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CÁLCULO II 
O objetivo essencial do curso de cálculo ii é estender o cálculo i para funções de mais de 
uma variável. 
 
Equações Ordinárias: 
 A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem 
que aparece na equação. 
 
 Por conveniência substituímos u(t) por y 
 
 
Equações Diferenciais de 1º Ordem 
 
 
 
Equações Diferenciais de 2º Ordem 
 
 
 
 
Equações lineares e Não lineares: 
 Um eq. é dito linear se F é uma função linear de variáveis y, y’, ... , y(n) . 
a0(t)y
(n) + a1(t)y
(n-1) + ... + an(t)y = g(t) 
 Uma eq. que nãoé dessa forma é uma eq. não linear. 
Y’’’+ y’’ + yy’ = t 
 
Equações Diferenciais Linear de 1º Ordem 
 
 
 
 
 Onde a e b são funções conhecidas 
Método do Fator Integrante: 
 Multiplique ambos os lados da eq. por uma função , tal que 
 
 
 
Considerando a e b 
constantes. 
 
Usando a regra do 
produto, temos: 
 
Logo: 
 
 
Integrando ambos os lados, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos como solução geral 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Diferenciais Separáveis 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplica cruzado 
(abusando da notação) 
 
 
Integra dos dois lados 
 
Temos como solução 
geral 
– geralmente implícita – 
 
 
 
 
Equações Diferenciais Linear de 2º Ordem 
 
Coeficientes constantes 
 
i. Eq. HOMÔGENIA, se . 
Transformamos na eq. característica 
 
 
 
De onde obtemos r1 e r2 – Raízes da eq. do 2º grau – 
 Raízes Solução Geral 
 
 
 
 
 R 
 
 
 
 
 
 
 R 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii. Eq. Não Homogenia, se . 
 
 
 
a) Entre a solução geral da homogenia associada 
b) Encontre uma solução da equação, chamada solução particular. 
c) Some as duas soluções. 
 
Método dos coeficientes a serem determinados 
Este método se restringe aos casos de polinômios, exponenciais e Seno, 
Coseno, e é baseado no fato que as derivadas de tais termos continuam entre tais 
termos. 
 Chute 
 
 
 
 
 
 
 ( ) + ( ) 
 
 
Obs1.: 
Caso a função esteja “incompleta”, faça: 
 
Equação Chute 
 
 
 
 
 
 
Obs2.: 
Suponha como um produto entre um polinômio, senos, cossenos e um 
exponencial. 
– O CHUTE DE UM PRODUTO É O PRODUTO DOS CHUTES... 
 Chute 
 
 
 
 
** Sendo [y], a solução da 
homogênea associada, de acordo 
com a tabela acima.. 
Obs3.: 
Suponha, agora, como uma adição entre um polinômio, senos, cossenos e 
um exponencial. 
 
Faremos: 
 
 
 
 
E depois somamos os resultados. 
 
 
 
 
Obs4.: 
Algumas identidades trigonométricas relevantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs5.: 
Quando a solução geral da equação for igual ao chute, multiplique o chute por t. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURVAS DEFINIDAS POR EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS 
 
 é o parâmetro da curva. 
 
i. Cicloide 
 
 
 
 
ii. Espiral 
 
 
 
 
 
iii. Circunferência 
 
 
 
 
 
 
1. Vetor tangente à curva 
 
Considere as eq. paramétricas e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vetor tangente = Velocidade Aceleração 
 
 
 
x 
y 
x 
x 
y 
y 
z 
 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs1.: 
 Há tangente horizontal 
Quando: 
 
 
 
 
 
 
 
 Há tangente a vertical – assíntota – 
Quando: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Construindo o gráfico de uma curva 
 
i. Derive 
 F’(x) 
 F’’(x) 
 
ii. Encontre os pontos onde a tangente é vertical 
 Horizontal 
 Vertical 
 
iii. Determine onda à curva é crescente ou decrescente 
 
Crescente Máximo ou mínimo Decrescente 
 
iv. Determine onde a concavidade é para Cima ou para Baixo 
 
 Concavidade para cima Concavidade para baixo 
Crescente 
 
Decrescente 
 
 
v. Faça o estudo do sinal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curva 
 
3. Comprimento do arco 
 
Como medir o comportamento de uma curva paramétrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Equação paramétrica da Reta, 
 
 Para traçarmos uma reta são necessários um ponto e uma direção... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Eq. paramétrica da reta que passa no Ponto P0 e direção 
 Dois vetores são Paralelos, se e somente se um deles for múltiplo do outro: 
 
 
5. Equação paramétrica do Plano 
 
 Para traçarmos um plano são necessários três pontos... 
 
 
 
 
 
 Eq. paramétrica do Plano que passa no Ponto P0 e possui como vetor 
normal 
 O vetor normal é obtido através de um produto vetorial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Não se esqueça da regra da mão direira 
 O ângulo entre dois planos é o mesmo ângulo entre as normais, e é obtido 
através de um produto escalar.