Calculo I Parte IV

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Unidade 4
Otimização da 
derivada
Gabriela Faria Barcelos Gibim
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Sumário
Unidade 4
Otimização da derivada ................................................................................ 5
Seção 1
Derivada implícita e taxa relacionada .............................................. 7
Seção 2
Máximos e mínimos .........................................................................16
Seção 3
Concavidade e pontos de inflexão ..................................................27
Seção 4
Otimização ........................................................................................37
Unidade 4
Otimização da derivada
Convite ao estudo
Na unidade anterior você aprendeu algumas regras de derivação, como 
derivada do produto e quociente; regra da cadeia; derivada logarítmica e 
exponencial e derivadas trigonométricas. 
Nesta unidade iremos ampliar nosso conhecimento sobre derivadas 
implícitas, taxas relacionadas, Máximos e Mínimos e otimização. 
Vimos que a derivada de uma função é utilizada para diversas finalidades, 
vamos explorar mais algumas nesta unidade. Entre as numerosas aplicações 
das derivadas podemos citar problemas relacionados a: tempo, pressão, 
volume, área, temperatura, custo, consumo de gasolina, ou seja, qualquer 
quantidade que possa ser representada por uma função. Vamos colocar em 
prática esses conceitos que aprendemos até então? 
Aperfeiçoe-se! Bons estudos! A partir deste estudo você irá: 
Competência a ser desenvolvida: 
Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do profis-
sional da área de exatas. 
Objetivos: 
Conhecer as regras de derivada implícita, taxa de variação, máximos e 
mínimos e otimização. 
Conhecer e aplicar esses conhecimentos de derivada na descrição de 
fenômenos e situações-problema. 
Para auxiliar no desenvolvimento da competência acima e atender 
aos objetivos específicos do tema em questão, vamos relembrar a situação 
hipotética apresentada nas unidades 1, 2 e 3. Esta situação visa aproximar os 
conteúdos teóricos com a prática. Vamos relembrar! 
João irá participar de um processo seletivo de uma empresa multina-
cional para trabalhar como estagiário. Para tanto, precisa realizar um teste 
para mostrar que é capaz de compreender e resolver problemas ligados ao 
nosso cotidiano. A empresa entende que o profissional, dependendo de sua 
qualificação, pode atuar em diversas áreas. Em todas elas, a facilidade em 
lidar com a matemática é fundamental, principalmente no que diz respeito 
ao estudo - agora - de derivadas. Portanto, João terá que resolver situações-
-problema que tratam de entender a interdependência de várias coisas ao 
nosso redor, das mais simples às mais complexas, como valor de despesas de 
uma família, número de indivíduos de uma população, cálculo de velocidade 
e aceleração, volume, área. etc.
7
Seção 1
Derivada implícita e taxa relacionada
Diálogo aberto
Vamos para mais uma seção de autoestudo sobre derivadas?
No tema anterior ampliamos nosso conhecimento sobre derivadas trigo-
nométricas e derivadas sucessivas. Nesta seção iremos aprender agora sobre 
derivadas implícitas e taxas relacionadas.
O estudo sobre as derivadas das funções é fundamental para a compre-
ensão do comportamento das mesmas e está relacionado com muitas áreas 
do conhecimento. A aplicação das derivadas é extensa, possui complexi-
dade que varia de acordo com o problema em estudo e pode ser muito útil 
na vida profissional de um engenheiro. Nesse tema a aplicação de derivadas 
será focada na aplicação de taxas relacionadas – quando uma grandeza 
varia em relação à variação de outra e na aplicação de derivadas implícitas. 
Vamos aprender o conceito de funções implícitas, aquelas que não 
apresentam a variável dependente da forma tradicional ( )( )y f x= , e 
mostrar como derivá-las além da sua conexão com problemas das taxas 
relacionadas. 
Vamos voltar a situação hipotética apresentada no convite ao estudo? 
Uma das situações problema apresentadas pela empresa para João resolver 
foi a seguinte: 
Um radar da polícia rodoviária está colocado atrás de uma árvore que 
fica a 12 metros de uma rodovia, que segue em linha reta por um longo 
trecho. A 16 metros do ponto da rodovia mais próximo do radar da polícia, 
está um telefone de emergência. O policial mira o canhão do radar no 
telefone de emergência. Um carro passa pelo telefone e, naquele momento, 
o radar indica que a distância entre o policial e o carro está aumentando a 
uma taxa de 70 km/h. O limite de velocidade naquele trecho da rodovia é 
de 80km/h. O policial deve ou não multar o motorista? 
8
Figura 4.1 – Esquema da situação problema
Fonte: elaborada pelo autor.
Não pode faltar
Funções implícitas
Uma função implícita significa que a variável y não é apresentada expli-
citamente em função de x . Observe a função apresentada a seguir que é uma 
função implícita de x .
2 2 4x y+ = 
Essa é a equação da circunferência de raio igual a 2. Dessa forma, para um 
mesmo valor de x é possível encontrar dois valores correspondentes para y 
, correto? Mas isso seria possível para uma função? Para evitar problemas de 
definição considere isolar a variável y e veja que o resultado será uma raiz 
quadrada, ou seja:
2 2 24 4y x y x= - Þ =± - 
Ou seja, a função positiva representa a metade de cima do eixo x do 
círculo e a parte negativa a metade que está abaixo do eixo x (Figura 4.1). 
Figura 4.2 - Representação gráfica de 2 2 4x y+ = .
Fonte: Hughes-Halett; McCallum; Gleason (2011, p. 120).
9
Nem todas as funções definidas implicitamente são deriváveis em todos 
os pontos do seu domínio. Em um curso de Cálculo avançado se estudam 
condições que garantem quando uma função definida implicitamente é 
derivável. Aqui, procederemos como se as funções definidas implicitamente 
fossem deriváveis em quase todos os pontos de seu domínio. Admitindo que 
a função ( )y f x= , definida implicitamente pela equação ( ), 0F x y = , seja 
derivável, podemos calcular a derivada dy
dx
 sem ser necessário primeiro 
resolver a equação ( )y f x= .
Como é possível derivar uma função implícita?
Para derivar essa equação da circunferência com relação a x , devemos 
aplicar a derivada a todas as parcelas, lembrando que 2y é uma função com 
relação a x , logo para resolver essa derivada será necessário usar a Regra 
da Cadeia.
Derivando a equação 2 2 4x y+ = , teremos:
( ) ( ) ( )2 2 4d d dx y
dx dx dx
+ = 
( )2
2 0 2 2 0
d y dy dyx x y
dy dx dx
+ × = Þ + × = 
Isolando dy
dx
, temos: dy x
dx y
=- .
Assimile
A partir da Regra da Cadeia para derivar ( )2d y
dx
, a fórmula mais conhe-
cida é dy dy dz
dt dz dt
= × , considerando a composição das funções ( ( ))y z t . Usando 
o mesmo raciocínio, pode ser reescrita da seguinte forma 
( ) ( )2 2d d dyy y
dx dy dx
= × .
Observe, novamente, a figura 4.1. Ao calcular a derivada da equação do 
círculo, obtivemos a inclinação da curva em todos os pontos, exceto em ( )2,0 
e ( )2,0- , locais da função em que a tangente é vertical. Em geral, esse 
processo de diferenciação implícita nos leva a uma derivada sempre que não 
houver uma indeterminação, como por exemplo, um zero no denominador.
10
Exemplificando
Encontre 
dy
dx
 se 3 3 6x y xy+ = (STEWART, 2011).
Vamos utilizar a notação de linha para resolver a derivada 'y .
Derivando ambos os lados de 3 3 6x y xy+ = em relaçãoa x , conside-
rando y como uma função de x e usando a Regra da Cadeia no termo 
3y e a Regra do Produto no termo 6xy obtemos:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 3
2 3
2 2
2 2
6 6
3 6 ' 6
3 3 ' 6 ' 6
' 2 ' 2
d d d dx y x y x y
dx dx dx dx
d dyx y xy y
dy dx
x y y xy y
x y y xy y
+ = +
+ = +
+ = +
+ = +
 
Isolando y’ temos: 
2 2' 2 ' 2y y xy y x- = - 
2 2'( 2 ) 2y y x y x- = - 
2
2
2'
2
y xy
y x
-
=
-
Taxas relacionadas
As taxas relacionadas se referem à variação de uma grandeza com relação 
a outra. Em um problema de taxas relacionadas a ideia é calcular a taxa de 
variação de uma grandeza em termos da taxa de variação da outra. O proce-
dimento consiste em achar uma equação que relacione as duas grandezas 
e então usar a Regra da Cadeia para derivar ambos os lados em relação ao 
tempo. (STEWART, 2011).
Para ficar clara essa definição, acompanhe os exemplos apresentados 
a seguir.
Exemplificando
Suponha que uma pedra seja lançada num lago. No momento em que 
ela cai na água é formada uma onda circular, cujo círculo aumenta no 
transcorrer do tempo. Então, sabendo que quando o raio do círculo tem 
3 cm e que o raio aumenta a uma taxa de 1 cm por segundo, como saber 
a taxa de crescimento da área desse círculo conforme o tempo passa? 
Observe a próxima imagem. 
11
Figura 4.3 – Representação gráfica da onda circular em crescimento
Fonte: elaborada pelo autor.
As informações que temos são: O raio no valor de 3cm , a taxa de cresci-
mento do raio em relação ao tempo 1 /dr cm s
dt
æ ö÷ç = ÷ç ÷÷çè ø
 e a área do círculo 
que é dada por 2A rp= . Qual é a informação procurada? É a taxa de 
variação da área do círculo em relação ao tempo, ou seja, 
dA
dt
 .
Temos que 1 /dr cm s
dt
= e precisamos achar 
dA
dt
 . É essencial compre-
ender que nessa situação A e r são variáveis independentes, tendo t 
como variável independente subjacente. Assim, é natural introduzir as 
taxas de A e r derivando a área do círculo com relação a t . Como A 
é dependente de t e r também é dependente de t , trata-se de uma 
função composta, certo? Logo, a regra de derivação a ser utilizada pela 
regra da cadeia é 
dA dA dr
dt dr dt
= × . Então:
( )2dA d drr
dt dr dt
p= 
2dA drr
dt dt
p=
Logo, como sabemos que 1 /dr cm s
dt
= e raio inicial é 3cm, substituindo 
pelos dados:
22 3 1 / 6 /dA dAcm cm s cm s
dt dt
p p= × × Þ = .
Então, para o problema estudado quando o raio do círculo é 3cm , a 
cada segundo que passa a área do círculo cresce 26 cmp (ou aproxima-
damente 218,84cm por segundo).
12
Sem medo de errar 
Após o estudo de derivada, vamos resolver a situação problema apresen-
tada ao João? Vamos relembrar! 
Um radar da polícia rodoviária está colocado atrás de uma árvore que fica 
a 12 metros de uma rodovia, que segue em linha reta por um longo trecho. 
A 16 metros do ponto da rodovia mais próximo do radar da polícia, está 
um telefone de emergência. O policial mira o canhão do radar no telefone 
de emergência. Um carro passa pelo telefone e, naquele momento, o radar 
indica que a distância entre o policial e o carro está aumentando a uma taxa 
de 70 km/h. O limite de velocidade naquele trecho da rodovia é de 80km/h. 
O policial deve ou não multar o motorista? 
Figura 4.1 – Esquema da situação problema
Fonte: elaborada pelo autor.
Solução:
As distâncias z do policial ao automóvel e y do automóvel em relação ao 
ponto da rodovia mais próximo da árvore variam com o tempo. O radar 
marca a velocidade do automóvel em relação ao policial, isto é, dz
dt
 quando
16y m= . Para saber se o motorista deve ou não ser multado, precisamos 
determinar dy
dt
 , isto é, a velocidade desenvolvida pelo automóvel no trecho 
reto da rodovia, na hora da leitura do radar (quando ele passa pelo telefone). 
Pela geometria do problema, usando o teorema de Pitágoras, sabemos que as 
distâncias x , y e z estão relacionadas pela equação
2 2 212z y= + obtemos: 
13
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
12
2 2
d d dz y
dt dt dt
d dz d dyz y
dz dt dy dt
dz dyz y
dt dt
dy z dz
dt y dt
= +
=
=
=
Quando 16 0,016y m km= = , a leitura do radar nos diz que 70 /dz km h
dt
= , 
e, usando outra vez o teorema de Pitágoras, podemos deduzir que, neste 
momento, 20 0,02z m km= = . Usando estes dados, a relação acima nos 
permite concluir que, quando o automóvel passa pelo telefone, sua veloci-
dade na estrada é de 0,02 70 1,25 70 87,5 /
0,016
km h× = × = que ultrapassa o limite 
de velocidade permitido. Logo, o motorista deve ser multado.
Avançando na prática
Balão
Adaptado de Simmons (1987, pág. 182) - Quando o ar é bombeado para 
dentro de um balão, tanto o volume quanto o raio do balão crescem, e suas 
taxas de crescimento estão relacionadas. Mas é muito mais fácil medir direta-
mente a taxa de crescimento do volume do que a do raio. Portanto, considere 
um grande balão esférico de borracha está sendo cheio de gás a uma taxa 
constante de 38 /cm s - ver Figura 4.3. Calcule com que velocidade o raio R 
do balão cresce quando 2R cm= .
Figura 4.4 - Representação gráfica do balão circular
Fonte: Simmons (1987, p. 183).
14
Resolução da situação-problema
Para o volume do balão esférico temos a fórmula 34
3
V Rp
æ ö÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
 , percebe-se 
que V e R são dependentes de t , indicando uma função composta, isto é, 
vamos considerar como função ( )V t e ( )R t . Assim,
( ) ( )
3
3
2
2
2
4
3
4
3
4 3
3
4
1
4
d dV R
dt dt
d dV d dRV R
dV dt dR dt
dV dRR
dt dt
dV dRR
dt dt
dR dV
dt R dt
p
p
p
p
p
æ ö÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
=
=
=
=
Como sabemos que a taxa de variação do volume é 38 /cm s , ou seja, 
38 /dV cm s
dt
= e queremos calcular a taxa de variação do raio, dR
dt
, quando 
2R cm= . Substituindo os dados, temos 
2
3
2 2
1 .
4
1 8 /
4 .2
1 / 0,16 /
2
dR dV
dt R dt
dR cm s
dt cm
dR cm s cm s
dt
p
p
p
=
= ×
= »
O volume do balão crescer a uma taxa constante, o raio aumentará cada 
vez mais devagar na medida em que o volume for maior.
Faça valer a pena
1. Classifique as seguintes afirmações por verdadeira (V) ou falsa (F), e 
assinale a alternativa que corresponde a sequência correta.
( ) – Para resolver um problema de taxas relacionadas o procedimento é 
achar uma equação que relacione as duas grandezas e então usar a Regra da 
Cadeia para diferenciar ambos os lados em relação ao tempo.
( ) – A Regra da Cadeia é a técnica de derivação usada quando uma função 
é composta y = f(g(t)), sendo z=g(t) e y = f(z) e fórmula é . .dy dy dz
dt dz dt
=
15
( ) – As taxas relacionadas se referem à variação de uma grandeza com 
relação a outra, mas não se aplicam às derivadas.
a. V – F - V.
b. F – F - V.
c. F – V - F.
d. V – V - F.
e. F – V - V.
2. Um tanque cilíndrico de 2 m de raio recebe óleo a uma taxa de 3 m3/min. 
A que taxa o óleo sobe no tanque?
a. p .
b. 3
4p
.
c. 4
3p
.
d. 3
5
p .
e. 5
4
p .
3. A equação da tangente ao círculo 2 2 25x y+ = no ponto (3,4) é:
a. 3 4 25x y+ = .
b. 4 3 5x y+ = .
c. 4 3 25x y+ = .
d. 3 4 25x y- + =- .
e. 3 4 25x y- = .
16
Seção 2
Máximos e mínimos
Diálogo aberto
Nas seções anteriores aprendemos que a interpretação geométrica da 
derivada de uma função corresponde ao coeficiente angular (ou inclinação) 
da reta tangente à curva em um ponto. 
Assim, é possível usar derivadas para esboçar o gráfico de uma função. 
Nesta seção iremos aprender que por meio da derivada é possível determinar 
os pontos em que uma reta tangente é horizontal (quando a derivada é zero) 
e os intervalos nos quais a função está crescendo ou decrescendo. Além de 
analisar e calcular pontos máximos e mínimos de uma função. 
Vamos voltar a situação hipotética apresentada no convite ao estudo? 
Uma das situações problema apresentadas pela empresa para João resolver 
foi a seguinte: 
O telescópio espacial Hubble foi colocado em órbita em 24 de abril de 
1990 pelo ônibus espacial Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus 
durante a missão, do lançamento em 0t= até a ejeção do fogueteauxiliar em 
126t s= , é dado por:
 ( ) 3 20,0003968 0,02752 7,196 0,9397v t t t t= - + - (em metros por 
segundo).
Usando este modelo, João deverá estimar os valores máximos e mínimos 
da aceleração do ônibus entre o lançamento e a ejeção do foguete auxiliar. E 
agora como João (você) poderá resolver este problema?
Figura 4.5 – Telescópio espacial Hubble
Fonte: Shutterstock
17
Não pode faltar
Monotonicidade de Funções
Os termos crescente, decrescente e constante são usados para descrever o 
comportamento de uma função em um intervalo, à medida que seu gráfico é 
percorrido da esquerda para a direita. 
Por exemplo, a função cujo gráfico está na Figura 4.6 pode ser descrita 
como crescente no intervalo ( ],0-¥ , decrescente no intervalo [ ]0,2 , 
novamente crescente no intervalo [ ]2,4 e constante no intervalo [ )4,+¥ 
(ANTON, 2007, p. 267).
Figura 4.6 - Função com trechos crescente, decrescente e constante
Fonte: Adaptado de Anton (2007, p. 267).
Assimile
Quando a função é crescente, decrescente e constante qual é a sua 
representação matemática? Seja f definida em um intervalo e sejam 
1x e 2x quaisquer pontos do intervalo:
f é crescente no intervalo se ( ) ( )1 2f x f x< para 1 2x x< .
f é crescente no intervalo se ( ) ( )1 2f x f x> para 1 2x x< .
f é crescente constante no intervalo se ( ) ( )1 2f x f x= para todos os 
pontos 1x e 2x .
Agora, vamos conhecer outras definições importantes.
Definição ponto de máximo global: o ponto c é máximo global da função 
f se ( ) ( )f c f x³ para x no domínio de f . O valor ( )f c é denominado valor 
máximo da função f no domínio da função (STEWART, 2006, p. 302). 
Definição ponto de mínimo global: o ponto c é mínimo global da 
função f se 
18
( ) ( )f c f x£ para x no domínio de f . O valor ( )f c é denominado valor 
mínimo da função f no domínio da função (STEWART, 2006, p. 302).
Além das definições acima de máximo e mínimo global, uma função 
pode apresentar máximos e mínimos locais (também conhecidos como 
máximo ou mínimo relativo). 
Definição máximo local ou máximo relativo: diz-se que o ponto c é 
máximo local ou máximo relativo se ( )f c for maior ou igual a ( )f x para 
todo x suficientemente próximo de c (STEWART, 2006, p. 303).
Definição mínimo local ou mínimo relativo: diz-se que o ponto c é 
mínimo local ou mínimo relativo se ( )f c for menor ou igual a ( )f x para 
todo x suficientemente próximo de x (STEWART, 2006, p. 303).
O sinal da primeira derivada pode ser utilizado para decidirmos se uma 
função é crescente ou decrescente em um intervalo. O próximo teorema nos 
ensina sobre esta aplicação da derivada. 
Teorema: Considere f uma função contínua em um intervalo fechado 
[ ],a b e diferenciável no intervalo aberto (a, b):
• Se ( )' 0f x > para todo valor de x em ( ),a b , então f é crescente em 
[ ],a b .
• Se ( )' 0f x < para todo valor de x em ( ),a b , então f é decrescente em 
[ ],a b .
• Se ( )' 0f x = para todo valor de x em , então f é constante em [ ],a b .
A seguir apresentamos um exemplo de como utilizar o teorema acima 
para identificar em quais intervalos a função ( ) 3 22 5 6f x x x x= - - + é 
crescente ou decrescente. Sua derivada é ( ) 23 4 5f x x x¢ = - - e resolvendo a 
equação de 2º Grau 23 4 5 0x x- - = as raízes são 1
4 76
0,79
6
x
é ù-ê úë û= @- e 
2
4 76
2,12
6
x
é ù+ê úë û= @ .
Assim, ( ) 0f x¢ > se 1x x< ou 2x x> e ( ) 0f x¢ < se 1 2x x x< < . Confira 
com a Figura 4.7 onde a função ( ) 23 4 5f x x x¢ = - - é positiva ou negativa.
19
Figura 4.7 – gráfico ( ) 23 4 5f x x x¢ = - -
Fonte: elaborada pelo autor
Pelo teorema, isso significa que nos intervalos ( , 0.79]-¥ - e [2.12, )+¥ a 
função f é crescente e no intervalo [ 0.79,2.12]- a função f é decrescente. 
Confere que isso se verifica, analisando o gráfico da função f, na Figura 4.8.
Figura 4.8 – Gráfico da função 3 2( ) 2 5 6f x x x x= - - + .
Fonte: elaborada pelo autor.
A Figura 4.9 apresenta todos os elementos em conjunto: a indicação 
quando a função é crescente e a derivada de um ponto desse intervalo, a 
indicação de intervalo em que a função é decrescente e a tangente a um ponto 
desse intervalo e os pontos em que a tangente é zero, ou seja, a função está 
num ponto mínimo ou de máximo valor local.
20
Figura 4.9 -Representação gráfica de várias derivadas de uma função
Fonte: extraído de Simmons (1987, p. 147)
Agora estamos em condições de apresentar um resultado bastante utili-
zado para encontrar candidatos a pontos de máximo ou de mínimo. 
Teorema: Considere que a função f esteja definida no intervalo aberto 
( ),a b e que possua um máximo ou um mínimo relativo no ponto 0x , com 
( )0 ,x a bÎ . Se a derivada ( )0f x¢ existir então ( )0 0f x¢ = (GONÇALVES, 2005, 
p. 260). 
O que este teorema afirma, do ponto de vista geométrico, é que se a 
função possui um máximo (ou mínimo) relativo em um intervalo e existe a 
derivada da função no ponto de máximo (ou mínimo) então a derivada neste 
ponto é paralela ao eixo x . Considere a Figura 4.10 (a) e (b) a seguir da 
função ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 1 5f x x x x x= - × + × - × - .
Figura 4.10 - máximo relativo (a) mínimo relativo (b)
a
21
Na figura vemos que existe quatro pontos onde ( )0 0f x¢ = , a saber -3, 1, 2 
e 5. Mas nem por isso o ponto 0x é máximo ou mínimo relativo. Deve ser 
destacado que este teorema apresenta uma condição necessária para que 
exista o máximo ou mínimo relativo em 0x mas ele não apresenta uma 
condição suficiente para a existência deste máximo/mínimo relativo. No 
caso da função ( )f x x= , embora 0 0x = seja mínimo para esta função, não 
existe a derivada ( )0f ¢ . Já para a função ( ) 3f x x= , ( )0 0f ¢ = e 0 0x = não é 
mínimo nem máximo. 
Estudamos as definições de um ponto de máximo e mínimo local, mas 
como é graficamente?
Uma curva lisa só pode se transformar de crescente em decrescente 
(decrescente em crescente) passando por um pico (vale) no qual o coeficiente 
angular da reta tangente é zero. Nesses pontos existe um valor máximo 
(mínimo) da função. Esses pontos podem ser localizados quando são deter-
minados, inicialmente, os pontos críticos da função, que são as soluções da 
equação ( )' 0f x = ; isto é, quando a tangente é horizontal. Ao resolver a 
equação ( )' 0f x = suas raízes são descobertas. Observe a Figura 4.9 cujos 
pontos críticos são 1 2 3, ,x x x e os correspondentes valores críticos são os 
valores da função nesses pontos, isto é ( )1f x , ( )2f x e ( )3f x .
Mesmo quando ( )'f x não existir, x também pode ser um ponto de 
máximo ou mínimo. Lembre-se que a derivada de uma função contínua não 
existirá se num ponto a função não tem uma tangente como é o caso apresen-
tado na Figura 4.11 quando 0x= . Mas note que 0x= é um ponto de mínimo 
dessa função.
b
22
Figura 4.11 - Função linear por partes que não possui derivada em 0x= .
Fonte: Extraído de Anton (2007).
Um fato relevante é saber que um valor crítico não é necessariamente um 
ponto de máximo ou de mínimo local (observe ( )3f x na Figura 4.9). No 
ponto crítico 3x o gráfico não passa por um pico nem por uma depressão, 
mas simplesmente se achata momentaneamente entre dois intervalos, em 
cada um dos quais a derivada é positiva. Lembre-se que estão sendo anali-
sados os valores máximo ou mínimo locais (ou relativos), ou seja, valores 
considerados máximo ou mínimo quando comparados somente com pontos 
vizinhos sobre essa curva. Na Figura 4.9 ( )1f x é um máximo (local)¸ embora 
existam outros pontos com cota maior sobre a curva, à direita. Quando é 
procurado o máximo absoluto de uma função, deve-se comparar esses 
máximos locais determinando qual (se existir) é maior que qualquer outro 
valor assumido pela função.
Teorema teste da primeira derivada para identificar máximos/
mínimos 
Se a função [ ]: ,f a b ® for contínua com a derivada para todo ( ),x a bÎ , 
exceto talvez em um ponto 0x . Então se ( ) 0f x¢ > para 0x x< e ( ) 0f x¢ < 
para todo0x x> , então f possui um máximo relativo em 0x . De forma 
análoga, se ( ) 0f x¢ < para todo 0x x< e se ( ) 0f x¢ > para 0x x> , então f
possui um mínimo relativo em 0x (GONÇALVES, 2005, p. 270).
Exemplificando
Considere a função ( ) 3 22 5 6f x x x x= - - + . Temos que as raízes da 
primeira derivada são
1
4 76 0,79
6
x -= @=- e 2
4 76 2,12
6
x += @ .
Sabemos que se ( ) 0f x¢ > se 1x x< e ( ) 0f x¢ < se 1 2x x x< < . Então 
1 0,79x =- é ponto de máximo. Por outro lado, ( ) 0f x¢ < se 1 2x x x< < 
e ( ) 0f x¢ > se 2x x> . Logo 2 2,12x = é ponto de mínimo de f .
23
Assimile
Se 'f tem sinais diferentes dos dois lados de um ponto crítico p, em 
que ( )' 0f p = , então o gráfico de f muda de comportamento em p e 
parece com um dos gráficos apresentados na Figura 4.12.
Figura 4.12 – Mudanças de comportamento em um ponto crítico p: máximo e mí-
nimo local
Fonte: Extraído de Hughes-Hallet (2011).
Sem medo de errar
Após o estudo de derivada, vamos resolver a situação problema apresen-
tada ao João? 
O telescópio espacial Hubble foi colocado em órbita em 24 de abril de 
1990 pelo ônibus espacial Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus 
durante a missão, do lançamento em 0t= até a ejeção do foguete auxiliar 
em 126t s= , é dado por:
 ( ) 3 20,0003968 0,02752 7,196 0,9397v t t t t= - + - (em metros/segundo).
Usando este modelo, João deverá estimar os valores máximos e mínimos 
da aceleração do ônibus entre o lançamento e a ejeção do foguete auxiliar. E 
agora como João (você) poderá resolver este problema?
Solução:
São pedidos os valores extremos não da função de velocidade dada, mas 
da função de aceleração. Assim, precisamos primeiro derivar para encontrar 
a aceleração:
( ) ( ) ( )3 2' 0,0003968 0,02752 7,196 0,9397da t v t t t t
dt
= = - + - 
20,0011904 0,05504 7,196t t= - + 
No intervalo 0 126t£ £ sua derivada é:
( )' 0,0023808 0,05504a t t= - , o número crítico ocorre quando a ( )' 0a t = , 
ou seja, 
24
0,0023808 0,05504 0
0,05504 23,12
0,0023808
t
t
- =
= »
Calculando ( )a t no número crítico e nas extremidades, ou seja, quanto 
tempo é igual a 0, 23,12 e 126, temos:
( )0 7,196a = , ( )23,12 6,56a = , ( )126 19,16a = 
Logo, quanto 23,12t= é um ponto de mínimo dentro do intervalo [0,126] 
e como é único ponto de mínimo nesse intervalo, a aceleração máxima é 
quanto 126t= . Portanto, a aceleração máxima é aproximadamente 19,16 /m s 
e a aceleração mínima é aproximadamente 6,56 /m s .
Avançando na prática
Estudo da monotonicidade da função
A partir do estudo de monotonicidade de funções, determine os inter-
valos em que a função ( ) 3 29 48 52f x x x x= - - + é crescente e decrescente.
Resolução da situação-problema
Para determinar os intervalos em que a função é crescente e decrescente, calcu-
la-se a sua derivada que é ( ) 2' 3 18 48f x x x= - - . Para encontrar onde ' 0f > ou 
' 0f < é preciso encontrar onde ' 0f = , isto é, onde 23 18 48 0x x- - = . Por meio 
da fatoração, obtém-se ( )( )3 8 2 0x x- + = , ou seja, 2x=- ou 8x= . Como a 
derivada da função é zero apenas em 2x=- e em 8x= , e como 'f é 
contínua, 'f não pode mudar de sinal em qualquer dos três intervalos 
( , 2)-¥ - , ( )2,8- e ( )8,+¥ . Como saber o sinal de 'f em cada um desses 
intervalos? A maneira mais simples é escolher um ponto no intervalo e 
calcular 'f nesse ponto. Por exemplo, quando 3x=- , a derivada é 
( ) ( ) ( )2' 3 3 3 18 3 48 33f - = × - - × - - = . Esse resultado ( )( )' 0f x > indica que 
'f é positiva quando 2x<- , logo f é crescente no intervalo 2x<- . 
Seguindo o mesmo raciocínio, tem-se que ( )' 0 48f =- e ( )' 10 72f = , 
indicando que f é decrescente entre 2x=- e 8x= , e é crescente para 8x> .
Figura 4.12 – Representação gráfica para períodos de primeira derivada
Fonte: elaborada pelo autor
25
Faça valer a pena
1. As regras de derivação facilitam a resolução de problemas e auxiliam na 
análise e interpretação de funções e em particular favorecem a determinação 
de pontos máximos e mínimos. Muitas situações envolvem mínimos e 
máximos de áreas que auxiliam muitas vezes na decisão de otimização para 
embalagens. Assim, os pontos críticos da função ( ) 3 3 2f x x x= - + , são:
a. -1 e 1.
b. 0 e 2.
c. 1 e 1.
d. 4 e 3 .
e. -1 e 0.
2. Dado o gráfico ( ) 3 23 1f x x x= - + . Por meio da primeira derivada, 
verifique o intervalo em que a função é crescente e verifique a veracidade 
pelo gráfico. Assinale a alternativa que apresenta o(s) intervalo(s) em que a 
função é crescente.
Gráfico da função ( ) 3 23 1f x x x= - +
Fonte: elaborada pelo autor
a. [ ]1,0- e [ ]1,3 .
b. [ ],0-¥ e [ ]0,2 .
26
c. [ ],0-¥ e [ ]2,+¥ .
d. ( ]1,0- e [ )1,3 .
e. ( ],0-¥ e [ )2,+¥ .
3. Dada a função ( ) 2 4 3f x x x= - + pode-se afirmar que :
a. f é decrescente em ( ],2-¥ .
b. f é crescente em ( )2,+¥ .
c. f é constante em ( )2,0 .
d. f é decrescente em ( )2,3 . 
e. f é crescente em ( ],2-¥ .
27
Seção 3
Concavidade e pontos de inflexão
Diálogo aberto
Na seção anterior vimos como a primeira derivada nos diz onde uma 
função é crescente e onde é decrescente, e se um mínimo ou máximo local 
ocorre em um ponto crítico. Nesta seção, iremos ver como a segunda 
derivada nos fornece informações sobre o modo como o gráfico de uma 
função derivável muda de direção.Com esse conhecimento sobre a primeira 
e segunda derivada, podemos esboçar um gráfico preciso de uma função. 
Assim, identificaremos as principais características das funções o que é de 
grande importância para a matemática e para suas aplicações em ciência e 
engenharia, especialmente em análise gráfica e interpretação de dados.
Vamos voltar a situação hipotética apresentada no convite ao estudo? 
Uma das situações problema apresentadas pela empresa para João resolver 
foi a seguinte: 
Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade 
vem registrando a velocidade dos veículos que passam por um certo cruza-
mento. Os resultados mostram que entre 13 e 18 horas, a velocidade média 
neste cruzamento é dada aproximadamente por ( ) 3 210,5 30 20v t t t t= - + + 
km/h, onde t é o número de horas após o meio-dia. Qual o instante, entre 13 
e 18 horas, em que o trânsito é mais rápido? E qual o instante em que ele é 
mais lento?
E agora como João poderá resolver este problema?
Não pode faltar
 Concavidade e pontos de inflexão
Conhecer a concavidade de uma função pode ser útil para testar se um 
ponto crítico é um máximo ou um mínimo local. Suponha que p é um ponto 
crítico de f com ( )' 0f p = , ou seja, o gráfico de f tem uma tangente 
horizontal em p . Se o gráfico tem concavidade aberta para cima em p , então 
f tem um mínimo local em p. Similarmente, se o gráfico tem concavidade 
aberta para baixo, então f tem um máximo local.
28
Assimile
Teste da segunda derivada para concavidade.
Seja ( )y f x= uma função duas vezes derivável em um intervalo I 
1. Se '' 0f > para todo x em I , então o gráfico de f é côncavo 
para cima em I .
2. Se '' 0f < para todo x em I , então o gráfico de f é côncavo 
para baixo em I .
Estudamos pontos onde a inclinação muda de sinal, o que nos levou aos 
pontos críticos. Vamos considerar agora pontos em que a concavidade muda. 
Segundo Hughes-Hallet (2011, pág. 1443) um ponto no qual o gráfico de 
uma função muda de concavidade é chamado de um ponto de inflexão da 
função. As palavras ponto de inflexão de f podem se referir tanto a um 
ponto no domínio de f quanto a um ponto no gráfico de f . 
Como a concavidade muda em um ponto de inflexão, o sinal de ''f muda 
nesse ponto. A derivada segunda é positiva de um lado do ponto de inflexão 
e negativa do outro, de forma que ''f é nula ou não está definida no ponto 
de inflexão.
Nem todo ponto x em que ( )' 0f x = (ou 'f não está definida) é um 
ponto de inflexão (assim como nem todo ponto em que ' 0f = é um ponto 
de máximo ou mínimo local). 
Se p é um ponto de inflexão, então ( )' 0f p = (ou ( )'f p não está definida)e, portanto, p é um ponto crítico da função derivada 'f . Se 'f é contínua, 
esse ponto crítico é um máximo local ou um mínimo local de ''f , já que 'f
muda de sinal em p – ver Figura 4.13 - (HUGHES-HALLET, 2011, p. 143).
Figura 4.13 – Mudança de concavidade em p : pontos de inflexão.
Fonte: Extraído de Hughes-Hallet (2011).
29
Exemplificando
Classifique os pontos críticos de ( ) 3 29 48 52f x x x x= - - + , dizendo se 
é máximo ou mínimo local. 
A derivada primeira da função é dada por ( ) 2' 3 18 48f x x x= - - e os 
pontos críticos de f são 2x=- e 8x= . A derivada segunda é 
( )'' 6 18f x x= - . Logo, substituindo os pontos críticos na derivada 
segunda tem-se:
( )'' 8 30 0f = > , que pelo teste da derivada segunda indica que f tem 
um mínimo local em 8x= . Seguindo o mesmo processo para o ponto 
crítico 2x=- , tem-se: ( )'' 2 30 0f - =- < , que pelo teste da derivada 
segunda indica que f tem um máximo local em 2x=- .
Exemplificando
A Figura 4.14 sugere que a função ( ) xf x xe-= tem um ponto de 
inflexão, mas sua localização exata não é evidente a partir dessa figura. 
Use as derivadas primeira e segunda de f para determinar os inter-
valos nos quais f é crescente, decrescente, côncava para cima 
(convexa) e côncava para baixo. Localize todos os pontos de inflexão. 
Figura 4.14 – Função linear por partes que não possui derivada em x=0
Solução:
Calculando as derivadas primeira e segunda de f, obtemos 
( ) ( )' 1 xf x x e-= - 
( ) ( )'' 2 xf x x e-= - 
Lembrando que xe- é positiva para todo x , a análise de sinais dessas 
derivadas é facilmente determinada:
Intervalo ( )( )1 xx e-- ( )'f x Conclusão
1x< ( )( )+ + + 
f é crescente em 
( ],1-¥ 
30
1x> ( )( )- + - 
f é decrescente 
em [ )1,+¥
Intervalo (x-2)(e-x) f´´(x) Conclusão
2x< ( )( )- + -
f é côncava para 
baixo em 
( ],2-¥
2x> ( )( )+ + +
f é côncava para 
cima em [ )2,+¥
A segunda tabela mostra que há um ponto de inflexão em 2x= , pois 
f muda de côncava para baixo para côncava para cima nesse ponto. 
Todas essas conclusões são consistentes com o gráfico de f .
Assíntotas horizontais e verticais 
Em aplicações práticas, encontramos com muita frequência gráficos que 
se aproximam de uma reta à medida que x cresce ou decresce. Estas retas são 
chamadas de assíntotas.
Figura 4.15 - Assíntotas horizontais e verticais
Fonte: http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/maximoseminimos.pdf. Acesso em: 30 jul. 2015.
A figura acima apresenta assíntota oblíqua, horizontais e verticais. Nesta 
seção iremos estudar apenas as assíntotas horizontais e verticais. 
A reta x a= é uma assíntota vertical do gráfico de f se pelo menos uma 
das seguintes afirmações for verdadeira:
( )lim
x a
f x
+®
=+¥ ; ( )lim
x a
f x
+®
=-¥ ; ( )lim
x a
f x
-®
=-¥ ; ( )lim
x a
f x
-®
=+¥
http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/maximoseminimos.pdf
31
Exemplificando
A reta 2x= é uma assíntota vertical do gráfico de ( ) 2
1
( 2)
f x
x
=
-
. 
De fato, 22
1lim ( )
( 2)x
f x
x+®
= =+¥
-
, e 22
1lim ( )
( 2)x
f x
x-®
= =+¥
-
Figura 4.16 - Gráfico de f(x) = 2
1
( 2)x-
Fonte: http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/maximoseminimos.pdf. Acesso em: 30 jul. 
2015.
A reta y b= é uma assíntota horizontal do gráfico f se pelo menos uma 
das seguintes afirmações for verdadeira:
lim ( )
x
f x b
+®¥
= lim ( )
x
f x b
-®¥
= ;
Exemplificando
As retas 1y= e 1y=- são assíntotas horizontais do gráfico de 
( )
2 2
xf x
x
=
+
,pois
2
lim 1
2x
x
x®+¥
=
+
 e 
2
lim 1
2x
x
x®-¥
=-
+
Figura 4.17 -Gráfico de f(x)= 
2 2
x
x +
Fonte: http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/maximoseminimos.pdf. Acesso em: 30 jul. 
2015.
http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/maximoseminimos.pdf
http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/maximoseminimos.pdf
32
Esboço do gráfico de uma função:
Para esboçar o gráfico de ( )y f x= usaremos a seguinte estratégia:
1. Identificar o domínio de f e qualquer simetria que a curva possa ter;
2. Determinar as derivadas 'y e "y .
3. Determinar os pontos críticos de f , se houver, e identificar o compor-
tamento da função em cada um deles.
4. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento.
5. Determine os pontos de inflexão, caso haja, e a concavidade da curva
6. Encontrar as assíntotas horizontais e verticais se existirem
7. Esboçar o gráfico
Exemplificando
Esboçar o gráfico da função ( ) 2 2f x x x= + - .
• ( )D f =
• Interseção do eixo ( ): 0 2y f =- , interseção do eixo 
2: 2 0 2x x x x+ - = ® =- ou 1x= .
• ( )' 2 1f x x= + resolvendo 2 1 0x+ = temos 1
2
x=- como ponto 
crítico.
• Fazendo ( )' 0f x > , obtemos que 2 1 0x+ > quando 1
2
x>- . 
Portanto, f é decrescente para 1
2
x<- . 
• ( )" 2 0f x = > . Logo, concavidade do gráfico está sempre voltada 
para cima e assim 
1
2
x=- é ponto mínimo de f . 1 9
2 4
f
æ ö÷ç- =-÷ç ÷÷çè ø
 , 
que é o valor mínimo assumido pela função. 
• Não existem assíntotas ( lim ( )
x
f x
®±¥
=+¥ e ( )D f = )
33
4.18 – Gráfico da função ( ) 2 2f x x x= + -
Fonte: http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/maximoseminimos.pdf. Acesso em: 30 jul. 
2015.
Faça você mesmo
Agora tente você esboçar o gráfico da função f(x)= x4- 4x3+10.
Sem medo de errar
Após o estudo da seção, vamos resolver a situação problema apresentada 
ao João? Vamos relembrar! 
Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade 
vem registrando a velocidade dos veículos que passam por um certo cruza-
mento. Os resultados mostram que entre 13 e 18 horas, a velocidade média 
neste cruzamento é dada aproximadamente por ( ) 3 210,5 30 20 /v t t t t km h= - + +
, onde t é o número de horas após o meio-dia. Qual o instante, entre 13 e 18 
horas, em que o trânsito é mais rápido? E qual o instante em que ele é 
mais lento?
Solução:
Devemos determinar o máximo e o mínimo absoluto da função ( )v t no 
intervalo 1 6t£ £ . 
Assim, vamos calcular a primeira derivada e igualar a zero para encontrar 
os pontos críticos: 
( ) 2' 3 21 30 0 2v t t t t= - + = Û = ou 5t= .
Estes são os pontos críticos de v , ambos pertencentes ao intervalo ( )1,6 . 
Para verificar se são pontos de máximo ou mínimo locais, usamos o teste da 
segunda derivada: ( )" 6 21v t t= - 
http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/maximoseminimos.pdf
34
• ( )" 2 9 0 2v t=- < Þ = é ponto de máximo local de v ;
• ( )" 5 9 0v = > é ponto de mínimo local de v .
Atenção
Estes são os pontos críticos de v, ambos pertencentes ao intervalo ( )1,6 . 
Para verificar se são pontos de máximo ou mínimo locais, usamos o 
teste da segunda derivada: ( )" 6 21v t t= - .
Lembre-se
Para determinar os pontos de máximo e mínimo de v em [ ]1,6 , preci-
samos comparar os valores que v assume nos pontos críticos, com os 
respectivos valores nos extremos do intervalo, pois como v é uma 
função contínua definida em um intervalo fechado, pode assumir seus 
valores máximo e mínimo ou nos pontos críticos, ou nos extremos do 
intervalo.
Temos: ( )1 40,5v = ; ( )2 46v = ; ( )5 32,5v = ; ( )6 38v = . Assim, concluímos 
que 2t= é ponto de máximo e 5t= é ponto de mínimo de v no intervalo 
de interesse [ ]1,6 . Isso significa que o trânsito é mais rápido às 14h, quando 
os carros passam pelo cruzamento a uma velocidade média de 46 km/h e o 
trânsito é mais lento as 17h, quando os carros passam pelo cruzamento a uma 
velocidade média de 32,5 km/h.
Avançando na prática
Máximos e Mínimos
Encontre os máximos e mínimos da função ( ) 2 318 32 4f x x x x= + - 
relativos de f aplicando o teste da derivada segunda e esboce o gráfico.
Resolução da situação-problema
Temos ( ) 2' 18 6 12f x x x= + - e ( )" 6 24f x x= - . 
Fazendo ( )' 0f x = , obtemos 218 6 12 0x x+ - = . Resolvendo esta equação 
obtemos os pontos críticos de f , que são 1
3
2
x = e 2 1x =- . 
35
Como 3" 30 0
2
f
æ ö÷ç =- <÷ç ÷÷çè ø
, segue que 1
3
2
x = é um ponto máximo relativo de 
f . Seu valor máximo relativo em 1x é dado por 
3 20,25
2
f
æ ö÷ç =÷ç ÷÷çèø
.
Assim, como ( )" 1 30 0f - = > , segue que 2 1x =- é um ponto de mínimo 
relativo de f .
Seu valor mínimo relativo em 2x é dado por ( )1 11f - =- . 
Gráfico da função ( ) 2 318 32 4f x x x x= + -
Fonte: elaborada pelo autor
Lembre-se
1. Se ( )' 0f c = e ( )" 0f c < , então f tem um máximo local em 
x c= .
2. Se ( )' 0f c = e ( )" 0f c > , então f tem um mínimo local em 
x c= .
3. Se ( )' 0f c = e ( )" 0f c = , então o teste falha. A função f pode 
ter máximo local, ou mínimo local ou nenhum dos dois.
Faça valer a pena
1. Dada a curva 4 34y x x= - podemos afirmar que:
a. A derivada segunda da função é " 12 24y x= - .
b. Os pontos críticos são 0x= e 3x=- .
c. O ponto ( )0,1 é um ponto de inflexão.
d. A função tem um máximo local em zero.
e. O ponto ( )2, 16- é um ponto de inflexão.
36
2. Uma partida se desloca ao longo de uma reta horizontal (positiva à 
direita) de acordo com a função posição: ( ) 3 22 14 22 5s t t t t= - + - , 0t³ . 
Com relação a velocidade e aceleração da partícula podemos afirmar que:
a. A velocidade é ( ) ( ) ( )1 3 11v t t t= - × - 
b. A aceleração é a ( ) ( )4 3a t t= × - 
c. Quando ( )s t é crescente, a partícula se desloca para a esquerda;
d. Quando ( )s t é decrescente, a partícula se desloca para a direita;
e. A primeira derivada ( )'v s= é zero nos pontos críticos 1t= e 11
3
t= .
3. A figura abaixo exibe o gráfico da derivada primeira ( )'f x de uma função 
[ ]: 0,9f R® , assim pode-se afirmar que:
Gráfico de uma função
Fonte: elaborada pelo autor
a. A função f é crescente nos intervalos [ ]2,4 e [ ]6,9 e ela é decrescente 
nos intervalos [ ]0,2 e [ ]4,6 .
b. Os extremos locais de f são 0 (mínimo local), 2 (máximo local), 4 
(mínimo local), 6 (máximo local) e 9 (máximo local).
c. O gráfico de f é côncavo para baixo nos intervalos [ ] [ ]1,3 , 5,7 e [ ]8,9 e 
ele é côncavo para cima nos intervalos [ ] [ ]0,1 , 3,5 e [ ]7,8 .
d. As abscissas dos pontos de inflexão do gráfico de f são 1 e 3 apenas.
37
Seção 4
Otimização
Diálogo aberto
Para resolver alguns problemas precisamos encontrar o maior ou menor 
valor de uma determinada quantidade. Por exemplo, determinar: a menor 
quantidade de combustível possível; o nível de produção mais econômico 
de uma fábrica; o ponto da órbita de um cometa mais próximo da terra; a 
velocidade mínima necessária para que um foguete escape da atração gravi-
tacional da terra, etc. 
Esses e outros problemas são chamados de problemas de otimização.
 Um problema de otimização é aquele onde se procura determinar 
os valores extremos de uma função, isto é, o maior ou o menor valor que uma 
função pode assumir em um dado intervalo. Estes, podem ser enunciados 
por escrito e podem ser resolvidos sempre que for possível equacionar o 
fenômeno em estudo, mediante fórmulas matemáticas. 
Assim, veremos nesta seção como a derivada fornece um modo eficiente 
de se resolver muitos problemas de otimização. 
Então aproveite a oportunidade e aprofunde seus conhecimentos! 
Vamos voltar a situação hipotética apresentada no convite ao estudo? 
Uma das situações problema apresentadas pela empresa para João resolver 
foi a seguinte: 
Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um 
rio de 900m de largura até uma fábrica situada do outro lado do rio, 3.000m 
rio abaixo. O custo para estender um cabo pelo rio é de R$ 5,00 o metro, 
enquanto que para estendê-lo por terra custa R$ 4,00 o metro. Qual é o 
percurso mais econômico para o cabo?
Não pode faltar
No cálculo de limites, muitas vezes nos deparamos com situações as quais 
chamamos formas indeterminadas ou, simplesmente, indeterminações. Estas 
são limites cujos resultados não podemos determinar imediatamente e que, 
em princípio, podem resultar em números reais quaisquer, como também 
podem não existir (caso esse que inclui os resultados +¥ ou -¥ ). Temos 
como exemplo quocientes de funções que tendem a zero ou a ±¥ .
38
Veremos, a seguir, que a Regra de l’Hôpital nos ajudará a resolver indeter-
minações que ocorrem com quocientes de funções bem gerais. 
Regras de l’Hospital: Se f e g são diferenciáveis com ( )' 0g x ¹ , em um 
intervalo aberto I que contém a (exceto possivelmente em a ). Suponha 
que ( )lim 0
x a
f x
®
= e ( )lim 0
x a
g x
®
= ou que ( )lim
x a
f x
®
=±¥ e ( )lim
x a
g x
®
=±¥ 
Então: ( )
( )
( )
( )
'
lim
'x a
f x f x
g x g x®
= se o limite do lado direito existir (ou for ¥ ou -¥ ).
Assimile
A regra de l’Hospital:
• Diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite dos 
quocientes de suas derivadas, desde que as condições dadas 
estejam satisfeitas. Deve-se verificar as condições relativas aos 
limites de f e g antes de usar a Regra de l’Hospital.
• É válida também para os limites laterais e para os limites no 
infinito: isto é, " "x a® pode ser substituído por quaisquer dos 
símbolos: x a+® , x a-® , x®+¥ ou x®-¥ .
Exemplificando
Encontre o 
1
lnlim
1x
x
x® -
.
Solução:
1
lim ln ln1 0
x
x
®
= = e ( )
1
lim 1 0
x
x
®
- = 
Podemos aplicar a Regra de l’Hospital:
( )
( )
1 1 1 1
1lnln 1lim lim lim lim 1
1 11
x x x x
d xx dx x
dx xx
dx
® ® ® ®
= = = =
- -
Otimização
Para resolver alguns problemas precisamos encontrar o maior ou menor 
valor de uma determinada quantidade. Vamos agora compreender como 
a derivada fornece um modo eficiente de se resolver muitos problemas de 
otimização. 
Máximos e Mínimos Globais
O maior ou menor valor de uma função f em um domínio especificado 
é chamado de máximo global ou mínimo global de f .
39
Lembre-se
Os máximos e mínimos locais nos dizem onde a função é, localmente, 
maior ou menor. 
Os máximos ou mínimos globais nos fornecem o valor onde a função é 
maior ou menor em um domínio dado. 
Máximos e mínimos globais são chamados, algumas vezes, de valores 
extremos ou valores ótimos.
Assimile
• f tem um mínimo global em p se ( )f p é menor ou igual a todos 
os valores de f 
• f tem um máximo global em p se ( )f p é maior ou igual a 
todos os valores de f .
Como podemos encontrar o máximo e o mínimo globais?
• Para encontrar o máximo e o mínimo globais de uma função contínua 
em um intervalo fechado: compare os valores da função em todos os 
pontos críticos do intervalo e nos extremos do intervalo. 
• Para encontrar o máximo e o mínimo globais de uma função contínua 
e um intervalo aberto ou no conjunto de todos os números reais: 
encontre o valor da função em todos os pontos críticos e esboce um 
gráfico. Considere os valores da função quando x se aproxima dos 
extremos do intervalo quando x tende a ±¥ .
Exemplificando
Encontre o máximo e mínimo globais de ( ) 3 29 48 52f x x x x= - - + no
intervalo [ 5,12]- . Os pontos críticos desta função são 2x=- e 8x= 
usando ( ) ( )( )2' 3 18 48 3 2 8f x x x x x= - - = + - , calculando os 
extremos do intervalo temos: 
( ) ( ) ( ) ( )3 25 5 9 5 48 5 52 58f - = - - - - - + =- 
( )2 104f - = 
( )8 396f =- 
( )12 92f =- 
Comparando esses valores, podemos ver que o máximo global no inter-
valo [ ]5,12- é 104 e ocorre em 2x=- , enquanto que o mínimo global 
em [ ]5,12- é 396- e ocorre em 8x= .
40
Problemas de Otimização
Assimile
Para auxiliar na resolução de situações problemas de otimização 
pode-se seguir os seguintes passos:
1. Compreender o problema: consiste em ler e entender o problema.
2. Fazer um diagrama: fazer um diagrama indicando as quantidades 
dadas e pedidas no diagrama.
3. Introduzindo uma notação – Atribua um símbolo para a quantidade que 
deve ser maximizada ou minimizada (por ora vamos chamá-la de Q ). 
Selecione também símbolos (a, b, c, ..., x, y) para outras quantidades 
desconhecidas.
4. Expresse Q em termos de outros símbolos da etapa 3.
5. Se Q for expresso como uma função de mais de uma variável na 
etapa 4, use as informações dadas para encontrar relações (na forma de 
equações) entre essas variáveis. Use então essas equações para eliminar 
todas menos uma das variáveis, ( )Q f x= , por exemplo.Escreva o 
domínio dessa função.
6. Use os métodos para encontrar os valores de máximos e mínimos 
absolutos de f . (STEWART, 2013)
Exemplificando
Um pacote pode ser enviado pelo reembolso postal desde que a soma 
de seu comprimento mais o perímetro de sua base não exceda 2 metros. 
Determine as dimensões do pacote de volume máximo que pode ser 
enviado, se a base é quadrada.
Solução:
Sejam: V - volume do pacote ( )3m 
a - lado da base ( )m 
c - comprimento ( )m .
Objetivo: Determinar as dimensões em que a e c que minimizam o 
volume do pacote. Sabemos que a soma de seu comprimento mais o 
perímetro de sua base (que é quadrada) não pode exceder 2 metros, ou 
seja, 4 2c a+ = , logo: 2 4c a= - .
Assim, 
2 4 2
4 0
0
a
a
a
- <
- <
>
 e 
2 4 0
4 2
1
2
a
a
a
- >
- >-
<
Logo, o valor que a pode assumir está entre o intervalo 10,
2
æ ö÷ç ÷ç ÷÷çè ø
. 
41
O volume do pacote é ( )2 2 2 32 4 2 4V a c V a a a a= × ® = - = - , com 
10,
2
a
æ ö÷çÎ ÷ç ÷÷çè ø
 .Determinando os pontos críticos:
( )
( )
2
' 0
4 12 0
4 3 1 0
10
3
V a
a a
a a
a ou a
=
- =
- - =
= =
Como 
10 0,
2
æ ö÷çÏ ÷ç ÷÷çè ø
, o único ponto crítico é em 
1
3
a= . Aplicando o teste da 
segunda derivada: 
( )" 4 24
1 1" 4 24 4 0
3 3
V a a
V
= -
æ ö æ ö÷ ÷ç ç= - =- <÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
.
Portanto, 
1
3
a= maximiza o volume do pacote. Assim, segue que 
1 22 4 2 4
3 3
c a m= - = - = .
Exemplificando
Um fazendeiro tem 1200m de cerca e quer cercar um campo retangular 
que está a margem de um rio reto. Ele não precisa cercar ao longo do 
rio. Quais são as dimensões do campo que tem maior área?
Temos que maximizar a área A do retângulo. Sejam x e y a profundi-
dade e a largura do retângulo (em metros), respectivamente. Então, 
expressamos A em termos de x e y : A x y= × 
Queremos expressar A como uma função de apenas uma variável: 
assim, eliminamos y expressando-o em termos de x . Sabemos que o 
comprimento total da cerca é de 1200 metros. Como o lado que beira o 
rio não precisa de cerca, temos, 2 1200x y+ = 
Dessa equação, temos 1200 2y x= - , resultando assim:
( ) 21200 2 1200 2A x x x x= × - = - .
Observe que 0x³ e 600x£ (de outra forma resultaria 0A< ). Logo, a 
função que devemos maximizar é ( ) 21200 2A x x x= - , 0 600x£ £ .
A derivada é ( )' 1200 4A x x= - ; logo, para encontrarmos os números 
críticos, resolve-se a equação: 1200 4 0x- = , o que nos fornece 
300x= .
O valor máximo de A deve ocorrer ou nesse número crítico ou em uma 
extremidade do intervalo. Desse modo, ( )0 0A = , ( )300 180000A = e 
42
( )600 0A = , logo o valor máximo é 2180000m com 300x m= e 
1200 2 1200 600 600y x m= - = - = .
Sem medo de errar
Após o estudo de derivada, vamos resolver a situação problema apresen-
tada ao João. 
Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio 
de 900m de largura até uma fábrica situada do outro lado do rio, 3000m rio 
abaixo. O custo para estender um cabo pelo rio 
é de $5,00R o metro, enquanto que para estendê-lo por terra custa $4,00R 
o metro. Qual é o percurso mais econômico para o cabo?
Fonte: http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/problemasdeotimizacao.pdf. Acesso em: 19 ago. 2015.
Solução: Devemos achar o valor de forma a minimizar o custo de instalação 
do cabo. Logo, precisamos construir a função custo, baseada na figura apresen-
tada no problema. Assim, a função é: ( ) ( )2 25 900 4 3000C x x x= × + + × - . Como 
x e 3000 x- não podem ser negativos, a região de interesse (domínio do 
problema) é o intervalo aberto ( )0,3000 , onde devemos encontrar o mínimo 
absoluto de C . Então devemos derivar C para encontrar seus pontos críticos:
( )
2 2
5' 4
900
xC x
x
= -
+
 assim temos ( )
2 2
5' 0 4
900
xC x
x
= Û =
+
. Logo 
2 2 5900
4
xx+ = . Elevando os dois membros ao quadrado obtemos: 
( )
( )
2
2 2
2 2 2
22
2
2
2
25900
16
16 25 16 900 0
9 4 900
4 900
3
1200
xx
x x
x
x
x
+ =
- + × =
- =- ×
×
=
=±
http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/problemasdeotimizacao.pdf
43
Como x deve ser positivo e [ ]1200 0,3000Î , segue que é o único ponto 
crítico de C , no domínio de interesse. Vamos verificar se esse ponto é de 
mínimo relativo?
( )
( )
2
2 2 2 2
5 900" 0
900 900
C x
x x
×
= >
+ +
 para todo x . Logo o ponto crítico 
1200x= é o ponto de mínimo relativo de C .
Atenção
Para sabermos se é mínimo absoluto precisamos comparar o valor de 
C neste ponto com os valores nos extremos do domínio.
Assim, temos:
( )0 16500C = ( )1200 14700C = e ( )3000 15660C = 
O custo mínimo para a instalação do cabo será de $14700R e, para obtê-lo 
deverá percorrer 3000 1200 1800- = metros por terra, a partir da fábrica, e 
depois ir por água até a usina, que é exatamente 2 2900 1200 1500+ = metros.
Avançando na prática
Maximização da receita
Uma loja tem vendido 200 aparelhos reprodutores de Blu-ray por semana 
a $350,00R cada. Uma pesquisa de mercado indicou que para cada $10,00R 
de desconto oferecido aos compradores, o número de unidades vendidas 
aumenta 20 por semana. Encontre a função demanda e a função receita. 
Qual o desconto que a loja deveria oferecer para maximizar sua receita?
Resolução da situação-problema
Se x for o número de reprodutores de Blu-ray vendidos por semana, 
então o aumento semanal nas vendas será 200x- . Para cada aumento de 20 
unidades vendidas, o preço cai em $10,00R . Portanto, para cada unidade 
adicional vendida, o decréscimo no preço será 1 10
20
´ e a função demanda 
será ( ) ( )10 1350 200 450
20 2
P x x x= - × - = - .
A função receita é ( ) ( ) 21450
2
R x xP x x x= = - .
44
Como ( )' 450R x x= - , vemos que ( )' 0R x = quando 450x= . Este valor 
de x dá um máximo absoluto pelo teste da primeira derivada (ou simples-
mente observando que o gráfico de R é uma parábola que abre para baixo). 
O preço correspondente é ( ) ( )1450 450 450 225
2
P = - = e o desconto é 
350 225 125- = . Portanto, para maximizar a receita, a loja deveria oferecer 
um desconto de $125,00R .
Faça valer a pena
1. O valor do 
3
lnlim
x
x
x®¥
 é:
a. 0 .
b. ¥ .
c. 1 .
d. lnx .
e. 1 x .
2. Quando uma pessoa tosse, o raio da traqueia diminui, afetando a veloci-
dade do ar na traqueia. Se 0r é o raio normal da traqueia, a relação entre a 
velocidade v do ar e o raio r da traqueia é dada por uma função da forma 
( ) ( )2 0v r a r r r= × × - , onde a é uma constante positiva.
Qual o raio para o qual a velocidade do ar é máxima:
a. 0r= .
b. 0r r= .
c. 02r r= .
d. 0
2
r
r= .
e. 0
2
3
r r= .
45
3. Um jardineiro deseja construir um jardim retangular usando a lateral da sua 
casa e utilizando 40 metros de cerca. Determine a maior dimensão deste jardim.
a. 20 .
b. 15 .
c. 5 .
d. 25 . 
e. 7 .
Referências
BOULOS, Paulo; ABUD, Zara Issa. Cálculo Diferencial e Integral. Volume 1. São Paulo: 
Makron Books, 2000.
ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo Volume I. 10. ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2012. 1168 p.
EDWARDS, C;H.; PENNEY, David. Cálculo com Geometria Analítica: Volume 1. 4. ed. Rio de 
Janeiro: Ltc, 1999. 216 p.
GONÇALVES, Mirian Buss; FLEMMING, Diva Marilia. Cálculo A. 2. ed. São Paulo: Pearson, 
2011. 435 p.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de Cálculo: Volume 1. 2. ed. Rio de Janeiro: Ltc, 1997. 
481 p.
SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica. Volume 1. São Paulo: Makron 
Book, 1987.
STEWART, James. Cálculo Volume I. 5. ed. São Paulo: Thomson Learning, 2006. 1164 p.
THOMAS, George B et al. Cálculo Volume 1. 10. ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2005. 
570 p.