Campo Vetorial Exercicios

Prévia do material em texto

Exercícios de Cálculo III – Campos Vetoriais - Prof. Milton 
 
1. Faça a representação gráfica dos campos gerados por: 
a) 1[ ; 1; 0 ]V
x
= −G b) [ ; ; 0 ]V y x= −G c) [ ; ; 0 ]V x y=G 
Calcule o rotacional e o divergente destes campos 
 
2. Determine o divergente e o rotacional do campo vetorial dado: 
a) ]yzx3;zy;z4x2[)z,y,x(f −−+=G ; 
b) ]yx;yx[)y,x(f 2222 −+=G ; 
c) ]yzx;xy2;xyz[)z,y,x(f 233 −=G 
d) ]xy;xz;yz[)z,y,x(f =G 
e) ]zx;1x2;xyz[)z,y,x(f 2−=G 
f) ]z;y;x[)z,y,x(f 222=G 
g) ];3;2[),,( 222 zyxyzyxzyxf =G 
h) 21( ) (1 ) ( )F y i z j z x k
x
= + + − + − GG G G 
i) kzjxyixysenzyxf
GGGG ++= )cos()(),,( 
j) ];3;2[),,( 2 yxzyxzyxf −=G 
k) jeixyxf xy
GGG += 42),( 
 
3. Dada a função: ];;[),,( xyz3zxyxzyxf 232 −+−=G , determine: 
);;(),,( 1
3
11Pemzyxfrot − 
 
4. Calcule o divergente e o rotacional dos campos vetoriais 
a) U( x , y , z ) = [ -y , x , 0 ] num ponto qualquer e no ponto P ( 1, 4, 2 ) 
b) V( x , y , z ) = [ -yz , xz , 1 ] num ponto qualquer e no ponto Q ( 1, -2, 4 ) 
c) W( x , y , z ) = [ -yz , xz , xyz ] num ponto qualquer e no ponto R ( 4, -2, -1) 
 
5. Calcule o divergente e o rotacional de W (x , y , z) = [ xy , 2z , 3yz ]. 
O que estes resultados podem significar ? 
 
6. Calcule o divergente e o rotacional do campo vetorial W( x , y , z ) = [ x - yz , xz , xyz ] 
a) num ponto qualquer 
b) no ponto R ( 4, -2, -1). Que significado (qualitativo) podemos dar às resposta de b) ? 
 
7. Sejam ( , , ) [ ; ; ]f x y z xz yz xy=G e 2 2 2( , , ) [ ; ; ]g x y z x y z=G . Determine: 
a) fg
GG •∇−•∇ b) )()( gf GG ×∇•×∇