aula22_Juan

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Comportamento Hidrodinâmico
de Plataformas Oceânicas I
Juan Wanderley
Ondas Regulares
Deslocamento
Devido à pequena declividade da onda, as coordenadas x e z do 
lado direito da equação das componentes de velocidade podem ser 
substituídas pelas coordenadas da posição média das partículas de 
água consideradas.
( ) ( )
( ) ( )tkx
kh
zhkw
tkx
kh
zhku
a
a
ωωζ
ωωζ
−+=
−+=
sin
sinh
sinh
cos
sinh
cosh
Ondas Regulares 
As distâncias |x-x1 | e |z-z1 | são tão pequenas que a diferença de 
velocidade também pode ser desprezada; ela é de segunda 
ordem. Portanto, a integração no tempo da equação da 
velocidade, resulta no seguinte:
( ) ( )
( ) ( ) 211
11
1
cos
sinh
sinh
sin
sinh
cosh
Ctkx
kh
zhkz
Ctkx
kh
zhkx
a
a
+−++=
+−+−=
ωζ
ωζ
( ) ( )
( ) ( )tkx
kh
zhk
dt
dzw
tkx
kh
zhk
dt
dxu
a
a
ωωζ
ωωζ
−+==
−+==
1
1
1
1
sin
sinh
sinh
cos
sinh
cosh
Ondas Regulares
Trajetórias
É obvio que as partículas de água realizam um movimento 
oscilatório nas direções x e z ao redor de um ponto (C1,C2). 
Portanto, C1=x1 e C2=z1. 
( ) ( )
( ) ( )tkx
kh
zhkzz
tkx
kh
zhkxx
a
a
ωζ
ωζ
−++=−
−+−=−
1
1
1
1
1
1
cos
sinh
sinh
sin
sinh
cosh
Ondas Regulares
A trajetória das partículas de água é obtida pela eliminação do 
tempo.
( ) ( )
( ) ( )tkx
kh
zhkzz
tkx
kh
zhkxx
a
a
ωζ
ωζ
−++=−
−+−=−
1
1
1
1
1
1
cos
sinh
sinh
sin
sinh
cosh
( )
( )
( )
( ) 1
sinh
sinh
sinh
cosh 21
2
1
2
1
2
1 =
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−
kh
zhk
zz
kh
zhk
xx
aa ζζ
Ondas Regulares
A equação mostra que a trajetória das partículas de água é elíptica no 
caso geral. O movimento da água obviamente diminui enquanto nos 
movemos profundamente abaixo da superfície da água.
( )
( )
( )
( ) 1
sinh
sinh
sinh
cosh 21
2
1
2
1
2
1 =
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−
kh
zhk
zz
kh
zhk
xx
aa ζζ
Ondas Regulares
O semi-eixo vertical – a amplitude vertical de deslocamento da água –
é igual a ζa na superfície livre, z1=0. Esta amplitude é reduzida a zero 
no leito do mar, z1=-h, concordando com a condição de contorno; a 
trajetória se transforma numa linha reta horizontal.
( )
( )
( )
( ) 1
sinh
sinh
sinh
cosh 21
2
1
2
1
2
1 =
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−
kh
zhk
zz
kh
zhk
xx
aa ζζ
Ondas Regulares
Em águas profundas, a trajetória das partículas se transforma em círculos 
com raio que diminui exponencialmente com a distância abaixo da superfície 
da água.
( )
( )
( )
( ) 1
sinh
sinh
sinh
cosh 21
2
1
2
1
2
1 =
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−
kh
zhk
zz
kh
zhk
xx
aa ζζ
( ) ( ) ( )22121 1kza ezzxx ⋅=−+− ζ
h→∞
Ondas Regulares
Em águas rasas, a trajetória das partículas de água tem a forma de elipse. 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +==
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
h
zHB
h
HA
B
zz
A
xx
1
2
1
2
1
1
24
1
π
λ
( )
( )
( )
( ) 1
sinh
sinh
sinh
cosh 21
2
1
2
1
2
1 =
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−
kh
zhk
zz
kh
zhk
xx
aa ζζ
h→0
Ondas Regulares
Aceleração
A aceleração das partículas de água segue diretamente da 
derivada das componentes de velocidade em relação ao tempo.
( ) ( )
( ) ( )tkx
kh
zhkw
tkx
kh
zhku
a
a
ωωζ
ωωζ
−+=
−+=
1
1
1
1
sin
sinh
sinh
cos
sinh
cosh
( ) ( )
( ) ( )tkx
kh
zhkw
tkx
kh
zhku
a
a
ωωζ
ωωζ
−+−=
−+=
1
12
1
12
cos
sinh
sinh
sin
sinh
cosh
&
&
Ondas Regulares
Em águas profundas, a aceleração das partículas de água é dada por:
No movimento circular, a magnitude da aceleração é constante e sempre aponta 
para o centro do círculo. Portanto, o vetor aceleração é sempre normal ao vetor
velocidade. Mostre que:
( )
( )tkxew
tkxeu
kz
a
kz
a
ωωζ
ωωζ
−−=
−+=
1
2
1
2
cos
sin
1
1
&
&
kz
a ea
Va
2
0
ωζ=
=⋅
r
rr
( ) ( )
( ) ( )tkx
kh
zhkw
tkx
kh
zhku
a
a
ωωζ
ωωζ
−+−=
−+=
1
12
1
12
cos
sinh
sinh
sin
sinh
cosh
&
&
h→∞
Ondas Regulares
5.2.4 Pressão
A pressão na teoria linear segue da equação de Bernoulli linearizada.
t
gzpougzp
t
ww
∂
Φ∂−−==++∂
Φ∂ ρρρ 0
Ondas Regulares
Combinando o potencial de onda com a equação de Bernoulli linearizada, 
resulta o seguinte:
( ) ( )tkx
kh
zhkga
w ωω
ζ −+=Φ sin
cosh
cosh
t
gzp w∂
Φ∂−−= ρρ
( ) ( )tkx
kh
zhkggzp a ωζρρ −++−= coscosh
cosh
Ondas Regulares
Em águas profundas, a pressão linearizada fica da seguinte forma:
( ) ( )tkx
kh
zhkggzp a ωζρρ −++−= coscosh
cosh
( )tkxeggzp kza ωζρρ −+−= cos
h→∞
Ondas Regulares
5.2.5 Energia
A energia numa onda e a velocidade com que essa energia se propaga 
são importantes na determinação da resistência ao avanço causada 
pelas ondas geradas por um barco. 
Energia de onda
Podemos distinguir dois tipos de energia: energia cinética e energia 
potencial.
Ondas Regulares
A energia cinética, K, será calculada da seguinte forma:
( )
( )
( ) ( )∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
∫
+++=
+=
+=
−
−
λ ζλ
λ ζ
ρρ
ρ
0 0
22
0
0
22
0
22
22
2
1
2
1
2
1
2
1ˆ
dzdxwudzdxwu
dzdxwu
dmwuK
h
h
Volume
Ondas regulares
O segundo termo é aproximadamente igual a:
Que é de segunda ordem e pode ser ignorado. Portanto, a energia cinética é
dada por:
( ) ( ) ( )∫∫ ∫∫ ∫ +=+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≈+
λλ ζλ ζ
ρζρρ
0
22
0
22
00 0
22
2
1
2
1
2
1 dxwudxwudzdzdxwu
( )∫ ∫
−
+=
λ
ρ
0
0
22
2
1ˆ
h
dzdxwuK
Ondas Regulares
Substituindo as equações das componentes de velocidade na equação da 
energia cinética linearizada, resulta o seguinte:
( ) ( )
( ) ( )tkx
kh
zhkw
tkx
kh
zhku
a
a
ωωζ
ωωζ
−+=
−+=
sin
sinh
sinh
cos
sinh
cosh
( )∫ ∫
−
+=
λ
ρ
0
0
22
2
1ˆ
h
dzdxwuK
khkg tanh2 =ω
2
2
4
1
4
1ˆ
a
a
gKK
gK
ζρλ
λζρ
==
=
)
Ondas Regulares
Energia Potencial
A energia potencial é calculada da seguinte forma:
∫∫
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
+−=
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ +−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧ +=⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧ +==
−− −
λλ
λ ζλ ζ λ ζ
ζρλρζρρ
ρρρρρ
0
2
2
0
22
0
0
202
0
0
0
0
2222
22
ˆ
dxgghdxggh
dxgzgzdxgzdzgzdzgzdzdxP
hh h
Ondas Regulares
∫+−= λ ζρλρ
0
2
2
22
ˆ dxgghP
Combinando a equação para a energia potencial e a elevação da 
superfície livre, resulta a seguinte equação para a energia potencial:
( )
λζρλρ
ωζρλρ
λ
2
2
0
22
2
4
1
2
ˆ
cos
22
ˆ
a
a
gghP
dxtkxgghP
+−=
−+−= ∫
Ondas Regulares
A primeira parcela da energia potencial é independente da amplitude 
da onda e é sempre omitida. Portanto,
2
2
4
1ˆ
4
1ˆ
a
a
gPP
gP
ζρλ
λζρ
==
=
Ondas Regulares
Observe que a energia potencial e a energia cinética possuem a 
mesma magnitude.
2
4
1
agK ζρ= 24
1
agP ζρ=
Ondas Regulares
Energia Total da Onda
A energia total da onda é dada pela soma das energias cinética e 
potencial, conforme mostra a equação abaixo.
PKE +=2
4
1
agK ζρ= 24
1
agP ζρ=
22
8
1
2
1 gHgE a ρζρ ==
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	Ondas Regulares
	Ondas Regulares 
	Ondas Regulares
	Ondas Regulares
	Ondas Regulares
	Ondas RegularesOndas Regulares
	Ondas Regulares
	Ondas Regulares
	Ondas Regulares
	Ondas Regulares
	Ondas Regulares
	Ondas Regulares
	Ondas Regulares
	Ondas Regulares
	Ondas regulares
	Ondas Regulares
	Ondas Regulares
	Ondas Regulares
	Ondas Regulares
	Ondas Regulares
	Ondas Regulares