Esboço de gráficos

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Instituto Federal do Rio Grande do Sul 
Engenharia Mecânica 
Engenharia Automação e Controle 
 
 
CÁLCULO I 
 
Aplicações da derivada 
Máximos e Mínimos de Funções. 
 
 
Prof. Juliane 
 
 
Máximos e Mínimos 
 Definição: 1) Uma função f tem um máximo relativo em c, se 
existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que para 
todo 
 
 Def.: 2) Uma função f tem um mínimo relativo em c, se existir 
um intervalo aberto I, contendo c, tal que para todo 
( ) ( )f c f x
( )x I D f 
( ) ( )f c f x
( )x I D f 
 Proposição: 1) Suponhamos que f(x) existe para todos os 
valores x pertencentes ao intervalo aberto (a,b) e que f tem um 
extremo relativo em c, onde a < c < b. Se existe, então 
 
 
 O ponto c no domínio de f tal que ou não 
existe, é chamado ponto crítico de f. 
 
 Prop.: 2) Seja f uma função contínua, definida em um intervalo 
fechado [a,b]. Então f assume máximo e mínimo absoluto em 
[a,b]. 
 
 Def. 3) Dizemos que f(c) é o máximo absoluto da função f, se 
 para todos os valores x no domínio de f. 
 
 Def. 4) Dizemos que f(c) é o mínimo absoluto da função f, se 
 para todos os valores x no domínio de f. 
( )f c( ) 0f c 
( ) ( )f c f x
( ) ( )f c f x
( ) 0f c 
( )f c
Funções crescentes e decrescentes 
 Def.: 5) Dizemos que uma função f, definida num intervalo I, é 
crescente neste intervalo se para quaisquer 
temos que 
 Def.: 6) Dizemos que uma função f, definida num intervalo I, é 
crescente neste intervalo se para quaisquer 
temos que 
1 2 1 2, ,x x I x x 
1 2( ) ( )f x f x
1 2( ) ( )f x f x
1 2 1 2, ,x x I x x 
 Prop. 3) Seja f uma função contínua em [a,b] e derivável no 
intervalo (a,b). 
i) Se para todo x pertencente a (a,b) então f é 
crescente em [a,b]; 
 
ii) Se para todo x pertencente a (a,b) então f é 
decrescente em [a,b]; 
( ) 0f x 
( ) 0f x 
Critério da derivada primeira para determinação 
de extremos 
 Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a,b] que 
possui derivada em todo ponto do intervalo (a,b), exceto 
possivelmente num ponto c. 
I) Se para todo x < c e para todo x > c então 
f tem um máximo relativo em c. 
 
ii) Se para todo x < c e para todo x > c 
então f tem um mínimo relativo em c. 
( ) 0f x 
( ) 0f x 
( ) 0f x 
( ) 0f x 
Resumindo 
Critério da derivada segunda para determinação 
de extremos 
 Seja f uma função derivável num intervalo (a,b) e c um ponto 
crítico de f nesse intervalo, ou seja, 
I) Se f tem um valor máximo relativo em c. 
 
ii) Se f tem um mínimo relativo em c. 
( ) 0f x 
( ) 0f x 
Concavidade e Pontos de Inflexão 
 Prop. 4) Uma função f contínua no intervalo [a,b] e derivável 
até segunda ordem em (a,b): 
i) Se então f é côncava para cima em (a,b); 
ii) Se então f é côncava para baixo em (a,b). 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 0f x 
( ) 0f x 
 Def. 7) Um ponto P(c,f(c)) é chamado ponto de inflexão, se 
existe um intervalo (a,b) contendo c, tal que umas das 
seguintes situações ocorra: 
i) f é côncava para cima em (a,c) e côncava para baixo em (c,b) 
ii) f é côncava para baixo em (a,c) e côncava para cima em 
(c,b) 
ESBOÇO DE GRÁFICOS 
1o) Encontrar D(f); 
2o) Calcular os pontos de intersecção com os eixos (se possível); 
3o) Encontrar os pontos críticos; 
4o) Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de 
f(x); 
5o) Encontrar os máximos e mínimos relativos; 
6o) Determinar a concavidade e os pontos de inflexão de f(x); 
7o) Encontrar as assíntotas horizontais e verticais; 
8o) Esboçar o gráfico.