf
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Análise de Circuitos em Corrente Alternada 
Resolução dos Exercícios Propostos 
Capítulo 1 
 
1.1 - Converter na forma polar 
a) z1 = 20 -j10 ⇒ tg φ = 10/20 =0,5 ⇒ φ = -26,5º (4º quadrante) 
 3,221020Z1 22 =+= 
Z1 = 22,3 -26,5º 
 
b) z2 = 10+ j15 ⇒ tg φ =15/10 =1,5 φ = 56,3º (1º quadrante) 
 181015Z2 22 =+= 
Z2 = 18 56,3º 
 
c) z3 = -50 + j30 ⇒ tg φ = 30/50 = 0,6 φ = 31º (2º Quadrante) 
 3,583050Z3 22 =+= Z3 = 58 149º 
 
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d) z4=-6-j12 ⇒ tg φ = 12/6 = 2 φ = 63,4º 
 4,13)12-()6(-Z4 22 =+= Z4 = 13,4 243,4º =13,4 -116,5º 
 
e) Z5 =5 ⇒ φ = 0º Z5 =5 0º 
 
f) Z6 = -15 φ = 180º Z6 = 15 180º 
 
 
g) Z7 = j25 ⇒ φ =90º Z7 = 25 90º 
 
 
 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 3 
 
h) Z8 = -j9 φ = 270º ou φ = -90º Z8 = 9 270º =9 -90º 
 
 
1.2 - Converter na forma cartesiana 
a) Z1=50 30º Z1 = 50.cos30 + j50sen30 = 43,3 + j25 
 
 
b) Z2 = 100 150º = 100. Cos150 + 100.sen150 = -86,66 + j50 
 
c) Z3 = 10 -30º = 10.cos(-30) + j10sen( -30) = 8,66 -j5 
 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 4 
 
d) Z4 = 25 90º = 25.cos90 + j25.sen90 = 0 + j25= j25 
 
 
e) Z5 = 45 -90º = 45.cos(-90º) + j45.sen(-90º) = 0 -j45 = -j45 
 
 
f) Z6 = 220 0º = 220.cos0º + j220.sen0º = 220 
 
 
g) Z7 = 3,56 45º = 3,56.cos45º + j.3,56.sen45º = 2,52 + j2,52 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 5 
 
h) 67 180º = 67.cos180º + j.sen180º = -67 
 
1.3 - Operações
com números complexos 
Z1 = 40 - j100 Z2 = 50 30º Z3 = 5 + j8,66 Z4 = -20 - j40 
Z1 = 107,7 -68º , Z2 = 50cos30º + j50sen30º= 43,3 + j25, Z3 = 10 60º 
Z4 = 44,7 243,4º 
Efetuar as operações: 
a) Z1 + Z2 = (40 - j100) + (43,3 + j25) = 83,3 - j75 
b) Z1 + Z4 = (40 - j100) + (-20 -j40) = 20 - j140 
c) Z2 + Z4 = (43,3 + j25 ) + (-20 -j40) = 23,3 - j15 
d) Z1 - Z2 = (40 - j100) - ( 43,3 + j25) = 3,3 - j125 
e) Z2 - Z3 = (43,3 + j25) - (5+ j8,66) = 38,3 + j16,34 
f) Z3 - Z4 = (5+ j8,66) - (-20 - j40) = 25 + j48,66 
g) Z23 = Z3.Z3 = 10 60º . 10 60º = 100 120º = 100.cos120º + jsen120º = 
 = - 50 + j86,6 
h) Z1.Z3 = 50 30º .10 60º = 500 90º = j500 
i) Z4 / Z1 = (44,7 243,4º ) / ( 50 30º ) = 0,89 213,4º = 
 = 0,89.cos213,4 + j0,89.sen213,4 = -0,74 - j0,49 
j) (Z1.(Z2+Z3))/Z4, Z2+Z3 = (43,3 + j25) + ( 5+ j8,66) = 48,3 + j33,66 = 58,8 34,8º 
(107,7 -68º .58,8 34,8º ) / 44,7 243,4º = 141,7 -276,6º = 
 141,7.cos(-276,6º) + j141,7.sen(-276,6º) = 16,3 + j140,7 
 
Capítulo 2 
2.1 - 1 - Dadas as tensões representadas pelos gráficos seguintes, pede-se determinar: 
a) Valor de pico a pico 
b) Período, freqüência e freqüência angular 
c) Fase inicial e defasagem entre eles 
d) Expressão matemática 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 6 
 
 
a) Dos gráficos obtemos: 
 Tensão1: VP1 =12v VPP1 =24V tensão2 : VP2 =16V VPP2 =32V 
 
 
b) Período 
 Tensão1: 40ms (45ms -5ms) tensão2: 40ms 
 freqüência 
 tensão 1: f1 = 1/40ms =25Hz f2 = 1/40ms = 25Hz 
 ω1= ω2 = 2.π.25 = 157 rd/s 
c) Fase inicial 
 Tensão 1: para t = 5ms ⇒ v(5ms)=0 = 12.sen(157.5.10-3 + θ01) ⇒ 
 Significa que sen(0,785 +θ01) = 0 ⇒ 0,785 + θ01 = 0 ⇒ θ01 = -0,785rd ou θ01 = -45º 
 Tensão 2: para t =0 ⇒ v(0) =16V = 16.sen(157.0 + θ02), usando o mesmo raciocínio 
 obtemos: θ02 = 90º 
 Portanto, a defasagem entre elas é ∆ θ0 = 90 - ( -45) = 135º 
 Tente desenhar o diagrama fasorial, representando as duas tensões. 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 7 
 
d) v1(t) = 12.sen(2.π.25.t -45º)(V) =12.sen(50.π.t - 45º)(V)= 12.sen(157.t - π/4)(V) 
 v2(t) = 16.sen(50.π.t + 90º)(V) =16.sen(157.t + π/2)(V) 
 
2.2 - Tensão senoidal: f = 100Hz VP = 10 θ0 = - π/3 rd = - 60º 
a) T = 1 / f = 1/ 100 = 0,01s = 10ms ω = 2.π.100 = 628 rd/s 
b) V(t) = 10.sen(628.t - 60º ) ( V )= 10.sen(628.t - π/3 ) ( V ) 
 
 
Diagrama Fasorial 
2.3 - V1 = 12 -45º V2 = 16 90º 
 
 
 
Representação de tensão usando número complexo 
 
2.4 - v1(t) = 12.sen(50.π.t - 45º)(V) = 12 -45º = 12.cos(-45º) + j.12sen(-45º) = 
 = 8,48 - j8,48 ( V ) 
v2(t) = 16.sen(50.π.t +90º)(V) = 16 90º = j16 ( V ) não tem parte real !! 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 8 
 
Operações com Diagrama Fasorial e Números Complexos 
 
2.5 - V1 = 30 0º = 30 (V) 
 V2 = 20.sen(w.t + π/2 ) ( V ) = j20 ( V ) 
Obter: 
a) V3 = V1 + V2 fasorialmente 
 
 
 V3 = V36)30()20( 22 =+ com fase dada por: tg φ = V2 / V1 = 20/30 =0,666 logo 
φ = 33,7º ⇒ V3 = 36 33,7º ( V ) 
 
b) V3 = V1 + V2 = 30 + j20 ( V ) 
c) V(t) = V1(t) + V2(t) = 30.sen(w.t) + 20.sen(w.t + 90º) = 36.sen(w.t + 33,7º )(V) 
d) Na soma ponto a ponto, em cada instante somamos V1 com V2, por exemplo no instante t = 0 
V1(0) = 0 e V2(0) = 20V, portanto V3(0) = 0 + 20 = 20V e assim por diante. Tente fazer com papel 
milimetrado. 
e) V4 = V1 - V2 fasorialmente 
Observe que V1 - V2 é a mesma coisa que V1 + (-V2), 
 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 9 
 
f) Observe que o módulo de V4 é igual ao módulo de V3, mas com fase diferente, logo podemos 
escrever as expressões de V4 na forma cartesiana e polar: 
V4 = 36 - 33,7º (V) e V4 =36.cos(-33,7º) + j.36.sen(-33,7º) = 30 - j20(V). 
g) V4(t) =36.sen(w.t - 33,7º)(V) 
 Circuitos Resistivos em CA 
 
2.6 - Dado o circuito, determinar: 
 
 
a) Expressões de v(t) e i(t) 
 A resistência equivalente é RE = 5K e a corrente no circuito será dada por: 
I = V/RE = (12 90º ) / ( 5 0º ) = 2,4 90º ( mA ) = 2,4.sen(w.t +90º) (mA) 
 V(t) = 12.sen(w.t +90º)(V) 
 
b) 
 
 
c) V1 = R1.I = 20 0º .2,4mA 90º = 4,8 90º (V) 
 V1(t) = 4,8.sen(w.t +90º) (V) 
V2 = R2.I = 3K 0º .2,4mA 90º =7,2 90º 
 V2(t) = 7,2.sen(w.t + 90º )(V) 
 
 
 
d) As duas tensões estão em fase. 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 10 
 
 
e) Potências de pico: 
 PPG =VP.IP = 12V.2,4mA = 28,8mW 
 PP1 =VP1.Ip = 4,8V.2,4mA = 11,52mW 
 PP2 =VP2.Ip = 7,2V.2,4mA = 17,28mW 
 Potências médias: 
 PMG = PPG / 2 = 14,4mW 
PM1 = PP1/2 = 5,76mW 
PM2 = PP2/2 = 8,64mW 
f) Veja a figura 2.9, página 51 
An�lise de circuitos corrente alternada - Exerc�cios resolvidos/CCAexerResolvidos 2.pdf
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 11 
 
Capítulo 4 
4.1 - Dados: bobina ideal com XL= 50Ω e v(t)=20.sen(5.102.t + 90º)(V) 
 
 
a) v = 20 90º (VP) XL = 50 90º (Ω) 
 
I = V/XL = ( 20 90º ) / (50 90º ) = 0,4 0º (AP) 
 
 
Logo: i(t) = 0,4.sen(5.102.t ) ( A ) 
 
 
b) VRMS = (20V) / ( 2 ) = 14,14V IRMS = ( 0,4A ) / ( 2 ) =0,28A 
 
 
c) XL=w.L como w=500rd/s ⇒ L = (50Ω) / (500rd/s) = 0,1H = 100mH 
 
d) 
 
 
4.2 - Dados i(t) = 100.sen (103.t +45º) (mA) 
 e XL = 250 90º (Ω) 
 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 12 
 
a) I = 100 45º ( mAP ) = 0,1 45º (mAP) 
 
v = XL.I = 250 90º .0,1 45º = 25 135º (VP) 
 
 
v(t) = 25.sen(103.t + 135º )(V) 
 
b) VRMS =(25V) /( 2 ) = 17,7V e IRMS = (100mA) / ( 2 ) =70,7mA 
 
c) 
 
 
4.3 - Dado o circuito e v(t) =20.sen(104.t -90º)(V) = 20 90º ( VP ) 
 
 
a) XL = w.L = 104.0,5 = 5000Ω =5KΩ = 5 90º (kΩ) 
 
I = U/XL = ( 20 -90º ) / ( 5 90º ) = 4 -180º (mAP) i(t)=4.sen(104.t - 180º)(mA) 
 
b) VRMS = (20V) / 2 ) = 14,14V e IRMS = (4mA ) / ( 2 ) = 2,8mA 
 
c) XL = 5kΩ 
 
 
 
 
 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 13 
 
d) 
 
4.4 - Dado o circuito 
 
 
a) Z = R + jwL = 20 + j40 (Ω) ou Z = 44,7 63,4º (Ω) 
 
 Z = 44,7=40+20 22 tg φ = ( 40/20) = 2 φ = 26,6º 
 
b) L =XL/w = 40 /377 = 106mH 
 
c) I =U/Z = ( 20 90º ) / ( 44,7 63,4º )= 0,447 26,6º(AP) 
 
portanto: i(t) = 0,447.sen( 377.t + 26,6º ) ( A ) IRMS =0,447/ 2 =0,316A 
 
d) VR = R.I = 20 0º . 0,447 26,6º = 8,94 26,6º ( V ) 
 
VL = XL.I = 40 90º .0,447 26,6º( V ) = 17,9 116,6º ( V ) 
 
e) 
 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 14 
 
4.5 - Dado o circuito e vR(t) = 10.sen(w.t -30º ) (V). Calcular: 
 
a) VR = 10 -30º (VP) w =2.π.60 = 377rd/s 
 
 I=VR/R = (10 -30º ) / ( 100 0º ) = 0,1 -30º (AP) IRMS = 70,7mA 
 
 Logo: i(t) = 0,1.sen(377.t -30º) ( A ) 
 
 
 XL= w.L = 377.0,15 = 56,5 Ω = 56,5 90º (Ω) e portanto 
 
 Z = R +jw.L com ⎥ Z⎥ = 114,8=56,6+100 22 Ω e fase 
 tgφ = 56,5 /100 = 0,565 φ = 29,5º 
Z =114,8 29,5º ( Ω ) e como v = Z.I resulta: 
 
V= 114,8 29,5º .0,1 -30º = 11,5 -05º (VP) 
 
 e v(t) =11,5.sen(377.7 -0,5º ) ( V ) 
 
4.6 - Dado o circuito e V = 42,4 0º (VRMS) VL = 30 45º (VRMS)
a) Calcular Z, I = VL/XL = (30 45º ) / ( 30 90º ) = 1 -45º (ARMS) 
 sabemos que ⎥ V⎥ = 22 VL+VR , isto é, 42,4 = 22 30+VR então tiramos que: 
VR = 22 30-42,4 =30V e VR = 30 -45º ( VRMS ) e portanto 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 15 
 
 
Z = U/I = (42,4 0º ) / ( 1 - 45º) = 42,4 45º ( Ω ) = 30 + j30 (Ω) 
 
b) Como R = VR / I =(30 -45º) / (1 -45º ) =30 0º ( Ω ) 
 
R = 30 Ω L = 79,5mH 
 
4.7 - Dado o circuito, calcular: 
 
 a) Calcular φ (defasagem entre U e I) 
 Cálculo da impedância do circuito: Z = R + jXL = 10 + j15 ( Ω ) 
 ⎥ Z⎥ = 18Ω=15+10 22 tgφ = 15/10 =1,5 ⇒ φ = 56,3º 
Portanto, Z = 18 56,3º ⇒ I = U/Z = (110 0º ) / (18 56,3º) = 6,1 -56,3º (ARMS) 
 
Portanto, a defasagem entre U e I é φ =56,3º L =39,8mH 
 
b) Cosφ = cos56,3º = 0,55 
 
 
c) P = V.I.Cosφ = 110.6,1.0,55 = 369W 
 
 PR = V.I.senφ = 110.6,1.0,83 = 558VAR 
 
 PAp = V.I = 110.6,1 = 671V 
 
4.8 - Dados do circuito I = 25A f = 60Hz FP = cosφ = 0,75 V = 220 0º (VRMS). 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 16 
 
 
a) PAP = V.I = 220.25 =5500VA =5,5KVA 
 
 P=V.I.cosφ = 220.25.0,75 =4125W 
 
 PR = V.I.senφ = 220.25.0,66 = 3637VAR 
 
b) PR = VL.I = XL.I2 ⇒ XL = 3637/(25)2 = 5,81 Ω, portanto L = 5,81/377 =15,4mH 
 
e como P = R.I2 ⇒ R = 4125W / 252 = 6,6 Ω 
 
 
 
 
4.9 - Dados de uma instalação: P = 5KW PR = 3KVAR U =220 VRMS 
a) F.P = cosφ = P / PAP e PAp = 5,83KVA=3+5=P+P 222R2 
 
 FP = P/PAP = 5KW / 5,83KVA =0,857 L=11,33mH R= 7.12Ω 
 
b) Como PAP =U.I, então I = PAP / U = 5830 /220 = 26,5A 
 
Circuito Paralelo 
 
4.10 - Dado o circuito, calcular: 
 
 
a) Impedância complexa (Z) 
 Z = ( XL.R ) / ( 2L
2 X+R ) =(300.400)/ ( 22 300+400 ) = 240 Ω 
 φ = 90º - arctg(XL/R ) ou φ = arctg ( R/XL ) φ = arctg(400/300) = 53,1º 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 17 
 
 
logo Z = 240 53,1º ( Ω ) ou Z = 144,1 + j192 ( Ω ) 
 
b) I = U/Z = (100 0º ) / ( 240 53,1º ) = 0,416 -53,1º (AP) 
 
logo: i(t) = 0,416.sen ( 377.t -53,1º ) ( A ) IRMS=294mA 
 
 IR = VR /R = (100 0º ) / (400 0º ) = 0,25 0º (AP) 
 
 Logo: iR(t) = 0,25.sen(377.t) ( A ) IRrms =176,7mA 
 
IL = VL / XL = (100 0º ) / (300 90º ) = 0,333 -90º ( AP ) 
 
 Logo: iL(t) = 0,333.sen(377.t -90º ) ( A ) ILrms =235,4mA 
 
c) Como XL =300Ω = 377.L ⇒ L = 300/377 = 0,795H = 795mH 
 
d) FP = cosφ = cos53,1º =0,6 P = 70,7.0,29.0,6 = 12,48W 
 
e) 
 
 
4.11 - De um circuito RL paralelo são fornecidas: defasagem entre U e I 30º, 
U = 10 VRMS IRMS =100mA, fase da tensão 0º e freqüência 60Hz. 
 
 
a) U = 10 0º (VRMS) como a defasagem entre a tensão e a corrente é 30º e 
o circuito é indutivo, podemos escrever I = 100 -30º (mARMS), 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 18 
 
i(t) = 100 . 2 .sen(377.t -30º) (mA) 
 portanto a impedância será dada por: 
Z = U/I = (10 0º ) / ( 100 -30º ) = 0,1 30º ( KΩ ) = 100 30º ( Ω ) 
 Mas cosφ= Z/R (veja página 91 livro Análise de Circuitos em Corrente Alternada) e como 
φ =30º ⇒ cosφ 30º = 0,866 portanto R = 100/0,86 =116,27 Ω 
 
Então IR = U/R = (10 0º ) / ( 116,27 0º ) = 86 0º (mARMS) 
 Sabemos que 2L
2
R
2 I+I=I , portanto RMS
22
L 51mA=86-100=I 
 
Portanto: iL(t)=51. 2 .sen(377.t - 90º) (mA) 
 
 
b) Z = 100 30º (Ω) R = 116,27 Ω 
 
 
XL = U/IL = (10 0º ) / ( 51 -90º ) = 196 Ω ⇒ L = 196 /377 = 520mH 
 
 
c) Diagrama Fasorial 
 
 
4.12 - Dado o circuito e I = 3,6 -30º (ARMS) 
 
a) Se a fase inicial da tensão é nula e a fase da corrente é -30º, significa que a defasagem ( φ ) 
entre a tensão e a corrente total é 30º e como: 
 tg φ = R/XL ⇒ tg30º = 0,577 = R/XL R = XL.0,577 e 
XL = 2.π.60Hz.0,1H =37,7Ω ⇒ R = 37,7 .0,577 = 21,8 Ω 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 19 
 
 Z = ( XL.R)/( 18,87Ω=37,7+21,8)/(37,7.21,8=X+R 222L
2 
 
V = Z.I =18,87.3,6 = 68 VRMS V =68 0º (VRMS) 
 
b) PAP = 68.3,6 =245VA P = V.I.cosφ = 245.0,86 = 212W 
 
PR = V.I.senφ = 245.0,5 =122,5VAR IRrms = 212 W / 68V = 3,11A 
 
c) FP = cosφ = 0,86 ILRMS = 122,5VA/68V =1,8A 
 
d) Diagrama Fasorial: é igual ao do exercício anterior 
 
 
 
 
 
 
An�lise de circuitos corrente alternada - Exerc�cios resolvidos/CCAexerResolvidos 3.pdf
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 20 
 
Capítulo 5 
 
5.1 - A tensão v(t) é aplicada no circuito. Considerando que VC(0) =0, calcular: 
 
 
a) A constante de tempo do circuito será τ =R.C =103.10-9 = 1µs 
 período: T = 10µs ⇒ f = 1/T = 100KHz 
b) No intervalo de 0 a 5 µs a tensão aplicada no circuito é 10V, e o capacitor está se carregando, 
após cinco constantes de tempo (5µs) o capacitor pode ser considerado totalmente carregado 
(VC = 10V). Desta forma, a expressão de v(t) é a da carga de um capacitor: 
 
 v(t)=10.(1-e-t/1µs)(V) 
 
No intervalo de 5µs a 10µs a tensão de entrada é zero, portanto C se descarrega com constante 
de tempo 1µs. Após cinco constantes de tempo (5µs) o capacitor pode ser considerado 
totalmente descarregado. Desta forma a expressão de v(t) é a da descarga de um capacitor: 
 
 v(t) =10.e-t/1µs (V) 
 
 
 
 
 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 21 
 
c) Em seguida são apresentadas as formas de onda de entrada e no capacitor obtidas no 
simulador EWB 5. 
 
 
5.2 - No circuito, qual o valor mínimo de R para que o capacitor demore no mínimo uma hora para 
se carregar? 
 
 
Para carregar totalmente é necessário um tempo mínimo de quatro constantes de tempo 
 
 t ≥ 5. τ = 5.Rmin.1000 µF ou 3600s ≥ 5.Rmin.10-3 ou R ≥ (3,6.106)/5 = 720K 
 caso consideremos tempo mínimo de carga t ≥ 4. τ = 4.Rmin.1000 µF 
 
então obteremos R ≥ (3,6.106)/4 = 900K 
 
5.3 - Se C = 33µF, em que freqüência terá reatância de a) 10Ω ? b) 1KΩ ? 
 XC = 1/(2.π.f.C) ⇒ f = 1/(XC.2.π.C) 
a) f = 1/(10.2.π.33.10-6) =482 Hz ⇒ f =482 Hz 
b) f=1/(1000.2.π.33.10-6) = 4,82 Hz ⇒ f=4,82 Hz 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 22 
 
5.4 - Calcule a intensidade da corrente no circuito. 
 
 
V= 48 -60º (VRMS) Xc = 1/(2.π.60.5,6.10-9) = 474KΩ 
 
XC= 474 -90º (KΩ) ⇒ 
 
 I=V/XC = (48 -60º ) / (474 -90º ) = 0,1 30º (mARMS) 
 
 
5.5 - Em que freqüência a corrente no circuito vale: a) 10mA b) 1A ? 
 
 
a) I = V/XC ⇒ XC = 60V/10mA =6KΩ ⇒ 6000 = 1/(2.π .f.100.10-6) 
 
 f= 1/(6.103.2.π.100.10-6) = 0,26Hz 
 
b) XC =60V/1A =60Ω ⇒ f = 1/(60.2.π.100.10-6) = 26,5Hz 
 
 
 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 23 
 
5.6 - De um circuito RC série são dados: φ= 60º Z = 200Ω f =500Hz 
 
 
 
a) tgφ =(XC/R) e cosφ=(R/Z), logo cos60º =0,5 (R/200) ⇒ 
 
 R = 0,5.200=100Ω 
 
tg60º = 0,577 =XC/100 ⇒ XC =173,2Ω = 1/(2.π.500.C) ⇒ C = 1/(173,2.2.π.500) 
 
 ⇒ C= 1,8µF 
 
Se V=10 VRMS ⇒ IRMS = 10V/200Ω = 50mA ⇒ VR = R.I =100.0,05 =5V 
 
 VC = XC.I = 173,2.0,05 = 8,66V 
 
5.7 - Dado o circuito, pedem-se: 
 
 
c) Corrente no circuito e impedância.
XC = 1/(2.π.1000.1.10-6) = 159,2Ω XC = 159,2 -90º 
 Portanto: Z = 100 -j159,2 (Ω) ou ⎥ Z⎥ = Ω188=2,159+100=X+R 222C2 
tgφ = (XC)/R =159,2/100 =1,59 ⇒ φ = -57,8º ⇒ Z = 188 - 57,8º ( Ω ) 
I = V/Z = ( 10 0º ) / ( 188 -57,8º ) = 53,2 57,8º (mARms) 
 
b) Tensões em R e em C 
VR = R.I =100 0º . 53,2 57,8º = 5,32 57,8º (VRMS) 
 
VC = XC.I = 159,2 - 90º . 53,2 7,8º = 8,45 - 32,2º (VRMS) 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 24 
 
c) Diagrama fasorial 
 
 
5.8 - Dados de um circuito RC série: VC = 80 0º (VRMS), VR = 80VRMS 
 I = 0,2ARms f=60Hz 
a) Qual a tensão do gerador e a impedância do circuito? 
 
 Dos dados do problema obtemos: R = VR /I = 80V/0,2A = 400 Ω. 
 Como a corrente está 90º adiantada em relação à tensão no capacitor, podemos escrever a 
expressão complexa da corrente: 
I = 0,2 90º (Arms) e podemos determinar XC. 
 
XC = VC / IC = (80 0º )/0,2 90 =400 - 90º ( Ω ) 
 
 ⎥ Z⎥ = Ω==+ 5642.400400400 22 com fase tgφ= XC / R =400Ω / 400Ω=1 
 
portanto φ =45º ⇒ Z =564 - 45º 
 
 
 V = Z.I =564 - 45º . 0,2 90º =112,8 45º 
 
b) v(t) =112,8. 2 .sen (377.t +45º) (V) 
 
 vR(t) = 80. 2 .sen(377.t +90º) (V) 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 25 
 
 
 vC(t) =80. 2 .sen(377.t)(V) 
 
c) Diagrama fasorial 
 
5.9 - Sendo FP = 0,8, qual deve ser o valor de C ? 
 
 Como FP =0,8 = cosφ = R/Z ⇒ Z = 100Ω/0,8 =125Ω e como 
⎥ Z⎥ = 2C2 X+R ⇒ XC = Ω=− 75100-125 22 ⇒ C = 1/(2.π.50.75) =42,4µF 
 
 IRMS = 120V / 125Ω = 960mA VR =R.I = 100.0,96 = 96V e 
 
 VC = XC.I = 75.0,96 =72V 
 
5.10 - Sendo VC =VR / 3 no circuito, calcular: 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 26 
 
a) VC e VR estão relacionadas com a tensão total por: 
 2R2R
2
C
2
R
2 )
3
V
(VVV110 +=+= ⇒ VR =104,3V e VC =34,8V 
b) Sabemos que cosφ = VR/ V 
 (veja a página 120 livro Análise de Circuitos em Corrente Alternada) 
 logo cosφ =104,3/110 =0,948 ⇒ φ =18,5º 
 por outro lado, tgφ =XC/R ⇒ tg18,5º =0,335 = XC/50 ⇒ XC =16,75Ω 
 
e como XC = 1/2.π.60.C ⇒ C= 1/2.π.16,75.60 =159µF 
 
c) φ =18,5º 
 
5.11 - Dados de um circuito RC série: φ =30º, V=110 V / fase 0º/ 60Hz, 
 I =5A (todos os valores RMS). Calcular: 
a) VC e VR b) Z e I c) P , PR e PAP 
 
Como Z =V/I = 110V/5A = 22Ω Z= 22 -30º ( Ω ) 
 como o circuito é capacitivo, a corrente está adiantada em relação à tensão, logo: 
 I = 22 30º (A) 
 
 Por outro lado, cosφ =0,866 = R/Z ⇒ R = 22.0,866 = 19Ω 
 
 Como tgφ =0,577 = XC / R ⇒ XC =19.0,577 = 11Ω C =241,1µF 
 
 VR = R.I = 19Ω.5A = 95V e VC = XC.I = 11Ω.5A = 55V 
 
 
b) Z= 22 - 30º (Ω) Z = 19 - j11 (Ω) 
 
c) P = V.I.cosφ = 110V.5A.0,866 = 476 W PAP = 550VA 
 
 PR =550.senφ=550.0,5=275VAR 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 27 
 
Circuito RC Paralelo 
5.12 - Dado o circuito, pedem-se: a) Impedância (Z) b) Corrente total 
d) Diagrama fasorial 
 
 
a) XC =1/2.π .60.2,6.10-6 =1020 Ω 
Ω=
+
=
+
=
+
=
+
= K 0,714
1(1,02)
1,02.1
RX
R.X
)
X
R(1
R
(w.C.R)1
RZ
2222
C
C
2
C
2
 
cosφ = 714/1000 =0,714 ⇒ φ =44,4º ⇒ Z= 714 - 44,4º ( Ω ) ou 
 
 Z=714.cos(-44,4º) + j714.sen(-44,4º ) = 510 -j500 ( Ω ) 
 
 Z= 510 - j500 ( Ω ) 
 
b) I = V/Z = (50 30º ) / ( 714 -44,4º ) = 70 74,4º (mA) 
 
 I = 70 74,4º (mA) ou I = 18,8 + j67,4 (mA) 
 
i(t) = 70. 2 .sen(377.t+74,4º) (mA) 
 
 IR = V/R =( 50 30º ) / (1000 0º ) = 50 30º (mA) 
 
 IR = 50 30º (mA) 
 
 IC = V/XC = (50 30º ) / (1020 -90º ) = 49 120º (mA) 
 
IC =49 120º (mA) 
 
 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 28 
 
c) Diagrama fasorial 
 
5.13 - De um circuito RC paralelo são dados: IC =3A 
 I = 5 60º (Arms) e R = 10Ω. Calcular: 
a) Corrente no resistor b) Tensão do gerador c) Impedância complexa 
d) Ângulo de defasagem (φ) e) Todas as potências (P, PAO e PR) 
 
f) Diagrama fasorial 
a) 4A3-5I -II 222C
2
R === 
 sabemos que cosφ = IR/I (veja página 129 livro Análise de Circuitos em Corrente Alternada) 
 cosφ =4A/5A = 0,8 ⇒ φ = 37º (defasagem entre U e I). 
Como a tensão está atrasada 37º em relação à corrente que tem fase 60º, concluímos que a fase 
da tensão é 60º - 37º = 23º e como a corrente no resistor está em fase com a tensão, então: 
IR = 4 23º (A) , portanto V = R.IR = 10 0º . 4 23º =40 23º (V) 
 
b) V = 40 23º (V) 
 
 XC = 40/3 = 13,33Ω ⇒ C = 1/2.π.60.13,33 = 199µF 
 
c) Z = V / I = (40 23º ) / ( 5 60º ) = 8 - 37º (Ω) 
 
Z = 8 - 37º (Ω) 
 
d) φ = 37º 
 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 29 
 
e) P = V.I.cosφ = 40.5.cos37º = 160 W 
 
 PAP =40.5 =200VA 
 
 PR =200.sen37º = 120VAR 
 
f) Diagrama fasorial 
 
5.14 - De um circuito RC paralelo são dados: Z = 50 -30º ( Ω ), tensão 
v =110 0º ( VRMS ) / 60Hz. Calcular: a) Valor de C b) i(t) c) Diagrama fasorial. 
 
 
a) I =V/Z = (110 0º ) / ( 50 - 30º ) = 2,2 30º ( A ) 
 Sabemos que cosφ =Z/R ⇒ Cos(-30º) = 0,866 = 50/R ⇒ R = 57,7 Ω, portanto 
 IR =110V/57,7Ω = 1,9A ⇒ 1,1A=1,9-2,2=I-I=I 222R2C ⇒ 
 XC =110V/1,1A = 100 Ω ⇒ C = 1/2.π.100.377 = 26,5µF 
 
b) I = 2,2 30º ( ARMS ) i(t) = 2,2. 2 .sen(377.t + 30º ) ( A ) 
 
c) D.F 
 
An�lise de circuitos corrente alternada - Exerc�cios resolvidos/CCAexerResolvidos 5.pdf
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 36 
 
Capítulo 6 - Aplicações de Circuitos RL e RC 
6.1 - Projetar um FPB com circuito RL de forma que a fC =3KHz. Dado: R =1,5KΩ 
 
 WC =2.π .3.103 = 18,84.103 rd/s =R/L = ⇒ L = 1,5.103 / 18,84.103 = 79,6mH 
 L= 79,6mH 
 
6.2 - Para o circuito, pedem-se: 
a) Freqüência de corte (fC) 
b) Expressão complexa do ganho 
c) Expressão do módulo do ganho 
d) Tensão complexa na saída se Ve = 10 0º (V) e w = 2.wC 
 
a) wC = R/L = 4,7.103 /0,1 = 47.103 rd/s ⇒ fC = wC / 2.π =47.103 / 6,28 = 7,5KHz 
 
 fC = = 7,5KHz e wC = 47.103 rd/s 
 
b) 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ )
47.10
w(j+1
1=A
3
V 
c) 
2
3
V
)
47.10
w(+1
1=A 
d) Para w = 2.wC = 2.47.102 =94.102 rd/s 0,447
)
47.10
94.10(+1
1=A
2
3
3V
= 
 Nessa freqüência a fase será igual α = - arctg w/wC = - arctg 2.wC/wC = 
 = -arctg2 =- 63,4º 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 37 
 
VS = AV.Ve = 0,447 -63,4º .10 0º = 4,47 -63,4º (V) 
 
 VS = 4,47 -63,4º (V) 
 
6.3 - Projete um FPB com circuito RC, de forma que a freqüência de corte seja 2KHz. 
 Dado: C=4,7nF 
 fC =2.103Hz = 1/2. π .R.C ⇒ R = 1/2. π .2.103.4,7.10-9 = 16.940Ω 
 R= 16940Ω 
 
6.4 - Esboce a curva de resposta em freqüência do seguinte circuito: 
 
 
Observação: a) note os valores indicados pelos ponteiros nas duas curvas. 
Esses gráficos foram feitos no EWB 5.0 
 
6.5 - Projete um FPA com circuito RL, de forma que a freqüência de corte seja
de 500Hz. Dado: 
L=500mH 
Como wC = R/L =2.π.500 ⇒ R = 1570Ω 
 
 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 38 
 
6.6 - Esboce a curva de resposta em freqüência AVxW do circuito seguinte. 
 
 
6.7 - Projete um FPB, com RC, para que na saída a forma de onda seja triangular quando a entrada 
é quadrada e com freqüência de 1KHz. 
 Sabemos que para funcionar como integrador w >> wC, isto é, 
 2.π.103 >> 1/R.C ⇒ RC >> 1/2. π.103 ⇒ RC >> 159.10-6 s ou 
 RC >159.10-5s (100 vezes maior) 
 
 adotando C =1,6µF ⇒ R = 1.103Ω =1KΩ , o que resulta um 
 
 circuito com freqüência de corte de 100Hz 
 
 
 
 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 39 
 
Circuito 
 
 
Formas de Onda 
 
 
Curva de resposta em freqüência 
 
 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 40 
 
6.8 - Projete um FPA com RC, para que na saída a forma de onda seja diferenciada, quando a 
entrada for quadrada e com freqüência de 1KHz. 
 Agora, para que o circuito comporte-se como diferenciador, deve ser observada a condição: fC 
>>f como f=1KHz ⇒ fC=10KHz 
 Adotando C = 1,6nF ⇒ R = 1/2.π .10.103.1,6.10-9 ≅10KΩ 
 
Circuito 
 
 
Formas de Onda 
 
 
 
 
 
An�lise de circuitos corrente alternada - Exerc�cios resolvidos/CCAexerResolvidos 6.pdf
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 30 
 
Capítulo 7 
Correção do Fator de Potência 
7.1 - De um circuito RLC série são dados: φ=60º f=60Hz Z=200Ω e XC =2.XL 
Calcular: a) Se o circuito é indutivo ou capacitivo b) R, L e C. 
 c) Diagrama fasorial. 
 
a) Se XC > XL, então o circuito é capacitivo 
 
b) Sabemos que 200=)X-(X+R=Z 2CL
2 (Veja a página 167 livro Análise de Circuitos em 
Corrente Alternada) e como XC =2.XL, substituindo essa condição resulta: 
 2LL
2 )2.X-(X+R=200 = 2L
2 )(-X+R=200 por outro lado, sabemos que: 
cosφ =R/Z (Veja a página 167 do livro Análise de Circuitos em Corrente Alternada) e como foi 
dado φ=60º ⇒ cos60º=0,5 =R/200 ⇒ R = 100Ω, 
 
 portanto, substituindo esse valor na expressão anterior resulta: 
 2L
2 )(-X+100=200 ⇒ XL2 = 2002 - 1002 = ou 
 =10000-40000=XL 173,5 Ω ⇒ L = 173,5/377 = 459mH 
 L = 459mH como XC = 2.XL = 2.173,5 = 347Ω, portanto: 
C = 1/ (2. π .377.347) = 7,6µF C = 7,6µF 
7.2 - Dado o circuito, pedem-se: 
a) Impedância complexa 
b) Freqüência de ressonância 
c) Corrente complexa 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 31 
 
a) Calculemos XL e XC: XL = 2.π.f.L =6,28.200.0,5 =628Ω 
 XC = 1/2.π.f.C = 1/ 6,28.200.1.10-6 = 796Ω, portanto 
 Ω343,8=796)-(628+300=Z 22 
 cosφ = R/Z =300/343,8 =0,872 ⇒ φ=29º 
 
 Z =300+(j628 - j796 ) = 300 - j168 ( Ω ) 
 
 Z = 343,8 -29º ( Ω ) 
 
b) fo = =
L.C2.π
1 225Hz=
.10.10 5002.π
1
6-3-
 
 
 fO =225Hz 
 
c) I = V/Z = ( 50 0º ) / ( 343,8 - 29º ) = 145 29º ( mA ) 
 
 I = 145 29º 
 
7.3 - Um circuito de sintonia tem L=100µH. Quais são os limites do capacitor variável para que a 
sintonia seja feita na faixa 530KHz a 1600KHz? 
 fo = 530KHz = 530.103 = 
.C100.102.π
1
6-
 ⇒ C = 900pF 
 fo = 1.600KHz = 1.600.103 = 
.C100.102.π
1
6-
 ⇒ C = 10pF 
 
 CMin = 10pF CMáx = 900pF 
 
CIRCUITO RL PARALELO 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 32 
 
7.4 - Dado o circuito, pedem-se: 
a) Corrente complexa 
b) Impedância complexa 
c) Fator de potência 
 XL = 40 90 ( Ω ) XC = - j20 ( Ω ) 
a) Cálculo da impedância Z: 
b) 
2
CL
22
CL
CL
)X-.(XR+).X(X
.XR.X
=Z (Veja a página 179 livro Análise de Circuitos em Corrente 
Alternada) ⇒ 
222 20)-.(4020+(40.20)
20.40.20=Z = 17,88Ω 
cosφ= Z/R = 17,88/20 =0,894 ⇒ φ = 26,5º ⇒ Z = 17,88 -26,5º ( Ω ) 
 Observação: O circuito é capacitivo XL > XC 
I = U/Z = (110 0º ) / (17,88 -26,5º ) = 6,15 26,5º ( A ) 
 
 I = 6,15 26,5º ( A ) 
IR = U/R = (110 0º ) / ( 20 0º ) = 5,5 0º ( A ) 
 
 IR = 5,5 0º ( A ) 
 
 IL = U/XL = ( 110 0º )/ ( 40 90º ) = 2,75 - 90º ( A ) 
 
 IL = 2,75 - 90º ( A ) 
 
IC = U/ XC = ( 110 0º ) / ( 20 - 90º ) = 5,5 90º ( A ) 
 
IC =5,5 90º ( A ) 
 
b) Z = 17,88 -26,5º ( Ω ) 
 
 
d) cosφ = FP = cos 26,5º = 0,89 FP = 0,89 
 
7.5 - Dado o circuito, pedem-se: 
a) Freqüência de ressonância 
b) Corrente fornecida pelo gerador na ressonância 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 33 
 
 
a) fo =
9-6- .10.1010.102.π
1 =503,55KHz 
 fo = 503,55KHz 
b) Na ressonância Z = R ⇒ I = 10V/10KΩ = 1mA 
 I=1mA 
7.6 - Dados de uma instalação elétrica: 10KVA/220V cosφ=0,5. Calcular: 
 Corrente total consumida 
a) Potências ativa e reativa 
b) Valor do capacitor que aumenta o FP para 0,85 
c) Valor da corrente consumida após a correção 
d) Potência aparente e reativa após a correção 
 
a) PAp = 10.000VA = 220V.I ⇒ I = 10.000/220 = 45,45A 
 
b) P = PAp .cosφ = 10.000.0,5 = 5000W = 5KW P = 5KW 
 
 PR =PAp.senφ =10.000.0,866 = 8.600VA = 8,6KVAR PR = 8,6KVAR 
 
c) Ângulo atual: φ1 =60º, ângulo desejado: φ2 = 31º 
 tgφ1 = 1,732 tgφ2 = 0,6 w = 377 rd/s V = 220V 
 ==φφϖ 0,6)-1,73.(377.220
5000 )tg-.(tg
.V
P=C
2212
 305µF 
 
d) Como a potência real se mantém em 5.000W, então a potência aparente muda para: P = PAp 
.cosφ ⇒ PAp = 5000/0,85 = 5.882VA, o que significa uma corrente de: 
 
 I = 5.882/220 = 26,7A 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 34 
 
 
e) PAp = 5,888KVA e PR =5,88.sen31º = 3,1KVAR 
 
7.7 - Dado o circuito seguinte, calcular: 
 
a) Valor de RV para que o FP seja 0,85 e as correntes IR, IL e IT nessas condições. 
b) FP quando RV = 0. Nessas condições há necessidade de correção (FP> 0,85)? Se há, qual o 
valor do capacitor? 
c) Se RV =100Ω. Nessas condições há necessidade de correção (FP> 0,85)? Se há, qual o valor do 
capacitor? 
 
a) se cosφ = 0,85 ⇒ φ = 31,7º ⇒ tg31,7º = 0,619 = R/XL ⇒ R = 0,619.XL 
XL = 377.0,2 = 75,4Ω ⇒ R = 0,619.75,4 =46,67Ω 
 Como R = R1+Rv, então ⇒ Rv = 46,67 - 20 = 26,67Ω 
 
 IL = 220/75,4 =2,91A 
 
 IR = 220/46,67 = 4,71A 
 
 5,53A=(4,71)+(2,91)=I 22T 
b) Se Rv =0 ⇒ R = 20Ω ⇒ tgφ = R/XL =20/75,4 = 0,265 ⇒ φ = 14,85º 
 ou cosφ =0,966 ⇒, não há necessidade de correção. 
 
c) Se RV=100Ω ⇒ R = 20 +100 = 120Ω ⇒ tgφ = 120/75,4 =1,59 ⇒ φ = 57,8º 
 ou cosφ = 0,532, há necessidade de correção, e vamos admitir que é para 0,85, neste caso 
temos: 
 Ângulo atual: φ1 =57,8º, ângulo desejado: φ2 = 31 
 tgφ1 = 1,587 e tgφ2 = 0,6, w = 377 rd/s V = 220V P = (220)2/120 =403,3W 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 35 
 
 =0,6)-.(1,587
377.220
403,3= )tgφ-.(tgφ
.V
P=C
2212ϖ 21,5µF 
 C = 21,5µF 
 
7.8 - Dados de uma instalação: 220V/60Hz PAP =20KVA. Calcular potência real (ativa) se: 
a) FP=1 b) FP=0,6 c) FP = 0,2 
 
a) FP=1= cosφ ⇒ P = PAp.cosφ =20.000.1 = 20.000W = 20KW 
 
b) FP=0,6 = cosφ ⇒ P = PAp.cosφ = 20.000.0,6 = 12.000W = 12KW 
 
c) FP=0,2 = cos
φ ⇒ P = PAp.cosφ = 20.000.0,2 = 4.000W = 4KW 
 
7.9 - Dados de um motor: 120V/10A cosφ=0,8. Determinar: 
a) Resistência ôhmica do enrolamento 
b) Reatância indutiva 
c) Impedância 
a) Se U e I são conhecidos, então conhecemos a impedância do motor 
 
Z = 220 /10 = 12Ω ⇒ como cosφ = R/Z (admitindo que o modelo do motor pode ser representado 
por uma resistência em série com uma indutância) 
Então R = Z.cosφ = 12.0,8 = 9,6Ω 
 
b) tgφ = XL /R ⇒ XL = 0,75.9,6 = 7,2Ω 
 
c) Z = 12Ω 
 
 
 
 
An�lise de circuitos corrente alternada - Exerc�cios resolvidos/CCAexerResolvidos 7.pdf
 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 36 
Capítulo 8 - Circuitos Mistos 
8.1 - Dado o circuito, calcular: 
 
Obs.: Valores em Ω 
v = 500º (Vrms) 
a) Impedância complexa 
Obs.: Usaremos como símbolo genérico de impedância o mesmo símbolo do resistor. 
Z5 = Z3 + Z4 = 10 + j10 ( Ω ) = 14,1 45º ( Ω ) Z2 = 20 90º ( Ω ) 
 
 
I1 
I2 
I3 
 
Z6 = Z2 // Z5 = (Z2.Z5)/(Z2 + Z5)= 
 
= (20 90º. 14,1. - 45º)/(j20 + (10- j10) = 
 
= (282 45º)/(10+ j10) = (282 45º)/14,1 45º) = 
 
= 20 0º = 20 (Ω) 
 
 
 
ZE = Z1 + Z6 = -j10 + 20 = 20 - j10 = 22,36 -26,5º(Ω) 
 
 
 
50 0º 
 
(Vrms ) I1 
ZE = 20 - j10 = 22,36 -26,5º(Ω) 
U6 
V2 V5 
 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 37 
 b) Corrente de entrada (I1) 
O circuito é capacitivo ( corrente adiantada em relação à tensão). 
U6 =Z6.I1 = 20 0º . 2,24 26.5º (v) e como U6 = U2 =U5 então: 
c) 
 
 
8.2 - Determinar a tensão do circuito. Obs.: Todos os valores em Ω. 
UAB = 10 0º . 10 0º = 100 0º 
 
 
I2 =( 44,8 26,5º ) / ( 20 90º ) = 2,24 - 63,5º (A) 
I3 =( 44,8 26,5º )/(14,1 - 45º ) = 3,17 71,5º (A) 
P = U. I.cosφ = 50.2,24.cs26,5º = 100W 
I3 =10 0º ( A ) 
 
U1
I1 
I2 
I3 
I1 = V/ZE =( 50 0º ) / (22,36 -26,5º ) = 2,24 26,5º (A) 
 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 38 
Z1 = 20- j10 = 22,36 -26,56º (Ω) Z2 = 10 + j20 =22,36 63,4º ( Ω) 
I2 = UAB /Z2 = ( 100 0º ) / ( 22,36 63,4º ) = 4,47 - 63,4º(A) = 
= 4,479(cos(-63,4º) + jsen(-63,4º)) = 2 - j4 (A) 
 
I1 = I2 + I3 = ( 2- j4) + 10 = 12 - j4 = 12,65 -18,4º ( A ) 
U1 = Z1.I1 = ( 22,36 -26,56º).(12,65 -18,4º ) = 282,8 -45º = 282,8(cos(-45º) + 
+ jsen9-45º)) = 200 - j200 (V) 
 
Finalmente: V = U1 + UAB =( 200 - j200) +100 = 300 - j200 = 360 -33,6º (A) 
 
8.3 - Calcular I1 no circuito. Dado: I2= 5 - 50º = 3,21 - j3,83(Ω) 
Obs.: Valores em Ω. 
Simplifiquemos o circuito. 
I2 = 2- j4 ( A ) 
 V = 300 - j200 = 360 - 33,6º(V)
I1 
 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 39 
UAB =Z2.I2 = 8 90º .5 -50º = 40 40º = 30,6 + j25,7 (V) 
 
I3 = UAB /Z3 = ( 40 40º )/( 11,2 26,56º ) = 3,57 13,44º (A) = 3,47 + j0,83 (A) 
 
I1 = I2 + I3 = ( 3,21 - j3,83) + (3,47 + j0,83 ) = 6,68 - j3 (A) = 7,31 -24,2º 
 
U1 = Z1.I1 =( 11,2 -26,56º) . ( 7,31 -24,2º) =81,87 - 50,76º = 51,8 -j63,5 (V) 
 
V = U1 + UAB = (51,8 -j63,5 ) + (30,6 + j25,7 ) = 82,4 - j37,8 = 90,6 -24,6º (V) 
 
8.4 - Determinar a expressão de Vx(t). 
 
Obs.: Valores em Ω. 
 
 
 
 
 
I1 = 6,68 - j3 (A) = 7,31 -24,2º (A) 
V = 82,4 - j37,8 = 90,6 -24,6º (V) 
 
Vx 
 
I1 
I2 
I3 
 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 40 
Z1 = 14,1 -45º (Ω) Z2 = 7,07 45º (Ω) Z3 = 14,1 45º (Ω) 
 
Z4 =4,7 45º (Ω) = 3,32 + j 3,32 (Ω) 
 
ZE = Z1 + Z4 = 13,32 - j 6,7 = 14,9 - 26,7º ( Ω ) 
 
I1 = IT = V/ZE = (141 90º ) /( 14,9 - 26,7º ) = 9,46 116,7º (A) 
 
U4 = Z4 .I1 = 4,7 45º . 9,46 116,7º = 44,46 161,7º (V) 
 
Como U4=U2 =U3, podemos determinar 
 I3 = U4/Z3 = (44,46 161,7º)/14,1 45º = 3,15 116,7º (A) 
 
Logo Vx = 10 90º . 3,15 116,7º = 31,5 206,7º (V) 
 
8.5 - Determinar V1 no circuito. 
 
Z3 = 7,36 + j 4,25 (Ω) Z2 = 63,24 71,56º (Ω) Z1 = j6(Ω) 
 
 
 
U4 
I1 = IT
Vx(t) = 31,5.sen(w.t + 206,7º ) (V) 
U1 
 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 41 
 
Z4 = (Z1.Z2)/(Z1+Z2) = ( 6 90º . 63,24 71,56º ) / ( j6 + 20 + j60 ) = 
 
=( 379,44 161,56º ) / ( 20 + j66) = ( 379,44 161,56º ) /( 69 73,14º ) = 5,5 88,42º 
 
= 0,15 + j5,49 (Ω) 
 
ZE = Z3 + Z4 = (7,36 + j 4,25 ) +( 0,15 + j5,49 ) = 7,51 + j9,74 (Ω) = 12,3 52,3º(Ω) 
 
I3 = ( 110 0º ) / (12,3 52,3 ) = 8,94 - 52,3º (A) 
 
U1 = U4 = Z4.I3 = 5,5 88,42º . 8,94 - 52,3º = 49,17 36º (V) 
 
8.6 - Calcular: FP, P, PAP e PR. Obs.: Valores em Ω. 
 
 
 
 
 
 
U1 = 49,17 36º (V) 
 
 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 42 
Simplifiquemos o circuito. 
Z1 = 11,2 26,56º (Ω) Z2 = 17 - 62º (Ω) Z3 = 5 90º (Ω) 
 
Z4 = (17 - 62º ). ( 5 90º ) / ( 8- j15 + j5 ) = (85 28º ) / ( 8 -j10 ) = 
 
= ( 85 28º)/ 12,8 - 51,3º ) = 6,64 79,3º (Ω) = 1,23 + j6,52 (Ω) 
 
ZE = Z1 + Z4 = (10 + j5) + (1,23 + j6,52 ) = 11,23 + j11,52 = 16 45,7º (Ω) 
Corrente total: 
 IT = 110 0º / 16 45,7º = 6,875 -45,7º (A) 
 
Como φ =45,7º 
 
8.7 - Dado o circuito: 
 
PAP = U.I = 110. 6,875 = 756VA cos45,7º = 0,695 =FP 
P = U.I.cosφ = 756.0,695 = 525W 
PR = U.I.senφ = 765.0,715 = 547VAR 
UR 
UL 
UC
 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 43 
a) Qual a frequência de ressonância? 
5
-3 -7
1 1w 10 rd / s
L.C 10 .10
= = = ou como f = w/2.π = 105/6,28 = 15.923Hz 
 
Diagrama fasorial para f = 10KHz. 
 
Nessa frequência: XL =2.π.104.10-3 = 62,8 Ω 
 XC = 1/(2.π.104.10-7 ) = 159,2 Ω 
 
Portanto a impedância do circuito será: 
 
Z = 150 + j62,8 - j159,2 = 150 - j96,5 (Ω) = 178,3 -32,7º (Ω) 
 
Logo, a corrente valerá: I = ( 15 0º ) / ( 178 -32,7º ) = 84 32,7º (mA) 
 
A tensão em cada componente será igual a: 
 
VR = 150 0º . 84 32,7º (V) 
 
VL = 62,8 90º . 84 32,7º = 5,3 122,7º (V) 
 
VC = 159,2 - 90º 84 32,7º =13,4 -57,3º (V) 
 
 
 
 
 
 fo = 15.923Hz 
VR 
32,7º 
VL 
57,3º 
122,7º
VC 
 
 
Análise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Érica 44 
8.8 - Qual o comportamento do circuito (resistivo, capacitivo, indutivo) em 1KHz? 
XL =2.π.103.32.10-3 = 201 Ω XC = - j500 Ω 
Como XC > XL ⇒ então o circuito é indutivo (não esqueça que o circuito é paralelo, no 
série é o contrário).