Introdução à Estatística Inferencial

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

ESTATÍSTICA INFERENCIAL OU INDUTIVA
PROBABILIDADE
	
INTRODUÇÃO
Embora o cálculo das probabilidades pertença ao campo da Matemática, a inclusão nesta disciplina se justifica pelo fato de a maioria dos fenômenos de que trata a Estatística ser de natureza aleatória ou probabilística. Conseqüentemente, o conhecimento dos aspectos fundamentais do cálculo de probabilidades é uma necessidade essencial para o estudo da Estatística Inferencial ou Indutiva.
Embora o conteúdo da Probabilidade seja extenso, será apresentado aqui apenas o essencial para fundamentar as primeiras definições da Estatística Inferencial. Essas definições serão apresentadas nos próximas unidades do conteúdo programático, que trata da conceituação de variável aleatória das duas principais distribuições de probabilidades de variáveis discretas e contínuas: distribuições binomiais e normais. 
HISTÓRIA
As origens da probabilidade remontam ao século XVI. As aplicações iniciais referiam- se quase todas aos jogos de azar. Os jogadores aplicavam o conhecimento da teoria das probabilidades para planejar estratégias de apostas.
No ano de 1654, um jogador da sociedade parisiense, Chevalier de Mère, propôs a Blaise Pascal (1623–1662) algumas questões sobre suas chances de vencer em jogos. Uma das questões foi: “Um jogo de dados entre dois adversários termina quando um dos jogadores vence três partidas em primeiro lugar. Se antes do final esse jogo for interrompido, de que maneira cada um dos dois adversários deve ser indenizado?”
Pascal escreveu a Pierre de Fermat (1601 – 1665) sobre esse problema, e a correspondência entre eles deu subsídios à teoria das probabilidades. A resposta de Fermat a Pascal é apresentado no livro A magia dos números de Paul Karlson (Editora Globo), contendo as resoluções propostas por Pascal e Fermat.
	Blaise Pascal 
	
	Pierre de Fermat 
Atualmente a utilização das probabilidades ultrapassou de muito o âmbito desses jogos. Hoje os governos, as empresas, as organizações profissionais incorporam a teoria das probabilidades em seus processos diários de deliberações.
Independentemente de qual seja a aplicação em particular, a utilização das probabilidades indica que existe um elemento de acaso, ou de incerteza, quanto à ocorrência ou não de um evento futuro. Assim é que, em muitos casos, pode ser virtualmente impossível afirmar por antecipação o que ocorrerá, mas é possível dizer o que pode ocorrer.
Há numerosos exemplos de tais situações no campo dos negócios e do governo. A previsão da procura de um novo produto, o cálculo dos custos da produção, a previsão das safras, a compra de apólices de seguros, a avaliação da redução de impostos sobre a inflação. As probabilidades são úteis, pois ajudam a desenvolver estratégias.
O ponto central em todas as situações é a possibilidade de quantificar quão provável é determinado evento. As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência de determinado evento. O estudo das probabilidades é importante, pois elas são a base para o estudo estatístico.
APLICAÇÕES PRÁTICAS DA TEORIA DAS PROBABILIDADES
VALOR ESPERADO
Um estudo realizado por uma companhia de seguros permite concluir que, a cada ano, 
a probabilidade de uma apólice despender 200 mil reais é de 1 / 10.000;
a probabilidade de uma apólice despender 50 mil reais é de 1/ 1.000;
a probabilidade de uma apólice despender 2.000 reais é de 1/ 50;
e a probabilidade de as apólices restantes despenderem zero real é de 9.789/ 10.000.
Para estabelecer o valor de venda de uma apólice, a empresa precisa conhecer a despesa média por apólice vendida. A resposta é chamada, em estatística, de valor esperado, e é calculada da seguinte maneira:
Desse modo, o preço mínimo de uma apólice, para cobrir os custos, é de 110 reais.
VEICULAÇÃO DE PROPAGANDA NA TV
Na mais importante rede de televisão do país, a propaganda da Coca-cola vai ao ar de 30 em 30 minutos. A Pepsi-Cola pretende veicular sua propaganda nessa emissora também de 30 em 30 minutos, porém quer usar uma estratégia de tal modo que, a qualquer momento que um espectador ligue a TV, a probabilidade de que ele veja a propaganda da Pepsi em primeiro lugar seja maior que a probabilidade de que ele veja a propaganda da Coca-cola. Qual deve ser essa estratégia?
Resposta: cada propaganda da Pepsi-Cola deve ser veiculada x minutos (15 < x < 30) após cada propaganda da Coca-Cola.
1- EXPERIMENTOS DETERMINÍSTICOS
Um experimento é denominado determinístico se, dadas as condições em que ocorre, seu resultado pode ser previsto com exatidão antes mesmo de sua realização.
Exemplo 1
Se um corpo se locomove a uma velocidade constante V, num período de tempo 
 ele terá percorrido:
A quantidade de calor necessária para resfriar m quilogramas de um líquido com calor específico (em Kcal / KgºC ), por uma temperatura 
 (em ºC), sem haver mudança de estado, é calculada por:
Nos dois casos citados consegue-se prever com exatidão o deslocamento do corpo e a quantidade de calor necessária para o resfriamento antes mesmo de suas realizações. Além disso, caso tais experimentos sejam reproduzidos em situações semelhantes por diversas vezes, os resultados serão sempre os mesmos. 
As expressões apresentadas são modelos matemáticos que permitem estudar experimentos determinísticos, sendo denominados, portanto, modelos determinísticos.
2 EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS
Já experimentos aleatórios são aqueles cujos resultados não podem ser determinados com exatidão antes de sua ocorrência. Experimentos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.
Características dos experimentos aleatórios:
1. Podem ser repetidos indefinidamente sob as mesmas condições.
2. Não se pode adiantar um resultado particular, mas pode descrever todos os resultados possíveis.
3. Se repetidos muitas vezes, apresentarão uma regularidade em termos de freqüência de resultados.
Exemplos: 
Lançamento de uma moeda, lançamento de um dado
Apostas na loteria
Se lançarmos um dado sobre uma superfície plana e observarmos o número que aparece na superfície superior, não podemos determinar a priori qual será esse número;
Não se pode determinar com exatidão a quantidade de chuva num dia futuro com base na quantidade de chuva nos dias anteriores.
Ao descrever um experimento aleatório deve-se especificar não somente que operação ou procedimento deva ser realizado, mas também o que deverá ser observado. 
Joga-se um dado e observa-se o número obtido na face superior.
Joga-se uma moeda 4 vezes e o observa-se o número de caras obtido.
Joga-se uma moeda 4 vezes e observa-se a seqüência de caras e coroas.
Um lote de 10 peças contém 3 defeituosas. As peças são retiradas uma a uma (sem reposição) até que a última defeituosa seja encontrada. Conta-se o número de peças retiradas.
Uma lâmpada nova é ligada e observa-se o tempo gasto até queimar.
Lança-se uma moeda até que ocorra uma cara e conta-se então o número de lançamentos necessários.
Lançam-se dois dados e anota-se o total de pontos obtidos.
Lançam-se dois dados e anota-se o par obtido.
Dada a incerteza inerente ao resultado de experimentos aleatórios, não há modelos matemáticos capazes de determinar seus resultados a partir das condições em que ocorrem. Nasce daí a necessidade de criar modelos matemáticos aplicáveis ao estudo de experimentos aleatórios. Isso se torna possível ao definir para cada experimento aleatório o conjunto de possíveis resultados e atribuir ‘pesos’ a esses resultados, de tal maneira que esses pesos reflitam maiores ou menores chances de ocorrência.
Veremos adiante que, dadas as configurações em que um experimento aleatório ocorre, o interesse está em especificar como as probabilidades se distribuem em relação aos seus possíveis resultados. Nesse caso, busca-se um modelo matemático
capaz de descrever tais experimentos, denominado modelo probabilístico.
Vamos estudar aqui apenas os experimentos aleatórios. Vamos definir alguns conceitos.
O princípio da probabilidade é observar todos os possíveis resultados de um determinado experimento. E dentro de todos os possíveis resultados, observar aqueles que nos interessa. 
1- ESPAÇO AMOSTRAL
O espaço amostral (S) de um experimento aleatório é o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento. 
N(S) é o número total de casos, ou seja, é o número de elementos do conjunto S, ou o número de resultados possíveis.
Exemplos: 
Um experimento é o lançamento de uma moeda. Os possíveis resultados são cara ou coroa, então, S = {cara, coroa}.
Em dois lançamentos de uma moeda, sendo interessante observar a ordem dos resultados, os possíveis resultados são: 
(1) cara e cara
(2) cara e coroa
(3) coroa e cara e 
(4) coroa e coroa. 
O espaço amostral é S = {(Ca,Ca), (Ca,Co), (Co,Ca), (Co,Co)}. O número de elementos de S é N(S) = 4.
2- EVENTOS
Chama-se de evento qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento aleatório, ou seja, qualquer resultado do espaço amostral.
N(E) é o número de casos favoráveis ao evento E, ou seja, resultados associados ao evento E.
Exemplo: 
No lançamento de uma moeda S = {cara, coroa}. Um evento de interesse E pode ser E = {“obter cara no lançamento de uma moeda”}. Neste caso, E = {Ca} e N(E) = 1.
No lançamento de um dado, o evento de interesse E pode ser E = {“ocorrência de número ímpar”}. Neste caso, E = {1, 3, 5} e N(E) = 3.
PROBABILIDADE DE UM EVENTO OCORRER
Em um experimento aleatório, onde S é um espaço amostral equiprovável, (todos têm a mesma chance se ser escolhido), a probabilidade de ocorrer um evento qualquer E é o número P(E), dado por
AXIOMAS
0 ( P(E) ( 1 ou 0% ( P(E) ( 100% (ou seja, a probabilidade de qualquer evento está entre 0 e 1 ou entre 0% ou 100%.
Se E =
, então P(E) = 0 e se E = S, então P(E) = 1.
EXEMPLO 1 - Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de: 
(a) SAIR O NÚMERO 3
O espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e o evento que esperamos é “ocorrer o número 3” , dado E = {3}. 
Temos N(S) = 6 e N(E) = 1.
Portanto, a probabilidade procurada será igual a 
 = 0,167 ou 16,7 %
(b) SAIR UM NÚMERO PAR
Agora o acontecimento esperado é E = {2, 4, 6} com três possibilidades. Logo a probabilidade procurada será 
P(E) = 3/6 = 1/3 = 0,5 ou 50%.
(c) SAIR UM MÚLTIPLO DE 3
O acontecimento esperado é E = {3, 6} com duas possibilidades. Logo a probabilidade procurada será 
P(E) = 2/6 = 1/3 = 0,333 ou 33,3%.
(d) SAIR UM NÚMERO MENOR DO QUE 3
Agora, o acontecimento esperado é E = {1, 2} com duas possibilidades. Portanto, P(E) = 2/6 = 1/3 = 0,333 ou 33,3%.
(e) SAIR UM QUADRADO PERFEITO
O acontecimento esperado é E = {1,4} com dois elementos. Portanto, P(E) = 2/6 = 1/3 = 0,333 ou 33,3%.
(f) PROBABILIDADE DE SE OBTER O NÚMERO 4 
O acontecimento esperado é E = {4} com 1 elemento, então P(E) = 1/6 = 0,167 ou 16,7 %.
(g) PROBABILIDADE DE SE OBTER UM NÚMERO DIFERENTE DE 4
O evento esperado é E = {1, 2, 3, 5, 6} com 5 elementos, então P(E) = 5/6 = 0,833 ou 83,3 %
EXEMPLO 2 - Considere o lançamento de dois dados. 
Observe que neste caso, o espaço amostral S é constituído pelos pares ordenados (i, j), onde i = número na face do DADO 1 e j = número na face do DADO 2. É evidente que teremos 36 pares ordenados (i, j) possíveis, onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou 6 e o mesmo ocorrendo com j. Isto é,
Calcule a probabilidade de:
(a) SAIR A SOMA 8
As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos: (2,6) , (3,5) , (4,4) , (5,3) e (6,2). Portanto, o acontecimento "soma igual a 8" possui 5 possibilidades. Logo, a probabilidade procurada será igual a P(E) = 5/36 ou 13,89 %.
(b) SAIR A SOMA 12
Neste caso, a única possibilidade é o par (6,6). Portanto, a probabilidade procurada será igual a 
P(E) = 1/36 ou 2,78 %.
(c) SAIR UM PAR ONDE O RESULTADO DO PRIMEIRO DADO DIVIDE O RESULTADO DO SEGUNDO DADO
E = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
O acontecimento desejado possui 14 possibilidades. Potanto, P(E) = 14/36 ou 38,89 %
EVENTOS COMPLEMENTARES
Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Dado um espaço amostral S e o evento E (ocorre), chamamos de evento complementar o evento 
(não ocorre) tal que 
 
EXEMPLO 1 – Considere o lançamento de um dado e o evento E = {obter um número é par}, ou seja, E = {2, 4, 6}. Então, o evento complementar é 
 = {1, 3, 5}
Observe que 
Assim se P(E) é a probabilidade de que o evento E ocorra (sucesso) e P(
) a probabilidade de que o evento E não ocorra (insucesso), existe sempre a relação
EXEMPLO 2 – Se a probabilidade de se realizar um evento E é P(E) = 1/5, então a probabilidade de que o evento E não ocorra é 
 P(
) = 1 - P(E) = 1- 
 = 
EXEMPLO 3 – Sabemos que a probabilidade de tirar 4 no lançamento de um dado é P(E) = 1/6. Logo, a probabilidade de não tirar o 4 no lançamento é
 P(
) = 1 - P(E) = 1- 
 = 
CÁLCULO DAS PROBABILIDADES
Muitas aplicações da estatística exigem a determinação da probabilidade de combinações dos eventos. Há duas características de combinações. Pode ser necessário determinar a probabilidade de ambos os eventos acontecerem P(A e B) ou a probabilidade de um deles, A ou B, ou seja, P(A ou B).
Exemplo - Em um prédio com 2 elevadores, poderíamos perguntar: 
Ou então, qual a probabilidade de um ou outro elevador estar em serviço?
Um ou outro implica P(A ou B)
Qual a probabilidade de ambos os elevadores estarem em serviço? 
Ambos implicam P(A e B)
No primeiro caso temos a união de dois eventos e no segundo caso temos a interseção.
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS
Considere dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral S. A probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B é dada por P(A ou B) ou P(A ( B), onde
 ou
 
repete o símbolo.
 O espaço amostral sempre será o mesmo.
P(A)= N(A) 
 N(S)
Exemplos
1- No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter o número 4 ou um número par?
- Solução –
 
O espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e N(S) = 6.
O evento “obter o número 4” é E = {4} e N(E) = 1.
O evento “obter um número par” é F = {2, 4, 6} e N(F) = 3.
A ( B = {4} ( {2, 4, 6} = {4} e N(A ( B) = 1.
Assim,
Logo, a probabilidade de se obter o número 4 ou um número par é de 50%.
2- Sorteando um número natural de 1 a 22, qual a probabilidade de se obter um número de um algarismo ou um múltiplo de 10?
- Solução -
O espaço amostral é S = {1, 2, 3, . . . . , 22} e N(S) = 22.
O evento “obter um número 1 algarismo” é E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e N(E) = 9.
O evento “obter um múltiplo de 10” é F = {10,20} e N(F) = 2.
A ( B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ( {10,20} = ( e N(A ( B) = 0.
Assim,
Logo, a probabilidade de se obter um número de um algarismo ou um múltiplo de 10 é de 50%.
3- Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números de 1 a 50. Qual a probabilidade de: 
(a) o número ser divisível por 5. 
(b) terminar em 3. 
(c) ser primo. 
(d) ser divisível por 6 ou 8.
- Solução - 
(a) o número ser divisível por 5. 
Seja S o espaço amostral S = {1, 2, 3, . . . , 50}. Temos N(S) = 50.
Seja A o evento “divisível por 5”. Então A = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50} e N(A) = 10.
Logo, 
(b) terminar em 3. 
Seja B o evento “terminar em 3”. Então B = {3, 13, 23, 33, 43} e N(B) = 5.
Logo, 
(c) ser primo. 
Seja C o
evento “ser primo”. Então C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47} e N(C) = 15.
Logo, 
(d) ser divisível por 6 ou 8.
Seja D o evento “ser divisível por 6”. Então D = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48} e N(D) = 8.
Seja E o evento “ser divisível por 8”. Então E = {8, 16, 24, 32, 40, 48} e N(D) = 6.
Temos D ( E = {24,48} e N(D ( E) = 2.
Assim,
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS	
Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s), ou seja, a ocorrência de um evento impede a ocorrência do outro evento. Em outras palavras, a probabilidade de que ambos ocorram é nula, isto é, P(A ( B) = 0.
Neste caso, caracterizem-se por dois conjuntos disjuntos, isto é, se A e B são dois eventos, então A 
 B= 
.
 Mutuamente exclusivos Não exclusivos
Exemplos
No lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e o evento “tirar coroa” são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza.
No lançamento de um dado, a ocorrência de uma face elimina a possibilidade de ocorrência das outras cinco.
Seja S o espaço amostral referente à retirada de uma carta de um baralho de 52 cartas. Seja A o evento “retirar um ÁS” e B o evento “retirar uma carta de OURO”. Aqui, existe a possibilidade de ocorrer A e B ao mesmo tempo, ou seja, ocorrer “ÁS de OURO”. Logo, os eventos A e B não são mutuamente exclusivos.
Se dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize, uma vez que P(A ( B) = 0.
Exemplo:
Lançamos um dado. A probabilidade de se tirar o 3 ou 5 é:
A = {tirar 3} e B = {tirar 5}
pois, como vimos, os dois eventos são mutuamente exclusivos.
EXERCÍCIOS
1- Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule:
    a) a probabilidade de essa peça ser defeituosa.  Resposta - 1/3
    b) a probabilidade de essa peça não ser defeituosa. Resposta - 2/3
2- No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de se obter soma igual a 5. Resposta - 1/9
3- 
Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; 
uma urna B contém: 5 bolas brancas, 2 pretas,1 verde; 
uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas, 4 verdes. 
Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e 
terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde? Resposta - 1/27
4- No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um número não-inferior a 5? Resposta - 1/3
5- Dois dados são lançados conjuntamente. Determine a probabilidade de a soma ser 10 ou maior que 10.
Resposta - 1/6 
6- Uma urna contem 5 bolas brancas, 4 vermelhas e 3 azuis. Extraem-se simultaneamente 3 bolas. Achar a probabilidade de
a) Nenhuma ser vermelha Resposta - 0,2545
b) Todas sejam da mesma cor Resposta - 0,0682
7 - Jogam-se dois dados, qual é a probabilidade de o produto dos números das faces superiores estar entre 12 e 15 (inclusive?) Resposta - 1/6
8 - Dois dados são lançados simultaneamente. Qual é a probabilidade de se obter a soma dos pontos igual a 8 ou dois números iguais? Resposta - 5/18
9 - Uma urna contem x bolas brancas e 3x bolas pretas e 3 bolas vermelhas. Uma bola é extraída ao acaso. Determine o menor valor possível de x a fim de que a probabilidade de a bola ser sorteada ser preta seja maior que 70%. Resposta: x = 11
10 - O número da placa de um carro é par. A probabilidade de o algarismo das unidades ser zero é?
11- Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa. Resposta – 25%
12 - Uma moeda é viciada, de forma que as coroas são cinco vezes mais prováveis de aparecer do que as caras. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa. Resposta - 83,33%
13 - Um cartão é retirado aleatoriamente de um conjunto de 50 cartões numerados de 1 a 50. Determine a probabilidade do cartão retirado, ser de um número primo. Resposta - 3/10.
14 - Numa urna existem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retirando uma bola ao acaso, qual a probabilidade de ocorrer múltiplos de 2 ou múltiplos de 3? Resposta – 70%
PROBABILIDADE
EXPERIMENTOS DETERMINÍSTICOS E EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS
ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS
� EMBED Equation.3 ���
P(E) + P(� EMBED Equation.3 ���) = 1 ou P(� EMBED Equation.3 ���) = 1 - P(E)
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
PSICOLOGIA – ESTATÍSTICA INFERENCIAL – 1/2014	Página � PAGE \* MERGEFORMAT �3�
_1392664433.unknown
_1392664445.unknown
_1400739089.unknown
_1400739282.unknown
_1423394691.unknown
_1407264744.unknown
_1400739281.unknown
_1392664449.unknown
_1392664451.unknown
_1392664453.unknown
_1392664454.unknown
_1392664452.unknown
_1392664450.unknown
_1392664447.unknown
_1392664448.unknown
_1392664446.unknown
_1392664439.unknown
_1392664441.unknown
_1392664443.unknown
_1392664444.unknown
_1392664442.unknown
_1392664440.unknown
_1392664437.unknown
_1392664438.unknown
_1392664435.unknown
_1392664436.unknown
_1392664434.unknown
_1392664428.unknown
_1392664431.unknown
_1392664432.unknown
_1392664430.unknown
_1392664424.unknown
_1392664427.unknown
_1392664422.unknown