aula 17

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Universidade de Brasília – UnB 
Faculdade UnB Gama – FGA 
Métodos Numéricos para Engenharia 
Prof. Ricardo Fragelli 
 
 
 
AULA 17 
Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Ordinárias 
 
 
 
1. Problemas de Valor Inicial 
 
 
 
Figura 1 – Sherlock Holmes e mais uma lei de Newton. 
 
 
Sherlock Holmes fora chamado para investigar um caso de assassinato. Rapidamente chega ao 
ambiente em que havia sido encontrado o corpo de um homem e faz algumas perguntas à pessoa que 
chamou a polícia: 
 
- Foi o senhor que ligou para polícia? 
- Sim, fui eu! – disse o homem ofegante. 
- E o senhor mora aqui? 
- Sim. 
- Conhece a vítima? 
- Sim. Dividimos o apartamento! 
- Mas, o que aconteceu? 
- Havíamos acabado de chegar do supermercado há cerca de uma hora e nos assustamos 
quando encontramos a porta da frente aberta. Mesmo achando isso muito estranho, entramos 
no apartamento e vimos a sala totalmente revirada. Achamos que não havia mais ninguém no 
ambiente e fui para a cozinha enquanto o Pedro foi ao quarto. Foi quando escutei um estrondo, 
como se fosse o disparo de uma arma, e percebi que havia mais alguém em casa. Foi quando 
vi um vulto correndo pela sala à procura da saída. Quando o vi correndo para fora do 
apartamento, corri para o quarto e encontrei o Pedro caído no chão! 
- E o que você fez depois? 
- Tentei reanimá-lo, mas, depois de algum tempo sem sucesso, liguei para a polícia! 
- Tudo bem. 
 
Depois disso, o detetive virou-se para o corpo e ficou alguns minutos analisando-o. Holmes se levanta, 
olha para o suposto colega de quarto, mostra seu termômetro medindo ʹ͵º� e diz: 
 
- Prendam esse homem por assassinato! 
O fato é que a temperatura � de um corpo em um ambiente com uma determinada temperatura �� é 
alterada com o tempo � de acordo com a lei de resfriamento de Newton: 
 ݀�݀� = −�ሺ� − ��ሻ 
 
 
onde � é uma constante que depende do material do corpo, que pode ser descoberta medindo a 
temperatura do corpo em dois momentos distintos. 
 
Mas, o interessante é que as equações diferenciais estão presentes em diversas situações de perícia e 
em um sem fim de aplicações na engenharia. O problema é que nem todas podem ser resolvidas 
facilmente e precisamos lançar mão de métodos numéricos para resolvê-las! 
 
Os métodos estudados aqui são utilizado para resolver Problemas de Valor Inicial (PVI) do tipo: 
 {݀ݕ݀ݔ = ݂ሺݔ, ݕሻݕሺݔ଴ሻ = ݕ଴ 
 
Ou seja, o problema do resfriamento do corpo seria ideal para resolvermos, já que: 
 { ݀�݀� = −�ሺ� − ��ሻ�ሺͲሻ = �଴ = ͵͸,ͷº� 
 
Nesse caso, gostaríamos de encontrar o tempo �� tal que �ሺ��ሻ = ʹ͵º�. Esse problema em particular 
possui solução analítica e, para resolvê-lo, bastaria fazer a separação de variáveis na EDO e integrar 
cada um dos lados da equação, veja: 
 ͳ� − �� ݀� = −� ݀� 
 ∫ ͳ� − �� ݀� = −� ∫ ݀� 
 ln|� − ��| = −�� + �଴ 
 � = �� + ݁−��+�0 
 � = �� + � ݁−�� 
 
Aplicando a condição inicial �ሺͲሻ = �଴, temos que: 
 �ሺ�ሻ = �� + ሺ�଴ − ��ሻ ݁−�� 
 
Mas, como fazer para um PVI que não possui solução analítica? 
 
 
 
2. Método de Euler 
 
Se um PVI não possui solução analítica, podemos lançar mão de métodos numéricos e um dos mais 
simples é o Método de Euler que consiste em fazer aproximações iterativas com base no valor inicial ݕሺݔ଴ሻ = ݕ଴. Desse modo, partimos do ponto inicial ሺݔ଴, ݕ଴ሻ e encontramos a equação da reta tangente 
nesse ponto: �ሺݔሻ = ݕ଴ + ݕ′ሺݔ଴ሻ ሺݔ − ݔ଴ሻ 
 
Nesse caso, basta fazer ݔଵ = ݔ଴ + ℎ e depois substituí-lo nessa reta: 
 ݕଵ = �ሺݔଵሻ = ݕ଴ + ݕ′ሺݔ଴ሻ ሺݔଵ − ݔ଴ሻ 
 ݕଵ = ݕ଴ + ݕ′ሺݔ଴ሻ ℎ 
 
Contudo, conhecemos ݕ′ do problema original: ݕ′ = ݂ሺݔ, ݕሻ. Desse modo, temos que: 
 ݕଵ = ݕ଴ + ݂ሺݔ଴, ݕ଴ሻ ℎ 
 
Seguindo a mesma lógica, teremos o valor de ݕଶ: 
 ݕଶ = ݕଵ + ݂ሺݔଵ, ݕଵሻ ℎ 
 
E assim por diante: 
 ݕ�+ଵ = ݕ� + ݂ሺݔ�, ݕ�ሻ ℎ 
 
Esse método é conhecido como Método de Euler e vamos testá-lo fazendo o mesmo trabalho que 
Sherlock Holmes: Determinar a hora da morte do indivíduo considerando que: 
 {݀�݀� = −Ͳ,͵ ሺ� − ʹͶሻ�ሺͲሻ = ͵͸,ͷ 
 
Nesse caso, consideramos que a temperatura do corpo na hora da morte ሺ� = Ͳሻ era igual a ͵͸,ͷº�, a 
constante de resfriamento para essa configuração era igual a � = Ͳ,͵ (considerando o tempo medido 
em horas) e que a temperatura no ambiente era igual a ʹͲº�, permanecendo constante até o exame do 
corpo feito pelo detetive. Utilizando um passo iterativo ℎ = Ͳ,ͳ ℎ݋��, em qual tempo o corpo ficará a 
uma temperatura de ʹ͵º�? 
 
 
2. Métodos de Série de Taylor 
 
O método de Euler é muito interessante, mas pode ser facilmente aperfeiçoado. Para isso, ao invés de 
utilizar uma aproximação inicial de ݕሺݔሻ = ݕ� + ݕ′ሺݔ�ሻ ሺݔ − ݔ�ሻ, que é uma expansão em série de 
Taylor em torno de ݔ = ݔ�, podemos fazer uma aproximação para qualquer número de termos: 
 ݕሺݔሻ = ݕ� + ݕ′ሺݔ�ሻ ሺݔ − ݔ�ሻ + ݕ′′ሺݔ�ሻ ሺݔ − ݔ�ሻଶʹ! + ݕ′′′ሺݔ�ሻ ሺݔ − ݔ�ሻଷ͵! + ⋯ + ݕሺ�ሻሺݔ�ሻ ሺݔ − ݔ�ሻ�݊! + � 
 
onde � representa o erro de truncamento, e é dado por 
 � = ݕሺ�+ଵሻሺ�ሻ ሺݔ − �ሻ�+ଵሺ݊ + ͳሻ! 
 
Que é calculado com um valor � situado entre ݔ e ݔ�. 
 
Sendo assim, um método de Série de Taylor de 2ª ordem, seria aquele em que: 
 ݕ�+ଵ = ݕ� + ݕ′ሺݔ�ሻ ሺݔ�+ଵ − ݔ�ሻ + ݕ′′ሺݔ�ሻ ሺݔ�+ଵ − ݔ�ሻଶʹ 
 
que pode ser simplificado verificando que ℎ = ݔ�+ଵ − ݔ�: 
 ݕ�+ଵ = ݕ� + ݕ′ሺݔ�ሻ ℎ + ݕ′′ሺݔ�ሻ ℎଶʹ 
 
Como ݕ′ = ݂ሺݔ, ݕሻ, então ݕ′′ = ௫݂ + ௬݂ ݕ′ = ௫݂ + ௬݂ ݂. Sendo assim, o cálculo final fica assim: 
 ݕ�+ଵ = ݕ� + ℎ ݂ሺݔ�, ݕ�ሻ + ℎଶʹ ቀ ௫݂ሺݔ�, ݕ�ሻ + ௬݂ሺݔ�, ݕ�ሻ ݂ሺݔ� , ݕ�ሻቁ 
 
O mesmo pode ser feito para ordens superiores, contudo, a grande dificuldade desse tipo de método é 
a necessidade de cálculo das derivadas parciais. 
 
 
3. Métodos de Runge-Kutta 
 
Os métodos de Runge-Kutta estão entre os mais populares para resolução do PVI pois não necessitam 
do cálculo das derivadas parciais. Esses métodos possuem as seguintes propriedades: 
 
- São métodos de passo um; 
- Não exigem o cálculo de qualquer derivada; 
- Após expandir ݂ሺݔ, ݕሻ por Taylor em torno de ሺݔ� , ݕ�ሻ , sua expressão coincide com a do 
método de Série de Taylor de mesma ordem. 
 
O Método de Euler é um método de Runge-Kutta de ordem 1. Para um método de segunda ordem, 
teremos a seguinte lógica de construção: 
 
No método de Euler, o primeiro passo foi fazer ݔଵ = ݔ଴ + ℎ e calcular ݕଵ por meio da reta que é 
tangente a ݕ em ሺݔ଴ , ݕ଴ሻ: 
 ݕଵ = ݕ଴ + ݕ′ሺݔ଴ሻ ℎ = ݕ଴ + ݂ሺݔ଴, ݕ଴ሻ ℎ 
 
Contudo, podemos aperfeiçoar esse resultado fazendo uma análise bem simples! Primeiro vamos 
calcular a inclinação da reta tangente em ሺݔଵ , ݕଵሻ, ou seja: 
 ݕ′ሺݔଵ , ݕଵሻ = ݂ሺݔଵ , ݕଵሻ 
 
Então, calculamos a média aritmética entre as inclinações das duas retas, ou seja, entre ݕ′ሺݔ଴ , ݕ଴ሻ e ݕ′ሺݔଵ , ݕଵሻ 
 ݉ = ݕ′ሺݔ଴, ݕ଴ሻ + ݕ′ሺݔଵ, ݕଵሻʹ = ݂ሺݔ଴, ݕ଴ሻ + ݂ሺݔଵ, ݕଵሻʹ 
 
 
Como ݕଵ = ݕ଴ + ݂ሺݔ଴, ݕ଴ሻ ℎ, temos: 
݉ = ݂ሺݔ଴, ݕ଴ሻ + ݂ሺݔ଴ + ℎ, ݕ଴ + ݂ሺݔ଴, ݕ଴ሻ ℎሻʹ 
 
 
Desse modo, podemos recalcular o valor de ݕଵ com a nova reta: 
 
 ݕଵ = ݕ଴ + ݂ሺݔ଴, ݕ଴ሻ + ݂ሺݔ଴ + ℎ, ݕ଴ + ݂ሺݔ଴, ݕ଴ሻ ℎሻʹ ℎ 
 
 
Refaça os cálculos para o problema de Sherlock Holmes e verifique qual dos cálculos é mais eficiente. 
 
Um forte abraço e até a próxima!