FORÇAS NO ESPAÇO 2014 01

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FORÇAS NO ESPAÇO 
Força aplicada na origem O de um sistema de coordenadas cartesianas 
x, y e z. 
 
zyx F F FF






 (1) 
iFxFx


 ; 
 jFyFy


 ; kFzFz  (2) 
kFz jFy iFxF


 (3) 
As componentes escalares cartesianas de F são dadas por: 
xFcosθFx 
; 
yFcosθFy
; 
zFcosθFz
 (4) 
A intensidade de F é dada por: 
222 FzFyFxF 
 (5) 
Exemplo 1: Uma força de 500 N forma ângulos de 60º, 45º e 120º, 
respectivamente com os eixos x, y e z. Determine as componentes 
Fx
, 
Fy
 e 
Fz
. 
N 250 60º 500.cosxFcosθFx 
 
N 354 45º 500.cosyFcosθFy 
 
N 250- 120º 500.coszFcosθFz 
 
Substituindo em (3) as expressões 
Fx
; 
Fy
 e 
Fz
 dadas em (4) fica: 
     F kcosθjcosθicosθFF zyx (6) 
Sendo 

 o vetor de módulo unitário e de mesma direção e sentido que F dado 
por: 
kcosθjcosθicosθ zyx

  (7) 
As componentes escalares cartesianas do vetor unitário 

 são: 
xx cosθ ; 
yy cosθ
; 
zz cosθ (8) 
Sendo 
1

 então: 
1zyx 222  
, ou: 
1cosθcosθcosθ 222 zyx 
 (9) 
 
Exemplo 2: Uma força F tem as componentes N 100Fx  ; 
N 150Fy 
 e 
N 300Fz
. Determine seu módulo 
F
 e os ângulos 
xθ
, 
yθ
 e 
zθ
 que ela forma 
com os eixos coordenados. 
222 FzFyFxF 
=
222 300)150(100 
= 350 N 
73,4º
350
100
F
Fx
xx θcosθ  
 
º4,151
350
150
F
Fy
yy θcosθ  


 
º31
350
300
F
Fz
zz θcosθ  
 
 
 
 
 
 
 
FORÇA DEFINIDA POR 2 PONTOS DE SUA LINHA DE AÇÃO. 
 
 
 
 
Vetor MN liga os pontos M e N e tem mesmo sentido de F 
kdzjdyidxMN



 
O vetor unitário 

 ao longo da linha de ação de 
F
 é: 
 kdzjdyidx
d
1
d
MN
MN
MN 




 
O vetor 
F
 é igual ao produto de F por 

 logo: 
 kdzjdyidx
d
F
FF

 
 
Assim, as componentes escalares de 
F
 são: 
;
d
F.dx
Fx 
 
;
d
F.dy
Fy
 
;
d
F.dz
Fz 
 
Sendo: 
1 - 2 xxdx 
; 
1 - 2 yydy 
; 
1 - 2 zdz z
 
Os ângulos de 
F
 com os eixos coordenados são dados por: 
F
Fx
cosθx 
; 
F
Fy
cosθy 
; 
F
Fz
cosθz 
 
 Ou ainda através das componentes e módulo do vetor 
MN
: 
d
dx
cosθx 
; 
d
dy
cosθy 
; 
d
dz
cosθz 
 
ADIÇÃO DE FORÇAS CONCORRENTES NO ESPAÇO 
 FR
 
Fazendo a decomposição de cada força em suas componentes cartesianas dá: 
      kFzjFyiFx)kFzjFyi(FxkRzjRyiRx

  
 
E assim: 
 FxRx
; 
 FyRy
; 
 FzRz
 
O módulo da resultante é: 
222 Rz)(Ry)(Rx)R 
 
Os ângulos da resultante com os eixos coordenados são dados por: 
R
Rx
θxcos 
; 
R
Ry
θycos 
; 
R
Rz
θzcos  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3 
 
 
 
 
 
Exercícios Propostos 
1 - Determine o comprimento da barra e o vetor posição dirigido de A para B. Qual é o 
ângulo 
θ
? 
 
 
2 - Uma torre de transmissão é sustentada por três cabos de sustentação ancorados 
por parafusos em B, C e D. Se a tração no cabo AB é 2.100 N, determine as 
componentes da força exercida pelo cabo no parafuso em B. 
 
3 - A torre é mantida no lugar por três cabos. Se a força de cada cabo atuando na torre 
é mostrada, determine a intensidade da resultante e os ângulos que ela faz com os 
eixos coordenados. Considerar x =20 m, y = 15 m. 
 
 
4 - Uma força atua na origem de um sistema de coordenadas na direção definida pelos 
ângulos 
5,64θx 
 e 
9,55θz 
. Sabendo que o componente y da força é –200 N, 
determine (a) o ângulo 
yθ
 e (b) os outros componentes e a intensidade da força. 
 
 
5 - Sabendo que a tração no cabo AB é de 1425 N e no cabo AC é de 2130 N, 
determine o módulo e a direção da resultante das forças aplicadas em A pelos dois 
cabos. 
 
Resp. 
º6,72;º122;º4,37;3115  zyxNR  
 
6 - Uma barra de aço é curvada em forma de anel semicircular de raio 0,96 m e é 
sustentada, em parte, pelos cabos BD e BE que estão amarrados ao anel em B. 
Sabendo que a tração no cabo BD é 220 N e no cabo BE 250 N, determine as 
componentes da força resultante exercida pelos cabos em B. 
 
 
Resp. 
º96;º40;º129 N; 378,5 R;k40-j290i-240R  zyx 