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TAXAS RELACIONADAS EXERCÍCIOS PROPOSTOS/ RESOLVIDOS Prof: Kennedy Scopel Créditos: Profª Cinthia C L Caliari 1) Se xxy 23 e 5/ dtdx , encontre dtdy / quando 2x 2) Se 3622 yx e 3/ dtdy , encontre dtdx / quando 4y 3) Se 222 yxz e 2/ dtdx e 3/ dtdy , encontre dtdz / quando 5x e 12y 4) Ar está sendo bombeado para dentre de um balão esférico e seu volume cresce à taxa de scm /100 3 .Qual a velocidade com que o raio cresce quando o diâmetro for 50cm? 5) Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido, com raio da base 2m e a altura 4m. Se a água está sendo bombeada para dentro do tanque à taxa de min/2 3m , encontre a taxa pela qual o nível de água estará elevando quando a água estiver a 3 m de profundidade. 6) O carro A segue em uma estrada (leste-oeste), em direção a oeste a 90 km/h e o carro B segue em uma estrada (norte-sul), rumo ao norte a 100 km/h. Ambos estão se dirigindo para a interseção das duas estradas. A que taxa os carros se aproximam um do outro quando o carro A está a 60m e o carro B está a 80m da interseção? 7) Cada lado de um quadrado está aumentando a uma taxa de 6cm/s. Com que taxa a área do quadrado estará aumentando quando a área do quadrado for 216cm ? 8) O comprimento de um retângulo está crescendo a uma taxa de 8cm/s e sua largura está crescendo a uma taxa de 3cm/s. Quando o comprimento for 20 cm e a largura for 10 cm, quão rapidamente estará crescendo a área do retângulo? 9) Um tanque cilíndrico com raio 5m está sendo enchido com água a uma taxa de min/3 3m . Quão rápido estará aumentando a altura da água? 10) O raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de 4 mm/s. Quão rápido o volume está aumentando quando o diâmetro for 80 mm? 11) Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 2 km, a 800 km/h, e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância entre o avião e a estação aumenta quando ele está a 3 km da estação. 12) Um foguete é lançado verticalmente de um local a 9 Km de um ponto de observação. Após 20 s, sua velocidade de subida é de 700m/s e ele está a altura de 12Km. Determine a velocidade com que ele se distancia do ponto de observação. 13) Se uma bola de neve derrete de forma que a área de sua superfície decresce a taxa de 1 cm2/min, encontre a taxa segunda a qual o raio decresce quando o diâmetro é 10 cm. 14) A altura de um triângulo cresce a uma taxa de 1 cm/min, enquanto a área do triângulo cresce a uma taxa de 2 cm2/min. A que taxa varia a base do triângulo quando a altura é de 10 cm e a área, 100 cm2? 15) Uma criança está empinando uma pipa que move-se horizontalmente a 4 m/s. Supondo que a pipa permaneça a 80 m de altura, sobre o nível do solo. Desprezando a altura da criança, qual é a velocidade com que a linha está sendo dada no momento em que a distância dela até a pipa é de 100 m? 16) Um tanque cilíndrico, de 2m de raio, está recebendo óleo à taxa de 3m3/min. A que taxa o óleo sobe no tanque? 17) Uma quantidade de areia é despejada a uma taxa de 10m3/min, formando um monte cônico. Se a altura do monte for sempre o dobro do raio da base, com que taxa a altura estará crescendo quando o monte tiver 8m de altura? 18) Um homem começa a andar para o norte a 8 m/min de um ponto P. Cinco minutos mais tarde uma mulher inicia sua caminhada para o oeste a uma velocidade de 10 m/min partindo de um ponto localizado 270 m a leste de P. Quinze minutos após a mulher ter iniciado a caminhada, eles estarão se afastando ou se aproximando? A que taxa? 19) Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha a forma esférica. Se, quando o raio do tumor for 0,5cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001cm por dia, qual será a taxa de aumento do volume do tumor naquele instante? 20) A equação da oferta de um certo produto é ppx 2031000 2 onde x unidades são oferecidas por mês quando p for o preço unitário. Ache a taxa de variação na oferta se o preço corrente for de R$20,00 por unidade e se o preço estiver crescendo a uma taxa de R$0,50 ao mês. 1) Se xxy 23 e 5/ dtdx , encontre dtdy / quando 2x 705.25.2.323 22 dt dy dt dy dt dx dt dx x dt dy 2) Se 3622 yx e 3/ dtdy , encontre dtdx / quando 4y Quando 4y , temos que 5220364 222 xxx 125203.4520022 dt dx dt dx dt dy y dt dx x dt dy y dt dx x 5 56 52 12 dt dx dt dx 3) Se 222 yxz e 2/ dtdx e 3/ dtdy , encontre dtdz / quando 5x e 12y Quando 5x e 12y , temos que 1316914425 22 zzz 13 46 133.122.5222 dt dz dt dz dt dz z dt dy y dt dx x dt dz z dt dy y dt dx x 4) dt dr r dt dV dt dr r dt dV rV 223 43. 3 4 3 4 Temos que: scm dt dV /100 3 , , ? dt dr Assim: scm dt dr dt dr / 25 1 25.25.4 100 )25(4100 2 5) hrV 2 3 . Por semelhança de triângulos, 2 2 24 h rhr rh . Então, podemos substituir: 3 2 1223 hh h V Derivando: dt dh h dt dV dt dh h dt dV 22 4 3 12 . Como: min/2 3m dt dV , mh 3 , ? dt dh cmrcmd 2550 min/ 9 8 .9. 4 2 m dt dh dt dh 6) Como os carros A e B estão em movimento, as distâncias x, y e z modificam com o tempo. Assim, temos: hkm dt dx /90 , hkm dt dy /100 , ? dt dz Observe que as velocidades são negativas, pois as distâncias estão diminuindo. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo acima, temos: 222 zyx . Derivando: dt dz z dt dy y dt dx x dt dz z dt dy y dt dx x 222 No momento em que kmmx 06,060 , kmmy 08,080 , podemos calcular z: kmmzzzyx 1,01008060 222222 Assim, substituindo cada um dos valores na derivada acima, temos: hkm dt dz dt dz dt dz /1344,131,01,0100.08,090.06,0 7) Temos que: scm dt dl /6 , ? dt dA , quando cmlcmA 416 2 scm dt dA dt dA dt dl l dt dA lA /486.4.22 22 8) Temos que: scm dt dc /8 , scm dt dl /3 , ? dt dA , quando cmc 20 e cml 10 . scm dt dA dt dA c dt dl l dt dc dt dA lcA /14020.310.8... 2 9) Temos que: min/3 3m dt dV , ? dt dh , se mr 5 . min/ 25 3 25325252 m dt dh dt dh dt dh dt dV hhrV 10) smm dt dr /4 , ? dt dV , se mmr 40 . smm dt dV dt dV dt dr r dt dV dt dr r dt dV rV /25600 4.40443 3 4 3 4 2223 11) hkm dt dx /800 , ? dt dz , quando kmz 3 . Observe que a altura (2 km) do avião permanece constante, então, aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo ao lado, temos: 222 2 zx . Derivando: dt dz z dt dx x dt dz z dt dx x 22No momento em que kmz 3 , podemos calcular x: kmxxx 5532 2222 Assim, substituindo cada um dos valores na derivada acima, temos: hkm dt dz dt dz dt dz /3,596 3 5800 3800.5 12) sm dt dy /700 , ? dt dz , quando mkmy 1200012 . Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo ao lado, temos: 2229 zy . Derivando: dt dz z dt dy y dt dz z dt dy y 22 No momento em que kmy 12 , podemos calcular z: kmzzz 15225912 2222 Assim, substituindo cada um dos valores na derivada acima, temos: sm dt dz dt dz /56015000700.12000 13) min/1 2cm dt dA , ? dt dr , se cmr 5 . min/ 40 1 40184 2 cm dt dr dt dr dt dr r dt dA rA 14) min/1cm dt dh e min/2 2cm dt dA , ? dt db quando cmh 10 e 2100cmA b dt dh h dt db dt dAhb A 2 1 2 . Quando cmh 10 e 2100cmA , temos que cmb bhb A 20 2 10. 100 2 . Então: min/6,1105220.110 2 1 2 cm dt db dt db dt db 15) sm dt dx /4 , ? dt dz , quando mz 100 . Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo ao lado, temos: 22280 zx . Derivando: dt dz z dt dx x dt dz z dt dx x 22 No momento em que mz 100 , podemos calcular x: mxxx 60360010080 2222 Assim, substituindo cada um dos valores na derivada acima, temos: sm dt dz dt dz dt dz /4,2 100 240 1004.60 16) Como o raio de um cilindro é uma constante, podemos substituí-lo direto na fórmula, assim: hVhrV 42 e sabendo que min/3 3m dt dV min/ 4 3 434 m dt dh dt dh dt dh dt dV 17) hrV 2 3 ., como 2 2 h rrh Então, podemos substituir: 3 2 1223 hh h V Derivando: dt dh h dt dV dt dh h dt dV 22 4 3 12 . Como: min/10 3m dt dV , mh 8 , ? dt dh min/ 8 5 16 10 .64. 4 10 m dt dh dt dh dt dh 18) Cinco minutos após o homem começar a caminhar, ele estará 40m a norte do ponto P. Nesse momento a mulher começa a caminhar para oeste. Ela está 270m a leste de P. Quinze minutos depois, o homem estará 160m a norte de P e a mulher estará (270-150) 120m a leste de P conforme a figura abaixo. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo ao lado, temos: 222 zyx . Derivando: dt dz z dt dy y dt dx x dt dz z dt dy y dt dx x 222 No momento em que mx 120 e my 160 , podemos calcular z: mzzz 20040000160120 2222 Sabendo que sm dt dx /10 (negativo, pois está se aproximando do ponto P) e sm dt dy /8 (positivo pois está se afastando do ponto P), podemos substituir cada um dos valores na derivada acima e teremos: sm dt dz dt dz dt dz /4,0802002008.160)10.(120 Como a velocidade entre eles é positiva, eles estão se afastando. 19) ? dt dV , diacm dt dr /001,0 , se cmr 5 . diacm dt dV dt dV dt dr r dt dV rV /1,0001,0.544 3 4 3223 20) ? dt dx , mesR dt dp /$50,0 , se 00,20$Rp . 2/122 20310002031000 ppxppx pp dt dp dt dp p dt dx dt dp dt dp ppp dt dx 203 206500 206203. 2 1 .1000 2 2/12 mesunid dt dx dt dx dt dx /875 40 35000 20.2020.3 50,0.2050,0.20.6500 2
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