Física 4 14 exercícios resolvidos

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1 
 Prof. A.F.Guimarães 
Física 4 – Questões 14 
 Questão 1
Lembre que ȁ߰ȁଶ݀ݔ é a probabilidade de 
encontrar uma partícula com uma função de onda 
normalizada ߰ no intervalo entre ݔ�‡�ݔ ൅ ݀ݔ. 
Considere uma partícula no interior de uma caixa 
com paredes rígidas em ݔ ൌ Ͳ�‡�ݔ ൌ ܮ. Suponha 
que a partícula esteja no nível fundamental e use ߰௡ para uma partícula em uma caixa. (a) Para que 
valores de ݔ, caso existam, no intervalo de 0 até ܮ 
a probabilidade de encontrar a partícula é igual a 
zero? (b) Para que valores de ݔ a probabilidade 
atinge seu valor máximo? 
Resolução: 
a) A função de onda normalizada para uma 
partícula em uma caixa é dada por: 
߰௡ ൌ ൬ʹܮ൰ଵଶ ݏ݁݊ ቀ݊ߨݔܮ ቁ Ǣ ��݊ ൌ ͳǡ ʹǡ ͵ǡ ǥ 
(1.1) 
Para (1.1), veja, por exemplo: Sears e 
Zemansky/Young e Freedman, física IV: ótica e 
física moderna 10ª edição, Addison Wesley 
(Pearson), São Paulo, 2004, Capítulo 42. 
Utilizando (1.1), para a partícula no estado 
fundamental ሺ݊ ൌ ͳሻ, teremos: ȁ߰ଵȁଶ݀ݔ ൌ ʹܮ ݏ݁݊ଶ ቀߨݔܮ ቁ݀ݔ 
(1.2) 
Então, de (1.2), para ݔ ൌ Ͳ�‡�ݔ ൌ ܮ, a 
probabilidade será nula. 
b) Para ݔ ൌ ௅ଶ, utilizando (1.2), teremos a 
probabilidade máxima. 
 Questão 2
Repita a questão anterior para a partícula no 
primeiro estado excitado. 
Resolução: 
Utilizando a expressão (1.1) para o primeiro 
estado excitado, teremos: 
 ȁ߰ଶȁଶ݀ݔ ൌ ʹܮ ݏ݁݊ଶ ൬ʹߨݔܮ ൰݀ݔ 
(2.1) 
 
Assim, para ݔ ൌ Ͳ�‡�ݔ ൌ ܮ, a probabilidade será 
nula. E para ݔ ൌ ௅ସ �‡�ݔ ൌ ଷ௅ସ , a probabilidade será 
máxima. 
 
 Questão 3
 
Calcule a energia de excitação do nível 
fundamental até o terceiro nível excitado para um 
elétron confinado em uma caixa com largura igual 
a Ͳǡͳʹͷ�݊݉. O elétron faz uma transição do nível ݊ ൌ ͳ até o nível ݊ ൌ Ͷ absorvendo um fóton. 
Calcule o comprimento de onda desse fóton. 
Resolução: 
Os níveis de energia, para uma partícula de massa ݉ confinada em uma caixa, são dados por: 
 ܧ௡ ൌ ݊ଶ݄ଶͺ݉ܮଶ 
(3.1) 
 
Em que, ݊ ൌ ͳǡ ʹǡ ͵ǡ ǥ Para o elétron no estado 
fundamental, temos: 
 ܧଵ ൌ Ͷǡ͵ͻ ή ͳͲି଺଻ͺ ή ͻǡͳͳ ή ͳͲିଷଵ ή ሺͳǡʹͷ ή ͳͲିଵ଴ሻଶ ׵ ܧଵ ؆ ͵ǡͺ͸ ή ͳͲିଵ଼�ܬ ൌ ʹͶǡͳ͵�ܸ݁ 
(3.2) 
 
E para o nível 3: 
 ܧଷ ൌ ͵ଶ ή ܧଵ ؆ ʹͳ͹ǡͳ͹�ܸ݁ 
(3.3) 
 
Assim, teremos para a energia de excitação de ݊ ൌ ͳ�ƒ–±�݊ ൌ ͵: 
 ܧଷ െ ܧଵ ൌ ͳͻ͵ǡͲͶ�ܸ݁ 
 (3.4) 
 
Para o quarto nível, o elétron terá uma energia 
igual a: 
 
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ܧସ ൌ Ͷଶ ή ܧଵ ൌ ͵ͺ͸ǡͲͺ�ܸ݁ 
(3.5) 
Assim, o elétron precisa absorver uma energia 
equivalente a: ܧସ െ ܧଵ ൌ ͵͸ͳǡͻͷ�ܸ݁ 
(3.6) 
Um fóton com essa energia terá um comprimento 
de onda dado por: ߣ ൌ ͳǡʹͶ ή ͳͲସ͵͸ͳǡͻͷ ؆ ͵Ͷǡʹ͸Հ ൌ ͵ǡͶʹ͸�݊݉ 
(3.7) 
Para (3.7), veja Física 4-12, questão 13. 
 Questão 4
Seja ߰ uma solução da equação de SchrÚdinger 
em uma dimensão com energia ܧ. Mostre que a 
função de onda ߰ᇱ ൌ ܣ߰ também é uma solução 
com a mesma energia ܧ, qualquer que seja o valor 
da constante ܣ. (Esse resultado mostra que, 
quando normalizamos uma função de onda, não 
ocorre variação da energia associada com a função 
de onda.) 
Resolução: 
A equação de SchrÚdinger em uma dimensão para 
uma partícula com energia ܧ pode ser escrita 
como: െ ԰ଶʹ݉ ή ݀ଶ߰݀ݔଶ ൅ ܷ߰ ൌ ܧ߰ 
(4.1) 
Multiplicando os dois membros de (4.1), por uma 
constante ܣ, teremos: െ ԰ଶʹ݉ ή ܣ ή ݀ଶ߰݀ݔଶ ൅ ܷܣ߰ ൌ ܧܣ߰ 
(4.2) 
E como ܣ é uma constante, (4.2) assume a 
seguinte forma: 
െ ԰ଶʹ݉ ή ݀ଶܣ߰݀ݔଶ ൅ ܷܣ߰ ൌ ܧܣ߰ 
(4.3) 
 
Lembrando que ߰ᇱ ൌ ܣ߰, então de (4.3) teremos: 
 െ ԰ଶʹ݉ ή ݀ଶ߰ᇱ݀ݔଶ ൅ ܷ߰Ԣ ൌ ܧ߰Ԣ 
(4.4) 
 
 Questão 5
 
Combinação linear de funções de onda. 
Sejam ߰ଵ�‡�߰ଶ duas soluções da equação (4.1), 
com a mesma energia ܧ. Mostre que a função de 
onda ߰ ൌ ܤ߰ଵ ൅ ܥ߰ଶ também é uma solução com 
a mesma energia ܧ, para qualquer valor das 
constantes ܤ�‡�ܥ. 
Resolução: 
De (4.1) temos: 
 െ ԰ଶʹ݉ ή ݀ଶ߰ଵ݀ݔଶ ൅ ܷ߰ଵ ൌ ܧ߰ଵ 
(5.1) 
 
E 
 െ ԰ଶʹ݉ ή ݀ଶ߰ଶ݀ݔଶ ൅ ܷ߰ଶ ൌ ܧ߰ଶ 
(5.2) 
 
Multiplicando as equações (5.1) e (5.2) pelas 
constantes ܤ e ܥ, respectivamente, e 
posteriormente somando, teremos: 
 െ ԰ଶʹ݉ ή ݀ଶܤ߰ଵ݀ݔଶ ൅ ܷܤ߰ଵ െ ԰ଶʹ݉ ή ݀ଶܥ߰ଶ݀ݔଶ ൅ ܷܥ߰ଶ ൌ ܧܤ߰ଵ ൅ ܧܥ߰ଶ 
 (5.3) 
 
Podemos ainda reescrever (5.3): 
 െ ԰ଶʹ݉ ή ݀ଶሺܤ߰ଵ ൅ ܥ߰ଶሻ݀ݔଶ ൅ܷሺܤ߰ଵ ൅ ܥ߰ଶሻ ൌ ܧሺܤ߰ଵ ൅ ܥ߰ଶሻ 
 (5.4) 
 
Lembrando que ߰ ൌ ܤ߰ଵ ൅ ܥ߰ଶ, teremos, para 
(5.4): 
 െ ԰ଶʹ݉ ή ݀ଶ߰݀ݔଶ ൅ ܷ߰ ൌ ܧ߰ 
(5.5) 
 
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 Questão 6
Sejam ߰ଵ�‡�߰ଶ duas soluções da equação (4.1), 
com energias ܧଵ�‡�ܧଶ, respectivamente, onde ܧଵ ് ܧଶ. Verifique se ߰ ൌ ܣ߰ଵ ൅ ܤ߰ଶ é uma 
solução da equação (4.1), onde as constantes ܣ e ܤ 
são diferentes de zero. Explique sua resposta. 
Resolução: 
Seja ߰ଵ, tal que: െ ԰ଶʹ݉ ή ݀ଶ߰ଵ݀ݔଶ ൅ ܷ߰ଵ ൌ ܧଵ߰ଵ 
(6.1) 
E seja ߰ଶ, tal que: െ ԰ଶʹ݉ ή ݀ଶ߰ଶ݀ݔଶ ൅ ܷ߰ଶ ൌ ܧଶ߰ଶ 
(6.2) 
 
Multiplicando as equações (6.1) e (6.2) pelas 
constantes ܣ e ܤ, respectivamente, e 
posteriormente somando, teremos: 
െ ԰ଶʹ݉ ή ݀ଶሺܣ߰ଵ ൅ ܤ߰ଶሻ݀ݔଶ ൅ܷሺܣ߰ଵ ൅ ܤ߰ଶሻ ൌ ܧଵܣ߰ଵ ൅ ܧଶܤ߰ଶ 
(6.3) 
Lembrando que ߰ ൌ ܣ߰ଵ ൅ ܤ߰ଶ e ܧଵ ് ܧଶ, 
teremos: െ ԰ଶʹ݉ ή ݀ଶ߰݀ݔଶ ൅ ܷ߰ ൌ ܧଵܣ߰ଵ ൅ ܧଶܤ߰ଶ 
(6.4) 
O resultado (6.4) difere da equação (4.1). Verifica-
se então que ߰ ൌ ܣ߰ଵ ൅ ܤ߰ଶ é solução da equação 
(6.4) e não de (4.1). 
 
 Questão 7
Um elétron está ligado em um poço quadrado 
com uma profundidade igual a seis vezes o valor 
da energia do nível fundamental ܧஶ do poço 
infinito correspondente. O elétron faz uma 
transição do nível com energia ܧଶ para o nível com 
energia ܧଵ emitindo um fóton de comprimento de 
onda igual a Ͷͷͷ�݊݉. Calcule a largura do poço. 
Resolução: 
De acordo com o enunciado, a energia potencial 
do poço é dada por: 
 ଴ܷ ൌ ͸ܧଵ 
(7.1) 
 
Em que ܧଵ ൌ ܧஶ dada por (3.1) para ݊ ൌ ͳ. Nesse 
caso, teremos para os níveis de energia para o 
poço finito: ܧԢଵ ൌ Ͳǡ͸ʹͷܧஶǢ �ܧԢଶ ൌ ʹǡͶ͵ܧஶ�‡�ܧԢଷ ൌͷǡͲͻܧஶ. Veja: Sears e Zemansky/Young e 
Freedman, física IV: ótica e física moderna 10ª 
edição, Addison Wesley (Pearson), São Paulo, 
2004, Capítulo 42. A diferença de energia entre os 
níveis 1 e 2 vale: 
 ܧԢଶ െ ܧᇱଵ ൌ ͳǡͺͲͷܧஶ 
(7.2) 
 
A energia do fóton vale: 
 ܧఒ ൌ ͳǡʹͶ ή ͳͲସͶͷͷͲ ؆ ʹǡ͹ʹͷ�ܸ݁ ൌ Ͷǡ͵͸ ή ͳͲିଵଽ�ܬ 
 (7.3) 
 
Como a energia do fóton é a diferença entre as 
energias dos níveis dada em (7.2), teremos: 
 ܧஶ ൌ ʹǡͶʹ ή ͳͲିଵଽ�ܬ 
(7.4) 
 
Utilizando (3.1) com ݊ ൌ ͳ, juntamente com (7.4): 
 ܮ ൌ ቆ ߨଶ԰ଶʹ ή ͻǡͳͳ ή ͳͲିଷଵ ή ʹǡͶʹ ή ͳͲିଵଽቇଵଶ ׵ ܮ ൌ Ͷǡͻͻ ή ͳͲିଵ଴݉ 
(7.5) 
 
 Questão 8
 
Um elétron com energia cinética inicial igual a ͷǡͲ�ܸ݁ colide com uma barreira de altura igual a ଴ܷ e largura de Ͳǡ͸Ͳ�݊݉. Qual é o coeficiente de 
transmissão quando: (a) ଴ܷ ൌ ͹ǡͲ�ܸ݁; (b) ଴ܷ ൌ ͻǡͲ�ܸ݁ e (c) ଴ܷ ൌ ͳ͵ǡͲ�ܸ݁ ? 
Resolução: 
O coeficiente de transmissão fornece a 
probabilidade da ocorrência de tunelamento, por 
 
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଴ܷ ܧ 
ܷሺݎሻ 
ݎ Ͳ ʹǡͲ�݂݉ 
 ͳǡͲ�ܯܸ݁ 
parte da partícula, através da barreira. O 
coeficiente de transmissão é dado por: ܶ ൌ ܩ݁ିଶ఑௅ 
(8.1) 
Em que ܩ ൌ ͳ͸ ή ா௎బ ቀͳ െ ா௎బቁ �‡�ߢ ൌ ඥଶ௠ሺ௎బିாሻ԰ . Veja, 
por exemplo: Sears e Zemansky/Young e 
Freedman, física IV: ótica e física moderna 10ª 
edição, Addison Wesley (Pearson), São Paulo, 
2004, Capítulo 42. Utilizando (8.1), para ଴ܷ ൌ ͹ǡͲ�ܸ݁, teremos: ܩ ൌ ͳ͸ ή ͷ͹ ൬ͳ െ ͷ͹൰ ؆ ͵ǡ͵ 
(8.2) �ߢ ൌ ඥʹ ή ͻǡͳͳ ή ͳͲିଷଵ ή ʹ ή ͳǡ͸ ή ͳͲିଵଽͳǡͲͷͷ ή ͳͲିଷସ ׵ ߢ ൌ ͹ǡʹ ή ͳͲଽ݉ିଵ 
 (8.3) 
Assim: ܶ ؆ ͷǡͺͶ ή ͳͲିସ 
(8.4) 
Para os demais valores teremos: 
ଽܶ ൌ ͳǡͺʹ ή ͳͲିହ 
(8.5) 
E 
ଵܶଷ ൌ ͳǡͲͷʹ ή ͳͲି଻ 
(8.6) 
 Questão 9
Decaimento alfa. Em um modelo simples de 
núcleo radioativo, uma partícula alfa ሺ݉ ൌ ͸ǡ͸Ͷ ήͳͲିଶ଻�݇݃ሻ está presa em uma barreira quadrada 
com altura igual a ͵ͲǡͲ�ܯܸ݁ e largura de ʹǡͲ�݂݉. 
(a) Qual é a probabilidade do tunelamento se a 
partícula alfa colide com a barreira com uma 
energia cinética ͳǡͲ�ܯܸ݁ abaixo do topo da 
barreira (figura 9.1)? (b) Qual é a probabilidade 
do tunelamento se a energia cinética da partícula 
alfa está a ͳͲǡͲ�ܯܸ݁ abaixo do topo da barreira?Figura 9.1 
 
Resolução: 
a) Utilizando (8.1), teremos, para a probabilidade: 
 ଶܶଽ ؆ ͲǡͲͻͳ 
(9.1) 
 
Com 
 ܩ ൌ ͳ͸ ή ʹͻ͵Ͳ ൬ͳ െ ʹͻ͵Ͳ൰ ൌ Ͳǡͷʹ 
(9.2) 
 
E 
 ߢ ൌ ሾʹ ή ͸ǡ͸Ͷ ή ͳͲିଶ଻ ή ͳǡ͸ ή ͳͲିଵଷሿଵଶͳǡͲͷͷ ή ͳͲିଷସ ׵ ߢ ؆ Ͷǡ͵͹ ή ͳͲଵସ݉ିଵ 
(9.3) 
 
b) De forma semelhante, teremos: 
 ଶܶ଴ ؆ ͲǡͲͳͶ 
(9.4) 
 
 Questão 10
 
Mostre que ߰ሺݔሻ ൌ ܥ݁ି�ೣమξ೘ೖమ԰ é uma solução de െ ԰మଶ௠ ௗమటௗ௫మ ൅ ௞௫మଶ �߰ ൌ ܧ߰, com ܧ଴ ൌ ԰ఠଶ . Aqui ݇ é a 
constante diferente do número de ondas. 
Resolução: 
Tomando a primeira derivada temos: 
 
 
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݀߰݀ݔ ൌ െܥ�ξ݉݇԰ �ݔ�݁ି�௫మξ௠௞ଶ԰ 
(10.1) 
Agora tomemos a segunda derivada: ݀ଶ߰݀ݔଶ ൌ ቈ�ξ݉݇԰ ݔଶ െ ͳ቉ܥ ξ݉݇԰ ݁ି�௫మξ௠௞ଶ԰ 
 (10.2) 
Agora, utilizando (10.2) na equação, teremos: 
െ ԰ଶʹ݉ ቈ�ξ݉݇԰ ݔଶ െ ͳ቉ ξ݉݇԰ ൅ ݇ݔଶʹ ൌ ܧ ׵ ܧ ൌ ԰߱ʹ 
(10.3) 
Verifica-se de (10.3), que a função ߰ሺݔሻ é solução 
da equação uma vez que ܧ ൌ ܧ଴ ൌ ԰ఠଶ Ǥ Em (10.3), ߱ ൌ ቀ௞௠ቁభమ. 
 Questão 11
Para a função de onda ߰ሺݔሻ do nível 
fundamental do oscilador harmônico dada na 
questão anterior, ȁ߰ȁଶ atinge seu valor máximo 
para ݔ ൌ Ͳ. (a) Calcule a razão entre ȁ߰ȁଶ para 
x=+A e ȁ߰ȁଶ para ݔ ൌ Ͳ, onde ܣ é dado por: ௞஺మଶ ൌ ቀ݊ ൅ ଵଶቁ԰߱, 
 
com ݊ ൌ Ͳ para o nível fundamental. (b) Calcule a 
razão entre ȁ߰ȁଶ para ݔ ൌ ൅ʹܣ e ȁ߰ȁଶ para ݔ ൌ Ͳ. 
Resolução: 
a) Seja ȁ߰ȁଶ dada por: ȁ߰ȁଶ ൌ ܥଶ݁ି�௫మξ௠௞԰ 
(11.1) 
Logo, para ݔ ൌ Ͳ, teremos: ȁ߰ȁ௫ୀ଴ଶ ൌ ܥଶ 
(11.2) 
E para ݔ ൌ ൅ܣ, teremos: 
 ȁ߰ȁ௫ୀା஺ଶ ൌ ܥ ଶ݁ 
 (11.3) 
 
Em que, ܣ é dado por: 
 ܣଶ ൌ ԰ሺ݇݉ሻିଵଶ 
(11.4) 
 
Para o estado fundamental. Logo: 
 ȁ߰ȁ௫ୀା஺ଶȁ߰ȁ௫ୀ଴ଶ ൌ ݁ିଵ 
(11.5) 
 
b) De forma análoga, teremos: 
 ȁ߰ȁ௫ୀାଶ஺ଶȁ߰ȁ௫ୀ଴ଶ ൌ ݁ିସ 
(11.6) 
 
 Questão 12
 
Pode-se verificar que, para o nível fundamental 
de um oscilador harmônico, ο݌௫οݔ ൌ ԰. Faça uma 
análise para um nível excitado com número 
quântico ݊. Como a incerteza do produto ο݌௫οݔ 
depende de ݊? 
Resolução: 
Da condição para ܣ colocada na questão anterior, 
podemos escrever: 
 
 ܣ ൌ ቈሺʹ݊ ൅ ͳሻ԰ξ݇݉ ቉ଵଶ 
 (12.1) 
 
Para o momento máximo, teremos: 
 ݌௠ž௫ ൌ ݉ݒ௠ž௫ 
(12.2) 
 
Em que a velocidade máxima é dada por: 
 ݉ݒ௠ž௫ଶʹ ൌ ݇ܣଶʹ 
 
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׵ ݒ௠ž௫ ൌ ቈሺʹ݊ ൅ ͳሻ԰߱݉ ቉ଵଶ 
(12.3) 
Lembrando que ߱ ൌ ቀ௞௠ቁభమ. Assim, utilizando 
(12.3) em (12.2), teremos: 
݌௠ž௫ ൌ ൣሺʹ݊ ൅ ͳሻ԰ξ݇݉൧ଵଶ 
 (12.4) 
Agora, seja a incerteza na posição dada por (12.1) 
e a incerteza, no momento, dada por (12.4). Assim, 
teremos: 
ο݌௫οݔ ൌ ൣሺʹ݊ ൅ ͳሻ԰ξ݇݉൧ଵଶ ή ቈሺʹ݊ ൅ ͳሻ԰ξ݇݉ ቉ଵଶ ׵ ο݌௫οݔ ൌ ሺʹ݊ ൅ ͳሻ԰ 
(12.5) 
 Questão 13
Uma partícula está no nível fundamental em 
uma caixa que se estende desde ݔ ൌ Ͳ�ƒ–±�ݔ ൌ ܮ. 
(a) Qual é a probabilidade de se encontrar a 
partícula na região entre Ͳ�݁� ܮ ͶΤ ? Calcule esse 
valor integrando ȁ߰ȁଶ݀ݔ, onde ߰ é normalizada, 
desde ݔ ൌ Ͳ��ƒ–±��ݔ ൌ ܮ ͶΤ . (b) Qual é a 
probabilidade de se encontrar a partícula na 
região entre ݔ ൌ ܮ ͶΤ �‡�ݔ ൌ ܮ ʹΤ ? (c) Como se 
comparam os resultados dos itens (a) e (b)? 
Explique. (d) Some as probabilidades calculadas 
nos itens (a) e (b). 
Resolução: 
a) Utilizando (1.2), teremos: 
න ȁ߰ȁଶ݀ݔ௅ସ଴ ൌ ʹܮ න ݏ݁݊ଶ ቀߨݔܮ ቁ݀ݔ௅ସ଴ 
(13.1) 
Com o auxílio de uma tabela de integrais, por 
exemplo, M. R. Spiegel, Manual de Fórmulas e 
Tabelas Matemáticas, Coleção Schaum, ed. McGraw 
Hill, São Paulo 1973. Assim, teremos: 
න ȁ߰ȁଶ݀ݔ௅ସ଴ ൌ ʹܮ ൤ʹݔ െ ܮͶߨ ݏ݁݊ ʹߨݔܮ ൨଴௅ସ ׵ න ȁ߰ȁଶ݀ݔ௅ସ଴ ൌ ͳͶ െ ͳʹߨ ؆ ͲǡͲͻͳ 
(13.2) 
 
b) De forma semelhante, teremos: 
 න ȁ߰ȁଶ݀ݔ௅ଶ௅ସ ൌ ͳͶ ൅ ͳʹߨ ؆ ͲǡͶͳ 
(13.3) 
 
c) A figura 13.1 mostra o gráfico de ȁ߰ȁଶ ቀଶ௅ቁିଵ �ݔ��ܺ ή ߨǤ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13.1 
 
Observa-se que a probabilidade de se encontrar a 
partícula aumenta à medida que se aproxima do 
centro. 
 
d) A soma dos resultados de (13.2) e (13.3), nos 
fornece ͳ ʹΤ , ou seja, 50% de se encontrar a 
partícula na metade de região. 
 
 Questão 14
 
Qual é a probabilidade de se encontrar uma 
partícula em uma caixa de comprimento ܮ em uma 
região entre ݔ ൌ ܮ ͶΤ �‡�ݔ ൌ ͵ܮ ͶΤ quando a 
partícula está (a) no nível fundamental? (b) no 
primeiro nível excitado? (Dica: Integre ȁ߰ȁଶ݀ݔ, 
onde ߰ é normalizada, desde ݔ ൌ ܮ ͶΤ �ƒ–±�ݔ ൌ͵ܮ ͶΤ .) 
 
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Resolução: 
a) Do resultado de (13.1), poderemos escrever: 
׵ න ȁ߰ȁଶ݀ݔଷ௅ସ௅ସ ൌ ͳʹ ൅ ͳߨ 
(14.1) 
b) Para o primeiro estado excitado, de (2.1), 
teremos: 
 ȁ߰ଶȁଶ݀ݔ ൌ ʹܮ ݏ݁݊ଶ ൬ʹߨݔܮ ൰݀ݔ 
(14.2) 
Integrando (14.2), teremos: 
න ȁ߰ଶȁଶ݀ݔଷ௅ସ௅ସ ൌ ͳʹ 
(14.3) 
O resultado (14.1) remete à figura 13.1, onde a 
probabilidade de se encontrar a partícula é maior 
na região central, isso no estado fundamental. 
Agora, o resultado (14.3) remete à figura 14.1, 
onde a probabilidade de se encontrar a partícula 
na região central é menor. 
Figura 14.1 
A figura 14.1 ilustra o gráfico de ȁ߰ଶȁଶ ቀଶ௅ቁିଵ �ݔ��ܺ ή ʹߨ. 
 Questão 15
Seja οܧ௡ a diferença de energia entre dois 
níveis de energia adjacentes ܧ௡�݁�ܧ௡ାଵ para uma 
partícula em uma caixa. A razão ܴ௡ ൌ οܧ௡ ܧ௡Τ 
compara a energia de um nível com a diferença de 
energia entre ele e a energia de um nível 
adjacente. (a) Para qual valor de ݊ a razão atinge 
seu valor máximo? Qual é o valor máximo de ܴ௡? 
Como o resultado se compara com o valor clássico 
dessa grandeza? 
Resolução: 
a) Os níveis de energia são dados por: 
 ܧ௡ ൌ ݊ଶ݄ଶͺ݉ܮଶ 
(15.1) 
 
Assim: 
 οܧ௡ ൌ ܧ௡ାଵ െ ܧ௡ ൌ ሺʹ݊ ൅ ͳሻ݄ଶͺ݉ܮଶ 
(15.2) 
 
Logo, teremos para a razão: 
 ܴ௡ ൌ ʹ݊ ൅ ͳ݊ଶ 
(15.3) 
 
De acordo com (15.3), a razão atinge seu valor 
máximo para o menor valor de ݊ possível, ou seja, ݊ ൌ ͳ. Com isso, o maior valor de ܴ௡ será: 
 ܴଵ ൌ ͵ 
(15.4) 
 
No limite clássico ݊ ՜ λ, teremos, ܴ௡ ՜ Ͳ. 
 
 Questão 16
 
Um estudante universitário propôs a seguinte 
expressão para a função de onda de uma partícula 
livre de massa ݉ (uma partícula para a qual a 
função energia potencial ܷሺݔሻ é igual a zero): 
 ߰ሺݔሻ ൌ ൜݁ା௞௫ǡ ݔ ൏ Ͳǡ݁ି௞௫ǡ ݔ ൒ Ͳǡ 
 
onde ݇ é uma constante positiva. (a) Faça um 
gráfico da função de onda proposta. (b) Mostre 
que a função de onda proposta satisfaz a equação 
de Schrödinger para ݔ ൏ Ͳ se a energia for dada 
por ܧ ൌ െ԰ଶ݇ଶ ʹ݉Τ , ou seja, quando a energia da 
 
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partícula for negativa. (c) Mostre que a função de 
onda proposta também satisfaz a equação de 
Schrödinger para ݔ ൒ Ͳ com a mesma energia do 
item (b). (d) Explique por que, embora ela 
preencha essas condições, ela não é uma solução 
aceitável para a equação de Schrödinger de uma 
partícula livre. (Dica: Qual é o comportamento da 
função no ponto ݔ ൌ Ͳ?) Sabemos que é 
impossível uma partícula livre (aquela cuja 
energia potencial ܷሺݔሻ ൌ Ͳ) possuir energia 
negativa. 
Resolução: 
a) A figura 16.1 mostra o gráfico da função de 
onda. No eixo horizontal ሺή ݇ିଵሻ. 
Figura 16.1 
b) Para ݔ ൏ Ͳ, teremos: ݀߰݀ݔ ൌ ݇݁௞௫ ֜ ݀ଶ߰݀ݔଶ ൌ ݇ଶ݁௞௫ 
(16.1) 
Utilizando o resultado de (16.1) na equação de 
Schrödinger independente do tempo, teremos: െ ԰ଶʹ݉ ݇ଶ݁௞௫ ൌ ܧ݁௞௫ ׵ ܧ ൌ െ԰ଶ݇ଶʹ݉ 
(16.2) 
c) Para ݔ ൒ Ͳ, teremos: ݀߰݀ݔ ൌ െ݇݁ି௞௫ ֜ ݀ଶ߰݀ݔଶ ൌ ݇ଶ݁ି௞௫ 
(16.3) 
Utilizando o resultado de (16.3) na equação de 
Schrödinger independente do tempo, teremos: 
െ ԰ଶʹ݉ ݇ଶ݁ି௞௫ ൌ ܧ݁ି௞௫ ׵ ܧ ൌ െ԰ଶ݇ଶʹ݉ 
(16.4) 
 
d) Os resultados (16.2) e (16.3) demonstram que, 
a função de onda dada, é solução da equação de 
Schrödinger independente do tempo, e ela 
também é contínua em ݔ ൌ Ͳ: 
 ݁௞ή଴ ൌ ݁ି௞ή଴ 
(16.5) 
 
No entanto, as derivadas não são contínuas em ݔ ൌ Ͳ: 
 ݇݁௞ή଴ ് െ݇݁ି௞ή଴ 
(16.6) 
 
 Questão 17
 
Equação de Schrödinger dependente do 
tempo. A equação (4.1) é a equação de 
Schrödinger independente do tempo em uma 
dimensão. A equação de Schrödinger dependente 
do tempo é dada por: 
 െ ԰మଶ௠ డమஏሺ௫ǡ௧ሻడ௫మ ൅ ܷሺݔሻȲሺݔǡ ݐሻ ൌ ݅԰ డஏሺ௫ǡ௧ሻడ௧ . 
 
Se ߰ሺݔሻ for uma solução daequação (4.1) com 
energia ܧ, mostre que a função de onda Ȳሺݔǡ ݐሻ ൌ ߰ሺݔሻ݁ݔ݌ሺെ݅߱ݐሻ é uma solução da 
equação de Schrödinger dependente do tempo 
quando ߱ for escolhido de modo apropriado. Qual 
deve ser o valor de ߱ para que Ȳ seja uma 
solução? Mostre que ȁȲሺݔǡ ݐሻȁଶ ൌ ȁ߰ሺݔሻȁଶ para a 
função de onda dependente do tempo indicada 
anteriormente. (Isso significa dizer que a 
probabilidade de encontrar uma partícula em uma 
região do espaço ao longo do eixo ܱݔ não depende 
do tempo, desde que haja um estado ligado com 
energia definida ܧ. Por isso, na mecânica quântica, 
chamamos de estado estacionário todo estado 
ligado com energia definida.) 
Resolução: 
Seja a equação de Schrödinger independente do 
tempo dada por (4.1). Assim, temos: 
 
 
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9 
െ ԰ଶʹ݉݀ଶ߰ሺݔሻ݀ݔଶ ൅ ܷሺݔሻ߰ሺݔሻ ൌ ܧ߰ሺݔሻ 
 (17.1) 
Agora, tomando a função de onda dependente do 
tempo, temos para a derivada espacial: ߲ଶȲሺݔǡ ݐሻ߲ݔଶ ൌ ݁ି௜ఠ௧ ݀ଶ߰ሺݔሻ݀ݔଶ 
(17.2) 
E para a derivada temporal: ߲Ȳሺݔǡ ݐሻ߲ݐ ൌ െ݅߱Ȳሺݔǡ ݐሻ 
(17.3) 
 
Podemos utilizar (17.2) e (17.3) na equação de 
Schrödinger dependente do tempo. Logo: 
െ ԰ଶʹ݉ ݁ି௜ఠ௧ ݀ଶ߰݀ݔଶ ൅ ܷሺݔሻ߰ሺݔሻ݁ି௜ఠ௧ ൌ ݅԰ሺെ݅߱ሻ߰ሺݔሻ݁ି௜ఠ௧ െ ԰ଶʹ݉݀ଶ߰݀ݔଶ ൅ ܷሺݔሻ߰ሺݔሻ ൌ ԰߱߰ሺݔሻ 
(17.4) 
Agora, de acordo com (17.1), a energia então será: ܧ ൌ ԰߱ 
(17.5) 
O resultado (17.5) fornece o valor de ߱ ቀ߱ ൌ ா԰ቁ. 
Agora, calculando ȁȲሺݔǡ ݐሻȁଶ: ȁȲሺݔǡ ݐሻȁଶ ൌ Ȳכሺݔǡ ݐሻȲሺݔǡ ݐሻ ൌ ߰כሺݔሻ߰ሺݔሻ݁ି௜ఠ௧ା௜ఠ௧ ׵ ȁȲሺݔǡ ݐሻȁଶ ൌ ߰כሺݔሻ߰ሺݔሻ ൌ ȁ߰ሺݔሻȁଶ 
(17.6) 
 Questão 18
Função de onda dependente do tempo para 
uma partícula livre. Um exemplo de função de 
onda dependente do tempo é fornecido por uma 
partícula livre (uma partícula para a qual ܷሺݔሻ ൌ Ͳ para qualquer valor de ݔ) com um 
componente ݔ do momento linear igual a ݌ e com 
energia ܧ. De acordo com as relações propostas 
por De Broglie, tal partícula possui uma 
frequência ݂ ൌ ܧ ݄Τ e um comprimento de onda ߣ ൌ ݄ ݌Τ . Uma primeira tentativa razoável para 
determinar a função de onda dependente do 
tempo dessa partícula é considerar a função de 
onda Ȳሺݔǡ ݐሻ ൌ ܣݏ݁݊ሺ߱ݐ െ ݇ݔሻ, onde ܣ é uma 
constante, ߱ ൌ ʹߨ݂ é a frequência angular e ݇ ൌ ʹߨ ߣΤ é o número de onda. Essa função de 
onda é a mesma função que usamos para 
descrever uma onda mecânica ou uma onda 
eletromagnética se propagando na direção de ݔ. 
(a) Mostre que ߱ ൌ ܧ ԰Τ ǡ ݇ ൌ ݌ ԰Τ �‡�߱ ൌ ԰݇ଶ ʹ݉Τ . 
(Dica: A energia é puramente cinética, logo, ܧ ൌ ݌ଶ ʹ݉Τ .) (b) Para verificar a tentativa de 
determinar a função de onda dependente do 
tempo, substitua a expressão Ȳሺݔǡ ݐሻ ൌܣݏ݁݊ሺ߱ݐ െ ݇ݔሻ na equação de Schrödinger 
dependente do tempo (questão 17) com ܷሺݔሻ ൌ Ͳ 
(partícula livre). Mostre que essa tentativa não 
satisfaz a referida equação e, portanto, ela não é 
uma função de onda adequada para uma partícula 
livre. (c) Use o procedimento descrito no item (b) 
para mostrar que Ȳሺݔǡ ݐሻ ൌ ܣܿ݋ݏሺ߱ݐ െ ݇ݔሻ 
também não é uma função de onda adequada para 
uma partícula livre. (d) Considere uma 
combinação das duas funções propostas nos itens 
(b) e (c): 
 Ȳሺݔǡ ݐሻ ൌ ܣݏ݁݊ሺ߱ݐ െ ݇ݔሻ ൅ ܤܿ݋ݏሺ߱ݐ െ ݇ݔሻ. 
 
Use o procedimento descrito no item (b) para 
mostrar que a função anterior é uma função de 
onda que constitui uma solução adequada para a 
equação de Schrödinger dependente do tempo 
com ܷሺݔሻ ൌ Ͳ, porém somente quando ܤ ൌ െ݅ܣ. 
(Dica: Para que a equação de Schrödinger 
dependente do tempo seja satisfeita para qualquer 
valor de ݔ e de ݐ, os coeficientes de ܿ݋ݏሺ߱ݐ െ ݇ݔሻ 
em ambos os membros da equação devem ser 
iguais. A mesma observação vale para os 
coeficientes de ݏ݁݊ሺ߱ݐ െ ݇ݔሻ em ambos os 
membros da equação.) Este problema fornece um 
exemplo particular do resultado geral que afirma 
que toda solução da equação de Schrödinger 
dependente do tempo deve possuir uma parte real 
e uma parte imaginária. 
Resolução: 
a) Utilizando as relações da energia, teremos: 
 ܧ ൌ ݄݂ ֜ ܧ ൌ ʹߨ݂ ݄ʹߨ ׵ ܧ ൌ ԰߱ 
(18.1) 
 
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10 
Para o número de onda: ݇ ൌ ʹߨߣ ൌ ʹߨ݄ ݌ൗ ׵ ݇ ൌ ݌԰ 
(18.2) 
Em que ߣ ൌ ௛௣. Utilizando (18.1) e (18.2), teremos: ܧ ൌ ݌ଶʹ݉ ֜ ԰߱ ൌ ሺ԰݇ሻଶʹ݉ ׵ ߱ ൌ ԰݇ଶʹ݉ 
(18.3) 
b) Tomando a segunda derivada espacial: ߲ଶȲ߲ݔଶ ൌ െ݇ଶܣݏ݁݊ሺ߱ݐ െ ݇ݔሻ 
(18.4) 
Agora, a derivada temporal: ߲Ȳ߲ݐ ൌ ߱ܣܿ݋ݏሺ߱ݐ െ ݇ݔሻ 
(18.5) 
Substituindo na equação de Schrödinger 
dependente do tempo, com ܷ ൌ Ͳ, teremos: 
 ԰ଶ݇ଶʹ݉ ܣݏ݁݊ሺ߱ݐ െ ݇ݔሻ ് ݅԰߱ܣܿ݋ݏሺ߱ݐ െ ݇ݔሻ 
(18.6) 
O resultado (18.6) mostra que a função de onda 
dada não é adequada. O mesmo ocorre se Ȳ ൌ ܣܿ݋ݏሺ߱ݐ െ ݇ݔሻ. Agora, utilizando a 
combinação sugerida no enunciado, teremos, para 
a segunda derivada espacial: ߲ଶȲ߲ݔଶ ൌ െ݇ଶሾܣܿ݋ݏሺ߱ݐ െ ݇ݔሻ ൅ ܤݏ݁݊ሺ߱ݐ െ ݇ݔሻሿ 
(18.7) 
E para a derivada temporal: ߲Ȳ߲ݐ ൌ ߱ሾെܣݏ݁݊ሺ߱ݐ െ ݇ݔሻ ൅ ܤܿ݋ݏሺ߱ݐ െ ݇ݔሻሿ 
(18.8) 
Agora, substituindo os resultados (18.7) e (18.8) 
na equação de Schrödinger dependente do tempo, 
teremos: 
 ԰ଶʹ݉݇ଶሾܣܿ݋ݏሺ߱ݐ െ ݇ݔሻ൅ ܤݏ݁݊ሺ߱ݐ െ ݇ݔሻሿൌ ݅԰߱ሾെܣݏ݁݊ሺ߱ݐ െ ݇ݔሻ ൅ ܤܿ݋ݏሺ߱ݐ െ ݇ݔሻሿ 
(18.9) 
 
Utilizando (18.3), a equação (18.9) fica satisfeita, 
desde que: 
 ܣ ൌ ݅ܤ 
(18.10) 
 
 Questão 19
 
Uma partícula de massa ݉ e energia total E 
tunela através de uma barreira de potencial 
quadrado com altura ଴ܷ e largura ܮ. Quando o 
coeficiente de transmissão não é muito menor do 
que 1, ele é dado por 
 ܶ ൌ ቂͳ ൅ ሺ௎బ௦௘௡௛�఑௅ሻమସாሺ௎బିாሻ ቃିଵ, 
 
Onde o seno hiperbólico de ߢܮ é definido pela 
relação ݏ݄݁݊�݇ܮ ൌ ሺ݁఑௅ െ ݁ି఑௅ሻ ʹΤ . (a) Mostre que, 
quando ߢܮ ب ͳ, a expressão de ܶ tende para a 
expressão (8.1). (b) Explique por que a restrição 
do item (a), ߢܮ ب ͳ, implica ou que a barreira é 
relativamente larga ou que a energia ܧ é 
relativamente pequena em comparação com ଴ܷ. 
(c) Mostre que a energia cinética incidente ܧ da 
partícual tende a se igualar com a altura da 
barreira ଴ܷ quando ܶ tende a ሾͳ ൅ ሺ݇ܮ ʹΤ ሻଶሿିଵ, 
onde ݇ ൌ ξʹ݉ܧ ԰Τ é o número de onda da 
partícula incidente. (Dica: Quando ȁݖȁ اͳǡ ݏ݄݁݊�ݖ ൎ ݖ.) 
Resolução: 
a) Utilizando a definição de seno hiperbólico, 
teremos: 
 ܶ ൌ ͳ൦ͳ ൅ ሺ݁఑௟ െ ݁ି఑௟ሻଶͳ͸ܧ଴ܷ ቀͳ െ ܷܧ଴ቁ൪
 
(19.1) 
 
 
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11 
߰ ݔ 
Na condição ߢܮ ب ͳ, teremos: ݁ି఑௅ ൎ Ͳ��‡�� ݁ଶ఑௅ͳ͸ܧ଴ܷ ቀͳ െ ܷܧ଴ቁ ب ͳ 
(19.2) 
Logo, ͳ൦ͳ ൅ ሺ݁఑௟ െ ݁ି఑௟ሻଶͳ͸ܧ଴ܷ ቀͳ െ ܷܧ଴ቁ൪
؆ ͳ݁ଶ఑௅ͳ͸ܧ଴ܷ ቀͳ െ ܷܧ଴ቁ 
 ׵ ܶ ؆ ͳ͸ܧ଴ܷ ൬ͳ െ ܷܧ଴൰ ݁ିଶ఑௅ 
(19.3) 
b) Para ߢܮ ب ͳ, temos: ඥʹ݉ሺ ଴ܷ െ ܧሻ԰ ή ܮ ب ͳǢ ���ߢ ൌ ඥʹ݉ሺ ଴ܷ െ ܧሻ԰ 
(19.4) 
Então, teremos: ඥʹ݉ሺ ଴ܷ െ ܧሻ԰ ب ͳ ֜ ଴ܷ ب ܧ 
(19.5) 
Ou ܮ ب ͳ. 
c) Para ߢܮ ا ͳ, temos: 
ܶ ؆ ቈͳ ൅ ሺ ଴ܷ ή ߢܮሻଶͶܧሺ ଴ܷ െ ܧሻ቉ିଵ 
(19.6) 
Substituindo a expressão de ߢ dada em (19.4) em 
(19.6), teremos: 
ܶ ؆ ቈͳ ൅ ʹ݉ሺ ଴ܷ െ ܧሻ ଴ܷଶܮଶͶܧ԰ଶሺ ଴ܷ െ ܧሻ ቉ିଵ ׵ ܶ ؆ ቈͳ ൅ ൬݇ʹܮ൰ଶ቉ିଵ Ǣ ܧ ؆ ଴ܷ 
(19.7) 
 
 Questão 20
 
Mostre que ߰ሺݔሻ ൌ ܥ ή ݔ ή ݁ݔ݌ሺെ݉߱ݔଶ ʹ԰Τ ሻ, 
onde ܥ é uma constante de normalização, é uma 
solução da equação de Schrödinger para o 
oscilador harmônico (questão 10), com energia ܧଵ ൌ ͵԰߱ ʹΤ . Faça um gráfico de ߰ሺݔሻ em função 
de ݔ. 
Resolução: 
Para a segunda derivada espacial, teremos: 
 ݀ଶ߰݀ݔଶ ൌ ܥ݁ି�௠ఠ௫మଶ԰ ቈെ ͵݉߱ݔ԰ ൅݉ଶ߱ଶݔଷ԰ଶ ቉ 
(20.1) 
 
Substituindo na equação de Schrödinger do 
oscilador harmônico, teremos: 
 െ ԰ଶʹ݉ܥ݁ି�௠ఠ௫మଶ԰ ቈെ ͵݉߱ݔ԰ ൅ ݉ଶ߱ଶݔଷ԰ଶ ቉ ൅ ݇ݔଶʹ ܥݔ݁ି�௠ఠ௫మଶ԰ൌ ܧܥݔ݁ି�௠ఠ௫మଶ԰ 
 െ ԰ଶʹ݉ቈെ͵݉߱԰ ൅ ݉ଶ߱ଶݔଶ԰ଶ ቉ ൅ ݇ݔଶʹ ൌ ܧ 
 ͵԰߱ʹ െ ݉߱ଶݔଶʹ ൅ ݇ݔଶʹ ൌ ܧ 
 ׵ ܧ ൌ ͵԰߱ʹ 
(20.2) 
 
Em (20.2), ߱ଶ ൌ ௞௠. 
O gráfico, de forma mais genérica é ilustrado na 
figura 20.1 abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 20.1 
 
ݔ ݔ ൌ െܣ ݔ ൌ ൅ܣ 
 
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12 
Em que ܣ ൌ ට ଷ԰௠ఠ. 
 Questão 21
A função de onda para o primeiro nível 
excitado de um oscilador harmônico é dada na 
questão 20. (a) Quais são os valores de ݔ para os 
quais ȁ߰ȁଶ atinge um valor máximo? (b) Quais são 
os valores de ݔ para os quais ȁ߰ȁଶ é igual a zero? 
Resolução: 
a) Utilizando a função de onda da questão 20, 
teremos: ȁ߰ȁଶ ൌ ܥଶݔଶ݁ି�௠ఠ௫మ԰ 
(21.1) 
Derivando (21.1), teremos: ݀ȁ߰ȁଶ݀ݔ ൌ ʹܥଶݔ݁ି�௠ఠ௫మ԰ ቆͳ െ݉߱ݔଶ԰ ቇ 
(21.2) 
Para encontraro ponto de máximo, devemos 
encontrar o valor de ݔ que torna a derivada (21.2) 
nula. Assim: ݀ȁ߰ȁଶ݀ݔ ൌ Ͳ ֜ ݔ ൌ ൬ ԰݉߱ ൰ଵଶ �‘—�ݔ ൌ Ͳ 
(21.3) 
Para ݔ ൌ Ͳ a probabilidade, de encontrar a 
partícula, é nula. A figura 21.1 ilustra a situação. 
 
Figura 21.1 
A probabilidade de se encontrar a partícula além 
dos limites do oscilador clássico ሺȁݔȁ ൐ ܣሻ diminui 
assintoticamente à zero. 
 
 Questão 22
 
Um oscilador harmônico em três dimensões. 
Um oscilador harmônico isotrópico possui uma 
função energia potencial dada por ܷሺݔǡ ݕǡ ݖሻ ൌ௞ଶ ሺݔଶ ൅ ݕଶ ൅ ݖଶሻ. (Isotrópico significa que a 
constante da mola ݇ é a mesma em todas as 
direções das coordenadas.) (a) Mostre que, para 
este potencial, a solução da equação de 
Schrödinger para o oscilador harmônico (questão 
10) é dada por ߰ ൌ ߰௫ሺݔሻ߰௬ሺݕሻ߰௭ሺݖሻ. Nessa 
expressão ߰௫ሺݔሻ é uma solução da equação de 
Schrödinger em uma dimensão para o oscilador 
harmônico, com energia dada por ܧ௫ ൌሾ݊௫ ൅ ͳ ʹΤ ሿ԰߱. As funções ߰௬ሺݕሻ e ߰௭ሺݖሻ são 
análogas às funções de onda em uma dimensão 
para as direções ݕ e ݖ. Calcule a energia associada 
com esta função ߰. (b) Com base em seu resultado 
encontrado no item (a) calcule a energia do nível 
fundamental e as energias do primeiro nível 
excitado do oscilador harmônico isotrópico em 
três dimensões. (c) Mostre que existe somente um 
estado (um conjunto de números quânticos ݊௫ǡ ݊௬�‡�݊௭) para o nível fundamental, porém 
existem três estados para o primeiro nível 
excitado. 
Resolução: 
a) Seja a equação de Schrödinger em uma 
dimensão para o oscilador harmônico, por 
exemplo, em ݔ: 
 െ ԰ଶʹ݉ ݀ଶ߰௫݀ݔଶ ൅ ݇ݔଶʹ ߰௫ ൌ ൬݊௫ ൅ ͳʹ൰ ԰߱߰௫ 
(22.1) 
 
E de forma análoga teremos também para as outas 
direções. A equação de Schrödinger para o 
oscilador em três dimensões é dada por: 
 െ ԰ଶʹ݉ቆ߲ଶ߲߰ݔଶ ൅ ߲ଶ߲߰ݕଶ ൅ ߲ଶ߲߰ݖଶቇ ൅ ݇ʹ ሺݔଶ ൅ ݕଶ ൅ ݖଶሻ߰ ൌ ܧ߰ 
(22.2) 
 
ȁ߰ȁଶ 
ݔ ݔ ൌ െ൬ ԰݉߱ ൰ଵଶ ݔ ൌ ൅൬ ԰݉߱ ൰ଵଶ 
ݔ ൌ െܣ ݔ ൌ ൅ܣ 
Ͳ 
 
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13 
Seja a função de onda dada 
por:�߰ ൌ ߰௫ሺݔሻ߰௬ሺݕሻ߰௭ሺݖሻ. Substituindo em 
(22.2), teremos: 
െ ԰ଶʹ݉ቆ߰௬߰௭ ߲ଶ߰௫߲ݔଶ ൅ ߰௫߰௭ ߲ଶ߰௬߲ݕଶ ൅߰௫߰௬ ߲ଶ߰௭߲ݖଶ ቇ൅ ݇ݔଶʹ ߰௫߰௬߰௭ ൅ ݇ݕଶʹ ߰௫߰௬߰௭൅ ݇ݖଶʹ ߰௫߰௬߰௭ ൌ ܧ߰௫߰௬߰௭ 
 ߰௬߰௭ ቈെ ԰ଶʹ߲݉ଶ߰௫߲ݔଶ ൅ ݇ݔଶʹ ߰௫቉ ൅ ߰௫߰௭ ቈെ ԰ଶʹ߲݉ଶ߰௬߲ݕଶ ൅ ݇ݕଶʹ ߰௬቉൅ ߰௫߰௬ ቈെ ԰ଶʹ߲݉ଶ߰௭߲ݖଶ ൅ ݇ݖଶʹ ߰௭቉ ൌ ܧ߰௫߰௬߰௭ 
(22.3) 
Mas de acordo com (22.1), teremos: 
൬݊௫ ൅ ͳʹ൰԰߱߰௫߰௬߰௭ ൅ ൬݊௬ ൅ ͳʹ൰԰߱߰௫߰௬߰௭൅ ൬݊௭ ൅ ͳʹ൰԰߱߰௫߰௬߰௭ ൌ ܧ߰௫߰௬߰௭ 
 ׵ ܧ௡ೣǡ௡೤ǡ௡೥ ൌ ൬݊௫ ൅ ݊௬ ൅ ݊௭ ൅ ͵ʹ൰ ԰߱ 
(22.4) 
Logo, a função�߰ ൌ ߰௫ሺݔሻ߰௬ሺݕሻ߰௭ሺݖሻ será solução 
da equação de Schrödinger para o oscilador 
harmônico em três dimensões com a energia dada 
por (22.4). 
b) A energia do estado fundamental é dada por: ܧ଴ǡ଴ǡ଴ ൌ ͵ʹ ԰߱ 
(22.5) 
A energia do primeiro nível do estado excitado é 
dada por: ܧଵǡ଴ǡ଴ ൌ ܧ଴ǡଵǡ଴ ൌ ܧ଴ǡ଴ǡଵ ൌ ͷʹ԰߱ 
(22.6) 
c) O resultado (22.6) demonstra a existência de 
três estados para o primeiro nível de estado 
excitado. 
 Questão 23
 
Um oscilador harmônico anisotrópico em 
três dimensões. Um oscilador harmônico possui 
uma função energia potencial dada por ܷሺݔǡ ݕǡ ݖሻ ൌ ௞భଶ ሺݔଶ ൅ ݕଶሻ ൅ ௞మ௭మଶ , onde ݇ଵ ൐ ݇ଶ. Esse 
oscilador é chamado de anisotrópico porque a 
constante da mola não é a mesma em todas as três 
direções das coordenadas. (a) Determine a 
expressão geral dos níveis de energia desse 
oscilador (veja questão 22). (b) Com base em seu 
resultado encontrado no item (a) calcule a energia 
do nível fundamental e as energias do primeiro 
nível excitado do oscilador. (c) Quantos estados 
(conjuntos diferentes de números quânticos ݊௫ǡ ݊௬�‡�݊௭) existem para o nível fundamental e 
para o primeiro nível excitado? 
Resolução: 
a) Seja a equação de Schrödinger do oscilador 
harmônico para as três coordenadas dadas por: 
 െ ԰ଶʹ݉ ݀ଶ߰௫݀ݔଶ ൅ ݇ݔଶʹ ߰௫ ൌ ൬݊௫ ൅ ͳʹ൰ ԰߱ଵ߰௫ 
(23.1) 
 െ ԰ଶʹ݉ ݀ଶ߰௬݀ݕଶ ൅ ݇ݕଶʹ ߰௬ ൌ ൬݊௬ ൅ ͳʹ൰ ԰߱ଵ߰௬ 
(23.2) 
 െ ԰ଶʹ݉݀ଶ߰௭݀ݖଶ ൅ ݇ݖଶʹ ߰௭ ൌ ൬݊௭ ൅ ͳʹ൰԰߱ଶ߰௭ 
(23.3) 
 
Em que ߱ଵ ൌ ሺ݇ଵ ݉Τ ሻభమ�‡�߱ଶ ൌ ሺ݇ଶ ݉Τ ሻభమ. Utilizando 
o mesmo procedimento da questão 22, teremos: 
 ܧ௡ೣǡ௡೤ǡ௡೥ ൌ ൫݊௫ ൅ ݊௬ ൅ ͳ൯԰߱ଵ ൅ ൬݊௭ ൅ ͳʹ൰԰߱ଶ 
(23.4) 
 
b) Para o estado fundamental, teremos: 
 ܧ଴ǡ଴ǡ଴ ൌ ԰ ቀ߱ଵ ൅߱ଶʹቁ 
(23.5) 
 
E para o primeiro estado excitado teremos: 
 
 
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14 
ܷሺݔሻ ሻ ܷ ՜ λ 
଴ܷ 
Ͳ ܮ ݔ 
ܧ଴ǡ଴ǡଵ ൌ ԰ ൬߱ଵ ൅ ͵߱ଶʹ ൰ 
(23.6) 
Uma vez que ݇ଵ ൐ ݇ଶ também temos ߱ଵ ൐ ߱ଶ. 
c) Somente um conjunto de números quânticos 
para cada estado, a saber: fundamental e o 
primeiro nível excitado. 
 Questão 24
Considere um poço de potencial definido do 
seguinte modo: ܷሺݔሻ ൌ λ para ݔ ൏ Ͳ, ܷሺݔሻ ൌ Ͳ, 
para Ͳ ൏ ݔ ൏ ܮ e ܷሺݔሻ ൌ ଴ܷ ൐ Ͳ, para ݔ ൐ ܮ 
(figura 24.1). Considere uma partícula com massa ݉ e energia cinética ܧ ൏ ଴ܷ que está confinada no 
poço. (a) A condição de contorno sobre a parede 
infinita ሺݔ ൌ Ͳሻ é ߰ሺͲሻ ൌ Ͳ. Qual deve ser a forma 
da função de onda ߰ሺݔሻ para Ͳ ൏ ݔ ൏ ܮ a fim de 
que ela possa satisfazer simultaneamente a 
equação de Schrödinger e as condições de 
contorno? (b) A função de onda deve permanecer 
finita quando ݔ ՜ λ. Qual deve ser a forma da 
função de onda ߰ሺݔሻ para ݔ ൐ ܮ a fim de que ela 
possa satisfazer simultaneamente à equação de 
Schrödinger e à condição de contorno no infinito? 
(c) Imponha a condição de contorno de que ߰ሺݔሻ e ݀߰ሺݔሻ ݀ݔΤ são contínuas para ݔ ൌ ܮ. Mostre que 
as energias permitidas são obtidas das soluções da 
equação ݇�ܿ݋ݐ݃�݇ܮ ൌ െߢ; onde ݇ ൌ ξʹ݉ܧ ԰Τ e ߢ ൌ ඥʹ݉ሺ ଴ܷ െ ܧሻ ԰Τ . 
Figura 24.1 
Resolução: 
a) Uma função que possa satisfazer a condição de 
contorno para ݔ ൌ Ͳ e também ser solução da 
equação de Schrödinger para Ͳ ൏ ݔ ൏ ܮ pode ser 
dada por: 
߰ሺݔሻ ൌ ܣݏ݁݊݇ݔ 
(24.1) 
 
Em que ܣ é uma constante positiva e ݇ ൌ ξଶ௠ா԰ . 
 
b) Para ݔ ൐ ܮ, a função de onda pode ser escrita 
da seguinte forma: 
 ߰ሺݔሻ ൌ ܥ݁ି఑௫ 
(24.2) 
 
Em que ܥ é uma constante e ߢ ൌ ඥଶ௠ሺ௎బିாሻ԰ . A 
expressão dada em (24.2) é finita para ݔ ՜ λ e 
também satisfaz a equação de Schrödinger para a 
referida região. 
 
c) Agora utilizando a condição de continuidade 
teremos: 
 
· A função de onda deve ser contínua: 
 ܣݏ݁݊݇ܮ ൌ ܥ݁ି఑௅ 
(24.3) 
 
· A derivada da função de onda também 
deve ser contínua: 
 ܣ݇ܿ݋ݏ݇ܮ ൌ െܥߢ݁ି఑௅ 
(24.4) 
 
Utilizando (24.3) e (24.4), teremos: 
 ܣݏ݁݊݇ܮܣ݇ܿ݋ݏ݇ܮ ൌ ܥ݁ି఑௅െܥߢ݁ି఑௅ ׵ ݐ݃݇ܮ ൌ െ ݇ߢ 
(24.5) 
 
 Questão 25
 
A aproximação WKB. É um desafio resolver a 
equação de Schrödinger para os níveis de energia 
de estados ligados de um poço de potencial 
arbitrário. Um método alternativo que pode 
fornecer resultados aproximados para os níveis de 
energia é conhecido como aproximação WKB 
(sigla dada em homenagem aos físicos Gregor 
Wentzel, Hendrik Kramers e Léon Briollouin). A 
 
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aproximação WKB começa com três afirmações 
físicas: (i) De acordo com De Broglie, o módulo do 
momento linear ݌ de uma partícula é dado por ݌ ൌ ݄ ߣΤ . (ii) O módulo do momento linear é 
relacionado com a energia cinética ܭ por ܭ ൌ ݌ଶ ʹ݉Τ . (iii) Quando não existe nenhuma 
força não conservativa, de acordo com a mecânica 
newtoniana a energia ܧ de uma partícula é 
constante e dada em cada ponto pela soma da 
energia cinética com a energia potencial: ܧ ൌ ܭ ൅ ܷሺݔሻ, onde ݔ é a coordenada. (a) 
Combine as três relações anteriores para mostrar 
que o comprimento de onda de uma partícula para 
uma coordenada ݔ é dado por: ߣሺݔሻ ൌ ௛ඥଶ௠ሾாି௎ሺ௫ሻሿ. 
 
Portanto imaginamos na mecânica quântica uma 
partícula em um poço de potencial ܷሺݔሻ como se 
fosse uma partícula livre, porém com um 
comprimento de onda que depende da posição. 
(b) Quando a partícula se desloca para uma região 
com uma energia potencial crescente, o que 
ocorre com seu comprimento de onda? (c) Em um 
ponto no qual ܧ ൌ ܷሺݔሻ, a mecânica newtoniana 
afirma que a partícula possui energia cinética zero 
e que ela está instantaneamente em repouso. Tal 
ponto é chamado de ponto clássico de inversão, 
visto que ele corresponde ao ponto onde apartícula pára e retorna na mesma direção em 
sentido contrário. Como exemplo, um objeto que 
executa um movimento harmônico simples oscila 
para frente e para trás entre os pontos ݔ ൌ െܣ�‡�ݔ ൌ ൅ܣ; cada extremidade é um ponto 
clássico de inversão, visto que nesses pontos a 
energia potencial 
௞௫మଶ é igual à energia total ௞஺మଶ . Na 
expressão WKB para ߣሺݔሻ, qual é o comprimento 
de onda no ponto clássico de inversão? (d) Para 
uma partícula em uma caixa de comprimento ܮ, as 
paredes da caixa são pontos clássicos de inversão. 
Além disso, o número de comprimentos de onda 
que completam o comprimento da caixa deve ser 
um número semi-inteiro, de modo que ܮ ൌ ሺ݊ ʹΤ ሻߣ 
e, portanto, ܮ ߣΤ ൌ ݊ ʹΤ , onde ݊ ൌ ͳǡ ʹǡ ͵ǡǥ . O 
método WKB para determinar os níveis 
permitidos de estados ligados de um poço de 
potencial arbitrário é uma extensão das 
observações anteriores. Ele exige que para um 
nível de energia ܧ permitido deve existir um 
número semi-inteiro de comprimentos de onda 
entre os dois pontos clássicos de inversão para a 
energia considerada. Visto que o comprimento de 
onda na aproximação WKB não constante, porém 
depende de ݔ, o número de comprimentos de 
onda entre os dois pontos clássicos de inversão ܽ 
e ܾ para a energia considerada é obtido pela 
integral de ͳ ߣሺݔሻΤ entre esses pontos: 
 න ݀ݔߣሺݔሻ௕௔ ൌ ݊ʹ ǡ ݊ ൌ ͳǡ ʹǡ ͵ǡ ǥ 
 
Usando a expressão de ߣሺݔሻ que você encontrou 
no item (a), mostre que a condição WKB para as 
energias permitidas de estados ligados pode ser 
escrita na forma 
 න ඥʹ݉ሾܧ െ ܷሺݔሻሿ݀ݔ௕௔ ൌ ݄݊ʹ ǡ ݊ ൌ ͳǡ ʹǡ ͵ǡ ǥ 
 
(e) Para conferir essa solução, aplique a expressão 
obtida no item (d) para uma partícula em uma 
caixa com paredes em ݔ ൌ Ͳ e ݔ ൌ ܮ. Calcule a 
integral e mostre que as energias permitidas 
obtidas pelo método WKB concordam com as 
energias fornecidas por (8.1). (Dica: Visto que as 
paredes da caixa possuem altura infinita, os 
pontos ݔ ൌ Ͳ e ݔ ൌ ܮ são pontos clássicos de 
inversão para qualquer energia ܧ. No interior da 
caixa a energia potencial é igual a zero.) (f) Para o 
poço quadrado finito, mostre que a aproximação 
WKB fornecida no item (d) faz a mesma previsão 
dos estados de energia obtidos para um poço 
infinito com a mesma largura. (Dica: Suponha ܧ ൏ ଴ܷ. Então os pontos de inversão clássicos 
correspondem a ݔ ൌ Ͳ e ݔ ൌ ܮ.) Isso mostra que a 
aproximação WKB não é eficiente quando a 
energia potencial varia descontinuamente como 
no caso de um poço de potencial finito. 
Resolução: 
a) O comprimento de onda para uma partícula 
com momento ݌ é dado por: 
 ߣ ൌ ݌݄ 
(25.1) 
 
No entanto, o momento ݌ da partícula pode ser 
expresso por: 
 
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݌ ൌ ξʹ݉ܭ ൌ ඥʹ݉ሾܧ െ ܷሺݔሻሿ 
(25.2) 
Assim, juntando (25.1) e (25.2), teremos: ߣሺݔሻ ൌ ݄ඥʹ݉ሾܧ െ ܷሺݔሻሿ 
(25.3) 
b) Para uma energia potencial crescente, de 
acordo com (25.3), o comprimento de onda 
aumenta. 
c) Para ܧ ՜ ܷሺݔሻ, temos: ߣሺݔሻ ՜ λ. 
 
d) Utilizando (25.3) na integral do enunciado, 
teremos: 
 ͳ݄ න ඥʹ݉ሾܧ െ ܷሺݔሻሿ௕௔ ݀ݔ ൌ ݊ʹ 
(25.4) 
e) Para a partícula em um poço de potencial 
infinito, temos: ͳ݄ න ξʹ݉ܧ݀ݔ ൌ ݊ʹ௅଴ ׵ ܧ ൌ ݊ଶ݄ଶͺ݉ܮଶ 
(25.5) 
Em que para Ͳ ൏ ݔ ൏ ܮǢ ܷ ൌ Ͳ. 
f) Para Ͳ ൏ ݔ ൏ ܮ a integral é a mesma do item (e) 
fornecendo o mesmo resultado (25.5). 
 Questão 26
A aproximação WKB (questão 25) pode ser 
usada para determinar os níveis de energia de um 
oscilador harmônico. Nessa aproximação os níveis 
de energia são soluções da equação: 
න ඥʹ݉ሾܧ െ ܷሺݔሻሿ௕௔ ݀ݔ ൌ ݄݊ʹ ǡ ݊ ൌ ͳǡ ʹǡ ͵ǥ 
 
onde ܧ é a energia, ܷሺݔሻ é a função energia 
potencial e ܽ e ܾ são os dois pontos clássicos de 
inversão (os pontos para os quais ܧ é igual a 
energia potencial, de modo que a energia cinética 
newtoniana é igual a zero). (a) Determine os 
pontos clássicos de inversão para um oscilador 
harmônico com energia ܧ e constante da mola ݇. 
(b) Faça a integral da aproximação WKB e mostre 
que os níveis de energia nessa aproximação são 
dados por ܧ௡ ൌ ݊԰߱, onde ߱ ൌ ඥ݇ ݉Τ e ݊ ൌ ͳǡ ʹǡ ͵ǡǥ (Dica: Uma integral útil é 
 ׬ξܣଶ െ ݔଶ݀ݔ ൌ ଵଶ ቂݔξܣଶ െ ݔଶ ൅ ܣଶܽݎܿݏ݁݊ ቀ ௫ȁ஺ȁቁቃ, 
 
note que a integral é par, de modo que a integral 
de Ȃ ݔ até ݔ é igual ao dobro da integral de Ͳ até ݔ.) (c) Como os níveis de energia aproximados 
encontrados no item (b) se comparam com os 
níveis de energia verdadeiros indicados na 
equação (22.1)? A aproximação WKB fornece uma 
estimativa maior ou menor para os valores reais 
dos níveis de energia? 
Resolução: 
a) Como nos pontos clássicos de inversão a 
energia total é igual a energia potencial, então 
teremos: 
 ݔ ൌ േܣ 
(26.1) 
 
b) Utilizando o resultado de (26.1) na integração 
(25.4), então teremos: 
 ʹන ඥʹ݉ሾܧ െ ܷሺݔሻሿ݀ݔ஺଴ ൌ ݄݊ʹ ʹන ඥ݉݇ሾܣଶ െ ݔଶሿ݀ݔ ൌ ݄݊ʹ஺଴ 
(26.2) 
 
Em que ܧ ൌ ௞஺మଶ �‡�ܷሺݔሻ ൌ ௞௫మଶ . Utilizando a dica do 
enunciado, poderemos escrever: 
 ʹන ඥ݉݇ሾܣଶ െ ݔଶሿ݀ݔ ൌ ܣଶߨʹ ξ݉݇஺଴ 
(26.3) 
 
Comparando os resultados (26.2) e (26.3), 
teremos: 
 
 
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ܣଶߨʹ ξ݉݇ ൌ ݄݊ʹ ݇ܣଶʹ ൌ ݊԰ ή ඨ ݇݉ ׵ ܧ ൌ ݊԰߱ 
(26.4) 
Em que ԰ ൌ ௛ଶగ �‡�߱ ൌ ට௞௠. 
c) O resultado (26.4) mostra que os níveis de 
energia pela aproximação WKB suplantam os 
níveis verdadeiros por um fator de 1/2, uma vez 
que na aproximação WKB, o estado fundamental é 
encontrado fazendo ݊ ൌ ͳ. No estado fundamental 
real, ݊ ൌ Ͳ. 
 Questão 27
Os prótons, os nêutrons e muitas outras 
partículas são constituídos por partículas 
fundamentais chamadas de quarks e de antiquarks 
(a antimatéria dos quarks). Os quarks e os 
antiquarks podem formar estados ligados com 
uma variedade de níveis de energia diferentes, 
cada um dos quais corresponde a uma partícula 
diferente que pode ser observada em laboratório. 
Como um exemplo, a partícula ߰ é uma partícula 
correspondente a um estado ligado de mais baixa 
energia do chamado quark charm e de seu 
antiquark, com uma energia de repouso igual a ͵Ͳͻ͹�ܯܸ݁; a partícula ߰ሺʹܵሻ é outro estado 
excitado dessa mesma combinação quark-
antiquark, com uma energia de repouso igual a ͵͸ͺ͸�ܯܸ݁. Uma representação simplificada da 
energia potencial da interação entre um quark e 
um antiquark da interação entre um quark e um 
antiquark é dada por ܷሺݔሻ ൌ ܣȁݔȁ, onde ܣ é uma 
constante positiva e ݔ representa a distância entre 
o quark e o antiquark. Você pode usar a 
aproximação WKB (questão 25) para determinar 
os níveis de energia dos estados ligados para essa 
função energia potencial. (a) Determine os pontos 
de clássicos de inversão. (b) Calcule a integral 
(questão 25) e mostre que os níveis de energia na 
aproximação WKB são dados por: 
ܧ௡ ൌ ͳʹ݉ ൬͵݉ܣ݄Ͷ ൰ଶଷ ݊ଶଷǡ ݊ ൌ ͳǡ ʹǡ ͵ǡǥ 
 
(Dica: A integral é par, de modo que a integral Ȃ ݔ 
até ݔ é igual ao dobro da integral de Ͳ até ݔ.) (c) A 
diferença de energia entre dois níveis adjacentes 
aumenta, diminui ou permanece constante à 
medida que o número ݊ aumenta? 
Resolução: 
a) Para os pontos clássicos de inversão teremos: 
 ܧ ൌ ܷ ׵ ݔ ൌ േܧܣ 
(27.1) 
 
b) Resolvendo a integração para a aproximação 
WKB, teremos: 
 ʹන ඥʹ݉ሾܧ െ ܷሺݔሻሿ݀ݔಶಲ଴ ൌ ݄݊ʹ ʹන ඨʹ݉ܣ ൤ܧܣ െ ݔ൨ ݀ݔಶಲ଴ ൌ ඥሺʹ݉ܧሻଷ͵݉ܣ ൌ ݄݊ʹ ׵ ܧ ൌ ͳʹ݉ ൬͵݉ܣ݄݊Ͷ ൰మయ 
(27.2) 
 
c) Com o resultado de (27.2), podemos verificar 
que a diferença de energia diminui.