Modulo 2 Lajes

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CURSO DE 
PONTES 
RODOVIÁRIAS 
EM 
CONCRETO 
ARMADO 
Módulo 2 
Lajes 
 
 
 
 
 
 
26 
 
5.0. Lajes 
Será mostrado o dimensionamento das lajes central e balanço e dos elementos 
acessórios. No cálculo dos esforços solicitantes, são usadas as Tabelas de Rüsch. 
 Convém ainda ressaltar que, durante o dimensionamento, aspectos de ampliação 
de capacidade de carga e alargamento(s) que porventura sejam necessários em uma 
ponte já existente, também serão comentados. 
5.1. Considerações 
- Rodovia Classe I – Ponte Classe I – Seção transversal atual do DNIT 
- Comprimento da ponte: Ly = 30,00m 
- Aço CA50 
- Ponte com cortina e de alta densidade de tráfego 
- cobrimento (d’)= 3cm 
- fck= 35 MPa= 35000 kN/m² 
O dimensionamento será feito no Estado Limite Último, onde: 
Sd = 1,3 Sgk + 1,5 Sqk Eq.5.0.a 
Sd = 1,0 Sgk + 1,5 Sqk Eq. 5.0.b 
Carga permanente: M(g) = k g 
 Eq.5.0.c 
 
k: coeficiente da posição do momento (Tab. de Rüsch) 
 
 g: carga da laje, revestimento e mísulas, ∑ ( ) 
 Lx: vão da laje 
Carga móvel: M(q) = φ (MPr x Pr + Mp x p + Mp’x p) Eq.5.0.d 
 √ 
 
 
 Lx/a, t/a : MPr, Mp, Mp’: coeficientes da posição do momento (Tab. de Rüsch) 
 Pr, p, p’, LC, CC, a: características do TP Quadro 01 
5.2. Laje tabuleiro central - Considerando a laje toda engastada 
 20 20 1220 20 20 
 
 
 70 
 
 
 230 
 250 50 100 500 100 50 250 
 
 Seção Transversal do DNIT 
 11 
11 
 7 7 
 25 10 
 
27 
 
 ⁄ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 : Mye 
 
5.2.1. Carga permanente – Mg= k g Lx 
g1(asfalto)= [(0,11+0,07)/2] x 24= 2,160 kN/m 
g2(recapeamento)= 2 kN/m 
g3(mísulas)= 2 x [(1,00 x 0,10/2) x 25] / 7,50= 0,333 kN/m 
g4(laje)= 0,25 x 25= 6,25 kN/m 
 
g= 10,743 kN/m Lx= 7,50 m 
k (Tab. 27)= 0,0417 → Mxm(g)= 25,2 kN.m/m 
k (Tab. 27)= 0,0069 → Mym(g)= 4,2 kN.m/m 
k (Tab. 27)= -0,0833 → Mxe(g)= -50,3 kN.m/m 
k (Tab. 97B)= -0,053 → Mye(g)= -32,0 kN.m/m 
 
5.2.2. Carga móvel – Mq+/¯= φ ( MPr x Pr + Mp x p + Mp’ x p ) 
φ = 1,4 – 0,007 L ≥ 1, L ≤ 10,0m; L= Lx= 7,50m, φ= 1,35 
 √ 
 
 √ 
Quadro 01: LC= 0,50m, CC= 0,20m, Pr= 75 kN, p= 5 kN/m 
 
Lx/a= 3,75 ( 4,0 ), t/a= 0,375 ( 0,25 ) 
Tab.27: MPr= 0,52, Mp=0,80, Mp’= 1,11; Mxm(q)+= 65,5 kN.m/m, Mxm(q)¯= 0 
Tab.27: MPr= 0,315, Mp=0,13, Mp’=0,57; Mym(q)+= 36,6 kN.m/m, Mym(q)¯= 0 
Tab.27: MPr= -1,06, Mp= -0,55, Mp’= -2,20; Mxe(q)+= 0, Mxe(q)¯= -125,9 kN.m/m 
Tab.97B: MPr= -0,86, Mp= -0,10, Mp’= -1,50; Mye(q)+= 0, Mye(q)¯= - 97,9 kN.m/m 
 
28 
 
5.3. Laje tabuleiro balanço 
. EVP 
 
 
 
 
 
 
 Considerando a laje mono.engastada: Mxe, Myr 
 ⁄ 
 
 
 
 
5.3.1. Momento na direção “xeng” 
i) Carga permanente (Mxe(g)) – Mg= P x d 
Elemento P (tf) x (m) M 
(kN.m/m) 
 1 Asfalto [2,35(0,11+0,07)/2]x24= 5,076 -5,964 
 2 Barreira (0,20x0,70)x25= 3,50 2,65 -9,275 
 3 Barreira (0,20x0,50)x25=2,50 2,45 -6,125 
 4 Laje (2,75x0,25)x25=17,188 -23,633 
 5 Laje 
 6 Recapeamento 
[2,75x0,10/2]x2,5=3,438 
 2,35 x 2= 4,70 
 
 
-3,152 
-5,523 
 Mxe(g) = -53,7 kN.m/m 
ii) Carga móvel (Mxe(q)) – Mq+/¯= φ ( MPr x Pr + Mp x p + Mp’ x p ) 
φ = 1,4 – 0,007 L ≥ 1, L ≤ 10,0m; L= Lx= 2,75m, φ= 1,38 
 t= √ , Lxb’= 1,85m 
 Quadro 01: LC= 0,50m, CC= 0,20m, Pr= 7,5 tf, p= 0,5 tf/m 
 Lxb’/a= 0,925 (1,00), t/a= 0,425 (0,50) 
 20 20 235 
20
50
25 
10 
35 
275
5 
7 
P1
P2
P3 P4
P5P6
185 50 Pr
 
29 
 
 Tab. 98B: MPr= -1,10, Mp= -0,05, Mp’= 0; Mxe(q)+= 0, Mxe(q)¯= -114,2 kN.m/m 
 
5.3.2. Momento na direção “ybl” 
i) carga permanente (Myr(g)) 
Myr(g)= 0 kN.m/m 
ii) carga móvel (Myr(q)) – Mq+/¯= φ ( MPr x Pr + Mp x p + Mp’ x p ) 
t= √ , Lxb’= 1,85m 
Lxb’/a= 0,925 (1,00), t/a= 0,285 (0,25) 
Tab. 98B: MPr= 0,360, Mp=0, Mp’=0; Myr(q) += 37,3 kN.m/m, Myr(q)¯= 0 kN.m/m 
 
5.4. Elementos acessórios 
5.4.1. Barreira – Ela é considerada engastada na laje. 
 
 Md=1,5 x 75 x 0,70= 78,8 kN.m/m 
 
 
5.4.2. Guarda.rodas e passeio – Estes casos, correspondem ao modelo antigo do DNIT. 
 1 kN/m 
 
 
 
 
i) guarda-rodas – ele é considerado engastado na laje. 
Md=1,5 x 75 x 0,30= 33,8 kN.m/m 
 
 ii) passeio – ele é considerado engastado no guarda-rodas. 
Md=1,4 [1,00x0,85+ (3 + 0,15x25) (0,85x0,425)]= 4,6 kN.m/m . 
 
30 
 
5.5. Esforços de cálculo 
Laje Posição Mg Mq+ Mq¯ 1,3Mg+1,5Mq+ 1,3Mg+1,5Mq¯ 1,0Mg+1,5Mq+ 1,0Mg+1,5Mq¯ 
 
 
 
 
 
5.6. Seção de ferro 
Pos Mom=M1 b h d fcd KMD Ks As M2 f As* e 
 
 
 
 
 
 
 
 
KMD (Tab)= Md / b d² fcd; fcd= fck/1,4= 35000/1,4= 25000 kN/m² 
As= Md /d Ks, As*= f x As 
f= [( M1 – M2) / M1] x ( fyk / 3600 ) 
Asmin= 0,15% bh 
 
 
 
 
 
LTC xvão 25,2 65,5 0 131,0 32,8 123,5 25,2 
LTC yvão 4,2 36,6 0 60,4 5,5 59,1 4,2 
LTC xeng -50,3 0 -125,9 -65,4 -254,3 -50,3 -239,2 
LTC yeng -32,0 0 -97,9 -41,6 -188,5 -32,0 -178,9 
LTB xeng -53,7 0 -114,2 -69,8 -241,1 -53,7 -225,0 
LTB ybl 0 37,3 0 56,0 56,0 0 
 kN.m/m m m m kN/m² - - cm²/mkN.m/m - cm²/m - 
LTC 60,4 1,00 0,25 0,22 25000 0,050 42,16 6,5 4,2 1,29 8,4 ∅ 
LTC -188,5 1,00 0,25 0,22 25000 0,156 39,07 19,3 -32,0 1,15 22,2 ∅ 6 
LTC -254,3 1,00 0,35 0,32 25000 0,099 40,75 19,5 -50,3 1,12 21,7 ∅ 6 
LTB -241,1 1,00 0,35 0,32 25000 0,094 40,90 18,4 -53,7 1,08 19,9 ∅ 6 
LTB 56,0 1,00 0,25 0,22 25000 0,046 42,30 6,0 0 1,39 8,3 ∅ 
Bar 78,8 1,00 0,40 0,37 25000 0,023 42,83 5,0 0 1,39 7,0 ∅ 
GRo 33,8 1,00 0,30 0,27 25000 0,019 42,96 2,9 0 1,39 4,0 ∅ 
Pas 4,6 1,00 15 0,12 25000 0,013 43,09 0,9 - - - ∅6 
LTC 131,0 1,00 0,25 0,22 25000 0,108 40,46 14,7 25,2 1,12 16,5 ∅ 
 
31 
 
Tabelas de Rüsch 
 
 y: sentido do tráfego ( Ly ) 
 x: sentido perpendicular ao tráfego e principal da laje ( Lx ) 
 
 ( ) ( ) Apoio: Engaste: Borda livre: ---- 
 
 Mxm: Momento positivo no meio do vão da laje na “direção x” 
 Mym: Momento positivo no meio do vão da laje na “direção y” 
 Mxe: Momento negativo no engaste da laje na “direção x” 
 Mye: Momento negativo no engaste da laje na “direção y” 
 Mxr: Momento positivo na borda livre da laje na “direção x” 
 Myr: Momento positivo na borda livre da laje na “direção y” 
 Tabs. com índ. A (Ex: 36A): Momentos positivos - Mxm, Mym 
Tabs. com índ. B (Ex: 36B): Momentos negativos e borda livre - Mxe, 
Mye, Mxr, Myr 
 
Os coeficientes relativos à carga móvel (MPr, Mp, Mp’), quando não 
indicados como valores decimais precedidos de zero, devem ser expressos 
como indicados abaixo: 
 Tab 27 (Mxm) : Lx/a= 2,50 / t/a= 0,50 : MPr= 0,318, Mp= 0, Mp’= 0,27. 
 
 
 
 
 
 x 
 λ < Apoio: Eng: Borda livre: ----
 y 
 
32 
 
 
 Lajes: apoio/apoio na “direção x” 
 ʎ= Ly/Lx Laje Tabela ʎ= Ly/Lx Laje Tabela 
 1 1,20 78 
 2 1,00 79 
 2,00 6 0,80 80 
 1,20 10 1,20 84 
 1,00 11 1,00 85 
 0,80 12 0,80 86 
 0,50 13 1,20 90 
 40 1,00 91 
 58 0,80 92 
 Lajes: apoio/engaste na “direção x” Lajes: engaste/engaste na “direção x” 
 ʎ= Ly/Lx Laje Tabela ʎ= Ly/Lx Laje Tabela 
 14 27 
 23A 1,20 36A 
 1,20 23B 1,20 36B 
 1,00 24A 1,00 37A 
 1,00 24B 1,00 37B 
 0,80 25A 0,80 38A 
 0,80 25B 0,80 38B 
 1,00 97A 
 1,00 97B 
 Lajes: engaste/livre “direção x” 
 ʎ= Ly/Lx Laje Tabela ʎ= Ly/Lx Laje Tabela 
 98A 98B 
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33 
 
 Tabelas de lajes e vigas (KMD) 
 
34 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 Tabela de armadura de laje