Exercício (João Lazzarin-UFSM)

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Exercícios
1. Uma rede de comunicação tem cinco locais com transmissores de potências
distintas. Estabelecemos que aij = 1 na matriz abaixo, signi…ca que a
estação i pode transmitir diretamente a estação j e aij = 0 signi…ca que a
transmissão da estação i não alcança a estação j. Observe que a diagonal
principal é nula, signi…cando que uma estação não transmite diretamente
a si mesma.
A =
e1 e2 e3 e4 e5266664
0 1 1 1 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0
377775
e1
e2
e3
e4
e5
(a) Construa um diagrama para representar as transmissões entre as es-
tações, compatível com os dados da matriz A (disponha cada ei a
uma certa distância uma da outra e ligue ei a ej conforme tenha
transmissão ou não).
(b) Calcule A2.
(c) Interprete o signi…cado dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1,
de modo a justi…car a a…rmação: " a matriz A2 representa o número
de caminhos disponíveis para se ir de uma estação a outra, com uma
única transmissão intermediária".
(d) Qual o signi…cado das matrizes A+A2; A3 e A+A2 +A3?
(e) Calcule detA, mostrando que A�1 não existe. Qual interpretação
podemos dar para justi…ca a não existência de A�1.
Uma ideia: Por exemplo, em A+A2 o elemento c24 = 3, signi…ca que existe
um caminho de e2 à e4 sem transmissão intermediária (e2 ! e4) e mais dois
caminhos com uma transmissão intermediária (e2 ! e3 ! e4) e (e2 ! e1 ! e4).
Portanto, A+A2 signi…ca os caminhos disponíveis para cada estação transmitir
a outra com nenhuma ou uma única transmissão intermediária.
2 Use operações elementares para resolver o sistema linear abaixo:
8<: 2x1 + 4x2 + 6x3 + 8x4 + 10x5 = 2x1 � 2x2 � x3 + 3x5 = 3
4x1 + 4x3 + 8x4 + 16x5 = 8
Solução:
S = f(2 � a � 2b � 4c;� 12 � a � b � 12c; a; b; c) : a; b; c são números reais
quaisquerg
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