Problemas Cap 11

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Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer
Capitulo 11 – Aplicações à Teoria da Confiabilidade.
Problemas
Suponha que , a duração até falhar de uma peça, seja normalmente distribuída com horas e devio-padrão horas. Quantas horas de operação deverão ser consideradas, a fim de se achar uma confiabilidade de ?
Suponha que a duração da vida deum dispositivo eletrônico seja exponencialmente distribuída. Sabe-se que a confiabilidade desse dispositivo (para um período de 100 horas de operação) é de . Quantas horas de operação devem ser levadas em conta para conseguir-se uma confiabilidade de ?
Suponha que a duração da vida de um dispositivo tenha uma taxa de falhas constante para e uma diferente taxa de falhas constante para . Obtenha a fdp de , a duração até falhar, e esboce o seu gráfico.
Suponha que a taxa de falhas seja dada por 
(Isto significa que nenhuma falha ocorre antes que .)
Estabeleça a fdp associada a , a duração até falhar.
Calcule .
Suponha que a lei de falhas de um componente tenha a seguinte fdp:
Para quais valores de e , essa expressão é uma fdp?
Obtenha a expressão da função de confiabilidade e da função de risco.
Verifique que a função de risco é decrescente com .
Suponha que a lei de falhas de um componente seja uma combinação linear de leis de falhas exponenciais. Quer dizer, a fdp da duração até falhar é dada por 
Para quais valores de a expressão acima é uma fdp?
Obtenha uma expressão para a função de confiabilidade e a função de risco.
Obtenha a expressão da duração até falhar esperada.
Responda (b) e (c), quando para todo .
Cada uma das seis válvulas de um radiorreceptor tem uma duração de vida (em anos) que pode ser considerada como uma variável aleatória. Suponha que essas válvulas funcionem independentemente uma da outra. Qual será a probabilidade de que nenhuma válvula tenha de ser substituída, durante os dois primeiros meses de serviço se:
A fdp da duração até falhar for ?
A fdp da duração até falhar for ?
Demostre o Teor. 11.4.
A duração da vida de um satélite é uma variável aleatória exponencialmente distribuída, com duração da vida esperada igual a 1,5 anos. Se três desses satélites forem lançados simultaneamente, qual será a probabilidade de que ao menos dois deles ainda venham a estar em órbita depois de 2 anos?
Três componentes, que funcionem independentemente, são ligados em um sistema único, como está indicado na Fig. 11.9. Suponha que a confiabilidade de cada um dos componentes, para um período de operação de horas, seja dada por .
Se for a duração até falhar do sistema completo (em horas), qual será a fdp de ? Qual será a confiabilidade do sistema? Como ela se compara com ?
Para que o sistema funcione deve funcionar e também ou , ou seja.
Suponha que componentes, que funcionem independentemente, sejam ligados em série. Admita que a duração até falhar, de cada componente, seja normalmente distribuída, com expectância de 50 horas e desvio-padrão 5 horas.
Se , qual será a probabilidade de que o sistema ainda esteja a funcionar depois de 52 horas de operação?
Se componentes forem instalados em paralelo, qual deverá ser o valor de , para que a probabilidade de falhar durante as primeiras 55 horas seja aproximadamente igual a ?
(Extraído de Derman & Klein, Probability and Statistical Inference, Oxford University Press, New York, 1959.) A duração da vida , em meses, de uma dada válvula eletrônica empregada em aparelhos de radar, foi verificada ser exponencialmente distribuída com parâmetro . Ao executar seu programa de manutenção preventiva, uma companhia quer decidir quantos meses depois de sua instalação, cada válvula deverá ser substituída, para tornar mínimo o custo esperado por válvula. O custo por válvula (em dólares) será denotado por . O mais curto período utilizável de tempo decorrido entre a instalação e a substituição e do mês. Sujeito a essa restrição, qual o valor de que torna mínimo , o custo esperado, em cada uma das seguintes situações, onde o custo é a mencionada função de e ?
[Em cada caso, esboce o gráfico de , como função de .]
Comentário: Evidentemente, é uma variável aleatória, porque é uma função de , a qual é uma variável aleatória. é uma função de , o problema apenas pede para determinar aquele valor de que torne mínimo o valor esperado , sujeito à restrição de que .
Suponha que a taxa de falhas, associada com a duração da vida de uma peça, seja dada pela seguinte função
Comentário: Isto representa outra generalização da distribuição exponencial. A expressão acima se reduz à taxa de falhas constantes (e, por isso, à distribuição exponencial) se .
Estabeleça a fdp de , a duração até falhar.
Equação 11.2
Estabeleça a expressão da confiabilidade e esboce seu gráfico.
Suponha que cada um de três dispositivos eletrônicos tenha uma lei de falhas dada por uma distribuição exponencial, com parâmetros , respectivamente. Suponha que esses três dispositivos funcionem independentemente e estejam ligados em paralelo para formarem um único sistema.
Estabeleça a expressão de , a confiabilidade do sistema.
Teorema 11.7
Estabeleça a expressão da fdp de , a duração até falhar do sistema. Esboce o gráfico da fdp.
Calcule a duração até falhar esperada do sistema.
Suponha que componentes sejam ligados em série. A seguir, dessas conexões em série são ligadas em paralelo para formar um sistema completo. (Veja a Fig. 11.10.) Se todos os componentes tiverem a mesma confiabilidade, , para um dado período de operação, determine a expressão da confiabilidade do sistema completo (para o mesmo período de operação).
Teorema 11.5
Teorema 11.7
Suponha que cada um dos componentes acima obedeça a uma lei de falhas exponencial, com taxa de falhas . Suponha, também, que o tempo de operação seja 10 horas e que . Determine o valor de , de maneira que a confiabilidade do sistema completo seja igual a .
Suponha que componentes sejam ligado em paralelo. Em seguida, dessas conexões em paralelo são ligadas em série, formando um único sistema. (Veja a Fig. 11.11.) Responda a (a) e (b) do Probl. 11.15, para esta situação.
 
Teorema 11.7
Teorema 11.5
 
Suponha que componentes, todos com a mesma taxa de falhas constante , sejam ligados em paralelo. Estabeleça a expressão da duração até falha esperada, do sistema resultante.
O sistema de propulsão de uma aeronave é constituída de três motores. Suponha que a taxa de falhas constante de cada motor seja e que cada motor falhe independentemente dos demais. Os motores são montados em paralelo. Qual será a confiabilidade deste sistema de propulsão, para uma missão que exija horas, quando ao menos dois motores devem sobreviver?
Responda à questão acima, para uma missão que exija 100 horas; 1000 horas. (Este problema está sugerido por uma explanação incluída em I. Bazovsky, Reliability Theory and Practice, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1961.)
Considere os componentes ligados de maneira indicada nas Figs. 11.12 (a) e (b). (O componente C pode ser considerado como uma “defesa”, quando ambas e deixarem de funcionar.) Represente as confiabilidades dos componentes isoladamente por (e admitindo que os componentes funcionem independentemente um do outro), obtenha a expressão da confiabilidade do sistema completo, em cada uma dessas situações.
[Sugestão: No segundo caso, Fig. 11.12(b), empregue relações de probabilidade condicionada.]
 
Admitido que todos os componentes incluídos no Probl. 11.19 tenham a mesma taxa de falhas constante , estabeleça a expressão da confiabilidade do sistema apresentado na Fig. 11.12(b). Determine, também, a duração até falhar média, desse sistema.
O componente tem confiabilidade , quando utilizado para dada finalidade. Ocomponente , que pode ser utilizado em lugar do componente , tem confiabilidade de somente . Qual será o número mínimo de componente do tipo , que se terá de ligar em paralelo, de maneira a atingir a mesma confiabilidade que tem o componente sozinho.
Suponha que dois componentes que funcionem isoladamente, cada um deles com a mesma taxa de falhas constante, sejam ligados em paralelo. Sendo a duração até falhar do sistema resultante, estabeleça a fgm de . Determine, também, e , empregando a fgm.
Toda vez que consideramos um sistema composto por vários componentes, admitimos sempre que os componentes funcionassem independentemente um do outro. Essa suposição simplificou consideravelmente nossos cálculos. No entanto, ela poderá não ser sempre uma hipótese realista. Em muitas situações, sabe-se que o desempenho de um componente pode influenciar o desempenho de outros. Este é, em geral, um problema muito difícil de se abordar, e examinaremos aqui, apenas um caso particular. Suponha-se, especificamente, que dois componentes e sempre falhem juntos. Quer dizer, falhará se, e somente se, falhar. Verifique que, neste caso, .
Considere quatro componentes ligados da maneira indicada na Fig. 11.13. Suponha que os componentes funcionem independentemente um do outro, com exceção de e que falham juntamente, como foi explicado no Probl. 11.23. Se , a duração até falhar do componente , for exponencialmente distribuída com parâmetro , obtenha a confiabilidade do sistema completo. Obtenha também a fdp de , a duração até falhar do sistema.
Considere o mesmo sistema apresentado no Probl. 11.24, exceto que agora os componentes e falham conjuntamente. Responda às perguntas do Probl. 11.24.