MONOGRAFIA ANALISE E DIMENSIONAMENTO DE LAJE LISA EM CONCRETO ARMADO DANICLER BAVARESCO

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
DANICLER BAVARESCO 
 
 
 
 
 
ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO DE LAJES LISAS EM 
CONCRETO ARMADO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MARINGÁ 
2010 
DANICLER BAVARESCO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO DE LAJES LISAS EM 
CONCRETO ARMADO 
 
 
 
Monografia apresentada como parte dos 
requisitos necessários para aprovação no 
componente curricular Trabalho de Conclusão do 
Curso de Engenharia Civil. 
 
 
 
 
Orientador: Prof. Dr. Rafael Alves de Souza 
 
 
 
 
 
MARINGÁ 
2010 
DANICLER BAVARESCO 
 
ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO DE LAJES LISAS EM CONCRETO 
ARMADO 
 
 
 
Monografia apresentada como parte dos 
requisitos necessários para aprovação no 
componente curricular Trabalho de Conclusão do 
Curso de Engenharia Civil. 
 
 
Aprovada em ____/_____/_______ 
 
 
 
 
 
BANCA EXAMINADORA 
 
 
_____________________________________________________ 
Prof. Dr. Rafael Alves de Souza (Orientador) 
 
 
_____________________________________________________ 
Prof. Dra. Anamaria Malachini Miotto Farah (Membro 1) 
 
 
_____________________________________________________ 
Prof. Dr. Carlos Humberto Martins (Membro 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aos meus pais, Darci e Delma, pelo esforço, 
dedicação e compreensão, em todos os momentos 
desta e de outras caminhadas. 
 
AGRADECIMENTOS 
 
 
 
A Deus, por ter me dado a capacidade e a oportunidade de escolher e trilhar meus 
caminhos. 
À Universidade Estadual de Maringá por proporcionar a oportunidade de minha 
graduação em Engenharia Civil. 
Ao meu orientador Rafael pelos sábios ensinamentos transmitidos e pelo incentivo, 
que muito contribuíram na elaboração deste trabalho. 
A todos os professores que contribuíram com a minha formação, pois sem eles não 
chegaria até aqui. 
Aos funcionários do DEC, pela disposição e dedicação. 
À Naiara, pelo apoio e compreensão ao longo de toda a caminhada. 
A todos os amigos e colegas do curso pela amizade e apoio que sempre manifestaram 
durante a convivência ao longo destes anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A mente que se abre a uma nova idéia jamais 
voltará ao seu tamanho original. 
Albert Einstein 
RESUMO 
 
 
 
Na atualidade, a tendência por maior liberdade de layout e vãos livres mais ousados 
tem levado ao aperfeiçoamento das técnicas construtivas. É nesse contexto que a laje lisa está 
inserida, apresentando inúmeras vantagens em relação ao sistema convencional, fazendo com 
que o estudo das mesmas seja cada vez mais importante. A NBR 6118/2003 permite a análise 
desse sistema estrutural através de uma modelo elástico simplificado, com redistribuição. O 
objetivo deste trabalho é verificar se o modelo de análise proposto pela norma se aproxima 
efetivamente de um modelo numérico e fazer o dimensionamento completo de uma laje lisa 
de pilares dispostos em filas ortogonais. Para isso, elaborou-se um pavimento tipo hipotético 
sobre o qual se obteve os diagramas de momentos fletores pelos procedimentos proposto pela 
norma, utilizando o Ftool, e comparou-os com os resultados obtidos pela análise da estrutura 
no programa SAP2000. Em seguida, fez-se o dimensionamento da mesma a flexão, a punção 
e ao colapso progressivo. Na análise dos esforços constatou-se que a modelagem proposta 
pela norma precisou de alguns ajustes para uma melhor aproximação ao modelo numérico. Já 
as armaduras obtidas foram compatíveis na maioria das regiões, ficando com área de aço 
abaixo da calculada utilizando um software de projeto em apenas uma região. 
 
Palavras-chave: Concreto. Lajes. Método dos Elementos Finitos. Dimensionamento. 
NBR6118.
LISTA DE FIGURAS 
Figura 2.1 – Laje maciça 17 
Figura 2.2 – Planta e corte de laje nervurada 18 
Figura 2.3 – Laje mista 18 
Figura 2.4 – Planta e corte de laje grelha 19 
Figura 2.5 – Laje pré-moldada 20 
Figura 2.6 – Planta e corte de laje cogumelo 20 
Figura 2.7 – Planta e corte de laje lisa 21 
Figura 2.8 – Esquema de laje lisa 21 
Figura 2.9 – Apoio contínuo 21 
Figura 2.10 – Detalhe do capitel 22 
Figura 2.11 – Tipo de armação 22 
Figura 3.1 – Punção central 25 
Figura 3.2 – Punção de canto 25 
Figura 3.3 – Ruína por punção em lajes lisas, perspectiva e corte 26 
Figura 3.4 – Zona de ruptura em lajes submetidas ao puncionamento, sem armadura 
transversal de punção. 26 
Figura 3.5 – Ruptura adjacente ao pilar 27 
Figura 3.6 – Ruptura de concreto e armadura transversal 27 
Figura 3.7 – Ruptura além da armadura de cisalhamento 27 
Figura 3.8 – Faixas de laje para distribuição dos esforços nos pórticos múltiplos 29 
Figura 3.9 – Perímetro crítico em pilares internos 33 
Figura 3.10 - Perímetro crítico em pilares de borda 35 
Figura 3.11 – Perímetro crítico em pilares de canto 36 
Figura 3.12 – Definição da altura útil no caso de capitel 37 
Figura 3.13 – Disposição da armadura de punção em planta e contorno da superfície crítica C”
 40 
Figura 3.14 – Disposição da armadura de punção em corte 41 
Figura 3.15 – Armadura contra colapso progressivo 42 
Figura 3.16 – Bordas livres e aberturas 44 
Figura 3.17 – Lajes sem vigas 45 
Figura 3.18 – Armaduras de punção em planta e corte 46 
Figura 4.1 – Planta da laje lisa 47 
8 
 
Figura 4.2 – Corte da laje lisa 47 
Figura 4.3 – Pórtico que será analisado 48 
Figura 5.1 – Modelagem do pórtico no Ftool 51 
Figura 5.2 – Diagrama de Momento Fletor (kN.m) do pórtico 52 
Figura 5.3 – Modelo de viga da estrutura 52 
Figura 5.4 – Diagrama de Momento Fletor (kN.m) do modelo de viga 52 
Figura 5.5 – Faixas para distribuição dos momentos 53 
Figura 5.6 – Distribuição dos momentos no modelo de pórtico (kN.m/m) 54 
Figura 5.7 – Distribuição dos momentos no modelo de viga (kN.m/m) 54 
Figura 5.8 – Diagrama de Momento Fletor da faixa externa pelos modelos pórtico e viga 55 
Figura 5.9 – Diagrama de Momento Fletor da faixa interna pelos modelos pórtico e viga 55 
Figura 5.10 – Modelagem da estrutura no SAP2000 56 
Figura 5.11 – Diagrama de Momento Fletor (kN.m/m) 56 
Figura 5.12 – Faixas internas e externas do pórtico equivalente 57 
Figura 5.13 – Divisão das faixas 57 
Figura 5.14 – Diagrama de Momentos Fletores da faixa externa 57 
Figura 5.15 – Digrama de Momentos Fletores da faixa interna 58 
Figura 5.16 – Média ponderada dos momentos da FE 58 
Figura 5.17 – Média ponderada dos momentos da FI 58 
Figura 5.18 – Comparação entre P.E.A. e SAP2000 para a faixa externa 59 
Figura 5.19 – Comparação entre P.E.A. e SAP2000 para a faixa interna 59 
Figura 5.20 – Gráficos em 3D dos momentos fletores gerados no programa surfer (kN.m/m)
 60 
Figura 5.21 – Comparação entre SAP2000 e P.E.A. da FE com novas porcentagens 61 
Figura 5.22 – Comparação entre SAP2000 e P.E.A. da FI com novas porcentagens 61 
Figura 5.23 – Distribuição dos momentos no modelo de pórtico (kN.m/m) 62 
Figura 5.24 – Área de armadura para cada região em cm²/m 65 
Figura 5.25 – Bitola de armadura e espaçamento para cada região 66 
Figura 5.26 – Área de influência de cada pilar 67 
Figura 5.27 – Armadura tipo Stud 70 
Figura 5.28 – Detalhe da borda 70 
Figura 5.29 – Planta de armação inferior da laje. 71 
Figura 5.30 – Planta de armação superior da laje na direção x 72 
Figura 6.1 – Armaduras geradas por um software de projeto sem adequada configuração 75 
9 
 
Figura 6.2– Estrutura em 3D gerada pelo software de projeto 76 
Figura 6.3 – Planta de armação inferior da laje. 78 
Figura 6.4 – Planta de armação longitudinal superior da laje 79 
 
 
LISTA DE TABELAS 
Tabela 3.1 – Valores de Kc e Ks 30 
Tabela 3.2 – Área da seção de armadura por metro de largura em cm²/m 31 
Tabela 3.5 – Valores de K 34 
Tabela 3.3 – Valores mínimos para armaduras passivas aderentes 42 
Tabela 3.4 – Taxas mínimas de armadura de flexão 43 
Tabela 5.1 – Alterações das porcentagens de multiplicação dos momentos fletores. 61 
Tabela 5.2 – Obtenção de Ks através da planilha 63 
Tabela 5.3 – Escolha da bitola e espaçamento da armadura 65 
Tabela 5.4 – Armaduras contra colapso progressivo 67 
Tabela 6.1 – Valor das reações na base dos pilares 77 
 
 
SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 13 
1.1 JUSTIFICATIVA ....................................................................................................... 14 
1.2 OBJETIVOS ............................................................................................................... 15 
1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO ............................................................................... 15 
2 LAJES........................................................................................................................ 17 
3 LAJES LISAS ........................................................................................................... 23 
3.1 A PUNÇÃO EM LAJES ............................................................................................ 25 
3.2 ANÁLISE DE LAJES LISAS .................................................................................... 28 
3.3 DIMENSIONAMENTO DE LAJES NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO ................... 29 
3.4 VERIFICAÇÃO E DIMENSIONAMENTO DE LAJES LISAS A PUNÇÃO – NBR 
6118/2003 ................................................................................................................................. 32 
3.4.1 Definição da tensão solicitante nas superfícies críticas C e C’ ............................. 33 
3.4.2 Definição da tensão resistente nas superfícies críticas C, C’ e C” ....................... 38 
3.4.3 Colapso progressivo ................................................................................................. 41 
3.4.4 Armaduras mínimas e máximas – NBR 6118 ........................................................ 42 
3.5 DETALHAMENTO DE LAJES – NBR 6118/2003 .................................................. 43 
4 ANÁLISE ESTRUTURAL ...................................................................................... 47 
4.1 DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA .............................................................................. 47 
4.2 CARGAS E MATERIAIS ......................................................................................... 48 
4.3 PÓRTICOS MÚLTIPLOS ......................................................................................... 48 
4.4 PROCESSO ELÁSTICO APROXIMADO (P.E.A.) ................................................. 49 
4.5 MODELAGEM NO SAP2000 ................................................................................... 49 
4.6 DIMENSIONAMENTOS .......................................................................................... 50 
5 RESULTADOS E DISCUSSÕES ........................................................................... 51 
5.1 MODELAGEM NO FTOOL ..................................................................................... 51 
5.2 PROCESSO ELÁSTICO APROXIMADO ............................................................... 53 
5.3 MODELAGEM NO SAP 2000 .................................................................................. 56 
5.4 DIMENSIONAMENTOS .......................................................................................... 62 
5.4.1 Armadura de flexão.................................................................................................. 62 
5.4.2 Armadura contra colapso progressivo ................................................................... 66 
5.4.3 Armadura de punção ............................................................................................... 68 
5.5 DETALHAMENTO ................................................................................................... 70 
12 
 
6 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ............................................................. 73 
6.1 LANÇAMENTO DA ESTRUTURA NO SOFTWARE ........................................... 76 
6.2 VALIDAÇÃO DOS DADOS .................................................................................... 76 
6.3 RESULTADOS DO DIMENSIONAMENTO PELO SOFTWARE ......................... 77 
7 CONCLUSÃO .......................................................................................................... 81 
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 82 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
 
Com o avanço de sistemas construtivos foram desenvolvidas variações de forma e de 
composição das lajes (DONIN, 2007). Isto com o objetivo de melhorar o seu desempenho 
estrutural para determinadas aplicações, sendo que a escolha mais adequada do tipo de laje 
para um projeto depende muito da experiência profissional, da necessidade e das 
características estruturais buscadas, de forma que a estrutura satisfaça plenamente todos os 
requisitos arquitetônicos, econômicos e de segurança. 
As lajes lisas apresentam uma série de vantagens em relação aos sistemas 
convencionais que utilizam lajes, vigas e pilares, pela facilitação da execução, redução de 
perdas e gastos, maior liberdade construtiva, redução da altura total do edifício, dentre outras. 
As lajes lisas são apoiadas diretamente em pilares sem capitéis. A NBR 6118/2003 
(ABNT, 2003) traz que a análise estrutural de lajes lisas deve ser realizada mediante emprego 
de procedimento numérico adequado, como diferenças finitas, elementos finitos e elementos 
de contorno. No entanto, para os casos em que os pilares estão dispostos em filas ortogonais, 
de maneira regular e com vãos pouco diferentes, a norma permite a realização do cálculo dos 
esforços pelo processo elástico aproximado, com redistribuição, no qual a obtenção dos 
esforços solicitantes é feita adotando-se pórticos múltiplos em cada direção. 
Segundo Hennrichs (2003), no dimensionamento de lajes lisas, cuidados especiais 
devem ser tomados na verificação da punção, nas deformações no meio do vão, e na 
determinação dos momentos negativos das lajes sobre os pilares. Quando as lajes são 
modeladas de forma inadequada esses momentos podem apresentar valores muito diferentes 
dos que atuam em serviço. Portanto, o dimensionamento por tais momentos pode ser 
equivocado podendo resultar em problemas econômicos como também de segurança da 
edificação. 
O método dos pórticos virtuais da NBR 6118/2003 (ABNT, 2003) separa os vãos em 
quatro faixas e distribui para cada faixa (internas ou externas) uma porcentagem dos 
momentos positivos e negativos calculados para cada pórtico de carga total, sendo que esses 
esforços atribuídos para cada faixa são utilizados no dimensionamento das mesmas. 
De acordo com Hennrichs (2003), os métodos numéricos de análise e projeto de lajes 
têm sido muito difundidos no meio técnico, destacando-se o Método das Diferenças Finitas, o 
14 
 
Método dos Elementos Finitos, ambos citados pela norma, e o Método de Analogia de Grelha. 
Com o avanço tecnológico e o desenvolvimento de computadores potentes esses métodos já 
são amplamente utilizados em programas comerciais de análise e de cálculo estrutural. 
Mesmo com todo esse avanço dos métodos numéricos a norma ainda permite e propõe 
a utilização do modelo simplificadopara alguns casos, e nesse ponto cabe a pergunta, será que 
o modelo simplificado aceito pela NBR 6118/2003 representa bem os esforços reais da laje 
lisa? 
 
 
1.1 JUSTIFICATIVA 
 
 
Na atualidade, a busca por edificações com maior liberdade de layout, vãos livres mais 
ousados, muitas vezes sem a utilização de vigas e com pilares cada vez mais espaçados é uma 
tendência que tem levado ao aperfeiçoamento das técnicas construtivas que viabilizem essa 
liberdade (DONIN, 2007). 
É nesse contexto que as lajes lisas estão inseridas, demonstrando ser alternativas com 
enorme potencial para estas construções. As inúmeras vantagens como o ganho de pé-direito, 
a simplicidade de execução das fôrmas e concretagem, um maior conforto visual e ambientes 
mais ventilados, fazem com que, segundo Silva et al. (2004), seja cada vez mais importante o 
estudo das lajes lisas, por se tratar de um elemento estrutural em foco que tem muito a evoluir 
técnica e cientificamente. 
A realização deste trabalho justifica-se pelo fato de que o modelo simplificado 
proposto pela NBR 6118/2003, bem como as porcentagens de distribuição dos momentos 
segundo as faixas, pode não representar bem os esforços reais das lajes lisas, podendo resultar 
em situações antieconômicas, fato que por si só justificaria a aquisição de softwares para o 
cálculo das mesmas. 
 
 
 
15 
 
1.2 OBJETIVOS 
 
 
Verificar se o modelo de análise simplificado da norma (Método dos Pórticos Virtuais) 
se aproxima efetivamente de um modelo numérico (Método dos Elementos Finitos), que é 
mais preciso, e fazer a análise e o dimensionamento completo de uma laje lisa de pilares 
dispostos em filas ortogonais. 
 
 
1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO 
 
 
No Capítulo 1 é apresentada uma introdução sobre este trabalho de conclusão de 
curso, são definidos os objetivos, assim como, a justificativa e a estrutura. 
No Capítulo 2 são revisados os fundamentos das lajes, suas características e 
classificações. 
No Capítulo 3 é dada atenção especial às lajes lisas, realizando um estudo mais 
detalhado sobre esse tipo de laje bem como suas vantagens e desvantagens. Este capítulo 
aborda também a análise pelo Processo Elástico Aproximado, o pré-dimensionamento das 
lajes lisas, o dimensionamento a flexão, a punção e ao colapso progressivo e detalhes gerais 
da norma NBR 6118/2003. 
No Capítulo 4 é descrito a estrutura que será analisada, suas cargas e materiais. Os 
procedimentos utilizados para a análise e dimensionamento da estrutura também são descritos 
neste item. 
No Capítulo 5 são desenvolvidas as análises dos modelos bem como a comparação 
entre eles, discute-se a representatividade do processo proposto pela norma e faz-se o 
dimensionamento da laje lisa pelos esforços obtidos pelo mesmo. 
No Capítulo 6 é tratado sobre Método dos Elementos Finitos e sobre programas de 
análise e projeto estrutural. Neste capítulo também é realizado o dimensionamento da 
estrutura com o auxílio de um software de projeto e comparado as armaduras com as obtidas 
no capítulo 5. 
O Capítulo 6 contém as conclusões obtidas. 
16 
 
No Capítulo 7 são apresentadas as referências bibliográficas que embasaram este 
trabalho de conclusão de curso. 
 
17 
 
2 LAJES 
 
 
Lajes são elementos estruturais bidimensionais planos, na forma de uma placa, onde a 
espessura é muito menor que as demais dimensões e se destinam a receber as cargas verticais 
que atuam nas estruturas de um modo geral, transmitindo-as para os respectivos apoios, que 
comumente são vigas localizadas em seus bordos, podendo ocorrer também à presença de 
apoios pontuais (pilares). 
 Na prática, existem diferentes tipos de lajes que podem ser empregadas nas obras de 
um modo geral, podendo ser classificadas da seguinte maneira (DONIN, 2007): 
a) Quanto à forma: 
- Lajes poligonais: retangulares, quadradas, triangulares, octogonais, em T, L, Z, 
entre outras; 
- Lajes elípticas: lajes circulares ou anelares. 
b) Quanto à natureza: 
- Lajes maciças (Figura 2.1): são lajes constituídas por placas monolíticas de 
concreto armado ou de concreto protendido, com espessura uniforme, construídas 
sobre uma forma de madeira ou metálica que é removida após a cura do concreto. 
São as lajes mais utilizadas em edificações e obras de arte, mas não podem vencer 
grandes vãos devido ao seu peso próprio; 
 
 
Figura 2.1 – Laje maciça 
Fonte: Camacho (2004) 
 
- Lajes nervuradas (Figura 2.2): são compostas por nervuras na zona de tração e 
uma mesa maciça de concreto na zona de compressão. As nervuras são 
configuradas por um determinado espaçamento entre si, regulamentado pela NBR 
6118/2003, nesse caso as nervuras ficam aparentes, ou então, são obtidas com o 
emprego de algum material inerte de baixo peso específico, como blocos 
 
cerâmicos ou EPS. O peso próprio da laje é reduzido, uma vez que se elimina uma 
parte do concreto que ficaria na zona tracionada, caso fosse adotada a solução em 
laje maciça. Nas nervuras é onde estão concentradas as armaduras longitudinais de 
tração. Este tipo de laje é utilizado para vencer grandes vãos ou em casos de 
carregamentos especiais;
 
Figura
 
- Lajes mistas (
concreto, cuja combinação de perfis de aço e concreto visa aproveitar as vantagens 
de cada material, tanto em termos estruturais
 
 
- Lajes em grelhas (
das lajes nervuradas, onde as nervuras são mais altas e o espaçamento entre e
superior a 1 m. Além disso, não se utiliza material inerte como o EPS ou outro 
cerâmicos ou EPS. O peso próprio da laje é reduzido, uma vez que se elimina uma 
parte do concreto que ficaria na zona tracionada, caso fosse adotada a solução em 
je maciça. Nas nervuras é onde estão concentradas as armaduras longitudinais de 
tração. Este tipo de laje é utilizado para vencer grandes vãos ou em casos de 
carregamentos especiais; 
 
Figura 2.2 – Planta e corte de laje nervurada 
Fonte: Pereira et al. (2005) 
Lajes mistas (Figura 2.3): é o sistema formado por elementos mistos aço
concreto, cuja combinação de perfis de aço e concreto visa aproveitar as vantagens 
de cada material, tanto em termos estruturais como construtivos.
 
Figura 2.3 – Laje mista 
Lajes em grelhas (Figura 2.4): as lajes em grelha constituem um caso particular 
das lajes nervuradas, onde as nervuras são mais altas e o espaçamento entre e
superior a 1 m. Além disso, não se utiliza material inerte como o EPS ou outro 
18 
cerâmicos ou EPS. O peso próprio da laje é reduzido, uma vez que se elimina uma 
parte do concreto que ficaria na zona tracionada, caso fosse adotada a solução em 
je maciça. Nas nervuras é onde estão concentradas as armaduras longitudinais de 
tração. Este tipo de laje é utilizado para vencer grandes vãos ou em casos de 
 
o sistema formado por elementos mistos aço-
concreto, cuja combinação de perfis de aço e concreto visa aproveitar as vantagens 
como construtivos. 
2.4): as lajes em grelha constituem um caso particular 
das lajes nervuradas, onde as nervuras são mais altas e o espaçamento entre elas é 
superior a 1 m. Além disso, não se utiliza material inerte como o EPS ou outro 
 
qualquer, as vigas são aparentes, exceto se colocado forro falso. O 
dimensionamento da capa de concreto deve ser de tal forma que se considere a 
possibilidade de punção de
como o de lajes maciças contínuas, sendo o vigamento calculado como grelha. 
Geralmente são utilizadas em edificações industriais e/ou comerciais;
 
Figura
 
- Lajes duplas: podem ser entendidas como um caso particular das lajes nervuradas 
ou das lajes em grelhas, e ainda, em alguns casos, como lajes maciças. Elas 
apresentam duas capas de concreto,sendo uma superior que t
e outra inferior, entre estas duas capas ficam as vigas ou nervuras de concreto. 
Geralmente são utilizadasem pilotis ou pavimentos de transição de edifício. 
Atualmente estas lajes estão praticamente em desuso, exceto em situações 
particulares; 
- Lajes pré-fabricadas (
nervuras de concreto armado ou protendido, e blocos cerâmicos ou de concreto, 
também conhecidos por tavelas, solidarizados por uma capa de concreto que 
trabalha à compressão. As lajes pré
constituídas por nervuras principais longitudinais dispostas em uma única direção, 
ou bidirecionais, na qual são executadas nervuras transversais às pré
resultando em uma laje acabada bid
convencionais dando origem às lajes pré
qualquer, as vigas são aparentes, exceto se colocado forro falso. O 
dimensionamento da capa de concreto deve ser de tal forma que se considere a 
possibilidade de punção de uma sobrecarga pontual. O cálculo é normalmente feito 
como o de lajes maciças contínuas, sendo o vigamento calculado como grelha. 
Geralmente são utilizadas em edificações industriais e/ou comerciais;
 
Figura 2.4 – Planta e corte de laje grelha 
Lajes duplas: podem ser entendidas como um caso particular das lajes nervuradas 
ou das lajes em grelhas, e ainda, em alguns casos, como lajes maciças. Elas 
apresentam duas capas de concreto,sendo uma superior que t
e outra inferior, entre estas duas capas ficam as vigas ou nervuras de concreto. 
Geralmente são utilizadas em pilotis ou pavimentos de transição de edifício. 
Atualmente estas lajes estão praticamente em desuso, exceto em situações 
fabricadas (Figura 2.5): formadas por um conjunto de vigotas, ou seja, 
nervuras de concreto armado ou protendido, e blocos cerâmicos ou de concreto, 
também conhecidos por tavelas, solidarizados por uma capa de concreto que 
compressão. As lajes pré-fabricadas podem ser unidirecionais, 
constituídas por nervuras principais longitudinais dispostas em uma única direção, 
ou bidirecionais, na qual são executadas nervuras transversais às pré
resultando em uma laje acabada bidirecional. As nervuras de concreto podem ser 
convencionais dando origem às lajes pré-fabricadas convencionais, ou nervuras 
19 
qualquer, as vigas são aparentes, exceto se colocado forro falso. O 
dimensionamento da capa de concreto deve ser de tal forma que se considere a 
uma sobrecarga pontual. O cálculo é normalmente feito 
como o de lajes maciças contínuas, sendo o vigamento calculado como grelha. 
Geralmente são utilizadas em edificações industriais e/ou comerciais; 
 
Lajes duplas: podem ser entendidas como um caso particular das lajes nervuradas 
ou das lajes em grelhas, e ainda, em alguns casos, como lajes maciças. Elas 
apresentam duas capas de concreto,sendo uma superior que trabalha a compressão 
e outra inferior, entre estas duas capas ficam as vigas ou nervuras de concreto. 
Geralmente são utilizadas em pilotis ou pavimentos de transição de edifício. 
Atualmente estas lajes estão praticamente em desuso, exceto em situações 
2.5): formadas por um conjunto de vigotas, ou seja, 
nervuras de concreto armado ou protendido, e blocos cerâmicos ou de concreto, 
também conhecidos por tavelas, solidarizados por uma capa de concreto que 
fabricadas podem ser unidirecionais, 
constituídas por nervuras principais longitudinais dispostas em uma única direção, 
ou bidirecionais, na qual são executadas nervuras transversais às pré-lajes, 
irecional. As nervuras de concreto podem ser 
fabricadas convencionais, ou nervuras 
 
treliçadas, dando origem as chamadas
laje são relativas à rapidez de execução e à econom
Além dessas duas variações, enquadra
laje formada por painéis pré
justaposição das placas, utilizadas especialmente em obras indu
 
 
- Lajes cogumelo (
a utilização de vigas, mas com a utilização de capitéis nos pilares.
 
Figura
- Lajes lisas (Figura
utilização de vigas, e de capitéis nos pilares.
 
treliçadas, dando origem as chamadas lajes treliçadas. As vantagens deste tipo de 
laje são relativas à rapidez de execução e à economia de formas e de escoramento. 
Além dessas duas variações, enquadra-se na classificação de laje pré
laje formada por painéis pré-fabricados, que compõem os entre pisos apenas pela 
justaposição das placas, utilizadas especialmente em obras indu
Figura 2.5 – Laje pré-moldada 
Fonte: Camacho (2004) 
Lajes cogumelo (Figura 2.6): são lajes apoiadas diretamente sobre os pilares, sem 
a utilização de vigas, mas com a utilização de capitéis nos pilares.
 
Figura 2.6 – Planta e corte de laje cogumelo 
Fonte: Pereira et al. (2005) 
 
Figura 2.7 e 2.8): são apoiadas diretamente sobre os pilares, sem a 
utilização de vigas, e de capitéis nos pilares. 
20 
treliçadas. As vantagens deste tipo de 
ia de formas e de escoramento. 
se na classificação de laje pré-fabricada, a 
fabricados, que compõem os entre pisos apenas pela 
justaposição das placas, utilizadas especialmente em obras industriais; 
 
diretamente sobre os pilares, sem 
a utilização de vigas, mas com a utilização de capitéis nos pilares. 
e 2.8): são apoiadas diretamente sobre os pilares, sem a 
21 
 
 
Figura 2.7 – Planta e corte de laje lisa 
Fonte: Pereira et al. (2005) 
 
 
Figura 2.8 – Esquema de laje lisa 
Fonte: Pereira et al. (2005) 
 
c) Quanto ao tipo de apoio: 
- Apoio contínuo (Figura 2.9): ocorre quando a laje está apoiada sobre uma linha 
contínua, formada por alvenarias, paredes de concreto, vigas de sustentação de 
concreto armado ou protendido, metálicas ou de madeira. Podendo estar todos os 
bordos apoiados ou eventualmente um ou mais bordos livres; 
 
 
Figura 2.9 – Apoio contínuo 
Fonte: Camacho (2004) 
 
 
- Apoio discreto (
os pilares. Pode ser de três tipos, dependendo da presença ou não de reforço ou 
capitel, e de sua localização no encontro do pilar com a laje, ou seja, laje cogumelo 
com capitel aparente, com capitel invertido, ou, no caso da laje lisa, sem capitel.
 
 
d) Quanto ao tipo de armação (
- Lajes armadas em 
momentos fletores e forças cortantes apenas em uma direção, isso ocorre quando a 
relação entre o maior e o menor vão é superior a 2, e a maior parte do 
carregamento passa então a ser suportada pelos apoios da menor dir
- Lajes armadas em 
direções, isso ocorre
dois. 
 
 
 
Apoio discreto (Figura 2.10): ocorre quando a laje está apoiada diretamente sobre 
os pilares. Pode ser de três tipos, dependendo da presença ou não de reforço ou 
capitel, e de sua localização no encontro do pilar com a laje, ou seja, laje cogumelo 
tel aparente, com capitel invertido, ou, no caso da laje lisa, sem capitel.
 
Figura 2.10 – Detalhe do capitel 
Fonte: Donin (2007) 
ao tipo de armação (Figura 2.11): 
Lajes armadas em uma direção: apresentam solicitações importantes de 
momentos fletores e forças cortantes apenas em uma direção, isso ocorre quando a 
relação entre o maior e o menor vão é superior a 2, e a maior parte do 
carregamento passa então a ser suportada pelos apoios da menor dir
Lajes armadas em duas direções: sujeitas a solicitações importantes nas duas 
isso ocorre quando a relação entre o maior e o menor vão é menor do que 
Figura 2.11 – Tipo de armação 
Fonte: Camacho (2004) 
22 
2.10): ocorre quando a laje está apoiada diretamente sobre 
os pilares. Pode ser de três tipos, dependendo da presença ou não de reforço ou 
capitel, e de sua localização no encontro do pilar com a laje, ou seja, laje cogumelo 
tel aparente, com capitel invertido, ou, no caso da laje lisa, sem capitel. 
presentam solicitações importantes de 
momentos fletores e forças cortantes apenas em uma direção, isso ocorre quando a 
relação entre o maior e o menor vão é superior a 2, e a maior parte do 
carregamento passa então a ser suportada pelos apoios da menor direção; 
direções: sujeitas a solicitações importantes nas duas 
quando a relação entre o maior e o menor vão é menor do que 
 
23 
 
3 LAJESLISAS 
 
 
Para Figueiredo (1989), com o desenvolvimento e as exigências das edificações de 
concreto armado, as lajes sem vigas passaram a ser uma solução interessante, pois apresentam 
uma série de vantagens em relação ao sistema convencional tais como: 
a) Adaptabilidade a diversas formas ambientais: 
- ampla liberdade na definição de espaços internos; 
- permitem grande possibilidade de reformas e modificações futuras do espaço 
interno, pois as divisórias (de alvenaria ou outras) não estão condicionadas à rígida 
localização das vigas do piso e das do teto. 
b) Simplificação das fôrmas pela ausência de vigas: 
- menor consumo de materiais em razão da menor área de fôrma por metro 
quadrado de piso ou forro; 
- as fôrmas apresentam um plano contínuo sem obstáculos, com recortes apenas na 
ligação com os pilares, o que acarreta menos corte de material e conseqüentemente 
menor desperdício; 
- as fôrmas das lajes sem vigas são montadas e desmontadas com mais facilidade, 
portanto com pouca danificação, levando a um maior índice de reaproveitamento; 
- permite racionalização e padronização de cimbramentos, devido aos tetos lisos de 
altura constante. 
c) Simplificação das armaduras: 
- eliminação de todas as armaduras correspondentes às vigas; 
- facilitação de operações de corte, dobra, montagem e conferência; 
- telas soldadas como armaduras de flexão são facilmente estendidas sem 
interferência da armadura das vigas. 
d) Simplificação da concretagem por existirem poucos recortes que, quando 
presentes, dificultam o acesso a determinadas regiões, mesmo de vibradores, assim 
é reduzida a probabilidade de aparecimento de falhas, melhorando o acabamento 
final; 
e) Diminuição de revestimentos: 
24 
 
- redução da superfície a ser revestida, redução da mão-de-obra e consumo de 
materiais; 
- devido à simplificação das fôrmas, armaduras e concretagem, também é possível 
se obter estruturas com ótimo acabamento, dispensando revestimentos. 
f) Redução da altura total do edifício pela diminuição do pé-direito; 
g) Simplificação das instalações: 
- facilitação do projeto e da execução obtidos com a diminuição da quantidade de 
curvas e eliminação de perfuração de vigas; 
- menor quantidade de condutos e fios necessários; 
- menor incidência de cortes e emendas e, portanto, menor desperdício de material; 
- redução da mão-de-obra; 
- possibilidade de perfuração das lajes para passagem de tubulação, bem como a 
presença de dutos em seu interior, devido à maior capacidade de redistribuição de 
esforços. 
h) Melhoria na habitabilidade: 
- o teto liso dificulta o acúmulo de sujeira e insetos e facilita a limpeza; 
- apresenta melhorias na ventilação e insolação. 
i) Redução do tempo de execução pela simplificação das tarefas de execução de 
fôrmas, armaduras, concretagem e instalações. 
 
Mesmo com inúmeras vantagens apresentadas pelo sistema, existem também algumas 
desvantagens que devem ser analisadas, pois são importantes e podem inviabilizar a adoção 
do sistema estrutural em certas situações. Hennrichs (2003), sita as seguintes desvantagens: 
a) Punção das lajes: é um dos principais problemas de tais lajes, podendo ser 
solucionado adotando-se uma espessura de laje adequada ou adotando uma 
armadura de punção, ou ambos; 
b) Deslocamentos transversais das lajes: o deslocamento de lajes sem vigas, para uma 
mesma rigidez e um mesmo vão, é maior do que aqueles nas lajes sobre vigas; 
c) Estabilidade global do edifício: no caso de edifícios altos, a ausência de vigas 
diminui a estabilidade global devido às ações horizontais, nesse caso deve-se 
vincular as lajes em paredes estruturais ou em núcleos rígidos. 
 
Para se evitar grandes deformações ou que elas vibrem excessivamente, ocasionando 
sensação de desconforto, a determinação da espessura é feita baseando-se nos critérios dos 
25 
 
estados limites de utilização. Na prática, para o pré-dimensionamento, a espessura adotada nas 
primeiras tentativas de cálculos segue a relação do vão/30 ao vão/35 sendo que a menor 
espessura para a laje lisa permitida pela NBR 6118 é de 16 cm. 
 
 
3.1 A PUNÇÃO EM LAJES 
 
 
A punção é o fenômeno segundo o qual elementos planos apresentam ruptura 
localizada por corte, frente às cargas concentradas elevadas. Esse tipo de ruptura pode ocorrer 
principalmente nos encontros entre elementos lineares comprimidos (pilares) com elementos 
planos (lajes). 
A ruptura de punção se dá por corte localizado, onde o elemento plano se rompe segundo 
a forma de um tronco de cone, como mostram as Figuras 3.1 e 3.2. 
 
 
Figura 3.1 – Punção central 
Fonte: Camacho (2004) 
 
 
 
Figura 3.2 – Punção de canto 
Fonte: Camacho (2004) 
26 
 
Ensaios de Leonhardt & Mönnig (1979) demonstraram que as deformações 
tangenciais inicialmente são maiores que as deformações radiais, surgindo primeiro as 
fissuras radiais. Somente para elevados estágios de carga aparecem algumas fissuras 
circulares, a partir das quais se desenvolvem as superfícies de ruptura por cisalhamento do 
cone de punção com inclinação média da ordem de 30º, como indicado na Figura 3.3. 
 
 
Figura 3.3 – Ruína por punção em lajes lisas, perspectiva e corte 
Fonte: Giugliani & Zuchetti (2006) 
 
Cordovil (1997) enfatiza que o sólido tronco-cônico que se forma com a fissura 
circunferencial somente ocorre na ruptura da laje, quando o concreto perde todas as suas 
resistências, inclusive ao cisalhamento. 
Em lajes sem armadura de cisalhamento, essa fissura atinge distâncias que variam 
entre duas a três vezes a altura útil d da laje, como ilustra a Figura 3.4. Já no caso de lajes com 
armadura de cisalhamento, a superfície de ruptura pode ocorrer em três posições diferentes 
(CORDOVIL, 1997): 
 
 
Figura 3.4 – Zona de ruptura em lajes submetidas ao puncionamento, sem armadura 
transversal de punção. 
Fonte: Carvalho (2008) 
27 
 
a) Na zona entre o pilar e a primeira camada da armadura de cisalhamento, com 
ruptura somente do concreto adjacente ao pilar (punção restrita – Figura 3.5); 
 
 
Figura 3.5 – Ruptura adjacente ao pilar 
Fonte: Carvalho (2008) 
 
b) Na zona com armadura de cisalhamento, com ruptura do concreto e da 
armadura transversal (punção não restrita internamente à armadura transversal 
– Figura 3.6); 
 
 
Figura 3.6 – Ruptura de concreto e armadura transversal 
Fonte: Carvalho (2008) 
 
c) Na zona situada além da armadura de cisalhamento, com ruptura do concreto 
(punção não restrita externamente à armadura transversal – Figura 3.7). 
 
 
Figura 3.7 – Ruptura além da armadura de cisalhamento 
Fonte: Carvalho (2008) 
 
Por questões de segurança a condição ‘b’ é a mais adequada visto que a armadura 
entraria em escoamento plástico alertando o problema antes do colapso da estrutura. 
28 
 
Na NBR 6118/2003 (ABNT, 2003), a resistência de lajes submetidas a forças 
concentradas é verificada empregando-se uma tensão de cisalhamento nominal em uma 
superfície crítica concêntrica à região carregada, ou seja, a verificação da resistência e o 
dimensionamento da punção baseiam-se no estudo de seções de controle. 
Segundo o Comite Euro International Du Beton (1991), não há significado físico para 
a tensão tangencial atuando na superfície crítica, mas esse procedimento empírico apresenta 
boa correlação com resultados experimentais e de modelos mecânicos encontrados na 
literatura. 
 
 
3.2 ANÁLISE DE LAJES LISAS 
 
 
A norma de Projetos de Estruturas de Concreto Armado NBR 6118/2003 (ABNT, 
2003) em seu item 14.7.8 coloca que a análise estrutural de lajes lisas deve ser realizada 
mediante emprego de procedimento numérico adequado, por exemplo, diferenças finitas, 
elementos finitos e elementos de contorno. 
No entanto, nos casos em queos pilares estão dispostos em filas ortogonais, de 
maneira regular e com vãos pouco diferentes, a norma permite que o cálculo dos esforços seja 
realizado pelo processo elástico aproximado, com redistribuição, que consiste em adotar em 
cada direção pórticos múltiplos, para obtenção dos esforços solicitantes. 
A análise por procedimentos numéricos é feita através de softwares, um exemplo é o 
SAP2000 que utiliza Método dos Elementos Finitos. Ele permite modelagem tridimensional, 
estando disponíveis vários elementos estruturais, tais como frames, shells, asolid, e solid. Os 
pilares e vigas são modelados usando o elemento de barra frame e as lajes o elemento de 
casca shell. No capítulo 6 será abordado mais sobre Método dos Elementos Finitos. 
No processo elástico aproximado (P.E.A.), em cada pórtico deve ser considerado a 
carga total. Lançado o carregamento, traçam-se os diagramas de Momento Fletor e em 
seguida faz-se a distribuição dos momentos obtida em cada direção, segundo as faixas 
indicadas na Figura 3.8, da seguinte maneira: 
a) 45% dos momentos positivos para as duas faixas internas; 
b) 27,5% dos momentos positivos para cada uma das faixas externas; 
 
c) 25% dos momentos neg
d) 37,5% dos momentos negativos para cada uma das faixas externas.
 
Figura 3.8 – Faixas de laje para distribuição dos esforços nos pórticos múltiplos
 
 
3.3 DIMENSIONAMENTO DE L
 
 
Da análise da laje lisa se obtêm os momentos fletores característicos (
negativos que serão utilizados na determinação das armaduras. Esse dimensionamento é feito 
à Flexão, admitindo-se uma largura de um 
metro linear. 
Inicialmente, determina
equação 3.1: 
onde �� é o coeficiente de ponderação das ações que para a combinação de ações normais 
vale 1,4. 
 
Para o dimensionamento da área de armadura pode
Conhecido o valor de �� em 
25% dos momentos negativos para as duas faixas internas; 
37,5% dos momentos negativos para cada uma das faixas externas.
Faixas de laje para distribuição dos esforços nos pórticos múltiplos
DIMENSIONAMENTO DE LAJES NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO
Da análise da laje lisa se obtêm os momentos fletores característicos (
negativos que serão utilizados na determinação das armaduras. Esse dimensionamento é feito 
se uma largura de um metro, obtendo-se dessa forma uma armadura por 
Inicialmente, determina-se o momento fletor de cálculo (��), em 
�� � �� 	 �
 
é o coeficiente de ponderação das ações que para a combinação de ações normais 
Para o dimensionamento da área de armadura pode-se dispor da utilização de 
em kN.cm/m calcula-se o coeficiente �� pela equação 3
�� �
�	��
��
 
29 
37,5% dos momentos negativos para cada uma das faixas externas. 
 
Faixas de laje para distribuição dos esforços nos pórticos múltiplos 
AJES NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
Da análise da laje lisa se obtêm os momentos fletores característicos (�
) positivos e 
negativos que serão utilizados na determinação das armaduras. Esse dimensionamento é feito 
se dessa forma uma armadura por 
), em kN.cm/m, através da 
 (3.1) 
 
é o coeficiente de ponderação das ações que para a combinação de ações normais 
se dispor da utilização de Tabelas. 
pela equação 3.2: 
 (3.2) 
 
30 
 
onde �� = 100 cm (largura de cálculo para 1,0 m de faixa de laje); d = altura útil da laje (em 
cm). 
Com o coeficiente ��, e conhecidos a resistência característica do concreto (em MPa) 
e o tipo de aço utilizados na obra, determina-se o coeficiente �� através da Tabela 3.1. 
Com o coeficiente ��, determina-se então a área de armadura (��), em cm², pela 
equação 3.3: 
�� �
��	��
�
 (3.3) 
 
Essa área de armadura será a quantidade a ser colocada por metro de laje. Com auxílio 
da Tabela 3.2 determina-se o diâmetro nominal da armadura e o espaçamento entre barras. 
 
Tabela 3.1 – Valores de �� e �� 
 Valores de �� para concretos com fck (MPa) Valores de �� para aços 
βx 20 25 30 35 40 CA-50 CA60 
0,01 10,335 8,268 6,890 5,906 5,168 0,0231 0,0192 
0,02 5,189 4,151 3,459 2,965 2,594 0,0232 0,0193 
0,03 3,473 2,778 2,315 1,985 1,737 0,0233 0,0194 
0,04 2,615 2,092 1,744 1,494 1,308 0,0234 0,0195 
0,05 2,101 1,681 1,401 1,200 1,050 0,0235 0,0196 
0,06 1,758 1,406 1,172 1,004 0,879 0,0236 0,0196 
0,07 1,513 1,210 1,009 0,865 0,756 0,0237 0,0197 
0,08 1,329 1,063 0,886 0,760 0,665 0,0238 0,0198 
0,09 1,187 0,949 0,791 0,678 0,593 0,0239 0,0199 
0,1 1,072 0,858 0,715 0,613 0,536 0,0240 0,0200 
0,11 0,979 0,783 0,653 0,559 0,489 0,0241 0,0200 
0,12 0,901 0,721 0,601 0,515 0,451 0,0242 0,0201 
0,13 0,835 0,668 0,557 0,477 0,418 0,0243 0,0202 
0,14 0,779 0,623 0,519 0,445 0,389 0,0244 0,0203 
0,15 0,730 0,584 0,487 0,417 0,365 0,0245 0,0204 
0,16 0,687 0,550 0,458 0,393 0,344 0,0246 0,0205 
0,17 0,650 0,520 0,433 0,371 0,325 0,0247 0,0206 
0,18 0,616 0,493 0,411 0,352 0,308 0,0248 0,0207 
0,19 0,586 0,469 0,391 0,335 0,293 0,0249 0,0207 
0,20 0,559 0,448 0,373 0,320 0,280 0,0250 0,0208 
0,21 0,535 0,428 0,357 0,306 0,268 0,0251 0,0209 
0,22 0,513 0,410 0,342 0,293 0,257 0,0252 0,0210 
0,23 0,493 0,394 0,329 0,282 0,246 0,0253 0,0211 
0,24 0,474 0,380 0,316 0,271 0,237 0,0254 0,0212 
0,25 0,458 0,366 0,305 0,261 0,229 0,0256 0,0213 
0,26 0,442 0,354 0,295 0,253 0,221 0,0257 0,0214 
0,27 0,427 0,342 0,285 0,244 0,214 0,0258 0,0215 
0,28 0,414 0,331 0,276 0,237 0,207 0,0259 0,0216 
0,29 0,402 0,321 0,268 0,229 0,201 0,0260 0,0217 
0,30 0,390 0,312 0,260 0,223 0,195 0,0261 0,0218 
0,31 0,379 0,303 0,253 0,217 0,190 0,0263 0,0219 
31 
 
Continuação da Tabela 3.1 
 
Valores de �� para concretos com fck (MPa) 
 
Valores de �� para aços 
βx 20 25 30 35 40 CA-50 CA60 
0,32 0,369 0,295 0,246 0,211 0,184 0,0264 0,0220 
0,33 0,359 0,288 0,240 0,205 0,180 0,0265 0,0221 
0,34 0,350 0,280 0,234 0,200 0,175 0,0266 0,0222 
0,35 0,342 0,274 0,228 0,195 0,171 0,0267 0,0223 
0,36 0,334 0,267 0,223 0,191 0,167 0,0269 0,0224 
0,37 0,327 0,261 0,218 0,187 0,163 0,0270 0,0225 
0,38 0,319 0,256 0,213 0,183 0,160 0,0271 0,0226 
0,39 0,313 0,250 0,208 0,179 0,156 0,0273 0,0227 
0,40 0,306 0,245 0,204 0,175 0,153 0,0274 0,0228 
0,41 0,300 0,240 0,200 0,172 0,150 0,0275 0,0229 
0,42 0,295 0,236 0,196 0,168 0,147 0,0276 0,0230 
0,43 0,289 0,231 0,193 0,165 0,145 0,0278 0,0231 
0,44 0,284 0,227 0,189 0,162 0,142 0,0279 0,0233 
0,45 0,279 0,223 0,186 0,159 0,139 0,0280 0,0234 
0,46 0,274 0,219 0,183 0,157 0,137 0,0282 0,0235 
0,47 0,270 0,216 0,180 0,154 0,135 0,0283 0,0236 
0,48 0,265 0,212 0,177 0,152 0,133 0,0285 0,0237 
0,49 0,261 0,209 0,174 0,149 0,131 0,0286 0,0238 
0,50 0,257 0,206 0,172 0,147 0,129 0,0288 0,0240 
0,51 0,254 0,203 0,169 0,145 0,127 0,0289 0,0241 
0,52 0,250 0,200 0,167 0,143 0,125 0,0290 0,0242 
0,53 0,246 0,197 0,164 0,141 0,123 0,0292 0,0243 
0,54 0,243 0,195 0,162 0,139 0,122 0,0293 0,0244 
0,55 0,240 0,192 0,160 0,137 0,120 0,0295 0,0246 
0,56 0,237 0,190 0,158 0,135 0,118 0,0296 0,0247 
0,57 0,234 0,187 0,156 0,134 0,117 0,0298 0,0248 
0,58 0,231 0,185 0,154 0,132 0,116 0,0299 0,0250 
0,59 0,228 0,183 0,152 0,130 0,114 0,0301 
0,60 0,226 0,181 0,150 0,129 0,113 0,0303 
0,61 0,223 0,179 0,149 0,128 0,112 0,0304 
0,62 0,221 0,177 0,147 0,126 0,110 0,0306 
 
Tabela 3.2 – Área da seção de armadura por metro de largura em cm²/m 
BITOLAS PADRONIZADAS 
Espaça- 
mento (cm) 
BITOLAS (Ø - mm) 
4,0 5,0 6,3 8,0 10,0 12,5 
7,0 1,79 2,88 4,50 7,14 11,43 17,88 
7,5 1,67 2,67 4,20 6,67 10,67 16,67 
8,0 1,56 2,50 3,94 6,25 10,00 15,63 
8,5 1,47 2,35 3,71 5,88 9,41 14,71 
9,0 1,39 2,22 3,50 5,58 8,89 13,89 
9,5 1,32 2,11 3,32 5,26 8,42 13,16 
10,0 1,25 2,00 3,15 5,00 8,00 12,50 
11,0 1,14 1,82 2,86 4,55 7,27 11,36 
12,0 1,04 1,67 2,62 4,17 6,6710,42 
12,5 1,00 1,60 2,52 4,00 6,40 10,00 
13,0 0,96 1,54 2,42 3,85 6,15 9,62 
32 
 
Continuação da Tabela 3.2 
BITOLAS PADRONIZADAS 
Espaça- 
mento (cm) 
BITOLAS (Ø - mm) 
4,0 5,0 6,3 8,0 10,0 12,5 
14,0 0,89 1,43 2,25 3,57 5,71 8,93 
15,0 0,83 1,33 2,10 3,33 5,33 8,33 
16,0 0,78 1,25 1,97 3,13 5,00 7,81 
17,0 0,74 1,18 1,85 2,94 4,71 7,35 
17,5 0,71 1,14 1,80 2,86 4,57 7,14 
18,0 0,69 1,11 1,75 2,78 4,44 6,94 
19,0 0,66 1,05 1,66 2,63 4,21 6,58 
20,0 0,63 1,00 1,58 2,50 4,00 6,25 
21,0 0,60 0,95 1,50 2,38 3,81 5,95 
22,0 0,57 0,91 1,43 2,27 3,64 5,68 
23,0 0,54 0,87 1,37 2,17 3,48 5,43 
24,0 0,52 0,83 1,31 2,08 3,33 5,21 
25,0 0,50 0,80 1,26 2,00 3,20 5,00 
26,0 0,48 0,77 1,21 1,92 3,08 4,81 
27,0 0,46 0,74 1,17 1,85 2,96 4,63 
28,0 0,45 0,71 1,12 1,79 2,79 4,46 
29,0 0,43 0,69 1,09 1,72 2,76 4,31 
30,0 0,42 0,67 1,05 1,67 2,67 4,17 
31,0 0,40 0,65 1,03 1,61 2,58 4,03 
32,0 0,39 0,63 1,00 1,56 2,50 3,91 
33,0 0,37 0,61 0,97 1,52 2,42 3,79 
 
 
3.4 VERIFICAÇÃO E DIMENSIONAMENTO DE LAJES LISAS A PUNÇÃO – NBR 
6118/2003 
 
 
O modelo de cálculo da NBR 6118/2003 corresponde à verificação do cisalhamento 
em duas ou mais superfícies críticas definidas no entorno de forças concentradas. 
Na primeira superfície crítica (contorno C) do pilar ou da carga concentrada, deve ser 
verificada indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto, através da tensão de 
cisalhamento. 
Na segunda superfície crítica (contorno C’) afastada 2d do pilar ou carga concentrada, 
deve ser verificada a capacidade da ligação à punção, associada à resistência à tração 
diagonal. Essa verificação também se faz através de uma tensão de cisalhamento, no contorno 
C’. 
 
Caso haja necessidade, a ligação deve ser reforçada por armadur
A terceira superfície crítica (contorno C”) apenas deve ser verificada quando for 
necessário colocar armadura transversal.
 
 
3.4.1 Definição da tensão solicitante nas superfícies críticas C e C’
 
 
3.4.1.1 Pilar interno, com carregamento simétrico (Figura 
 
 
Figura
 
No caso em que o efeito do carregamento pode ser considerado simétrico:
onde: 
onde: 
d = altura útil da laje ao longo do contorno crítico C', externo ao contorno C da área de 
aplicação da força e deste distante 2d no plano da laje;
�� � � = as alturas úteis nas duas direções ortogonais;
u = perímetro do contorno crítico C';
u.d = área da superfície crítica;
!"� = força ou a reação concentrada de cálculo;
τ$% = tensão de cisalhamento solicitante de cálculo
 
Caso haja necessidade, a ligação deve ser reforçada por armadura transversal.
A terceira superfície crítica (contorno C”) apenas deve ser verificada quando for 
necessário colocar armadura transversal. 
Definição da tensão solicitante nas superfícies críticas C e C’ 
Pilar interno, com carregamento simétrico (Figura 3.9) 
Figura 3.9 – Perímetro crítico em pilares internos
Fonte: ABNT (2003) 
No caso em que o efeito do carregamento pode ser considerado simétrico:
&"� � 
'(�
).�
 
� � +�� , � -/2 
d = altura útil da laje ao longo do contorno crítico C', externo ao contorno C da área de 
aplicação da força e deste distante 2d no plano da laje; 
= as alturas úteis nas duas direções ortogonais; 
= perímetro do contorno crítico C'; 
u.d = área da superfície crítica; 
reação concentrada de cálculo; 
de cisalhamento solicitante de cálculo. 
33 
a transversal. 
A terceira superfície crítica (contorno C”) apenas deve ser verificada quando for 
 
Perímetro crítico em pilares internos 
No caso em que o efeito do carregamento pode ser considerado simétrico: 
 (3.4) 
 (3.5) 
d = altura útil da laje ao longo do contorno crítico C', externo ao contorno C da área de 
34 
 
A força de punção !"� pode ser reduzida da força distribuída aplicada na face oposta 
da laje, dentro do contorno considerado na verificação, C ou C'. 
 
 
3.4.1.2 Pilar interno, com efeito de momento 
 
 
No caso em que, além da força vertical, existe transferência de momento da laje para o 
pilar, o efeito de assimetria deve ser considerado, de acordo com a expressão: 
&"� = '(�).� +
�.�(�
01� (3.6) 
onde: 
K = coeficiente que fornece a parcela de �"� transmitida ao pilar por cisalhamento, 
que depende da relação C1/C2; 
�"� = é o momento de cálculo no plano perpendicular à borda livre. 
 
O coeficiente K assume os valores indicados na Tabela Tab. 3.5. 
 
Tabela 3.3 – Valores de K 
C1/C2 0,5 1,0 2,0 3,0 
K 0,45 0,60 0,70 0,80 
Onde: 
C1 é a dimensão do pilar paralela à excentricidade da força; 
C2 é a dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força. 
Fonte: ABNT (2003) 
 
Os valores de 23 devem ser calculados pelas expressões a seguir: 
a) Para um pilar retangular: 
24 = 567 + 56. 57 + 4. 57. � + 16. �7 + 2. ;. �. 56 (3.7) 
 
b) Para um pilar circular: 
2< = += + 4�-7 (3.8) 
onde: 
D é o diâmetro do pilar. 
 
 
 
3.4.1.3 Pilares de borda 
 
 
a) quando não agir momento no plano paralelo à borda livre:
onde: 
onde: 
!"� = reação de apoio;
u* = perímetro crítico reduzido;
�"� = momento de cálculo no plano perpendicular à borda livre;
�"�
∗
 = momento de cálculo resultante da excentricidade do perímetro crítico reduzido 
u* em relação ao centro do pilar;
246 = módulo de resistência plástica perpendicular à borda livre, calculado para o 
perímetro u. 
 
O coeficiente �6 assume os valores estabelecidos para K na 
de acordo com a Figura 3.10.
 
Figura
 
b) quando agir momento no plano paralelo à borda livre:
não agir momento no plano paralelo à borda livre: 
&"� �
'(�
)∗.�
, �?.�(�?
01?.�
 
�"�6 = (�"� @ �"�∗) ≥ 0 
reação de apoio; 
perímetro crítico reduzido; 
momento de cálculo no plano perpendicular à borda livre;
momento de cálculo resultante da excentricidade do perímetro crítico reduzido 
u* em relação ao centro do pilar; 
ulo de resistência plástica perpendicular à borda livre, calculado para o 
assume os valores estabelecidos para K na Tabela
3.10. 
Figura 3.10 - Perímetro crítico em pilares de borda
Fonte: ABNT (2003) 
quando agir momento no plano paralelo à borda livre: 
&"� �
'(�
)∗.�
, �?.�(�?
01?.�
, ��.�(��
01�.�
 
35 
 (3.9) 
 (3.10) 
momento de cálculo no plano perpendicular à borda livre; 
momento de cálculo resultante da excentricidade do perímetro crítico reduzido 
ulo de resistência plástica perpendicular à borda livre, calculado para o 
Tabela 3.5, com C1 e C2 
 
Perímetro crítico em pilares de borda 
 (3.11) 
 
 onde: 
�"�7 = momento de cálculo no plano paralelo à borda livre;
247 = módulo de resistência plástica na direção paralela à borda livre, calculado pelo 
perímetro u. 
 
O coeficiente �7 assume os valores estabelecidos para K na 
se C1/C2 por C2/2C1 (sendo C1 e C2 estabelecidos na 
 
 
3.4.1.4 Pilares de canto 
 
 
Aplica-se o disposto para o pilar de borda quando não age momento no plano paralelo 
à borda. 
Como o pilar de canto apresenta duas bordas livres, deve 
separadamente para cada uma delas, considerando o momento fletor cujo plano é 
perpendicular à borda livre adotada.
Nesse caso, K deve ser calculado em função da proporção C1/C2, sendo C1 e C2, 
respectivamente, os lados do pilar perp
Tabela 3.5 (ver Figura 3.11).
 
Figura
 
 
momento de cálculo no plano paralelo à borda livre; 
módulo de resistência plástica na direção paralela à borda livre, calculado pelo 
assume os valores estabelecidos para K na Tabela
se C1/C2 por C2/2C1 (sendo C1 e C2 estabelecidos na Figura 3.10). 
se o disposto para o pilar de borda quando não age momento no plano paralelo 
Como o pilar de canto apresenta duas bordaslivres, deve ser feita a verificação 
separadamente para cada uma delas, considerando o momento fletor cujo plano é 
perpendicular à borda livre adotada. 
Nesse caso, K deve ser calculado em função da proporção C1/C2, sendo C1 e C2, 
respectivamente, os lados do pilar perpendicular e paralelo à borda livre adotada, conforme 
3.11). 
Figura 3.11 – Perímetro crítico em pilares de canto
Fonte: ABNT (2003) 
36 
módulo de resistência plástica na direção paralela à borda livre, calculado pelo 
Tabela 3.5, substituindo-
se o disposto para o pilar de borda quando não age momento no plano paralelo 
ser feita a verificação 
separadamente para cada uma delas, considerando o momento fletor cujo plano é 
Nesse caso, K deve ser calculado em função da proporção C1/C2, sendo C1 e C2, 
endicular e paralelo à borda livre adotada, conforme 
 
Perímetro crítico em pilares de canto 
 
3.4.1.5 Capitel 
 
 
Quando existir capitel, devem ser feitas duas verificações nos contornos críticos C1’ e 
C2’, como indica a Figura 3.12.
 
Figura 3.
 
onde: 
d é a altura útil da laje no contorno C2’;
�� é a altura útil da laje na face do pilar;
�A é a altura útil da laje no contorno C1’;
B� é a distância entre a borda do capitel e a face do pilar. Quando:
B� ≤ 2(�� – d) ⇒ basta verificar o contorno C2’;
2(�� – d) < B� ≤ 2
B� > 2�� ⇒ é necessário verificar os contornos C1’ e C2’.
 
 
3.4.1.6 Interação de solicitações normais e tangenciais
 
 
Não se exige a verificação da influência 
flexão simples ou composta da laje, na resistência à punção.
 
 
Quando existir capitel, devem ser feitas duas verificações nos contornos críticos C1’ e 
3.12. 
.12 – Definição da altura útil no caso de capitel 
Fonte: ABNT (2003) 
d é a altura útil da laje no contorno C2’; 
é a altura útil da laje na face do pilar; 
é a altura útil da laje no contorno C1’; 
é a distância entre a borda do capitel e a face do pilar. Quando:
 basta verificar o contorno C2’; 
≤ 2�� ⇒ basta verificar o contorno C1’; 
 é necessário verificar os contornos C1’ e C2’. 
Interação de solicitações normais e tangenciais 
Não se exige a verificação da influência das solicitações normais, decorrentes de 
flexão simples ou composta da laje, na resistência à punção. 
37 
Quando existir capitel, devem ser feitas duas verificações nos contornos críticos C1’ e 
 
Definição da altura útil no caso de capitel 
é a distância entre a borda do capitel e a face do pilar. Quando: 
das solicitações normais, decorrentes de 
38 
 
3.4.2 Definição da tensão resistente nas superfícies críticas C, C’ e C” 
 
 
3.4.2.1 Verificação da tensão resistente de compressão diagonal do concreto na superfície 
crítica C 
 
 
Essa verificação deve ser feita no contorno C, em lajes submetidas à punção, com ou 
sem armadura. 
&"� ≤ &D�7 � 0,27. ∝I. J�� (3.12) 
 
onde: 
∝I = (1 - J�
/250) (3.13) 
J�
 = resistência característica do concreto a compressão em megapascal; 
&D�7 = tensão de cisalhamento resistente de cálculo limite para verificação da 
compressão diagonal do concreto na ligação laje – pilar. 
 
&"� é calculado conforme 3.4.1.1, com KL (perímetro do contorno C) em lugar de u. 
O valor de &D�7 pode ser ampliado de 20% por efeito de estado múltiplo de tensões 
junto a um pilar interno, quando os vãos que chegam a esse pilar não diferem mais de 50% e 
não existem aberturas junto ao pilar. 
 
 
3.4.2.2 Tensão resistente na superfície crítica C’ em elementos estruturais ou trechos sem 
armadura de punção 
 
 
A tensão resistente crítica C´ deve ser calculada como segue: 
&"� ≤ &D�6 = 0,13. +1 + N20 �⁄ -. +100. P. J�
-6 Q⁄ (3.14) 
onde: 
P = NP�. P (3.15) 
� = ��. � 2⁄ (3.16) 
39 
 
onde: 
&D�6= Tensão de cisalhamento resistente de cálculo limite, para que uma laje possa 
prescindir de armadura transversal para resistir à força cortante; 
d = altura útil da laje ao longo do contorno crítico C' da área de aplicação da força, em 
centímetros; 
P = taxa geométrica de armadura de flexão aderente (armadura não aderente deve ser 
desprezada); 
P� e P = taxas de armadura nas duas direções ortogonais assim calculadas: 
a) na largura igual à dimensão ou área carregada do pilar acrescida de 3d para cada 
um dos lados; 
b) no caso de proximidade da borda prevalece à distância até a borda quando menor 
que 3d. 
 
Essa verificação deve ser feita no contorno crítico C' ou em C1' e C2', no caso de 
existir capitel. 
 
 
3.4.2.3 Tensão resistente nas superfícies C’ em elementos estruturais ou trechos com 
armaduras de punção 
 
 
A tensão resistente C´ deve ser calculada como segue: 
&"� ≤ &D�Q = 0,10. R1 + N20 �⁄ S . +100. P. J�
-6 Q⁄ + 1,5. �"U .
V(W.�X��.YZ[∝
).� (3.17) 
onde: 
\] ≤ 0,75. � (3.18) 
onde: 
&D�Q = tensão de cisalhamento resistente de cálculo; 
\] = espaçamento radial entre linhas de armadura de punção, não maior do que 0,75d; 
�"0 = área da armadura de punção num contorno completo paralelo a C'; 
α = ângulo de inclinação entre o eixo da armadura de punção e o plano da laje; 
u = perímetro crítico ou perímetro crítico reduzido no caso de pilares de borda ou 
canto; 
 
J �� = resistência de cálculo da armadura de punção, não maior do que 300 MPa para 
conectores ou 250 MPa para estribos (de aço CA
maior que 15 cm, esses valores podem ser aumentados conforme estabelece 19.4.2.
6118/2003 (ABNT, 2003). 
 
Essa armadura deve ser preferencialmente constituída por três ou mais linhas de 
conectores tipo pino com extremidades alargadas, dispostas radialmente a partir do perímetro 
do pilar. Cada uma dessas extremidades deve estar ancorada fora do plano da 
flexão correspondente. 
 
 
3.4.2.4 Definição da superfície crítica C”
 
 
Quando for necessário utilizar armadura transversal, ela deve ser estendida em 
contornos paralelos a C’ até que, num contorno C” afastado 2d do último contorno de 
armadura (ver Figuras 3.13 e 3.14), não seja mais necessária armadura, isto é, 
(3.4.2.2). 
 
Figura 3.13 – Disposição da armadura de punção em planta e contorno da superfície 
 
de cálculo da armadura de punção, não maior do que 300 MPa para 
conectores ou 250 MPa para estribos (de aço CA-50 ou CA-60). Para lajes com espessura 
maior que 15 cm, esses valores podem ser aumentados conforme estabelece 19.4.2.
 
Essa armadura deve ser preferencialmente constituída por três ou mais linhas de 
conectores tipo pino com extremidades alargadas, dispostas radialmente a partir do perímetro 
do pilar. Cada uma dessas extremidades deve estar ancorada fora do plano da 
Definição da superfície crítica C” 
Quando for necessário utilizar armadura transversal, ela deve ser estendida em 
contornos paralelos a C’ até que, num contorno C” afastado 2d do último contorno de 
s 3.13 e 3.14), não seja mais necessária armadura, isto é, 
Disposição da armadura de punção em planta e contorno da superfície 
crítica C” 
Fonte: ABNT (2003) 
40 
de cálculo da armadura de punção, não maior do que 300 MPa para 
60). Para lajes com espessura 
maior que 15 cm, esses valores podem ser aumentados conforme estabelece 19.4.2. da NBR 
Essa armadura deve ser preferencialmente constituída por três ou mais linhas de 
conectores tipo pino com extremidades alargadas, dispostas radialmente a partir do perímetro 
do pilar. Cada uma dessas extremidades deve estar ancorada fora do plano da armadura de 
Quando for necessário utilizar armadura transversal, ela deve ser estendida em 
contornos paralelos a C’ até que, num contorno C” afastado 2d do último contorno de 
s 3.13 e 3.14), não seja mais necessária armadura, isto é, &"� ≤ &D�6 
 
Disposição da armadura de punção em planta e contorno da superfícieFigura 3.14
 
No caso de ser necessária a armadura de punção, três verificações devem ser feitas:
a) tensão resistente de compressão do conc
b) tensão resistente à punção no contorno C’, considerando a armadura de punção, 
conforme 3.4.2.2;
c) tensão resistente
3.4.2.3. 
3.4.2.5 Armadura de punção obrigatória
 
 
No caso da estabilidade global da estrutura depender da resistência da laje à punção, 
deve ser prevista armadura de punção, mesmo que 
deve equilibrar um mínimo de 50% de 
 
 
3.4.3 Colapso progressivo 
 
 
Para garantir a d
progressivo, a armadura de flexão inferior que atravessa o contorno C deve estar 
suficientemente ancorada além do contorno C', conforme 
onde: 
�" é a somatória de todas as áreas das barras que cruzam cada uma das faces do pilar.
14 – Disposição da armadura de punção em corte
Fonte: ABNT (2003) 
No caso de ser necessária a armadura de punção, três verificações devem ser feitas:
tensão resistente de compressão do concreto no contorno C, conforme 3.4
tensão resistente à punção no contorno C’, considerando a armadura de punção, 
.2.2; 
tensão resistente à punção no contorno C”, sem armadura de punção, conforme 
Armadura de punção obrigatória 
a estabilidade global da estrutura depender da resistência da laje à punção, 
deve ser prevista armadura de punção, mesmo que &"� seja menor que 
deve equilibrar um mínimo de 50% de !"�. 
Colapso progressivo 
Para garantir a ductilidade local e a conseqüente proteção contra o colapso 
progressivo, a armadura de flexão inferior que atravessa o contorno C deve estar 
suficientemente ancorada além do contorno C', conforme Figura 3.15, e deve ser tal que:
�" . J � ^ !"� 
é a somatória de todas as áreas das barras que cruzam cada uma das faces do pilar.
41 
 
Disposição da armadura de punção em corte 
No caso de ser necessária a armadura de punção, três verificações devem ser feitas: 
ontorno C, conforme 3.4.2.1; 
tensão resistente à punção no contorno C’, considerando a armadura de punção, 
a de punção, conforme 
a estabilidade global da estrutura depender da resistência da laje à punção, 
seja menor que &D�6. Essa armadura 
uctilidade local e a conseqüente proteção contra o colapso 
progressivo, a armadura de flexão inferior que atravessa o contorno C deve estar 
3.15, e deve ser tal que: 
 (3.19) 
é a somatória de todas as áreas das barras que cruzam cada uma das faces do pilar. 
 
Figura 
 
 
3.4.4 Armaduras mínimas
 
 
Para melhorar o desempenho e a ductilidade à flexão
fissuração, são necessários valores mínimos para a armadura passiva estabelecidos pela 
6118/2003, como mostra a Tabela 3.3
por barras com alta aderência ou por telas soldadas.
 
Tabela 3.4 – Valores mínimos para armaduras passivas aderentes
ARMADURA 
Elementos 
estruturais sem 
armaduras ativas
Armaduras negativas P� ^
Armaduras positivas 
de lajes armadas nas 
duas direções 
 P� ^ 0
Armadura positiva 
(principal) de lajes 
armadas em uma 
direção 
 P� ^
Armadura positiva 
(secundária) de lajes 
armadas em uma 
direção 
 
Onde P� �
V�
�	_
 , 
 3.15 – Armadura contra colapso progressivo
Fonte: ABNT (2003) 
Armaduras mínimas e máximas – NBR 6118 
Para melhorar o desempenho e a ductilidade à flexão, assim como controlar a 
fissuração, são necessários valores mínimos para a armadura passiva estabelecidos pela 
6118/2003, como mostra a Tabela 3.3. Essa armadura deve ser constituída 
por barras com alta aderência ou por telas soldadas. 
Valores mínimos para armaduras passivas aderentes
Fonte – ABNT (2003) 
Elementos 
estruturais sem 
armaduras ativas 
Elementos estruturais com 
armadura ativa aderente 
Elementos estruturais com 
armadura ativa não aderente
^ P`ab P� ^ P`ab @ P4 ^ 0,67P`ab 
P� ^ P`ab
(ver item 19.3.3.2)
0,67P`ab P� ^ 0,67P`ab @ P4 ^ 0,5P`ab P� ^ P
^ P`ab P� ^ P`ab @ P4 ^ 0,5P`ab P� ^ P
�� c⁄ ^ 20 % �e efge�Kfe 
�� c⁄ ^ 0,9 ig² g⁄ 
P� ^ 0,5P`ab 
, P4 �
V1
�	_
 e P`ab dado pela Tabela 3.4. 
42 
 
Armadura contra colapso progressivo 
assim como controlar a 
fissuração, são necessários valores mínimos para a armadura passiva estabelecidos pela NBR 
. Essa armadura deve ser constituída preferencialmente 
Valores mínimos para armaduras passivas aderentes 
Elementos estruturais com 
armadura ativa não aderente 
`ab @ 0,5P4 ^ 0,67P`ab 
(ver item 19.3.3.2) 
P`ab @ 0,5P4 ^ 0,5P`ab 
P`ab @ 0,5P4 ^ 0,5P`ab 
 - 
43 
 
Tabela 3.5 – Taxas mínimas de armadura de flexão 
Fonte – Adaptado de ABNT (2003) 
Forma da seção 
Valores de P`ab (%) = ��,`ab /�� 
 
J�
 20 25 30 35 40 45 50 
j`ab 
 
Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288 
Os valores de P`ab estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, k�= 1,4 e k� = 1,15. Caso esses 
fatores sejam diferentes, P`ab deve ser recalculado com base no valor de j`ab dado. 
 
No caso de lajes lisas ou lajes-cogumelo com armadura ativa não aderente, as 
armaduras passivas positivas devem respeitar os valores mínimos da Tabela 3.4 e a armadura 
negativa passiva sobre os apoios deve ter como valor mínimo dado pela equação 3.4. 
�� ≥ 0,00075 × ℎ × B (3.20) 
onde: 
h é a altura da laje; 
l é o vão médio da laje medido na direção da armadura a ser colocada. 
 
Essa armadura deve cobrir a região transversal a ela, compreendida pela dimensão dos 
apoios acrescida de 1,5 h para cada lado. 
O valor máximo da armadura de flexão deve respeitar o limite dado em 17.3.5.2 e 
17.3.5.3 da NBR 6118/2003. 
 
 
3.5 DETALHAMENTO DE LAJES – NBR 6118/2003 
 
 
A seguir algumas diretrizes da NBR 6118/2003 em seu item 20 (ABNT, 2003). 
a) Detalhamento de laje: 
- as armaduras devem ser dispostas de forma que se possa garantir o seu 
posicionamento durante a concretagem; 
- qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a h/8; 
- as barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no 
máximo igual às 2h ou 20 cm, prevalecendo o menor desses dois valores na região 
dos maiores momentos fletores; 
 
- a armadura secundária de flexão deve ser igual ou superior a 20% da armadura 
principal, mantendo
e a emenda dessas barras deve respeitar os mesmos critérios de emenda das barras 
da armadura princip
- em bordas livres e junto às aberturas devem ser respeitadas as prescrições 
mínimas contidas na 
 
Figura
 
b) armaduras passivas das lajes sem vigas
- em lajes sem vigas, maciças ou nervuradas, calculadas pelo processo aproximad
devem ser respeitadas as disposições contidas na 
a armadura secundária de flexão deve ser igual ou superior a 20% da armadura 
antendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de, no máximo, 33 cm 
emenda dessas barras deve respeitar os mesmos critérios de emenda das barras 
da armadura principal; 
em bordas livres e junto às aberturas devem ser respeitadas as prescrições 
contidas na Figura 3.16; 
Figura 3.16 – Bordas livres e aberturas 
Fonte: ABNT (2003) 
armaduras passivas das lajes sem vigas: 
em lajes sem vigas, maciças ou nervuradas, calculadas pelo processo aproximad
devem ser respeitadas as disposições contidas na Figura 3.17;
44 
a armadura secundária de flexão deve ser igual ou superior a 20% da armadura 
e barras de, no máximo, 33 cm 
emenda dessas barras deve respeitar os mesmos critérios de emenda das barras 
em bordas livres e junto às aberturas devem ser respeitadas as prescrições 
 
em lajes sem vigas, maciças ou nervuradas, calculadas pelo processo aproximado 
3.17; 
 
 
- pelo menos duas barras inferiores devem passar continuamente sobre os apoios, 
respeitando-se também a armadura contra colapso progressivo, conforme
- em lajes com capitéis, as barras inferioresinterrompidas, além de atender às 
demais prescrições, devem penetrar pelo menos 30 cm ou 24 
- devem ser atendidas as co
6118; 
 
c) Armaduras de punção
- Quando necessárias, as armaduras para resistir à punção devem ser constituídas 
por estribos verticais ou conectores (studs), com preferência
últimos; 
- O diâmetro da armadura de estribos não pode superar h/20 e deve haver contato 
mecânico das barras longitudinais com os cantos do
mecânica); 
- As regiões mínimas em que devem ser dispostas as armaduras de punção, bem 
como as distâncias r
3.18; 
 
Figura 3.17 – Lajes sem vigas 
Fonte: ABNT (2003) 
pelo menos duas barras inferiores devem passar continuamente sobre os apoios, 
se também a armadura contra colapso progressivo, conforme
em lajes com capitéis, as barras inferiores interrompidas, além de atender às 
demais prescrições, devem penetrar pelo menos 30 cm ou 24 
devem ser atendidas as condições de ancoragem prescritas na seção 9 da NBR 
Armaduras de punção: 
Quando necessárias, as armaduras para resistir à punção devem ser constituídas 
por estribos verticais ou conectores (studs), com preferência
diâmetro da armadura de estribos não pode superar h/20 e deve haver contato 
mecânico das barras longitudinais com os cantos dos estribos (ancoragem 
As regiões mínimas em que devem ser dispostas as armaduras de punção, bem 
como as distâncias regulamentares a serem obedecidas estão mostradas na 
45 
 
pelo menos duas barras inferiores devem passar continuamente sobre os apoios, 
se também a armadura contra colapso progressivo, conforme 3.4.3; 
em lajes com capitéis, as barras inferiores interrompidas, além de atender às 
demais prescrições, devem penetrar pelo menos 30 cm ou 24 ∅ no capitel; 
ndições de ancoragem prescritas na seção 9 da NBR 
Quando necessárias, as armaduras para resistir à punção devem ser constituídas 
por estribos verticais ou conectores (studs), com preferência pela utilização destes 
diâmetro da armadura de estribos não pode superar h/20 e deve haver contato 
s estribos (ancoragem 
As regiões mínimas em que devem ser dispostas as armaduras de punção, bem 
egulamentares a serem obedecidas estão mostradas na Figura 
 
Figura 3
 
 
 
3.18 – Armaduras de punção em planta e corte
Fonte: ABNT (2003) 
46 
 
Armaduras de punção em planta e corte 
 
4 ANÁLISE ESTRUTURAL
 
 
4.1 DESCRIÇÃO DA ESTRUTU
 
 
A estrutura a ser analisada 
20x20 cm, espaçados de 3,50 metros formando filas ortogonais, como mostra a 
laje é a do primeiro pavimento com 16 cm de espessura e pé
ilustra a Figura 4.2. 
 
 
ANÁLISE ESTRUTURAL 
DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA 
analisada é uma laje lisa de 9,00 por 9,00 metros. Os pilares são de 
20x20 cm, espaçados de 3,50 metros formando filas ortogonais, como mostra a 
do primeiro pavimento com 16 cm de espessura e pé-direito de 3,00 metros, conforme 
 
Figura 4.1 – Planta da laje lisa 
 
Figura 4.2 – Corte da laje lisa 
47 
uma laje lisa de 9,00 por 9,00 metros. Os pilares são de 
20x20 cm, espaçados de 3,50 metros formando filas ortogonais, como mostra a Figura 4.1. A 
direito de 3,00 metros, conforme 
48 
 
4.2 CARGAS E MATERIAIS 
 
 
O carregamento atuante foi constituído de carga de utilização de 2,5 kN/m² e 
revestimento de 1,0 kN/m². Com peso próprio do concreto de 25 kN/m³, o peso próprio da laje 
a ser usado nas modelagens será de 4 kN/m², totalizando uma carga de 7,5 kN/m². 
Os valores para o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson foram adotados de 
acordo com o item 8.2.8 e 8.2.9 da NBR 6118/2003 (ABNT, 2003), sendo considerado o 
módulo de elasticidade secante, calculado pela equação 4.1, e a resistência do concreto 
utilizado é de 30 MPa. 
n�� � 0,85 	 5600 	 NJ�
 (4.1) 
 
 
4.3 PÓRTICOS MÚLTIPLOS 
 
 
Analisou-se apenas o pórtico central por ser o mais carregado e por apresentar 
pequena variação com relação aos outros dois extremos, como pode ser visto na Figura 4.3. A 
estrutura apresenta também simetria entre seus eixos x e y fazendo com que a análise em uma 
direção seja equivalente a outra, por isso foi analisado apenas uma direção. 
 
 
Figura 4.3 – Pórtico que será analisado 
49 
 
Para se traçar os diagramas de momentos fletores utilizou-se o programa Ftool. No 
programa o pórtico foi modelado com pilares de 20x20 cm engastados na base e a viga teve 
altura de 16 cm e comprimento da faixa correspondente da laje, 3,50 metros. 
Para comparação entre as formas de modelagem, fez-se também a simulação do 
carregamento com o modelo de viga. Este foi constituído de viga de 16 cm de altura por 3,50 
metros de comprimento, com apoios de segundo gênero no lugar dos pilares, permitindo 
assim analisar se esta simplificação é válida ou não para pórtico múltiplo. 
 
 
4.4 PROCESSO ELÁSTICO APROXIMADO (P.E.A.) 
 
 
O P.E.A. proposto pela norma NBR 6118/2003 (ABNT, 2003) consiste em dividir o 
pórtico da Figura 4.3 em quatro faixas iguais de comprimento l/4 para distribuição dos 
momentos fletores, duas faixas internas mais próximas ao meio do vão e duas externas 
localizadas na região dos pilares. As faixas internas recebem 45% dos momentos positivos e 
25% dos momentos negativos e as faixas externas recebem 27,5% dos momentos positivos e 
37,5% dos momentos negativos, obtendo-se os diagramas para cada faixa. 
Após a obtenção dos diagramas, foi feita a comparação dos momentos fletores obtidos 
pelo P.E.A. com os momentos fletores obtidos pela modelagem no SAP2000 para verificando 
se o modelo de análise simplificado da norma se aproxima efetivamente do modelo numérico. 
 
 
4.5 MODELAGEM NO SAP2000 
 
 
No SAP2000 a estrutura será modelada com os mesmos carregamentos e mesmas 
características dos materiais. Para os pilares serão utilizados elementos do tipo frame de 
20x20 cm e engastados na base. Para as lajes, em função das faixas para análise posterior de 
esforços, adotou-se elementos do tipo shell de 12,5x12,5 cm e 16 cm de espessura. 
50 
 
Com elementos de laje de 12,5x12,5 cm obteve-se uma malha com sete segmentos 
para cada faixa interna e externa, o que permitiu uma boa discretização dos momentos fletores 
obtidos pelo SAP2000. 
Ao longo das linhas das malhas foi levantado os momentos fletores e para comparação 
com o P.E.A. calculou-se a média ponderada dos valores ao longo de toda a faixa. 
 
 
4.6 DIMENSIONAMENTOS 
 
 
Para constatar se a variação obtida entre os esforços calculados pelo método 
aproximado da NBR 6118/2003 (ABNT, 2003) e o SAP2000 realmente é representativa e 
influi significativamente no dimensionamento, analisou-se a variação ocasionada nas 
armaduras. 
Para isso, foi feito o dimensionamento através dos esforços dos diagramas de 
momento fletor obtidos através do P.E.A. utilizando os procedimentos descritos no capítulo 3 
e comparado com o dimensionamento da estrutura feito através de um software de 
dimensionamento que usa o MEF. 
 
 
5 RESULTADOS E DISCU
 
 
5.1 MODELAGEM NO FTOOL
 
 
Para a modelagem do pórtico equivalente, como
carregamento resultante a ser utilizado é de 26,25 
possuir a mesma inércia que ocorre na estrutura, 
altura era a espessura da laje (16 cm).
Para os parâmetros dos materiais, o módulo de elasticidade calculado pela equação 4.1 
resultou em n�� de 26.071,59 MPa e como o peso 
valor do peso próprio do concreto u
Entrando com essas características obtêm
análise, os diagramas de momentos fletores da 
 
Figura
RESULTADOS E DISCUSSÕES 
MODELAGEM NO FTOOL 
Para a modelagem do pórtico equivalente, como a faixa possui 3,50 metros, o 
a ser utilizado é de 26,25 kN/m (7,5 kN/m² x 3,5 m) e a viga, para 
possuir a mesma inércia que ocorre na estrutura, apresentava a mesma largura da faixa