unidade 4 probabilidade II

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Introdução
Autoria: Joelma Iamac Nomura e Rafaela Rodrigues Oliveira
Amaro
Estatística Descritiva
UNIDADE 4 -
PROBABILIDADE II
Bem-vindo ao estudo da quarta unidade de
Estatística Descritiva! Nesta unidade
apresentaremos a distribuição de Poisson como
outro exemplo especial e importante de uma
distribuição de probabilidade. Estudaremos que
essa distribuição de probabilidade está atrelada
a eventos que ocorrem em intervalos
determinados como tempo, distância, área ou
outras unidades pertinentes. Também estudaremos a função distribuição acumulada,
que calcula a probabilidade acumulada para um determinado valor da variável
aleatória x, e a distribuição exponencial, que é uma distribuição muito importante e
tem aplicações em confiabilidade de sistemas. E, por fim, estudaremos a mais
importante distribuição de probabilidade contínua, a distribuição normal, que depende
de dois parâmetros: a média populacional e o desvio-padrão populacional, que nos
levam a diferentes representações de curvas. Várias aplicações serão apresentadas e
relacionadas à representação gráfica da distribuição normal de probabilidade, dada
por um gráfico em forma de sino que se prolonga indefinidamente em ambas as
direções, sem jamais tocar o eixo horizontal. A importância da distribuição normal está
no fato de que essa distribuição pode ser usada como aproximações de outras
distribuições de probabilidade, tais como a binomial e a de Poisson. A distribuição
normal é muito usada para modelar fenômenos e fundamental para a maior parte das
técnicas da estatística prática moderna. Assim, no final do desta unidade, você terá
conhecimento suficiente para responder as seguintes questões: o que se entende por
distribuições de probabilidades discretas e contínuas e quais suas principais
diferenças? Por que as distribuições normais têm a representação gráfica em forma
de sino? Como interpretar um gráfico de uma distribuição normal?
Bons estudos!
4.1 Distribuição de
Poisson
De acordo com Martins e Domingues (2017), a distribuição de Poisson é um modelo
probabilístico indicado para avaliar um grande número de fenômenos observáveis e aplicáveis a
sequências de eventos que ocorrem por unidade de tempo, área, volume, tais como: acidentes
por unidade de tempo, chamadas telefônicas por unidade de tempo ou arranhões por unidade
de área.
4.1.1 Modelo probabilístico
Conforme define Triola (2017), a distribuição de Poisson corresponde a uma distribuição
discreta que é aplicada a ocorrências de eventos em um determinado intervalo, sendo a
variável aleatória x o número de ocorrências do evento no intervalo que pode ser o tempo, a
área, o volume ou qualquer outra unidade.
Juntamente com as diferenças observadas entre a distribuição de Poisson e distribuição
binomial, Triola (2017) cita que a distribuição de Poisson é afetada apenas pela média ,
enquanto a distribuição binomial é afetada pelo tamanho da amostra n e pela probabilidade p.
Além disso, numa distribuição de Poisson, os valores possíveis não têm limites, sendo que os
limites de uma distribuição binomial correspondem aos valores possíveis da variável aleatória x
que são 0,1,2,3,4,..., n. Nesse sentido, um único valor é preciso para determinar a probabilidade
de um determinado número de sucessos na dinâmica de Poisson, uma vez que o número
médio de sucessos determinará a probabilidade para a situação específica. Esse número médio
é representado pela letra grega 𝜆 (lambda) e a fórmula para determinar a probabilidade em uma
distribuição de Poisson é: , em que 𝜆 corresponde à média; e é número de
Euler (constante) que tem valor aproximado a 2,71828... e representa a base dos logaritmos
naturais; e 𝑥, o número de sucessos. Valores para podem ser encontrados com o auxílio de
uma calculadora científica ou alguns valores podem ser consultados por intermédio da tabela a
seguir.
A espera na fila para ser atendido ou servido recebe o nome
Queuing; existem vários exemplos de Queuing em nosso
cotidiano, como esperar em uma fila para ser atendido em uma
padaria, esperar para utilizar um elevador ou aguardar o sinal
verde em um semáforo para seguir viagem entre outras situações.
A distribuição de Poisson serve de base para prever e modelar o
número de pessoas (veículos, pessoas etc.) que provavelmente
chegarão à fila (LARSON; FARBER, 2016).
Você sabia?
#PraCegoVer: tabela com quatro colunas e vinte e cinco linhas que expressam os valores de 𝜆
e .
O exemplo a seguir nos leva a uma aplicação da distribuição de Poisson usada no setor de
inspeção de uma indústria de tecidos. Vamos a ele!
Tabela 1 - Valores de para alguns valores de 𝜆.
Fonte: CASTANHEIRA, 2017.
O setor de inspeção de uma empresa que fabrica faixas adesivas para decoração de paredes
identificou que, em média, a cada 70 metros encontram-se 7 emendas. Admita que a
distribuição do número de emendas é modelada conforme uma distribuição de Poisson. Vamos
encontrar as probabilidades de:
a) De não existir nenhuma emenda?
Se existe uma emenda a cada 70 metros, logo a média é , como foi
solicitado a probabilidade de não existir emendas, que equivale a , substituímos essas
informações:
Dessa maneira, existe, aproximadamente, 90,48% de chance de não encontrar nenhuma
emenda em uma faixa de 70 metros.
b) De ocorrer no máximo duas emendas?
O fato de ter no máximo duas emendas equivale a encontrar a probabilidade de encontrar
nenhuma, uma ou duas emendas, logo:
Logo, .
Assim, a chance de ocorrer no máximo duas emendas em uma faixa de 70 metros equivale a
99,98%.
c) De encontrar pelo menos uma emenda?
Pelo menos uma emenda equivale a no mínimo uma emenda, o que nos leva a relação: 
. Não temos como determinar o número máximo de emendas, assim,
recorremos ao raciocínio contrário, considerando que 1 equivale a 100%. Assim, temos: 
, segue que .
Portanto, existe 9,52% de chance de encontrar pelo menos uma emenda em um rolo de 70
metros.
Siméon Denis Poisson (1781- 1840) foi um engenheiro e
matemático francês que desenvolveu pesquisas sobre
mecânica, eletricidade, elasticidade, calor, som, além de
estudos matemáticos com equações diferenciais e
probabilidade (COSTA, 2019).
Você o conhece?
Teste seus conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Conforme aponta Freund e Simon (2009), a distribuição de Poisson tem muitas aplicações
que não apresentam ligação direta com a distribuição binomial. A fórmula da distribuição de
Poisson é dada pela relação , para x=1,2,3,4,..., em que λ é o número
esperado, ou médio, de sucessos. Ela é aplicada quando se deseja calcular a probabilidade
do número fixo de sucessos por unidade de tempo (ou qualquer outra unidade). Diante esse
contexto, expomos a seguinte situação: são esperadas λ=5,6 imperfeições em uma peça de
tecido, qual a probabilidade de uma peça conter três imperfeições?
FREUND, J. E.; SIMON, G. A. Economia, Administração e Contabilidade. Estatística
Aplicada. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
7,82%
8,82%
9,82%
10,82%
11,82%
Verificar 
4.2 Função ou distribuição de
probabilidade
Martins e Domingues (2017) descrevem a função ou distribuição de probabilidade de uma
experiência aleatória como a função em que a cada evento possível existe uma
correspondência com a probabilidade de o evento ocorrer; essa distribuição pode ser expressa
a partir de uma tabela, gráfico ou fórmula.
4.2.1 Distribuição de probabilidade acumulada
Uma vez que trabalhamos com variáveis aleatórias contínuas, de acordo com Martins e
Domingues (2017), podemos caracterizar função de distribuição acumulada em determinado
ponto x como a soma das probabilidades dos valores de menores ou iguais a x.
Essa relação é expressa pela igualdade: 
De maneira semelhante à exposição do autor anterior, Morettin e Bussab (2010) definem a
função de distribuição acumulada à função , em que x é a variável aleatória.
Nessa relação, o domínio de F é todo conjunto dos números reais, ao passo que o
contradomínio é o intervalo [0,1].
Há distinções quanto ao uso da distribuição acumulada para variáveis contínuas ou discretas.
Paradistribuições contínuas, a função de distribuição acumulada fornece a área sob a função
densidade de probabilidade, até o valor de x estabelecido; e para distribuições discretas, a
função de distribuição acumulada gera a probabilidade acumulada para os valores de x
previamente estipulado.
Assim, a função distribuição acumulada calcula a probabilidade acumulada para um
determinado valor de x. É empregada para determinar a probabilidade de que uma observação
aleatória extraída da população seja menor ou igual a um determinado valor ou para determinar
a probabilidade de que uma observação seja maior do que um determinado valor ou esteja
entre dois valores.
A seguir, apresentamos uma figura que ilustra uma distribuição de probabilidade acumulada
para o valor de .
#PraCegoVer: curva com concavidade para baixo, com região na cor vermelha que mostra a
probabilidade acumulada até o valor de e o restante da curva na cor verde.
Há distinções quanto ao uso da distribuição acumulada para variáveis contínuas ou discretas.
Para distribuições contínuas, a função de distribuição acumulada fornece a área sob a função
densidade de probabilidade, até o valor de x estabelecido; para distribuições discretas, a função
de distribuição acumulada gera a probabilidade acumulada para os valores de x previamente
estipulados.
Conforme expressam Morettin e Bussab (2010), é possível construir modelos teóricos para
variáveis aleatórias contínuas, escolhendo de maneira adequada as funções densidade de
probabilidade. Para os autores, a função de densidade de probabilidade é um indicador de
concentração de “massa” (probabilidade) nos possíveis valores de x. Assim, existem regiões
com maior chance de ocorrer x em um dado intervalo e o que determina esse fato é a função
densidade de probabilidade. No entanto, conforme ressaltam os autores, a função densidade de
probabilidade não deve ser confundida com a probabilidade de ocorrência de algum evento,
que será fornecida pela área sob a curva entre dois pontos.
Figura 1 - Área de uma função acumulada
Fonte: LARSON; FARBER, 2016, p. 376.
4.3 Distribuição
l
exponencial
De acordo com Costa Neto e Cymbalista (2012), um fenômeno de Poisson de parâmetro é
aquele em que o número de sucessos em um intervalo de observação t segue uma distribuição
de Poisson de média , e em que T é um intervalo decorrido entre dois sucessos consecutivos.
Nessas condições, a distribuição da variável aleatória T recebe a denominação de distribuição
exponencial. Para que T seja maior que t genérico, é necessário que o próximo sucesso
demore para ocorrer mais que t. Dessa maneira, temos que
, em que 
A função de repartição no ponto t é igual a
Dessa maneira, conforme expõem Chwif e Medina (2006), se o tempo de ocorrências
sucessivas de um evento é exponencialmente distribuído, então, o número de eventos que
ocorrem em determinado intervalo de tempo é um processo de Poisson.
Martins e Domingues (2017) definem que uma variável aleatória contínua t que considere todos
os valores não negativos terá uma distribuição exponencial. A probabilidade é a área
compreendida entre o eixo x e a curva do gráfico da função densidade de probabilidade.
De maneira semelhante à distribuição de Poisson, a distribuição exponencial descreve o
comportamento de uma variável aleatória x no espaço ou no tempo; como o tempo de
chegadas de clientes a um banco, tempo entre gols sucessivos em uma partida de futebol ou a
área entre três defeitos consecutivos em um rolo de tecido, que podem ser modelados por tal
distribuição. Nesse contexto, esse modelo probabilístico é muito utilizado em modelos de
duração de vida de componentes que não se desgastam com o tempo. De maneira geral,
detém um papel muito importante na teoria da fila e em problemas de confiabilidade (WALPOLE
et al., 2008).
Atente-se que o parâmetro é interpretado como o número médio de ocorrências por unidade
de tempo, logo, uma constante positiva. A figura a seguir apresenta a representação gráfica de
uma distribuição exponencial quando .
No vídeo Estatística – Aula 09, ministrado pelo professor
André Leme Fleury, você poderá aprender mais sobre as
distribuições de probabilidades de Poisson e normal.
Acesse (https://www.youtube.com/watch?
v=ZAIBVL4koGQ)
Você quer ver?
https://www.youtube.com/watch?v=ZAIBVL4koGQ
#PraCegoVer: curva descendente com máximo em e mínimo próximo a zero sem, no
entanto, tocar nele.
Considere que, em determinado período do dia, o tempo médio de atendimento em um caixa de
banco seja de 2 minutos. Admitindo que o tempo para atendimento tenha distribuição
exponencial, para determinar a probabilidade de um cliente:
a) esperar 3 minutos;
Observe que e ; como o desejado é a probabilidade de esperar três
minutos, logo: .
Dessa forma, é possível concluir que há 22,31% de chance de um cliente esperar o
atendimento em um caixa por três minutos.
b) esperar no máximo 1,5 minutos;
Primeiramente, calculamos 
Como temos interesse em calcular , precisamos calcular o complementar de 
 que é igual a 
Assim, a probabilidade de se esperar no máximo 1,5 minutos é de 52,76%.
A seguir será apresentada uma importante distribuição de variáveis aleatórias contínuas que
modelam situações em que a distribuição do processo envolvido é considerada como a soma
de diversos processos componentes como, por exemplo, o tempo de execução de uma
operação que é igual à soma de execução de várias de suas etapas. Estamos falando da
distribuição normal.
Figura 2 - Distribuição exponencial para 
Fonte: COSTA NETO; CYMBALISTA, 2012.
4.4 Distribuição
normal
Para Crespo (2009), a distribuição normal é a distribuição de variável aleatória contínua mais
empregada, sendo muito comum seu estudo e pesquisa no campo socioeconômico. Sua função
densidade de probabilidade resultou na conhecida curva em forma de sino, denominada de
distribuição normal ou gaussiana. De acordo com Caire (2013), essa distribuição fornece uma
aproximação de curvas de frequência para medidas de dimensões e qualidades humanas.
Assim, a distribuição normal corresponde à distribuição de probabilidade contínua mais
importante e mais utilizada, sendo costumeiramente denominada de curva normal, curva de
Gauss ou ainda curva gaussiana. Sua importância está relacionada a muitas técnicas
estatísticas, como análise de variância, de regressão e alguns testes de hipótese, que
assumem e exigem a normalidade dos dados.
Castanheira (2013) afirma que a distribuição de probabilidade normal é de extrema importância
na inferência estatística pelos seguintes motivos.
A denominação "curva em forma de sino" é
atribuída a Esprit Jouffret (1837-1904) matemático
e militar que foi o primeiro a utilizar o termo
"superfície de sino" em 1872 (CAIRE, 2013).
Você sabia?
No trabalho de Caire (2013), você poderá conhecer a
história da curva normal a partir da contribuição dos
matemáticos Abraham de Moivre, Jacob Bernoulli e
James Stirling. Você poderá se aprofundar no assunto
estudando seus parâmetros e suas propriedades.
Acesse
(https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/
91024/caire_e_me_rcla.pdf?sequence=1)
Você quer ler?
As medidas produzidas por diferentes processos aleatórios seguem essa distribuição. 
Pode ser utilizada como aproximação de outras distribuições de probabilidade, como a de
Poisson e a binomial. 
Distribuições de estatística da amostra, como a média e a proporção, regularmente seguem
distribuição normal, independentemente da distribuição da população. 
 
https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/91024/caire_e_me_rcla.pdf?sequence=1
Conforme expõe Castanheira (2013), inicialmente, considerava-se que todos os fenômenos não
conseguiriam ser modelados conforme o modelo de uma curva normal, devido ao processo de
coleta de dados. Contudo, verificou-se que uma grande gama de situações é adaptada a essa
padronização, por isso a denominação distribuição normal de probabilidade.
Observe, na próxima figura, o gráfico da curva normal com média (que também é a moda e a
mediana) e desvio-padrão, decrescente assintoticamente a zero nos extremos e com pontos
de inflexão em e .
#PraCegoVer: curva em forma de sino para baixo com os pontos destacados: média igual a , 
 (média menos desvio-padrão) à esquerda de e (média mais desvio-padrão) à
direita de .
Larson e Farber (2016) reiteram que a curva normal possui algumas propriedades. Conheça a
seguir.
Pierre Simon, Marquês de Laplace (1749-1827) nasceu na
França e foi o primeiro a estudar o problema da agregação
de várias observações, em 1774. Foi ele que determinou a
constante de normalização para a distribuição normal e que,
em 1810, provou e apresentou à Academia Francesa o
teorema do limite central.
Você o conhece?
Figura 3 - Curva da distribuição normal
Fonte: COSTA NETO; CYMBALISTA, 2012.
A curva é assintótica, ou seja, nunca toca o eixo
horizontal, logo, a função de x jamais anula-se.
Conforme explica Freund e Simon (2009), em todo nosso trabalho com distribuições normais,
nos interessa apenas as áreas sob suas curvas, que na prática são encontradas a partir de
tabelas. Essas tabelas nos possibilitam encontrar áreas sob qualquer curva normal fazendo a
mudança de escala. É o que veremos a seguir!
4.4.1 Distribuição normal padronizada
De acordo com Costa Neto e Cymbalista (2012), a importância da distribuição normal decorre
de razões tanto práticas quanto teóricas. Do ponto de vista prático é possível citar que diversas
variáveis se distribuem aproximadamente de acordo com o modelo normal, sendo que ele é
para descrever o comportamento dessas variáveis aleatórias. Já do ponto de vista teórico,
Costa Neto e Cymbalista (2012) conceituam a distribuição normal como uma distribuição limite,
fato esse decorrente do teorema do limite central.
Esse teorema afirma que, sob condições gerais, uma variável aleatória resultante da soma de n
variáveis aleatórias independentes, quando n tende ao infinito, tem distribuição normal. De
maneira análoga, Warpole et al. (2008) descreve que o teorema do limite central afirma que na
medida em que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição amostral das médias amostrais
tende para uma distribuição normal, logo, se uma população tem distribuição normal, a
A área compreendida pela curva nesse intervalo é
sempre igual a 1.
A função tem um máximo que corresponde à média da
distribuição.
A distribuição é simétrica em torno da média.
A média, a moda e a mediana são iguais.
A curva tem dois pontos de inflexão, simétricos em
relação à média, indicados por serem o desvio padrão
da distribuição normal.
distribuição das médias amostrais retiradas da população também terá distribuição normal, para
qualquer tamanho de amostra. Assim, o teorema do limite central envolve duas distribuições
diferentes: a distribuição da população original e a distribuição das médias amostrais.
Para Warpole et al. (2008), mesmo na situação de uma distribuição que não seja normal, a
distribuição das médias amostrais será aproximadamente normal, desde que a amostra seja
grande, pois não é necessário conhecer a distribuição de uma população para podermos fazer
inferência sobre ela a partir de dados amostrais. A única limitação é que o tamanho da amostra
seja grande, assim deve consistir em 30 ou mais observações.
Conforme Larson e Farber (2016) explicam, é desnecessário o uso de tabelas separadas de
áreas sob as curvas normais para todos os pares imagináveis de valores da média de desvios-
padrão, logo, é tabelado as áreas para a distribuição normal com e , a chamada
distribuição normal padronizada. Por esse artifício, é possível obter áreas sob qualquer curva
normal, fazendo a mudança de escala que transforma as unidades de medida da escala
original, ou seja, a escala x, em unidades padronizadas, escores padronizados ou denominados
escores z utilizando a fórmula . É importante ressaltar que seu uso demanda conhecer
dois valores numéricos que devem ser previamente informados, a média e o desvio-padrão .
Uma vez que e geram uma distribuição normal, as tabelas de probabilidade normal são
fundamentadas em uma distribuição normal de probabilidade com e . A próxima
tabela sinaliza as proporções de áreas para diversos intervalos de valores para a distribuição de
probabilidade normal padronizada, com o limite inferior do intervalo começando sempre na
média (CASTANHEIRA, 2013).
#PraCegoVer: tabela com 11 colunas e 32 linhas com distribuição dos valores de x e escores z.
Tabela 2 - Área de uma distribuição normal padrão
Fonte: CASTANHEIRA, 2013.
Agora vamos colocar em prática as definições apresentadas anteriormente nesse importante
conteúdo da probabilidade?
Exemplo: Calcule algumas probabilidades e represente-as graficamente:
(a) (atenção para similaridade)
(b) 
(c) 
(d)
As curvas normais que as representam são:
#PraCegoVer: três curvas normais ou curvas em forma de sino que representam: (a) a
probabilidade da distribuição normal entre 0 e 1,73; (b) a probabilidade da distribuição normal
maior ou igual a 1,73 e menor ou igual a 1,73; (c) a probabilidade da distribuição normal entre
0,47 e 1,73.
A seguir, aprofundaremos nossos estudos sobre o teorema central do limite.
Figura 4 - Curvas normais referentes a (a) (b) e (c)
Fonte: MORETTIN; BUSSAB, 2012, p. 180.
Teste seus conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Para Freund e Simon (2009), entre as muitas distribuições contínuas, a mais importante é a
distribuição normal, cujo estudo remonta pesquisas do século XVIII relacionadas a erros de
mensuração. Conforme apontam os autores, as discrepâncias entre repetidas medidas de
mesma grandeza física apresentam um grau surpreendente de regularidade, sendo que a
distribuição dessas discrepâncias pode ser aproximada por uma curva contínua em forma de
sino, conhecida como curva normal ou curva gaussiana.
Diante esse contexto, é correto afirmar que o cálculo da probabilidade de variável aleatória
com distribuição normal com μ=10 e σ=5 no intervalo de 12 a 15
I. é igual a 0,1859;
II. depende dos valores dos escores z iguais a 0,4 e 1,0;
III. depende dos valores aproximados na tabela iguais a 0,1554 e 0,3413;
IV. independem das unidades padronizadas;
V. a área sob a curva que antecede o intervalo de 12 a 15 é igual a 75,54%.
4.4.2 Entendendo um pouco mais sobre o teorema central do limite
O teorema central do limite tem importância fundamental na estatística porque fundamenta o
uso da distribuição normal a uma ampla gama de problemas, sendo aplicado automaticamente,
segundo Freund e Simon (2009), à amostragem de populações infinitas. A distribuição normal
também é justificada pela aplicação em amostragem de populações finitas, desde que a
amostra (n), embora grande, seja uma fração pequena da população (N), sendo 
suficiente, a menos que a distribuição da população tenha uma forma rara. Nessa situação, o
procedimento para calcular a área sob a curva normal é igual ao apresentado anteriormente, no
entanto, temos uma mudança quanto à fórmula do escore z, que passa a considerar o tamanho
da amostra. Assim, para amostras aleatórias de populações infinitas, temos que é a média de
uma amostra aleatória de tamanho n de uma população infinita com média e desvio-padrão 
, e se n é grande, então,
é o valor de uma variável aleatória que tem aproximadamente distribuição normal padronizada.
Com base no teorema do limite central, qual é a probabilidade
de o erro ser inferior a 5 quando usamos a média de uma
amostra aleatória de tamanho para estimar a média de
uma população infinita com (FREUND; SIMON, 2009,
p. 192).
Solução: Precisamos calcular a área sob a curva normal
padronizada, mas, primeiramente, vamos calcular o valor do
escore z corresponde:
A sequência correta é igual a:
V,V,F,F,V;
V,F,V,V,F;
V,V,V,F,F;
F,V,V,V,F;
F,V,V,F,V.
Verificar 
Caso
 e 
De acordo com a tabela, temos que a área correspondente a 
 é igual a 0,4772 e a também é igual a 0,4772.
Lembre-se de considerar somente os valores de z positivos.
Assim, temos que a probabilidade procurada é igual a 
. Essa expressão pode ser entendida
como: a probabilidadede uma amostra aleatória de tamanho 
 diferir de pelo menos 5 da média populacional é igual a
95%.
Dessa maneira, o teorema central do limite nos permite fazer afirmações probabilísticas muito
mais fortes sobre nossos erros potenciais. Aprendemos que ele tem importância fundamental
na estatística e para os conceitos relacionados à Estatística Inferencial, que nos proporcionará
novos métodos de avaliação do mérito dos nossos resultados.
No âmbito da probabilidade e estudo das distribuições de
probabilidade de variáveis discretas, conhecemos a categoria
denominada distribuição de Poisson, bem como suas
particularidades e aplicações em nosso cotidiano.
No contexto de variáveis aleatórias contínuas foram analisadas: a
distribuição acumulada, a distribuição exponencial e, a mais
importante e mais utilizada, a distribuição normal, que se baseia na
proporção da área ocupada em uma curva normal. A partir dessas
três distribuições, foram apresentadas a fundamentação teórica e a
aplicação e resolução de problemas envolvendo tais definições.
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
Conclusão
conhecer a definição e aplicabilidade da distribuição de Poisson;
resolver situações-problema por intermédio da distribuição de
Poisson;
entender sobre as distribuições de probabilidade de variáveis
contínuas;
conhecer a definição e aplicabilidade das distribuições
acumuladas;
resolver situações-problema por distribuições acumuladas;
conhecer a definição e aplicabilidade da distribuição exponencial;
resolver situações-problema por intermédio da distribuição
exponencial;
compreender as peculiaridades de uma distribuição normal;
ler e interpretar os dados contidos na tabela de distribuição
normal;
resolver situações-problema por intermédio da distribuição
normal.
CAIRE, E. A história da origem da curva normal. 2013.
Dissertação (Mestre em Educação Matemática) - Universidade
Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Rio Claro, 2013.
Disponível em:
https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/91024/caire_e_me_rcla.pdf?
sequence=1
(https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/91024/caire_e_me_rcla.pdf?
sequence=1). Acesso em: 15 dez. 2020.
CASTANHEIRA, N. P. Estatística aplicada a todos os níveis. Curitiba: Intersaberes,
2013.
CHWIF, L.; MEDINA, A. C. Modelagem e simulação de eventos discretos: teoria e
prática. São Paulo: Ed. dos autores, 2006.
COSTA, G. G. O. Curso de estatística básica: teoria e prática. 2. ed. São Paulo:
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COSTA, K. R. Siméon Denis Poisson, Brasil Escola. Disponível em:
https://brasilescola.uol.com.br/biografia/simeon-denis.htm
(https://brasilescola.uol.com.br/biografia/simeon-denis.htm). Acesso em: 2 jul.
2019.
CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 19. ed. São Paulo: Saraiva,2009.
ESTATÍSTICA – Aula 09. 2017. 1 vídeo (24 min.). Publicado no canal UNIVESP.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=ZAIBVL4koGQ
(https://www.youtube.com/watch?v=ZAIBVL4koGQ). Acesso em: 8 jan. 2021.
FREUND, J. E.; SIMON, G. A. Estatística Aplicada: economia, administração e
contabilidade. Porto Alegre: Bookman, 2009.
Referências
https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/91024/caire_e_me_rcla.pdf?sequence=1
https://brasilescola.uol.com.br/biografia/simeon-denis.htm
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JACQUES Bernoulli. Só Matemática. [S. l.]. Disponível em:
https://www.somatematica.com.br/biograf/bernoulliJacques.php
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LARSON, R; FARBER, B. Estatística Aplicada. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2016.
MARTINS, G. A.; DOMINGUES, O. Estatística Geral e Aplicada. São Paulo: Atlas,
2017.
MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O. Estatística Básica, 8. ed. São Paulo: Saraiva,
2010.
COSTA NETO, P. L. O; CYMBALISTA, M. Probabilidades. São Paulo: Edgard Blucher,
2012.
TRIOLA, M. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2017
WALPOLE, R. E. et al. Probabilidade e Estatística para engenharias e ciências.
São Paulo: Pearson, 2008.
https://www.somatematica.com.br/biograf/bernoulliJacques.php