aula 4 Exemplos de exercícios de aplicação

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UNIBH
 
Curso:
 Engenharia Civil- 
Prof
(a). Cristiane Dias Rodrigues
Disciplina:
 Cálculo Diferencial - aula 
4
 Aplicação
 
Exemplos e exercícios de aplicação:
Exemplo 1:
Uma função y = f(x) tem variação conhecida dada por y’ = 10 + 2x. Determine a equação y = f(x), sabendo que quando x = 0, y = 100.
y = 
Para x = 0, y = 100, logo:
y = 
100 = 
c = 100, portanto:
y = 
Exercícios:
Calcular a equação y = f(x) da função que tem sua variação conhecida e dada por:
a) y’ = 5 e sabendo que para x = 10, y = 50 Resp: y = 5x
b) y’ = 6x – 4 e sabendo que para x = 0, y = 40 Resp: y = 3x2 – 4x + 40
c) y’ = 10 – 3x e sabendo que para x = 1, y = 20 Resp: y = 
d) y’ = x2 + 4 e sabendo que para x = 0, y = 200 Resp: y = 
e) y’ = 10 + 5x +0,5x2 e sabendo que para x = 0, y = 0 Resp: y = 
f) y’ = e sabendo que para x = 0, y = 4 Resp: y = ln
Exemplo 2: A velocidade de um automóvel mede a variação do espaço percorrido pelo veículo (ou ainda, a tendência à variação em cada instante).
Se a velocidade em cada instante t é dada por v = 50 + 2t, calcular a equação do espaço percorrido pelo automóvel em função do tempo t, sabendo que, quando t = 0, o espaço percorrido era de 5000m.
Para t = 0, s = 5000
c = 5000, portanto:
Exercícios:
1 – A aceleração de um corpo mede a variação da velocidade, ou seja, a = v’. Calcular a equação da velocidade de um corpo submetido a uma aceleração de 10m/s2, em função do tempo, sabendo que quando t = 0, v = 30 m/s. Resp: v = 10t + 30.
2 – Calcular o espaço percorrido pelo corpo do problema anterior (lembre-se de que a velocidade mede a variação do espaço percorrido: v = s’), sabendo que quando t = 0, s = 500 m. Resp: s = 5t2 + 30t + 500.
3 – Uma partícula percorre uma trajetória reta, com aceleração de 2 cm/s2. Quando o tempo começou a ser contado ( t = 0 ), a partícula passava pela marca 10 cm da trajetória, com velocidade de 5 cm/s.
Calcular a equação da velocidade da partícula em função do tempo. Resp: v = 2t + 5
Calcular a equação do espaço percorrido pela partícula em função do tempo. Resp: s = t2 + 5t + 10.
Calcular o tempo necessário para que a partícula passe pela marca de 103,75 cm Resp: 7,5 segundos.
4 – Uma pedra é solta do topo de um edifício de 25 andares, a uma altura de 80m, e cai em queda livre. A aceleração da gravidade é de 10 m/s2.
Determinar a equação da velocidade do corpo em função do tempo de queda ( t = 0, v = 0). Resp: v = 10t.
Determinar a equação do espaço percorrido pela pedra em função do tempo de queda ( t = 0, s = 0). Resp: s = 5t2
Calcular o tempo necessário para que a pedra atinja o solo. Qual a velocidade de impacto? Resp: t = 4 seg, v = 40 m/s .
5 – Uma partícula desloca-se em uma trajetória retilínea com aceleração de 5 cm/s2. Na marca 0 da trajetória, sua velocidade era de 10 cm/s.
Determinar a equação da velocidade da partícula com o tempo. Resp: v = 5t + 10.
Determinar a equação do espaço percorrido pela partícula com o tempo. Resp: s = 2,5 t2 + 10t.
Quanto tempo essa partícula demora em atingir a marca 150 m? Resp: 6 s.
Exemplo 3:
No estudo da derivada de uma função, deve ter claro que a derivada mede a tendência à variação da curva no ponto onde ela é calculada. Essa tendência é a direção da curva naquele ponto, e pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função neste ponto.
y
x
p
t
Se uma curva apresenta em cada ponto x uma tangente com coeficiente angular 2x, construa a equação desta curva sabendo que ela contém o ponto x = 0, y = 1.
y = x2 + c
Para x = 0, y = 1, temos:
y = x2 + c
1 = 02 + c
c = 1
y = x2 + 1
Exercícios:
1 – Construir a equação de uma curva cuja tangente em cada ponto x tem coeficiente angular constante -2. Sabe-se que esta curva contém o ponto x = 1, y = 3. Resp: y = -2x + 5.
2 – A tangente a uma curva tem em cada ponto x o coeficiente angular 3x – 1. Determine a equação dessa curva, sabendo que ela contém a origem do sistema cartesiano x = 0, y = 0. Resp: y = .
3 – Uma curva admite reta tangente para todo x > 1, e essa tangente tem como coeficiente angular 2/x, em cada ponto x. Determine a equação dessa curva, sabendo que para x = 2 a curva assume o valor y = 5. Resp: y = 2 lnx + 5 – 2ln2.
4 – A tangente a uma curva tem em cada ponto x o coeficiente angular dado por x2 – 2x + 10. Encontrar a equação dessa curva, sabendo que ela contém o ponto x = 0, y = -10. Resp: y = .
5 – Construir a equação de uma curva que contém o ponto x = 0, y = 3 e apresenta reta tangente com coeficiente angular ex em qualquer ponto x. Resp: y = ex + 2.