taxas_relacionadas - EXERCÍCIOS

Prévia do material em texto

www.baluta.com.br - associe-se para obter resoluções 
Cálculo - Taxas relacionadas 
1 Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praça Seca 
Telefone: 39022608 - 994306166 
Taxas relacionadas 
1. O raio de uma circunferência cresce à razão de 21cm/s. Qual a taxa de crescimento do comprimento 
da circunferência em relação ao tempo? 
2. Um ponto P(x, y) se move ao longo da função y = 
x
1
. Se a abscissa varia à razão de 4 unidades por 
segundo, qual é a taxa de variação da ordenada quando a abscissa é 
10
1
? 
3. Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se o 
volume de areia cresce a uma taxa de 10m
3
/h , a que razão aumenta a área da base quando a altura do 
monte é de 4m? 
4. Uma peça de carne foi colocada num freezer no instante t = 0. Após t horas, sua temperatura, em 
graus centígrados é dada por T(t) = 30 - 5t + 
1t
4
+
, 0 ≤ t ≤ 5. Qual a velocidade de redução de sua 
temperatura após 2 horas? 
5. Seja r a raiz cúbica de um número real x. Qual a taxa de variação de r em relação a x quando x = 8. 
6. Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de 5m de raio da base e 10m de altura. No tempo 
t = 0, a água começa a fluir no tanque à razão de 25m
3
/h . Com que velocidade o nível de água sobe? 
Quanto tempo levará para o tanque ficar cheio? 
7. Achar a taxa de variação do volume V de um cubo em relação ao comprimento de sua diagonal. Se a 
diagonal está se expandindo à uma taxa de 2m/s, qual a razão de variação do volume quando a diago-
nal mede 3m? 
8. Os lados de um triângulo equilátero crescem à taxa de 2,5cm/s. 
a) Qual a taxa de variação da área desse triângulo, quando os lados tiverem 12cm de comprimento? 
b) Qual a taxa de crescimento do perímetro, quando os lados medirem 10cm de comprimento? 
9. Uma lâmpada colocada em um poste está a 4m de altura. Se uma criança de 90cm de altura caminha 
se afastando da lâmpada à razão de 5m/s, com que rapidez se alonga a sua sombra? 
10. Infla-se um balão esférico de tal modo que o seu volume está aumentando à taxa de 5dm
3
/min . A 
que taxa o diâmetro do balão cresce quando o diâmetro é 12dm? 
11. Numa granja experimental, constatou-se que uma ave em desenvolvimento pesa em gramas 
( )




≤<+
≤≤++
=
90t60,604t4,24
60t0,4t
2
1
20
)t(W
2
, onde t é medido em dias. 
a) qual a razão do aumento e peso da ave quando t = 50? 
b) Quanto a ave aumentará no 51º dia? 
c) Qual a razão de aumento de peso quando t = 80? 
12. A temperatura de um gás é mantida constante e sua pressão p em kgf/cm
2
 e volume v em cm
3
 pela 
igualdade vp = c, onde c é constante. Achar a razão de variação do volume em relação à pressão 
quando esta vale 10kgf/cm
2
. 
13.Um objeto se move sobre y = 2x
2
 + 3x - 1 de tal modo que sua abscissa varia à taxa de 6 unidades 
por minuto. Qual é a taxa de variação de sua ordenada quando o objeto estiver no ponto (0, -1)? 
14. Uma certa quantidade de areia é despejada à uma taxa de 10m
3
/min, formando um monte cônico. Se 
a altura do monte for sempre o dobro do raio da base, com que taxa a altura estará crescendo quando 
o monte tiver 8m de altura? 
15. Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha a forma esférica. Se quando o raio do tumor 
for 0,5cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001cm por dia, qual será a taxa de aumento do 
volume do tumor naquele instante? 
16. Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha a forma esférica. Se quando o raio do tumor 
for 0,5cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001cm por dia, qual será a taxa de crescimento da 
sua área? 
 www.baluta.com.br - associe-se para obter resoluções 
Cálculo - Taxas relacionadas 
2 Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praça Seca 
Telefone: 39022608 - 994306166 
17. Uma pedra é jogada em um lago, provocando uma onda circular de raio r, o qual varia com o tempo 
a uma taxa constante de 3cm/s. Calcule a taxa de variação, com o tempo, da área do círculo limitado 
pela onda, no instante em que o raio vale 20cm 
18. Um balão esférico, que está sendo inflado, mantém sua forma esférica. Seu raio aumenta a uma taxa 
constante de 0,05m/s. Calcule a taxa de variação do seu volume, no instante em que seu raio vale 2m. 
19. Um cubo de metal, que está sendo aquecido, mantém sua forma. Uma aresta aumenta a uma taxa 
que, no instante t0, vale 0,05cm/s, instante no qual a aresta mede 10cm. Calcule a taxa de expansão 
do volume do cubo no instante t0. 
20. Uma moeda que está sendo aquecida, mantém sua forma. Calcule o quociente entre a taxa de varia-
ção com o tempo da área de uma face e a taxa de variação com o tempo do diâmetro, num instante em 
que o diâmetro mede 1cm. 
21. Uma escada, de comprimento 2m, desliza no chão, mantendo-se apoiada em uma parede. Em um de-
terminado instante, sua base dista 0,6m da parede e se afasta da mesma à razão de 0,3m/s. Calcule a 
velocidade com que seu topo desliza parede abaixo, no instante em questão. 
22. Uma escada, de comprimento 6m, apóia-se durante seu movimento, no chão e na parede vertical. Em 
um instante t0, o seu topo dista 3,6m do chão e sua base afasta-se da parede vertical à taxa de 1m/s. 
Calcule a velocidade escalar do topo no instante t0. 
23. O raio de um cone é sempre igual à metade de sua altura h. Determinar a taxa de variação da área da 
base em relação ao volume do cone. 
24. Um tanque cúbico horizontal tem aresta medindo 2m, e a vazão de água é constante, valendo 
0,5m
3
/s. determine a velocidade de subida do nível da água. 
25. Uma escada com 25 unidades de comprimento está apoiada numa parede vertical. Se o pé da escada 
for puxado horizontalmente, afastando-se da parede a 3 unidades de comprimento por segundo, qual a 
velocidade com que a escada está deslizando, quando seu pé está a 15 unidades de comprimento da 
parede? 
26. Um tanque tem forma de um cone invertido com 16m de altura e uma base com 4m de raio. A água 
"flui" no tanque a uma taxa de 2m
3
/min. com que velocidade o nível da água estará se elevando 
quando sua profundidade for 5m? 
27. Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo a direção leste a uma 
velocidade de 90km/h e o outro seguindo a direção sul, a 60km/h. Qual a taxa segundo a qual eles se 
aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro está 0,2km do cruzamento e o segundo a 
0,15km? 
28. Um avião voa a 152,4m/s paralelamente ao solo, a uma altitude de 1220m no sentido oeste, tomando 
como referência um holofote fixado no solo que o focaliza e que se encontra á esquerda da projeção 
vertical do avião em relação ao solo. 
Sabendo-se que a luz do holofote deverá permanecer iluminando o avião, qual deverá ser a velocida-
de angular (de giro) do holofote, no instante em que a distância horizontal entre ele e a projeção verti-
cal do avião for 610m? 
29. Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura de 3m e uma base com raio de 1,5m. 
A água está fluindo dentro do tanque a uma vazão de 2dm
3
/min. Com que velocidade sobe o nível de 
água quando a água estiver com 2m de profundidade? 
30. Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido com base de raio 2m e altura igual a 
4m. Se água está sendo bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2m
3
/min, encontre a taxa na qual o 
nível de água está elevando quando a água está a 3m de profundidade. 
31. Uma escada de 3m de comprimento está apoiada em uma parede. Se a base da escada desliza, afas-
tando-se da parede a uma taxa de 1m/s, quão rápido o topo da escada escorrega para baixo quando a 
base está a 1m da parede? 
32. Um homem anda a 1m/s e um holofote o acompanha a 10m do caminho. A que taxa o holofote está 
girando quando o homem está a 15m do ponto mais próximo da luz? 
 www.baluta.com.br - associe-se para obter resoluções 
Cálculo - Taxas relacionadas 
3 Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praça Seca 
Telefone:39022608 - 994306166 
33. A Lei de Boyle estabelece que quando uma amostra de gás está a uma temperatura constante, a pres-
são P e o volume V satisfazem a equação PV = C, em que C é uma constante. Suponha que em um 
certo instante o volume é 600m
3
, a pressão é 150kPa e a pressão cresce a uma taxa de 20kPa/min. A 
que taxa está decrescendo o volume nesse instante? 
34. Quando o ar expande adiabaticamente (sem troca de energia térmica), sua pressão P e o volume V 
estão relacionados pela equação PV
1,4
 = C, em que C é uma constante. Suponha que em um certo ins-
tante o volume é 400cm
3
, a pressão é 80kPa e a pressão cresce a uma taxa de 10kPa/min. A que taxa 
está decrescendo o volume nesse instante? 
35. Uma queimadura na pele de uma pessoa tem a forma de um círculo. Se o raio da queimadura está 
decrescendo a uma taxa de 0,05cm/dia quando ele é 1cm, qual a taxa de decréscimo da área da quei-
madura nesse instante? 
36. Suponha que numa farmácia P seja o preço da caixa de um determinado remédio, x o número de mi-
lhares de caixas desse remédio ofertadas diariamente, sendo a equação de oferta Px - 20P - 3x + 105 
= 0. Se a oferta diária está decrescendo a uma taxa de 250 caixas do remédio por dia, em que taxa os 
preços estão variando quando a oferta diária é de 5000 caixas? 
37. O carro A está indo para o oeste a 50Km/h e o carro B está indo para norte a 60Km/h. Ambos estão 
dirigindo para a interseção de duas ruas. A que taxa os carros estão se aproximando um do outro 
quando o carro A está a 0,3Km e o carro B está a 0,4Km da interseção? 
38. Um quadrado se expande de modo que seu lado varia à razão de 6cm/s. Determine a taxa de variação 
da área do quadrado no instante em o lado meça 10cm. 
39. O raio de uma bola cresce à razão 3cm/s. Determine a taxa de variação do volume da bola no instan-
te em que o raio é 8cm. 
40. Uma escada de 5m de comprimento se apóia em uma parede vertical. A extremidade inferior da es-
cada se afasta da parede a uma razão de 0,8m/s. Quão rapidamente está descendo a extremidade supe-
rior da escada no instante em que a extremidade inferior estiver a 3m da parede? 
41. Um homem anda ao longo de uma estrada reta a uma velocidade de 2m/s. Um farol giratório que está 
a 6m da estrada focaliza o homem. A que taxa o farol está girando, quando o homem estiver a 4m do 
ponto do caminho mais próximo do farol? 
42. Dois carros partem de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60km/h, e o outro para oeste a 
25km/h. A que taxa está aumentando a distância entre os carros duas horas depois da partida? 
43. O volume de um cubo está aumentando à taxa de 2cm
3
 por segundo. Com que taxa estará variando a 
área de uma de suas faces quando sua aresta tiver 20cm? 
44. Duas variáveis x e y são funções de uma variável t e estão relacionadas pela equação y
2
 - 3xy + x
2 
= 25. Se a taxa 
de variação de x em relação a t é igual a 1 quando x = 0 então determine qual a taxa de variação de y em relação a t 
neste mesmo instante. 
45. Um incêndio em um campo aberto se alastra em forma d círculo. O raio do círculo aumenta à razão 
de 0,5m/min. Detrminar a taxa à qual a área ncendiada está aumentando quando o raio é 12m. 
46. Enche-se um balão esférico de tal modo que seu volume aumenta à razão de 2m
3
/s. Qual a razão do 
aumento de seu raio por unidade de tempo, quando o mesmo atinge o valor de 5m? 
47. O diâmetro e altura de um cilindro circular reto são, num determinado instante, 20cm e 40cm, res-
pectivamente. Se a altura crescer a uma taxa de 2cm/min, como variará o raio do cilindro, se seu vo-
lume permanecer constante? 
48. Os lado x e y de um retângulo estão variando a taxas constantes de 0,5cm/s e 0,4cm/s, respectiva-
mente. A que taxas estarão variando a área e o perímetro do retângulo no instante em que x é igual a 
40cm e y = 50cm? 
 
 
 
 www.baluta.com.br - associe-se para obter resoluções 
Cálculo - Taxas relacionadas 
4 Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praça Seca 
Telefone: 39022608 - 994306166 
Respostas 
1. 42πcm/s 
2. -400u/s 
3. 5m
2
/h 
4. 
9
49−
ºC = 5,44...ºC 
5. 1/12 
6. 1/π m/h, 10πm 
7. 
3
3d
3
d 22
= m2; 36 m3/s 
8. a) 315 cm
2
/s b) 7,5cm/s 
9. 1,45m/s 
10. 
π72
5
dm/min 
11. a) 54g/dia b) 54,5g 
 c) 24,4g/dia 
12. kgf/cm
100
c 5− 
13. 18u/min 
14. 
π8
5
m/min 
15. 0,001πcm3/dia 
16.0,004πcm3/dia 
17. 120πcm2/s 
18. 0,8πm3/s 
19. 15cm
3
/s 
20. 
2
π
cm 
21.
64,3
18,0−
 = 
9,1
18,0−
 = -0,094m/s 
22. 
3
4−
m/s 
23. 3
V3
2π
área/volume 
24. 
8
1
m/s = 0,125m/s 
25. 
4
9−
u/s = -2,25unid.comp/s 
26. 
π25
32
m/min = 0,407m/min 
27. -108km/h 
28. 
10
1
rad/s 
29. 
π50
1
dm/min 
30. 
π9
8
m/min 
31. 
4
2−
m/s 
32. 
65
2
rad/s 
33. -80m
3
/min 
34.
7
250−
dm
3
/min=-35,7cm
3
/min 
35. 
10
π−
cm
2
/dia 
36. -0,05reais/dia 
37. Os carros se aproximam um 
do outro a uma taxa de 
78Km/h. 
38. 120cm
2
/s 
39. 768πcm3/s 
40. -0,6m/s 
41. 
13
3
rad/s 
42. 65m/s 
43. 
15
1
cm
2
/s 
44. 
2
3
 
45. 12πm2/min 
46. 
π50
1
m/s 
47. 
4
1−
cm/min 
48. 
5
9
cm/s