Instrumental Matemático

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Probabilidade e Estatística 
Instrumental Matemático 
Prof. Marcos Roberto Rosa 
marcosrrosa@gmail.com 
(48) 9941-4114 
Instrumental Matemático 
• Números aproximados. 
– em nossos estudos, faremos uso da seguinte 
convenção: a precisão da medida será indicada 
pelo número de decimais com que se escrevem 
os valores da variável. Assim, um valor 4,60 
indica que a variável em questão foi medida com a 
precisão de centésimos, não sendo exatamente o 
mesmo que 4,6, valor correspondente a uma 
precisão de décimos. 
Instrumental Matemático 
• Arredondamento de dados. 
Quando o primeiro 
algarismo a ser abandonado 
é 0, 1, 2, 3 ou 4, fica 
inalterado o último 
algarismo a permanecer. 
Exemplo: 
53,24 passa a 53,2. 
De acordo com a Resolução 886/66 da Fundação IBGE 
Instrumental Matemático 
• Arredondamento de dados. 
Quando o primeiro 
algarismo a ser abandonado 
é 6, 7, 8 ou 9, aumenta-se 
de uma unidade o algarismo 
a permanecer. 
Exemplos: 
42,87 passa a 42,9; 
25,08 passa a 25,1; 
53,99 passa a 54,0. 
De acordo com a Resolução 886/66 da Fundação IBGE 
Instrumental Matemático 
• Arredondamento de dados. 
Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 5, há duas soluções: 
a) Se ao 5 seguir em 
qualquer casa um 
algarismo diferente de 
zero, aumenta-se uma 
unidade ao algarismo a 
permanecer. 
Exemplos: 
2,352 passa a 2,4; 
25,6501 passa a 25,7; 
76,250002 passa a 76,3. 
De acordo com a Resolução 886/66 da Fundação IBGE 
Instrumental Matemático 
• Arredondamento de dados. 
Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 5, há duas soluções: 
b) Se o 5 for o último 
algarismo ou se ao 5 só se 
seguirem zeros, o último 
algarismo a ser conservado só 
será aumentado de uma 
unidade se for ímpar. 
Exemplos: 
24,75 passa a 24,8; 
24,65 passa a 24,6; 
24,75000 passa a 24,8; 
24,6500 passa a 24,6. 
De acordo com a Resolução 886/66 da Fundação IBGE 
Instrumental Matemático 
• Arredondamento de dados. 
 
Nota 
• Não devemos 
nunca fazer 
arredondamen
tos 
sucessivos. 
Exemplo 
• 17,3452 passa 
a 17,3 e não a 
17,35 e 
depois a 17,4. 
Obs.: 
• Se tivermos 
necessidade 
de um novo 
arredondamen
to, fica 
recomendada 
a volta aos 
dados 
originais. 
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• Compensação 
Suponhamos os dados abaixo, aos quais aplicamos as 
regras do arredondamento. 
 
25,32 25,3 
17,85 17,8 
10,44 10,4 
+ 31,17 + 31,2 
84,78 84,8 (?) 
(84,7) 
Verificamos que houve uma pequena 
discordância: a soma é exatamente 
84,7, quando, pelo arredondamento, 
deveria ser 84,8. Entretanto, para a 
apresentação dos resultados, é 
necessário que desapareça tal 
diferença, o que é possível pela prática 
do que denominamos compensação, 
conservando o mesmo número de 
casas decimais. 
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• Compensação 
Praticamente, usamos “descarregar” a diferença na(s) 
maior(es) parcela(s). Assim, passaríamos a ter: 
 25,3 
17,8 
10,4 
+ 31,3 
84,8 
Nota: Convém, ainda, observar que, se a maior 
parcela é igual ao dobro de qualquer outra 
parcela (ou maior que o dobro), 
“descarregamos” a diferença (maior que uma 
unidade) apenas na maior parcela. 
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• Frações 
 
Fração é um par ordenado de números naturais, com o 
segundo elemento diferente de zero. 
 
 
 
Obs.: ℵ é o conjunto dos números naturais e ℵ
∗
 é o 
conjunto dos números naturais com exclusão do zero. 
𝑎
𝑏
, com 𝑎 ∈ ℵ e 𝑏 ∈ ℵ ∗ 
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• Frações equivalentes 
 
Duas frações são equivalentes quando os produtos do 
numerador de uma pelo denominador da outra são iguais. 
Exemplo: 
 
 
 
Para 
2
3
 e 
4
6
, temos: 2𝑥6 = 3𝑥4. 
 
Logo: 
𝟐
𝟑
= 
𝟒
𝟔
 
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• Simplificação de frações 
 
Simplificar uma fração é obter uma fração equivalente à 
primeira com termos menores. 
Exemplo: 
 
 
 
18
30
=
18: 6
30: 6
=
3
5
 
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• Fração irredutível 
 
Fração irredutível é aquela cujos termos são números 
primos entre si (isto é, não possuem outro divisor comum a 
não ser o número 1). 
Exemplo: 
 
 
 
7
12
 
 
é uma fração irredutível, pois 7 e 12 são números 
primos entre si. 
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• Redução de frações ao mesmo denominador 
a) calcula-se o menor múltiplo comum (m.m.c.) dos 
denominadores. 
b) Escreve-se como denominador comum das frações o 
m.m.c. calculado; em seguida, divide-se o m.m.c. por 
cada um do denominadores das frações dadas e 
multiplica-se o resultado pelo respectivo numerador. 
Exemplo: reduzir ao mesmo denominador as frações 
 
7
8
,
3
4
,
1
6
 
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• Redução de frações ao mesmo denominador 
a) Cálculo do m.m.c.): 
 
 m.m.c.=2³ x 3 = 8 x 3 = 24 
 
 
 
b) = 
 
Nota: as frações que tem denominadores iguais são chamadas 
frações homogêneas e as que tem denominadores diferentes, frações 
heterogêneas. 
 
7𝑥3
24
,
3𝑥6
24
,
1𝑥4
24
 
8, 4, 6 2 
4, 2, 3 2 
2, 1, 3 2 
1, 1, 3 3 
1, 1, 1 
21
24
,
18
24
,
4
24
 
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• Operações com frações: adição e subtração 
a) Frações homogêneas: conserva-se o denominador e 
adicionam-se (ou subtraem-se) o numeradores. 
Exemplos: 
 
 
b) Frações heterogêneas: reduzem-se as frações ao mesmo 
denominador, obtendo-se, assim, frações homogêneas. 
Exemplos: 
 
4
5
+
2
5
=
4 + 2
5
=
6
5
 
4
7
−
3
7
=
4 − 3
7
=
1
7
 
4
5
+
2
3
=
12 + 10
15
=
22
15
 
6
7
−
1
2
=
12 − 7
14
=
5
14
 
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• Operações com frações: multiplicação 
O produto de duas frações é uma fração cujo numerador é 
o produto dos numeradores e cujo denominador é o produto 
dos denominadores. 
Exemplo: 
 
 
 
Nota: A operação multiplicação pode ser facilitada, 
realizando-se a simplificação pelo cancelamento dos fatores 
comuns dos numeradores e dos denominadores. 
2
3
𝑥
3
5
=
2𝑥3
3𝑥5
=
6
: 3
15
: 3
=
2
5
 
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• Operações com frações: multiplicação 
Exemplo: 
 
 
 
Obs: O dobro de 4 é 2 x 4=8, o triplo de 
4
7
 é 3x 
4
7
= 
12
7
. 
 
Por analogia: 
2
3
 de 4 é 
2
3
𝑥4 = 
8
3
; e 
3
5
 de 
1
4
 é 
3
5
𝑥
1
4
=
3
20
 
2
3
𝑥
3
5
=
2𝑥1
1𝑥5
=
2
5
 
2
3
𝑥
3
4
𝑥
2
7
=
1𝑥1𝑥1
1𝑥1𝑥7
=
1
7
 
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• Operações com frações: divisão 
O quociente de duas frações é o produto da primeira pelo 
inverso da segunda. 
Exemplo: 
 
 
 
4
5
:
5
6
=
4
5
𝑥
6
5
=
24
25
 
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• Operações com frações: potenciação 
Para elevar uma fração a um expoente dado, devemos 
elevar o numerador e o denominador a esse expoente. 
Exemplo: 
 
 
 
3
5
2
 = 
3²
5²
=
9
25
 
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• Frações decimais 
Frações decimais são as frações cujos denominadores são 
potências de 10. 
Exemplos: 
 
As frações decimais podem ser representadas por outro numeral, 
denominado número decimal, o qual é obtido pela seguinte 
convenção: são dadas ao numerador tantas ordens decimais (casas) 
quantos são os zeros do denominador. Exemplos: 
1
10
,
1
100
,
42
1000
 etc 
1
100= 0,01 (um centésimo) 
1
1.000
 = 0,001 (um milésimo) 
1
10.000
 = 0,0001 (um décimo 
milésimo) 
452
100
 = 4,52 (quarenta inteiros e 
cinquenta e dois centésimos) 
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• Razão de dois números 
Razão do número a para o número b (diferente de zero) é 
o quociente exato de a por b. 
 
Indicamos: 
 
 
Os números a e b são os termos da razão; a é chamado de 
antecedente e b, consequente da razão. Exemplos: 
𝑎
𝑏
 (e lemos: a para b) 
A razão de 3 para 12 é 
3
12
=
1
4
 
A razão de 20 para 5 é 
20
5
= 4 
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• Razão de duas grandezas 
Razão de duas grandezas é o quociente dos números que 
expressam essas grandezas. 
Exemplo: Um automóvel percorre 36 km com 4 litros de 
álcool. A razão entre distância percorrida e álcool gasto é: 
 
 
 
Podemos dizer, então, que esse automóvel faz 9 km por 
litro de álcool, ou 9 km/l. 
36 𝑘𝑚
4 𝑙
= 9 𝑘𝑚/𝑙 
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• Percentagem 
Para evidenciar a participação de uma parte no todo e 
para facilitar comparações, costumamos usar razões com 
consequentes iguais a 100, denominadas razões percentuais. 
 
Exemplos: 
 
A razão percentual 
𝟐𝟎
𝟏𝟎𝟎
 pode também ser indicada pelo 
símbolo 20% (lemos: vinte por cento). 
Assim, quando dizemos que 90% dos alunos de uma 
turma foram aprovados, isto significa que, se a turma tivesse 
100 alunos, 90 desses teriam sido aprovados. 
25
100
,
4
100
,
212
100
 
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• Percentagem (regra de três simples) 
Os problemas de percentagem podem ser resolvidos com 
o emprego da regra de três simples. Exemplos: 
a) Em uma classe de 40 alunos, 32 foram aprovados. Qual a 
taxa percentual de aprovação? 
 
 
b) Ao comprar um livro, obtive um desconto de $ 3,00. 
Qual o preço do livro, sabendo que a taxa de desconto foi 
de 5%? 
32
40
=
𝑥
100
 Logo:40𝑥 = 32𝑋100 𝑥 =
32𝑋100
40
= 80% 
3
𝑥
=
5
100
 Logo:5𝑥 = 3𝑋100 𝑥 =
3𝑋100
5
= $ 60,00 
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• Sequência (ou sucessão) 
Trata-se de uma função cujo domínio é o conjunto dos 
números inteiros positivos (ℵ*) ou um subconjunto finito do 
mesmo ({1, 2, 3, ..., n}). 
No primeiro caso, dizemos que a sequência é infinita e 
no segundo, finita. O conjunto imagem de uma sequência 
pode ser um conjunto qualquer. 
Para indicarmos os elementos de uma sequência, 
lançamos mão de um recurso, o índice, que nada mais é que 
um numeral escrito à direita e um pouco abaixo da letra e 
que indica a ordem que esse elemento ocupa na sequência. 
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• Sequência (ou sucessão) 
Exemplo: a1: o primeiro termo (lemos: a índice 1); 
 a2: o segundo termo (lemos: a índice 2); 
 ................................................................ 
 an: o n-ésimo termo (lemos: a índice n), 
Indicamos uma sequência por : 
 
 
 
 
Lemos: a índice i, sendo i igual a (1, 2, ..., n), onde ai é o 
termo geral, an é o último termo e n o número de termos. 
 
 
 
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• Somatório 
Para indicarmos a soma dos xi valores de uma variável x, 
isto é, x1+x2+...+xn, lançamos mão do símbolo ∑ (letra grega, 
maiúscula: sigma), denominado, em Matemática, somatório. 
Assim, a soma x1+x2+...+xn pode ser representada por: 
 
 𝑥𝑖
5
𝑖=1
 
 
 (lemos: somatório de x índice i, com i variando de 1 até 5). 
 
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• Somatório 
Exemplos: 
1) sendo 𝑥 ∈ (2, 4, 6), temos: 
 
𝑥1 =
𝑥2 =
𝑥3 =
2
4
6
 𝑥𝑖 = 𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3 = 2 + 4 + 6 = 12 
 
2) Para escrever x3+x4+x5 sob a forma de somatório, 
teremos: 
 𝑥𝑖
5
𝑖=3
 
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• Média aritmética simples 
Chamamos de média aritmética simples o conjunto de 
valores do quociente da divisão da soma desses valores 
pelo número deles. 
 
Indicando por x1, x2, ..., xn os n valores que a variável x 
pode assumir, e por 𝑥 a média aritmética, temos: 
 
𝑥 =
𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑛
𝑛
 ou 𝑥 =
 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 
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• Média aritmética simples 
Exemplo: 
Calcular a média aritmética do seguinte conjunto de 
números: 2, 3, 4, 5, 6. 
 
 
𝑥 =
 𝑥𝑖
5
𝑖=1
5
=
2 + 3 + 4 + 5 + 6
5
=
20
5
= 4 
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• Média aritmética ponderada 
A média aritmética ponderada é igual ao quociente da 
divisão cujo dividendo é formado pela soma dos produtos dos 
valores pelos respectivos pesos e cujo divisor é a soma dos 
pesos. 
 Assim, se os valores x1, x2, ..., xn ocorrem p1, p2, ..., pn 
vezes, respectivamente, a média aritmética ponderada é dada 
por: 
 
𝑥 =
𝑥1𝑝1+𝑥2𝑝2+⋯+𝑥𝑛𝑝𝑛
𝑝1+𝑝2+⋯+𝑝𝑛
 ou 
𝑥 =
 (𝑥𝑖𝑛𝑖=1 𝑝𝑖)
 𝑝𝑖
𝑛
𝑖=1
 
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• Média aritmética ponderada 
Exemplo: Sabendo que um aluno obteve as notas 7, 6, 
5 e 8 e que essas notas têm, respectivamente, os pesos 2, 2, 
3 e 3, calcule a sua média. 
 
𝑥 =
𝑥1𝑝1+ 𝑥2𝑝2+⋯+ 𝑥𝑛𝑝𝑛
𝑝1+ 𝑝2+⋯+ 𝑝𝑛
 
 
7𝑋2 + 6𝑋2 + 5𝑋3 + 8𝑋3
2 + 2 + 3 + 3
=
14 + 12 + 15 + 24
10
=
65
10
= 6,5 
 
Logo: 𝒙 = 𝟔, 𝟓 
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• Fatorial 
n! (lemos: ene fatorial) é o produto de todos os 
números naturais de n até 1. 
Exemplos: 
2!=2x1=2 
3!=3x2x1=6 
4!=4x3x2x1=24 
Por definição, tomamos: 
0!=1 
1!=1 
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• Fatorial 
Exercícios resolvidos: 
 
7!
5!
=
7 𝑋 6 𝑋 5 𝑋 4 𝑋 3 𝑋 2 𝑋 1
5 𝑋 4 𝑋 3 𝑋 2 𝑋 1
= 7 𝑋 6 = 42 
 
 
5(4!)
5!
=
5(4 𝑋 3 𝑋 2 𝑋 1)
5 𝑋 4 𝑋 3 𝑋 2 𝑋 1
= 1