Exercicios de Cálculo Roteiro 3

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Física Contemporânea I – Roteiro de aula 3 – Funções de várias variáveis 
 
Licenciatura em Física – Faculdades Oswaldo Cruz 1 
2.0 – FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS. 
 
2.1 – Motivação. 
Se uma quantidade é determinada por uma regra matemática que depende de outras, duas ou 
mais, variáveis, temos então uma função de várias variáveis. 
Por meio de funções de várias variáveis, podemos modelar uma série de situações problema 
que encontramos no cotidiano e, nos mais diversos ramos da ciência. São apresentados, a seguir, 
alguns desses problemas. 
 
EXEMPLOS 
 
a) A população Q de bactérias, em milhares, em uma certa cultura, depende basicamente da 
quantidade de água V em ( )3cm , da temperatura T em ( )0C e quantidade de nutrientes N em 
( )g . Experimentalmente se obtém a seguinte tabela: 
 
V T N Q 
10 10 1 15 
35 14 2 20 
56 16 3 22 
8 21 2 21 
51 21 3 15 
 Embora não tenhamos a regra matemática que determina a quantidade de bactérias, parece 
razoável que as variáveis V , T e N influenciam a população de bactérias Q , dessa forma 
podemos afirmar que Q é função dessas três variáveis, dessa forma: ( ), ,Q f V T N= ou ainda, 
( ), ,Q Q V T N= . 
 
b) A organização mundial de saúde (OMS), utiliza-se do índice de massa corporal (IMC), como 
um dos indicadores de saúde as populações. O índice de massa corporal é um quociente entre o 
peso ( )P da pessoa em quilograma ( )kg e o quadrado de sua altura ( )A em metros ( )m , sendo 
assim o IMC é função da altura e do peso de uma pessoa, ou seja, é função de duas variáveis, 
sendo expressa como: 
( ) 2,
PIMC P A
A
= 
 Para efeito comparativo a OMS estabeleceu os seguintes padrões: 
 
Condição IMC 
Abaixo do peso 18,5< 
Peso normal 18,5 25IMC£ < 
Acima do peso 25 30IMC£ < 
Obeso 30³ 
 
 Dessa uma pessoa que tenha altura de 1,70m e peso de 80Kg, terá IMC de: 
( ) ( ) ( )2 2
80, 80;1,70 80;1,70 27,7
1,70
PIMC P A IMC IMC
A
= Þ = Þ = 
 O que indica que esta pessoa está acima do peso. Verifique o seu IMC. 
 
 
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c) Para reações de clarificação de celulose, convencionou-se utilizar reatores cilíndricos cujas 
extremidades são semi-hemisférios, dessa forma, o volume destes tanques podem ser descritos 
como função da altura l e d raio r ambas medidas em metros em ( )m : 
 
 
 
 
 
 O volume do cilindro será dado pela soma do volume do cilindro, dado por: 2r lp × × e 
volume dos dois semi-hemisférios: 
34
3
rp× × , assim: 
( ) ( )
3
2 24 4, ,
3 3
r rV r l r l V r l r lpp p× × ×æ ö= × × + Þ = × +ç ÷
è ø
 
 Um cilindro que tenha altura de 7m e raio de 1m, terá um volume de: 
( ) ( )2 34 1 251,7 1 7 1,7
3 3
V V mpp ×æ ö= × + Þ = ×ç ÷
è ø
 
 
2.2 – Funções de duas variáveis, domínio e imagem. 
Inicialmente, trataremos apenas das funções de duas variáveis. Os domínios, dessas funções, 
serão pares ordenados no plano xy e resultaram em valores reais que serão representados no eixo z 
das cotas. Seja D o domínio de uma função de duas variáveis: 
2D Ì ®! ! 
( , ) ( , )x y z f x y=a 
Obs: { }2 ( , ) e x y x y= ´ = Î Î! ! ! ! ! 
Assim como nas funções de uma variável, os domínios nas funções de duas variáveis são 
importantes no estudo das mesmas. 
 
Definições: 
i. O conjunto de pares ordenados ( ) 2, x y Î ! , tais que ( ),f x y existe é denominado de domínio 
de f e é expresso por: ( )D f ; 
ii. O conjunto de valores de z Î ! , tais que ( ),f x y z= e ( ) ( ), x y D fÎ é denominado de 
Imagem de f e é expresso por: ( )I f ; 
iii. Na prática a expressão matemática e a situação problema que levou a construção da equação 
determinam o domínio da mesma. 
 
EXEMPLOS 
 
d) O volume de um cilindro V é determinado pelas dimensões de sua altura h. Dessa forma: 
( ) 2,V r h r hp= × × . Considerando que as dimensões devem ser positivas, temos como domínio: 
( ) ( ){ }2, / 0 e 0D f r h r h= Î > >! e ( ) { } / z 0I f z= Î >! 
Se não levarmos em conta o fato de estarmos calculando um volume, teríamos: 
( ) ( ){ }2, D f r h= Î ! e ( ) { } I f z= Î ! 
 
e) Dada a função: ( ) 2 2, 4z f x y x y= = - - + , determine seu domínio e imagem. 
O domínio da função só está definido para: 2 2 4 0x y- - + ³ , assim: 
2 2 2 2 2 2 2 2 24 0 4 4 2x y x y x y x y- - + ³ Þ - - ³ - Þ + ³ Þ + ³ , logo: 
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-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
x
y
x
y
( ) ( ){ }2 2 2 2, / 2D f x y x y= Î + ³! 
O gráfico que representa esse domínio é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A imagem estará entre: ( ) 2 20 , 4 1z f x y x y£ = = - - + £ m, logo: ( ) [ ]0,1I f = . 
 
 
f) Dada a função: ( ), xz f x y
y x
= =
-
, determine seu domínio e imagem. 
Neste caso a função não esta definida para: 0y x- = , ou seja, necessariamente y x¹ , logo o 
domínio será dado por: 
( ) ( ){ }2, / D f x y y x= Î ¹! 
O gráfico que representa esse domínio é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 
 
27) Determine o domínio das funções e represente-os no plano xy . 
a) ( , ) x yf x y
x y
+
=
-
 
b) ( , )
3
xyf x y
y
=
-
 
c) 2 2 9z x y= + - 
d) ( )2lnz y x= - 
e) 2 2
5( , )
2 2 8
f x y
x y
=
+ -
 
f) 
2 2
( , )
1
yf x y
x y
=
+ -
 
g) z x y= + 
h) 31( , )f x y x y
x y
= + -
-
 
i) 
1
3x yz e += 
j) 2 2ln( 25)z x y= + - 
k) 
2 2
1( , )
16
f x y
x y
=
- -
 
l) 2
4( , ) xf x y
x y
+
=
-
 
m) 
2
1( , )f x y
x y
=
-
 
n) 3( , )f x y y x= - 
o) 2 2( , ) 9f x y x y= - -
 
2.3 – Gráficos de funções de duas variáveis. 
Os gráficos de funções de duas variáveis são superfícies no espaço. Veja alguns exemplos: 
 
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x
y
z 
x
y
z
 
x
y
z 
EXEMPLOS 
 
g) Gráfico de funções de duas variáveis: 
1) 2 2( , )z x y x y= + ; 
2) 2( , )z x y x= 
3) ( , )z x y x y= × , conhecido como cela de cavalo; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (1) (2) (3) 
 
 
2.4 – Curvas de nível. 
O conjunto de nível de uma função de duas variáveis de uma função f com valor c Î ! é 
definido por: 
( ) ( ) ( ) ( ){ }, D / ,CC f x y f f x y c= Î = 
Por exemplo, em uma colina, esboçamos curvas correspondentes às elevações de 0, 100, 200, 
300 e 400 metros. Podemos encarar essas curvas como tendo sido obtidas cortando-se a colina em 
fatias paralelas à base. Uma pessoa caminhando ao longo de uma dessas curvas permaneceria 
sempre na mesma elevação. 
No caso de ( ),f x y representar uma grandeza física, as curvas de nível recebem nomes 
especiais: 
a) se ( ),f x y é a temperatura do ponto de uma chapa plana, as curvas de ( ),f x y c= são 
chamadas de isotermas. 
b) se ( ),f x y é a pressão de um gás de volume x e temperatura y, as curvas de ( ),f x y c= são 
chamadas de isóbaras. 
c) se ( ),f x y é o potencial (elétrico ou gravitacional) na região D do plano xy, as curvas de 
( ),f x y são chamadas de eqüipotenciais. 
 
EXEMPLOS 
 
h) Curvas de nível, dos gráficos do exemplo anterior: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (1) (2) (3) 
 
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i) Outros exemplos de gráficos e suas respectivas curvas de nível:(1) (2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (3) (4) 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
28) Represente no plano xy , as curvas de nível 0c = , 1c = e 4c = das funções indicadas: 
a) 2 2( , ) 9f x y x y= + - b) 2 2( , ) 4f x y x y= + - c) 2 2( , ) 16f x y x y= - - 
 
29) A temperatura do ponto ( ),x y de uma chapa é dada por 2 2( , ) 2 3 15T x y x y= + + . Determine a 
equação da isoterma que passa pelo ponto ( )1,3 e represente-a no plano xy . 
 
30) A temperatura do ponto ( ),x y de uma chapa é dada por 225030),( yxyxT --+= . 
a) Determine o domínio de T(x,y) e a temperatura do ponto ( )3,4 . 
b) Determine a isoterma que contém o ponto ( )3,4 e represente-a no plano xy . 
 
31) O potencial elétrico em uma região do plano xy é dado por 22
120),(
yx
yxV
+
= 
a) Qual é o lugar geométrico dos pontos cujo potencial é 30? 
b) Determine a curva eqüipotencial que passa pelo ponto ( )1,1 . 
 
32) O potencial elétrico no ponto ( ),x y é 
229
4),(
yx
yxV
--
= ( V em volts). Determine e 
 represente, no plano xy , as curvas eqüipotenciais para 4 e 2 volts.