Física l Gravitação universal

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1 
 Prof. A.F.Guimarães 
Questões de Gravitação Universal 
Questão 1  
 
(UNICAMP – SP)  
A  figura  abaixo  representa  exageradamente  a 
trajetória  de  um  planeta  em  torno  do  Sol.  O 
sentido do percurso é indicado pela seta. O ponto 
V marca o  início do  verão no hemisfério  Sul  e  o 
ponto  I  marca  o  início  do  inverno.  O  ponto  P 
indica a maior aproximação do planeta ao Sol,  o 
ponto A marca o maior afastamento. Os pontos V, 
I e o Sol são colineares, bem como os pontos P, A 
e o Sol. 
a) Em  que  ponto  da  trajetória  a  velocidade  do 
planeta  é  máxima?  Em  que  ponto  essa 
velocidade é mínima? Justifique sua resposta. 
b) Segundo Kepler, a  linha que liga o planeta ao 
Sol  percorre  áreas  iguais  em  tempos  iguais. 
Coloque  em  ordem  crescente  os  tempos 
necessários  para  realizar  os  seguintes 
percursos: VPI, PIA, IAV, AVP. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
a) De acordo com o segundo princípio de Kepler 
(a constância da velocidade areolar), no ponto 
“P”  a  velocidade  do  planeta  é  máxima  e  no 
ponto “A” a velocidade é mínima. 
b) ∆tVPI < ∆tPIA = ∆tAVP < ∆tIAV.  
 
Questão 2  
 
(VUNESP) 
A  Terra  descreve  uma  elipse  em  torno  do  Sol, 
cuja área A = 6,98⋅1022 m2.  
a) Qual  é  a  área  varrida  pelo  raio  que  liga  a 
Terra ao Sol entre 0,0h do dia 1º de abril até 
24h do dia 30 de maio do mesmo ano? 
b) Qual foi o princípio ou lei que você usou para 
efetuar o cálculo acima? 
Resolução: 
a) Para 1 ano terrestre (365 dias), a área varrida 
pelo raio que liga a Terra ao Sol é igual a área 
total, ou seja, A. Assim, poderemos fazer uma 
regra de três para obter a área varrida em 60 
dias: 
 
22 2
365
60
60
365
1,15 10 .
A
A
A A
A m
′
′ =
′∴ ≅ ⋅
∼
∼
 
 
b) Foi utilizado o segundo princípio de Kepler (a 
constância da velocidade areolar). 
 
Questão 3  
 
(UFPA) 
Considerando‐se  um  planeta  esférico  e  com 
densidade  uniforme,  em  que  altitude  (em  km) 
acima  da  superfície  a  aceleração  da  gravidade  é 
¼  da  existente  na  superfície  do  planeta? 
Despreze  o  efeito  de  rotação  do  planeta  e 
considere que seu raio é 7.000km. 
Resolução: 
Sendo  um  planeta  esférico  e  com  densidade 
uniforme, a gravidade na superfície dele será: 
 
( )
2
23
.
7 10
GMg
R
GMg
=
=
⋅
 
 
A  uma  determinada  altura  “h”  da  superfície  do 
planeta, a gravidade vale: 
 
A  P
I 
V 
Sol 
Planeta 
 
 
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2 
( )
( )
2
23
.
7 10
GMg
R h
GMg
h
′ = +
′ =
⋅ +
 
 
Contudo, g’ = g/4. Logo: 
 
( ) ( )2 23 3
3 3
3
1
4 7 10 7 10
2 7 10 7 10
7 10 .
GM GM
h
h
h km
/ / // /⋅ =
⋅ ⋅ +
⋅ ⋅ = ⋅ +
∴ = ⋅
 
 
Questão 4  
 
(FUVEST – SP) 
Estamos  no  ano  de  2095  e  a 
“interplanetariamente”  famosa  Fifa  (Federação 
Interplanetária  de  Futebol  Amador)  está 
organizando  o  Campeonato  Interplanetário  de 
Futebol,  a  se  realizar  em  Marte  no  ano  2100. 
Ficou estabelecido que o comprimento do campo 
deve  corresponder  à  distância  do  chute  de 
máximo alcance conseguido por um bom jogador. 
Na Terra essa distância vale LT = 100m. Suponha 
que  o  jogo  seja  realizado  numa  atmosfera 
semelhante  à  da  Terra  e  que,  como  na  Terra, 
possamos desprezar os efeitos do ar e, ainda, que 
a  máxima  velocidade  que  um  bom  jogador 
consegue  imprimir  à  bola  seja  igual  à  na  Terra. 
Suponha que MM/MT = 0,1 e RM/RT = 0,5, onde MM 
e RM são a massa e o raio de Marte e MT e RT são a 
massa e raio da Terra. 
 
a) Determine  a  razão  gM/gT  entre  os  valores  da 
aceleração da gravidade em Marte e na Terra. 
b) Determine o valor aproximado LM, em metros, 
do comprimento do campo em Marte. 
c) Determine  o  valor  aproximado  do  tempo  tM, 
em segundos, gasto pela bola, em um chute de 
máximo alcance, para atravessar o campo em 
Marte (adote gT = 10m⋅s‐2). 
Resolução: 
a)  
 
2 2
22
2
2
;
10,1 0,4.
0,5
T M
T M
T M
M
M M M T
TT T M
T
M M
T T
GM GMg g
R R
GM
g R M R
GMg M R
R
g g
g g
= =
/
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= = ⋅⎜ ⎟⎜/ ⎟⎜⎝ ⎠
⎛ ⎞⎟⎜= ⋅ ∴ =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
 
 
b) Pela  relação  obtida  anteriormente,  podemos 
concluir  que  a  aceleração  da  gravidade  na 
superfície de Marte vale: 
 
20, 4 4 .M Tg g m s
−= ⋅ = ⋅  
 
O  alcance,  para  um  lançamento  oblíquo,  é  dado 
por: 
 
2
0 2 .v senA
g
θ=  
 
Porém,  o  alcance  obtido  é  máximo  e  só  ocorre 
quando  o  ângulo  vale  450.  Assim,  o  alcance 
máximo é dado por: 
2
0 .máx
vA
g
=  
 
Na  Terra,  esse  alcance  vale  100m.  Assim, 
considerando que a velocidade  imprimida  seja a 
mesma, teremos: 
 
2 2
0 0;
10
4
250 .
M T
M T
T
M T M T
M
M
v vA A
g g
gA A A A
g
A m
= =
= ⇒ =
∴ =
 
 
c) Utilizando  a  relação  do  alcance  máximo, 
poderemos determinar o valor da velocidade 
imprimida na bola: 
 
2 1
0 0 1000 .T Tv A g v m s
−= ⋅ ⇒ = ⋅  
 
O tempo total de lançamento é dado por: 
 
 
 
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3 
02 .v sent
g
θ=  
 
Na  condição  de  alcance  máximo,  o  ângulo  deve 
ser  de  450.  Assim,  utilizando  o  valor  da 
aceleração da gravidade de Marte, teremos: 
 
0
0
2
2 45
2 1000 0,7
4
11,1 .
M
M
M
M
v sent
g
t
t s
=
/≅ ⋅/
∴ ≅
 
 
Questão 5  
 
Encontre  uma  expressão  para  se  determinar  o 
valor  da  gravidade  no  interior  da  Terra  a  uma 
distância “r0” do centro (r0 < R, R = raio da Terra). 
Despreze  os  efeitos  de  rotação  e  considere  ρ  a 
densidade da Terra. 
Resolução: 
Seja  um  ponto  no  interior  da  Terra  a  uma 
distância “r0” do centro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A aceleração da gravidade é dada por: 
 
2 .
GMg
r
=  
 
Utilizando a expressão da densidade, teremos: 
 
34; .
3
M V V rρ π= ⋅ =  
No interior da Terra, somente a massa contida na 
esfera  de  raio  r0  fornece  aceleração.  Assim, 
utilizando a expressão do volume teremos: 
 
3 3
0 0
4 4 .
3 3
V r M rπρπ= ⇒ =  
 
Agora,  substituindo  na  expressão  da  aceleração 
da gravidade, teremos: 
 
3
0 02
0
0 0
4
3
4 .
3
Gg r
r
Gg r
πρ
ρπ
/= ⋅/
∴ =
 
 
Questão 6  
 
(UFF – RJ) 
Em  certo  sistema  planetário,  alinham‐se,  num 
dado momento,  um  planeta,  um  asteróide  e  um 
satélite, como representa a figura, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo‐se que: 
a) A massa do  satélite  é mil  vezes menor que a 
massa do planeta; 
b) O raio do satélite é muito menor que o raio R 
do planeta. 
Determine a razão entre as  forças gravitacionais 
exercidas  pelo  planeta  e  pelo  satélite  sobre  o 
asteróide. 
Resolução: 
Vamos  iniciar  escrevendo  as  expressões  das 
forças, do planeta e do satélite sobre o asteróide: 
 
 
( )2 .10
P A
PA
GM mF
R
=  
Força do planeta sobre o asteróide. 
 
 
9R 3R 
R
Planeta 
Asteróide  Satélite
R 
r0 
 
 
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4 
( )2 .3
S A
SA
GM mF
R
=  
Força do satélite sobre o asteróide. 
 
Assim, 
2
2
100
9
9 10009
100 100
90.
P A
PA
S ASA
SPA P
SA S S
PA
SA
GM m
F R
GM mF
R
MF M
F M M
F
F
/ /
/= / /
/
/⋅= = /
∴ =
 
 
Questão 7  
 
(UNICAMP – SP)  
Satélites  de  comunicações  são  retransmissores 
de  ondas  eletromagnéticas.  Eles  são  operados 
normalmente em órbitas cuja velocidade angular 
ωT é  igual à da Terra, de modo a permanecerem 
imóveis  em  relação  às  antenas  transmissoras  e 
receptoras.  Essasórbitas  são  chamadas  de 
órbitas geoestacionárias.  
a) Dados  ωT  e  a  distância  R  entre  o  centro  da 
Terra  e  o  satélite,  determine  a  expressão  da 
sua velocidade em órbita geoestacionária. 
b) Dados ωT, o raio da Terra RT e a aceleração da 
gravidade na superfície da Terra g, determine 
a  distância  R  entre  o  satélite  e  o  centro  da 
Terra  para  que  ele  se  mantenha  em  órbita 
geoestacionária. 
Resolução: 
a) A  velocidade  linear  de  um  corpo  em 
movimento circular uniforme é dada por: 
 
.v Rω=  
 
Assim, 
.S Tv Rω=  
b) Para que o satélite se mantenha em órbita se 
faz  necessário  que  a  aceleração  centrípeta 
seja  dada  pela  aceleração  da  gravidade  no 
local  onde  se  encontra  o  referido  satélite. 
Assim, 
.cp Ra g=  
Vamos  determinar  o  valor  da  aceleração  da 
gravidade no local onde se encontra o satélite: 
2 2
2
2
;
.
T T
R
T
T
R
GM GMg g
R R
Rg g
R
= =
=
 
 
Assim, 
2
2
2
2
3
2
2
3
2 .
T
cp T
T
T
T
T
Ra R g
R
RR g
RR g
ω
ω
ω
= =
=
∴ =
 
Questão 8  
 
(CESGRANRIO) 
O raio médio da órbita de Marte em torno do Sol 
é aproximadamente quatro vezes maior do que o 
raio  médio  da  órbita  de  Mercúrio  em  torno  do 
Sol.  Assim,  a  razão  entre  os  períodos  de 
revolução,  T1  e  T2,  de  Marte  e  de  Mercúrio, 
respectivamente, vale aproximadamente: 
Resolução: 
De acordo com o terceiro princípio de Kepler: 
 
2 3 2 3
1 1 2 2; .T kr T kr= =  
 
E como  1 24 .r r= Teremos: 
2 3
1 1
2 2
1
2
8.
T r
T r
T
T
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟=⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∴ =
 
Questão 9  
 
(DESAFIO) 
Suponha um cenário de ficção científica em que a 
Terra  é  atingida  por  um  imenso  meteoro.  Em 
consequência  do  impacto,  somente  o módulo  da 
velocidade  da  Terra  á  alterado,  sendo  “v0”  seu 
valor  imediatamente  após  o  impacto,  como 
mostra a  figura adiante. O meteoro colide com a 
Terra  exatamente  na  posição  onde  a  distância 
entre a Terra e o Sol é mínima (distância AO = R 
 
 
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5 
na  figura).  Considere  a  atração  gravitacional 
exercida pelo  Sol,  tido  como  referencial  inercial, 
como  única  força  de  interação  que  atua  sobre  a 
Terra após a colisão, e designe por M a massa do 
Sol  e  por  G  a  constante  da  gravitação  universal. 
Considere ainda que o momento angular da Terra 
seja  conservado,  isto  é,  a  quantidade de módulo 
m⋅r⋅v⋅senα  permanece  constante  ao  longo  da 
nova trajetória elíptica da Terra em torno do Sol 
(nessa  expressão,  m  é  a  massa  da  Terra,  r  é  o 
módulo do vetor posição da Terra em relação ao 
Sol,  v  o  módulo  da  velocidade  da  Terra  e  α  o 
ângulo  entre  r  e  v). A distância  (OB),  do  apogeu 
ao centro do Sol, da trajetória que a Terra passa a 
percorrer após o choque com o meteoro, é dada 
pela relação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Considere a seguinte órbita elíptica.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora,  vamos  fazer  1 2 .
2
r rr += E  construir  uma 
órbita circular de raio “r”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Segundo a trajetória circular, podemos escrever: 
2
.
2
m c p
m
E E E
mv GMmE
r
= +
= −  
 
Porém,  como  2 rv
T
π=   e  3 2 2, 4
GMr kT k π= = , 
teremos: 
 
2 2
2
2 2
3
2
2
4
2
4
2
4
2 4
.
2
m
m
m
m
m r GMmE
T r
rm GMmE
rr
k
m GM GMmE
r r
GMmE
r
π
π
π
π
/
= ⋅ −
/= ⋅ −
//= ⋅ ⋅ −//
∴ =−
 
 
Podemos  concluir  que  a  energia  do  sistema  é 
constante  em  uma  trajetória  circular  fechada.  E 
isso  deve  ser  verdade  também  para  uma 
trajetória elíptica fechada. Assim,  
 
2
1
1
12 2
m
mv GMm GMmE
r r
= − =− . 
 
Pela  conservação da energia mecânica, podemos 
escrever: 
 
1 2
2
2
1 2 2
1 2 2
2
2
2
2 2
1 2 2
2 2
2
2
.
2
m mE E
GMm mv GMm
r r r
GMr r
vGM
r
v rr r
GM v r
=
/ / /− = −+
+ =
−
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
 
 
Fazendo 1→B e 2→A, teremos: 
 
2
0
2
0
.
2
A
B A
A
v rr r
GM v r
⎡ ⎤⎢ ⎥∴ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦
 
 
 
α 
B  A 
R O 
Sol 
Nova órbita 
0v
G
vG r
G
M 
m 
r
r1  r2 M 
m 
1  2