Resumo_Limites Fundamentais Definição e Exercícios

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Não se pode ensinar nada a um homem; só é possível ajudá-lo a encontrar a coisa dentro de si. Galileu 
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GOVERNO FEDERAL 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO 
CÂMPUS JUAZEIRO/BA COLEG. DE ENG. ELÉTRICA 
PROF. PEDRO MACÁRIO DE MOURA 
CÁLCULO I – 2015.2 
 
Discente ___________________________________________CPF 
 
Turma A1 – Sala NT 02 CCA – Data 30 de Novembro de 2015 
 
Limites Fundamentais 
 
Daremos a seguir três proposições que caracterizam os chamados limites fundamentais. 
Trataremos o caso particular de indeterminações do tipo 
 
 
 e . 
 
Primeiro Limite Fundamental 
 
 
 
 
 
Demonstração: 
Considere a circunferência de raio 1 (Figura 1) 
 
Seja x a medida em radianos do arco . Limitamos 
a variação de x ao intervalo 
 
 
 . Observando a 
Figura 1, escrevemos as desigualdades equivalentes: 
Área área setor área 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . Dividindo a última desigualdade por , já que 
 
 
 
 , temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. Agora aplicando 
limite na desigualdade e fazendo tende à zero vem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . Então podemos afirmar que 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
Não se pode ensinar nada a um homem; só é possível ajudá-lo a encontrar a coisa dentro de si. Galileu 
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Segundo Limite Fundamental 
 
 
 
 
 
 
 
 
Demonstração: 
 
Nosso objetivo é provar que a sequência de termo geral 
 
 
 
 
 
 
É convergente. Definiremos, então, o numero como sendo o limite de tal sequência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere a expansão binominal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando aplicamos limite com tendendo ao infinito ficamos com: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
Então, concluímos que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da consequência dessa convergência podemos também ter 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Não se pode ensinar nada a um homem; só é possível ajudá-lo a encontrar a coisa dentro de si. Galileu 
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Terceiro limite fundamental 
 
 
 
 com 
 
Demonstração: 
 
Façamos , aplicando os logaritmo neperianos em ambos os lados da 
igualdade, ficamos com 
 
 
quando . 
 temos que , e então podemos escrever 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde 
 
 
 
 
 
 
Lista – 01: Exercícios Limites Fundamentais 
01. Evaluar para , las expresiones: 
a) 
 
 
 b) 
 
 
 c) 
 
 
 
d) 
 
 
 e) 
 
 
 
 
 f) 
 
 
 
 
Nos exercícios 2-39, utilize um dos limites fundamentais para determinar o limite ou sua 
tendência. 
02. 
 
 
 
 03. 
 
 
 
 04. 
 
 
 
 
05. 
 
 
 
 06. 
 
 
 
 
 
 
 
 07. 
 
 
 
 
08. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 09. 
 
 
 
 10. 
 
 
 
 
11. 
 
 
 
 12. 
 
 
 
 
 
 
 
 13. 
 
 
 
 
14. 
 
 
 
 
 
 
 15. 
 
 
 
 
 
 
 16. 
 
 
 
 
 
Não se pode ensinar nada a um homem; só é possível ajudá-lo a encontrar a coisa dentro de si. Galileu 
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17. 
 
 
 
 
 
 
 
 18. 
 
 
 
 
 19. 
 
 
 
 
 
 
 
 
20. 
 
 
 
 
 
 21. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22. 
 
 
 
 
23. 
 
 
 
 24. 
 
 
 
 
 
 25. 
 
 
 
 
26. 
 
 
 
 
 
 
 
 27. 
 
 
 
 28. 
 
 
 
 
29. 
 
 
 
 
 30. 
 
 
 
 31. 
 
 
 
 
32. 
 
 
 
 33. 
 
 
 
 34. 
 
 
 
 
35. 
 
 
 
 36. 
 
 
 
 
 
 
 37. 
 
 
 
 
38. 
 
 
 
 
 39. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sugestão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bom Estudo! Sucesso! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia: 
FLEMMING, Diva Marília e GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: Funções, Limite, 
Derivação, Integração. Vol. 1, 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2006. 
STEWART, James. Cálculo. Vol. 1, 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2014. 
ANTON, Howard, BIVENS, Irl, DAVIS, Stephen. Cálculo. Vol. 1, 10ª ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2014. 
THOMAS, G. B. Cálculo. vol. 1, 12ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.