Notas de Aula - COMPLETAS

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
Disciplina FIS101 - Estrutura da Mate´ria I
Notas de Aula
Professor Newton Barros de Oliveira
Trancrito por Bruno C. Credidio
1 de abril de 2014
Versa˜o 1.0
Este documento foi digitado em LATEX.
O autor pede desculpas pelo grande nu´mero de erros de digitac¸a˜o e dos ca´lculos, bem
como a falta das imagens. Para sugesto˜es e cr´ıticas pode ser enviado um e-mail para
bruno.credidio@gmail.com. O autor ainda pretende fazer estas correc¸o˜es num futuro
pro´ximo e prop´ıcio.
2 Universidade Federal da Bahia
Suma´rio
I Primeira Unidade 5
1 A Radiac¸a˜o Te´rmica e a Origem da Teoria Quaˆntica 7
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 O Corpo Negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Teorias Cla´ssicas da Radiac¸a˜o de Cavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Aparato Experimental e Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 A Teoria Quaˆntica de Einstein para o Efeito Fotoele´trico 13
2.1 Hipo´teses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 A Descoberta do Ele´tron e a Relac¸a˜o e/m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 O Efeito Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 A Natureza Dual da Radiac¸a˜o Eletromagne´tica . . . . . . . . . . . . . . . . 18
II Segunda Unidade 21
3 A Teoria de Bohr para a Estrutura Atoˆmica 23
3.1 O A´tomo de Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 O A´tomo de Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 A Estabilidade do A´tomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Os Espectros Atoˆmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4.1 O Espectro do Hidrogeˆnio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5 Estados de Energia no A´tomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5.1 Representac¸a˜o dos Nı´veis de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5.2 O Princ´ıpio da Correspondeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 A Teoria Quaˆntica de Schro¨dinger 35
4.1 Part´ıculas e Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.1 Os Postulados de De Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.2 Noc¸o˜es sobre Difrac¸a˜o de Raio X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.3 Detalhes do Experimento Davidson-Germer . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 A Dualidade Onda-Part´ıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3 Pacotes de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4 O Princ´ıpio da Incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.5 Os Valores Esperados de uma Grandeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3
SUMA´RIO
5 Soluc¸o˜es da Equac¸a˜o de Schro¨dinger Independente do Tempo 49
5.1 Epotencial = 0, −∞ < x <∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2 Energia potencial na forma de degrau e energia total menor que o degrau. . 50
6 Exerc´ıcios 55
III Terceira Unidade 59
7 Soluc¸o˜es da Equac¸a˜o de Schro¨dinger Independente do Tempo - Conti-
nuac¸a˜o 61
7.1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.2 Barreira de Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.2.1 E < V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2.2 E > V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.3 (5o Exemplo) Poc¸o de Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.3.1 Etotal < V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.4 7o Exemplo: O Oscilador Harmoˆnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.5 O A´tomo de Hidrogeˆnio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8 Exerc´ıcios 85
8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4 Universidade Federal da Bahia
Parte I
Primeira Unidade
5
Cap´ıtulo 1
A Radiac¸a˜o Te´rmica e a Origem
da Teoria Quaˆntica
1.1 Introduc¸a˜o
Sabe-se que corpos aquecidos emitem radiac¸a˜o numa ampla faixa de frequeˆncias. Sabe-se,
tambe´m, que a emissa˜o de radiac¸a˜o e´ dependente da temperatura do corpo. Em tempe-
raturas mais baixas, os corpos emitem mais na regia˜o infravermelha, e em temperaturas
mais altas, emitem mais na regia˜o vis´ıvel, em direc¸a˜o ao azul ou violeta. A intensidade da
radiac¸a˜o e´ definida como a energia irradiada por unidade de a´rea por unidade de tempo.
Em 1879, Josef Stefan1 determinou experimentalmente (empiricamente) que a intensi-
dade total da radiac¸a˜o emitida (energia total por unidade de a´rea por unidade de tempo)
por um corpo aquecido era proporcional a` temperatura absoluta do corpo elevada a` quarta
poteˆncia. Mas notou tambe´m que o valor da intensidade total dependia do tipo de corpo,
mesmo estando a` mesma temperatura. Escreveu como:
R = eσT 4 (1.1)
Onde e e´ a emissividade do corpo, variando entre zero e um, a depender do tipo de corpo;
σ e´ a constante universal de Stefan-Boltzmann; T e´ a temperatura absoluta do corpo e R
e´ a intensidade total da radiac¸a˜o medida para todo espectro de frequeˆncias emitidas.
A intensidade da radiac¸a˜o emitida por um corpo aquecido depende da faixa de frequeˆncias
selecionada para realizar a medida da emissividade. Se selecionarmos medir a intensidade
da radiac¸a˜o entre uma frequeˆncia ν e ν + ∆ν, teremos uma intensidade ∆R nessa faixa de
frequeˆncias.
Define-se a radiaˆncia espectral R(ν, T ) como a intensidade de radiac¸a˜o por unidade de
frequeˆncia:
R(ν, T ) =
∆R
∆ν
, quando ∆ν → 0 (1.2)
Experimentalmente, encontram-se curvas de radiaˆncia espectral com o seguinte aspecto:
1Josef Stefan nasceu em Klagenfurt, 24 de marc¸o de 1835 e morreu em Viena, 7 de janeiro de 1893. Foi
um f´ısico e matema´tico.
7
CAPI´TULO 1. A RADIAC¸A˜O TE´RMICA E A ORIGEM DA TEORIA QUAˆNTICA
Figura 1.1: Curvas da radiaˆncia espectral em func¸a˜o da frequeˆncia para diferentes tempe-
raturas.
∞∫
0
R(ν, T )dν = Intensidade total da radiac¸a˜o emitida pelo corpo aquecido. (1.3)
As primeiras medidas experimentais precisas da radiaˆncia espectral foram feitas por
Lummer2 e Pringsheim3 em 1899. A medida da intensidade da radiac¸a˜o se tornou poss´ıvel
com a invenc¸a˜o do boloˆmetro, em 1878, por Samuel Pierpont Langlon. Usado inicialmente
para medir a radiac¸a˜o do Sol em determinadas faixas de frequeˆncia. Outro fato experimen-
tal tambe´m conhecido e que pode ser observado nas curvas de radiaˆncia espectral e´ que a
frequeˆncia nos pontos de ma´ximo e´ proporcional a` temperatura. Isto e´ chamado de Lei do
Deslocamento de Wien.
νmax ∝ T ; νmax = βT (1.4)
c = λν; β =
T
νmax
(1.5)
λmax · T = cte; β = T
c/λ
(1.6)
cβ = Tλ (1.7)
2Otto Richard Lummer nasceu em Gera, Alemanha, 17 de julho de 1860 e morreu em Bresla´via, Poloˆnia,
5 de julho de 1925. Foi um f´ısico.
3Alfred Israel Pringsheim nasceu em Olawa, Poloˆnia, 2 de setembro de 1850 e morreu em Zurique, Su´ıc¸a,
25 de junho de 1941. Foi um matema´tico de confissa˜o judaica. Estudou na Universidade de Heidelberg e
fez fortuna na construc¸a˜o civil.
8 Universidade Federal da Bahia
1.2. O CORPO NEGRO
1.2 O Corpo Negro
O conceito de corpo negro ou radiador integral foi introduzido por Kirchoff em 1882. Por
definic¸a˜o, e´ um corpo que absorve toda a radiac¸a˜o nele incidente. Superf´ıcies ?pintadas?com negro de fumo ou fuligem (uma forma de carbono amorfo) se aproximam bem da
definic¸a˜o. Um modelo para um copo negro e´ o de uma cavidade com um pequeno orif´ıcio
comunicando para o exterior. Uma radiac¸a˜o incidente no orif´ıcio atinge as paredes internas,
ocorrendo um processo de mu´ltipla reflexa˜o/absorc¸a˜o. Essas absorc¸o˜es provocam elevac¸a˜o
da temperatura do corpo. Diz-se que o orif´ıcio tem propriedades de um corpo negro pelo
fato de absorver toda a radiac¸a˜o nele incidente. Por outro lado, se o corpo estiver aquecido,
havera´ energia eletromagne´tica no interior da cavidade, e uma parte dessa energia saira´
pelo orif´ıcio. A ana´lise do espectro da radiac¸a˜o emitida dara´ informac¸o˜es do espectro da
radiac¸a˜o do interior do corpo.
(09/10)
1.3 Teorias Cla´ssicas da Radiac¸a˜o de Cavidade
A origem do estudo da radiac¸a˜o dos corpos aquecidos estava relacionada com a necessi-
dade de medir a temperatura dos autofornos usados na siderurgia pela ana´lise da ?luz?
ou radiac¸a˜o emitida atrave´s das janelas de inspec¸a˜o dos fornos. A medida e o controle
da temperatura sa˜o importantes para a qualidade da liga meta´lica produzida. A curva
de radiaˆncia espectral mostrada anteriormente e´ a curva de um corpo negro aquecido.
Va´rios modelos teo´ricos baseados na teoria cla´ssica do eletromagnetismo tentaram repro-
duzir resultados obtidos experimentalmente sem sucesso. Wilhelm Wien tentou explicar o
comportamento da curva usando a termodinaˆmica e a teoria eletromagne´tica de Maxwell
e conseguiu demonstrar matematicamente a Lei do Deslocamento que tem seu nome em
1893:
Encontrou tambe´m uma expressa˜o que se ajustava a` curva experimental para altas
frequeˆncias apenas. FIG 1.3.1 Entre 1900 e 1905, Lord Rayleigh e James H. Jeans apre-
sentaram uma teoria com hipo´teses diferentes da de Wien, que descreveremos a seguir.
Consideraram uma cavidade com paredes meta´licas com temperatura uniforme T e admi-
tiram que o interior da cavidade estava em equil´ıbrio te´rmico com as paredes. A radiac¸a˜o
absorvida pelas paredes fazia os osciladores moleculares vibrarem e reemitirem de volta a
radiac¸a˜o para o interior da cavidade. A superposic¸a˜o das ondas no interior da cavidade pro-
duziria ondas estaciona´rias com no´s nas paredes. A energia me´dia dos osciladores poderia
ser calculada pelo princ´ıpio da equipartic¸a˜o da energia da mecaˆnica estat´ıstica. Admitindo
dois graus de liberdade para os osciladores correspondentes a`s duas direc¸o˜es de polarizac¸a˜o
poss´ıveis para a onda eletromagne´tica. Em outras palavras, era admitido que o nu´mero de
osciladores com uma certa energia podia ser calculado pela distribuic¸a˜o de probabilidades
de Boltzmann para um ga´s ideal a uma temperatura T em equil´ıbrio te´rmico. Iniciaremos o
racioc´ınio com um problema unidimensional, considerando uma cavidade de comprimento
a ao longo do eixo Ox. FIG 1.3.2 Os osciladores das paredes geram ondas eletromagne´ticas
que se propagam ao longo do eixo Ox nos dois sentidos. Consideremos que o vetor campo
ele´trico esteja na direc¸a˜o Oy (uma poss´ıvel direc¸a˜o de polarizac¸a˜o). No espac¸o entre as
paredes meta´licas, a onda estaciona´ria resultante da superposic¸a˜o das duas ondas pode ser
genericamente descrita por:
A condic¸a˜o de contorno nas superf´ıcies meta´licas impo˜e que o campo ele´trico seja nulo
Unidade I 9
CAPI´TULO 1. A RADIAC¸A˜O TE´RMICA E A ORIGEM DA TEORIA QUAˆNTICA
em x = 0 e x = a para qualquer instante de tempo:
Ou seja, nem todas as frequeˆncias sa˜o permitidas, apenas aquelas mu´ltiplas de c/2a
podem existir de modo permanente na cavidade. Temos, enta˜o, valores discretos e equidis-
tantes de frequeˆncias poss´ıveis. A cada onda esta´ associada uma frequeˆncia da radiac¸a˜o.
Contudo, como existem dois modos poss´ıveis de polarizac¸a˜o para a onda (vetor E na direc¸a˜o
y, ou z ou combinac¸a˜o), podem existir duas ondas associadas a` mesma frequeˆncia. Para
calcular a quantidade de ondas estaciona´rias existentes em um intervalo de frequeˆncias en-
tre ? e ∆νmin, basta contar o nu´mero de frequeˆncias poss´ıveis nesse intervalo e multiplicar
por dois. Chamaremos essa quantidade de N(ν)∆ν (essa quantidade e´ proporcional ao
intervalo considerado). N(ν) e´ a quantidade de ondas por intervalo mı´nimo de frequeˆncias.
Por exemplo, considere um intervalo:
Entre ν e ν + ∆ν teremos m valores poss´ıveis de frequeˆncias:
A quantidade de ondas associadas sera´ 2m.
Observemos que, neste caso unidimensional, N(ν) = 4a/c na˜o depende de ν, pois 4a/c e´
constante. Para valores de frequeˆncia muito elevados (m muito grande, m?108), o intervalo
c/2a sera´, relativamente, muito pequeno, e podemos considerar a aproximac¸a˜o diferencial
∆ν como dν.
Consideremos, agora, uma cavidade tridimensional com forma de um cubo de arestas
a paralelas a Ox, Oy e Oz, de paredes meta´licas a uma temperatura T . Nesta situac¸a˜o,
podemos ter uma onda estaciona´ria proveniente da superposic¸a˜o de duas ondas que se
propaguem em sentidos opostos em uma determinada direc¸a˜o do espac¸o, contanto que os
componentes desta onda satisfac¸am a condic¸a˜o de contorno de valor do campo ele´trico zero
nas paredes do cubo. Genericamente, a onda estaciona´ria pode ser escrita como:
Se considerarmos os componentes do campo que propagam ao longo dos treˆs eixos,
deveremos ter o campo se anulando nas paredes do cubo. Por exemplo, para a onda que
se propaga ao longo do eixo Ox (vetor E na direc¸a˜o Oy ou Oz), temos:
”Duas polarizac¸o˜es”
Como, em x = a deveremos ter Mas,
14/10//
Se colocarmos mx, my e mz como um sistema de seis eixos ortogonais, a cada ponto
do espac¸o definido por (mx,my,mz), teremos uma frequeˆncia poss´ıvel, e como os valores
de mi variam de unidade em unidade, a densidade de pontos neste espac¸o (o nu´mero de
pontos por unidade de volume) e´ igual a 1. O dobro do nu´mero de pontos contidos num
volume arbitra´rio qualquer, vezes a densidade de pontos, da´ a quantidade de ondas poss´ıveis
associadas a`queles valores de (mx,my,mz). O raio de uma superf´ıcie esfe´rica neste espac¸o
vale:
r =
√
m2x +m
2
y +m
2
z =
2aν
c
(1.8)
Como mx, my e mz sa˜o inteiros, o espac¸o esta´ restrito a um octante. O volume infinitesimal
em coordenadas esfe´ricas para uma variac¸a˜o dr do raio e´ dado por:
Vesfera =
4
3
pir3 (1.9)
1
8
Vesfera(octante) =
1
8
· 4
3
pir3 (1.10)
1
8
dVesfera =
1
�82
· �4
�3
pi�3r
2dr (1.11)
10 Universidade Federal da Bahia
1.3. TEORIAS CLA´SSICAS DA RADIAC¸A˜O DE CAVIDADE
dVoctante =
1
2
· pir2dr (1.12)
De (1.8), chegamos a:
dVoctante = frac12pi
(
2aν
c
)2 2a
c
dV (1.13)
Como a quantidade de pontos deste espac¸o vale 1,
Quantidade de pontos em dVoctante =
4pia3
c3
ν2dν (1.14)
A quantidade de ondas vale o dobro desse valor e e´ definida por
N(ν)dν = 2 · 4pia
3
c3
ν2︸ ︷︷ ︸
N(ν)
dν (1.15)
O volume da cavidade e´ V = a3, assim:
N(ν) =
8piV
c3
ν2 (1.16)
Observe que, neste caso, N(ν) e´ proporcional ao volume.
O sistema de ondas estaciona´rias na cavidade e´ um sistema em equil´ıbrio te´rmico com
as paredes a uma temperatura T . As ondas po˜em os osciladores moleculares da parede em
estado de vibrac¸a˜o que, por sua vez, reemitem a radiac¸a˜o
Um sistema mecaˆnico ana´logo e´ o de um ga´s confinado em um recipiente e em equil´ıbrio
te´rmico. A distribuic¸a˜o de velocidades das mole´culas do ga´s preveˆ uma energia me´dia
igual a 12KBT por mole´cula por grau de liberdade, sendo KB a constante de Boltzmann.
Cada grau de liberdade esta´ associado a uma forma de energia (translacional, rotacional,
vibracional, etc.).
Considerando o sistema de ondas estaciona´rias da mesma forma que o ga´s e que os
dois graus de liberdade correspondentes a` onda eletromagne´tica esta˜o associados a` energia
armazenada no campo ele´trico e no campo magne´tico, cada ondatera´ uma energia me´dia
igual a KT .
Multiplicando pela quantidade de ondas com frequeˆncias entre ν e ν + dν, N(ν)dν
teremos as energias das ondas estaciona´rias nessa faixa de frequeˆncias:
Energia das ondas na faixa =
KT · 8pi
c3
V ν2dν (1.17)
dEnergia
V
= ρ(ν)dν = ρ(ν)dν, ρ(ν) =
KT · 8pi
c3
ν2 (1.18)
21/10
Unidade I 11
CAPI´TULO 1. A RADIAC¸A˜O TE´RMICA E A ORIGEM DA TEORIA QUAˆNTICA
1.4 Aparato Experimental e Resultados
Estando o aˆnodo positivo em relac¸a˜o ao ca´todo, os ele´trons emitidos pelo ca´todo, quando
da incideˆncia da luz, sa˜o capturados pelo aˆnodo. A corrente indicada no microamper´ımetro
depende da tensa˜o V conforme os gra´ficos seguintes:
(Gra´fico 1)
Com o potencial elevado (positivo), todos os ele´trons emitidos pelo ca´todo sa˜o captu-
rados pelo aˆnodo caracterizando a regia˜o saturada. Com potencial zero (campo ele´trico
nulo) existe corrente, o que demonstra que os ele´trons sa˜o emitidos com uma certa energia
cine´tica. Com potencial negativo, o campo ele´trico desacelera os ele´trons emitidos e no
potencial −V0 o campo e´ suficientemente intenso para impedir que o ele´tron mais veloz
alcance o aˆnodo. Ou seja, o mais veloz dos ele´trons (energia cine´tica Kmax) e´ desacelerado
pelo campo e na˜o consegue atingir o aˆnodo.
Kmax = eV0 (1.19)
Observa-se, pelas duas curvas, que o potencial de parada e´ independente da intensidade
da luz. Variando-se a frequeˆncia da luz (cor), mantendo-se a intensidade constante, observa-
se uma variac¸a˜o em V0 em func¸a˜o desta frequeˆncia.
(Gra´fico 2)
O resultado experimental mostra uma dependeˆncia linear entre o potencial de parada
e a frequeˆncia.
(Gra´fico 3)
Na˜o se observa o efeito fotoele´trico para frequeˆncias menores do que a frequeˆncia de
corte do metal. (Equac¸a˜o 2)
12 Universidade Federal da Bahia
Cap´ıtulo 2
A Teoria Quaˆntica de Einstein
para o Efeito Fotoele´trico
2.1 Hipo´teses
A energia da onda eletromagne´tica e´ transferida para a mate´ria de modo discreto em
“pacotes” de energia (posteriormente chamados de fo´tons) com valor (Eq. 3). Parte desta
energia e´ usada para remover o ele´tron do material e o restante aparece na forma de energia
cine´tica.
ε = hν = W +K, onde: (2.1)
W = Trabalho para arrancar o ele´tron do metal.
K = Energia cine´tica que o ele´tron adquire.
Alguns ele´trons esta˜o mais fortemente ligados ao metal (os ele´trons mais profundos) e
outros esta˜o mais fracamente ligados, necessitando de menor trabalho para serem arranca-
dos. Para estes ele´trons, a sobra de energia sera´ maior e teremos energia cine´tica ma´xima
Kmax.
W0 = Trabalho mı´nimo ou “Func¸a˜o Trabalho” (2.2)
Quando a frequeˆncia ν for igual a frequeˆncia de corte νc, os ele´trons na˜o sa˜o mais
ejetados e Kmax = 0.
hνc = W0 (2.3)
hν = W0 + eV0 (2.4)
V0 =
h
e
ν − W0
e
(2.5)
Comparando com a equac¸a˜o do primeiro grau:
y = ax+ b (2.6)
13
CAPI´TULO 2. A TEORIA QUAˆNTICA DE EINSTEIN PARA O EFEITO
FOTOELE´TRICO
Portanto, podemos determinar a constante h/e pela medida da inclinac¸a˜o do gra´fico
V0 × ν. A func¸a˜o trabalho tambe´m pode ser determinada pelo mesmo gra´fico, por ex-
trapolac¸a˜o quando ν = 0, sendo conhecido o valor da carga eletroˆnica e, ou, ainda, pela
frequeˆncia de corte νc obtida por extrapolac¸a˜o quando V0 = 0, sendo conhecido o valor de
h. O valor da constante de Planck obtido pelo efeito fotoele´trico concorda muito bem com
o valor obtido pela radiac¸a˜o de cavidade. O valor atual e´ 6, 6262 × 10−34 J/s. A teoria
de Einstein do efeito fotoele´trico explica os fatos experimentais observados. O aumento
da corrente com a intensidade da luz e´ devido a` maior quantidade de ele´trons arrancados
por unidade de tempo devido ao maior nu´mero de fo´tons que se chocam com o metal por
unidade de tempo sem, contudo, alterar o valor do potencial de parada (energia cine´tica
ma´xima). O potencial de parada depende apenas da frequeˆncia da onda e da func¸a˜o tra-
balho (caracter´ıstica do metal). O aparecimento imediato da corrente apo´s a incideˆncia da
luz tambe´m esta´ de acordo com a teoria do efeito fotoele´trico, uma vez que a transfereˆncia
de energia do fo´ton para o ele´tron e´ quase instantaˆnea.
2.2 A Descoberta do Ele´tron e a Relac¸a˜o e/m
1. Primeiras especulac¸o˜es que a eletricidade flu´ıa na forma de um grande nu´mero de
cargas discretas feitas por Benjamin Franklin em 1750.
2. Experimentos de eletro´lise de Faraday em 1883 sugerem que a eletricidade existe
somente em mu´ltiplos de uma unidade fundamental de carga.
3. Em 1874 Stoney calculou a carga ele´trica de um ı´on monovalente em uma soluc¸a˜o
e chamou esta carga de “electron”. O valor calculado estava errado (1/16 do valor
atual).
4. Nesta mesma e´poca, em 1870, haviam sido descobertos os raios cato´dicos por Sir
William Crooks e, em 1897, Sir J. J. Thomson descobre que estes raios eram ele´trons
carregados negativamente, se movimentando dentro do tubo em altas velocidades.
5. Em 1898, Thomson calcula o valor da carga elementar pela observac¸a˜o da velocidade
de queda de pequenas got´ıculas de a´gua carregadas na atmosfera. Encontrou um
valor 35% maior que o atual e, em 1903, encontra um valor 30% menor que o atual.
6. H. A. Wilson, em 1903, aplica um campo ele´trico ~E a uma nuvem de got´ıculas
carregadas, de maneira a equilibrar o peso e manter a nuvem em suspensa˜o. Ele
observa a presenc¸a de camadas de nuvem, indicando regio˜es com diferentes cargas na
nuvem.
7. Em 1908, Robert Millikan e L. Begeman repetem o experimento, trabalhando com
uma u´nica camada e encontraram um valor 16% menor que o atual.
8. Em 1910, Begeman encontra um valor 3% menor que o valor atual.
Neste mesmo tempo, outros experimentos tambe´m reportavam valores pro´ximos para a
carga eletroˆnica. Experimentos realizados por Rutherford e Geigen na emissa˜o de part´ıculas
alfa espontaneamente em materiais radioativos. Em 1909, Millikan realiza o experimento
da gota de o´leo para determinar a carga elementar. O experimento consistiu em pulveri-
zar (atomizar) o´leo de forma a produzir pequenas gotas esfe´ricas eletrificadas e mediu a
velocidade de queda e ascensa˜o das gotas entre duas placas de um capacitor.
14 Universidade Federal da Bahia
2.3. O EFEITO COMPTON
30/10/2013
Sob a ac¸a˜o da gravidade, uma pequena gota esfe´rica cai na atmosfera (ou em outro
ga´s) com uma velocidade final constante dada pela fo´rmula de Stokes: (Eq. 1) Obs: Para
uma medida mais precisa, o coeficiente de viscosidade deve ser corrigido em func¸a˜o do
raio da gota e da pressa˜o atmosfe´rica, pela expressa˜o: (Eq.2) (Eq. 3) Sendo a velocidade
de queda medida experimentalmente e todos os outros valores conhecidos, determina-se,
enta˜o, o raio da gota. O pro´ximo passo consiste em aplicar o campo ele´trico de modo
que a placa superior seja positiva com relac¸a˜o a` placa inferior e a gota movimente-se para
cima com uma velocidade /v1 (velocidade final constante). (Imagem 1) Obs: Verifica-se,
experimentalmente, que a velocidade final e´ diretamente proporcional a` forc¸a resultante
aplicada quando a velocidade e´ pequena. Sem campo ele´trico, a forc¸a devido a` gravidade,
vale: (Eq. 4) Com campo ele´trico, a forc¸a resultante para cima, vale: (Eq. 5) Chamando
de /v a velocidade final sem campo e /v? a velocidade final com campo aplicado e notando
que as velocidades finais sa˜o diretamente proporcionais a`s forc¸as, temos que: (Eq. 6) Logo,
a carga total da gota pode ser determinada a partir das medidas das velocidades. Do
resultado de inu´meras medidas, Millikan concluiu que as cargas observadas eram sempre
um mu´ltiplo de um valor fundamental. O valor encontrado em 1917 /e=1,592x10E(-19)C.
Posteriormente, novos experimentos com raios X e com gotas refinaram o resultado e o
valor aceito atualmente e´ de /e=1,602x10E(-19)C. A Relac¸a˜o /e/m Muitos experimentosforam realizados para determinar a raza˜o entre a carga e a massa do ele´tron utilizando
diversas te´cnicas. Utilizando-se o me´todo da deflexa˜o, destacam-se o me´todo de Thomson
e o me´todo de Classen. No me´todo de Thomson utiliza-se o tubo de raios cato´dicos e um
par de placas defletoras onde estabelece-se um campo ele´trico perpendicular a`s placas e
um campo de induc¸a˜o magne´tica uniforme paralelo a`s placas e perpendicular ao feixe de
ele´trons preenchendo o espac¸o entre as placas. (Imagem 2) Inicialmente, ajustam-se os dois
valores de campo para que a forc¸a ele´trica seja igual a` forc¸a magne´tica e o feixe de ele´trons
na˜o seja desviado: (Eq. 7) Determina-se, portanto, a velocidade do ele´tron a partir destes
dois campos. Em seguida, aplica-se apenas o campo de induc¸a˜o magne´tica e mede-se o
raio de curvatura do desvio da trageto´rio inicial. Esta trageto´ria passa a ser circular com
raio /R: (Eq. 8) No me´todo Classen, utiliza-se um canha˜o eletroˆnico a partir do filamento
aquecido que emite ele´trons que sa˜o acelerados por uma ddp conhecida. (Eq. 9) O feixe
de ele´trons, enta˜o, entra em uma regia˜o de campo magne´tico uniforme onde descreve uma
trajeto´ria circular. Mede-se, enta˜o, o raio da trajeto´ria. (Eq. 10) Em 1973, o valor de
/e/m encontrado foi de 1,7588x10E11C/kg.
04/04/2013
2.3 O Efeito Compton
Considerando o modelo corpuscular para a radiac¸a˜o incidente no momento da interac¸a˜o e
aplicando-se a conservac¸a˜o da energia e da quantidade de movimento, pode-se estudar o
efeito Compton. Vejamos:
Considere, para a radiac¸a˜o X incidente de frequeˆncia ν, o fo´ton com energia E = hν. Os
fo´tons devem ser considerados como part´ıculas sem massa de repouso mas com quantidade
de movimento P . Uma part´ıcula relativ´ıstica que tem massa de repouso tem energia
E =
m0c
2√
1− (vc )2 (2.7)
Unidade I 15
CAPI´TULO 2. A TEORIA QUAˆNTICA DE EINSTEIN PARA O EFEITO
FOTOELE´TRICO
Onde m0 e´ a massa de repouso e v e´ a velocidade relativa do fo´ton. Como E = h/nu e´
finito e a velocidade do fo´ton e´ v = c, deveremos ter m0 = 0. A relac¸a˜o entre a energia de
uma part´ıcula e a quantidade de movimento e´, em geral, dada por:
E2 = p2c2 +m2c4 (2.8)
Como, para o fo´ton, m0 = 0,
p =
E
c
(2.9)
Ja´ que E = hν e que λ = cν , temos:
p =
hν
c
ou p =
h
λ
(2.10)
Consideremos que os ele´trons do alvo estejam praticamente em repouso (a energia do
fo´ton de raio X e´ va´rias ordens de grandeza maior que a energia de ligac¸a˜o do ele´tron ao
a´tomo): Da conservac¸a˜o da energia, devemos ter:
E0︸︷︷︸
energia do fo´ton
+ m0c
2︸ ︷︷ ︸
energia de repouso
= E1 + E (2.11)
Da conservac¸a˜o da quantidade de movimento:
~p0 + 0 = ~p1 + ~p (2.12)
E0
c
~µ0 =
E1
c
~µ1 + ~p (2.13)
Mas,
E = E0 +m0c
2 − E1 (2.14)
E′ =
(
E0 +m0c
2 − E1
)′
(2.15)
E′ = (E0 − E1)′ − 2 (E0 − E1)m0c2 +m20c4 (2.16)
De (2.8), temos:
p2c2 +��
�
m2c4 = (E0 − E1)2 + 2 (E0 − E1)2m0c2 +���m20c4 (2.17)
E de (2.13), vem:
~p =
E0
c
µˆ0 − E1
c
µˆ1 (2.18)
~p · ~p =
(
E0µˆ0
c
− E1µˆ1
c
)
·
(
E0µˆ0
c
− E1µˆ1
c
)
=
(
E0
c
)2
− E0
c
· E1
c
(2.19)
cos(θ)− E0
c
· E1
c
(2.20)
cos(θ) +
(
E1
c
2)
(2.21)
16 Universidade Federal da Bahia
2.3. O EFEITO COMPTON
∆λ =
h(1− cos(θ))
m0c
(2.22)
Esta expressa˜o concorda muito bem com os resultados experimentais. O ma´ximo desvio
Compton ocorre para θ = pi rads.
∆λmax =
2h
m0c
= 4, 86× 10−12 m
= 0, 0486 A˚ (2.23)
Este valor ficou conhecido pelo nome histo´rico de comprimento de onda Compton dos
ele´trons.
Experimentos posteriores detectaram ele´trons ejetados do processo simultaneamente
com a incideˆncia da radiac¸a˜o, confirmando o valor da energia e a direc¸a˜o dos ele´trons es-
palhados. Ale´m da radiac¸a˜o espalhada em todas as direc¸o˜es, obedecendo a equac¸a˜o de
Compton, a experieˆncia mostra ainda a presenc¸a de radiac¸a˜o com aproximadamente o
mesmo comprimento de onda na mesma direc¸a˜o da radiac¸a˜o espalhada (radiac¸a˜o inalte-
rada). Isso pode ser explicado no desenvolvimento teo´rico. Foi considerado que as energias
dos ele´trons livres eram suficientemente pequenas quando comparadas a` energia do fo´ton
incidente para que esses ele´trons pudessem ser considerados em repouso. Essa radiac¸a˜o
tambe´m incide nos ele´trons mais internos que esta˜o fortemente ligados e que na˜o sa˜o eje-
tados, mas que transmitem o impacto ao a´tomo inteiro, o qual possui uma massa muito
maior que a do ele´tron. Para o Carbono, a massa e´ 22 mil vezes maior do que a do ele´tron
que e´ ejetado. Substituindo essa massa na expressa˜o do deslocamento Compton (??), re-
sulta em um valor muito pequeno para o desvio que na˜o e´ mensura´vel. Esse espalhamento
sem mudanc¸a no comprimento de onda havia sido calculado classicamente por Thomson
e recebeu o nome de espalhamento Thomsson. Nesse caso limite, a explicac¸a˜o cla´ssica e
quaˆntica da˜o o mesmo resultado.
06/04/2013
Para a radiac¸a˜o eletromagne´tica de ”grande”comprimento de onda (onda de ra´dio,
microondas e vis´ıvel), a energia do fo´ton e´ bem menor que a energia de ligac¸a˜o e predomina
o espalhamento Thomson. Para Raio X, o espalhamento Compton e´ mensura´vel e na
regia˜o dos raios gama, predomina o espalhamento Compton. A energia cine´tica do ele´tron
espalhado cresce com o aumento da frequeˆncia da radiac¸a˜o incidente. Podemos calcular a
raza˜o entre a energia cine´tica do ele´tron e a energia do fo´ton incidente. Da equac¸a˜o 1
E −m0c2︸ ︷︷ ︸
energia cine´tica do ele´tron espalhado
= E0 − E1 = hν0 − hν1 (2.24)
Ecine´rica = K
hν0
=
hν0 − hν1
hν0
=
ν0 − ν1
ν0
= 1− ν1
ν0
(2.25)
Mas c = λν .. ν = cλ :
K
hν1
= 1− λ1 − λ0
λ1
=
∆λ
λ1
=
∆λ
λ+ ∆λ
=
h
m0c
(1− cos(θ))
λ0 +
h
m0c
(1− cos(θ)) (2.26)
Como ∆λ e´ func¸a˜o do aˆngulo θ apenas, temos que quanto menor (maior energia do
fo´ton incidente), maior sera´ a raza˜o entre a energia cine´tica e a energia do fo´ton incidente,
Unidade I 17
CAPI´TULO 2. A TEORIA QUAˆNTICA DE EINSTEIN PARA O EFEITO
FOTOELE´TRICO
ou seja, quase toda a energia do fo´ton incidente e´ transformada em energia cine´tica do
fo´ton espalhado.
Exemplo 2.1 : Considere o efeito Compton para raios X com λ igual a 1,00 A˚ e raios
gama com λ igual a 1, 88× 10−2 A˚(de uma fonte de Cs137), observando o desvio Compton
a 90o.
Resoluc¸a˜o: Para raios X, temos:
∆λ =
h
m0c
·
(
1− cos(pi
2
)
)
=
6, 6× 10−34
9, 1× 10−31 · 3× 108 = 0, 024 A˚ (2.27)
Para raios X, temos:
K
hν0
=
0, 0243
1− 0, 0243 = 0, 0237 = 2, 37% (2.28)
Para raios γ
K
hν0
=
0, 0243
1, 88× 10−2 − 0, 0243 = 0, 564 = 56, 4% (2.29)
Ou seja, mais da metade da energia do fo´ton incidente e´ transformada em energia
cine´tica neste caso.
2.4 A Natureza Dual da Radiac¸a˜o Eletromagne´tica
Os resultados experimentais mostram que a radiac¸a˜o eletromagne´tica pode ter carac-
ter´ıstica ou ondulato´ria ou corpuscular a depender do experimento realizado. Os expe-
rimentos de difrac¸a˜o mostram resultados compat´ıveis com a teoria ondulato´ria, enquanto
que fenoˆmenos como o efeito fotoele´trico e o efeito Compton retratam da interac¸a˜o da
radiac¸a˜o com a mate´ria so´ sa˜o compat´ıveis com a teoria corpuscular. Este aspecto dual e´,
hoje, conhecido em muitas situac¸o˜es e plenamente estabelecido.
Outro efeito interessante que tambe´m mostra a natureza corpuscular da radiac¸a˜o e´ a
produc¸a˜o de raios X pelo choque de ele´trons em um alvo de metal duro como o Tungsteˆnio.
Considere o arranjo experimental seguinte:
Foto 3 (Aparato experimental)
Os ele´trons sa˜o acelerados ate´ uma energia cine´tica k = eV e subitamente desacelerados
quando se chocam com um alvo. A teoria eletromagne´tica preveˆ a emissa˜o de radiac¸a˜o de-
vido a` desacelerac¸a˜o ocupandoum espectro cont´ınuo com o comprimento de onda variando
de zero a infinito. Contudo, a experieˆncia mostra a existeˆncia de um comprimento de onda
mı´nimo que depende da ddp de acelerac¸a˜o.
Foto 4 (Gra´fico da intensidade x lambda, uma curva que surge em um lambda mı´nimo,
cresce ate´ um pico, e cai assintoticamente)
O ele´tron e´ desacelerado do choque com os a´tomos pesados do alvo. Se considerarmos
que a quantidade de energia transmitida ao a´tomo e´ pequena por causa de sua grande
massa, a quantidade de energia cine´tica perdida pelo ele´tron deve ser igual a` energia dos
raios X emitidos.
O ele´tron pode perder energia cine´tica em um ou va´rios choques consecutivos com
diferentes a´tomos, de forma que raios X com diferentes comprimentos de onda podem ser
emitidos.
18 Universidade Federal da Bahia
2.4. A NATUREZA DUAL DA RADIAC¸A˜O ELETROMAGNE´TICA
Adotando o modelo corpuscular para o raio X emitido, a energia do fo´ton devera´ ser
igual a` diferenc¸a entre as energias cine´ticas do ele´tron antes e apo´s o choque.
hν = K −K ′
hc
λ
= K −K ′
hc
λmin
= K = eε (2.30)
Se a energia cine´tica do ele´tron for para zero em um u´nico choque, teremos k′ = 0
e o ma´ximo valor poss´ıvel para a energia do fo´ton de raio X correspondendo ao mı´nimo
valor de lambda. Esta expressa˜o esta´ de acordo com os resultados experimentais e tambe´m
pode ser usada para encontrar o valor de h/e a partir das medidas de lambda mı´nimo e do
potencial de acelerac¸a˜o.
Exemplo 2.2 : O comprimento de onda mı´nimo do raio X produzido pelo choque de um
ele´tron com energia de 40 keV vale 3, 11× 10−11 m. Estimar o valor de h/e.
λmin = 3, 11× 10−11
h
e
=
ελtextrmmin
c
=
40× 103 · 3, 11× 10−11
2, 99× 108 = 4, 147× 10
−15 V.s
Exemplo 2.3 : Em que comprimento de onda um radiador de cavidade a 6000 K irradia
mais por unidade de comprimento de onda?
Gra´fico da radiaˆncia com um ma´ximo em um lambda max
λmaxT = 2, 898× 10−3 m.K
λmax =
2, 858× 10−3
6000
= 4830 A˚
Exemplo 2.4 : Um filme fotogra´fico e´ feito com AgBr. Sob incideˆncia da luz, o AgBr e´
dissociado formando Ag (escura) e Br. A energia mı´nima para dissociar este composto e´ da
ordem de 10−19 J. Calcule o comprimento de onda de corte acima do qual na˜o sensibiliza
o filme.
Resoluc¸a˜o: A energia do fo´ton deve ser maior ou igual a` energia de dissociac¸a˜o.
λ <
hc
10−19
= 1, 99× 10−6m
Unidade I 19
CAPI´TULO 2. A TEORIA QUAˆNTICA DE EINSTEIN PARA O EFEITO
FOTOELE´TRICO
20 Universidade Federal da Bahia
Parte II
Segunda Unidade
21
Cap´ıtulo 3
A Teoria de Bohr para a Estrutura
Atoˆmica
3.1 O A´tomo de Thomson
(13/11/2013)
Os resultados experimentais acumulados ao longo dos anos ate´ 1910 permitiam concluir
que os a´tomos continham uma quantidade de cargas positivas igual ao nu´mero de ele´trons,
mas na˜o se sabia como essas cargas estavam distribu´ıdas no a´tomo.
O primeiro modelo da estrutura atoˆmica e´ devido a J. J. Thomson. Ele supoˆs que a
carga positiva estava uniformemente distribu´ıda em uma esfera de raio aproximadamente
igual a 10−10 m, valor estimado para o raio atoˆmico na e´poca. Os ele´trons estariam
espalhados no interior dessa distribuic¸a˜o de cargas positivas e poderiam se movimentar.
Suponhamos um a´tomo de Hidrogeˆnio. As cargas positivas tem, cada uma, valor igual
a` carga do ele´tron, −e, e estariam distribu´ıdas numa esfera de raio R. Consideremos que
um ele´tron em movimento esteja a uma distaˆncia r do centro em um determinado instante.
Pela Lei de Gauss, o campo ele´trico nesta posic¸a˜o e´ dado pela carga Q interna a` superf´ıcie
esfe´rica de raio r.
E =
1
4piε0
1
r2
(3.1)
q =
e
4
3piR
3
4
3
pir3 = e
r3
R3
(3.2)
Enta˜o:
E =
1
4piε0
e r
3
R3
r2
=
1
4piε0
e
R3
r (3.3)
A forc¸a ele´trica sobre o ele´tron (−e) sera´ radial de valor:
F = − 1
4piε0
e2
R3
r (3.4)
23
CAPI´TULO 3. A TEORIA DE BOHR PARA A ESTRUTURA ATOˆMICA
Forc¸a do tipo F = −kx que resulta em um movimento oscilato´rio com frequeˆncia
angular:
ω =
√
k/m (3.5)
e
k =
1
4piε0
e2
R3
' 2, 3× 102 N/m (3.6)
E resulta em uma frequeˆncia:
ν =
ω
2pi
=
1
2pi
√
k
m
' 2, 5× 1015 Hz (3.7)
...λ =
c
ν
= 1200A˚ (3.8)
Ou seja, a radiac¸a˜o emitida por esta carga oscilante estaria na regia˜o do ultravioleta
distante e seria em uma u´nica frequeˆncia. Contudo, a experieˆncia mostra a existeˆncia de
diversas linhas espectrais, em desacordo com este valor u´nico.
3.2 O A´tomo de Rutherford
Enerst Rutherford, em 1911, propoˆs um modelo para o a´tomo baseado nos resultados
experimentais do espalhamento de part´ıculas α por uma fina (aproximadamente 1µm)
laˆmina de ouro. Part´ıculas α (nu´cleo de He´lio) emitidas por uma fonte natural eram
colimadas e incidiam em um alvo, a folha de ouro. Um detector de ZnS (Sulfeto de Zinco)
cintila ao receber a part´ıcula espalhada em uma dada direc¸a˜o. O nu´mero de cintilac¸o˜es
por unidade de tempo e´ proporcional a` intensidade do feixe espalhado.
A probabilidade de encontrar uma part´ıcula espalhada em grande aˆngulo (θ > pi/2)
usando-se o modelo de Thomson para o a´tomo e´ extremamente baixa, praticamente zero. O
experimento realizado por Geiger e Marsden (assistentes de Rutherford), em 1909, mostrou
a presenc¸a de part´ıculas espalhadas para tra´s em quantidade mensura´vel.
Rutherford, enta˜o, propoˆs um novo modelo para o a´tomo. A carga positiva deveria ocu-
par uma pequena regia˜o no centro do a´tomo, sendo bastante concentrada. Uma part´ıcula
α incidente na direc¸a˜o do nu´cleo poderia, enta˜o, ser desviada pela repulsa˜o coulombiana
em grande aˆngulo.
Consideremos que as massas dos a´tomos do alvo sejam suficientemente grandes para que
possam ser consideradas em repouso quando interagirem com as part´ıculas α incidentes.
Tomemos a origem do sistema de refereˆncia como sendo o centro de um nu´cleo atoˆmico
do alvo. A forc¸a que age sobre a part´ıcula α ao se aproximar do nu´cleo e´ uma forc¸a
coulombiana, uma forc¸a central e, portanto, o momento angular L da part´ıcula em torno
do centro e´ constante. A regia˜o de interac¸a˜o e´ muito pequena e longe desta regia˜o podemos
considerar trajeto´rias retas. Considere a figura a seguir:
m e´ a massa da part´ıcula, ~v e´ a velocidade da part´ıcula antes da interac¸a˜o, ~v′ e´ a
velocidade apo´s a interac¸a˜o (| ~v |= v), b e´ o paraˆmetro de impacto, L = mvb e´ o momento
angular antes da interac¸a˜o e L′ = mv′b e´ o momento angular apo´s a interac¸a˜o.
A energia cine´tica antes da interac¸a˜o e´ igual a` energia cine´tica apo´s a interac¸a˜o:
24 Universidade Federal da Bahia
3.2. O A´TOMO DE RUTHERFORD
mv2
2
=
mv′2
2
(3.9)
v′ = v (3.10)
Vale a equac¸a˜o:
tg(θ) =
qQ
4piε0L
( m
2E
)1/2
(3.11)
tg
(
θ
2
)
=
qQ
4piε0mvb
(
��m
2��m
v2
2
)
(3.12)
tg
(
θ
2
)
=
qQ
4piε0mbv2
(3.13)
Observe que o aˆngulo de espalhamento depende do paraˆmetro de impacto.
Em um experimento t´ıpico, um feixe de part´ıculas incide no alvo. Consideremos que
N part´ıculas atingem o alvo e que existem n centros espalhadores por unidade de a´rea. O
detector detecta part´ıculas no entre θ e θ+ dθ correspondente a`s part´ıculas incidentes com
um paraˆmetro de impacto entre b e b+ db.
Diferenciando (3.13) com relac¸a˜o a b, obtemos:
1
2
1
cotg
(
θ
2
)dθ = − qQ
4piε0mv2
1
b2
db (3.14)
Observe que o aumento em b (db > 0) produz uma diminuic¸a˜o em θ dθ < 0.
As part´ıculas que estiverem entre b e b + db atravessara˜o a a´rea anular dσ = 2pibdb e
uma quantidade dN de part´ıculas sera˜o desviadas e sera˜o detectadas entre θ e θ + dθ. A
quantidade dN pode ser calculada como segue:
Suponha que o feixe de part´ıculas tenha uma secc¸a˜o A ao se chocarcom o alvo. Tere-
mos, enta˜o, N/A part´ıculas por unidade de a´rea chocando-se com o alvo. Existem n centros
espalhadores por unidade de a´rea e, portanto, n ·A centros espalhadores na secc¸a˜o do feixe
incidente. Cada centro espalhador contribui com uma a´rea dσ para as dN part´ıculas que
estara˜o entre θ e θ + dθ. Portanto, n · A · dσ corresponde a` a´rea apresentada pelos espa-
lhadores que produzira˜o espalhamento. O nu´mero de part´ıculas dN que sera˜o espalhadas
sera´, enta˜o:
dN =
N
A
n ·Adσ︸ ︷︷ ︸
a´rea equivalente dos centros espalhados que desviara˜o part´ıculas entre θ e θ+dθ
(3.15)
dN = Nndσ (3.16)
dσ =
dN
Nn
(3.17)
Contando-se dN e N em um certo intervalo de tempo na direc¸a˜o de θ e θ+dθ, teremos
a determinac¸a˜o experimental de dσ.
(18/11/2013)
Unidade II 25
CAPI´TULO 3. A TEORIA DE BOHR PARA A ESTRUTURA ATOˆMICA
Da equac¸a˜o (3.13),
b =
(
qQ
4piε0mv2
)
︸ ︷︷ ︸
k
cos (θ/2)
sen (θ/2)
(3.18)
Da equac¸a˜o (3.14)
db = − 1
2 cos2 (θ/2)
(
4piε0
qQ
mv2
)
︸ ︷︷ ︸
1/k
b2dθ (3.19)
Mas,
dσ = 2pibdb (3.20)
Substituindo (3.13) e (3.14) em (3.20):
dσ = 2pi
k cos (θ/2)
sen (θ/2)
(
− 1
2 cos2 (θ/2)
1
k
)
k2
cos (θ/2)
sen (θ/2)
dθ (3.21)
= −pi cos (θ/2)
sen3 (θ/2)
k2dθ (3.22)
= −pi cos (θ/2) sen (θ/2)
sen4 (θ/2)
k2dθ (3.23)
dσ =
pi
2
sen(θ)
sen4 (θ/2)
(
qQ
4piε0mv2
)2
|dθ| (3.24)
E =
qQ
4piε0rmin
(3.25)
rmin =
qQ
4piε0E0
(3.26)
A secc¸a˜o de choque dσ calculada por esta expressa˜o concordava bem com o valor expe-
rimental determinado pela equac¸a˜o 4, mostrando a validade do modelo.
Exerc´ıcio: Fazer o gra´fico de dσdθ da equac¸a˜o (3.24).
A expressa˜o (3.24) e´ va´lida enquanto a mı´nima distaˆncia entre a part´ıcula α e o centro
do nu´cleo for maior que o raio do nu´cleo. Caso contra´rio, a part´ıcula penetraria no nu´cleo.
A mı´nima distaˆncia (o perie´lio mı´nimo) pode ser calculada para as part´ıculas incidentes com
uma dada energia E considerando-se a situac¸a˜o em que a energia cine´tica e´ convertida em
energia potencial completamente. A energia cine´tica Ec pode ser aumentada ate´ a situac¸a˜o
em que a equac¸a˜o (3.24) produza valores de dσ que discordem dos valores experimentais,
determinados por contagem. Para esta energia, teremos uma estimativa do raio do nu´cleo.
O valor estimado por Rutherford foi de 10−14 m.
26 Universidade Federal da Bahia
3.3. A ESTABILIDADE DO A´TOMO
3.3 A Estabilidade do A´tomo
As investigac¸o˜es de Rutherford levaram a concluir que o nu´cleo atoˆmico estava confinado
em uma regia˜o cujo diaˆmetro era 104 vezes menor que o diaˆmetro atoˆmico. Os ele´trons
deveriam ocupar o espac¸o restante mas na˜o se sabia como os ele´trons estavam distribu´ıdos
neste espac¸o. O modelo planeta´rio para os ele´trons girando ao redor do nu´cleo e´ um
modelo mecanicamente esta´vel, onde a forc¸a centr´ıpeta e´ a pro´pria atrac¸a˜o coulombiana.
O movimento em o´rbita circular ou el´ıptica, contudo, e´ um movimento acelerado e o ele´tron
deveria irradiar energia eletromagne´tica com uma frequeˆncia correspondente a` frequeˆncia
da o´rbita. A energia eletromagne´tica irradiada teria de ser igual ao decre´scimo da energia
mecaˆnica e o ele´tron teria sua velocidade aumentada juntamente com a diminuic¸a˜o do raio
da o´rbita e acabaria por colapsar no nu´cleo. O tempo de vida de tal ele´tron foi calculado
em 10−12 s para uma o´rbita com raio inicial de 10−10 m.
A experieˆncia mostra que os a´tomos na˜o irradiam no estado natural e quando excitados,
por exemplo, por uma descarga ele´trica irradiam em determinadas frequeˆncias bem defini-
das bem caracter´ısticas daquelas substaˆncias que na˜o corresponde a` frequeˆncia calculada
para a o´rbita do sistema planeta´rio.
3.4 Os Espectros Atoˆmicos
Quando aquecemos um ga´s a altas temperaturas ou produzimos uma descarga ele´trica neste
ga´s, podemos observar uma luz emitida. Passando esta luz por um prisma ou por uma rede
de difrac¸a˜o, podemos observar que esta mesma luz e´ composta por diversos componentes
com diferentes comprimentos de onda bem definidos constituindo o que chamamos de
espectro de emissa˜o. O espectro de emissa˜o foi primeiro observado por Thomas Melvill
em 1752 com muito pouca resoluc¸a˜o e, em 1859, Kirchhoff e Bunsen descobriram que o
espectro de emissa˜o era caracter´ıstico do elemento qu´ımico.
Em 1802, William Wollaston observou algumas linhas escuras no espectro da luz do Sol
e em 1814, Fraunhofer descobre uma se´rie de linhas escuras no espectro solar que ficaram
conhecidas como as raias de Fraunhofer.
Verificou-se experimentalmente que a mesma linha espectral que aparece no espectro
de emissa˜o do ga´s aquecido ou excitado tambe´m aparece com uma linha escura quando se
faz a luz branca atravessar este ga´s quando este esta´ frio. Estas linhas escuras receberam
o nome de linhas do espectro de absorc¸a˜o. Obs: Nem toda linha do espectro de emissa˜o
aparece no espectro de absorc¸a˜o.
3.4.1 O Espectro do Hidrogeˆnio
Foi observado que as linhas espectrais do hidrogeˆnio atoˆmico H aparecem formando grupos
de linhas ou se´ries em que o espac¸amento entre as linhas vai diminuindo com a diminuic¸a˜o
do comprimento de onda ate´ se tornar um cont´ınuo. Na regia˜o do vis´ıvel, tem-se o seguinte
espectro:
Em 1885, Johann Balmer encontrou uma fo´rmula emp´ırica para esta se´rie de linhas
que tem o seu nome, Se´rie de Balmer com um erro de apenas 0,02%:
Unidade II 27
CAPI´TULO 3. A TEORIA DE BOHR PARA A ESTRUTURA ATOˆMICA
λn = c
n2
n2 − 4 (3.27)
n = 3, 4, 5, 6... (3.28)
c = 3645, 6A˚ (3.29)
(20/11/2013)
E´ mais comum utilizar-se o inverso do comprimento de onda (1890, Rydberg) onde
temos a expressa˜o:
1
λn
= RH
(
1
22
− 1
n2
)
, n = 3, 4, 5... Rh = 10973731, 6 m
−1 (3.30)
RH ficou conhecido como a constante de Rydberg para o Hidrogeˆnio. Foram descobertas
se´ries para o Hidrogeˆnio:
1. Se´rie de Lyman (UV)
1
λn
= RH
(
1
12
− 1
n2
)
, n = 2, 3, 4... (3.31)
2. Se´rie de Balmer (Vis´ıvel e UV pro´ximo)
1
λn
= RH
(
1
22
− 1
n2
)
, n = 3, 4, 5... (3.32)
3. Se´rie de Poshen (IV)
1
λn
= RH
(
1
32
− 1
n2
)
, n = 4, 5, 6... (3.33)
4. Se´rie de Brachett (IV)
1
λn
= RH
(
1
42
− 1
n2
)
, n = 5, 6, 7... (3.34)
5. Se´rie de Pfund (IV)
1
λn
= RH
(
1
52
− 1
n2
)
, n = 6, 7, 8... (3.35)
Temos, como fo´rmula geral:
1
λn
= RH
 1m2︸︷︷︸
define a se´rie
1
n2︸︷︷︸
define a linha na se´rie
 (3.36)
28 Universidade Federal da Bahia
3.4. OS ESPECTROS ATOˆMICOS
Os metais alcalinos possuem fo´rmulas parecidas:
1
λn
= RH
(
1
(m− a)2 −
1
(n− b)2
)
(3.37)
Onde a e b sa˜o constantes para determinada se´rie. m e´ fixo para determinada se´rie e n
e´ varia´vel.
Na˜o havia nenhum modelo teo´rico que permitisse a deduc¸a˜o dessas fo´rmulas. Todas
elas eram fo´rmulas emp´ıricas.
O primeiro modelo teo´rico de sucesso e´ devido a Niels Bohr, em 1913. Neste modelo,
Bohr usa algumas ideias cla´ssicas e novas ideias que envolvem a quantizac¸a˜o, influenciado
pelas ideias de Planck e Einstein. Bohr postulou a existeˆncia de estados estaciona´rios do
a´tomo nos quais na˜o ha´ emissa˜o de radiac¸a˜o. Estes estados correspondem a o´rbitas circu-
lares produzidas pelo campo de forc¸a central coulombiano (momento angular constante).
Como a forc¸a centr´ıpeta e a forc¸a ele´trica sa˜o iguais:
Fc = Fe (3.38)
mv2
�r
=
1
4piε0
e2
r�2
(3.39)
mv2 =
1
4piε0
e2
r
(3.40)
A energia potencial e´ o trabalho realizado pelo agente externo para levar o ele´tron do
infinito ao ponto de coordenada r:
Ep = − 1
4piε0
e2
r
(3.41)
A energia mecaˆnica e´ a soma da energia cine´tica com a potencial. Esta e´, enta˜o, de
(3.40)e (3.41):
Em =
mv2
2
+
(
− 1
4piε0
e
r
)
(3.42)
=
e2
8piε0r
− e
2
4piε0r
(3.43)
Em = − e
2
8piε0
1
r
(3.44)
Vemos, portanto, que o estado estaciona´rio de energia constante corresponde a uma
o´rbita de raio constante.
No processo de emissa˜o da radiac¸a˜o (luz) pelo a´tomo, deveria haver uma variac¸a˜o da
energia (diminuic¸a˜o) correspondente a` energia do fotos emitido.
Unidade II 29
CAPI´TULO 3. A TEORIA DE BOHR PARA A ESTRUTURA ATOˆMICA
hc
λ
= Ei − Ef (3.45)
= − e
2
8piε0
1
ri
−
(
− e
2
8piε0
1
rf
)
(3.46)
=
e2
8piε0
(
1
rf
− 1
ri
)
(3.47)
1
λ
=
[
e2
8piε0hc
]
︸ ︷︷ ︸
constante
(
1
4rf
− 1
ri
)
(3.48)
Esta expressa˜o tem a mesma forma da lei emp´ırica para 1/λ. Para que sejam equiva-
lentes, deveremos ter:
RH
n2
=
e2
8piε0ncrn
(3.49)
rn =
[
e2
8piε0ncRH
]
︸ ︷︷ ︸
a0 (valor mı´nimo da o´rbita)
n2 (3.50)
= a0n
2 (3.51)
A energia total pode ser expressa como:
Etotal = − e
2
8piε0a0n2
(3.52)
E a variac¸a˜o de energia ao passar de um estado En para um estado Em sera´:
En − Em = hνn→m (3.53)
hνn→m =
e2
8piε0a0
(
1
m2
− 1
n2
)
(3.54)
ou
1
λn→m
=
[
e2
8piε0hca0
]
︸ ︷︷ ︸
RH
(
1
m2
− 1
n2
)
(3.55)
O raio mı´nimo a0 foi determinado em func¸a˜o do valor experimental de RH . E´ poss´ıvel
expressa´-lo em termos de constantes fundamentais. Esperamos que para valores de n
muito grandes, os resultados devam coincidir com os valores cla´ssicos pelo Princ´ıpio da
Correspondeˆncia. Se considerarmos uma transic¸a˜o entre duas o´rbitas adjacentes, n+1→ n
quando n� 1, teremos o seguinte valor para a frequeˆncia de radiac¸a˜o emitida:
30 Universidade Federal da Bahia
3.4. OS ESPECTROS ATOˆMICOS
νn+1→n =
e2
8piε0a0h
(
1
n2
− 1
(n+ 1)2
)
(3.56)
=
e2
8piε0a0h
(
(m+ 12 − n2
(n+ 1)2n2
)
(3.57)
=
e2
8piε0a0n
2n+ 1
(n+ 1)2n2
(3.58)
Como n� 1,
νn+1→n =
e2
�84piε0a0h
�21
n3
(3.59)
νn+1→n =
e2
4piε0a0h
1
n3
(3.60)
Este valor de frequeˆncia para a radiac¸a˜o deve coincidir com o valor da frequeˆncia de
o´rbita, como preveˆ a teoria do Eletromagnetismo Cla´ssico.
O comprimento l da o´rbita e´ 2pir. Assim:
l = vr ⇒ 1
T
=
v
l
(3.61)
=
v
2pir
(3.62)
ν =
v
2pir
⇒ ν2 = v
2
(2pir)2
m
m
(3.63)
=
e2
4piε0r
4pi2r2m
(3.64)
ν2 =
e2
16pi3ε0r3m
(3.65)
Substituindo r por a0n
2:
ν2 =
e2
16pi3ε0ma30m
6
(3.66)
Igualando (3.66) a` frequeˆncia quaˆntica ao quadrado:
ν2n+1→n =
e4
16pi2ε20h
2a20n
6
(3.67)
e4
16pi2ε20h
2a20n
6
=
e2
16pi3ε0ma30m
6
(3.68)
e2
h2ε0
=
1
pia0m
(3.69)
a0 =
h2ε0
pie2m
(3.70)
Unidade II 31
CAPI´TULO 3. A TEORIA DE BOHR PARA A ESTRUTURA ATOˆMICA
Vemos assim que a0 e´ func¸a˜o das constantes fundamentais. Substituindo os valores,
encontramos a0 = 0.529 A˚.
A constante de Rydberg tambe´m pode ser expressa em termos das constantes funda-
mentais, pois:
RH =
e2
8pihcε0a0
(3.71)
=
e2
8pihcε0
h2ε0
pie2m
(3.72)
=
me4
8cε20h
3
≈ 109600× 102 m−1 (3.73)
O desenvolvimento teo´rico foi realizado a partir de uma comparac¸a˜o com a fo´rmula
emp´ırica da se´rie de Balmer e isso nos leva a uma consequeˆncia importante nos poss´ıveis
valores para o momento angular:
L = mvr (3.74)
L2 =
me2
4piε0
r (3.75)
Mas, como r = a0n
2:
L2 =
me2
4piε0
h2ε0
pie2m
n2 (3.76)
L2 =
h2
4pi2
n2 (3.77)
L =
nh
2pi
= n} (3.78)
Com n ∈ N∗.
Desta maneira, conclu´ımos pela quantizac¸a˜o do momento angular.
(25/11/2013)
n
h
2pi
= p · r (3.79)
p =
L
r
=
nh/2pi
n2a0
(3.80)
O modelo atoˆmico de Bohr pode ser ”deduzido”se procedermos no sentido inverso,
postulando treˆs itens fundamentais:
1. No a´tomo existem determinados estados estaciona´rios de energia em que o a´tomo na˜o
irradia. O estado natural ou estado fundamental e´ o estado de energia mais baixa.
Estes estados estaciona´rios podem ser calculados classicamente usando a Mecaˆnica
Newtoniana e a Lei de Coulomb em um sistema de o´rbitas circulares.
32 Universidade Federal da Bahia
3.5. ESTADOS DE ENERGIA NO A´TOMO
2. Os estados estaciona´rios sa˜o aqueles que correspondem a` quantizac¸a˜o do momento
angular que limita os raios das o´rbitas a valores discretos:
L = n
h
2pi
= mv︸︷︷︸
p
r (3.81)
3. Quando o ele´tron passa de um estado estaciona´rio de energia En para um outro Em
com Em > En e´ emitido um fo´ton
νn→m =
En − Em
h
(3.82)
A energia do estado fundamental (n = 1) para o Hidrogeˆnio vale:
E1 =
−l2
4piε0
1
2a0
= −13, 6 eV(1 eV = 10−19 V) (3.83)
13,6 eV e´ a energia que devemos fornecer ao ele´tron no estado fundamental para separa´-
lo do nu´cleo, ou seja, a energia de ionizac¸a˜o. Enquanto o ele´tron estiver ligado ao a´tomo,
sua energia estara´ quantizada com valor En. Apo´s absorver 13,6 eV, o ele´tron estara´ livre
e qualquer energia maior que este valor tera´ a diferenc¸a E − 13, 6 eV transformada em
energia cine´tica do ele´tron livre.
Ao voltar para o estado fundamental (-13,6 eV), sera´ emitido um fo´ton de luz corres-
pondente ao espectro discreto do ele´tron ligado, ou ao espectro cont´ınuo do ele´tron livre.
3.5 Estados de Energia no A´tomo
A ideia da quantizac¸a˜o dos estados de energia surgiu com Planck no estudo da radiac¸a˜o
do corpo negro. Foi considerada por Bohr no seu modelo do a´tomo com um ele´tron e,
provavelmente, poderia ser estendida para outros a´tomos, pois o comportamento de emissa˜o
de linhas espectrais e´ comum a todos os elementos.
Frank e Hertz demonstraram, em 1914, de modo direto, que os a´tomos absorvem energia
de modo seletivo - somente em determinados valores. A energia absorvida era proveniente
de ele´trons em movimento, cuja energia cine´tica era absorvida pelo ga´s do a´tomo estudado,
apenas quando a energia era de determinados valores. O arranjo experimental e´ mostrado
a seguir:
O filamento aquece o ca´todo que emite ele´trons. Os ele´trons sa˜o acelerados pela ddp
existente entre A e C. Alguns ele´trons passam pelos furos do aˆnodo e chegam a` placa
passando pelo amper´ımetro, onde a corrente pode ser medida.
(02/12/2013)
Foi encontrada a seguinte expressa˜o para a energia:
E =
−MZ2e4
(4piε0)22n2}2
[
1 +
α2Z2
n
(
1
nθ
− 3
4n
)]
(3.84)
Onde M e´ a massa reduzida, Z e´ o nu´mero atoˆmico, α e´ a constante de estrutura fina
(nu´mero puro) e vale:
Unidade II 33
CAPI´TULO 3. A TEORIA DE BOHR PARA A ESTRUTURA ATOˆMICA
α =
1
4piε0
e2
}
= 7, 297× 10−3 ≈ 1
137
(3.85)
E nθ pode assumir valores de 1 a n.
3.5.1 Representac¸a˜o dos Nı´veis de Energia
Apesar da grande quantidade de subn´ıveis de energia, nem todas as transic¸o˜es sa˜o observa-
das experimentalmente, apenas transic¸o˜es em que nθi−nθf = ±1. Isto e´ chamado de Regra
de Selec¸a˜o. Esta regra seleciona entre todas as transic¸o˜es previstas pela teoria e quais as
que realmente ocorrem, e nem sempre se encontram numa raza˜o para uma determinada
regra de selec¸a˜o.
3.5.2 O Princ´ıpio da Correspondeˆncia
Enunciado por Bohr em 1923, este princ´ıpio tenta fazer o elo de ligac¸a˜o entre a Teoria
Quaˆntica e a F´ısica Cla´ssica. E´ composto de duas partes:
1. As previso˜es da Teoria Quaˆntica para o comportamento de um sistema f´ısico devem
coincidir com as previso˜es da f´ısica cla´ssica no limite em que os nu´meros quaˆnticos
que especificam o sistema sejam muito grandes.
2. Uma determinada regra de selec¸a˜o deve ser va´lida para qualquer valor do nu´mero
quaˆntico, de forma que as regras de selec¸a˜o usadas para obter a correspondeˆncia no
limite cla´ssico tambe´m devem se aplicar no limite quaˆntico.
Asegunda parte do princ´ıpio da correspondeˆncia nem sempre esta´ de acordo com as
observac¸o˜es experimentais. Por exemplo, no modelo de Bohr para o a´tomo de Hidrogeˆnio,
na˜o e´ necessa´rio se adotar uma regra de selec¸a˜o nθf −nθi = 1 para que a frequeˆncia da luz
emitida numa transic¸a˜o corresponda ao valor cla´ssico quando n e´ muito grande; contudo,
se observa experimentalmente transic¸o˜es em que nθf − nθi 6= 1 quando n e´ pequeno.
34 Universidade Federal da Bahia
Cap´ıtulo 4
A Teoria Quaˆntica de Schro¨dinger
4.1 Part´ıculas e Ondas
4.1.1 Os Postulados de De Broglie
Da teoria do efeito Compton, vimos que a radiac¸a˜o eletromagne´tica podia ser tratada como
corpu´sculos (fo´tons) cuja energia e momento estavam relacionados por E = pc. Assim:
E = hν = h �
c
λ
= p�c (4.1)
p =
h
λ
(4.2)
Em 1923, Louis de Broglie apresentou uma nova ideia na sua tese de doutorado. Ele
postulou que, da mesma forma que uma radiac¸a˜o de comprimento λ possui um momento
p, uma part´ıcula de momento p deveria ter o comprimento de onda associado pela mesma
relac¸a˜o (4.2). Por exemplo, um ele´tron livre na˜o relativ´ıstico (com baixa velocidade) com
energia cine´tica tem seu momento p:
Ec =
1
2
mv2 (4.3)
=
p2
2m
(4.4)
p =
√
2mEc (4.5)
Logo, o comprimento de onda associado a este ele´tron seria:
λ =
h√
2mEc
(4.6)
Assim, um ele´tron com Ec = 100 eV tem λ = 1, 22 A˚, que e´ da ordem do espac¸amento
atoˆmico entre a´tomos num cristal simples, como, por exemplo, o NaCl. Por outro lado,
um pro´ton (mpro´ton = 1836×mele´tron) de mesma energia teria λ = 0, 028 A˚.
Em 1925 foi verificado por Davidson e Germer que um feixe de ele´trons incidindo em
uma amostra de Nı´quel policristalino deu origem a um feixe que defratava 50o com rela’c ao
ao feixe incidente da mesma forma que seria produzido por um feixe de raios X.
35
CAPI´TULO 4. A TEORIA QUAˆNTICA DE SCHRO¨DINGER
O espac¸amento entre os a´tomos de Nı´quel no cristal era de 2,15 A˚. O comprimento de
onda necessa´rio para produzir a difrac¸a˜o de Bragg (Raio X) seria de 1,65 A˚e o valor do
comprimento de onda calculado pela expressa˜o de De Broglie foi de 1,66 A˚.
De alguma forma o ele´tron apresentava um comportamento ondulato´rio ao interagir
com os a´tomos da rede cristalina, produzindo resultado ana´logo ao que seria produzido por
uma radiac¸a˜o eletromagne´tica.
4.1.2 Noc¸o˜es sobre Difrac¸a˜o de Raio X
Considere um arranjo cristalino de um mesmo tipo de a´tomo submetido a uma onda plana
de raios X.
Seja ϕ o aˆngulo formado pelo vetor de onda ~k (raio) e um plano cristalino escolhido entre
os diversos planos poss´ıveis. Ao incidir em cada a´tomo da rede, o campo ele´trico oscilante
da onda incidente coloca os ele´trons do a´tomo em oscilac¸a˜o com a mesma frequeˆncia. Esses
ele´trons oscilantes reemitem radiac¸a˜o em todas as direc¸o˜es. Um ponto externo, distante
quando comparado com o espac¸amento atoˆmico, recebe ondas de todos os a´tomos da rede
cristalina e todas estas ondas interferem naquele ponto.
Cada plano cristalino de uma famı´lia de planos paralelos ”reflete”radiac¸a˜o em todas as
direc¸o˜es. Consideremos a reflexa˜o com aˆngulo de reflexa˜o igual ao de incideˆncia. Nesta
situac¸a˜o, todos os raios refletidos (espalhados) estara˜o em fase e podemos representar
o processo por um u´nico raio incidente e refletido. Se considerarmos agora dois planos
cristalinos paralelos, uma parte da radiac¸a˜o incidente chega ao segundo plano ocorrendo o
mesmo processo. A radiac¸a˜o que chega ao segundo plano percorre uma maior distaˆncia e
portanto existe uma diferenc¸a de caminhos o´pticos. Se esta diferenc¸a de caminhos for um
mu´ltiplo do comprimento de onda teremos uma interfereˆncia construtiva se:
zd sin(ϕ) = mλ, m = 1, 2, 3... (4.7)
Isto e´ chamado de lei de Bragg. No caso do cristal de Ni, o espac¸amento de caminhos
o´pticos e´ 2l. A diferenc¸a sera´ 2d sin(ϕ) vale 0,91 A˚.
E para l = d sin(ϕ) observar uma interfereˆncia construtiva quando o feixe refletido esta´
a 50o com o feixe incidente:
2ϕ+ 50o = 180o (4.8)
ϕ = 65o (4.9)
Enta˜o:
λ =
2d sin(ϕ)
m
=
2× 0, 91× sin(65o)
m
(4.10)
Para m = 1⇒ λ = 1, 65 A˚ (4.11)
4.1.3 Detalhes do Experimento Davidson-Germer
Em V = 50 Volts e α = 50o apareceu um pico de detecc¸a˜o de ele´trons espalhados pela
equac¸a˜o
36 Universidade Federal da Bahia
4.2. A DUALIDADE ONDA-PARTI´CULA
λ =
h√
2mE
= 1, 66 A˚. (4.12)
Ja´ foram realizados experimentos de difrac¸a˜o com outras part´ıculas carregadas ou na˜o
e ate´ mesmo com feixes moleculares de Hidrogeˆnio e feixes de a´tomos de He´lio. Todos
eles mostravam as propriedades ondulato´rias das part´ıculas em movimento. Mais preci-
samente, mostram que as part´ıculas chegam ao anteparo detector com uma distribuic¸a˜o
na localizac¸a˜o ideˆntica a` figura de difrac¸a˜o de uma onda de mesmo comprimento de onda
calculado de acordo com a relac¸a˜o de De Broglie:
λ =
h
p
(4.13)
(04/12/2013)
No mundo macrosco´pico, na˜o percebemos esses efeitos, pois λ e´ muito pequeno devido
ao fato de h ser pequeno e p ser relativamente grande para corpos macrosco´picos em
movimento. A figura de difrac¸a˜o produzida e´ impercept´ıvel nestas condic¸o˜es. E´ necessa´rio
ter uma quantidade de movimento pequena e uma estrutura difratante com espac¸amento
”compat´ıvel”com o comprimento de onda (condic¸o˜es da O´ptica F´ısica) para se observar o
efeito. Vale notar que a difrac¸a˜o de part´ıculas na˜o e´ um fenoˆmeno de interac¸a˜o coletiva
das part´ıculas. Foram feitas experieˆncias de difrac¸a˜o de ele´trons onde praticamente se
podia enviar um ele´tron de cada vez e se observou a chegada do ele´tron individualmente
no anteparo que, ao longo do tempo, formaram uma distribuic¸a˜o ideˆntica a` de uma figura
de difrac¸a˜o de uma onda eletromagne´tica.
4.2 A Dualidade Onda-Part´ıcula
Vimos, anteriormente, que a radiac¸a˜o eletromagne´tica pode apresentar um comportamento
ondulato´rio ou corpuscular a depender do experimento realizado. Da mesma forma, uma
part´ıcula apresenta comportamento corpuscular ou ondulato´rio tambe´m a depender do
experimento realizado.
Somos, portanto, levados a formular um modelo dual onda-part´ıcula em que as condic¸o˜es
experimentais definem o tipo de comportamento.
Vale notar, contudo, que durante a interac¸a˜o temos uma ou outra face da dualidade
mas na˜o ambas simultaneamente. Este fato experimental ficou explicitado no ”Princ´ıpio
da Complementaridade”de Bohr. ”Os modelos corpusculares e ondulato´rios sa˜o comple-
mentares. Se uma medida comprova o cara´ter corpuscular, esta mesma medida na˜o pode
provar o cara´ter ondulato´rio e vice-versa.
4.3 Pacotes de Ondas
De in´ıcio acreditava-se que a onda de De Broglie se propagava juntamente com a part´ıcula.
Por exemplo, uma part´ıcula livre de momento p seria representada por uma onda senoidal
do tipo
Ψ = A sin(kx− ωt), k = 2pi
λ
, λ =
h
p
, ω = 2piν (4.14)
Unidade II 37
CAPI´TULO 4. A TEORIA QUAˆNTICA DE SCHRO¨DINGER
Contudo, dois problemas apareceram.
1. A velocidade da fase da onda vf = λν pode ser calculada pela equac¸a˜o de De Broglie
e pela relac¸a˜o de Einsten.
E = hν...ν =
E
h
=
p2/2m
h
(4.15)
Enta˜o:
vf =
�k
�p
p�2
2m�h
=
p
2m
= �
�mv
2��m
=
v
2
(4.16)
Portanto, a onda se propagaria com metade da velocidade da part´ıcula
2. Uma onda com amplitude A constante na˜o poderia representar bem uma part´ıcula
localizada no espac¸o, uma vez que uma onda deste tipo se estende de −∞ a +∞ e e´
perio´dica no espac¸o e no tempo.
Estas duas dificuldades podem ser eliminadas se considerarmos uma onda com ampli-
tude modulada. A amplitude da onda deveria ser zero longe da part´ıcula e ser diferente
de zero nas vizinhanc¸as da part´ıcula. Ale´m disso, este ”pulso”deveria se propagar com a
mesma velocidade da part´ıcula.Um pulso desta forma pode ser descrito por uma superposic¸a˜o adequada de ondas via
transformada de Fourier, e, por isso, conhecido como um ”pacote de ondas”.
Vejamos um exemplo simples de superposic¸a˜o de duas ondas ligeiramente diferentes em
frequeˆncia e em comprimento de onda.
Ψ1 = A sin(kx− ωt) (4.17)
Ψ2 = A sin((k + dk)x− (ω + dω)t) (4.18)
Ψtotal = A
sin(kx− ωt︸ ︷︷ ︸
a
) + sin ((k + dk)x− (ω + dω)t)︸ ︷︷ ︸
b
 (4.19)
(4.20)
Como sin(a) + sin(b) = 2 sin
(
a+b
2
)
cos
(
b−a
2
)
:
Ψtotal = 2A
(
sin
(
(2k + dk)x− (2ω + dω)t
2
))
cos
(
(2kx− dωt)
2
)
(4.21)
Ψtotal ≈ 2A sin(kx− ωt) cos
(
dkx− dωt)
2
)
(4.22)
Para um tempo t fixo (uma foto), temos a seguinte representac¸a˜o:
A velocidade com que a amplitude modulada se move (do ”pacote”) e´ conhecida como
”velocidade de grupo”vg e e´ dada por:
vg =
dω
dk
(4.23)
A velocidade de grupo e´ a velocidade da part´ıcula.
Apesar do pacote de onda solucionar os dois problemas anteriores, ainda restam questo˜es
a ser compreendidas:
38 Universidade Federal da Bahia
4.3. PACOTES DE ONDAS
• Qual o significado f´ısico desta onda?
• Qual e´ a forma real desta onda?
• Como esta onda evolui no tempo no caso de uma part´ıcula na˜o-livre? Ou seja, quando
a part´ıcula esta´ submetida a um determinado campo de forc¸a representado pela sua
func¸a˜o Energia Potencial?
As primeiras respostas a estas questo˜es comec¸am com os trabalhos de Erwin Schro¨dinger
(Escola Polite´cnica Federal de Zurich).
Por solicitac¸a˜o de Debye, Schro¨dinger deveria apresentar um colo´quio (palestra) sobre a
teoria de De Broglie para que tivessem uma melhor compreensa˜o da teoria. Experimentos
ja´ haviam mostrado a necessidade do comportamento ondulato´rio, mas a teoria ainda era
insipiente. De in´ıcio, Schro¨dinger procurou encontrar uma ”Equac¸a˜o de Ondas”para as
Ondas de Mate´ria de De Broglie, correspondente aos estados estaciona´rios de energia,
baseando-se nas equac¸o˜es de ondas do eletromagnetismo cla´ssico.
Para uma part´ıcula livre na˜o relativ´ıstica, propagando-se no eixo OX com p = h/λ = }k
e a energia total e´ a pro´pria energia cine´tica E = p2/2m. Sabe-se do Eletromagnetismo
que:
(∇2 + k2)Ψ(x) = 0 (4.24)
Como
∇2φ = ∂
2φ
∂x2
+
∂2φ
∂y2
+
∂2φ
∂z2
(4.25)
Temos que:
∇2Ψ = ∂
2Ψ
∂x2
(4.26)
Enta˜o, (4.24) fica:
∂2Ψ(x)
∂x2
= −k2Ψ(x) (4.27)
Como k = p/}, fica:
∂2Ψ(x)
∂x2
= −p
2
}2
Ψ(x) (4.28)
Ja´ que E = p2/2m, encontramos, finalmente:
∂2Ψ(x)
∂x2
= −2mE
}2
Ψ(x) (4.29)
Esta equac¸a˜o ficou conhecida como a Equac¸a˜o de Schro¨dinger na˜o-relativ´ıstica para
uma part´ıcula de massa m.
A pro´xima situac¸a˜o e´ considerar que a part´ıcula esta´ submetida a um campo de forc¸a
de forma que sua energia total seja a soma da energia cine´tica com a potencial.
Para encontrar a equac¸a˜o de ondas deste caso, Schro¨dinger apelou para a analogia
O´ptico-Mecaˆnica descoberta por Hamilton. Pelas leis da Mecaˆnica Cla´ssica, a trajeto´ria
Unidade II 39
CAPI´TULO 4. A TEORIA QUAˆNTICA DE SCHRO¨DINGER
de uma part´ıcula em um campo de forc¸as com um potencial V (x) e´ ideˆntica a` trajeto´ria
de um raio de luz em um meio de ı´ndice de refrac¸a˜o varia´vel dado por:
n(x) =
√
1− V (x)
E
(4.30)
De acordo com as leis da O´ptica Geome´trica.
Ora, a equac¸a˜o da onda eletromagne´tica no caso estaciona´rio em um meio de ı´ndice
varia´vel e´ dada por:
(∇2 + n2(x)K20 )Ψ(x) = 0 (4.31)
Onde K0 e´ o nu´mero de onda no va´cuo (equivalente a` part´ıcula livre):
K20 =
(p0
}
)2
=
2mE
}2
(4.32)
Mas p0 = 2mE/}2, enta˜o:
[
∇2 +
(
1− V (x)
��E
)
2m��E
}2
]
Ψ(x) = 0[
− }
2
2m
∂2
∂x2
+ V (x)
]
Ψ(x) = E(x) (4.33)
(4.34)
Em geral: [
− }
2
2m
∇2 + V (x, y, z)
]
Ψ(x, y, z) = E(x, y, z) (4.35)
Esta e´ a equac¸a˜o diferencial de onda para o estado estaciona´rio para uma part´ıcula em
um campo de forc¸a de potencial V (x, y, z)
09/12/2013
O pro´ximo passo consiste em considerar situac¸o˜es em que a energia potencial dependa
da posic¸a˜o e do tempo (V = V (x, t)). Por exemplo, em um sistema de va´rias part´ıculas
interagentes em movimento, a energia potencial na˜o depende apenas da posic¸a˜o, uma vez
que a posic¸a˜o relativa entre as part´ıculas varia com o passar do tempo.
A busca da equac¸a˜o de ondas, neste caso, torna-se mais complexa e, qualquer que seja
o resultado encontrado, este so´ se justifica se for compat´ıvel com as observac¸o˜es experi-
mentais.
Uma poss´ıvel equac¸a˜o de ondas deve possuir algumas caracter´ısticas importantes:
1. Deve ser compat´ıvel com as relac¸o˜es de De Broglie e Einstein:
λ =
h
p
(
K =
2pi
λ
)
(4.36)
ν =
E
h
(ω = 2piν) (4.37)
40 Universidade Federal da Bahia
4.3. PACOTES DE ONDAS
2. Deve ser consistente com a equac¸a˜o da energia total:
E =
p2
2m
+ V (x, t) (4.38)
3. Deve ser linear na equac¸a˜o de onda Ψ(x, t), ou seja, a combinac¸a˜o linear de poss´ıveis
soluc¸o˜es deve ser uma soluc¸a˜o. Esta linearidade e´ necessa´ria para permitir a inter-
fereˆncia ou superposic¸a˜o das func¸o˜es de onda para ser compat´ıvel com os resultados
experimentais, como o experimento de Davidson e Germer
Como no caso da part´ıcula livre (caso particular), combinaremos as condic¸o˜es 1 e 2:
hν =
(hλ)
2
2m
+ V (x, t)
hω
2pi
=
h k2pi
2m
+ V (x, t)
}2k2
2m
= }ω − V (x, t) (4.39)
Em analogia com a teoria Eletromagne´tica, onde e´ comum se utilizar a notac¸a˜o com-
plexa para uma onda harmoˆnica, faremos a hipo´tese que um pacote de ondas que representa
o caso particular da part´ıcula livre possa ser descrito como uma superposic¸a˜o conveniente
de ondas do tipo:
Ψ(x, t) = Aei(kx−ωt) (4.40)
pacote =
∑
αiΨi(x, t) (4.41)
Observemos que
∂Ψ
∂x
= Aikei(kx−ωt) (4.42)
∂2Ψ
∂x2
= A(ik)2ei(kx−ωt) = −k2Aei(kx−ωt)
∂2Ψ
∂x2
= −k2Ψ(x, t) (4.43)
e
∂Ψ
∂t
= −iωAei(kx−ωt) = −iωΨ(x, t) (4.44)
A equac¸a˜o de ondas mais simples que pode ser montada com estas derivadas e com-
pat´ıvel com a equac¸a˜o (4.39):
}
2m
1
Ψ(x, t)
∂2Ψ
∂x2
(4.45)
Unidade II 41
CAPI´TULO 4. A TEORIA QUAˆNTICA DE SCHRO¨DINGER
E´ importante frisar que esta equac¸a˜o diferencial envolve uma segunda derivada com
relac¸a˜o ao espac¸o e uma primeira derivada com relac¸a˜o ao tempo, sendo, portanto, diferente
da equac¸a˜o de ondas do eletromagnetismo onde ambas as derivadas sa˜o de segunda ordem.
Uma outra maneira de ”construir”esta equac¸a˜o consiste em partir da equac¸a˜o da energia
(4.38) multiplicando por Ψ:
p2
2m
Ψ + V (x, t)Ψ = EΨ (4.46)
e fazer a hipo´tese de que p e E podem ser substitu´ıdos pelos operadores diferenciais a
seguir:
p ⇐⇒ −i}∇ (4.47)
E ⇐⇒ i} ∂
∂t
(4.48)
Entendendo que
p2Ψ ⇐⇒ (−i}∇)(−i}∇)Ψ
p2Ψ ⇐⇒ −}2∇Ψ (4.49)
Conforme dito anteriormente, a equac¸a˜o de Schro¨dinger so´ se justifica pela comparac¸a˜o
de seus resultados com os resultados experimentais. Muitos problemas f´ısicos resolvidos
pela equac¸a˜o de Schro¨dinger concordam bem com os resultados experimentais.
Restam, ainda, duas questo˜es importantes a ser respondidas.
1. Qual e´ o significado f´ısico da func¸a˜o de onda?
2. Como associar os resultados das medidas f´ısicas a esta func¸a˜o?
Experimentos de difrac¸a˜o de ele´trons realizados com muito baixa intensidade onde,
praticamente, um ele´tron de cada vez e´ liberado em direc¸a˜o ao alvo, mostraram que o
ele´tron difratado chegam ao anteparo detector um de cada vez, distribuindo-se ao longo
do tempo como em uma figura de difrac¸a˜o. Cada ele´tron chega em uma posic¸a˜o diferente
no anteparo, mas chegam com maior frequeˆncia nas regio˜es correspondentes aos picos de
intensidade calculados pela teoria ondulato´ria. Em outras palavras, existe uma distribuic¸a˜o
deprobabilidades do ele´tron chegar em um determinado ponto do anteparo.
Em 1928, Max Born deu uma interpretac¸a˜o probabil´ıstica a` func¸a˜o de onda: ”A proba-
bilidade P (x)dx de encontrar uma part´ıcula na posic¸a˜o x entre x e x+ dx em um instante
t e´ igual ao quadrado do mo´dulo da func¸a˜o de onda vezes dx”. Assim:
P (x)dx︸ ︷︷ ︸
probabilidade
= |Ψ(x)|2dx (4.50)
A func¸a˜o de onda Ψ(x, t) deve satisfazer a equac¸a˜o de Schro¨dinger que e´ uma equac¸a˜o
de varia´veis complexas. Portanto, em geral, a func¸a˜o de onda e´ uma func¸a˜o complexa, com
parte real e parte imagina´ria.
A interpretac¸a˜o probabil´ıssima de Born associa a densidade de probabilidades (proba-
bilidade por unidade de comprimento) ao quadrado do mo´dulo da func¸a˜o de onda que e´
42 Universidade Federal da Bahia
4.4. O PRINCI´PIO DA INCERTEZA
uma grandeza real positiva dependente da parte real e da parte imagina´ria da func¸a˜o de
onda.
|Ψ(x)|2 = Ψ∗(x, t)Ψ(x, t) (4.51)
A interpretac¸a˜o probabil´ıstica impo˜e uma restric¸a˜o na func¸a˜o de onda. O fato da soma
de todas as probabilidades de encontrar a part´ıcula na posic¸a˜o x (para todos os valores de
x ter que ser igual a` unidade) impo˜e que:
∞∫
−∞
|Ψ|2dx = 1 (4.52)
Essa condic¸a˜o e´ conhecida como Condic¸a˜o de Normalizac¸a˜o.
(11/12/2013)
4.4 O Princ´ıpio da Incerteza
Vimos que a func¸a˜o de onda que descreve o estado da part´ıcula nos da´ a densidade de
probabilidade de encontrar a part´ıcula em uma determinada posic¸a˜o em um certo instante
de tempo.
Para determinarmos a posic¸a˜o de uma part´ıcula, ou seja, para realizarmos uma medida
da posic¸a˜o, e´ necessa´rio interagir com a part´ıcula. Em outras palavras, para ”enxergar”a
posic¸a˜o de um objeto e´ necessa´rio enviar luz (radiac¸a˜o) para este objeto e detectar a luz
espalhada pelo mesmo. Quando a luz interage com uma part´ıcula, alguma quantidade de
movimento e energia e´ transferida para a part´ıcula, alterando o seu estado inicial que, em
princ´ıpio, e´ desconhecido. A luz espalhada pela part´ıcula chegara´ a um detector onde,
fatalmente, sofrera´ algum processo de difrac¸a˜o. O detector pode ser o olho ou algum
dispositivo sens´ıvel que localize a luz em uma pequena regia˜o do espac¸o (por exemplo, um
pequeno orif´ıcio em frente a um material fotossens´ıvel. Para localizarmos a part´ıcula com
precisa˜o no espac¸o, devemos interagir o mı´nimo poss´ıvel com ela. Caso contra´rio, esta
mudara´ seu estado inicial. Isso pode ser realizado se incidirmos luz cujos fo´tons possuam
muito pouca energia.
Efo´ton = hν =
hc
λ
(4.53)
Ou seja, fo´tons com grande comprimento de onda. Estes fo´tons espalhados pela part´ıcula
saira˜o em determinada direc¸a˜o e chegara˜o ao detector. Ao passar pelo orif´ıcio do detec-
tor, sera´ formada uma figura de difrac¸a˜o tanto maior quanto maior for o comprimento de
onda, ou seja, a imagem sera´ mais ”borrada”. Assim, ao interagir pouco com a part´ıcula,
aumentamos a incerteza da sua visualizac¸a˜o. Vejamos uma ana´lise quantitativa:
Suponhamos que desejemos localizar a posic¸a˜o y de um ele´tron em um feixe de ele´trons
paralelos como na figura. Para isso, utilizaremos uma fenda estreita de largura ∆y e
apenas os ele´trons que estiverem entre y e y+∆y atravessara˜o a fenda e sera˜o detectados no
anteparo a` direita. Ao ser selecionado pela fenda, o feixe de ele´trons sofrera´ um processo de
Unidade II 43
CAPI´TULO 4. A TEORIA QUAˆNTICA DE SCHRO¨DINGER
difrac¸a˜o e chegara´ ao anteparo com maior probabilidade na regia˜o limitada pelos primeiros
mı´nimos da figura de difrac¸a˜o. Antes de passar pela fenda, o feixe tinha um momento ~p:
~p = pxiˆ (4.54)
Apo´s localizarmos um ele´tron no feixe medindo a coordenada y de um ele´tron do feixe
passando pela fenda, o mesmo passa a ter uma componente de momento na direc¸a˜o jˆ,
podendo ter qualquer valor entre −py1 e +py1, correspondente a` regia˜o de maior proba-
bilidade. Da teoria da difrac¸a˜o, a posic¸a˜o do primeiro mı´nimo ate´ o centro da figura de
difrac¸a˜o vale λl∆y , pois:
sin(θ) ≈ tan(θ) =
λl
∆y
l
=
λ
∆y
(4.55)
Antes de passar pela fenda, py era zero, de forma que o ele´tron que chega ao primeiro
mı´nimo sofreu uma variac¸a˜o ∆py = py1 − 0. Mas,
py1 = p sin(θ) = p
λ
∆λ
(4.56)
Assim, temos:
∆py = p
λ
∆y
(4.57)
Mas, pela expressa˜o de DeBroglie,
λ =
h
p
∆py =
h
∆y
∴ ∆py∆y = h (4.58)
Se aumentarmos a certeza na localizac¸a˜o y do ele´tron (∆y → 0), aumentamos a incer-
teza ∆py (∆py →∞), a componente do momento associado a` esta varia´vel.
Enquanto que, classicamente, podemos reduzir a perturbac¸a˜o do ato de medir, fazendo
medidas mais delicadas, quanticamente isto na˜o e´ poss´ıvel. O ato de medir perturba o
sistema de modo irrepara´vel. Ao ganharmos informac¸a˜o sobre o valor de uma coordenada,
perdemos informac¸a˜o no momento associado a` esta coordenada.
Observemos que, ao representarmos uma part´ıcula livre de momento ~p pela func¸a˜o de
onda:
Ψ(x, t) = Aei(kx−ωt) (4.59)
(Verifique que satisfaz a equac¸a˜o de Schro¨dinger) Encontraremos que:
P (x) = |Ψ(x, t)|2 = A2 (4.60)
Ou seja, a densidade de probabilidade e´ independente de x. A certeza do valor de ~p
(k na equac¸a˜o de onda), corresponde a` incerteza do valor de x (a part´ıcula pode estar em
qualquer posic¸a˜o).
44 Universidade Federal da Bahia
4.5. OS VALORES ESPERADOS DE UMA GRANDEZA
4.5 Os Valores Esperados de uma Grandeza
Como mencionamos anteriormente, o resultado de uma medida realizado num sistema mi-
crosco´pico deve ser compreendido em termos probabil´ısticos. Por exemplo, no experimento
de Davidson e Germer, um ele´tron pode chegar em qualquer posic¸a˜o, com excec¸a˜o dos pon-
tos de mı´nimo no anteparo-detector, mas determinados pontos sera˜o atingidos com mais
frequeˆncia do que outros pontos, originando um distribuic¸a˜o de probabilidades.
A partir da interpretac¸a˜o probabil´ıstica da func¸a˜o de onda devido a Born, podemos
calcular o valor me´dio ou o valor esperado para a medida de uma grandeza f´ısica que seja
observa´vel.
Assim, o valor me´dio da posic¸a˜o de uma part´ıcula,
x =< x > =
∞∫
−∞
xP (x)dx (4.61)
=
∞∫
−∞
x|Ψ(x, t)|2dx (4.62)
=
∞∫
−∞
xΨ∗(x, t)Ψ(x, y)dx =
∞∫
−∞
Ψ∗(x, t)xΨ(x, t)dx (4.63)
De modo semelhante, podemos calcular o valor me´dio de uma grandeza f´ısica depen-
dente de x, f(x) como:
< f(x) >=
∞∫
−∞
Ψ∗f(x)Ψ(x, y)dx (4.64)
Os valores me´dios do momento p(x) e da energia E podem ser calculados utilizando as
expresso˜es dos operadores p e E. Vimos que a equac¸a˜o de Schro¨dinger poderia ser escrita
pela aplicac¸a˜o desses operadores na equac¸a˜o da energia total.
p ↔ −i} ∂
∂x
(4.65)
E ↔ i} ∂
∂t
(4.66)
Deste modo, o p me´dio fica:
< p > =
∞∫
−∞
Ψ∗(x, t)p(x)Ψ(x, t)dx (4.67)
=
∞∫
−∞
Ψ∗(x, t)
(
−i} ∂
∂x
)
Ψ(x, t)dx (4.68)
= −i}
∞∫
−∞
Ψ∗(x, t)
∂Ψ(x, t)
∂x
dx (4.69)
Unidade II 45
CAPI´TULO 4. A TEORIA QUAˆNTICA DE SCHRO¨DINGER
A posic¸a˜o da derivac¸a˜o dentro da integral e´ importante neste caso. Na˜o teria sentido
escrever:
1.
∞∫
−∞
Ψ∗Ψ
∂
∂x
dx (4.70)
2.
∞∫
−∞
∂
∂x
[Ψ∗Ψ] dx = Ψ∗Ψ]∞−∞ (4.71)
= |Ψ|2]∞−∞
= P (x)]∞−∞
= 0− 0
Pois, considerando que, para problemas f´ısicos, a densidade de probabilidade deve ser
nula em ∞ ou −∞, encontrar´ıamos p = 0 sempre.
A troca de ordem de Ψ(x) ∂∂x com Ψ(x)
∂
∂xΨ
∗(x) produz apenas uma troca no sinal de
p me´dio, e na˜o tra´s nenhuma informac¸a˜o f´ısica adicional.
< E > =
∞∫
−∞
Ψ∗(x, t)
[
i}
∂
∂t
]
Ψ(x, t)dx (4.72)
= i}
∞∫
−∞
Ψ∗(x, t)
∂
∂t
Ψ(x, t)dx (4.73)
Ou, utilizando a equac¸a˜o da energia escrita em termos dos operadores:
E =
p2
2m
+ V (x, t) (4.74)
< E > =
∞∫
−∞
Ψ∗(x, t)
[
− }
2
2m
∂2
∂x2
+ V (x, t)
]
Ψ(x, t)dx (4.75)
Pode-se generalizar