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Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exercícios Resolvidos: Taxa Relacionada Contato: nibblediego@gmail.com Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 11/11/2018 - Atualizado em 08/08/2017 Resolver problemas relativo a taxas relacionadas é basicamente um processo de 3 passos: 1. verificamos os dados que o problema nos dá e o que é requerido; 2. encontramos uma função que após derivada implicitamente nos forneça o que é solicitado; 3. substituímos todos os valores requeridos e achamos a solução Dica: Algumas vezes fazer um desenho ou esquema da situação problema ajuda bastante a entender melhor a questão. Embora, dependendo da sua habilidade, isso seja dispensável. Exemplo 01 Uma pipa esta voando a uma altura de 40m. Uma criança esta empinado a de tal forma que ela se mova horizontalmente a uma velocidade de 3m/s. Se a linha estiver esticada, com que velocidade a linha esta sendo “dada", quando o comprimento da linha desenrolada for de 50m? Solução: 1◦ Passo: Uma representação geométrica bem simples do problema é o triângulo retângulo a baixo. 40 m x 50 m Os dados que o enunciado nos fornece diretamente são: y = 40 m z = 50 m 1 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA dx/dt = 3 m/s E o que desejamos saber é dz/dt. Pelo teorema de pitágoras ainda podemos determinar a distancia horizontal entre o garoto e a pipa (a variável x do diagrama) z2 = y2 + 2 ⇒ = p 502 − 402 = 30 e como a pipa não possui uma velocidade vertical ainda podemos afirmar que dy/dt = 0. 2◦ Passo: O desenho do problema sugere que a relação entre os dados (x, y, z) é o próprio teorema de Pitágoras. z2 = 2 + y2 Derivando implicitamente essa função obtemos 2z dz dt = 2 d dt + 2y dy dt 3◦ Passo: Finalmente, substituindo todos os valores, obtemos o valor desejado. 2z dz dt = 2 d dt + 2y dy dt 2(50) dz dt = 2(30)(3) + 2(40)(0) ⇒ dz dt = 9 5 m/s 2 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exemplo 02 Acumula se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m3/h, a que razão aumenta a área da base quando a altura do monte é 4 m? Solução: 1◦ Passo: Dados: r = 4 h = r = 4 dV dt = 10 m3/h e o que desejamos saber é dA dt . Pela derivada implícita da equação do volume ainda podemos obter dr/dt e dh/dt (mesmo que este último não seja muito importante neste exercício). V = 1 3 πr2h Mas como h = r, então V = 1 3 πr3 ⇒ dV dt = πr2 dr dt ⇒ dr dt = 10 π(4)2 ⇒ dr dt = 10 16π E como h = r, então dh/dt = dr/dt. 2◦ Passo: Neste caso a fórmula capaz de fornecer o que é pedido é a da área do circulo. A = πr2 dA dt = 2πr dr dt 3 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA 3◦ Passo: Finalmente substituímos os valores e encontramos a solução. dA dt = 2 · 4π 10 16π ⇒ dA dt = 5 m2/h Os próximos exercícios seguem a mesma lógica do passo a passo, mas por questão de economia serão resolvidos de forma menos detalhada. Exemplo 03 Uma escada de 6 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a escorregar horizontalmente a taxa constante de 0.6 m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede quando esta a 4 m do solo? Solução: Com base nos dados construímos um triângulo com as seguintes medidas. 4 m x 6 m Os dados fornecidos pelo problema são: x = 2 p 5 m y = 4 m z = 6 m dx/dt= 0.6 m/s E o que precisamos é de dy/dt. Pelo teorema de pitágoras ainda podemos determinar a distância entre o pé da escada e a parede quando seu topo está a 4 metros do solo. 2 = z2 − y2 2 = 62 − 42 2 = 2 2 p 5 4 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA E como o tamanho da escada é fixo ainda podemos afirmar que dz/dt = 0. A fórmula que fornecerá o valor desejado será o próprio teorema de Pitágoras. 2 + y2 = z2 ⇒ 2 d dt + 2y dy dt = 2z dz dt ⇒ 2(2 p 5m)0.6m/s + 2(4m) dy dt = 2(6)0 ⇒ 2.4 p 5m2/s + 8m dy dt = 0 ⇒ dy dt = −0.3 p 5m/s Neste caso o sinal de negativo indica o sentido do movimento da escada (para baixo). Exemplo 04 Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4 m de altura e raio da base 2 m. Se água entra no tanque á razão de 0.001 m3/min calcule a razão em que o nível de água está subindo quando a altura é 1 m? Solução: Dados: h = 4 m r = 2 m dV dt = 0.001 m3/min Queremos descobrir dh dt quando h = 1 m. A equação que irá nos dar esse resultado será a do volume do cone. V = 1 3 πr2h Entretanto se derivássemos implicitamente essa função neste momento chegaríamos a dV dt = 1 3 π � 2rh dr dt + r2 dh dt � 5 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA O que seria um problema, pois não sabemos o valor de dr/dt. Então como re- solver este problema? Pelos dados do enunciado percebemos que h r = 4 2 ⇒ r = h/2 Substituindo esse valor na equação do volume nos livramos de qualquer em- pecilho, veja agora. V = 1 3 π � h 2 �2 h ⇒ V = h3 12 π ⇒ dV dt = 3π 12 h2 dh dt ⇒ 0.001 = 3π 12 (1)2 dh dt ⇒ dh dt = 4 103π m/mn Exemplo 05 Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diâmetro varia á razão de 0.005 cm/min. Determine a taxa á qual a área de uma das faces varia quando o diâmetro é 30 cm. Solução: Dados: dD/dt = 0.005 cm/min dA/dt = ? D = 30 cm Tomando a relação A = πr2 que é fórmula para área do círculo. e derivando a implicitamente temos: dA dt = 2πr dr dt 6 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA O problema é que não sabemos o valor de dr/dt, sendo assim, antes efetuar a derivada realizaremos uma pequena substituição levando em conta que o diâmetro (D) e duas vezes o raio (D = 2r). A = π � D 2 �2 ⇒ A = π 4 D2 ⇒ dA dt = π 2 D dD dt ⇒ dA dt = π 2 (30) 5 1000 ⇒ dA dt = 0.075π (cm2/mn) Exemplo 06 Suponha que uma bola de neve esteja se derretendo, com raio decrescendo a razão constante 2 cm/min. Qual a variação do volume quando o raio está com 25 cm? Solução: Dados: dr/dt = -2 cm/min dv/dt = ? r = 25 cm. A fórmula do volume da esfera é: V = 4 3 πr3 Derivando implicitamente. dV dt = 4 3 π3r2 dr dt ⇒ dV dt = 4πr2 dr dt e substituindo os valores 7 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA dV dt = 4π(25)2(−2) cm3/mn chegamos a solução ⇒ dV dt = −5000π cm3/mn Exemplo 07 A areia que vaza de um deposito e forma uma pilha cônica cuja altura sempre é igual ao raio da base. Se a altura da pilha aumenta a uma razão de 15 cm/min. Determine a taxa a qual a areia está se escoado quando a altura da pilha for de 25 cm. Solução: Dados: h = r dh/dt = 15 cm/min dv/dt = ? h = 25. E como h = r então dh/dt = dr/dt também. Tomando a equação do volume V = 1 3 πr2h e substituindo r V = 1 3 πh3 Derivando implicitamente. dV dt = πh2 dh dt dV dt = π(25)2(15) 8 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA dV dt = 9375π cm3/mn Exemplo 08 Uma pedra jogada em um lago emite ondas circulares, cujo raio cresce a uma taxa constante de 3 m/s. Com que rapidez estaria variando a área englobada pela onda crescente ao final de 10 segundos? Solução: Dados: dr/dt = 3 m/s dA/dt = ? t = 10s A = πr2 ⇒ dA dt = 2πr dr dt Como o raio varia 3 m/s em 10 segundos teremos um raio de 30 m. dA dt = 2π(3 · 10)(3) = 180π m2/s Exemplo 09 Um balão esférico é inflado de tal forma que o volume cresce a taxa de 3 m3/min. Com que rapidez o diâmetro do balão estará crescendo quando o raio for de 1 m? Solução: V = 4 3 πr3 d dt = 4πr2 dr dt 3 (m3/mn) = 4π(1 m)2 dr dt dr dt = 3 4π (m/mn) Como 2r =Diâmetro então: 9 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA 2 dr dt = dD dt e portanto: dD dt = 3 2π (m/mn) Exemplo 10 Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo a direção leste a uma velocidade de 90 km/h e o outro seguindo a direção sul, a 60 km/h.Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro está a 0.2 km do cruzamento e o segundo a 0.15 km? Solução: Dados: dx/dt = 90 dy/dt = -60 dz/dt = ? x = 0.2 Km y = 0.15 Km 60 km/h 90 km/h Neste caso desejamos saber dz dt quando x = 0.2 Km e y = 0.15 Km. Para isso usaremos o teorema de Pitágoras: 2 + y2 = z2 derivando implicitamente. 2 d dt + 2y dy dt = 2z dz dt e simplificando 10 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA d dt + y dy dt = z dz dt substituímos os valores de dx/dt e dy/dt 2(90) + 2y(60) = 2z dz dt e evidenciamos o dz/dt. dz dt = 0.2(90) + (0.15)(−60) z Quando x = 0.2 e y = 0.15, z é igual 0.25 (teorema de Pitágoras). E portanto: dz dt = −108 Km/h Um resultado interessante neste problema ocorre se aplicarmos o teorema de Pitágoras diretamente as velocidades (que são nada mais que vetores). Vz = p 602 + 902 ≈ 108.167 km/h Que é um resultado bastante próximo do calculado por meio da derivação im- plícita. Exemplo 11 Suponha que, em certo mercado, x milhares de caixas de laranjas sejam forneci- dos diariamente sendo p o preço por caixa e a equação de oferta p − 20p − 3 + 105 = 0 Se o fornecimento diário estiver decrescendo a uma taxa de 250 caixas por dia, com que taxa os preços estarão variando quando o fornecimento diário for de 5 mil caixas? Solução: Queremos descobrir dp dt quando x = 5. Derivando a expressão implicitamente chega-se à: � dp dt + d dt p � − 20 dp dt − 3 d dt + 0 = 0 ⇒ dp dt ( − 20) + d dt (p − 3) = 0 11 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA ⇒ dp dt = − d dt (p − 3) − 20 Quando é igual 5 p é igual à 6 p(5) − 20p − 3(5) + 105 = 0 p(5) = 6 A taxa de fornecimento (dx/dt) está decrescendo em 250, mas como é uma unidade em milhares usaremos d dt = − 250 103 . Assim: dp dt = 0.25(6 − 3) (5 − 20) = −0.05 Ou seja o preço está decrescendo a uma taxa de R$ 0,05 ao dia. Exemplo 12 Um avião voa a 152.4 m/s paralelamente ao solo, a uma altitude de 1.220 m no sentido oeste, tomando como referencia um holofote fixado no solo que o focaliza e que se encontra à esquerda da projeção vertical do avião em relação ao solo. Sabendo-se que a luz do holofote deverá permanecer iluminado o avião, qual deverá ser a velocidade angular (de giro) do holofote, no instante em que a distância horizontal entre ele e a projeção vertical do avião for de 610 m? Solução: 1220 m Queremos encontrar dθ dt quando = 610 m. E como tg θ = 1220 então: sec2θ dθ dt = − 1220 2 d dt Substituindo d dt = −152.4 na equação anterior e dividindo por sec2 θ, iremos obter 12 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA dθ dt = 185.928 2sec2θ Quando x = 610, tgθ = 2 e sec2 θ = 5. dθ dt = 185.928 6102 · 5 ⇒ dθ dt ≈ 1 10 rd/s Exemplo 13 Uma piscina tem 5 m de largura por 10 m de comprimento, 1 m de profundidade na parte rasa, e 3 m na parte mais funda. 10m 5m 1m 3m1.5m 4m A figura acima mostra as medidas e forma da piscina. Se a piscina for enchida a uma taxa de 0.1 m3/min, quão rápido estará subindo o nível de água quando sua profundidade no ponto mais profundo for de 1 m? Solução: Quando a profundidade da água no ponto mais fundo da piscina for de 1m então somente a área cuja seção transversal é um trapézio estará sendo usada. Assim vamos considerar apenas essa parte da piscina. Essa parte é representada pelo desenho a seguir. 13 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA 1 m 2m 1.5m 4m 3m Á equação que vamos usar é a da área do trapézio: A = BseMor + Bsemenor 2 h Como BM Bm = 1.5 + 4 + 3 3 ⇒ BM = 8,5 3 Bm então A = � 11,5 6 Bm � h Como a piscina têm 5 m de largura então seu volume é 5 vezes a área do trapézio determinado: V = 5A V = 5 � 11,5 6 Bmh � E como Bm = 3 V = 172,5 6 h Derivando implicitamente dV dt = 172,5 6 dh dt Substituindo a taxa 0.1 = dh dt 172,5 6 ⇒ dh dt = 2 575 m 14 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exemplo 14 Água está saindo de um tanque em forma de um cone invertido a uma taxa de 10.000 cm3/min no momento em que água está sendo bombeada para dentro a uma taxa constante. O tanque tem 6 m de altura e seu diâmetro no topo é 8 m. Se o nível da água está subindo a uma taxa de 20 cm/min quando a altura era 2 m, encontre a taxa com que a água está sendo bombeada para dentro. Solução: 2 m = 200 cm 5.8 m = 600 cm 4 m = 400 cm A variação do volume de água é dada pela fórmula dV dt = de dt − ds dt Onde de dt é a taxa de variação de entrada da água e ds dt a taxa de variação da saída da água, que é igual á 10.000 cm3/min. Sabe-se que a expressão para o volume de um cone é: V = 1 3 πr2h Pelo desenho é fácil verificar que h r = 6 4 que resulta em r = 2 3 h. Assim: V = 1 3 π � 2h 3 �2 h = 4πh3 27 onde derivando implicitamente obtemos: dV dt = 4πh2 9 dh dt Como dV dt = de dt − ds t então: 15 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA de dt − ds dt = 4π · 2002 9 · 20 ⇒ de dt − 10.000 = 4π · 2002 9 · 20 ⇒ de dt = � 4π · 2002 9 · 20 � + 10.000 ⇒ de dt ≈ 1.127.010,7cm3/mn logo a taxa de entrada no momento em que a altura era 200 cm é de 10148,6 cm3/min Exemplo 15 Um corredor corre em uma trajetória circular de raio 100 m a uma velocidade constante de 7 m/s. Um outro indivíduo está parado a uma distância de 200 m do centro da pista. Qual a taxa de variação da distância entre os dois quando esta distância era 200 m? Solução: Observe o esquema a seguir 200m θ x y z O problema é que não sabemos exatamente a posição dos dois corredores. Então não podemos usar o teorema de Pitágoras. Vamos usar a lei dos cossenos para expressar a distância entre os dois: z2 = 2 + y2 − 2y · cosθ Derivando implicitamente e levando em conta que x e y não variam no tempo (ou seja, são constantes) chega-se á: 2z dz dt = 0 + 0 + 2y(senθ) dθ dt ⇒ 2z dz dt = 2y(senθ) dθ dt 16 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA ⇒ z dz dt = y(senθ) dθ dt Substituindo o valor de , y e z. 200 dz dt = 200 · 100(senθ) dθ dt ⇒ dz dt = 100(senθ) dθ dt Da física sabemos que S = rθ logo: dS dt = r dθ dt ⇒ dS dt · 1 r = dθ dt . Substituindo esse último valor em dz/dt dz dt = 100(senθ) � dS dt · 1 r � ⇒ dz dt = 100 r (senθ) dS dt Como r = 100m então dz dt = 100 100 (senθ) dS dt ⇒ dz dt = (senθ) dS dt Quando a distância entre eles for de exatamente 200m então o ângulo θ será de: 2002 = 2002 + 1002 − 2 · 200 · 100cos(θ) ⇒ 2002 = 1002 + 2002 − 4 · 104cos(θ) ⇒ cos(θ) = 1 4 ⇒ θ ≈ 75,5◦ Assim: 17 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA dz dt = sen(75,5◦) · dS dt ⇒ dz dt = sen(75,5◦) · 7 ≈ 6,78 m/s Exemplo 16 A equação de demanda de uma determinada camisa é 2p + 65p − 4950 = 0, onde centenas de camisas são demandadas por semana quando p for o preço unitário. Se a camisa estiver sendo vendida esta semana R$ 30,00 e o preço estiver crescendo a uma taxa de R$ 0,20 por semana, ache a taxa de variação na demanda. Solução: A equação é a seguinte: 2p + 65p − 4950 = 0 Derivando a equação implicitamente chega-se à: 2 dp dt + 2p d dt + 65 dp dt = 0 Como p = 30 e dp dt = 0.2 então: 2(0.20) + 2(30) d dt + 65(0.20) = 0 ⇒ d dt = − 65(0.20) + 2(0.20) 2 · 30 Para descobrir o valor de usamos a equação inicial. 2p + 65p − 4950 = 0 ⇒ 2(30) + 65(30) − 4950 = 0⇒ = 50 Portanto d dt = − 65(0.20) + 2(0.20)(50) 2 · 30 = −0.55 Decresce a taxa de 55 camisas por semana. 18 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exemplo 17 Uma lâmpada está pendurada a 4,5m de um piso horizontal. Se um homem com 1,80m de altura caminha afastando-se da luz, com uma velocidade horizontal de 1,5m/s: a) Qual a velocidade de crescimento da sombra? b) Com que velocidade a pontada sombra do homem está se movendo? Solução: Vamos imaginar a situação descrita como na imagem abaixo. w k Lâmpada O problema envolve uma semelhança de triângulos. Onde: é a distância horizontal do homem até a lâmpada; k é o comprimento da sombra; d/dt é a taxa de variação com que o homem se afasta da lampada horizontal- mente; dk/dt a taxa de crescimento da sombra. Por semelhança de triângulos ( + k) 4,5 = k 1,80 ⇒ k = 1,5 19 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA ⇒ = 1,5k Derivamos em ambos os lados em relação ao tempo (t): d dt = 1,5 dk dt e como d/dt = 1.5 m/s então dk/dt = 1 m/s (Primeira resposta). A velocidade com que a ponta da sombra do homem está se movendo é a soma da taxa de variação com que o homem se move somada a taxa de variação de crescimento da sombra. d(w + k)/dt = dw/dt + dk/dt ⇒ d(w + k)/dt = 1,5 + 1 ⇒ d(w + k)/dt = 2,5 m/s (segunda resposta) Respostas: (a) 1,0 m/s (b) 2,5 m/s Exemplo 18 Um radar da polícia rodoviária está colocado atrás de uma árvore que fica a 12 metros de uma rodovia que segue em linha reta por um longo trecho. A 16 metros do ponto da rodovia mais próximo do radar da polícia, está um telefone de emergência. O policial mira o canhão do radar no telefone de emergência. Um carro passa pelo telefone e, naquele momento, o radar indica que a distância entre o policial e o carro está aumentando a uma taxa de 70 km/h. O limite de velocidade naquele trecho da rodovia é de 80km/h. O policial deve ou não multar o motorista? 20 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Solução: O problema acima é esquematizado na figura abaixo: Radar 12m Telefone 16m z2 = 2 + y2 Como a distância horizontal entre a rodovia e o radar se mantêm constante. z2 = 122 + y2 ⇒ z2 = 144 + y2 Derivando implicitamente. 2z dz dt = 0 + 2y dy dt e evidenciando dy/dt dy dt = 2z(dz/dt) 2y ⇒ dy dt = z(dz/dt) y e finalmente substituindo os valores chega-se ao resultado. dy dt = p 122 + 162 · 70 16 = 87.5 Como o limite é de 80 Km/h e a velocidade do carro é de 87.5 km/h a não ser que o motorista tenha uma desculpa realmente boa ele deve ser multado. 21 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exemplo 19 aumenta a distância eConsidere um balão meteorológico a ser lançado de um ponto a 100 metros de distância de uma câmera de televisão montada no nível do chão. À medida em que o balão sobe,ntre a câmera e o balão e o ângulo que a câmera faz com o chão. Se o balão está subindo a uma velocidade de 6 m/s, pergunta-se: (a) Quando o balão estiver a 75m de altura, qual a velocidade com que o balão se afasta da câmera? (b) Decorridos 5 segundos após o lançamento, para filmar a subida do balão, com que velocidade a câmera está girando? Solução de A: Considere o esquema Câmera Balão y x z θ Usando Pitágoras z2 = y2 + 1002 ⇒ 2z dz dt = 2y dy dt Quando y = 75 por Pitágoras conclui-se que z = 125, então: 2(125) dz dt = 2(75)6 ⇒ dz dt = 3,6 Logo a velocidade com que o balão se afasta é de 3.6 m/s 22 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Solução de B: Para resolver o item (b), podemos usar a função da tangente. tn(θ) = y 100 Fazendo a derivada da função e evidenciando dθ/dt sec2(θ) dθ dt = 1 100 dy dt dθ dt = 1 100sec2(θ) dy dt Em 5 segundos a 6 m/s o balão percorre 30m (y = 30). Como x é sempre igual a 100 pelo teorema de pitágoras z = p 104 + 302 = 10 p 109. De modo que sec(θ) = 10 p 109 100 . Como dy dt = 6 então dθ dt = 1 100 � 10 p 109 100 �2 6 dθ dt = 6 109 Rad/s Exemplo 20 Um homem caminha ao longo de um caminho reto com velocidade 4 m/s. Uma lâmpada está localizada no chão a 20m da trajetória (distância ortogonal) e é man- tida focalizada na direção do homem. Qual a velocidade de rotação da lâmpada quando o homem está a 15m do ponto do caminho mais próximo da lâmpada? Solução de A: Considere o esquema: 23 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Homem Lâmpada θ z=20m x=15m y É tg(θ) = y Derivando implicitamente dθ/dt cos2(θ) = (d/dt)y − (dy/dt) y2 Como y é uma constante então dy/dt = 0 e assim: dθ/dt cos2(θ) = (d/dt)y y2 = (d/dt) y (1) Pelo teorema de Pitágoras 202 = 152 + y2. Que resulta em y2 = 175 Substituindo esse valor em (1) e explicitando dθ/dt dθ dt = (d/dt) p 175 · cos2(θ) Como dx/dt = 4 e cos(θ) = p 175 20 quando x = 15 dθ dt = 4 p 175 · �p 175 20 �2 ≈ 0.13 Assim a velocidade é de aproximadamente 0.13 rad/s 24 Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Este trabalho está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial- CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Esse documento está sujeito a constante atualização ou mesmo correções, por isso, certifique se que o que você têm em mãos é de fato a última versão do mesmo. Para saber, bem como ter acesso a vários outros exercícios resolvidos de matemática, acesse: www.number890.wordpress.com Para aulas particulares, digitação de texto em LATEXe resolução de listas de exer- cícios entre em contato. nbbedego@gm.com .ƒcebook.com/theNmberType .nmber890.ordpress.com 25 http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
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