Resoluções Lista Exercicios NP1 A 2017 2 Prof. Alexandre Rios

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Tensão 
1 
Resolução: Steven Róger Duarte 
Resoluções
1.1. Determine a força normal interna resultante que age na seção transversal no ponto A em cada 
coluna. Em (a), o segmento BC tem massa de 300 kg/m e o segmento CD tem massa de 400 kg/m. Em 
(b), a coluna tem uma massa de 200 kg/m. 
 Figura 1.1 
 (a) Coluna (a) (b) Coluna (b) 
 W2 = 400 x 9,81 x 1,2 = 4,7088 kN W = 200 x 9,81 x 3 = 5,886 kN 
 W1 = 30 x 9,81 x 3 = 8,829 kN ՛ ൅ σ	୷ ൌ Ͳ 
 ՛ ൅ σ	୷ ൌ Ͳ NA – 5,886 – 8 – 6 – 6 – 4,5 – 4,5 = 0 
 NA – 4,7088 – 8,829 – 5 – 6 = 0 NA = 34,9 kN 
 NA = 24,54 kN 
Tensão 
2 
Resolução: Steven Róger Duarte 
1.11. A viga suporta a carga distribuída mostrada. Determine as cargas internas resultantes nas seções 
transversais que passam pelos pontos D e E. Considere que as reações nos apoios A e B sejam verticais. 
 Figura 1.11 
 ր ൅σ�୅ ൌ Ͳ ; ՛ ൅σ	୷ ൌ Ͳ 
- 3 x 27 –�ቀ͸ ൅ ଶ�୶�ଵǡଷହଷ ቁ(8,1) + 6RB = 0 RA + RB – 27 – 8,1 = 0 
 RB = 22,815 kN RA = 12,286 kN 
Ponto E 
 ՜ ൅σ	୶ ൌ Ͳ ; ՛ ൅σ	୷ ൌ Ͳ ; ր ൅σ�୉ ൌ Ͳ 
 NE = 0 kN VE – 2,03 = 0 - ME - 2,03 x 
ଵǡଷହ
ଷ = 0 
 VE = 2,03 kN ME = - 0,911 kN.m 
Ponto D 
 ՜ ൅σ	୶ ൌ Ͳ ; ՛ ൅σ	୷ ൌ Ͳ ; ր ൅σ�ୈ ൌ Ͳ 
 ND = 0 kN - VD – 8,1 + 12,285 = 0 MD + 8,1 x 0,9 – 12,285 x 1,8 = 0 
 VD = 4,18 kN MD = 14,823 kN.m 
Tensão 
3 
Resolução: Steven Róger Duarte 
1.34. A coluna está sujeita a uma força axial de 8 kN aplicada no centroide da área da seção transversal. 
Determine a tensão normal média que age na seção a-a. Mostre como fica essa distribuição de tensão 
sobre a seção transversal da área. 
 Figura 1.34 
A = 10 x 150 x 2 + 10 x 140 = 4.400 mm² 
σ = ୔୅ ൌ
଼�୶�ଵ଴య
ସǤସ଴଴ = 1,82 MPa
1.35. O arganéu da âncora suporta uma força de cabo de 3 kN. Se o pino tiver diâmetro de 6 mm, 
determine a tensão média de cisalhamento no pino. 
Figura 1.35 
������������������������ ɒ୫±ୢ ൌ ୚୅ ൌ
୚
ಘ
రୢమ
ൌ ଵǡହ�୶�ଵ଴యಘ
ర�୶�଺మ
 = 53,05 MPa 
Tensão 
4 
Resolução: Steven Róger Duarte 
1.37. O mancal de encosto está sujeito às cargas mostradas. Determine a tensão normal média 
desenvolvida nas seções transversais que passam pelos pontos B, C e D. Faça um rascunho dos 
resultados sobre um elemento de volume infinitesimal localizados em cada seção. 
 Figura 1.37 
Dados: NB = 500 N, NC = 500 N, ND = 200 N, dB = 65 mm, dC = 140 mm, dD = 100 mm 
ɐ୆ ൌ ���� ൌ
��
Ɏ
Ͷ†�
ʹ = 151 kPa ; ɐେ ൌ ���� ൌ
��
Ɏ
Ͷ†�
ʹ�= 32,5 kPa ; ɐୈ ൌ ���� ൌ
��
Ɏ
Ͷ†�
ʹ�= 25,5 kPa 
1.49. A junta de topo quadrada aberta é usada para transmitir uma força de 250 N e uma placa a outra. 
Determine as componentes da tensão de cisalhamento média e da tensão normal média que essa carga 
cria na face da solda, seção AB. 
Figura 1.49 
 ՜ ൅σ	୶ ൌ Ͳ ; ; 
 - Vcos(60°) - Ncos(30°) + 250 = 0 [1] 
 ՛ ൅σ	୷ ൌ Ͳ 
 - Vsen(60°) + Nsen(30°) = 0 [2] 
 Resolvendo [1] e [2]: 
 N = 216,506 N e V = 125 N 
A’ = 
୅
ୱୣ୬ሺ଺଴ιሻ ൌ
ଵହ଴�୶�ହ଴
ୱୣ୬ሺ଺଴ιሻ = 8.660,254 mm² ; σ = ୅
୒
ᇲ = 25 kPa ; ɒméd = ୅
୚
ᇲ = 14,34 kPa
5 
Resolução: Steven Róger Duarte 
1.95. Se a tensão de apoio admissível para o material sob os apoios em A e B for (σa)adm = 2,8 MPa, 
determine a carga P máxima que pode ser aplicada à viga. As seções transversais quadradas das chapas 
de apoio A’ e B’ são 50 mm x 50 mm e 100 mm x 100 mm, respectivamente. 
 Figura 1.95 
Dados: ሺɐୟሻୟୢ୫ ൌ ʹǡͺ���ƒ� ; AA = 2.500 mm² ; AB = 10.000 mm² 
 ր ൅σ�୅ ൌ Ͳ ; ՛ ൅σ	୷ ൌ Ͳ 
 - 10 x 1,5 – 15 x 3 – 10 x 4,5FB – 7P = 0 FA + FB – 10 – 10 – 15 – 10 – P = 0 
FB = ቀ͹Ͳ͵ ൅
ͳͶ
ͻ �ቁ �� FA = ቀ
͸ͷ
͵ െ
ͷ
ͻ�ቁ ��
(σa)adm = ୊ఽ୅ఽ ׵ P = 26,4 kN ; (σa)adm = 
୊ా
୅ా ׵� P = 3 kN 
Tensão 
1.50. O corpo de prova falhou no ensaio de tração a um ângulo de 52° sob uma carga axial de 100 kN. Se 
o d âmetro do corpo de prova for 12 mm, determine a tensão de cisalhamento média e a tensão normal
média que agem na área do plano de falha inclinado. Determine também qual a tensão normal média em 
atuação sobre a seção transversal quando acorreu a falha. 
Figura 1.50 
 ; ; ՜ ൅σ	୶ ൌ Ͳ 
 100 – Ncos(38°) – Vcos(52°) = 0 [1] 
 ՛ ൅σ	୷ ൌ Ͳ 
 - Vsen(52°) + Nsen(38°) = 0 [2] 
 Resolvendo [1] e [2], temos: 
 N = 78,8 kN e V = 61,57 kN 
A’ = 
୅
ୱୣ୬ሺହଶιሻ ൌ
஠�୶�ଵଶమ
ସୱୣ୬ሺହଶιሻ =143,5226 mm² ; σ = ୅
୒
ᇲ ൌ ଻଼ǡ଼�୶�ଵ଴
య
ଵସଷǡହଶଶ଺ = 549,05 MPa 
ɒméd = ୅
୚
ᇲ ൌ ଺ଵǡହ଻�୶�ଵ଴
య
ଵସଷǡହଶଶ଺ = 428,96 MPa 
Tensão 
6
Resolução: Steven Róger Duarte 
1.99. Se a tensão de apoio admissível para o material sob os apoios em A e B for (σa)adm = 2,8 MPa, 
determine os tamanhos das chapas de apoio quadradas A’ e B’ exigidos para suportar a carga. A 
dimensão das chapas deve ter aproximação de múltiplos de 10 mm. As reações nos apoios são verticais. 
Considere P = 7,5 kN. 
 Figura 1.99 
 ր ൅σ�୅ ൌ Ͳ ; ՛ ൅σ	୷ ൌ Ͳ 
 - 45 x 22,5 + 4,5RB – 7,5 x 6,75 = 0 RA – 45 + 33,75 – 7,5 = 0 
 RB = 33,75 kN RA = 18,75 kN 
(σadm)A =� ୖఽ�ୟఽమ ׵ ʹǡͺ ൌ
ଵ଼ǡ଻ହ�୶�ଵ଴య
ሺୟఽሻమ ׵ aA = 90 mm ; 
(σadm)B =� ୖా�ୟామ �׵ ʹǡͺ ൌ
ଷଷǡ଻ହ�୶�ଵ଴య
ሺୟాሻమ ׵ aB = 110 mm 
 1.115. O punção circular B exerce uma força de 2 kN na parte superior da chapa A. Determine a 
tensão de cisalhamento média na chapa provocada por essa carga. 
Figura 1.115 
ɒméd = ୔ଶ஠୰୦ ൌ
ଶ൫ଵ଴య൯
ଶ஠�୶�ଶ�୶�ଶ = 79,6 MPa 
Propriedades Mecânicas dos Materiais 
7 
Resolução: Steven Róger Duarte 
3.18. Os cabos de aço AB e AC sustentam a massa de 200 kg. Se a tensão axial admissível para os 
cabos for σadm = 130 MPa, determine o diâmetro exigido para cada cabo. Além disso, qual é o novo 
comprimento do cabo AB após a aplicação da carga? Considere que o comprimento não alongado de AB 
seja 750 mm. Eaço = 200 GPa. 
 Figura 3.18 
WA = 200 x 9,81 = 1.962 N 
 ՜ ൅σ	୶ ൌ Ͳ ; ՛ ൅σ	୷ ൌ Ͳ ; Resolvendo [1] e [2], obtemos: 
 - TABcos(60°) + 0,6TAC = 0 [1] TABsen(60°) + 0,8TAC – 1.962 = 0 [2] TAB = 1.280,177 N e TAC = 1.066,77 N 
ɐୟୢ୫ = ୘ఽా୅ఽా ׵ dAB = ට
ସ୘ఽా
஠஢౗ౚౣ ൌ ට
ସ�୶�ଵǤଶ଼଴ǡଵ଻଻
஠�୶�ଵଷ଴ = 3,54 mm ; Ԗ ൌ
஢౗ౚౣ
୉౗­౥ ൌ
ଵଷ଴�୶�ଵ଴ల
ଶ଴଴�୶�ଵ଴వ ൌ ͲǡͲͲͲ͸ͷ�Ȁ 
dAC = ට ସ୘ఽి஠஢౗ౚౣ ൌ ට
ସ�୶�ଵǤ଴଺଺ǡ଻଻
஠�୶�ଵଷ଴ = 3,23 mm ; LAB’ = (1 + ג)LAB = (1 + 0,00065)(750) = 750,49 mm 
3.19. A figura mostra o diagrama tensão-deformação para duas barras de poliestireno. Se a área da 
seção transversal da barra AB for 950 mm² e a de BC for 2.500 mm², determine a maior força P que pode 
ser suportada antes que qualquer dos elementos sofra ruptura. Considere que não ocorre nenhuma 
flambagem. 
 Figura 3.19 Dados: AAB = 950 mm² ; ABC = 2.500 mm² 
 ր ൅σ�େ ൌ Ͳ ՜ ൅σ	୶ ൌ Ͳ ; ሺɐ୅୆ሻେ�= ୊ఽా୅ఽా ׵ P = 99,75 kN 
 - 1,2P + 1,2(0,6FAB) = 0 0,8FAB – Cx = 0 ሺɐ୆େሻ୘ ൌ ୊ిా୅ాి ׵ P = 65,63 kN 
 FAB = 1,667P Cx = FCB = 1,333P 
Propriedades Mecânicas dos Materiais 
8 
Resolução: Steven Róger Duarte 
3.22. A figura apresenta o diagrama tensão-deformação para uma resina de poliéster. Se a viga for 
suportada por uma barra AB e um poste CD, ambos feitos desse material, determine a maior carga P que 
pode ser aplicada à viga antes da ruptura. O diâmetro da barra é 12 mm, e o diâmetro do poste é40 mm. 
 Figura 3.22 Dados: dAB = 12 mm ; dCD = 40 mm 
 ՛ ൅σ	୷ ൌ Ͳ ; ɐ୅୆ = ୊ఽాಘ
రୢఽా
మ ; ��ɐେୈ = ୊ిీಘ
రୢిీ
మ 
 FAB + FCD – P = 0 P = 11,31 kN P = 238,76 kN 
 FAB = FCD = 0,5P 
*4.4. O eixo de cobre está sujeito às cargas axiais mostradas na figura. Determine o deslocamento da
extremidade A em relação à extremidade D se os diâmetros de cada segmento forem dAB = 20 mm, dBC = 
25 mm e dCD = 12 mm. Considere Ecobre = 126 GPa. 
Figura 4.4 
Ɂ୅ ൌ σ ୔୐୅୉ ൌ െ
ସ଴�୶�ଵ଴య�୶�ଶǤ଴଴଴
ಘ
ర��୶�ଶ଴మ�୶�ଵଶ଺�୶�ଵ଴య
൅� ଵ଴�୶�ଵ଴య�୶�ଷǤ଻ହ଴ಘ
ర�୶�ଶହమ�୶�ଵଶ଺�୶�ଵ଴య�
൅ �ಘଷ଴�୶�మଵ଴
య�୶�ଶǤହ଴଴
ర�୶�ଵଶ �୶�ଵଶ଺�୶�ଵ଴య
 = - 3,8483 mm 
Carga Axial
Carga Axial 
9
Resolução: Steven Róger Duarte 
4.15. O conjunto é composto por três hastes de titânio e uma barra rígida AC. A área da seção transversal 
de cada haste é dada na figura. Se uma força vertical P = 20 kN for aplicada ao anel F, determine o 
deslocamento vertical do ponto F. Eti = 350 GPa. 
 Figura 4.15 
 Dados: P = 20 kN ; Eti = 350 GPa 
 ր ൅σ�୉ ൌ Ͳ 
 ; ՛ ൅σ	୷ ൌ Ͳ ׵ FAB = 12 kN 
 0,75FCD – 0,5FAB = 0 
 FAB + FCD – 20 = 0 FCD = 8 kN 
Ɂ୅୆ ൌ � ୊ఽా୐ఽా୅ఽా୉౪౟ = 1,142857 mm ; Ɂେୈ ൌ �
୊ిీ୐ిీ
୅ిీ୉౪౟ = 1,015873 mm 
Ɂ୉୊ ൌ � ୔୐ుూ୅ుూ୉౪౟ = 1,142857 mm ; 
ஔఽా�ି�ஔిీ
୶ ൌ �
ଵǡଶହ
଴ǡ଻ହ ׵ x = 0,0762 mm 
Ɂ୉ = x + Ɂେୈ = 1,092073 mm ; Ɂ୊ = Ɂ୉ + Ɂ୉୊ = 2,23 mm 
4.19. A barra rígida é sustentada pela haste CB acoplada por pino, com área de seção transversal de 14 
mm² e feita de alumínio 6061-T6. Determine a deflexão vertical da barra em D quando a carga distribuída 
for aplicada. 
Figura 4.19 
 (ͷǡͳͺ͵ͷ ൅ �ʹǡͷሻ; ൌ ሺʹሻଶ ൅ ሺͳǡͷሻଶ െ �ʹሺʹሻሺͳǡͷሻ…‘•ሺȽሻ ր ൅σ�୅ ൌ Ͳ 
 2 x 0,6 FBC – 2 x 1,2 = 0 
 FBC = 2 kN 
 α = 90,248° 
 β = 90,248° – 90° = 0,248° 
Ɂ୆େ ൌ � ୊ాి୐ాి୅ాి୉౗ౢ ൌ ଵ
ଶ�
ସ
୶�
�୶�଺
ଵ଴య
଼
�
ǡ
୶
ଽ
�
�
ଶ
୶�
Ǥ
ଵ
ହ଴଴
଴య = 5,1835 mm ; Ɂୈ= 4tang(0,248°) = 17,3 mm 
 ; 
10 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*4.36. O tubo de aço A-36 tem raio externo de 20 mm e raio interno de 15 mm. Se ele se ajustar
exatamente entre as paredes fixas antes de ser carregado, determine a reação nas paredes quando for 
submetido à carga mostrada. 
Figura 4.36 
 ՜ ൅σ	୶ ൌ Ͳ ; Ɂ୅୆ ൌ �Ɂ୆େ ; Substituindo FA na equação [1], obtemos: 
 FA + FC – 16 = 0 [1] FA = 
୊ౙ୐ాి
୐ఽా ൌ
଻
ଷ 	େ [2] FA = 11,2 kN e FC = 4,8 kN 
Carga Axial 
4.33. O tubo de aço A-36 tem núcleo de alumínio 6061-T6 e está sujeito a uma força de tração de 200 kN. 
Determine a tensão normal média no alumínio e no aço devido a essa carga. O tubo tem diâmetro externo 
de 80 mm e diâmetro interno de 70 mm. 
Figura 4.33 
Faço + Fal = 200 kN [1] 
Ɂୟ­୭ = Ɂୟ୪ ׵ Faço = ൫଼଴
మି�଻
మ
଴మ൯ሺଶ଴଴ሻ 	ୟ୪ = 0,8886Fal [2]ሺ଻଴ ሻሺ଺଼ǡଽሻ
Substituindo Faço na equação [1], obtemos: Faço = 94,1 kN e Fal = 105,9 kN , sendo assim: 
ಘ
రሺୢబ
୊
మ
౗­౥
ି�ୢ౟మሻ
ൌɐୟ­୭ ൌ � ଽସǡଵ�୶�ଵ଴
య
ಘ
రሺ଼଴మ�ି�଻଴మሻ
 = 79,9 MPa ; ɐୟ୪ ൌ � ಘ୊ୢ౗ౢర ౟మ ൌ
ଵ଴
ಘ
ହǡଽ�୶�ଵ
మ
଴య
ర��୶�଻଴
 = 27,5 MPa 
Resolução: Steven Róger Duarte 
4.79. Duas barras feitas de materiais diferentes são acopladas e instaladas entre duas paredes quando a 
temperatura é T1 = 10ºC. Determine a força exercida nos apoios (rígidos) quando a temperatura for T2 = 
20ºC. As propriedades dos materiais e as áreas de seção transversal de cada barra são dadas na figura. 
 Figura 4.79 
Dados: T1 = 10 °C ; T2 = 20 °C ; Laço = Llat = 300 mm�
Ɂ୘ ൌ � Ɂ୊ ׵ Ƚୟ­୭ሺ�ଶ െ��ଵሻ�ୟ­୭ ൅�Ƚ୪ୟ୲ሺ�ଶ െ��ଵሻ�୪ୟ୲ ൌ � ୊୐౗­౥୅౗­౥୉౗­౥ ൅�
୊୐ౢ౗౪
୅ౢ౗౪୉ౢ౗౪
F = 6,99 kN 
4.87. Determine a tensão normal máxima desenvolvida na barra quando submetida a uma carga P = 8 kN. 
Figura 4.87 
୰
୛ ൌ
ଵ଴
ସ଴ = 0,25 ׵ k = 2,375 ; ɐ୫ž୶ ൌ ɐ୫±ୢ ൌ
୩୔
ሺ୛�ି�ଶ୰ሻ୲ ൌ
ሺଶǡଷ଻ହሻ൫�଼�୶�ଵ଴య൯
ሺସ଴�ି�ଶ�୶�ଵ଴ሻሺହሻ = 190 MPa 
Carga Axial 
4.74. Um tubo de vapor com 1,8 m de comprimento é feito de aço com σe = 280 MPa e está ligado 
diretamente as duas turbinas A e B, como mostra a figura. O diâmetro externo do tubo é 100 mm e a 
espessura da parede é 6 mm. A ligação foi feita a T1 = 20°C. Considerando que os pontos de acoplamento 
das turbinas são rígidos, determine a força que o tubo exerce sobre elas quando o vapor e, portanto, o 
tubo, atingem uma temperatura de T2 = 135°C. 
 Figura 4.74 
Ɂ୘ ൌ � Ɂ୊ ׵ 
ri = r0 – t = 50 – 6 = 44 mm 
F = Ƚୟ­୭ο��ୟ­୭Ɏሺ”଴ଶ െ ”୧ଶሻ ൌ ͳʹ�š�ͳͲି଺�š�ͳͳͷ�š�ʹͲͲ�š�ͳͲଷ�š�Ɏ�š�ሺͷͲଶ െ ͶͶଶሻ = 489,03 kN 
ɐ ൌ � ୊஠ሺ୰బమ�ି�୰౟మሻ ൌ ஠ሺ
ସ଼ଽǡ
ହ଴
଴
మ
ଷ�
�ି�
୶�
ସ
ଵ଴
ସమ
య
ሻ = 276 MPa ; ����ɐ ൏ ɐୣ ൌ ʹͺͲ���ƒ������ OK!
11
Resolução: Steven Róger Duarte 
Carga Axial 
4.95. A chapa de aço A-36 tem espessura de 12 mm. Se houver filetes de rebaixo em B e C, e σadm = 150 
MPa, determine a carga axial máxima P que ela pode suportar. Calcule o alongamento da chapa 
desprezando o efeito dos filetes. 
Figura 4.95 
୰
୦ ൌ
ଷ଴
଺଴ = 0,5 ;
୛
୦ ൌ
ଵଶ଴
଺଴ = 2 ׵ k = 1,4 
ɐୟୢ୫ ൌ ɐ୫±ୢ ൌ ୩୔୦୲ ൌ
ଵǡସ୔
଺଴�୶�ଵଶ ൌ �ͳͷͲ ׵ P = 77,1 kN 
Ɂ ൌ � ଶ୔୐ఽా୦୲୉౗­౥ ൅
୔୐ాి
୵୲୉౗­౥ ଺଴�୶�ଵଶ�୶�ଶ଴଴�୶�ଵ଴ൌ
ଶ�୶�଻଻ǡଵ�୶�ଵ଴య�୶�ଶ଴଴
య ൅ ଻଻ǡଵ�୶�ଵ଴
య�୶�଼଴଴
ଵଶ଴�୶�ଵଶ�୶�ଶ଴଴�୶�ଵ଴య = 0,429 mm 
Carga Axial 
4.90. Determine a força axial máxima P que pode ser aplicada à barra. A barra é feita de aço e tem tensão 
admissível σadm = 147 MPa. 
Figura 4.90 
୰
୛ ൌ
଻ǡହ
ଷ଻ǡହ = 0,2 ׵ k = 2,45 ; 
୩୔
ሺ୛�ି�ଶ୰ሻ୲ ൌ
ଶǡସହ୔
ሺଷ଻ǡହ�ି�ଶ�୶�଻ǡହሻሺସሻ ൌ ͳͶ͹ ɐୟୢ୫ ൌ ɐ୫±ୢ ൌ
P = 5,4 kN 
12
	1.1
	1.11
	1.34 - 1.35
	1.37 - 1.49
	1.50 - 1.95
	1.99 - 1.115
	3.18 - 3.19
	3.22 - 4.4
	4.15 - 4.19
	4.33 - 4.36
	4.74 - 4.79 - 4.87
	4.90 - 4.95