Funções de duas ou mais variáveis Ferramenta externa (ajuda)

Prévia do material em texto

Funções de duas ou mais variáveis
APRESENTAÇÃO
No mundo real, quantidades físicas frequentemente dependem de duas ou mais variáveis. Por 
exemplo, o volume de um paralelogramo é a função V = A*h, a qual depende da área da base A 
e da altura h do paralelogramo. Assim, é possível dizer que o volume é uma função V(A, h) que 
depende de duas variáveis.
Para que você possa acompanhar adequadamente esta Unidade, é necessário que conheça a 
definição, os tipos, as operações e as propriedades de funções de uma variável.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você verá funções de várias variáveis, as quais são de 
fundamental importância para a análise de problemas que envolvem combinações de diversos 
fatores (variáveis).
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Determinar o domínio de uma função de duas ou mais variáveis.•
Descrever os traços de uma função linear de duas variáveis.•
Calcular a taxa de variação média em um mapa de contorno.•
DESAFIO
A função de várias variáveis aparece como forma de modelar diversos problemas do dia a dia. 
Em uma empresa, por exemplo, é possível determinar o lucro com a venda de um produto, 
analisando os custos com a produção e a receita obtida com a venda.
A função custo está relacionada aos gastos efetuados por uma empresa na produção ou aquisição 
de algum produto. É possível representá-la usando a seguinte expressão: C = Cf + Cv , em que 
Cf é o custo fixo e Cv é o custo variável.
Já a função receita está ligada ao faturamento bruto da empresa, dependendo do número de 
vendas de determinado produto. É possível representá-la usando a seguinte expressão: R = pv, 
em que p é a quantidade de produto vendida e v é o valor de venda do produto.
A partir dessa contextualização, considere o seguinte cenário:
Diante do exposto, resolva as seguintes questões:
a) Determine o lucro da empresa com a produção de 150 peças por mês, sabendo que o custo de 
produção de cada peça é R$ 5,00.
b) Considere que, em certo mês, devido ao aumento do preço dos materiais para a produção das 
peças, o custo da empresa foi de R$ 1.500,00. Sendo assim, determine qual deverá ser o valor de 
venda de cada peça a fim de manter o lucro.
INFOGRÁFICO
Uma forma de visualizar o comportamento de uma função de duas variáveis é por meio do seu 
gráfico. O gráfico de uma função de duas variáveis se constitui como uma superfície no espaço, 
de modo que a função f relaciona o ponto (x, y) com o valor z = f(x,y).
Neste Infográfico, você vai ver como determinar um ponto no espaço a partir de uma função de 
duas variáveis.
CONTEÚDO DO LIVRO
Ao relacionar duas grandezas variáveis, as quais dependem uma da outra, está sendo usado o 
conceito de funções. Nesse contexto, as funções de várias variáveis se constituem como 
ferramentas básicas no estudo de fenômenos naturais, visto que muitas grandezas dependem de 
várias variáveis, como volume e densidade.
No capítulo Funções de duas ou mais variáveis, da obra Cálculo: integrais e funções de várias 
variáveis, base teórica desta Unidade de Aprendizagem, você vai estudar sobre uma função de 
duas ou mais variáveis, assim como formas de esboçar seus gráficos e traços.
Boa leitura.
CÁLCULO: INTEGRAIS 
E FUNÇÕES DE 
VÁRIAS VARIÁVEIS
Rejane Izabel Lima Corrêa 
Funções de duas ou 
mais variáveis
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Determinar o domínio de uma função de duas ou mais variáveis.
 � Descrever os traços de uma função linear de duas variáveis.
 � Calcular a taxa de variação média em um mapa de contorno.
Introdução
Muitas funções dependem de mais do que uma variável: as funções 
de duas ou mais variáveis compreendem uma ferramenta básica no 
estudo de fenômenos físicos, naturais, etc., dado que, em sua maioria, 
estão relacionados a vários fatores, por exemplo, a área de um terreno 
retangular depende de sua base e sua altura, a fabricação de uma caixa 
necessita de madeira e pregos.
Neste capítulo, você estudará sobre uma função de duas ou mais 
variáveis e formas de esboçar seu gráfico e traços.
Funções de várias variáveis
As funções reais de várias variáveis reais independentes são definidas de 
forma análoga às funções reais de uma variável. 
Funções de duas variáveis
Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa, a cada par ordenado 
de números reais (x, y) de um conjunto D, um único valor real denotado por 
f(x, y). O conjunto D é o domínio da função f, e sua imagem, o conjunto dos 
possíveis valores para f(x, y), isto é, { f(x, y) ∈ ℝ| (x, y) ∈ D} (STEWART, 2009).
Frequentemente, denominamos, para as variáveis independentes x e y, a 
variável depende z = f(x, y). A função f de duas variáveis é aquela que associa 
um par ordenado (x, y) ∈ D, em que D é um subconjunto de ℝ2, a um número 
f(x, y) ∈ ℝ, conforme a Figura 1.
Figura 1. Exemplo de função de duas variáveis. 
Fonte: Adaptada de Stewart (2010).
Considerando a função de duas variáveis f(x,y) = 3x3 – 2y + 4xy2, calcule:
a) f(1,3)
 Para determinarmos a valor da função f em (1,3), basta substituirmos x por 1 e y 
por 3:
 f(1,3) = 3(1)3 – 2(3) + 4(1) (3)2 = 3 – 6 + 36 = 33
b) f(– 2,2)
 f(– 2,2) = 3(– 2)3 – 2(2) + 4(– 2) (2)2 = – 24 – 4 – 32 = – 70
c) f(0,– 3)
 f(0,– 3) = 3(0)3 – 2(– 3) + 4(0) (– 3)2 = 0 + 6 + 0 = 6
Dizemos que o domínio D é o conjunto de todos os valores no qual a função f 
faz sentido. Normalmente, os valores que não fazem parte do domínio de 
uma função são os pontos (x, y) que, ao serem substituídos na função, dão 
origem a números complexos ou divisões por zero. Assim, para determinar o 
domínio de uma função, excluímos os valores em que tais situações ocorrem:
D = {(x, y) ∈ ℝ2 | f(x, y) assume valores reais}
Funções de duas ou mais variáveis2
Considere a função de duas variáveis f(x,y) = 3x2 – 2y + 4. Observe que, para qualquer 
valor de x ∈ ℝ e para qualquer valor de y ∈ ℝ, a função f(x,y) = 3x2 – 2y + 4 assume 
valores reais. Assim, o domínio da função D = {(x, y) ∈ ℝ2}, ou seja, não existem restrições 
para os valores de x e y.
Descreva o domínio da função . 
Nesse caso, a expressão para f está bem definida se o resultado do interior da raiz 
for sempre um valor não negativo: 
x + y – 1 ≥ 0
Assim, o domínio da função é D = {(x, y) ∈ ℝ2 | x + y – 1 ≥ 0}.
Podemos reescrever a equação do domínio por 
y ≥ 1 – x
Que representa a região do plano acima da reta:
y = 1 – x
3Funções de duas ou mais variáveis
Determine o domínio da função .
A expressão para f está bem definida se o denominador for diferente de zero: 
4x – 2 ≠ 0
↓
Assim, o domínio da função é 
Determine o domínio da função 
A expressão para f está bem definida se o valor do interior da raiz for não negativo 
e se o denominador for diferente de zero: 
3x – 1 ≥ 0
e
2y – x ≠ 0
↓
x ≠ 2y
Assim, o domínio da função é D = {(x, y) ∈ ℝ2 | 3x – 1 ≥ 0 e x ≠ 2y}.
Função de várias variáveis
Definimos funções de várias variáveis de maneira análoga à função de duas 
variáveis. Seja D um conjunto de n-uplas de números reais (x1, x2, x3,..., xn), 
uma função real f em D consiste em uma regra que associa (x1, x2, x3, ..., xn) 
a um único número real w = f(x1, x2, x3,..., xn), como mostrado na Figura 2.
Funções de duas ou mais variáveis4
Figura 2. Exemplo de função de várias variáveis.
Fonte: Adaptada de Stewart (2010).
0 w
f(x1, x2, x3,..., xn)
(x1, x2, x3,..., xn)
D
f
O conjunto D é chamado de domínio da função. Os valores w que a função 
f assume são o conjunto imagem. Perceba que w é a variável dependente de f 
e as n variáveis x1, x2, x3, ..., xn compreendem as variáveis independentes de f.
No caso em que f é uma função de três variáveis, denotamos as variáveis 
independentes por x, y e z.
Determine o valor da função no ponto (– 2, 3, 2).
Para determinar o valor w da função , basta substituirmos 
os valores (– 2, 3, 2) em x, y e z, respectivamente:
Determine o valor da função no ponto (1, 4, 
0,– 3, 2).
Nesse caso, precisamos substituir os valores (1, 4, 0, – 3,2) em x1, x2, x3, x4 e x5, 
respectivamente:
5Funções de duas ou mais variáveis
Analise o domínio das seguintes funções:
a) 
 A soma de números elevados a uma potência par é sempre não negativa. Nesse 
caso, a raiz está bem definida para quaisquer valores de (x, y, z). Portanto, o domínio 
é qualquer ponto do espaço.
D = {(x, y, z) ∈ ℝ3}
b) 
 Para funções racionais, o denominador deve ser sempre não nulo. Assim, x2 + y2 + 
z2 ≠ 0.
D = {(x, y, z) ∈ ℝ3 | x2 + y2 + z2 ≠ 0}
c) f(x, y, z) = x – y l nz
 As funções logarítmicas estão bem definidas em valores das variáveis positivas. 
Nesse caso, devemos ter z > 0.
D = {(x, y, z) ∈ ℝ3 | z > 0}
Gráfico de função de duas variáveis
Um modo de analisar o comportamento de uma função se dá por meio de seu 
gráfico, cujo esboço possibilita analisar pontos extremos da função, se a função 
assume valores positivos e negativos, a imagem, entre outras características 
da função.
O gráfico de uma função f de duas variáveis é o conjunto de todos os pontos 
(x, y, z) em ℝ3 tal que z = f(x, y), para todo (x, y) no domínio D de f.
O gráfico de uma função de duas variáveis é uma superfície S com equação 
z = f(x, y), conforme a Figura 3.
Funções de duas ou mais variáveis6
Figura 3. Exemplo de gráfico de função de duas variáveis. 
Fonte: Stewart (2010, p. 794).
Esboce o gráfico da função f(x, y) = 100 – x2 – y2.
O gráfico de f tem a equação do tipo z = 100 – x2 – y2, que representa a equação 
do paraboloide elíptico.
7Funções de duas ou mais variáveis
Esboce o gráfico da função .
O gráfico de f tem equação do tipo z = 100 – x2 – y2, que é a equação cone circular. 
No link a seguir, você poderá encontrar uma calculadora gráfica para construção de 
gráficos de duas variáveis de forma simples.
https://qrgo.page.link/wkqGV
Funções de duas ou mais variáveis8
Esboce o gráfico da função f(x, y) = 6 – 3x – 2y.
O gráfico de f tem equação do tipo z = 6 – 3x – 2y, que compreende a equação de 
um plano. 
A função do exemplo anterior é uma função do tipo:
f(x, y) = ax + by + c
Tais funções são denotadas funções lineares, cujo gráfico tem a equação 
z = ax + by + c, que é sempre um plano.
Traços de uma função linear de duas variáveis
Os gráficos ajudam a analisar o comportamento de uma função, mas esboçar 
um de uma função de duas variáveis à mão nem sempre é uma tarefa fácil. 
Por isso, outra maneira de analisarmos o comportamento de uma função de 
duas variáveis se dá por meio dos traços da função. 
Para obtermos os traços de uma função, devemos fazer com que as variáveis 
independentes x e y assumam valores constantes e, então, analisar o tipo de 
curva que obtemos na superfície. Fazendo x = a, teremos a curva z = f(a, y) e, 
fazendo y = b, obteremos a curva dada pela equação z = f(x, b). Tais tipos de 
curvas são denominadas traços verticais (Figura 4), obtidos pela interseção 
do gráfico com os planos x = a e y = b (ROGAWSKI; ADAMS, 2018).
9Funções de duas ou mais variáveis
Figura 4. Exemplos de traços verticais de uma função linear de duas variáveis. 
Fonte: Rogawski e Adams (2018, p. 741).
No caso das funções lineares de duas variáveis f(x, y) = ax + by + c, os 
traços são retas.
Considere a função linear:
f(x, y) = 4 – 2x – y
O gráfico de f é o plano de equação z = 4 – 2x – y. Os traços verticais são:
 � o traço em x = a: z = f(a,y) = 4 – 2a – y, que é a equação de uma reta no plano x = a.
 � o traço em y = b: z = f(x,b) = 4 – 2x – b, que é a equação de uma reta no plano y = b.
Veja nos gráficos a seguir os traços verticais de cada caso:
Fonte: Adaptada de Rogawski e Adams (2018).
Funções de duas ou mais variáveis10
Mapas de contorno
Ainda, outra maneira de analisar características importantes de uma função f 
de duas variáveis seria esboçando um mapa de contorno exibindo suas curvas 
de nível.
As curvas de nível de uma função f(x, y) são aquelas no plano xy de equação 
f(x, y) = c. Podemos dizer que as curvas de nível são projeções no plano xy 
das curvas obtidas na superfície z = f(x, y) quando z = c, isto é, a projeção da 
curva obtida da interseção da superfície z = f(x, y) com o plano z = c.
Um mapa de contorno refere-se ao conjunto das curvas de nível de f(x, y) 
para valores igualmente espaçados de c.
Considere a função de duas variáveis
f(x, y) = 50 – 10x2 – 5y2
O gráfico da função é um paraboloide elíptico e suas curvas de nível são do tipo 
50 – 10x2 – 5y2 = c
Reescrevendo a equação das curvas de nível, obtemos:
10x2 + 5y2 = 50 – c
Assim, concluímos que as curvas de nível da função são elipses. Fazendo c variar de 
10 em 10, obtemos o mapa de contorno:
11Funções de duas ou mais variáveis
Fonte: Adaptada de Rogawski e Adams (2018).
Vamos exibir o mapa de contorno da função
f(x, y) = x2y
As curvas de nível são do tipo x2 y = c ou , que é a equação de hipérbole.
Funções de duas ou mais variáveis12
Fazendo c = 0, ±2, ±4, ±6, ±8, ±10, construímos o mapa de contorno da função:
Fonte: Adaptada de Rogawski e Adams (2018).
Quando passamos de uma curva de nível para outra no mapa de contorno, 
o valor de f(x, y) varia de acordo com o espaçamento que utilizamos para o 
valor de c. A distância entre as curvas de nível em um mapa de contorno 
indica o quanto o gráfico é íngreme. O gráfico varia mais rapidamente onde 
as curvas de nível ficam mais próximas entre si, ponto no qual dizemos que 
o gráfico é mais íngreme (Figura 5).
13Funções de duas ou mais variáveis
Figura 5. Exemplos da localização da parte íngreme 
de um gráfico e das curvas de nível próximas. 
Fonte: Adaptada de Rogawski e Adams (2018).
Taxa de variação média em um mapa de 
contorno
Para medirmos quantitativamente se uma região é mais íngreme que outra, 
definimos a taxa de variação média (TVM) entre dois pontos P e Q no mapa 
de contorno:
Os mapas de contornos também são denominados mapas topográficos, 
utilizados para descrever a superfície terrestre.
Funções de duas ou mais variáveis14
Encontre a taxa de variação média do ponto A aos pontos B e C.
O intervalo entre as curvas de nível é de 100 m. Tanto o segmento AB quanto o 
segmento AC atravessam duas curvas de nível; assim, a variação da altitude em ambos 
os casos é de 200 m.
Já de acordo com a escala indicada na imagem, a distância horizontal entre A e B é 
de 200 m, e a distância horizontal entre A e C, de 400 m.
Portanto:
Observe que no ponto D a taxa de variação é zero, pois D se encontra na mesma 
curva de nível de A. Nesse caso, não há variação na altitude.
Fonte: Adaptada de Rogawski e Adams (2018).
15Funções de duas ou mais variáveis
ROGAWSKI, J.; ADAMS, C. Cálculo. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018. v. 2.
STEWART, J. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009. v. 2.
STEWART, J. Cálculo. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010. v. 2.
Leituras recomendadas
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 2.
AYRES, F.; MENDELSON, E. Cálculo. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013.
THOMAS, G. B. Cálculo. 12. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. v. 2.
Funções de duas ou mais variáveis16
DICA DO PROFESSOR
Considerando a possibilidade de trabalhar com cálculos, associando-os a problemas reais, as 
funções de duas ou mais variáveis auxiliam no estudo de fenômenos físicos, naturais e outros.
Nesta Dica do Professor, você vai ver a aplicação de uma função de duas variáveis e sua análise.
Confira.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
EXERCÍCIOS
1) Calcule o valor da função a seguir nos pontos (1,–3) e (5,0).
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
2) 
Descreva o domínio e o gráfico da seguinte função: 
A) D = {(x,y) ∈ R2 | x2 + y2 ≥ 16} e o gráfico é o cone circular reto.
B) D = {(x,y) ∈ R2 | x2 + y2 ≥ 16} e o gráfico é a semiesfera superior de raio 4.
C) D = {(x,y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 16} e o gráfico é a semiesfera superior de raio 4.
D) D = {(x,y) ∈ R2} e o gráfico é o cone circular reto.
E) D = {(x,y) ∈ R2 | x2 +y2 ≤ 16} e o gráfico é o cone circular reto.
3) 
Determine o domínio da seguinte função: 
A) D = {(x,y,z) ∈ R3 | 3x – 2y + z > 0 e x2y ≠ z}.
B) D = {(x,y,z) ∈ R3 | 3x – 2y + z < 0 e x2y ≠ z}.
C) D = {(x,y,z) ∈ R3 | 3x – 2y + z ≥ 0 e x2y ≠ z}.
D) D = {(x,y,z) ∈ R3 | 3x – 2y + z ≤ 0 e x2y ≠ z}.
E) D = {(x,y,z) ∈ R3}.
A função T(x,y,z) = x2 + y2 + z2 determina a temperatura em cada ponto do espaço. 
As superfícies isotérmicas são dadas pelas equações em uma certa temperatura 
constante.
4) 
Sendo assim, determine a equação da superfície isotérmica quando a temperatura for 
igual a 25o.
A) x2 + y2 + z2 = 25.
B) x2 + y2 + z2 ≥ 25.
C) x2 + y2 + z2 ≤ 25.
D) x2 + y2 + z2 > 25.
E) x2 + y2 + z2 < 25.
5) Determine a taxa de variação média de B até C, considerando o seguinte mapa de contorno:
A) –0,625.
B) –0,50.
C) –0,25.
D) –0,125.
E) –0,75.
NA PRÁTICA
O clima do mundo é influenciado por um sistema de correntes marítimas profundas movidas por 
variações na densidade da água dos oceanos. Nesse contexto, a salinidade da água e a 
temperatura são fatores que interferem no volume, na intensidade e na direção das correntes 
marítimas. Para entender como esses fatores interferem nas mudanças das correntes, é possível 
aplicar as funções de duas variáveis.
Neste Na Prática, você vai ver um exemplo disso.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Funções de duas variáveis reais a valores reais — Parte I
No seguinte vídeo, a professora Martha Salerno Monteiro revisa alguns exemplos de elipse e 
hipérbole.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Funções de duas variáveis reais a valores reais — Parte II
No seguinte vídeo, a professora Martha Salerno Monteiro explica sobre as funções que 
dependem de mais de uma variável. Além disso, dá exemplos de curvas de nível.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Funções de duas variáveis reais a valores reais — Parte III
No seguinte vídeo, a professora Martha Salerno Monteiro continua o assunto de funções de duas 
variáveis, explicando o que é uma paraboloide circular e uma paraboloide hiperbólica.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Cilindro e superfícies quádricas
Os gráficos das funções de duas variáveis são superfícies no espaço. No vídeo a seguir, você vai 
ver os tipos de superfícies e suas equações.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Conceitos de funções de duas variáveis com o uso do software MAXIMA
Os recursos do software MAXIMA possibilitam a exploração de diversos conceitos. O material 
a seguir traz uma abordagem de conceitos de funções de duas variáveis com o uso desse 
software. Confira.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Lista de exercícios
Para aprender funções de duas ou mais variáveis, é importante que você treine fazendo diversas 
atividades. Para tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!