EXERCICIO CALCULO INTEGRAL E DIFERENCIAL II

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AULA 1
	1a Questão
	
	
	
	Para y=5, calcule o comprimento da curva no intervalo de x pertencente a [2, 8].
		
	
	3
	
	5
	
	2
	
	4
	 
	6
	Respondido em 07/02/2020 11:47:14
	
Explicação:
Com y=5y=5 traçamos uma reta horizontal paralela ao eixo xx, portanto, no intervalo dado o comprimento L=8−2=6 u.c.L=8-2=6 u.c.
Dica: u.c.u.c. significa unidades de comprimento.
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima,  indique a única resposta correta para o limite da função: limt→0r(t)limt→0r(t) se r(t)=(1+t³)i+te−tj+senttkr(t)=(1+t³)i+te−tj+senttk
		
	 
	i+ki+k
	
	i−ki−k
	
	i+2j+3ki+2j+3k
	
	i+j+ki+j+k
	
	2i+j2i+j
	Respondido em 07/02/2020 11:50:38
	
Explicação:
Aplica-se a teoria de limites, observando-se que no último termo pode-se aplicar a Regra de L'Hôpital ou o limite fundamental para calcular limt→0sentt=1limt→0sentt=1
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Calcule r'(t)=v(t)r′(t)=v(t) e indique a única resposta correta se r(t)=ti + (2 - t)j,em,emt = 1.
		
	 
	r′(t)=v(t)=12i - j
	
	r′(t)=v(t)=14i + j
	
	r′(t)=v(t)=13i - 2j
	
	r′(t)=v(t)=15i - 3j
	
	r′(t)=v(t)=32i - j
	Respondido em 07/02/2020 11:50:48
	
Explicação:
Derivadas de funções a valores vetoriais com cálculo de v(t)v(t) em um dado valor.
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Encontrando Primitivas.
Seja  ∫(costi+3t2j)dt∫(costi+3t2j)dt, qual a  única resposta correta?
		
	
	(cost)i - 3tj
	 
	(sent)i + t³j
	
	-(sent)i -3tj
	
	(cost)i + 3tj
	
	(cost)i - sentj + 3tk
	Respondido em 07/02/2020 11:51:24
	
Explicação:
Trata-se de uma integração imediata de uma função vetorial.
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela funções vetoriais:
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k
Podemos concluir que
a) as aeronaves não colidem.
 b) as aeronaves colidem no instante t=2
c) as aeronaves colidem no instante t=5
d) as aeronaves colidem no instante t=3
e) as trajetórias não se interceptam
		
	
	(e)
	 
	(c)
	
	(a)
	
	(b)
	
	(d)
	Respondido em 07/02/2020 11:51:45
	
Explicação:
Igualar as equações das duas trajetórias e calcular o tempo nas quais elas são idêbnticas. 
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Passando o ponto P(1,√3) de coordenadas cartesianas para  coordenadas polares vamos obter:
		
	
	( 4, π/6)
	 
	( 2, π/6)
	
	( 2, π/2)
	
	( 6, π/6)
	
	( 6, π/2)
	Respondido em 07/02/2020 11:52:13
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Encontre a curvatura para a curva r(t) = ti + (ln cos t)j  para −π2<t<π2-π2<t<π2
		
	
	sen t
	
	tg t - sen t
	 
	cos t
	
	sen t + cos t
	
	tg t
	Respondido em 07/02/2020 11:52:20
	
Explicação:
Curvatura (k) = (y''x'-y'x'') / (x'²+y'²)3/2
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Marque as únicas respostas corretas para as derivadas de 1ª ordem fxfx e fyfy da função: f(x,y)=xe3y
		
	 
	fx=e3yfx=e3y e fy=3xe3yfy=3xe3y
	
	fx=eyfx=ey e fy=3xeyfy=3xey
	
	fx= −e3yfx= -e3y e fy= −3xe3yfy= -3xe3y
	
	fx=π3yfx=π3y e fy=3πe3yfy=3πe3y
	
	fx=0fx=0 e fy=0fy=0
	Respondido em 07/02/2020 11:52:24
	
Explicação:
Aplicação das regras de derivação parcial em função a duas variáveis.
	1a Questão
	
	
	
	Seja a função vetorial r(t) = (t²)i + (t −2)j + (5t² - 10)k . O limite dessa função quando t → 2 é dado por:
		
	 
	〈4,0,10〉
	
	〈4,8,7〉
	
	〈6,8,12〉
	
	〈2,3,11〉
	
	〈2,4,12〉
	Respondido em 16/03/2020 06:18:55
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função: limt→0[r(t)=(sen2t)i+eln(2t)j+(cost)k]limt→0[r(t)=(sen2t)i+eln(2t)j+(cost)k]
		
	
	jj
	
	i+j+ki+j+k
	
	i+ji+j
	 
	kk
	
	i+ki+k
	Respondido em 16/03/2020 06:19:19
	
Explicação:
Aplica-se a teoria de limites na expressão vetorial de r(t)r(t). Atenção especial deve ser dada à expressão eln(2t)=2teln(2t)=2t
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira ou (F) caso seja falsa:
1) (   ) A reta tangente a uma curva r(t)r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)kx(t)i+y(t)j+z(t)k   em t = t0  é   uma   reta   que   passa   pelo   ponto   P(x(t0),y(t0),z(t0)    paralela ao vetor  v(t)v(t) = x′(t0)i  + y'(t0)j + z'(t0)k.             
 2) (   ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente são:
xx =x(t0) + t.x'(t0)y==y(t0) + t.y'(t0)z== z(t0) + t.z'(t0)
3) (   ) O vetor tangente unitário de uma curva derivável r(t)r(t) é:
TT= v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|.
4) (   )  O comprimento L de uma curva lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)kr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado por           
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2
5) (   )  A reta normal unitária principal no plano é N=dTdt∣∣dTdt∣∣N=dTdt|dTdt|
 
		
	
	1) (V)                 2) (F)                    3) (V)                     4) (F)                 5) (F)
	
	1) (V)               2) (F)                3) (V)                       4) (F)                   5) (V)
	
	1) (V)                     2) (V)                  3) (V)                  4) (F)                   5) (F)
	
	1) (V)              2) (F)                 3) (V)                        4) (V)                   5) (V)
	 
	1) (V)                2) (V)                     3) (V)                    4) (F)                  5) (V)
	Respondido em 16/03/2020 06:19:32
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i + (sen 2t)j
		
	 
	v(t)=−2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j
	
	v(t)=sen(2t)i+cos(2t)jv(t)=sen(2t)i+cos(2t)j
	
	v(t)=−2sen(t)i+2cos(t)jv(t)=-2sen(t)i+2cos(t)j
	
	v(t)=−2sen(2t)i−2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i-2cos(2t)j
	
	v(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)j
	Respondido em 16/03/2020 06:19:59
	
Explicação:
v(t)=drdt=r′(t)v(t)=drdt=r′(t)
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i + (sen 2t)j
		
	 
	v(t)=−2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j
	
	v(t)=−2sen(t)i+2cos(t)jv(t)=-2sen(t)i+2cos(t)j
	
	v(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)j
	
	v(t)=sen(2t)i+cos(2t)jv(t)=sen(2t)i+cos(2t)j
	
	v(t)=−2sen(2t)i−2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i-2cos(2t)j
	Respondido em 16/03/2020 06:20:08
	
Explicação:
v(t)=drdt=r′(t)v(t)=drdt=r′(t)
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk
		
	
	2i
	 
	2j
	
	2i + j
	
	i/2 + j/2
	
	2i + 2j
	Respondido em 16/03/2020 06:21:03
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	O limite da função vetorial r = (t²)i + (t-1)j + (e^t)k quando t = 0 é:
		
	 
	(0, -1, 1)
	
	(1, 1, -1)
	
	(0, 2, -1)
	
	(2, 1, -1)
	
	(-1, 0, 1)
	Respondido em 16/03/2020 06:21:23
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Encontrando Primitivas.
Seja  ∫(costi+3t2j)dt∫(costi+3t2j)dt, qual a  única resposta correta?
		
	
	(cost)i - sentj + 3tk
	
	-(sent)i -3tj
	
	(cost)i - 3tj
	 
	(sent)i + t³j
	
	(cost)i + 3tj
	Respondido em 16/03/2020 06:21:51
	
Explicação:
Trata-se de uma integração imediata de uma função vetorial.
	1a Questão
	
	
	
	Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t)  = ⟨1+t,2+5t,−1+6t⟩〈1+t,2+5t,-1+6t〉
		
	
	x=1+tx=1+t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1z=-1
	
	x= tx= t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1+6tz=-1+6t
	
	x=1 −tx=1 -t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1+6tz=-1+6t
	
	x=1+tx=1+t ; y=2+5ty=2+5t
	 
	x=1+tx=1+t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1+6tz=-1+6t
	Respondido em 16/03/2020 06:23:12
	
Explicação:
Calculando as equações paramétricas.
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	A trajetória de um corpo é definida pelo vetor posição →r=(t2,sen(t),−cos(2t))r→=(t2,sen(t),−cos(2t)). Determine a aceleração (m/s2) para t =  ππ (segundos)(2,-1,0)
	
	(0,0,-1)
	 
	(2,0,-4)
	
	(2,0,4)
	
	NDA
	Respondido em 16/03/2020 06:23:57
	
Explicação:
   →r=(t2,sen(t),−cos(2t))r→=(t2,sen(t),−cos(2t))  ˙→r=(2t,cos(t),2sen(2t))r→˙=(2t,cos(t),2sen(2t))    ¨→r=(2,−sen(t),4cos(2t))r→¨=(2,−sen(t),4cos(2t)).
Assim, para t=Pi,   ¨→r=(2,0,4)r→¨=(2,0,4)
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação polar r=42cosΘ−senΘr=42cosΘ-senΘ
		
	
	y = x - 4
	
	y = x + 6
	 
	y = 2x - 4
	
	y = x + 1
	
	y = x
	Respondido em 16/03/2020 06:29:15
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	A integral definida da função vetorial r(t) = (3t² - 1)i + (2t +2)j + (t³)k para t [0,2] é:
		
	
	〈 4/3,4,5 〉
	
	〈 2/3,6,4 〉
	 
	〈6,8,4 〉
	
	〈4,6,5 〉
	
	〈2,2/3,6 〉
	Respondido em 16/03/2020 06:29:57
	
Explicação:
(t³ - t)i + (t² +2t)j + (t4 / 4)k para t [0,2] = (6, 8, 4)
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Para y=5, calcule o comprimento da curva no intervalo de x pertencente a [2, 8].
		
	
	4
	 
	6
	
	5
	
	3
	
	2
	Respondido em 16/03/2020 06:30:40
	
Explicação:
Com y=5y=5 traçamos uma reta horizontal paralela ao eixo xx, portanto, no intervalo dado o comprimento L=8−2=6 u.c.L=8-2=6 u.c.
Dica: u.c.u.c. significa unidades de comprimento.
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima,  indique a única resposta correta para o limite da função: limt→0r(t)limt→0r(t) se r(t)=(1+t³)i+te−tj+senttkr(t)=(1+t³)i+te−tj+senttk
		
	
	2i+j2i+j
	
	i+2j+3ki+2j+3k
	
	i+j+ki+j+k
	 
	i+ki+k
	
	i−ki−k
	Respondido em 16/03/2020 06:31:05
	
Explicação:
Aplica-se a teoria de limites, observando-se que no último termo pode-se aplicar a Regra de L'Hôpital ou o limite fundamental para calcular limt→0sentt=1limt→0sentt=1
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Calcule r'(t)=v(t)r′(t)=v(t) e indique a única resposta correta se r(t)=ti + (2 - t)j,em,emt = 1.
		
	
	r′(t)=v(t)=13i - 2j
	
	r′(t)=v(t)=32i - j
	
	r′(t)=v(t)=14i + j
	
	r′(t)=v(t)=15i - 3j
	 
	r′(t)=v(t)=12i - j
	Respondido em 16/03/2020 06:31:45
	
Explicação:
Derivadas de funções a valores vetoriais com cálculo de v(t)v(t) em um dado valor.
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela funções vetoriais:
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k
Podemos concluir que
a) as aeronaves não colidem.
 b) as aeronaves colidem no instante t=2
c) as aeronaves colidem no instante t=5
d) as aeronaves colidem no instante t=3
e) as trajetórias não se interceptam
		
	
	(d)
	
	(a)
	
	(b)
	 
	(c)
	
	(e)
	Respondido em 16/03/2020 06:32:02
	
Explicação:
Igualar as equações das duas trajetórias e calcular o tempo nas quais elas são idêbnticas. 
AULA 2
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Encontre a equação polar (r), sabendo que: x^2 + y^2 = a^2
		
	
	2a
	
	3a
	
	sqrt (a)
	
	1/a
	 
	a
	Respondido em 16/03/2020 06:40:29
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Dado f(t) = (e^3t sen t, 3t - 2) , calcule f ' (t) :
		
	
	f ' (t) = e^3t
	
	f ' (t) = 3 sen t + cos t
	
	f ' (t) = (3 sen t + cos t) i + 3 j
	 
	f ' (t) = e^3t (3 sen t + cos t) i + 3 j
	
	f ' (t) = 3 j
	Respondido em 16/03/2020 06:40:34
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Descreva a curva na forma paramétrica definida pela função vetorial r(t) = 〈1+t, 2+5t, -1+6t〉.
		
	
	x=1 -t; y=2+5t; z=-1+6t
	
	x=1+t; y=2+5t
	
	x= t; y=2+5t; z=-1+6t
	 
	x=1+t; y=2+5t; z=-1+6t
	
	x=1+t; y=2+5t; z=-1
	Respondido em 16/03/2020 06:40:40
	
Explicação:
Reta que passa pelo ponto P = (1, 2, -1) e tem vetor diretor (1, 5, 6)
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Encontre a equação polar correspondente a equação cartesiana dada por 
		
	 
	r =3 tg θ . sec θ
	
	r =3 cotg θ. sec θ
	
	r=3 tg θ. cos θ
	
	=cotg θ. cossec θ
	
	r=tg θ. cossec θ
	Respondido em 16/03/2020 06:40:45
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função:
limt→0limt→0 r(t)== ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k
		
	
	- i + j - k
	 
	i + j + k
	
	j - k
	
	i + j - k
	
	i - j - k
	Respondido em 16/03/2020 06:40:53
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da velocidade da asa-delta no instante t = 0.
		
	
	14
	
	2
	 
	3
	
	9
	
	1
	Respondido em 16/03/2020 06:42:08
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t),  indicando a única resposta correta. 
		
	
	(sect,−cost,1)(sect,-cost,1)
	 
	(−sent, cost,1)(-sent, cost,1)
	
	(sent,−cost,0)(sent,-cost,0)
	
	(sent,−cost,2t)(sent,-cost,2t)
	
	(sent,−cost,1)(sent,-cost,1)
	Respondido em 16/03/2020 06:42:32
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única resposta correta.
		
	 
	(1−cost,sent,0)(1-cost,sent,0)
	
	(1−cost,0,0)(1-cost,0,0)
	
	(1−sent,sent,0)(1-sent,sent,0)
	
	(1 +cost,sent,0)(1 +cost,sent,0)
	
	(1−cost,sent,1)
AULA 3
		1.
		Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade é:
	
	
	
	V(t) (-16 cos 6t, - 16 sen 6t)
	
	
	V(t) (6 sen 6t, -6 cos 6t)
	
	
	V(t) (-6 sen 6t, 6 cos 6t)
	
	
	V(t) (-36 cos 6t, - 36 sen 6t)
	
	
	não existe
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Substitua a equação cartesiana x216+y225=1x216+y225=1 por uma equação polar equivalente.
	
	
	
	9((rcos(θ))2+16r2=09((rcos(θ))2+16r2=0
	
	
	9((rcos(θ))2 −16r2=4009((rcos(θ))2 -16r2=400
	
	
	16((rcos(θ))2+9r2=40016((rcos(θ))2+9r2=400
	
	
	9((rcos(θ))2+r2=4009((rcos(θ))2+r2=400
	
	
	9((rcos(θ))2+16r2=4009((rcos(θ))2+16r2=400
	
Explicação:
Use as equações relacionadas que transformam um tipo de coordenada em outra, ou seja, de retangular pa polar e vice-versa.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Qual a taxa de variação máxima de f(x,y) = 3x^2 - 2xy em P (1,1)
	
	
	
	2,28
	
	
	2,56
	
	
	4,47
	
	
	3,47
	
	
	9,31
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Calcule a integral:
A=12∫π0r²drA=12∫0πr²dr e indique a única resposta correta.
	
	
	
	π²3π²3
	
	
	π³6π³6
	
	
	−π-π
	
	
	0
	
	
	2π2π
	
Explicação:
Calculando uma área em coordenadas polares
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Encontre a derivada parcial fy    se f(x,y) = y.senxy.
	
	
	
	cosxy + senxy
	
	
	xy.cosxy - senxy
	
	
	x.cosxy + senxy
	
	
	xy.cosxy + senxy
	
	
	y.cosxy + senxy
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Calcule a área, entre α=0α=0  e β=π2β=π2, em coordenadas polares do círculo de raio r=1r=1 e marque a única resposta correta.
	
	
	
	1
	
	
	π3π3
	
	
	π2π2
	
	
	ππ
	
	
	π4π4
	
Explicação:
Use a fórmula: A=∫βα12r²drA=∫αβ12r²dr
	
	
	
	 
		
	
		7.
		A circunferência x2+y2=9x2+y2=9 em coordenadas polares é dada por:
	
	
	
	r = 7
	
	
	r = 3
	
	
	r = 6
	
	
	r = 4
	
	
	r = 5
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Calcule a integral definida: ∫10∫01 [t3t3i + 7j + (t + 1)k]dt.
	
	
	
	-0,25i + 7j + 1,5k
	
	
	-0,25i - 7j - 1,5k
	
	
	0,25i + 7j - 1,5k
	
	
	0,25i + 7j + 1,5k
	
	
	0,25i - 7j + 1,5k
AULA 4 
		1.
		Calcule  o limite da seguinte função vetorial:
 
limt→∞[(1+3t)t  i+(lntt) j+(5t3+t2t3−1) k]limt→∞[(1+3t)t  i+(lntt) j+(5t3+t2t3-1) k]      
	
	
	
	e3i+j+5k
	
	
	e3 i+je3 i+j
	
	
	e3 i + 5ke3 i + 5k  
	
	
	3i+5k3i+5k
	
	
	3i+j+5k3i+j+5k
	
Explicação:
Uma solução é aplicar a Regra de L'Hôpital nas três parcelas, pois as  indeterminações que aparecem são da formas 1 elevado a infinito e  infinito/infinito.2.
		Calcule a integral dupla:
∫42∫24 ∫21∫12 (x²x² + y²y²) dydx
	
	
	
	70/9
	
	
	70/13
	
	
	70/11
	
	
	70/3
	
	
	70/15
	
	
	
	 
		
	
		3.
		O domínio da função f(x, y) = √(25 - x^2 - y^2 ) está:
	
	
	
	no raio do círculo.
	
	
	Limitado pela circunferência do círculo de raio igual a 5, com centro em (0, 0).
	
	
	no interior do círculo com centro na origem e raio menor que 5.
	
	
	no centro do círculo.
	
	
	na reta y = x.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira ou (F) caso seja falsa:
1) (   ) A reta tangente a uma curva r(t)r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)kx(t)i+y(t)j+z(t)k   em t = t0  é   uma   reta   que   passa   pelo   ponto   P(x(t0),y(t0),z(t0)    paralela ao vetor  v(t)v(t) = x′(t0)i  + y'(t0)j + z'(t0)k.             
 2) (   ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente são:
xx =x(t0) + t.x'(t0)y==y(t0) + t.y'(t0)z== z(t0) + t.z'(t0)
3) (   ) O vetor tangente unitário de uma curva derivável r(t)r(t) é:
TT= v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|.
4) (   )  O comprimento L de uma curva lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)kr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado por           
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2
5) (   )  A reta normal unitária principal no plano é N=dTdt∣∣dTdt∣∣N=dTdt|dTdt|
 
	
	
	
	1) (V)              2) (F)                 3) (V)                        4) (V)                   5) (V)
	
	
	1) (V)               2) (F)                3) (V)                       4) (F)                   5) (V)
	
	
	1) (V)                 2) (F)                    3) (V)                     4) (F)                 5) (F)
	
	
	1) (V)                     2) (V)                  3) (V)                  4) (F)                   5) (F)
	
	
	1) (V)                2) (V)                     3) (V)                    4) (F)                  5) (V)
	
Explicação:
O cálculo do comprimento é dado pela expressão abaixo que confirma a opção correta
L=∫|v(t)|dtL=∫|v(t)|dt
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Sabendo que r'(t) = v(t), determine v(t) e indique a única resposta correta se r(t) = 12ti + (2 - t)j, em t = 1.
	
	
	
	r'(t) = v(t) = 32i - j
	
	
	r'(t) = v(t) = 13i - 2j
	
	
	r'(t) = v(t) = 14i + j
	
	
	r'(t) = v(t) = 15i - 3j
	
	
	r'(t) = v(t) = 12i - j
	
Explicação:
Como v(t) é  a primeira derivada de r(t), basta, então, realizar a derivada e substituir t=1.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Qual é o valor da derivada direcional da função f(x,y) = x2 + y2 no ponto (1,1) e na direção do vetor U = (0,-1)
	
	
	
	-2
	
	
	-5
	
	
	-3
	
	
	-1
	
	
	-4
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da função: f(x,y,z)=e−x+e−y+e−zf(x,y,z)=e-x+e-y+e-z no ponto P0(−1,−1,−1)P0(-1,-1,-1)
	
	
	
	∇f=<-e,-1,-e>
	
	
	∇f=<-e,-e, e>
	
	
	 ∇f=<e, e,-e>
	
	
	∇f=<-e,-e,-e>
	
	
	∇f=<-1,-1,-1>
	
Explicação:
Cálculo de gradientes a partir das derivadas parciais e funções exponenciais.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Um objeto de massa mm que se move em uma trajetória circular com velocidade angular constanteww tem vetor posição dado por r(t)=(bcoswt,bsenwt)r(t)=(bcoswt,bsenwt). Indique a única resposta correta que determina a aceleração a(t)a(t) em um tempo t qualquer. Observação: bb> 0.
	
	
	
	a(t)=(−bcoswt,−bw²senwt)a(t)=(−bcoswt,−bw²senwt)
	
	
	a(t)=(bw³coswt,bw²senwt)a(t)=(bw³coswt,bw²senwt)
	
	
	a(t)=(−bw²coswt,−bw²senwt)a(t)=(−bw²coswt,−bw²senwt)
	
	
	a(t)=(−bw²coswt,bw²senwt)a(t)=(−bw²coswt,bw²senwt)
	
	
	a(t)=(−bcoswt,−bw²coswt)a(t)=(−bcoswt,−bw²coswt)
	
Explicação:
Deriva-se duas vezes o vetor posição encontra-se a aceleração.
		1.
		Determine a equação do plano tangente à  esfera `x² + y² + z² = 50    no ponto    P(3,4,5)P(3,4,5).
	
	
	
	 3x+4y −5z=03x+4y -5z=0        
	
	
	 3x+4y+5z=03x+4y+5z=0      
	
	
	3x−4y+5z=183x-4y+5z=18    
	
	
	6x+8y−5z=06x+8y-5z=0     
	
	
	 6x+8y+10z=1006x+8y+10z=100
 
	
Explicação:
Plano tangente da curva z = f(x,y):
z - z0 = (x - x0).dz(x0,y0)/dx + (y - y0).dz(x0,y0)/dy
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Qual é a resposta correta para a derivada da função vetorial r(t) = (t.cost)i + (t.sent)j + tk ?
	
	
	
	(t.cost - sent)i + (sent - t.cost)j + k
	
	
	(cost - t.sent)i + (sent + cost)j + k
	
	
	t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k
	
	
	(sent - t.cost)i + (sent.cost)j - k
	
	
	(cost - t.sent)i + (sent + t.cost)j + k
	
Explicação:
Sendo r(t) = (t.cost)i + (t.sent)j + tk , deriva-se as componentes vetoriais em i e j como a derivada de um produto: d(uv)/dt= u´v +uv´.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Calcule a acelaração da curva r(t)=(cost,sent,t²)r(t)=(cost,sent,t²), indicando a única resposta correta, em t=π2t=π2.
	
	
	
	(1,1,0)(1,1,0)
	
	
	(0,−1,2)(0,−1,2)
	
	
	(2,−1,0)(2,−1,0)
	
	
	(π,π,−π)(π,π,−π)
	
	
	(0,0,0)(0,0,0)
	
Explicação:
A aceleração corresponde à segunda derivada do vetor posição em t=π2t=π2
	
	
	
	 
		
	
		4.
		O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado por r(t) = (t³)i + (t²)j . Calcule a aceleração em t =1 segundo.
	
	
	
	i - 2j
	
	
	i + j
	
	
	6i + 2j
	
	
	6i + j
	
	
	6i - 2j
	
Explicação:
A aceleração a(t)=d²r(t)dt²a(t)=d²r(t)dt². Assim, derivando duas vezes o vetor posição r(t)r(t), calcula-se a aceleração solicitada.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x∂f∂x
	
	
	
	2sen(x - 3y)
	
	
	2cos(x - 3y)
	
	
	sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	
	2sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	
	2sen(x + 3y)cos(x + 3y)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy
	
	
	
	y2 cos xy + x sen xy
	
	
	xy cos xy + sen xy
	
	
	xy2 cos xy + sen xy
	
	
	x2 y cos xy + x sen xy
	
	
	x y2 cos xy + x sen xy
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12.100 metros quadrados. A prefeitura exige que exista um espaço livre de 25 metros na frente, 20 metros atrás e 12 metros em cada lado. Encontre as dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído este galpão.
	
	
	
	a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (97,33) e (145,62)
	
	
	a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (104,33) e (195,62)
	
	
	a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (17,33) e (95,62)
	
	
	n.r.a
	
	
	a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (147,33) e (105,62)
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Determine a integral `int_0/1 int_0/2 int_0/((1-z))dydxdz
	
	
	
	1
	
	
	0
	
	
	2-2z
	
	
	2
	
	
	1-z
		1.
		Determine a equação do plano tangente à  esfera `x² + y² + z² = 50    no ponto    P(3,4,5)P(3,4,5).
	
	
	
	 3x+4y −5z=03x+4y -5z=0        
	
	
	 3x+4y+5z=03x+4y+5z=0      
	
	
	3x−4y+5z=183x-4y+5z=18    
	
	
	6x+8y−5z=06x+8y-5z=0     
	
	
	 6x+8y+10z=1006x+8y+10z=100
 
	
Explicação:
Plano tangente da curva z = f(x,y):
z - z0 = (x - x0).dz(x0,y0)/dx + (y - y0).dz(x0,y0)/dy
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Qual é a resposta correta para a derivada da função vetorial r(t) = (t.cost)i + (t.sent)j + tk ?
	
	
	
	(t.cost - sent)i + (sent - t.cost)j + k
	
	
	(cost - t.sent)i + (sent + cost)j + k
	
	
	t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k
	
	
	(sent - t.cost)i + (sent.cost)j - k
	
	
	(cost - t.sent)i + (sent + t.cost)j + k
	
Explicação:
Sendo r(t) = (t.cost)i + (t.sent)j + tk , deriva-se as componentes vetoriais em i e j como a derivada de um produto: d(uv)/dt= u´v +uv´.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Calcule a acelaração da curva r(t)=(cost,sent,t²)r(t)=(cost,sent,t²), indicando a única resposta correta, em t=π2t=π2.
	
	
	
	(1,1,0)(1,1,0)
	
	
	(0,−1,2)(0,−1,2)
	
	
	(2,−1,0)(2,−1,0)
	
	
	(π,π,−π)(π,π,−π)
	
	
	(0,0,0)(0,0,0)
	
Explicação:
A aceleração corresponde à segunda derivada do vetor posição em t=π2t=π2
	
	
	
	 
		
	
		4.
		O vetorposição de um objeto, que se move no plano, é dado por r(t) = (t³)i + (t²)j . Calcule a aceleração em t =1 segundo.
	
	
	
	i - 2j
	
	
	i + j
	
	
	6i + 2j
	
	
	6i + j
	
	
	6i - 2j
	
Explicação:
A aceleração a(t)=d²r(t)dt²a(t)=d²r(t)dt². Assim, derivando duas vezes o vetor posição r(t)r(t), calcula-se a aceleração solicitada.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x∂f∂x
	
	
	
	2sen(x - 3y)
	
	
	2cos(x - 3y)
	
	
	sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	
	2sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	
	2sen(x + 3y)cos(x + 3y)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy
	
	
	
	y2 cos xy + x sen xy
	
	
	xy cos xy + sen xy
	
	
	xy2 cos xy + sen xy
	
	
	x2 y cos xy + x sen xy
	
	
	x y2 cos xy + x sen xy
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12.100 metros quadrados. A prefeitura exige que exista um espaço livre de 25 metros na frente, 20 metros atrás e 12 metros em cada lado. Encontre as dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído este galpão.
	
	
	
	a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (97,33) e (145,62)
	
	
	a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (104,33) e (195,62)
	
	
	a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (17,33) e (95,62)
	
	
	n.r.a
	
	
	a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (147,33) e (105,62)
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Determine a integral `int_0/1 int_0/2 int_0/((1-z))dydxdz
	
	
	
	1
	
	
	0
	
	
	2-2z
	
	
	2
	
	
	1-z
AULA 5 
		1.
		Sendo f(x,y)=5xy+10y, as derivadas parciais de f em relação a x e em relação a y são, respectivamente
	
	
	
	5x e 10
	
	
	5y e 5x+10
	
	
	5x e 5y+10
	
	
	5x e 10x
	
	
	5 e 10y
	
Explicação:
Resposta:  Derive f em relação a x, supondo y constante e derive f em relação a y, supondo x constante
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Usando diferencial, obter o aumento aproximado do volume de um cilindro circular reto, quando o raio da base varia de 3 cm para 3,1 cm e a altura varia de 21 cm até 21,5 cm.
	
	
	
	2 pi cm^3
	
	
	10 pi cm^3
	
	
	17,1 pi cm^3
	
	
	11,12 pi cm^3
	
	
	2,1 pi cm^3
	
Explicação:
v = π.r2hπ.r2h
dv = (dv/dr).dr + (dv/dh).dh
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Qual é a derivada total dz/dt, sendo  z = x2 -8xy - y3 , onde  x(t) = t e y (t) = 3t ? 
	
	
	
	-46t - 27t2
	
	
	-46t - 81t2
	
	
	-46t -  81
	
	
	-23t - 81t2
	
	
	-46 - 81t2
	
Explicação:
dz/ dt = dz/dx.dx/dt + dz/dy.dy/dt 
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Se z=x2y+3xy4z=x2y+3xy4, onde x = sen(2t) e y = cos(t), o valor de dzdtdzdt, quando t = 0, equivale a: 
	
	
	
	2
	
	
	6
	
	
	4
	
	
	0
	
	
	8
	
Explicação:
A questão tem duas soluções, sendo a primeira com o uso da Regra da Cadeia. Entretanto a mais rápida se dá substituindo na expressão original o x e o y pelas expressões dadas e derivando-se a nova expressão. Assim:
z(t)=sen²(2t)cos(t)+3sen(2t)cos4(t)z(t)=sen²(2t)cos(t)+3sen(2t)cos4(t)
Agora, deriva-se a expressão acima e, ao final, substitua t = 0
	
	
	
	 
		
	
		5.
		
	
	
	
	18/5
	
	
	33/19
	
	
	27/2
	
	
	22
	
	
	41
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Qual das soluções a seguir apresenta a equação da reta tangente a curva 3x+2sen(3(y-1))=9 no ponto P(3,1)?
	
	
	
	NDA
	
	
	3x+2y-2=0
	
	
	x+y-9=0
	
	
	x+2y-5=0
	
	
	3x+2y+2=0
	
Explicação:
A derivada direcional é nula na direção da reta tangente, paralela a curva de nível a F(x,y) em P(x0,y0). Assim 3(x-x0)+6cos(2(y-1))(y-y0)=0. Para P(3,1) temos 3(x-3)+6(y-1)=0 => x+2y-5=0.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Utilizando a derivada parcial de segunda ordem,  qual é o resultado  fxx  da função : f(x,y)=(x3+y3−3xy)f(x,y)=(x3+y3−3xy) ?
	
	
	
	8x
	
	
	10x
	
	
	12x
	
	
	6x
	
	
	15x
	
Explicação:
Tem que derivar duas vezes a função dada em relação a  x, com y constante.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Calcule o limite de:
lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y)
	
	
	
	- 11
	
	
	12
	
	
	5
	
	
	11
	
	
	-12
		1.
		Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do sólido gerado pela expressão ∫∫ ∫∫(x2 + y2) dxdy para os intervalos R=[-1,1] x[-2,1].
	
	
	
	8(u.v.)
	
	
	2(u.v.)
	
	
	21(u.v.)
	
	
	15(u.v.)
	
	
	17(u.v.)
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Qual é a derivada total dz/dt, sendo  z = 2x2 -4xy + 2y2 , onde  x(t) = t e y (t) = t ?
	
	
	
	4t
	
	
	8t
	
	
	2t
	
	
	-8t
	
	
	6t
	
Explicação:
dz/dy = dz/dx . dx/dt + dz/dy . dy/dt
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Qual o gradiente da função f(x,y) = -x2 - y + 4 ?
	
	
	
	(2x, -1)
	
	
	(-2, 1)
	
	
	(-2x, -1)
	
	
	(-2x, 1)
	
	
	(2x, 1)
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Qual é a derivada total dz/dt, sendo  z = x2 -8xy - y3 , onde  x(t) = t e y (t) = - t ? 
	
	
	
	18t-1
	
	
	18t+1
	
	
	18t+2
	
	
	-18t+1
	
	
	18t
	
Explicação:
dz/dt = dz/dx.dx/dt + dz/dy.dy/dt
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine a derivadas de f(x,y,z) = ln(4) + xy2 -2(sin(2z))2-2(cos(2z))2 em P(2,1,1).
	
	
	
	fx=5/4 fy=2 fz=-8
	
	
	fx=1 fy=2 fz=-8
	
	
	NDA
	
	
	fx=1 fy=4 fz=0
	
	
	fx=1 fy=4 fz=-8
	
Explicação:
f(x,y,z) = ln(4) + xy2 + [-2sen²(2z)-2cos²(2z)] => f(x,y,z) = ln(4) + xy2 + -2 => fx=y2; fy=2xy; fz=0 para P(2,1,1) temos fx=1 fy=4 fz=0
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Sendo f(x,y)=5xy+10y, a derivada parcial de f em relação a y no ponto (1;2) é
	
	
	
	20
	
	
	15
	
	
	10
	
	
	5
	
	
	-10
	
Explicação:
Resposta:  Derive f em relação a y, supondo x constante e calcule o valor para x=1 e y=2.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Determine o gradiente da função f(x)=sen(2x)y+yzf(x)=sen(2x)y+yz em P(0,1,2).
	
	
	
	(2,2,2)
	
	
	(-1,0,2)
	
	
	(2,2,1)
	
	
	NDA
	
	
	(0,0,0)
	
Explicação:
O gradiente é →∇f(x,y,z)=(2cos(2x)y,sen(2x)+z,y)∇→f(x,y,z)=(2cos(2x)y,sen(2x)+z,y), então →∇f(0,1,2)=(2,2,1)∇→f(0,1,2)=(2,2,1)
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz)+cos(x+2z)f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz)+cos(x+2z) encontre 2∂f∂x+2∂f∂y−∂f∂z2∂f∂x+2∂f∂y-∂f∂z
	
	
	
	cos(y+2z)+(1x)+(1y)+(1z)−sen(x+2z)cos(y+2z)+(1x)+(1y)+(1z)-sen(x+2z)
	
	
	cos(y+2z)−sen(x+2z)cos(y+2z)-sen(x+2z)
	
	
	 (1x+1y+1z)(1x+1y+1z)
	
	
	2(xz+yz−xy)xyz2(xz+yz-xy)xyz
	
	
	1xyz1xyz
	
Explicação:
Use o conceito de derivação pafcial.
		1.
		O divergente de F(x, y) =
(4x2 - y)i + (x.y - 3y2)j vale:
	
	
	
	9x -6y
	
	
	2y -3x
	
	
	2y - x
	
	
	3y - x
	
	
	6y + 2x
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Qual é a derivada total dz/dt, sendo  z = 2x2 -4xy - 2y2 , onde  x(t) = -t e y (t) = -t
	
	
	
	4t
	
	
	8t
	
	
	2t
	
	
	-4t
	
	
	-8t
	
Explicação:
dz/dt = dz/dx.dx/dt + dz/dy.dy/dt
	
	
	
	 
		
	
		3.
		A função T(x,y)=60-2x²-3y² representa a temperatura em qualquer ponto de uma chapa. Encontrar a razão de variação da temperatura em relação a distância percorrida ao longo da placa na direção dos eixos x e y, no ponto (1,2). Considere a temperatura medida em graus e a distância em cm.
	
	
	
	-4º/cm e -12º/cm
	
	
	14º/cm e 2º/cm
	
	
	4º/cm e 12º/cm
	
	
	-4º/cm e 12º/cm
	
	
	13º/cm e -15º/cm
	
Explicação:
dt(1,2)/dx e dt(1,2)/dy
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Encontre o volume do sólido sob o gráfico da função f (x, y) = 5 e acima do domínio dado pelas inequações
y ≤ X ≤ 3y e 0 ≤ y ≤ 5
	
	
	
	115
	
	
	110
	
	
	105
	
	
	120
	
	
	125
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Marque apenas a alternativa correta:
	
	
	
	Sobre a função z=3x^3 y^2+y^3 x^2, podemos afirmar que ∂z/∂x∂y=6xy+6xy^2.
	
	
	Considerando a função z=3x^2+xy+y^3, podemos afirmar que ∂z/∂x=3xy+y.
	
	
	Todas as opções são verdadeiras.
	
	
	Se as dimensões de uma caixa retangular medem 75 cm, 60 cm e 40 cm e que a cada medida a precisão e de 0,2 cm, entãopodemos afirmar que a diferença entre o volume do sólido e o volume estimado pelo diferencial é maior que 5%.
	
	
	Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 cm e 25 cm, respectivamente, com possível erro nessas medidas de, no máximo, 0,1 cm. Utilizando o diferencial total para estimar o erro máximo contido no cálculo, podemos afirmar que volume do cone é de aproximadamente 20π cm^3.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Encontrar o volume do tetraedro: ∫10∫01 ∫1x∫x1 ∫y−x0∫0y-xF(x, y, z)dzdydx.
Considerar F(x, y, z) = 1.
	
	
	
	7/6
	
	
	2/3
	
	
	5/6
	
	
	1/2
	
	
	1/6
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Qual é a derivada total dz/dt, sendo  z = x2 -4xy - y2 , onde  x(t) = -t e y (t) = -t ? 
	
	
	
	-4t
	
	
	-8t+1
	
	
	-8t
	
	
	8t
	
	
	4t
	
Explicação:
dz/dt = dz/dx.dx/dt + dz/dy.dy/dt
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente ∇f∇f da função f(x,y,z)=e−x−y−z no pontoP0(ln2,ln2,ln2)
	
	
	
	∇f=<3/8,5/8,5/8>
	
	
	∇f=<−1/8,−1/8,−1/8>
	
	
	∇f=<1/8,1/8,−1/8>
	
	
	∇f=<1/8,1/8,1/8>
	
	
	∇f=<3/8,1/8,1/8>
AULA 6
		1.
		O volume de uma esfera de raio igual a 6 vale:
	
	
	
	36π36π
	
	
	288π288π
	
	
	188π188π
	
	
	144π144π
	
	
	244π244π
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considerando as funções f(t), g(t) e h(t) para t pertencente aos Reais, analise as afirmativas abaixo:
I. A função f(t) é contínua para t = 0;
II. A função g(t) é descontínua para t = 0;
III. A função h(t) não possui imagem para t = pi/6;
Encontramos afirmativas corretas somente em:
	
	
	
	I
	
	
	II
	
	
	III
	
	
	I e II
	
	
	I, II e III
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 4] , y varia no intervalo [1 , 2] e z varia no intervalo [1 , 2].
	
	
	
	35/6
	
	
	35/4
	
	
	35/3
	
	
	35/2
	
	
	7
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Encontre o divergente de F(x, y) = (5x45x4 - y)i + (6x.y.z - 3y23y2)j no ponto (0,1,1).
	
	
	
	-1
	
	
	-5
	
	
	-2
	
	
	-6
	
	
	-4
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Se f(x,y,z) = sen(xy) + cos(z), encontre o valor máximo da derivada direcional no ponto (0,π,π/2).
	
	
	
	4√(π^2+ 1)
	
	
	√(π^2+ 1)
	
	
	2√(π^2+ 1)
	
	
	3√(π^2+ 1)
	
	
	5√(π^2+ 1)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Sendo x=cos(wt)x=cos(wt), qual é o resultado da soma: d2xdt2+w2xd2xdt2+w2x? 
	
	
	
	0
	
	
	−wsen(wt)-wsen(wt)
	
	
	cos2(wt)cos2(wt)
	
	
	w2w2
	
	
	w2sen(wt)cos(wt)w2sen(wt)cos(wt)
	
Explicação:
Derive a função dada duas vezes e substitua na equação original da questão.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Sendo x=cos(wt)x=cos(wt), qual é o resultado da soma: d2xdt2+w2xd2xdt2+w2x? 
	
	
	
	0
	
	
	cos2(wt)cos2(wt)
	
	
	−wsen(wt)-wsen(wt)
	
	
	w2w2
	
	
	w2sen(wt)cos(wt)w2sen(wt)cos(wt)
	
Explicação:
Deriva-se duas vezes a equação dada e substituimos na equação a ser testada.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Marque a única resposta correta para a derivada parcial da função f(x,y) = x2 + y2 + x2y.
	
	
	
	fx = x(1 + y);; fy = y + x2
	
	
	fx = 2x(1 + y);; fy = 2y + x2
	
	
	fx = -  2x(1 + y);; fy = 2y -  x2
	
	
	fx = 2x(1 - y);; fy = 2y -  x2
	
	
	fx = 2(1 + y);; fy = y2 + x2
	
Explicação:
Aplicação das regras de derivação parcial com duas variáveis.
		1.
		
	
	
	
	16/3 u.v
	
	
	18 u.v
	
	
	24/5 u.v
	
	
	9/2 u.v
	
	
	10 u.v
	
Explicação: O aluno usará a integral dupla. Usará a integral dupla. Uma sugestão de limites de integração: 0=<="" td="">
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Marque a única resposta correta para a derivada parcial da função f(x,y) = x2 + y2 + x2y.
	
	
	
	fx = 2x(1 + y);; fy = 2y + x2
	
	
	fx = -  2x(1 + y);; fy = 2y -  x2
	
	
	fx = 2x(1 - y);; fy = 2y -  x2
	
	
	fx = x(1 + y);; fy = y + x2
	
	
	fx = 2(1 + y);; fy = y2 + x2
	
Explicação:
Aplicação das regras de derivação parcial com duas variáveis.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Sendo x=cos(wt)x=cos(wt), qual é o resultado da soma: d2xdt2+w2xd2xdt2+w2x? 
	
	
	
	cos2(wt)cos2(wt)
	
	
	w2w2
	
	
	−wsen(wt)-wsen(wt)
	
	
	w2sen(wt)cos(wt)w2sen(wt)cos(wt)
	
	
	0
	
Explicação:
Deriva-se duas vezes a equação dada e substituimos na equação a ser testada.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine a integral ∫π2π∫0π(senx+cosy)dxdy
	
	
	
	cos(2π)-sen(π)
	
	
	2π
	
	
	0
	
	
	π
	
	
	π+senx
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine dois números cuja a soma seja 20 e o produto seja máximo.
	
	
	
	15 e 5
	
	
	11 e 9
	
	
	16 e 4
	
	
	10 e 10
	
	
	12 e 8
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Calcular o volume do sólido:∫10∫01 ∫1−z0∫01-z ∫20∫02 dxdydz.
	
	
	
	1.5
	
	
	1
	
	
	2.5
	
	
	3
	
	
	2
	
	
	
	 
		
	
		7.
		ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy
	
	
	
	x y2 cos xy + x sen xy
	
	
	y2 cos xy + x sen xy
	
	
	x2 y cos xy + x sen xy
	
	
	xy cos xy + sen xy
	
	
	xy2 cos xy + sen xy
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Se f(x,y,z) = sen(xy) + cos(z), encontre o valor máximo da derivada direcional no ponto (0,π,π/2).
	
	
	
	√(π^2+ 1)
	
	
	5√(π^2+ 1)
	
	
	2√(π^2+ 1)
	
	
	3√(π^2+ 1)
	
	
	4√(π^2+ 1)
AULA 7
		1.
		Encontrar o volume do tetraedro: ∫10∫01 ∫1x∫x1 ∫y−x0∫0y-xF(x, y, z)dzdydx.
Considerar F(x, y, z) = 1.
	
	
	
	1/6
	
	
	5/6
	
	
	7/6
	
	
	1/2
	
	
	2/3
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Encontrar a área da região limitada pelas curvas y = x2/6 e y = 6 , que interceptam-se nos pontos de abscissas -6 e 6.
	
	
	
	36 u.a.
	
	
	48 u.a.
	
	
	18 u.a.
	
	
	72 u.a.
	
	
	24 u.a.
	
Explicação:
A = ∫6−66−x2/6∫−666−x2/6 = 6.6 - 216/18 - (-36 - (-216/18)) = 36-12 - (-36+12) = 48
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Seja ∫((cost)i + (4t3)j) dt,
Integrando temos:
	
	
	
	(cost)i−(sent)j+3tk(cost)i-(sent)j+3tk
	
	
	(cost)i+3tj(cost)i+3tj
	
	
	(cost)i−3tj(cost)i-3tj
	
	
	(sent)i + t4j(sent)i + t4j
	
	
	−(sent)i−3tj-(sent)i-3tj
	
	
	
	 
		
	
		4.
		A derivada da função f(x,y,z) = x3 - xy2 - z, em Po=(-2, 1, 0), na direção do vetor V = 2i +3j - 6k será:
	
	
	
	-51/7
	
	
	26/7
	
	
	-37/7
	
	
	12/7
	
	
	40/7
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Dadas as expressões paramétricas: x=e−2tx=e-2t  e y=6e4ty=6e4t indique a única expressão correta na forma y=f(x)y=f(x):
 
	
	
	
	y=2x2y=2x2
	
	
	y=1xy=1x, x>0x>0
	
	
	y=6x2y=6x2
	
	
	y=6x2y=6x2,  x>0x>0
	
	
	y=− 6x2y=- 6x2, x>0x>0
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Calcular o volume do sólido E limitado superiormente pela superfície de equação z = x² + y² e inferiormente pela região R = {(x, y) ∈ R² : 1 ≤ x² + y² ≤ 4 e x ≥ 0}.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		1.
		Calcule a integral dupla:
∫42∫24 ∫21∫12 (x2x2 + y2y2) dydx
	
	
	
	70/13
	
	
	70/15
	
	
	70/3
	
	
	70/9
	
	
	70/11
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Calcular a área da região limitada pelas curvas : y = 1 - x² e y = -3, que interceptam-se nos pontos de abscissas -2 e 2.
	
	
	
	32/3 u.a.
	
	
	5/2 u.a.
	
	
	-4/3 u.a.
	
	
	8/3 u.a.
	
	
	-12 u.a.
	
Explicação:
A = ∫2−2(1−x2−(−3))dx∫−22(1−x2−(−3))dx
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Calculando por integral dupla a área entre o eixo x e a curva y=cos x, com x variando de 0 a pi/2, obtemos:
	
	
	
	2,0
	
	
	1,0
	
	
	0,5
	
	
	pi/2
	
	
	1,5
	
Explicação: É só calcular a Integral de 0 a pi/2 da Integral de 0 a cos x, dy dx
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2)(cost,sent,t2), em t=π2t=π2, indicando a única resposta correta.
	
	
	
	(0,−1,−1)(0,-1,-1)
	
	
	(0,0,0)(0,0,0)
	
	
	(0,0,2)(0,0,2)
	
	
	(0, 1,−2)(0, 1,-2)
	
	
	(0,−1,2)(0,-1,2)
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Se f(x) = sen(x) + cos(x) + tg(x), então f'(0) é igual a:
	
	
	
	2
	
	
	-1/2
	
	
	-1
	
	
	1/21
	
Explicação: Note que, f'(x) = cos(x) - sen(x) + sec²(x). Daí, f'(0) = cos(0) - sen(0) + sec²(0) = 1 - 0 + 1 = 2.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Vamos supor que a função f(x,y) = 1000 - 2x2 + 15y represente o consumo semanal de feijão de um restaurante (em Kg), em função do preço x  (em R$) do quilo de feijão e do preço y (em R$) do quilo de arroz.
Analisando os resultados das derivadas parciais  fx e fy no ponto P=(3,4), podemos concluir acertadamente que:
	
	
	
	Aumentando o preço do feijão de 3 para 4 reais, mantendo-se fixo o preço do arroz, o consumo de feijão irá reduzir em, aproximadamente, 12 Kg.
	
	
	Aumentando o preço do feijão de 3 para 4 reais, mantendo-se fixo o preço do arroz, o consumo de feijão irá aumentar em, aproximadamente, 15 Kg.
	
	
	Aumentando o preço do arroz de 4 para 5 reais, mantendo-se fixo o preço do feijão, o consumo de arroz irá aumentar.
	
	
	Aumentando o preço do feijão de 3 para 4 reais, mantendo-se fixo o preço do arroz, o consumo de feijão irá aumentar.
	
	
	Aumentando o preço do arroz de 4 para 5 reais, mantendo-se fixo o preço do feijão, o consumo de feijão irá aumentar em 20 Kg.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Encontrar a área da região limitada pelas curvas y = 3 - x e y = 3 - x², que interceptam-se nos pontos de abscissas 0 e 1.
	
	
	
	1/6 u.a.
	
	
	8/3 u.a.
	
	
	6 u. a.
	
	
	5/2 u.a.
	
	
	2/5 u.a.
	
Explicação:
A = ∫10(3−x2−3+x)dx∫01(3−x2−3+x)dx  = 3.1 - 1³/3 - 3.1 + 1²/2 = 1/6
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Encontre dy/dx derivando implicitamente: x^(4 ) ( x+y)= y^2 (3x-y )
	
	
	
	(3y^2-5x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+y^(2 )-3xy)
	
	
	(y^2-x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+3y^(2 )-6xy)
	
	
	(3y^2-5x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+y^(2 )-6xy)
	
	
	(3y^2-5x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+3y^(2 )-6xy)
	
	
	(3y^3-5x^(3 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+3y^(2 )-6xy)
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Considere a função f: R →R definida por y = f(x) = x4 - 5x2 + 4, para cada x ∈ R.A área da região limitada pelo gráfico da função y=f(x),o eixo Ox e as retas x=0 e x=2 é igual a:
	
	
	
	16/15 unidades de área
	
	
	60/15 unidades de área
	
	
	75/15 unidades de área
	
	
	22/15 unidades de área
	
	
	38/15 unidades de área
	
Explicação:
∫20((x4−5x2+4)dx=∫10(x4−5x2+4)dx+∫21(−(x4−5x2+4dx=(38/15)+(22/15)=60/15∫02((x4−5x2+4)dx=∫01(x4−5x2+4)dx+∫12(−(x4−5x2+4dx=(38/15)+(22/15)=60/15
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Calcular a área da região delimitada pelas curvas dadas y = 5 - x² e y = x + 3, que se interceptam nos pontos de abscissas -2 e 1
	
	
	
	9/2 u.a.
	
	
	15/2 u.a.
	
	
	2/9 u.a.
	
	
	4/3 u.a.
	
	
	12 u.a.
	
Explicação:
A = ∫1−2(5−x2−x−3)dx∫−21(5−x2−x−3)dx 
AULA 8
		1.
		Transforme para o sistema de coordenadas polares a integral ∫1−1∫√1−x20dydx(1+x2+y2)2∫-11∫01-x2dydx(1+x2+y2)2. Em seguida, calcule o seu valor.
	
	
	
	π3π3
	
	
	π2π2
	
	
	ππ
	
	
	π4π4
 
	
	
	π5π5
	
Explicação:
Use as relações de  equivalência entre as coordenadas cartesianas e polares: r²=x²+y²r²=x²+y².
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Encontre os números críticos de f(x) = x3/5(4-x).
	
	
	
	0
	
	
	1 e 4
	
	
	3/2
	
	
	0 e 4
	
	
	3/2 e 0
	
	
	
	 
		
	
		3.
		O vetor gradiente da função f(x,y,z) = xy2z3 no ponto P = (3; -2; 1) terá módulo, aproximadamente:
	
	
	
	7,21
	
	
	18,95
	
	
	41,15
	
	
	38,16
	
	
	27,18
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere as seguintes afirmações:
1)O cálculo de uma integral tripla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de seis maneiras diferentes.
2)O cálculo de uma integral dupla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de quatro maneiras diferentes.
 3)O cálculo de integrais duplas ( ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo se duas ( ou três ) integrais simples, de diferentes maneiras, segundo o sistema de coordenadas considerado.
 4)A ordem de integração de integrais duplas ou triplas é arbitrário.
 5)O cálculo de integrais duplas ( ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo de duas ( ou três ) integrais simples, sempre da mesma forma.
 As seguintes afirmações são verdadeiras:
 
	
	
	
	1,2,3
	
	
	2,3,4
	
	
	2,4,5
	
	
	1,3,5
	
	
	1,3,4
	
Explicação:
De acordo com o Teorema de Fubini.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Qual resultado da integral ∫0−1∫0−14xydxdy∫−10∫−104xydxdy?
	
	
	
	1
	
	
	-2
	
	
	-1
	
	
	4
	
	
	2
	
Explicação:
Resolução pelo cálculo da integral dupla. Temos dois métodos de solução, pois, o integrando é um produto, assim, a integral(I) pode ser resolvida como aparece na questão ou separando-a em um produto da seguinte maneira:  I=4∫0−1xdx∫0−1ydyI=4∫-10xdx∫-10ydy
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere a função F(x,y,z) =
( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * y^(2) * z ) (k).
O divergente da função F(x,y,z) vale:
	
	
	
	6*x^(2)*y^(2) + 4*z^(3) + 10*y*z
	
	
	6*x*y^(3) + 12*y*z^(2) + 5*y^(2)
	
	
	6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3)
	
	
	9*x^(2)*y^(2) + 10*y*z + 12*y*z^(2)
	
	
	6*x^(2)*y^(2) + 12*y*z^(2) + 10*y*z
	
	
	
	 
		
	
		7.
		O resultado da integral dupla ∫10∫10xydxdy∫01∫01xydxdy é :
	
	
	
	1/8
	
	
	1/4
	
	
	1/5
	
	
	1/6
	
	
	1/2
	
Explicação: Resolução pelo cálculo da integral dupla
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Encontre a derivada direcional do escalar w= e^xyz + sen(x+y+z), na direção do vetor v = - i - j - k, no ponto (0, 0, π).
	
	
	
	√3/3
	
	
	√3
	
	
	2√3
	
	
	√3/2
	
	
	3√3
	
		1.
		Considere as seguintes afirmações:
1)O cálculo de uma integral tripla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de seis maneiras diferentes.
2)O cálculo de uma integral dupla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de quatro maneiras diferentes.
 3)O cálculo de integrais duplas ( ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo se duas ( ou três ) integrais simples, de diferentes maneiras, segundo o sistema de coordenadas considerado.
 4)A ordem de integração de integrais duplas ou triplas é arbitrário.
 5)O cálculo de integrais duplas ( ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo de duas ( ou três ) integrais simples, sempre da mesma forma.
 As seguintes afirmações são verdadeiras:
 
	
	
	
	1,2,3
	
	
	1,3,4
	
	
	2,4,5
	
	
	2,3,4
	
	
	1,3,5
	
Explicação:
Teorema de Fubini.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Seja F(x,y) = (x²-7, x.y, z). Então div F é igual a:
	
	
	
	x+y
	
	
	y+z
	
	
	3x+1
	
	
	x+z
	
	
	2x+y+1
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Seja F(r,θ,φ)=(r.cos(θ).cos(φ), r.sen(θ).cos(φ), r.sen(φ)). Então, o div F é igual a
	
	
	
	- cos(θ).cos(φ) + r.cos(θ).cos(φ) + r.cos(φ)
	
	
	cos(θ).cos(φ) - r.cos(θ).cos(φ) - r.cos(φ)
	
	
	cos(θ).cos(φ) + r.cos(θ).cos(φ) + r.cos(φ)
	
	
	cos(θ).cos(φ) - r.cos(θ).cos(φ) + r.cos(φ)
	
	
	cos(θ).cos(φ) + r.cos(θ).cos(φ) - r.cos(φ)
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Marque apenas a alternativa correta: Qual o gradiente da função z=xy^2+yx^2 no ponto (1,2) e qual o valor máximo da derivada direcional neste ponto?
	
	
	
	8i ⃗+5j ⃗ e √89
	
	
	-8i ⃗+5j ⃗ e √19
	
	
	-18i ⃗+5j ⃗ e √19
	
	
	2i ⃗+7j ⃗ e √85
	
	
	8i ⃗-5j ⃗ e √69
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Calcule a integral dupla ∬(x-3y²) dA, onde R = { (x,y)/ 0 ≤x ≤2 ; 1≤y ≤2}
	
	
	
	4
	
	
	12
	
	
	14
	
	
	16
	
	
	- 12
	
Explicação:
∫20∫21(x−3y2)dydx∫02∫12(x−3y2)dydx
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Calculando por integral dupla a área entre as curvas y= x e y=2x, com x variando de 1 a 2, obtemos:
	
	
	
	1,0
	
	
	2,5
	
	
	0,5
	
	
	1,5
	
	
	2,0
	
Explicação:
É só calcular a Integral de 1 a 2 da Integral de x a 2x, dy dx
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Determine a área da região limitada por
	
	
	
	32
	
	
	96/3
	
	
	31/3
	
	
	64/3
	
	
	32/3
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Qual o resultado da integral dupla ∫0−1∫0−12xydxdy∫−10∫−102xydxdy?
	
	
	
	1/2
	
	
	1
	
	
	-1
	
	
	1/4
	
	
	1/6
	
Explicação: Resolução pelo cálculo da integral dupla
		1.
		Qual é o resultado daintegral tripla :∫10∫10∫10xyzdxdydz∫01∫01∫01xyzdxdydz?
	
	
	
	1/4
	
	
	1/6
	
	
	6
	
	
	8
	
	
	1/8
	
Explicação:
Cada uma das integrais tem seu valor igual a 1/2, o produto das 3 é igual a  1/8
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Calculando por integral dupla a área entre o eixo x e a curva y=sen x, com x variando de 0 a ππ, obtemos:
	
	
	
	2,0
	
	
	1,5
	
	
	1,0
	
	
	π/2π/2
	
	
	0,5
	
Explicação:
É só calcular a Integral de 0 a pi da Integral de 0 a sen x, dy dx. Podemos, também, mudar a ordem de integração.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Encontre as derivadas parciais da função ln(xyz)
	
	
	
	df/dx = 1/x df/dy = 1/y df/dz = 2/z
	
	
	df/dx = 2/x df/dy = 1/y df/dz = 2/z
	
	
	df/dx = 1/x df/dy = 1/y df/dz = 1/z
	
	
	df/dx = 1/x df/dy = 2/y df/dz = 1/z
	
	
	df/dx = 2/x df/dy = 1/y df/dz = 1/z
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Sabe-se que o custo marginal é dado aproximadamente pela taxa de variação da função custo total em um ponto apropriado. Dessa forma, define-se a função custo marginal como sendo a derivada da função custo total correspondente.  Em outras palavras, se C é a função custo total, então a função custo marginal é definida como sendo sua derivada C´. Uma companhia estima que o custo total diário para produzir calculadoras é dado por  C(x)=0,0001x3−0,08x2+40x+5000C(x)=0,0001x3-0,08x2+40x+5000 , onde x é igual ao número de calculadoras produzidas. Determine a função custo marginal.  
	
	
	
	C´(x)=0,0003x-0,16
	
	
	C´(x)=0,0003x3-0,16x2+40x
	
	
	C´(x)=0,0003x2-0,16x
	
	
	C´(x)=0,0003x2-0,16x+40
	
	
	C´(x)=0,0003x2-0,16x+5040
	
	
	
	 
		
	
		5.
		 Calcular a Integral dupla abaixo
 
 
	
	
	
	23/3
	
	
	21/3
	
	
	22/3
	
	
	31/3
	
	
	32/3
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Calcule a integral dupla: ∬_R▒〖(1+4xy)〗 ) dA , onde R = { (x,y)/ 1 ≤y ≤3; 0≤x ≤ 1 }
	
	
	
	y + y^2
	
	
	2 + 16x
	
	
	1 + 2y
	
	
	18
	
	
	10
	
Explicação:
I = ∫31∫10(1+4xy)dxdy∫13∫01(1+4xy)dxdy
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Das alternativas abaixo, assinale a que representa a solução da derivada parcial f(x, y) = (x3 + y3) . sen(x) em relação a x
	
	
	
	x3.cos(x) +y3.sen(x)
	
	
	(x3 + y3). sen(x) + 3x2.cos(x)
	
	
	3x2 sen(x) - (x3 +y3).cos(x)
	
	
	- (3x2 + y3).cos(x) +3x2cos(x)
	
	
	3x2.sen(x) + (x3 + y3).cos(x)
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Qual é o resultado da integral tripla :∫20∫20∫20xyzdxdydz∫02∫02∫02xyzdxdydz?
	
	
	
	4
	
	
	1/8
	
	
	6
	
	
	1/6
	
	
	8
	
Explicação: Cada uma das integrais tem seu valor igual a 2, o produto das 3 da 8
AULA 9
	
	 
		
	
		1.
		Qual é o gradiente  ∇f no ponto (1,1,1) para a função f(x,y,z)=x2+y2-2z2+senx ?
	
	
	
	∇f no ponto (1,1,1) = (2+cos1)i+2j-4k
	
	
	∇f no ponto (1,1,1) = (2+cos1)i+2j-8k
	
	
	∇f no ponto (1,1,1) = (2+cos1)i+4j-4k
	
	
	∇f no ponto (1,1,1) = (4+cos1)i+2j-4k
	
	
	∇f no ponto (1,1,1) = (2+cos1)i+2j-6k
	
Explicação:
∇f(1,1,1) = (df(1,1,1)/dx, df(1,1,1)/dy, df(1,1,1)/dz)
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Qual a força necessária que atua num objeto 3 kg de massa e vetor posição  r = t3i + t2j + t3k?Lembre das leis de newton F=MA
	
	
	
	F = 6t i + 6 j + 18t k 
	
	
	F = 9t2 i + 6 j + 9t2 k 
	
	
	F = 9t i + 6 j + 9t k 
	
	
	F = 12t i + 6 j + 12t k 
	
	
	F = 18t i + 6 j + 18t k 
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine a integral de linha do campo conservativo F=(2xy-3x, x^2+2y) entre os pontos (1,2) e (0,-1).
	
	
	
	0
	
	
	1/2
	
	
	-7/2
	
	
	7/2
	
	
	-1/2
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Use coordenadas esféricas para calcular o volume limitado acima pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16 e abaixo pelo cone z= SQRT( x^2 + y^2).
	
	
	
	32*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14
	
	
	16*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14
	
	
	128*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14
	
	
	64*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14
	
	
	Nenhuma das alternativas anteriores.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Apresente a expressão do operador rotacional do campo vetorial:
 →V=(ex+z.cosy)i+(x.z −ey)j+(x.y+z2)kV→=(ex+z.cosy)i+(x.z -ey)j+(x.y+z2)k  no ponto P(0,0,1)P(0,0,1).
	
	
	
	j+kj+k
	
	
	i+ki+k
	
	
	 i −j+ki -j+k
	
	
	i+j+ki+j+k
	
	
	 i −ji -j
 
	
Explicação:
Calcular o determinante
∣∣
∣
∣∣ijkd/dxd/dyd/dyfxfyfz∣∣
∣
∣∣|ijkd/dxd/dyd/dyfxfyfz|
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela funções vetoriais:
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k
Podemos concluir que
a) as aeronaves não colidem.
 b) as aeronaves colidem no instante t=2
c) as aeronaves colidem no instante t=5
d) as aeronaves colidem no instante t=3
e) as trajetórias não se interceptam
	
	
	
	(d)
	
	
	(b)
	
	
	(e)
	
	
	(a)
	
	
	(c)
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Substitua a equação cartesiana x216+y225=1x216+y225=1 por uma equação polar equivalente.
	
	
	
	16((rcos(θ))2+9r2=40016((rcos(θ))2+9r2=400
	
	
	9((rcos(θ))2+16r2=09((rcos(θ))2+16r2=0
	
	
	9((rcos(θ))2 −16r2=4009((rcos(θ))2 -16r2=400
	
	
	9((rcos(θ))2+r2=4009((rcos(θ))2+r2=400
	
	
	9((rcos(θ))2+16r2=4009((rcos(θ))2+16r2=400
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Calcular a integral tripla de F(x,y,z) = z sobre a região R limitada no primeiro octante pelos planos y=0, z=0, x+y=2, 2y+x=6 e pelo cilindro y^2 + z^2 = 4.
	
	
	
	3
	
	
	15/4
	
	
	26/3
	
	
	2
	
	
	13/26
	
Explicação: limites em: y de 0 a 2, x de 2-y a 6-2y e z de 0 a raiz de 4-y^2. ordem dos diferenciais: dz . dx . dy
AULA 10
		
		
	
	
	
	25, 33
	
	
	33,19
	
	
	34,67
	
	
	32,59
	
	
	53,52
	
	
	
	 
		
	
		2.
		As coordenadas do vetor tangente à função f(t), para t pertencente ao intervalo [1;5], em t0=2 são:
	
	
	
	v = (-1; 2)
	
	
	v = (-3; 5)
	
	
	v = (3; -5)
	
	
	v = (-2; 3)
	
	
	v = (4; 16)
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z = x2 + 3y2 e z = 8 - x2 - y2
	
	
	
	8π√28π2
	
	
	8√282
	
	
	√22
	
	
	8π√38π3
	
	
	π√2π2
	
	
	
	 
		
	
		4.
		O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j.
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1.
	
	
	
	- 3t2 i + 2t j
	
	
	3t2 i  + 2t j
	
	
	  2t j
	
	
	0
	
	
	t2 i + 2 j
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Um objeto percorre uma elipse 4x^2 +25y^2 = 100 no sentido anti-horário e se encontra submetido à força F (x, y) = (−3y, 3x), com a força em Newtons e o deslocamento em metros. Ache o trabalho realizado em Joules.
	
	
	
	100PI
	
	
	20PI
	
	
	40PI
	
	
	60PI
	
	
	80PI
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Encontre o divergente de F(x, y) = (x3x3 - y)i + (2x.y - y3y3)j no ponto (1,1).
	
	
	
	2
	
	
	5
	
	
	3
	
	
	6
	
	
	4
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral de linha abaixo, sabendo-se que C é a curva representada pela fronteira .
 
	
	
	
	3
	
	
	-1
	
	
	-6
	
	
	-3
	
	
	6
	
	
	
	 
		
	
		8.
		A equação de Laplace tridimensional é :
                   ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0   
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas.
 Considere as funções:
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z²
2)2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z²
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy−2z²f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z²
4) f(x,y,z)=xy+xz+yzf(x,y,z)=xy+xz+yz
5) f(x,y,z)=ln(xy)−xf(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy−xyz²y+xy-xyz²
                    Identifique as funções harmônicas:
	
	
	
	1,2,3
	
	
	1,3,5
	
	
	1,2,4
	
	
	1,2,5
	
	
	1,3,4
		1.
		Calcule a integral de linha de função f(x,y)=2xy sobre a curva no R2  dada por x2+4y2=4 ligando os pontos (2,0) e (0,1) pelo arco de menor comprimento
	
	
	
	1
	
	
	0
	
	
	28/9
	
	
	14/9
	
	
	-1
	
	
	
	 
		
	
		2.
		As coordenadas do vetor tangente à função f(t), para t pertencente ao intervalo [1;5], em t0=2 são:
	
	
	
	v = (-3; 5)
	
	
	v = (3; -5)
	
	
	v =(-2; 3)
	
	
	v = (-1; 2)
	
	
	v = (4; 16)
	
	
	
	 
		
	
		3.
		O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j.
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1.
	
	
	
	t2 i + 2 j
	
	
	3t2 i  + 2t j
	
	
	- 3t2 i + 2t j
	
	
	  2t j
	
	
	0
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Encontre o divergente de F(x, y) = (x3x3 - y)i + (2x.y - y3y3)j no ponto (1,1).
	
	
	
	3
	
	
	5
	
	
	2
	
	
	4
	
	
	6
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Um objeto percorre uma elipse 4x^2 +25y^2 = 100 no sentido anti-horário e se encontra submetido à força F (x, y) = (−3y, 3x), com a força em Newtons e o deslocamento em metros. Ache o trabalho realizado em Joules.
	
	
	
	100PI
	
	
	40PI
	
	
	20PI
	
	
	80PI
	
	
	60PI
	
	
	
	 
		
	
		6.
		A equação de Laplace tridimensional é :
                   ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0   
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas.
 Considere as funções:
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z²
2)2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z²
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy−2z²f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z²
4) f(x,y,z)=xy+xz+yzf(x,y,z)=xy+xz+yz
5) f(x,y,z)=ln(xy)−xf(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy−xyz²y+xy-xyz²
                    Identifique as funções harmônicas:
	
	
	
	1,3,4
	
	
	1,3,5
	
	
	1,2,4
	
	
	1,2,3
	
	
	1,2,5
	
	
	
	 
		
	
		7.
		
	
	
	
	34,67
	
	
	25, 33
	
	
	33,19
	
	
	32,59
	
	
	53,52
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z = x2 + 3y2 e z = 8 - x2 - y2
	
	
	
	√22
	
	
	π√2π2
	
	
	8π√28π2
	
	
	8π√38π3
	
	
	8√2