PROBABILIDADE - ESTATÍSTICA 2 - 2017/1 - PROF. RICARDO TAVARES

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EST002 – Estatística II 
Prof. Ricardo Tavares 1
UFOP / ICEB / Departamento de Estatística 
Disciplina: EST002 Estatística II 
Professor: Ricardo Tavares 
 
I – Noções de probabilidade 
 
Introdução 
 
A Teoria das Probabilidades nasceu na França no século XVII com estudos 
sobre jogos de azar devido à necessidade de um método racional para 
calcular os riscos dos jogadores em jogos de cartas, dados etc; 
 
A Teoria das Probabilidades é o ramo da Matemática desenvolvido para 
tratar com incertezas (aleatoriedade). Muitos fenômenos têm a propriedade 
da sua observação, repetida sob condições especificadas, conduzir 
invariavelmente ao mesmo resultado; 
 
Exemplos: 
a) O fluxo de corrente elétrica observável em um circuito simples (Lei de 
Ohm: I = E/R). 
b) O tempo em que uma bola atingirá o solo após cair através do vácuo 
(Lei da Gravitação: � = �2�/�). 
c) O índice de massa corporal (IMC) em um estudo sobre Câncer (IMC 
= peso/altura2). 
 
Para tais exemplos, os modelos apropriados são aqueles que estipulam que 
as condições sob as quais um experimento seja executado determinam o 
resultado do experimento. Tais modelos são chamados de modelos 
determinísticos. 
 
Existem outros fenômenos cuja observação, repetida sob condições 
especificadas, não conduz sempre ao mesmo resultado; 
 
Exemplos: 
a) Lançamento de um dado honesto. 
b) Número de casos notificados de dengue no próximo ano. 
c) Resultado final de uma partida de futebol: Atlético x Cruzeiro. 
 
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Pode parecer impossível fazer qualquer afirmação válida sob tais 
fenômenos, contudo a experiência mostra que muitos fenômenos aleatórios 
exibem uma regularidade estatística que os torna passíveis de estudo. 
 
Para tais fenômenos, os modelos apropriados são aqueles que estipulam que 
as condições do experimento determinam apenas o comportamento 
probabilístico do resultado observável. Tais modelos são chamados modelos 
probabilísticos. 
 
Atualmente, a Teoria das Probabilidades ocupa um lugar importante no 
processo de tomada de decisão envolvendo incertezas, quer seja um 
problema no mercado financeiro, no governo, nas ciências médicas, nas 
ciências sociais, ou na nossa própria vida pessoal diária; 
 
Em poucas situações de tomada de decisão temos informações perfeitas ou 
temos todos os fatos/dados necessários disponíveis; 
 
A maioria das decisões é feita em face da incerteza. A probabilidade entra 
neste processo fazendo um papel de substituto para a certeza - um substituto 
para o conhecimento completo; 
 
A Teoria das Probabilidades faz com que seja possível o Estatístico 
generalizar do conhecido (amostra) para o desconhecido (população) e 
garantir um alto grau de confiança nestas generalizações; 
 
Portanto, a Probabilidade é uma das ferramentas mais importantes de 
Inferência Estatística. A teoria da probabilidade oferece métodos de 
quantificação das chances ou possibilidades de ocorrência associadas aos 
diversos resultados de um experimento aleatório. 
 
Experimento Aleatório: É qualquer ação ou processo cujo resultado está 
sujeito à incerteza. Isto é, um experimento aleatório pode fornecer diferentes 
resultados, embora seja repetido da mesma maneira. 
 
Exemplo: Numa turma com 35 alunos, escolher um aluno ao acaso para ser 
o representante da turma; 
 
Pergunta: O que os experimentos aleatórios têm em comum? 
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Resposta: (I) Cada experimento pode ser repetido indefinidamente sob 
condições essencialmente inalteradas; (II) Embora não possamos afirmar 
que resultado particular ocorrerá, nós podemos descrever o conjunto de 
todos os resultados possíveis do experimento. 
 
Quando o experimento é executado repetidamente, sob as mesmas 
condições, os resultados individuais parecerão ocorrer de uma forma casual 
(acidental). No entanto, à medida que o número de repetições aumenta, 
surgem certos padrões na frequência de ocorrência dos resultados. É esta 
regularidade (padrão) que torna possível construir um modelo matemático 
para analisar o experimento. 
 
A palavra “chance” é um termo informal (ou sinômino aproximado) para se 
referir a probabilidade; 
 
Os termos "likely" e "likelihood" são usados casualmente como sinôminos 
de "provável" e "probabilidade". Em Estatística, a noção de verossimilhança 
(likelihood) é uma função da probabilidade dos parâmetros condicionada 
nos dados observados; 
 
Qual será a diferença entre Azar e Sorte? 
 
Portanto, Probabilidade é um instrumento para mensurar (medir) a 
verossimilhança da ocorrência de um evento, ou seja, o quão verossímil ou 
provável é a ocorrência de um evento; 
 
• Exemplos: (i) Qual a chance de sobrevivência da onça-pintada diante 
dos diferentes níveis de degradação ambiental? (ii) Qual a chance 
desta espécie abranger zonas climáticas diferentes? 
 
• Interesse: Mensurar esses eventos para calcularmos suas 
probabilidades de ocorrência; 
 
• Objetivo: Estudar situações em que os resultados possíveis são 
conhecidos, mas não se pode saber a priori qual deles ocorrerá 
(fenômenos aleatórios); 
 
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• Uso da probabilidade: 
 
- Jogos: Calcular chances em jogos de azar; 
- Epidemiologia: Quão provável é que uma nova doença atinja mais que 
100 pessoas em uma localidade? 
- Genética – Qual a probabilidade de uma criança nascer com olhos 
azuis? 
- Direito – Forense – Quão provável é uma bala ter sido disparada de uma 
arma suspeitada? 
- Mercado Financeiro – A volatilidade do mercado amanhã será menor 
ou maior que foi hoje? Quais devem ser as opções de melhor preço? 
- Crescimento populacional – Qual o tempo que a população mundial 
excederá 10 bilhões de habitantes? 
- Ecologia – Quão provável é que os Pandas desapareçam nos próximos 
50 anos? 
- Previsão – Qual é a probabilidade de chover amanhã? 
- Existem muitas outras aplicações. 
 
Espaço Amostral: é o conjunto de todos os resultados possíveis do 
experimento. O espaço amostral é representado aqui por Ω . O espaço 
amostral pode ser enumerável finito ou infinito, se pode ser colocado em 
correspondência bi-unívoca com os números naturais. Caso contrário, será 
não enumerável, como a reta real. Cada resultado possível é denominado 
elemento de Ω e denotado por ω . 
Exemplos: (a) Jogue um dado e registre a face superior; (b) Avaliação do 
desempenho dos alunos de Estatística II. A média final é registrada; (c) 
Avaliação de perdas na CEMIG. O número de casas com ligações 
clandestinas em uma comunidade é registrado. 
 
Exercício 1: Descreva um espaço amostral para cada um dos 
experimentos descritos abaixo. 
(a) Uma moeda é lançada duas vezes e observam-se as faces obtidas. 
(b) Um dado é lançado duas vezes e a ocorrência de face par ou ímpar é 
observada. 
(c) Uma urna contém 10 bolas pretas e 10 brancas com dimensões 
rigorosamente iguais. Três bolas são selecionadas ao acaso com 
reposição e as cores são registradas. 
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(d) Repita o item c supondo a seleção ao acaso sem reposição. 
 
Exercício 2: Uma moeda e um dado são lançados simultaneamente. 
Apresente o espaço amostral do experimento e depois represente-o como 
produto cartesiano dos dois espaços amostrais, correspondente aos 
experimentos considerados individualmente. 
 
 
Evento: É qualquer subconjunto de resultados contidos no espaço amostral. 
Observações: 
i) Denota-se por letra maiúscula; 
ii) Quando um experimento é realizado, diz-se que ocorre o evento A 
se o resultado do experimento estiver contido em A; 
iii) O espaço amostral é o evento certo e o conjunto vazio é o evento 
impossível; 
iv) Para um espaço amostral finito, o conjunto de todos os eventos 
possíveisé dado por 2n; 
v) Escrevemos Ω∈ω para indicar que o elemento ω está em Ω . 
Escrevemos Ω⊂A para indicar que A é um subconjunto do 
espaço amostral. 
Exemplos: (a) F = Um número ímpar ocorre; (b) E = O Aluno passa na 
disciplina; (c) D = Pelo menos quatro casas apresentam ligações 
clandestinas. 
 
� Evento simples: é aquele formado por um único elemento do 
espaço amostral; 
 
� Evento composto: é aquele formado por dois ou mais elementos 
do espaço amostral; 
 
� Evento certo: É aquele que ocorre sempre, isto é, em todas as 
realizações da experiência. O evento representado pelo próprio 
conjunto que define o espaço amostral. 
 
� Evento impossível: São os eventos que não possuem elementos 
no espaço amostral, ou seja, nunca ocorrem. 
 
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Observação i: A probabilidade de ocorrer um evento impossível é sempre 
nula, mas, sendo a probabilidade de ocorrer um evento igual a zero, nem 
sempre o evento será impossível. 
 
Observação ii: Quando os eventos simples têm a mesma chance de ocorrer, 
diz-se que o espaço amostral é equiprovável ou igualmente provável. 
 
� Exemplo: Um dado honesto é lançado sobre uma superfície plana 
e observamos a face superior: 
 
Experimento: Lançar um dado 
Espaço amostral: {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Eventos: {5},{1,2},{2,3}, {1, 2, 3, 4, 5} 
Eventos simples: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} 
Eventos compostos: {1,2}, {3, 4, 5}, {4, 6, 1, 3} 
Evento certo: {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Evento impossível: {7} 
 
� Evento soma (ou união): É o evento que consiste na realização de pelo 
menos um dos eventos. Exemplo: se tivermos dois eventos: A e B, 
significa a ocorrência de A ou de B, ou de ambos e é denotado por 
AUB. 
 
� Evento produto (ou interseção): É o evento que consiste na realização 
de ambos. Eles devem ocorrer simultaneamente. Exemplo: se tivermos 
dois eventos: A e B, a ocorrência simultânea dos eventos A e B, e é 
denotado por A∩B. 
 
� Evento condicionado: É o evento que consiste na realização do evento 
A sob a condição de ter ocorrido o evento B, isto é, com a informação 
adicional de que o evento B já ocorreu (A | B). São aqueles em que o 
acontecimento de um está condicionado ao acontecimento de outro 
(acontece um se o outro já aconteceu). 
 
� Evento complementar de A: São os eventos que se completam em 
relação ao espaço amostral. É o evento que contém todos os elementos 
do espaço amostral que não pertencem a A. (Ac). 
 
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� Eventos mutuamente excludentes (ou mutuamente exclusivos, ou 
disjuntos, ou incompatíveis): Dois eventos A e B são disjuntos, se eles 
não puderem ocorrer simultaneamente (é um ou o outro), ou seja, a 
ocorrência de um exclui a ocorrência do outro. Significa que os dois 
eventos não têm nenhum elemento, do espaço amostral, em comum, 
isto é, (A∩B)=Ø. 
 
� Evento independente: São aqueles que podem ocorrer ao mesmo 
tempo, acontece um e acontece o outro simultaneamente (um e o 
outro), a ocorrência de um não depende da ocorrência do outro. 
 
 
Probabilidade: conceitos fundamentais 
 
• De maneira informal, probabilidade é uma medida da certeza de 
ocorrência de um evento; 
 
• As principais definições de Probabilidade são baseadas nas seguintes 
abordagens: Clássica (ou a priori), Frequentista (ou a posteriori), 
Axiomática e Subjetiva; 
 
 
� Definição Clássica: 
 
� Considere o seguinte experimento aleatório: lançar uma moeda e 
observar a face voltada para cima; 
 
� Este experimento possui dois resultados possíveis: cara e coroa; 
 
� Ao conjunto dos resultados possíveis de um experimento 
chamamos de espaço amostral e será denotado pela letra Ω ; 
 
� O espaço amostral do experimento acima é Ω ={cara, coroa}; 
 
� Um subconjunto do espaço amostral é chamado de evento e é 
denotado por letras maiúsculas; 
 
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� Para o exemplo acima, podemos definir os eventos: A={ocorrer 
cara} e B={ocorrer coroa}; 
 
� Seja A um evento qualquer do espaço amostral. Se os eventos 
simples são equiprováveis podemos calcular P(A) como: 
 
possíveis resultados de número
A evento do ocorrência à favoráveis resultados de número)( =AP
 
 
� Para o experimento acima se a moeda é não viciada (honesta), os 
eventos A e B são equiprováveis e P(A)=P(B)=1/2; 
 
� No lançamento de um dado não-viciado {1, 2, 3, 4, 5, 6}, os 
eventos simples são equiprováveis com probabilidade 1/6; 
 
� Qual a P({sair um número par})? 
 
� Qual a P({sair número 1 ou 3})?; 
 
� Qual a P({sair número maior do que 2})?; 
 
 
 
� Definição Frequentista: 
 
� Na maioria das situações práticas, os eventos simples do espaço 
amostral não são equiprováveis e não podemos calcular 
probabilidades usando a definição clássica; 
 
� Neste caso, vamos calcular probabilidades como a freqüência 
relativa de um evento; 
 
ocorrerA evento o para desoportunida de totalnúmero
A evento o ocorre que vezesde número)( =AP
 
 
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� Exemplo: Uma amostra de 6800 pessoas de uma determinada 
população foi classificada quanto à cor dos olhos e à cor dos 
cabelos. Os resultados foram: 
 
Cor dos 
olhos 
Cor dos cabelos 
Total Loiro Castanho Preto Ruivo 
Azul 1768 807 189 47 2811 
Verde 946 1387 746 53 3132 
Castanho 115 438 288 16 857 
Total 2829 2632 1223 116 6800 
 
 
� Considere o experimento aleatório que consiste em classificar um 
indivíduo quanto à cor dos olhos. O espaço amostral é 
E={A,V,C}, em que: 
 
A={a pessoa tem olhos azuis} 
V={a pessoa tem olhos verdes} 
C={a pessoa tem olhos castanhos} 
 
� Os eventos acima são claramente equiprováveis. Então vamos 
calcular a probabilidade de ocorrer um evento como a freqüência 
relativa deste evento: 
 
P(A) = Número de pessoas de olhos azuis = 2811 = 0,4134 Número de pessoas na amostra 6800 
 
� O valor obtido é na verdade uma estimativa da probabilidade. A 
qualidade desta estimativa depende do número de replicações do 
experimento, ou seja, do tamanho da amostra. 
 
� À medida que o tamanho da amostra cresce, a estimativa 
aproxima-se mais do valor verdadeiro da probabilidade; 
 
� Vamos, no entanto, assumir que o número de replicações é 
suficientemente grande para que a diferença entre a estimativa e o 
valor verdadeiro da probabilidade seja desprezível; 
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� As probabilidades dos eventos V e C são: 
 
P(V) = 3132 = 0,4606 6800 
 
P(C) = 857 = 0,1260 6800 
 
� Observe que P(A)+P(V)+P(C)=1. Este resultado é válido sempre, 
uma vez que a união destes eventos corresponde ao espaço 
amostral (universo); 
 
 
� Definição Subjetiva: 
 
� A probabilidade subjetiva é baseada num julgamento pessoal e 
experiência de um especialista em determinado assunto; 
 
� Diferentes crenças e informações sobre algum evento são 
utilizados para determinar a probabilidade desse evento ocorrer; 
 
� Exemplos: (i) Há 30% de chance de chuva nas próximas 24 horas; 
(ii) Um médico, às vezes, associa uma probabilidade subjetiva ao 
tamanho do tempo de vida para uma pessoa que tem câncer; (iii) 
outro exemplo? Compareça a sala de aula! 
 
 
• Definição Axiomática: 
 
Chamamos probabilidade à função P que a cada evento A do espaço 
amostral de uma experiência aleatória, faz corresponder um número real 
P(A) que verifica os seguintes axiomas: 
 
Axioma 1 – A probabilidade de qualquer evento A é um número real não 
negativo, ou seja, 1)(0 ≤≤ AP ; 
 
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Axioma 2 – A probabilidade do evento certo (espaço amostral) é 1, ou 
seja, 1)( =ΩP ; 
 
Axioma3 – Se A e B são eventos mutuamente excludentes, a 
probabilidade de (A ou B) é a soma das probabilidades de A e de B, ou 
seja, )()()( BPAPBAP +=∪ ; 
 
Toda a teoria elementar da probabilidade está construída sob a base destes 
três simples axiomas. Algumas propriedades podem ser apresentadas como 
conseqüência imediata dos axiomas acima: 
 
Propriedade 1 – Se é um evento impossível, então P( ) = 0; 
 
Propriedade 2 – Para um evento A, tem-se: P(Ac) = 1 - P(A) ou P(A) = 1 - 
P(Ac) 
 
Propriedade 3 – Se A e B são eventos tais que BA ⊆ , então P(B) P(A) ≤ ; 
 
Propriedade 4 – Se A e B são eventos em Ω , então P( BA ∪ ) = P(A) + 
P(B) - P( BA ∩ ); 
 
Propriedade 5 – Se A, B e C são três eventos em Ω , então P( CBA ∪∪ ) 
= P(A) + P(B) + P(C) - P( BA ∩ ) - P( CA ∩ ) - P( CB ∩ ) + P( CBA ∩∩ ). 
 
 
Probabilidade condicional 
 
• Muitas vezes, o objetivo nosso é calcular a probabilidade de um evento 
condicionada a ocorrência de outro; 
 
• A probabilidade do evento A, quando se sabe que o evento B ocorreu 
é denotada por P(A | B) e se P(B)>0 é calculada por 
 
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) 
 
ou ainda, 
 
 P(A ∩ B) = P(B). P(A | B) 
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• Exemplo 1: Um grupo de pessoas foi classificado quanto a peso e 
pressão arterial de acordo com as proporções mostradas abaixo: 
 
Tabela 1: Distribuição de um conjunto de pacientes segundo peso e pressão 
arterial. 
Pressão 
arterial 
Peso Total Excesso Normal Deficiente 
Elevada 0,10 0,08 0,02 0,20 
Normal 0,15 0,45 0,20 0,80 
Total 0,25 0,53 0,22 1,00 
 
a. Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso naquele grupo 
ter pressão elevada? 
b. Considerando que a pessoa escolhida tem excesso de peso, qual a 
probabilidade de ter também pressão elevada? 
 
Resolução: Denote os eventos: A=”ter pressão elevada” e B=”ter excesso 
de peso”. Sabemos que: 
 
P(A) = 0,20 
P(A | B) = P(A∩B) / P(B) = 0,10 / 0,25 = 0,40 
 
Ou seja, entre as pessoas com excesso de peso, 40% têm pressão elevada. 
 
• Exemplo 2: Voltando ao exemplo da cor dos olhos e dos cabelos: 
 
� Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso da população 
ter olhos azuis dado que possui cabelos loiros? 
 
P(A | L) = P(A ∩ L) / P(L) = 
 = (1768/6800) / (2829/6800) = 1768 / 2829 = 0,6250 
 
� Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso da população 
não ter cabelos loiros dado que tem olhos castanhos? 
 
P(Lc | C) = 1 - P(L | C) = 1 – [ (115/6800) / (857/6800) ] 
 = 1 - 0,1342 = 0,8658 
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• Exemplo 3: Selecionamos uma semente, ao acaso, uma a uma e sem 
reposição, de uma sacola que contém 10 sementes de flores vermelhas 
e 5 de flores brancas. Qual é a probabilidade de que: 
 
(a) A primeira semente seja vermelha? 
(b) A segunda seja branca se a primeira foi vermelha? 
(c) Dado que a primeira foi vermelha, a segunda seja vermelha? 
Observação: resolução em sala de aula. 
 
Usando as propriedades anteriores e a definição de probabilidade 
condicional, têm-se os seguintes resultados: 
 
Se B é um evento em Ω , tal que, P(B)>0 então: 
 
Resultado 1 – P( | B) = 0; 
 
Resultado 2 – Se Ω⊆A , então P(Ac | B) = 1 - P(A | B) ou P(A | B) = 1 - 
P(Ac | B) 
 
Resultado 3 – Se A e C são eventos tais que CA ⊆ , então B)|P(C B)|P(A ≤
; 
 
Resultado 4 – Se A e C são eventos em Ω , então P( BCA |∪ ) = P(A | B) 
+ P(C | B) - P( BCA |∩ ); 
 
• Exemplo 4: Em uma cidade, a probabilidade de chuva no primeiro dia 
de setembro é 0,50 e a probabilidade de chuva nos dois primeiros dias 
de setembro é 0,40. Se no primeiro dia de setembro choveu, qual é a 
probabilidade que no dia seguinte não chova? 
Observação: resolução em sala de aula. 
 
• Exemplo 5: Uma faculdade, em seu primeiro ano de funcionamento 
tem três cursos: Ciências, Administração e Engenharia. A 
classificação dos alunos por sexo, é apresentada na tabela a seguir. 
 
 
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Um estudante é selecionado ao acaso. 
 
(a) Sabe-se que o estudante escolhido é do sexo masculino, qual é a 
probabilidade de que ele curse Ciências? 
(b) Sabe-se que o estudante cursa Engenharia, qual é a probabilidade de que 
seja do sexo feminino? 
(c) Sabe-se que o estudante é do sexo feminino, qual é a probabilidade de 
que curse Ciências ou Administração? 
Observação: resolução em sala de aula. 
 
Propriedade – Se A, B e C são eventos em Ω , tais que P(A) ≠0 e P(A ∩ 
B) ≠ 0, então P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B | A)P(C | A ∩ B). 
 
• Exemplo 6: Considere que dois times de futebol A e B têm 1000 
torcedores cada um. Existe uma insatisfação desses torcedores com os 
horários das partidas de suas equipes na tabela do campeonato. 20% 
dos torcedores do time A estão insatisfeitos e 75% dos torcedores do 
time B estão satisfeitos. Escolhe-se um torcedor ao acaso. 
(a) Qual é a probabilidade de que o torcedor escolhido seja do time A 
e esteja insatisfeito com os horários? 
(b) Dos torcedores do time B insatisfeitos com os horários, 70% 
possuem mais de 50 anos de idade. Qual a probabilidade que o 
torcedor escolhido seja do time B; esteja insatisfeito e seja maior de 
50 anos de idade? 
 
Solução: Considere os eventos: 
A: O torcedor escolhido é do time A 
B: O torcedor escolhido é do time B 
E: O torcedor escolhido está insatisfeito com os horários 
F: O torcedor escolhido tem mais de 50 anos de idade. 
 
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a) 
P(A ∩ E) = P(A)P(E | A) = 1000 / 2000 x 0,20 = 0,10 
 
b) 
P(B ∩ E ∩ F) = P(B)P(E | B)P(F | B ∩ E) = 1000/2000 x 0,25 x 0,30 = 
0,0375 
 
 
Eventos independentes 
 
• Dois eventos A e B são independentes se o fato de um deles ter 
ocorrido não altera a probabilidade de ocorrência do outro. Ou seja, 
 
P(A | B) = P(A) 
 
E ainda, P(A∩B) = P(A) . P(B) 
 
• Exemplo: Em uma escola 20% dos alunos tem problemas visuais, 8% 
problemas auditivos e 4% tem problemas visuais e auditivos. 
Seleciona-se um aluno dessa escola ao acaso. Os eventos “ter 
problemas visuais” e “ter problemas auditivos” são eventos 
independentes? 
 
Solução: Sejam os eventos: 
 
V: "o aluno tem problemas visuais" 
A: "o aluno tem problemas auditivos" 
Do enunciado do problema temos: 
P(V ) = 0,20; P(A) = 0,08 e P(A ∩ V) = 0,04 
 
P(V )P(A) = 0,2 x 0,08 = 0,16 
P(V ∩ A) = 0,04: 
Como P(V ∩ A) é diferente de P(V)P(A), então A e V não são 
independentes. 
 
Um evento A e o seu complementar são eventos disjuntos ou eventos 
independentes? 
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Eventos Mutuamente Independentes 
 
• A independência mútua dos eventos A, B e C exige que: 
a) ( ) )().( BPAPBAP =∩ 
b) ( ) )().( CPAPCAP =∩ 
c) ( ) )().( CPBPCBP =∩ 
d) ( ) )().().( CPBPAPCBAP =∩∩ 
 
Exemplo: Consideremos Ω ={1, 2, 3, 4} o espaço amostral, Ω 
equiprovável e os eventos: A={1, 2}, B={1, 3} e C={1, 4}. Os eventos A, 
B e C são independentes? 
 
Observação: resolução em sala de aula. 
 
Propriedade – Se A e B, eventos em Ω , são eventos independentes, então: 
i) A e Bc são independentes; 
ii) Ac e B são independentes; 
iii) Ac e Bc são independentes. 
 
 
Regra do Produto (Regra Geral da Multiplicação de Probabilidades) 
 
A probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos, A e B, do mesmo 
espaço amostral é igual ao produto da probabilidade de um deles pela 
probabilidade condicionada do outro, dado o primeiro. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )BAPBPBAPouABPAPBAP .. =∩=∩
 
Exemplo: Uma urna contém 3 bolas brancas e 8 pretas. Uma bola é retirada 
ao acaso e não reposta. Então outra bola é retirada. Qual a probabilidade de 
ambas serem pretas? 
Sejam A={primeira bolaé preta} e B={segunda bola é preta}, então: 
Obs.: espero vc na aula! 
 
 
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Partição de um espaço amostral 
 
 
 
Teorema da probabilidade total 
 
Se os eventos A1, A2, ...., Am formam uma partição do espaço amostral Ω e 
B é um outro evento qualquer desse espaço, então: 
 
 
 
Teorema de Bayes 
 
Trata-se de um resultado para calcularmos probabilidades 
condicionais em situações cujo espaço amostral esteja dividido em partes 
disjuntas. 
 
Exemplo 1: Suponha que um fabricante de sorvetes recebe 20% de todo o 
leite que utiliza de uma fazenda F1, 30% de uma outra fazenda F2 e 50% de 
F3. Um Órgão de fiscalização inspecionou as fazendas de surpresa, e 
observou que 20% do leite produzido por F1 estava contaminado, enquanto 
que para F2 e F3, essa proporção era de 5% e 2%, respectivamente. Na 
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indústria de sorvetes os galões de leite são armazenados em um refrigerador 
sem identificação das fazendas. 
Para um galão escolhido ao acaso, vamos analisar o leite para decidir sobre 
sua contaminação ou não, calcule as probabilidades de: 
A) O galão selecionado ter o leite contaminado 
B) Supondo que o galão selecionado esteja contaminado, deste 
leite ser proveniente da Fazenda 1. 
C) Sabendo-se que o galão selecionado não estava contaminado, 
deste leite não ser proveniente da Fazenda 3. 
 
Obs.: será resolvido em sala, ok. 
 
Teorema de Bayes (Formalidade com Generalização para m partições): 
 
Se A1, A2, ...., Am formam uma partição do espaço amostral Ω e suas 
probabilidades são conhecidas. Suponha ainda que para um evento B 
contido em Ω , se conheçam as probabilidades ( )iABP para todo i=1,2, ..., m. 
Então, para qualquer i=1, 2, ..., m, temos que 
( ) ( )( )BP
BAPBAP ii
∩
=
 (definição de probabilidade condicional) 
Pela regra do produto sabemos que ( ) ( ) ( )iii ABPAPBAP .=∩ e pela regra da 
probabilidade total sabemos que 
( ) ( ) ( ) ( )BAPBAPBAPBP m ∩++∩+∩= L21 em que pode-se expandir para 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )mm ABPAPABPAPABPAPBP ... 2211 +++= L ou ainda 
( ) ( ) ( )∑
=
=
m
j
jj ABPAPBP
1
.
. 
Desta forma, o teorema de Bayes se resume a 
 
( ) ( ) ( )( ) ( )∑
=
=
m
j
jj
ii
i
ABPAP
ABPAP
BAP
1
.
.
, com i = 1, 2,..., m. 
 
Exemplo 2: Das pacientes de uma clínica de Ginecologia com idade acima 
de 40 anos, 70% são ou foram casadas e 30% são solteiras. E sendo solteira, 
a probabilidade de ter um distúrbio hormonal no último ano é 20% enquanto 
para as demais a probabilidade aumenta para 40%. Se um paciente é 
escolhido ao acaso de todas as pacientes da clínica, 
EST002 – Estatística II 
Prof. Ricardo Tavares 19
(a) qual é a probabilidade dela ter distúrbio hormonal? 
(b) se a paciente escolhida resultou ter distúrbio hormonal qual é 
probabilidade dela ser solteira? 
 
Resolução passo a passo em sala de aula e discutida entre os presentes. 
 
Exemplo 3: A empresa X compra peças de 3 fornecedores A1, A2 e A3 nas 
proporções de 50%, 30% e 20%, respectivamente. Sabe-se que, em média: 
- 5% das peças fabricadas por A1 apresentam defeitos; 
- 2% das peças fabricadas por A2 apresentam defeitos; 
- 1% das peças fabricadas por A3 apresentam defeitos; 
Se uma peça extraída ao acaso do estoque de X é defeituosa, qual a 
probabilidade de que ela tenha sido produzida por A1? E por A2? E por A3?