7ª LISTA - MATEMÁTICA BÁSICA - 2016/2 - PROF. ANA PAULA DA SILVA COTA

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
7a Lista de Exerc´ıcios - Matema´tica Ba´sica
1. Se A = {x ∈ R|x2 − 3x+ 2 ≤ 0} e B = {x ∈ R|x2 − 4x+ 3 > 0}, determine A ∩B.
2. Determine os valores de m ∈ R para os quais o domı´nio da func¸a˜o f(x) = 1√
2x2 −mx+m
e´ o conjunto dos reais.
3. Construa os gra´ficos das seguintes func¸o˜es e determine os seus respectivos domı´nios:
a)f(x) =

−x− 1, se x ≤ −2
1, se −2 < x ≤ 0
x+ 1, se x > 0
b)f(x) = |4x+ 4| − |3x− 4|
c)f(x) =
{ −x2 + 2x+ 8, se x ∈ (−2, 4)
x2 − 2x− 8, se x /∈ (−2, 4) d)f(x) =

√
(x+ 2)2; se x < 0
x2; se 0 ≤ x < 2
1; se x ≥ 2
e)f(x) =
{ − ln |x|, se x 6= 0
0, se x = 0
f)f(x) =

ln |x|, se x < −1
−(x2 + 1), se −1 < x < 1
x− 3, se x ≥ 1
4. Determine m na func¸a˜o p(x) = x3 −mx2 + 2, sabendo que 1 e´ raiz de p.
5. Seja f(x) = 2x2 − 3x+ 5, determine f(x+ 1) e f(1− x).
6. Fatore y = x5 − 6x3 + 9x, em seguida encontre os valores de x para os quais y = 0.
7. Determine o (maior) domı´nio das seguintes func¸o˜es (reais de varia´vel real):
a)f(x) = x2 + 2x b)f(x) =
x
2x− 7 c)f(x) =
√
x− 2
3
√
4− x
d)f(x) =
2x+ 1
x2 − 9 e)f(x) =
7
√
x2 − 9 f)f(x) = √x− 1 +√x− 2
g)f(x) =
x+ 1√
x2 + 4
h)f(x) =
√
x− 2 + x+ 1
x− 3 i)f(x) =
1
1 + e1/x
8. Determine o domı´nio e a imagem da func¸o˜es a seguir. Posteriormente esboce os gra´ficos:
a)f(x) = −4
7
b)f(x) = pi c)f(x) = 3− x
1
9. Represente os conjunto abaixo no plano cartesiano:
a)A = {(x, y)| − 2 < y < 3} b)B = {(x, y)|f(x) < y < g(x), f(x) = 3 e g(x) = x}
10. Determine o domı´nio e a imagem das seguintes func¸o˜es. Em seguida, esboce os gra´ficos.
a)f(x) =
x
3
b)f(x) = 2x− 1 c)f(x) = 2x+ 1 d)f(x) = −x
3
e)f(x) = −2x+ 1
11. Seja f(3x− 4) = 2x+ 7, determine f(0), f(−16), f(x).
12. Verifique que se f(x) = ax + b, enta˜o f
(
x1 + x2
2
)
=
f(x1) + f(x2)
2
. Isso e´ verdade para
f(x) = x2?
13. Encontre f(f(x)), onde f(x) =
1 + x
1− x .
14. Considere as func¸o˜es f(x) =
√
x− 3, g(x) = x2, h(x) = x− 1
x+ 4
e i(x) =
√
x. Determine as
composic¸o˜es:
a)f ◦ f b)g ◦ f c)h ◦ i d)g ◦ h e)i ◦ g
f)f ◦ f g)h ◦ g h)i ◦ h i)g ◦ i j)i ◦ g ◦ f
15. Determine as soluc¸o˜es de |5x− 6| − x2 = 0.
16. Determine os domı´nios das func¸o˜es:
a)f(x) = log4 x
2 b)f(x) = log8(x− 2) c)f(x) = log4 log(x− 2)
e)f(x) =
x2
ex2−1
f)f(x) =
√
ln(x+ 1)
x2 − 25 g)f(x) = logx2−3(x
2 − 8x+ 7)
17. Se log 8 = a e log 3 = b, determine:
a) log 9 b) log 2 c) log 4 d) log 5 e) log 3
√
18
18. Classifique as func¸o˜es abaixo em: (i) injetora, (s) sobrejetora, (b) bijetora, (ni) na˜o injetora
ou (ns) na˜o sobrejetora:
2
a)f : R→ R b)g : R→ R
f(x) =
{
x2, se x ≥ 0
x, se x < 0
g(x) =

x− 1, se x ≥ 1
0, se −1 < x < 1
x+ 1, se x ≤ −1
c)n : N→ N d)h : R→ R
n(x) =
{
x, se x e´ par
x+1
2
, se x e´ ı´mpar
h(x) =
{
3x− 2, se x ≥ 2
x− 2, se x < 2.
19. Encontre a func¸a˜o inversa de cada uma das func¸o˜es a seguir:
a) f(x) = 3x− 2 b) f(x) = 2x + 1 c) f(x) = ln(x− 1)
20. Construa uma tabela com as imagens das func¸o˜es f(x) = sen(2x), g(x) = sen(x − pi/2),
h(x) = senx− pi/2 para os valores
0, pi
6
, pi
4
, pi
3
, pi
2
, 2pi
3
, 3pi
4
, 5pi
6
, pi, 3pi
2
, 2pi.
Esboce os gra´ficos separadamente. O que acontece em cada um desses gra´ficos em relac¸a˜o ao
gra´fico da func¸a˜o i(x) = senx?
21. Determine o (maior) domı´nio das seguintes func¸o˜es (reais de varia´vel real):
a)f(x) =
x2 + 2x
senx
b)f(x) =
√
cosx
2x− 7 c)f(x) =
√
x− 2
3
√
senx
d)f(x) =
2x+ 1
cos(x− pi/2) e)f(x) =
7
√
tgx f)f(x) = sec(2x)
g)f(x) = log(sen(2x)) h)f(x) =
√
2− senx i)i)f(x) = ecossecx
22. Esboce os gra´ficos das func¸o˜es abaixo.
a)f(x) = |senx| b)f(x) = | cosx+ 1| c)f(x) = | cosx− 1|
d)f(x) = sen|x| e)f(x) = |tgx| f)f(x) = | sec(x)− 1/2|
23. Determine o conjunto-domı´nio e o conjunto-imagem das func¸o˜es abaixo e, em seguida, esboce
os gra´ficos. Quais destas func¸o˜es sa˜o injetoras?
a) f(x) = ln |x− 2|;
b) f(x) =

1
x− 1; x 6= 1
2; x = 1
c) f(x) =

ex; x < 0
x2; x ≥ 0
3
d) f(x) =
x2 − x− 12
x+ 3
e) f(x) =

1 + x2; x < 1
4− x; x ≥ 1
f) f(x) =

| lnx|; 0 < x ≤ 2
−(ln2)(x− 3); 2 < x < 4
x2 − 16; x ≥ 4
g)

x+ pi
2
; x < −pi
2
tgx; −pi
2
< x < pi
2
| cosx|; x ≥ pi
2
GABARITO
1. A ∩B = ∅. 2. S = {m ∈ R|0 < m < 8}
3. a)Df = R b)Df = R c)Df = R d)Df = R e)Df = R f)Df = R− {−1}
4. m = 3 5. f(x+ 1) = 2x2 + x+ 7 e f(1− x) = 2x2 − x+ 7
6. y = x(x4 − 6x2 + 9) = x(x2 − 3) = x(x−√3)(x+√3) √3, 0,√3
7. a)R b)R− {7/2} c)[2, 4) ∪ (4 +∞) d)R− {±3} e)R f)[2,∞) g)R h)[2, 3) ∪ (3,∞) i)R∗
8. a)Df = R, Imf = {−4/7} b)Df = R, Imf = {pi} c)Df = R, Imf = R
10. Todos os domı´nios e imagens iguais a R. 11. f(0) = 29
3
, f(−16) = −1, f(x) = 2x+29
3
12. Na˜o. 13. f(f(x)) = − 1
x
14. a)
√√
x− 3− 3 b)x− 3 c)
√
x− 1√
x+ 4
14. d)
(
x− 1
x+ 4
)2
e)|x| g)x
2 − 1
x2 + 4
h)
√
x− 1
x+ 4
i)x j)
√
x− 3 15. S = {−6, 1, 6}
16. a)R∗ b)(2,+∞) c)(3,∞) e)R f)(−1, 0] ∪ (5,∞) g)(−∞,−2) ∪ (−2,−√3) ∪ (7,∞)
17. a)2b b)a/3 c)2a/3 d)1− a/3 e)a/9 + 2b/3 18. a)b b)s, ni c)b d)ns, i
19. a) f−1(x) =
x+ 2
3
b) f−1(x) = log2(x− 1) c) f−1(x) = ex + 1
20.
4
0 pi
6
pi
4
pi
3
pi
2
2pi
3
3pi
4
5pi
6
pi 3pi
2
2pi
sen(2x) 0
√
3
2
1
√
3
2
0 −
√
3
2
−1 −
√
3
2
0 0 0
sen(x− pi/2) −1 −
√
3
2
−
√
2
2
−1
2
0 1
2
√
2
2
√
3
2
1 0 −1
sen(x)− pi/2 −pi
2
1−pi
2
√
2−pi
2
√
3−pi
2
2−pi
2
√
3−pi
2
√
2−pi
2
1−pi
2
−pi
2
−1−pi
2
−pi
2
21. a) S = {pi/2 + kpi : k ∈ Z} b) S = {pi/2 + 2kpi : k ∈ Z} c) S = {kpi : k ∈ Z}
21. d) S = {pi/6 + 2kpi : k ∈ Z} ∪ {5pi/6 + 2kpi : k ∈ Z}
21. e) S = {kpi : k ∈ Z} ∪ {pi/2 + 2kpi : k ∈ Z} ∪ {3pi/2 + 2kpi : k ∈ Z}
21. f) S = {pi/6 + kpi : k ∈ Z} ∪ {5pi/6 + kpi : k ∈ Z}
23. a) Df = R− {2}, Imf = R, b) Df = R, Imf = R∗ c) Df = R, Imf = R+
23. d) Df = R − {−3}, Imf = R − {−7} e) Df = Imf = R f) Df = R∗+,
Imf = (− ln 2,+∞)
23. g) Df = R− pi
2
, Imf = R Injetoras: b, d
5