MODELOS DE PROBABILIDADE - ESTATÍSTICA 2 - 2017/1 - PROF. RICARDO TAVARES

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Modelos de Probabilidade
Modelo Bernoulli
Na prática existem muitos experimentos que admitem apenas dois resultados.
Exemplos:
• uma peça é classificada como boa ou defeituosa;
• o resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou 
negativo;
• um paciente submetido a um tratamento durante um período de tempo fixo, 
cura-se ou não da doença;
• um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita;
• no lançamento de um dado ocorre ou não a face 5.
Situações com alternativas dicotômicas podem ser representadas genericamente, por 
respostas do tipo sucesso-fracasso.
Esses experimentos recebem o nome de Ensaios de Bernoulli e originam uma v.a. com 
distribuição de Bernoulli.
Variável aleatória de Bernoulli: É uma v.a. que assume apenas dois valores:


.,0
,,1
fracassoocorrerse
sucessoocorrerse
Geralmente, a probabilidade de sucesso é representada por p, 0 < p < 1.
X ~ Bernoulli (p) indica uma v. a. com distribuição de Bernoulli com parâmetro p, isto 
é,
X = 

.,0
,,1
fracassoocorrerse
sucessoocorrerse
e sua função de probabilidade pode ser representada pela tabela:
X 1 0
P(X=x) p 1 - p
A função de probabilidade é dada por:
.1,0,)1()( 1 =−== − jppjXP jj
Na aula será mostrado que E(X) = p e V(X) = p(1-p).
Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli dão origem ao modelo binomial.
Modelo Binomial
Tratamento de n ensaios independentes de Bernoulli e modela experimentos com 
reposição. 
 Veja alguns exemplos de experiências binomiais:
• Respostas de um teste com diversas questões do tipo V ou F;
• Escolher alguns produtos entre produtos bons ou defeituosos;
• Sexo das crianças nascidas em determinada maternidade;
• Atirar algumas vezes em um alvo, atingindo-o ou não;
• Fumantes ou não fumantes em um grupo de adultos;
• Alunos de uma escola vacinados ou não vacinados.
 Para utilizarmos a distribuição binomial, as seguintes hipóteses devem ser 
atendidas:
• São realizados n ensaios do mesmo tipo (idênticas);
• Cada ensaio admite dois resultados possíveis, um chamado sucesso e o outro 
fracasso;
• As probabilidades p, de sucesso, e 1-p, de fracasso, permanecem constantes em 
todos os ensaios;
• Os resultados dos ensaios são independentes.
....,,2,1,0,)1.(.)( 1, njppCjXP
jj
jn =−==
−
Em que: n é o número de ensaios ou repetições do experimento;
 j é o número de sucessos
 n-j é o número de fracassos
 p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio
 1-p é a probabilidade fracasso em cada ensaio
 Cn,j é o número de combinações de n elementos, tomados j a j.
• (Mostrar em sala) A variável X tem E[X] = n.p e V[X] = n.p.(1-p)
Exemplo:
• Seja uma urna com N bolas das quais M são brancas e (N-M) são pretas. Retiram-se 
sucessivamente n bolas da urna, recolocando a bola na urna após cada retirada.
• Qual é a probabilidade de tirarmos j vezes bolas brancas?
P(X=j) = Cn,j (M/N)j (1- M/N)n-j
Exemplo 1: 30% dos pacientes picados com uma agulha infectada com hepatite B 
desenvolvem a doença. Suponha que selecionamos cinco indivíduos da população de 
pacientes que foram picados com um agulha infectada com hepatite B.
a) Qual é a probabilidade de que pelo menos três indivíduos, entre os cinco, 
desenvolvam a hepatite B?
b) Qual é a probabilidade de que no máximo um paciente desenvolva a doença?
c) Qual seria o número médio de pessoas que desenvolveriam a doença? e a variância?
Então,
a) P(X>=3) = ... = 0,1630.
b) P(X<=1) = ... = 0,5282.
c) E(X) = np = 5 . 0,3 = 1,5.
 Var(X) = np(1-p) = 5 . 0,3 . 0,7 = 1,05.
Exemplo 2: Considere uma prova com 12 questões, cada uma com 4 alternativas. 
Suponha que o aluno escolha a resposta ao acaso. Qual a probabilidade dele acertar pelo 
menos 6 questões?
(Fazer em Sala!)
Modelo Hipergeométrico
O modelo Hipergeométrico é uma variável aleatória que é definida como o número de 
objetos do tipo M numa amostra sem reposição de tamanho n numa população de N 
objetos donde j deles são do tipo M. Modela experimentos sem reposição de uma 
população com um número finito de elementos, em cada elemento pode ser de um de 
dois tipos. M elementos do tipo 1 e (N-M) do tipo 2. Se X é a v.a. que designa o número 
de ocorrência do evento do tipo 1 dentre n experimentos, então sua distribuição de 
probabilidade é:
).,min(0,
.
)(
,
,, nMj
C
CC
jXP
nN
jnMNjM ≤≤== −−
Notação: X ~ Hip(N, M, n)
Exemplo: Uma caixa contém 15 peças das quais 04 estão com defeito. Retira-se uma 
amostra de 03 peças da caixa sem reposição. Calcular a probabilidade que haja 02 ou 03 
peças defeituosas na amostra.
P[X=2] + P[X=3] = (C4,2.C11,1/C15,3) + (C4,3.C11,0/C15,3) = 0,153
- Esperança:
• E[X] = n. M/N
- Variância:
• V[X] = n M (N-M) (N-n) / (N2 (N-1))
Modelo Poisson
É uma aproximação do modelo binomial quando o número de ensaios de Bernoulli 
tende a infinito. A v.a. X tem distribuição de Poisson com parâmetro λ se para 
j=0,1,2,...: P[X=j] = (e-λ λj)/ j! , onde λ (>0) é a taxa de ocorrência média esperada num 
determinado intervalo de tempo. Sendo que: E[X] = λ e V[X] = λ.
 Alguns fenômenos observáveis que são estudados através do modelo de Poisson:
• Chamadas telefônicas por unidade de tempo;
• Defeitos por unidade de área;
• Acidentes por unidade de tempo;
• Chegada de clientes a um supermercado por unidade de tempo;
• Número de glóbulos sanguíneos visíveis ao microscópio por unidade de área;
• Número de partículas emitidas por uma fonte de material radioativo por unidade 
de tempo.
 Hipóteses do modelo de Poisson:
• A probabilidade de uma ocorrência em um intervalo t∆ é constante e 
proporcional ao tamanho do intervalo;
• A probabilidade de mais de uma ocorrência em um intervalo t∆ é igual a zero;
• O número de ocorrências constitui variáveis aleatórias independentes.
( )
!
),(
j
tetjXP
jt λλ−
==
λ é o coeficiente de proporcionalidade, ou taxa de freqüência por unidade de tempo ou 
área;
t é o tempo ou a área;
e é a base dos logaritmos naturais;
j é o número de ocorrências (sucessos)
Fazendo tλµ = (média da distribuição), então teremos que 
!
),(
j
etjXP
jµµ−
==
Exemplo:
• A emissão de partículas radioativas tem sido modelada através de distribuição de 
Poisson, com o valor do parâmetro dependendo da fonte utilizada. Suponha que o 
número de partículas α, emitidas por minuto, seja uma v.a. seguindo o modelo de 
Poisson com taxa média de 5 emissões por minuto. Qual é a probabilidade de haver 
mais de 2 emissões em um minuto?
• A ~ Poi(5).
• 875,0
!
51)(1)()2(
2
0
52
03
=−==−===> ∑∑∑
=
−
=
∞
= j
j
jj j
ejAPjAPAP .
Obs. : Fazer mais um exemplo em sala e a aproximação da binomial pela poisson.
Modelo Normal
• A distribuição Normal é a mais familiar das distribuições de probabilidade e 
também uma das mais importantes em Estatística;
• Esta distribuição tem uma forma de sino;
• A equação da curva Normal é especificada usando dois parâmetros: média 
populacional ( µ ) e a variância populacional ( 2σ );
• Denotamos N ( µ , 2σ ) à curva Normal com média µ e variância 2σ ;
• A média refere-se ao centro da distribuição e o desvio padrão ao espalhamento 
de curva;
• A distribuição normal é simétrica em torno da média, o que implica que a média, 
a mediana e a moda são todas coincidentes;
• Para referência, a equação da curva é dada por
.0,,,
2
1)(
2
2
1
2
>∞<<∞−∞<<∞−=


 −
−
σµ
pi σ
σ
µ
xexf
x
• É importante que você entenda como a curva é afetada pelos valores numéricos 
de µ e 2σ ;
• A área sob a curva normal (na verdade abaixo de qualquer função de densidade 
de probabilidade) é 1;
• Então, para quaisquer dois valoresespecíficos podemos determinar a proporção 
de área sob a curva entre esses dois valores;
• Para a distribuição Normal, a proporção de valores caindo dentro de um, dois, 
ou três desvios padrão da média são:
Amplitude Proporção
µ ± 1σ 68,3%
µ ± 2σ 95,5%
µ ± 3σ 99,9%
• Este resultado é usado da seguinte maneira: suponha que os comprimentos de 
um particular tipo de peixe podem ser descritos por uma distribuição normal, 
com média 140mm e desvio padrão 15mm;
• Podemos calcular a proporção dos peixes que têm comprimentos entre 110 e 
170mm, por exemplo, como a proporção da área sob a curva entre 110 e 
170mm;
• Para a distribuição Normal, a proporção de valores caindo dentro de um, dois, 
ou três desvios padrão da média são:
• Então em nosso exemplo, cerca de 95% dos peixes tem comprimentos entre 
110mm e 170mm;
• Na prática desejamos calcular probabilidades para diferentes valores de µ e σ ;
• Para isso, a variável X cuja distribuição é N( µ , 2σ ) é transformada numa 
forma padronizada Z com distribuição N(0, 1) (distribuição normal padrão) pois 
tal distribuição é tabelada;
• A quantidade Z é dada por Z = (X – µ ) / σ
• Exemplo: A concentração de um poluente em água liberada por uma fábrica tem 
distribuição N(8, 1.5). Qual a chance, de que num dado dia, a concentração do 
poluente exceda o limite regulatório de 10 ppm?
• A solução do problema resume-se em determinar a proporção da distribuição 
que está acima de 10 ppm, ou seja, P(X >10). Usando a estatística z temos:
P(X > 10) = P[ Z > (10 – 8)/1.5 ]
 = P[ Z > 1.33 ]
 = 1 – P[ Z <= 1.33]
 = 0.09
• Portanto, espera-se que a água liberada pela fábrica exceda os limites 
regulatórios cerca de 9% do tempo;
• EXERCÍCIO: A concentração de cadmio em cinzas de um certo lixo radioativo 
tem distribuição N(1, 0.72). Quais são as chances de que uma amostra aleatória 
das cinzas tenha uma concentração de cadmio entre 0.5 e 1.75 ppm?
Mais sobre Modelo de Gauss (ou Normal)
Os dados abaixo são medidas do tórax (polegadas) de 5732 soldados escoceses, tomadas 
pelo matemático belga, Adolphe Quetelet (1796-1874).
A média refere-se ao centro da distribuição e o desvio padrão ao espalhamento (ou 
achatamento) da curva.
A distribuição normal é simétrica em torno da média o que implica que e média, a 
mediana e a moda são todas coincidentes.
A área sob a curva normal (na verdade abaixo de qualquer função de densidade de 
probabilidade) é 1. Então, para quaisquer dois valores específicos podemos determinar a 
proporção de área sob a curva entre esses dois valores.
Obs.: Fazer o uso da tabela e mais exemplos em sala, e combinação de var. 
normais.
	Mais sobre Modelo de Gauss (ou Normal)