matemática

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MATEMÁTICA I
PRÉ-VESTIBULAR 25PROENEM.COM.BR
FUNÇÃO COMPOSTA 
E FUNÇÃO INVERSA12
FUNÇÃO COMPOSTA
Dadas duas funções f e g, podemos obter outras funções 
através da composição das mesmas.
Por exemplo:
gof (x) = g(f(x)) → diz-se função composta de g com f.
fog (x) = f(g(x)) → diz-se função composta de f com g.
INTERPRETAÇÃO GRÁFICA
g�f(x)
f(x)
g(f(x))x
Uma composição g(f(x)) só será possível quando o 
contra-domínio de f(x) for igual ao domínio de g(x)
PROEXPLICA
Exemplo1:
Se A = {0, 1}, B = {4, 5} e C = {2, 3} e as funções f: A → B com f 
(x) = x + 4 e g: B → C com g(x) = x - 2
g�f(x)
Cálculo g(x) = x - 2
 g(f(x)) = f(x) -2
 g(f(x)) = x + 4 - 2
 g(f(x)) = x + 2
1º tipo:
Quando temos duas funções e pedimos para compor uma 
nova.
Exemplo2: 
Se f(x) = 2x - 1 e g(x) = 3x + 2, determine f(g(x)), f(f(x)) e f(g(3)).
a) f(x) = 2x - 1
 f(g(x)) = 2g(x) - 1
 f(g(x)) = 2(3x + 2) - 1
 f(g(x)) = 6x + 4 - 1
 f(g(x)) = 6x + 3
b) f(x) = 2x - 1
 f(f(x)) = 2(f(x)) - 1
 f(f(x)) = 2(2x - 1) - 1
 f(f(x)) = 4x - 2 - 1
 f(f(x)) = 4x - 3
c) f(g(x)) = 6x + 3
 f(g(3)) = 6(3) + 3
 f(g(3)) = 21
2º tipo:
Quando damos a composta, a função de fora e pedimos a de 
dentro.
Exemplo3:
Se f(g(x)) = 6x + 3 e f(x) = 2x - 1, determine g(x).
f(x) = 2x - 1
f(g(x)) = 2g(x)-1
6x + 3 = 2 g(x) -1
6x + 4 = 2 g(x)
g(x) = 3x + 2
3º tipo:
Quando damos a composta, a função de dentro e pedimos a 
de fora.
Exemplo4: 
Se f(g(x)) = 6x + 3 e g(x) = 3x + 2, determine f(x).
f(g(x)) = 6x + 3
f(3x + 2) = 6x + 3
PRÉ-VESTIBULARPROENEM.COM.BR26
MATEMÁTICA I 12 FUNÇÃO COMPOSTA E FUNÇÃO INVERSA
Chamamos 3x + 2 de k e isolamos x para substituir.
3x + 2 = k
3x = k - 2
x = 
k 2
3
−
Voltando na função, teremos então:
f(k) = 6 
k 2
3
− 
 
 
+3
f(k) = 2k - 4 + 3
f(k) = 2k – 1
Chamamos agora k de x, fi cando com
f(x) = 2x - 1
01. (MACKENZIE) As funções f(x) = 3 – 4x e g(x) = 3x + m são 
tais que f(g(x)) = g(f(x)), qualquer que seja x real. O valor de m é:
a) 9
4
b) 5
4
c) 6
5
− d) 9
5
e) 2
3
−
Resolução: C
f(g(x)) = 3-4(3x + m) = 3 – 12x – 4m
g(f(x))=3(3 – 4x) + m = 9 –12x + m
Como f°g(x) = g°f(x), então,
3 – 12x – 4m = 9 – 12x + m
3 – 4m = 9+m
5m = – 6
M = 6
5
−
EXERCÍCIO RESOLVIDO
02. (PUC) Considere ( )
2x 1f x
x 2
−
=
−
 e ( )g x x 1= − . Calcule f(g(x)) 
para x = 4:
a) 6 b) 8 c) 2 d) 1 e) 4
Resolução: B
f°g(x) = 
( )
( )
2 2 2x 1 1 x 2x 1 1 x 2x
x 1 2 x 3 x 3
− − − + − −
= =
− − − −
f°g(4) = 
24 2 4 8
4 3
− ⋅
=
−
FUNÇÃO INVERSA
É a função que se obtém quando trocamos de posição os 
elementos de todos os pares ordenados da função f.
É importante saber que apenas a função bijetora admite função 
inversa.
Exemplo:
 A = {1, 2, 3}
 B = {6, 7 ,8}
 f: A → B
 y = x + 5
 f(x) = {(1, 6), (2, 7), (3, 8)}
 f -1(x) = {(6, 1), (7, 2), (8, 3)}
Cálculo
I) Trocar x por y. 
II) Isolar y.
Exemplo1: Determine a função inversa de f(x) = x + 5.
 y = x + 5
 x = y + 5
 y = x – 5 → inversa de f
Exemplo2: Determine a função inversa de f(x) = 2x – 5
 y = 2x – 5
 x = 2y – 5
 2y = x + 5
1x 5y y
2
−+= →
Exemplo3: Determine a inversa de f(x) = x 2
3x 5
+
−
x 2y  
3x 5
+
=
−
y 2x  
3y 5
+
=
−
 3xy – 5x = y + 2
 3xy – y = 5x + 2
 y(3x – 1) = 5 x + 2
5x 2y  
3x 1
+
=
−
-1 5x 2f(x)  
3x -1
+
=
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12 FUNÇÃO COMPOSTA E FUNÇÃO INVERSA
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MATEMÁTICA I
01. (UFMA) Se ( ) 8x 7f x
5x 8
−
=
+
   está defi nida para todo 
x ∈  – {
8
5
− }, então o valor de f–1 (1) é:
f) –5 g) 6 h) 4 i) 5 j) –6
Resolução: D
Solução 1
Calculamos a inversa e depois substituímos x = 1
8x 7y  
5x 8
−
=
+
8y 7x  
5y 8
−
=
+
5xy + 8x = 8y – 7
5xy – 8y = – 8x – 7
y (5x-8) = – 8x-7
( )1 8x 7f x  
5x 8
− − −=
−
( ) ( )( )
1 8 1 7 15f 1     5
5 1 8 3
− − − −= = =
− −
Solução 2:
Como o x = 1 é o domínio da função inversa, é porque 
antes ele era a imagem da função f(x). podemos simplesmente 
colocar y = 1, tendo então:
8x 71  
5x 8
−
=
+
5x + 8 = 8x – 7
3x = 15
x = 5
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Gráfi co da função inversa.
Os gráfi cos de determinada função e de sua inversa são 
representados pela simetria em relação à reta, onde y = x.
PROTREINO
EXERCÍCIOS
01. Se f(x) 3x 1 e fog(x) 2x 1= + = − , determine g(x) .
02. Sendo f(x) x² 2= − , determine o valor de x para que f(x) f(x 1)= +
03. Determine o valor de a para que ( ) x 1f x
2x a
+
=
+
 possua como 
inversa a função ( )1 1 3xf x
2x 1
− −=
−
04. Dada as funções f(x) 5x e g(x) 3x 2= = + , calcule : 
1 1g (x) f (x)− −+ .
05. Seja 
2x 3f(x)
5
−
= , determine o valor de x, sabendo que 
1 7f (x)
2
− = .
PROPOSTOS
EXERCÍCIOS
01. (ESPM) O conjunto imagem de uma função inversível é igual 
ao domínio de sua inversa. Sendo f:A→B tal que f(x) = 2 1
1
x
x


 uma 
função real inversível, seu conjunto imagem é:
a)  – {1}
b)  – {–1}
c)  – {–2}
d)  – {0}
e)  – {2}
02. (EEAR) Sabe-se que a função f(x) = 
x  3
5
 é invertível. Assim, 
f–1(3) é
a) 3 b) 4 c) 6 d) 12 e) 15
03. (UNICAMP Considere o gráfi co da função y = f(x) exibido na 
fi gura a seguir.
O gráfi co da função inversa y = f–1(x) é dado por
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MATEMÁTICA I 12 FUNÇÃO COMPOSTA E FUNÇÃO INVERSA
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
04. (ESPCEX) Na fi gura abaixo está representado o gráfi co de uma 
função real do 1º grau f(x). A expressão algébrica que defi ne a 
função inversa de f(x) é
a) y = 
x
2
1
b) y = x +
1
2
c) y = 2x – 2
d) y = – 2x + 2
e) y = 2x + 2
05. (UEPB) Dada a função bijetora f(x) = 
3 2
1
x
x


, D(f) =  – {1}, 
o domínio de f–1(x)
a)  – {3}
b) 
c)  – {1}
d)  – {–1}
e)  �



2
3
06. (IFCE) Se  é o conjunto dos números reais, a função f: → 
dada por 
3x 1f(x)
2
+
= possui inversa 
a) 1
3
3f (x) .
2x 1
− =
+
 
b) 1 3
2f (x) .
x 1
− =
+
 
c) 1 3f (x) 2x 1.− = + 
d) 1 3f (x) 2x 1.− = − 
e) 1 3x 1f (x) .
2
− += 
07. (UPFRS) Considere a função real g cuja representação gráfi ca 
está parcialmente ilustrada na fi gura a seguir. Sendo g∘g a função 
composta de g com g então, o valor de (g∘g) (-2) é:
a) 0 b) 4 c) 2 d) -2 e) -5
08. (UNICAMP) Considere as funções f e g, cujos gráfi cos estão 
representados na fi gura abaixo.
O valor de f(g(1)) – g(f(1)) é igual a
a) 0 b) -1 c) 2 d) 1 e) -2
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12 FUNÇÃO COMPOSTA E FUNÇÃO INVERSA
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MATEMÁTICA I
09. (CFTMG) A função inversa da função f(x) = (x 1)
2
− é
a) 2x + 1
b) 2x – 1
c) 
2
(x 1)−
d) (x 1)
2
+
e) (x 1)
4
+
10. Seja f a função de  em  dada por f(x)= -2x. Um esboço 
gráfi co da função f–1, inversa de f, é
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
11. (UNICAMP) Sabendo que a é um número real, considere a 
função f(x) ax 2,= + defi nida para todo número real x. Se f(f(1)) 1=
então 
a) a 1.= −
b) a 1 2.= −
c) a 1 2.=
d) a 1.=
12. (FUVEST) Se a função f : {2}− →  é defi nida por 2x 1f(x)
x 2
+
=
−
e a função g : {2}− →  é defi nida por g(x) f(f(x)),= então g(x) é 
igual a 
a) x
2
b) x2 c) 2x d) 2x+3 e) x
13. (UECE) Se f, g e h são funções reais de variável real defi nidas 
respectivamente por 1 x 1f(x) , g(x)
x x 1
+
= =
−
 e 2h(x) x ,= é correto afi rmar 
que o gráfi co da função composta h g f h(g(f)),=  (h g f)(x) h(g(f(x)))= 
cruza o eixo dos x (eixo horizontal no sistema de coordenadas 
cartesianas usual) em um ponto cuja abcissa é um número 
a) inteiro negativo.
b) inteiro positivo.
c) irracional negativo.
d) irracional positivo.
14. (UPF) Um estudo das condições ambientais de um município 
do Rio Grande do Sul indica que a taxa média de monóxido de 
carbono (CO) no ar será de C(P) 0,2P 1= − partes por milhão (ppm) 
quando a população for P milhares de habitantes. Sabe-se que 
em t anos, a população desse município será dada pela relação 
2P(t) 50 0,05t .= + O nível de monóxido de carbono, em função do 
tempo t, é dado por 
a) 2C(t) 9 0,01t= +
b) 2C(t) 0,2(49 0,05t )= +
c) 2C(t) 9 0,05t= +
d) 2C(t) 0,1(1 0,05t ) 1= + −
e) 2C(t) 10 0,95t= +
15. (UNICAMP) Seja a função h(x) defi nida para todo número real 
x por 
x 12 se x 1,
h(x)
x 1 se x 1.+ ≤= 
− >
Então, h(h(h(0))) é igual a 
a) 0
b) 2
c) 4
d) 8
16. (UECE) Seja f : R {0} R− → a função defi nida por 1f(x) x .
x
= +
Em relação à imagem de f, defi nida por Im(f) {f(x); x R {0}},= ∈ − é 
correto afi rmar que
] , a] {x R, x a}−∞ = ∈ ≤
[a, [ {x R, x a}∞ = ∈ ≥
a) Im(f) ] , 1] [1, [= −∞ − ∪ ∞
b) Im(f) ] , 2] [2, [= −∞ − ∪ ∞
c) Im(f) ] , 1] [2, [= −∞ − ∪ ∞
d) Im(f) ] , 2] [1, [= −∞ − ∪ ∞
17. (ESPM) Se f(x)=2x+1 e g(x)=3—x, a função h(x) representada no 
diagrama abaixo é:
a) 2 xh(x)
2
−
=
b) 
2 xh(x)
x
−
=
c) 
xh(x)
2 x
=
−
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MATEMÁTICA I 12 FUNÇÃO COMPOSTA E FUNÇÃO INVERSA
d) 
xh(x)
x 2
=
−
e) 
x 2h(x)
2x
−
=
18. (UECE) A função real de variável real definida por 2x 3f(x) ,
4x 1
+
=
+
 
para 1x
4
≠ − é invertível. Sua inversa g pode ser expressa na forma 
ax bg(x) ,
cx d
+
=
+
 onde a, b, c e d são números inteiros.
Nessas condições, a soma a+b+c+d é um número inteiro múltiplo 
de 
a) 6 b) 5 c) 4 d) 3
19. (MACKENZIE) Se a função f : {2} ∗− →  é definida por 
5f(x)
2 x
=
−
 e f-1 a sua inversa, então 1f ( 2)− − é igual a 
a) 
1
2
−
b) 
9
2
c) 
9
2
−
d) 1
2
e) 5
4
20. (UECE) A função real de variável real definida por x 2f(x)
x 2
+
=
−
 é 
invertível. Se f-1 é sua inversa, então, o valor de 1 1 2[f(0) f (0) f ( 1)]− −+ + − é 
a) 1. b) 4. c) 9. d) 16.
05. APROFUNDAMENTO
EXERCÍCIOS DE
01. (UNICAMP) Seja a um número real positivo e considere as 
funções afins f(x)=ax+3a e g(x)=9–2x, definidas para todo número 
real x.
a) Encontre o número de soluções inteiras da inequação 
f(x)g(x)>0.
b) Encontre o valor de a tal que f(g(x))=g(f(x)) para todo número 
real x. 
02. (UFU) Fixado um sistema de coordenadas cartesianas xOy, 
considere as funções reais de variável real ( ) 2y f x x b x c= = + ⋅ + e 
( )y g x k x 4,= = ⋅ + em que as constantes b, c, k são números reais.
Sabendo que o gráfico de f é dado pela parábola de vértice V = (1,1), 
determine todos os possíveis valores reais que k poderá assumir de 
maneira que a equação definida pela composição (g°f)(x)=0 tenha 
raiz real.
03. (PUCRJ) Seja x 1f(x) .
x 1
+
=
− +
c) Calcule f(2).
d) Para quais valores reais de x temos f(f(x))=x?
e) Para quais valores reais de x temos f(f(f(f(x))))=2011?
04. (UFBA) Determine f—1(x), função inversa de { } 1f : 3
3
 − → −  
 
  , 
sabendo que xf(2x 1)
3x 6
− =
−
 para todo { }x 2∈ − .
05. (FGV) Considere uma função p(x), tal que 2p(x)—p(2—x)=3x2– 3x–2.
a) Calcule p(1).
b) Qual é o valor da soma p(-1) + p(3)?
GABARITO
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. E
02. D
03. C
04. C
05. A
06. D
07. B
08. D
09. A
10. C
11. A
12. E
13. A
14. A
15. C
16. B
17. A
18. C
19. B
20. C
 EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO
01. 
a. 7 soluções inteiras
b. 
1a
2
=
02. 4 k 0− ≤ <
03. 
a. -3
b. não existe um valor de x tal que x2=–1
c. x = 2011
04. ( )19x 1 f x
3x 1
−+ =
−
05. 
a. -2
b. 20
ANOTAÇÕES