Lista Exercicios AV2 - prof alexandre

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Disciplina: Resistência dos Materiais I 
Lista de exercícios referente à Unidade IV 
Prof. Dr. Alexandre de Souza Rios 
 
 
 
 
 
 
Unidade IV- Flexão simples reta 
 
04.01 - Definição de flexão simples reta; 
04.05 - Tensões de cisalhamento em barras submetidas à flexão simples reta; 
04.02 - Diagrama de esforço cortante; 
03.02 (parte II) – Diagrama de momento fletor; 
04.03 - Relação entre momento fletor e esforço cortante; 
04.04 - Relação entre esforço cortante e intensidade da carga distribuída; 
03.06 – Equação diferencial da linha elástica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Para a seção transversal “T” de uma viga apresentada ao lado, determine: 
a. O centróide (a partir da região limite inferior); 
b. O momento de inércia (em relação ao eixo neutro da seção); 
c. As tensões máximas de tração e de compressão originadas a partir de 
um momento fletor de 55,5 kN.m que atua em torno do eixo 
horizontal, onde a região superior ao centróide sofre compressão e a 
região inferior sofre tração; 
d. A tensão máxima de cisalhamento originada a partir de uma força 
cisalhante de 40,4 kN. 
 
 
 
 
 
2. Para a seção transversal “I” da viga ao lado, calcule: 
a. O centróide (a partir da região limite inferior); 
b. O momento de inércia (em relação ao eixo neutro da seção); 
c. As tensões máximas de tração e de compressão originadas a partir de um 
momento fletor de 66 kN.m que atua em torno do eixo horizontal, onde a 
região superior ao centróide sofre compressão e a região inferior sofre 
tração; 
d. A tensão máxima de cisalhamento originada a partir de uma força 
cisalhante de 44 kN. 
 
 
 
 
7.1. (Hibbeler; 7ª edição). Se a viga for submetida a um cisalhamento V = 
15 kN, determine a tensão de cisalhamento na alma em A e B. Indique 
as componentes da tensão de cisalhamento sobre um elemento de 
volume localizado nesses pontos. Considere w = 125 mm. Mostre que o 
eixo neutro está localizado em �̅�=0,1747 m em relação à parte inferior e 
𝐼𝑁𝐴= 0,2182.10
-3 m4. 
 
 
 
6.3. (Hibbeler; 7ª edição). Represente graficamente os 
diagramas de força cortante e momento fletor para o 
eixo. Os mancais em A e D exercem somente reações 
verticais sobre o eixo. A carga é aplicada às polias em 
B, C e E. 
 
6.16. (Hibbeler; 7ª edição). Represente 
graficamente os diagramas de força 
cortante e momento fletor para a viga. 
 
 
 
6.23. (Hibbeler; 7ª edição). Represente 
graficamente os diagramas de força 
cortante e momento fletor para a 
viga. 
 
 
6.28. (Hibbeler; 7ª edição). Represente 
graficamente os diagramas de força 
cortante e momento fletor para a barra. 
Somente reações verticais ocorrem em 
suas extremidades A e B. 
 
 
 
6.39. (Hibbeler; 7ª edição). Represente 
graficamente os diagramas de força 
cortante e momento fletor para a 
viga e determine a força cortante e o 
momento em função de x. 
 
 
 
11.3. (Hibbeler; 7ª edição). A viga de madeira deve ser 
carregada como mostra a figura. Se as extremidades 
suportarem somente forças verticais, determine o 
maior valor de P que pode ser aplicado. 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 25 
MPa e 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 700 kPa. 
11.4. (Hibbeler; 7ª edição). Selecione no Apêndice 
B a viga de aço de abas largas de menor peso 
que suportará com segurança a carga da 
máquina mostrada na figura. A tensão de 
flexão admissível é 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 168 MPa e a 
tensão de cisalhamento admissível é 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 
98 MPa. 
 
11.5. (Hibbeler; 7ª edição). A viga 
simplesmente apoiada é feita de 
madeira com tensão de flexão 
admissível 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 7 MPa e tensão 
de cisalhamento admissível 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 
0,5 MPa. Determine as dimensões 
da viga se ela tiver de ser retangular 
e apresentar relação altura/largura 
de 1,25. 
 
11.12. (Hibbeler; 7ª edição). Determine com 
aproximação de múltiplos de 5 mm a 
largura mínima da viga que suportará 
com segurança a carga P=40kN. A 
tensão de flexão admissível é 
𝜎𝑎𝑑𝑚=168MPa e a tensão de 
cisalhamento admissível é 𝜏𝑎𝑑𝑚=105MPa. 
 
11.13. (Hibbeler; 7ª edição). Selecione no Apêndice 
B a viga de aço de abas largas de menor peso 
que suportará com segurança as cargas 
mostradas na figura. A tensão de flexão 
admissível é 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 168 MPa e a tensão de 
cisalhamento admissível é 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 100 MPa. 
 
12.03. (Hibbeler; 7ª edição). Determine a equação 
da linha elástica para a viga utilizando a 
coordenada x válida para 0 ≤ x ≤ L/2. 
Especifique a inclinação em A e a deflexão 
máxima da viga. EI é constante. 
Questão A. 
Uma viga de comprimento L está submetida a uma carga distribuída uniforme (w). Esta viga 
deve ter sua deformação monitorada, para que não exceda valores críticos durante sua vida 
útil. Para esse entendimento, o conhecimento de linha 
elástica torna-se fundamental, pois é possível avaliar ao 
longo de todo o cumprimento esta deformação sofrida e sua 
inclinação. Portanto: 
a. Determine as equações gerais da inclinação e da 
deformação em função de w e L; 
b. Plote um gráfico em planilha eletrônica apresentando a 
variação de deformação ao longo da viga. Adote 
valores para w, L, E e I. Procure organizar os dados de 
entrada nessa planilha para que a equação geral 
determinada no item ‘a’ sirva para quaisquer situações 
deste carregamento. 
 
12.13. (Hibbeler; 7ª edição). A tábua de cerca está 
entrelaçada entre os três mourões lisos fixos. 
Se os mourões estiverem instalados ao longo 
da mesma linha reta, determine a tensão de 
flexão máxima na tábua. A largura e a 
espessura da tábua são 150 mm e 12 mm, 
respectivamente. E = 12 GPa. Considere que o 
deslocamento de cada extremidade da tábua em 
relação a seu centro seja 75 mm. 
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Respostas da lista de exercícios referente à Unidade IV 
 
1. a. �̅� = 13,500 𝑐𝑚; 
 b. 𝐼𝑥 = 8,144.10
−5 𝑚4; 
 c. 𝜎𝑡𝑟𝑎çã𝑜 = 92,000 𝑀𝑃𝑎; 𝜎𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 = 57,926 𝑀𝑃𝑎; 
 d. 𝑄𝑚á𝑥 = 5,4675. 10
−4 𝑚3; 𝜏𝑚á𝑥 = 4,520 𝑀𝑃𝑎. 
 
2. a. �̅� = 31,000 𝑐𝑚; 
 b. 𝐼𝑥 = 4,59148.10
−3 𝑚4; 
 c. 𝜎𝑡𝑟𝑎çã𝑜 = 4,456 𝑀𝑃𝑎; 𝜎𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 = 4,456 𝑀𝑃𝑎; 
 d. 𝑄𝑚á𝑥 = 8,931. 10
−3 𝑚3; 𝜏𝑚á𝑥 = 1,426 𝑀𝑃𝑎. 
 
 
7.1. �̅� = 174,6875 𝑚𝑚; 𝐼 = 2,181842. 10−4 𝑚4; 
 𝑄𝐴 = 7,21785. 10
−4 𝑚3; 𝜏𝐴 = 1,985 𝑀𝑃𝑎; 
 𝑄𝐵 = 5,98835625. 10
−4 𝑚3; 𝜏𝐵 = 1,647 𝑀𝑃𝑎. 
 
6.3. 
 
 
 
 
6.16. 
 
6.23. 
 
 
 
6.28. 
 
6.39. 
 
 
 
11.03. 
|𝑉𝑚á𝑥| =
𝑃
2
 𝑒 |𝑀𝑚á𝑥| = 2𝑃 
�̅� = 96,29032258 𝑚𝑚 
𝐼 = 1,916201613. 10−5 𝑚4 
 𝑃𝑟𝑜𝑗𝑒𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜: 𝑃 = 2,487 𝑘𝑁 
Verificando se P=2,487 𝑘𝑁 𝑛ã𝑜 𝑔𝑒𝑟𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙: 
𝑄𝑚á𝑥 = 1,85435282. 10
−4 𝑚3 e 𝜏𝑚á𝑥 = 0,301 𝑀𝑃𝑎 < 0,7 MPa = 𝜏𝑎𝑑𝑚 (OK!) 
𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑃 é 2,487 𝑘𝑁. 
 
11.04. 
|𝑉𝑚á𝑥| = 50 𝑘𝑁 𝑒 |𝑀𝑚á𝑥| = 45 𝑘𝑁. 𝑚 
Projetando por flexão: 
𝑊 = 𝑆 =
𝐼
𝑐
=
𝑀𝑚á𝑥
σ𝑎𝑑𝑚
= 2,6786. 10−4𝑚3 = 267,86. 103𝑚𝑚3 (𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎) 
 O perfil mais leve e com módulo de resistência maior que 267,86. 103𝑚𝑚3 é o W 310 x 24 
Verificando se o perfil escolhido resiste ao cisalhamento: 
 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑑, 𝑡𝑎𝑙𝑚𝑎, 𝑏𝑎𝑏𝑎, 𝑡𝑎𝑏𝑎 𝑑𝑜 𝐴𝑝ê𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝐵: 𝑄𝑚á𝑥 = 1,603449088. 10
−4 𝑚3 
 utilizando 𝐼𝑥 = 42,8. 10
−6 𝑚4 𝑑𝑜 𝐴𝑝ê𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝐵: 𝜏𝑚á𝑥 = 33,510 𝑀𝑃𝑎 < 98 MPa = 𝜏𝑎𝑑𝑚 (OK!) 
Logo, o perfil W 310 x 24 resiste à flexão e ao cisalhamento. 
 
11.05. 
|𝑉𝑚á𝑥| = 75 𝑘𝑁 𝑒 |𝑀𝑚á𝑥| = 100 𝑘𝑁. 𝑚 
Projetando por flexão: b = 379,965 mm 
Verificando se o perfil com b = 379,965 mm resiste ao cisalhamento: 
𝑄𝑚á𝑥 = 0,010714305 𝑚
3 𝑒 𝜏𝑚á𝑥 = 0,623 𝑀𝑃𝑎 > 0,5 MPa = 𝜏𝑎𝑑𝑚 (NÃO OK!) 
𝑅𝑒𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜, 𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜: b = 424,264 mm 
𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑏 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒 à 𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑒 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 é 424,264 𝑚𝑚 
 
 
 
 11.12. 
 |𝑉𝑚á𝑥| = 40 𝑘𝑁 𝑒 |𝑀𝑚á𝑥| = 80 𝑘𝑁. 𝑚 
Projetando por flexão: b = 126,984 mm → b = 130,000 mm (múltiplos de 5 mm) 
Verificando se o perfil com b = 130,000 mm resiste ao cisalhamento: 
𝑄𝑚á𝑥 = 3,65625. 10
−4 𝑚3 𝑒 𝜏𝑚á𝑥 = 3,077 𝑀𝑃𝑎 < 150 MPa = 𝜏𝑎𝑑𝑚 (OK!) 
Logo, o perfil com b = 130,000 mm resiste à flexão e ao cisalhamento. 
 
11.13. 
|𝑉𝑚á𝑥| = 125 𝑘𝑁 𝑒 |𝑀𝑚á𝑥| = 150 𝑘𝑁. 𝑚 
Projetando por flexão: 
𝑊 = 𝑆 =
𝐼
𝑐
=
𝑀𝑚á𝑥
σ𝑎𝑑𝑚
= 8,928571. 10−4𝑚3 = 892,8571. 103𝑚𝑚3 (𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎) 
 O perfil mais leve e com módulo de resistência maior que 892,8571 ⨯ 103𝑚𝑚3 é o W460 ⨯ 52 
Verificando se o perfil escolhido resiste ao cisalhamento: 
 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑑, 𝑡𝑎𝑙𝑚𝑎, 𝑏𝑎𝑏𝑎, 𝑡𝑎𝑏𝑎 𝑑𝑜 𝐴𝑝ê𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝐵: 𝑄𝑚á𝑥 = 5,353 ⨯ 10
−4 𝑚3 
 utilizando 𝐼𝑥 = 212 ⨯ 10
−6 𝑚4 𝑑𝑜 𝐴𝑝ê𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝐵: 𝜏𝑚á𝑥 = 41,413 𝑀𝑃𝑎 < 100MPa = 𝜏𝑎𝑑𝑚 (OK!) 
Logo, o perfil W460 ⨯ 52 resiste à flexão e ao cisalhamento. 
 
12.03. 
0 ≤ x ≤
L
2
: 𝑉 =
𝑃
2
 𝑒 𝑀 =
𝑃
2
 𝑥 (1) 
L
2
≤ x ≤ L: 𝑉 = −
𝑃
2
 𝑒 𝑀 =
𝑃
2
 (𝐿 − 𝑥) 
𝑒𝑚 𝑥 = 0: 𝑣 = 0 
𝑒𝑚 𝑥 =
𝐿
2
: 𝜃 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 0 
𝑝𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (1): 𝐶1 = −
𝑃𝐿2
16
 𝑒 𝐶2 = 0 
𝜃𝐴 = −
𝑃𝐿2
16𝐸𝐼
; 𝑣 =
𝑃𝑥
48𝐸𝐼
(4𝑥2 − 3𝐿2); 𝑣𝑚á𝑥 = −
𝑃𝐿3
48𝐸𝐼
 
 
 
Questão A. 
𝐚. 
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿: 𝑀 =
𝑤𝑥
2
(𝐿 − 𝑥) 
𝑒𝑚 𝑥 =
𝐿
2
: 𝜃 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 0 ⟶ 𝐶1 = −
𝑤𝐿3
24
 
𝑒𝑚 𝑥 = 0: 𝑣 = 0 ⟶ 𝐶2 = 0 
𝜃 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
𝑤
2𝐸𝐼
(
𝐿𝑥2
2
−
𝑥3
3
−
𝐿3
3
) 𝑒 𝑣 =
𝑤
12𝐸𝐼
(𝐿𝑥3 −
𝑥4
2
−
𝐿3𝑥
2
) 
 
b. Utilizando a equação da deformação (v) e adotando w=15 kN/m, L=5m, E=200GPa, e uma viga 
retangular de b=0,1 m e h=0,2 m, é possível encontrar os seguintes valores de deformação e, 
assim, plotar o gráfico posição na viga ⨯ deformação: 
 
 
 
 
 
 
Variáveis Unidade Valor
Carga distribuída N/m 15000
Comprimento da viga m 5
Módulo de Elasticidade Pa 2E+11
Momento de inércia m4 6,667E-05
Posição na viga m 2,5
Deformação m -9,155E-03
Posição na 
viga (m)
Deformação 
(mm)
0 0,000
0,5 -2,874
1 -5,438
1,5 -7,444
2 -8,719
2,5 -9,155
3 -8,719
3,5 -7,444
4 -5,438
4,5 -2,874
5 0,000-10,0-9,0
-8,0
-7,0
-6,0
-5,0
-4,0
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
D
ef
o
rm
a
çã
o
 [
m
m
]
Posição na viga [m]
12.13. 
0 ≤ 𝑥 ≤ 1,2: 𝑀 =
𝑃
2
𝑥 
1,2 ≤ 𝑥 ≤ 2,4: 𝑀 = 1,2𝑃 −
𝑃
2
𝑥 
𝑀𝑚á𝑥 = 0,6𝑃 
𝑒𝑚 𝑥 =
𝐿
2
: 𝜃 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 0 
𝑒𝑚 𝑥 = 0: 𝑣 = 0 
𝐶1 = −
𝑃𝐿2
16
 𝑒 𝐶2 = 0 
𝑣 =
𝑃𝑥
48𝐸𝐼
(4𝑥2 − 3𝐿2) → 𝑃 = 67,5𝑁𝜎𝑚á𝑥 = 11,25 𝑀𝑃𝑎