2009.1 prova cálculo I area II CIn UFPE

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Departamento de Matema´tica - CCEN - UFPE
CA´LCULO I - A´REA II
PRIMEIRO SEMESTRE — 2009
1o. EXERCI´CIO ESCOLAR – GABARITO
1. Calcule os limites (na˜o use a regra de L’Hoˆpital):
(1.0 pt.) a) lim
x→2
(
1− 2
x
x2 − 4
)
= lim
x→2
1
x
(x− 2)
(x− 2) (x+ 2) = limx→2
1
x (x+ 2)
=
1
8
.
(1.0 pt.) b) lim
x→0
tan(8 x)
sin(4 x)
= lim
x→0
1
cos(8 x)
sin(8x)
sin(4x)
=
= lim
x→0
1
cos(8 x)
sin(8x)
8x
4x
sin(4x)
8
4
= 2 .
(1.0 pt.) c) lim
x→0
(
(ex − 1) cos(pi
x
)
)
Temos que
−(ex − 1) ≤ (ex − 1) cos(pi
x
) ≤ (ex − 1)
e portanto
lim
x→0−(e
x − 1) ≤ lim
x→0(e
x − 1) cos(pi
x
) ≤ lim
x→0(e
x − 1)
0 ≤ lim
x→0(e
x − 1) cos(pi
x
) ≤ 0
ou seja lim
x→0
(
(ex − 1) cos(pi
x
)
)
= 0 .
2. (1.0 pt.) a) Calcule y′(x) dado que y(x) = tan
(
x
1 + x2
)
y′(x) = sec2
(
x
1 + x2
)
(1− x2)
(1 + x2)2
(1.0 pt.) b) Calcule y′(x) dado que y(x) = ln(x3 + 1) sin(x)
y′(x) =
3 x2
x3 + 1
sin(x) + ln(x3 + 1) cos(x) .
(1.5 pt.) c) Usando a definic¸a˜o de derivada calcule f ′(0) dado que f(x) =
x+ 1
x− 2
f ′(0) = lim
h→0
f(0 + h)− f(0)
h
= lim
h→0
h+1
h−2 − 1−2
h
= lim
h→0
3h
2h (h− 2) = −
3
4
.
3. (2.0 pt.) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao ponto (x0, f(x0)) do gra´fico da
func¸a˜o
f(x) = 1 + x e−x
para x0 = 0 .
A reta tangente e´ dada por
y = f(x0) + f
′(x0)(x− x0)
Como x0 = 0, f(0) = 1. Mas f
′(x) = e−x (1 − x) e portanto f ′(0) = 1 . A reta
tangente e´
y = x+ 1 .
4. (1.5 pt.) Determine o valor da constante k tal que a func¸a˜o
f(x) =

1−√x
x−1 , para 0 ≤ x < 1 ,
k , para x = 1
seja cont´ınua para 0 ≤ x ≤ 1 .
Para que func¸a˜o seja cont´ınua devemos ter
lim
x→1−
f(x) = f(1) = k .
Mas
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
1−√x
x− 1 = limx→1−
1−√x
(
√
x− 1) (√x+ 1) = limx→1−
−1√
x+ 1
= −1
2
.
Portanto
k = −1
2
.