CALCULO 3 - PENNEY

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QUARTA 
EDIÇÃO 
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C. H. Edwards, J r. 
University of Georgia, Athens, EUA 
David E. Penney 
University of Georgia, Athens, EUA 
Tradução 
Alfredo Alves de Farias 
Professor-adjunto da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) 
Revisão Técnica 
Eliana Farias e Soares, Ph.D. 
Mestrado em Matemática pela Universidade de Wisconsin, EUA 
Professora-adjunta da UFMG 
Vera Regina L. F. Flores, M.Sc. 
Mestrado em Matemática pela Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) 
Professora-adjunta da UFMG 
[ Jlls) Prentice-Hall do Brasil 
Volume3 
Título do original em inglês 
Calculus with analytic geometry 
Original English language edition published by 
Copyright © 1994 by Prentice-Hall, Inc. 
Ali Rights Reserved 
Direitos exclusivos para a língua portuguesa 
Copyright © 1997 by 
EDITORA PRENTICE-HALL DO BRASIL LTDA. 
Travessa do Ouvidor, 11 
Rio de Janeiro, RJ - CEP 20040-040 
Reservados todos os direitos. É proibida a duplicação ou 
reprodução deste volume, no todo ou em parte, 
sob quaisquer formas ou por quaisquer meios 
(eletrôn ico, mecânico, gravação, fotocópia ou outros), 
sem permissão expressa da Editora. 
C. Henry Edwards, da University of Georgia, recebeu o grau de Ph.D. da University of 
Tennessee em 1960. Lecionou durante três anos na University of Wisconsin e passou um ano 
no Institute for Advanced Study (Instituto para Estudos Avançados) de Princeton, com bolsa 
Alfred P. Sloan de pesquisa. Completou recentemente seu trigésimo quinto ano de ensino (en-
sinando cálculo quase todo ano) e recebeu inúmeras distinções universitárias por sua atuação 
no magistério. Suas atividades acadêmicas são bem diversificadas: pesquisa e orientação de 
dissertações em topologia, história da matemática, matemática aplicada e o uso de computação 
e tecnologia em matemática, seu principal interesse nos anos mais recentes. Além de seus li-
vros sobre cálculo, cálculo avançado, álgebra linear e equações diferenciais, é bem conhecido 
entre os professores de cálculo como autor do livro The Historical Development of the Calculus 
(Springer-Verlag, 1979). Atuou como principal pesquisador em três projetos recentes financia-
dos pela NSF (National Science Foundation): (1) um projeto para introduzir a tecnologia nos 
currículos de duas instituições públicas de ensino no nordeste da Georgia (inclusive o Maple 
para os alunos principiantes de álgebra); (2) um programa-piloto de cálculo com Mathematica 
na University ofGeorgia; e (3) um projeto de laboratório de computação baseado no MATLAB 
para os estudantes de análise numérica e matemática aplicada. 
David E. Penney, University of Georgia, completou seu doutorado (Ph.D.) na Tulane Univer-
sity em 1965 enquanto lecionava na University of New Orleans. Anteriormente, trabalhou em 
biofísica experimental na Tulane University e no Veteran's Administration Hospital em New 
Orleans. Começou a lecionar cálculo em 1957 e ensina a disciplina quase todo semestre. En-
trou para o Departamento de Matemática da University of Georgia em 1966, e desde então re-
cebeu várias distinções universitárias por sua atuação na área de ensino. É autor de vários tra-
balhos de pesquisa no campo da teoria dos números e topologia, assim como autor ou co-autor 
de livros sobre álgebra linear, equações diferenciais e cálculo. 
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Características da 
Quarta Edição 
Prefácio 
O papel e o uso da matemática estão passando atualmente por uma revolução, devida, em gran-
de parte, à tecnologia computacional. As calculadoras e os computadores proporcionam aos 
estudantes e aos professores um poder matemático jamais imaginado por gerações anterio-
res. Diariamente tomamos conhecimento de eventos surpreendentes, como a demonstração do 
último teorema de Fermat, recentemente anunciada. Sem dúvida, em termos de matemática, 
es~a é a época mais estimulante de toda a história. Assim é que, ao preparar esta nova edição do 
CALCULO com Geometria Analítica, procuramos transmitir algo dessa empolgação aos estu-
dantes que irão utilizar o livro. 
Entendemos que o curso de cálculo é a porta principal para um número cada vez maior de 
estudantes de áreas diversas. Para onde quer que nos voltemos - negócios, ciência, tecnologia 
-, quase todos os aspectos do trabalho profissional envolvem a matemática. Assim é que re-
pensamos nosso objetivo de proporcionar ao estudante de cálculo sólidos fundamentos para seu 
trabalho subseqüente. 
Pela primeira vez desde a versão original deste livro, lançada em 1982, o texto foi reformulado 
do princípio ao fim. Nesta quarta edição, reescrevemos discussões e explicações em uma lin-
guagem que o estudante de hoje achará mais viva e acessível. Tópicos raramente abordados 
foram preparados de modo a proporcionar um curso de cálculo mais flexível. Acrescentaram-
se notas históricas e biográficas para mostrar ao estudante o lado humano do cálculo. Incluí-
ram-se projetos de laboratório para calculadoras gráficas e computadores (com opções Derive, 
Maple e Mathematica) nas principais seções do texto. Na verdade, em toda esta edição revela-
se uma nova tendência que reflete o interesse dominante pelas calculadoras de gráficos e siste-
mas de computadores. Por causa dessa nova ênfase no aspecto gráfico do movimento de refor-
ma do cálculo, as ilustrações do texto, em sua maioria feitas no computador, servem para ilus-
trar uma abordagem mais direta e exploratória da resolução de problemas. Nossa própria expe-
riência no ensino sugere que o uso da tecnologia contemporânea pode tornar o cálculo mais 
concreto e acessível ao estudante. 
No preparo desta edição, beneficiamo-nos de muitos comentários e sugestões valiosas de leito-
res das três primeiras edições. Essa revisão foi tão profunda que as modificações são por de-
mais numerosas para serem relacionadas aqui, mas os parágrafos a seguir resumem as de maior 
interesse. 
Problemas Adicionais O número de problemas aumentou substancialmente desde a primei-
ra edição, totalizando agora cerca de 6.000. Na terceira e quarta edições inserimos muitos exer-
cícios práticos antes dos conjuntos de problemas, para assegurar que o estudante adquira sufi-
ciente confiança e habilidade de cálculo antes de passar aos problemas conceituais que consti -
tuem o objetivo real do cálculo. Nesta edição incluímos também problemas baseados em gráfi-
cos, que enfatizam o entendimento conceituai e famili arizam o estudante com o uso de calcu-
ladoras gráficas. 
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Novos Exemplos e Detalhes Computacionais Em muitas seções deste livro introduzimos um 
primeiro exemplo mais simples ou substituímos alguns exemplos por outros mais fáceis em 
termos computacionais. Além disso, acrescentamos uma ou duas linhas de detalhes computacio-
nais em muitos exemplos resolvidos, de modo a torná-los mais fáceis de serem acompanhados 
pelo estudante. O objetivo de todas essas modificações é evitar que os cálculos venham a cons-
tituir uma barreira para o bom entendimento conceituai. 
Projetos Em todo o livro foram introduzidos cerca de 48 projetos suplementares. Cada proje-
to utiliza algum aspecto da tecnologia computacional moderna para ilustrar as principais idéias 
da seção que o precede, e cada um deles contém problemas adicionais para resolução com au-
xilio de uma calculadora gráfica ou de um computador. Dados e gráficos ilustram o uso de 
calculadoras gráficas e de sistemas de computadores tais como Derive, Maple e Mathematica. 
O material dos projetos está adequado a um laboratório de computador/calculadora mantido 
paralelamente a um curso de cálculo, ou pode ser usado como base para trabalhos que os estu-
dantes devam concluir fora da aula ou para uso próprio. 
Gráficos por Computadores Agora que entramos definitivamente na era das calculadoras grá-
ficas e dos computadores, não só é possível como desejável enfatizaro aspecto gráfico junta-
mente com o trabalho numérico e simbólico. Cerca de 250 novas figuras geradas por MATLAB 
ilustram o que os estudantes podem fazer por si mesmos. Muitas destas figuras vêm junto com 
novos problemas. Gráficos gerados pelo Maihematica foram incluídos em todas as seções que 
envolvem material tridimensional. 
Material Histórico/Biográfico Introduzimos os capítulos com notas histórico-biográficas para 
lembrar ao estudante que os responsáveis pelo desenvolvimento do nosso assunto são seres hu-
manos, reais. Ambos os autores dedicam-se à história da matemática e crêem que ela pode in-
fluenciar favoravelmente o ensino da matemática. Por esta razão, incluem-se também no texto 
numerosos comentários de caráter histórico. 
Capítulos Introdutórios Os Caps. 1 e 2 foram preparados para oferecer um início conciso e 
rápido ao estudo do cálculo. O Cap. 1 se concentra em funções e gráficos. Inclui agora uma 
seção catalogando as funções elementares do cálculo e proporciona a base para uma ênfase inicial 
em funções transcendentes. Termina com uma seção abordando a questão "O que é o cálculo?" 
O Cap. 2, sobre limites, começa com uma seção sobre tangentes como introdução ao conceito 
de limite na Seção 2.2. Ao contrário da terceira edição, esta aborda os limites trigonométricos 
em todo o Cap. 2 como uma introdução ao conceito de limite. 
Capítulos sobre Diferenciação A seqüência de tópicos nos Caps. 3 e 4 difere um pouco da 
tradicional. Pretendemos firmar a confiança do estudante introduzindo tópicos numa ordem cres-
cente de dificuldade. A regra da cadeia aparece logo na Seção 3.3, e as técnicas básicas de di-
ferenciação de funções algébricas são estudadas antes de abordarmos os máximos e mínimos 
nas Seções 3.5 e 3.6. As funções inversas só aparecem no Cap. 7. A Seção 3.7 estuda as deriva-
das das seis funções trigonométricas. A diferenciação implícita e as taxas relacionadas foram 
agrupadas em uma única seção (Seção 3.8). O teorema do valor médio e suas aplicações foram 
deixados para o Cap. 4. As Seções 4.4, sobre o teste da derivada primeira, e 4.6, sobre deriva-
das de ordem superior e concavidade, foram simplificadas. As seções sobre traçado de curvas 
que encerram o Cap. 4 foram consideravelmente aumentadas, com novo material gráfico. 
Capítulos sobre Integração Introduziram-se exemplos novos e mais simples nos Caps. 5 e 6. 
As antiderivadas (nas edições anteriores no fim do Cap. 4) aparecem agora no início do Cap. 5. 
A Seção 5.4 (sobre somas de Riemann) foi bastante simplificada, com a eliminação das somas 
superiores e inferiores e maior ênfase nas somas que consideram pontos médios e pontos extre-
mos. Muitos professores de cálculo acham agora que as primeiras aplicações da integração não 
devem ficar restritas ao cálculo padrão de áreas e volumes. A Seção 6.5 é opcional e introduz 
equações diferenciais separáveis. Para eliminar qualquer redundância, transferiu-se o estudo 
de centróides e do teorema de Pappus para o Cap. 15 (Integrais Múltiplas), onde eles podem ser 
estudados em um contexto mais natural. 
Funções Transcendentes O Cap. 7 oferece diversas opções aos professores que são favorá-
veis a um estudo antecipado das funções transcendentes. A Seção 7 .1 começa com a aborda-
gem "de curso secundário" das funções exponenciais, seguida da idéia de logaritmo como a 
potência a que se deve elevar a base a para se obter o número x. Nessas bases, a Seção 7 .1 pro-
cede a uma revisão elementar das leis dos expoentes e dos logaritmos e aborda informalmente 
Prefácio 
Mantendo as 
Características 
Tradicionais 
Prefácio 
a diferenciação de funções exponenciais e logarítmicas. Esta seção sobre o cálculo diferencial 
elementar de funções exponenciais e logarítmicas pode ser estudada a qualquer momento após 
ª. Seção 3.3 (sobr~ a regra da cadeia). Feito isto, a Seção 7.2 - baseada na definição do loga-
ntmo como uma integral - pode ser vista após a definição de integral no Cap. 5 (juntamente 
com o resto do material do Cap. 7 que o professor julgar conveniente). Nessas condições, o 
texto pode servir para um programa que inclua as funções exponenciais logo no início do cál-
culo diferencial e/ou funções logarítmicas no início do cálculo integral. 
As funções transcendentes remanescentes - trigonométricas inversas e hiperbólicas - são 
agora estudadas no Cap. 8. Nesta nova formulação , o capítulo inclui formas indetermi nadas e a 
regra de l'Hôpital (muito antes do que na terceira edição). 
Técnicas de Integração O Cap. 9 está organizado de modo a atender aos professores que acham 
que os métodos de integração formal exigem menos ênfase em vista das técnicas modernas de 
integração tanto numérica quanto simbólica. Presumivelmente, todos os leitores desejarão es-
tudar as quatro primeiras seções do capítulo (até integração por partes na Seção 9.4) . O método 
· das frações parciais aparece na Seção 9.5, e as substituições trigonométricas e integrais que 
envolvem polinômios quadráticos constam das Seções 9.6 e 9.7. As integrais impróprias estão 
agora na Seção 9.8, e as substituições racionalizadoras mais especializadas foram transferidas 
para os Problemas Diversos do Cap. 9. Essa organização do capítulo facilita para o professor a 
decisão de parar onde desejar. 
Séries Infinitas Após a introdução usual à convergência de seqüências e séries infinitas (Se-
ções I l .2 e l l .3), a Seção l l .4 apresenta uma abordagem combinada dos polinômios de Taylor 
e da série de Taylor. Isto permite ao professor fazer um estudo muito mais breve das séries in-
finitas , sem deixar de lado, porém, a série de Taylor, de grande importância nas aplicações. 
Equações Diferenciais Muitos professores acham hoje que o estudo das equações diferen-
ciais deve ser iniciado o mais cedo possível. A mais simples das equações diferenciais, do tipo 
y' = fix), aparece em uma subseção no fim da Seção 5.2. A Seção 6.5 ilustra aplicações da 
integração à resolução de equações diferenciais separáveis. A Seção 9.5 inclui aplicações do 
método das frações parciais a problemas de população e à equação da curva logística. Como o es-
tudo das equações diferenciais está distribuído por todo o texto, pareceu-nos adequado elimi-
nar o capítulo final de nossa terceira edição, exclusivamente dedicado às equações diferenciais. 
Embora tenham sido acrescentadas muitas características novas, permaneceram em nossa mira 
cinco objetivos: concretude, clareza de linguagem, motivação, aplicabilidade e precisão. 
Concretude É impressionante o poder do cálculo em suas respostas precisas a problemas e 
questões reais. No necessário desenvolvimento conceituai do assunto, ativemo-nos à questão 
central: Como calculá-lo efetivamente? Demos especial ênfase aos exemplos, aplicações e pro-
blemas concretos que servem tanto para evidenciar o desenvolvimento da teoria como para 
demonstrar a notável versati lidade do cálculo na pesquisa de importantes questões científicas. 
Clareza de Linguagem A difi culdade no estudo da matemática freqüentemente é agravada 
pelas dificuldades de linguagem. Nosso estilo decorre do fato de acred itarmos que uma expo-
sição direta, intuitiva e precisa torna a matemática mais acessível - e, assim, mais fácil de 
aprender - sem perda do rigor. Nesta edição, procuramos tornar a linguagem clara e atraente 
para os estudantes, de tal forma que eles possam ler o livro e realmente o façam, permitindo 
assim ao professor dedicar o tempo da aula a aspectos menos rotineiros do ensino do cálculo. 
Motivação Nossa exposição gira em torno de exemplos da utili zação do cálculo para resol-
ver problemas reais de interesse das pessoas. Ao selecionar tai s problemas para exemplos e exer-
cíc ios, partimos do ponto de vista de que a estimulação do interesse e a motivação para um 
estudo efeti vo caminham de mãos dadas. Tentamos fazer o estudante compreender que o co-
nhecimento adquirido em cada novo conceito ou técnica compensa amplamente o esforço des-
pendido. Nos assuntos teóricos, sobretudo, procuramosapresentar uma idéia geral do objetivo 
antes de entrar no estudo dos mesmos. 
Aplicações As diversas aplicações do cálculo são o que mais atrai muitos estudantes para o 
assunto, constituindo um reforço valioso. Nosso livro é bem conhecido por sua ampla gama de 
aplicações, mas não é necessário, e nem mesmo aconselhável , que cada curso abranja todas 
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elas. Cada seção ou subseção que pocie ser omitida sem perda de continuidade está assinalada 
com um asterisco. Isto permite ao professor determinar os pontos que deseja enfatizar. 
Precisão Nossa abordagem do cálculo é completa (embora não a pretendamos enciclopédi-
ca). Mais ainda do que suas antecessoras, esta edição foi submetida a um cuidadoso processo 
de revisão para garantir a precisão do texto. Assim é que, por exemplo, cada resposta na seção 
de Respostas foi conferida com Mathematica. Quanto à escolha e seqüência de tópicos mate-
máticos, nossa abordagem é a tradicional. Entretanto, um olhar atento ao tratamento dado a 
tópicos padrões pode revelar nosso envolvimento com a revitalização do ensino de cálculo. 
Continuamos a apoiar uma abordagem intuitiva que dê ênfase tanto à parte conceituai como ao 
cuidado na formulação de definições e conceitos-chave do cálculo. Algumas demonstrações 
que podem ser omitidas a critério do professor foram colocadas no fim das seções; outras po-
dem ser encontradas nos apêndices. Dessa forma, procuramos deixar ampla margem de varia-
ção na busca de um equilíbrio entre rigor e intuição. 
Agradecimentos Não há autor que não reconheça o valor de uma revisão crítica durante a 
fase de preparação de um manuscrito. Nas várias edições deste livro, nosso trabalho foi muito 
beneficiado pela orientação e cótica altamente qualificada dos seguintes revisores: 
Leon E. Arnold, Delaware County Community College 
H. L. Bentley, University ofToledo 
Michael L. Berry, West Virginia Wesleyan College 
William Blair, Northem Illinois University 
George Cain, Georgia lnstitute of Technology 
Wil Clarke, Atlantic Union College 
Peter Colwell, Iowa State University 
James W. Daniel, University ofTexas at Austin 
Robert Devaney, Boston University 
Dan Drucker, Wayne State University 
William B. Francis, Michigan Technological University 
Dianne H. Haber, Westfield State College 
John C. Higgins, Brigham Young University 
W. Cary Huffman, Loyola University of Chicago 
Calvin Jongsma, Dordt College 
Morris Kalka, Tulane University 
Louise E. Knouse, Le Toumeau College 
Catherine Lilly, Westfield State College 
Joyce Longman, Villanova University 
E. D. McCune, Stephen F., Austin State University 
Arthur L. Moser, Illinois Central College 
Barbara Moses, Bowling Green University 
Barbara L. Osofsky, Rutgers University at New Brunswick 
John Petro, Westem Michigan University 
Wayne B. Powell, Oklahoma State University 
James P. Qualey, Jr., University ofColorado 
Thomas Roe, South Dakota State University 
Lawrence Runyan, Shoreline Community College 
William L. Siegmann, Rensselaer Polytechnic Institute 
John Spellman, Southwest Texas State University 
Virginia Taylor, University of Lowell 
Samuel A. Truitt, Jr., Middle Tennessee State University 
Robert Urbanski, Middlesex County College 
Robert Whiting, Villanova University 
Cathleen M. Zucco, Le Moyne College 
Muitos dos melhoramentos introduzidos devem-se a colegas e a usuários das três primeiras 
edições em todo o território dos EUA, Canadá e do exterior. Somos gratos a todos, especial-
mente estudantes, que nos escreveram, e esperamos poder continuar contando com sua colabo-
ração. Agradecemos a Betty Miller, da West Virginia University, a resolução dos problemas, e 
a Terri Bittner, que, com sua equipe na Laurel Tutoring (San Carlos, Califomia), conferiu a 
solução de cada exemplo e dos problemas de número ímpar. Sem dúvida, também, a qualidade 
do trabalho constitui testemunho da habilidade, diligência e talento da excepcional equipe da 
Frentice-Hall. Devemos agradecimentos especiais também a George Lobell e Priscilla 
Prefácio 
Prefácio 
McGeehon, editores matemáticos; a Karen Karlin, editora responsável pelo acompanhamento; 
a Ed Thomas, responsável pela produção; e a Andy Zutis, desenhista. Finalmente, não há como 
agradecer adequadamente a Alice Fitzgerald Edwards e Carol Wilson Penney por sua assistên-
cia, estímulo, apoio e paciência constantes. 
C. H. E.,Jr. 
hedwards@math.uga.edu 
Athens, Georgia 
D.E.P. 
dpenney@math.uga.edu 
xi 
PROJETOS 
Os projetos relacionados a seguir, constantes do Volume 3, utilizam diversas tecnologias e fornecem a base não só para um estudo individual 
como para trabalhos de laboratório. 
CAPÍTULO] 14 14.2 
14.5 
14.9 
14.10 
Gráfico, por Computador, de Superfícies Tridimensionais (p. 11) 
Pesquisa Gráfica de Valores Extremos em um Disco (p. 32) 
Solução, por Computador, de Problemas de Multiplicadores de Lagrange (p. 65) 
Classificação Numérica de Pontos Cóticos (p. 74) 
J 5 15.1 Aproximação Numérica de Integrais Duplas (p. 84) 
15.5 Planejamento da Roda Ótima para Carros de Corrida (p. 113) 
15.7 Momento de Inércia e o Interior da Terra (p. 126) 
15.8 Gráfico, por Computador, de Superfícies Paramétricas (p. 133) 
16 16.5 Gráfico, por Computador, de Superfícies de Um Só Lado (p. 182) 
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2 
Sulllário 
11 
CAPÍTULO 14 Diferenciação Parcial, 1 
14.1 Introdução, 2 
14.2 Funções de Várias Variáveis, 2 
PROJETO, 11 
14.3 Limites e Continuidade, 11 
14.4 Derivadas Parciais, 16 
14.5 Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis, 23 
PROJETO, 32 
14.6 Incrementas e Diferenciais, 34 
14.7 A Regra da Cadeia, 40 
14.8 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente, 48 
14.9 Multiplicadores de Lagrange e Problemas de Máximos e Mínimos Vinculados, 57 
PROJETOS , 65 
14.10 O Teste da Derivada Segunda para Funções de Duas Variáveis , 67 
PROJETOS, 74 
REVISÃO: Definições, Conceitos, Resultados, 75 
CAPÍTULO 15 Integrais Múltiplas, 78 
15.1 
15.2 
15.3 
15.4 
15.5 
15.6 
15.7 
15.8 
Integrais Duplas, 79 
PROJETO, 84 
Integrais Duplas sobre Regiões Mais Gerais, 85 
Área e Volume por Integração Dupla, 90 
Integrais Duplas em Coordenadas Polares, 96 
Aplicações das Integrais Duplas, 103 
PROJETO, 113 
Integrais Triplas, 114 
Integração em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas, 120 
PROJETO, 126 
Área de uma Superfície, 127 
PROJETOS, 133 
*15.9 Mudança de Variáveis em Integrais Múltiplas, 134 
REVISÃO: Definições, Conceitos, Resultados, 141 
xvi 
CAPÍTULO 16 Análise Vetorial, 144 
16.1 Campos Vetoriais, 145 
16.2 Integrais Curvilíneas, 150 
16.3 Independência do Trajeto, 159 
16.4 O Teorema de Green, 166 
16.5 Integrais de Superfície, 174 
PROJETOS, 182 
16.6 O Teorema da Divergência, 184 
16.7 O Teorema de Stokes, 191 
REVISÃO: Definições, Conceitos, Resultados, 198 
Apêndices A-1 
A Revisão da Trigonometria (Volumes l e 2) 
B Provas das Leis dos Limites (Volume l) 
C Completeza do Sistema de Números Reais (Volume 1) 
D Prova da Regra da Cadeia (Volume 1) 
E Existência da Integral (Volume 1) 
F Aproximações e Somas de Riemann (Volume 1) 
G A Regra de L' Hôpital e o Teorema do Valor Médio de Cauchy (Volume l) 
H Prova da Fórmula de Taylor (Volume 2) 
I Unidades de Medida e Fatores de Conversão, 201 
J Fórmulas da Álgebra, Geometria e Trigonometria, 20 l 
K O Alfabeto Grego, 203 
Respostas de Problemas Ímpares, 208 
Referências, 214 
Índice Remissivo, 215 
Sumário 
CAPÍTULO Diferenciação Parcial 
14 
O O renome de Joseph Louis Lagrange ( 1736-I 813) se deve aos seus grandes tratados sobre a mecânica analítica e a teoria 
das funções, que abrangeram grande parte da matemática pura e aplicada do século XVJII. Esses tratados - Mécanique 
Analytique ( 1788), Théorie des Fonctions Analytiques ( 1797) e Léçons sur le Calcul des Fonctions ( 1806) - desenvolveram 
e aplicaram, sistemática e amplamente, o cálculo diferencial e integral das funções de várias variáveis expressas em termos 
das coordenadas retangulares x, y, z no espaço tridimensional. Foram escritos e publicados emParis, durante os últimos 25 
anos de sua carreira, embora Lagrange tenha passado seus primeiros 30 anos em Turim, na Itália. Seu pai queria que fosse 
advogado, mas Lagrange, aos 17 anos de idade, decidiu fa zer carreira na ciência e na matemática. Em razão do seu trabalho 
inicial em mecânica celeste (análise matemática dos movimentos dos planetas e satélites em nosso sistema solar), Lagrange 
sucedeu a Euler como diretor da Academia de Berlim, na Alemanha, em 1766. 
O Ele considerava o seu trabalho sobre problemas de máximos e mínimos como o mais abrangente de todos os seus traba-
lhos em matemática. Este trabalho, que Lagrange desenvolveu durante toda sua longa carreira científica, remonta a uma 
carta que escreveu, de Turim, a Euler, quando tinha apenas 19 anos. Nesta carta, esboçava uma nova abordagem a certa 
classe de problemas de otimização que incluíam o cálculo das variações. Exemplo típico é o problema do isoperímetro, ou 
seja, da determinação da curva de comprimento dado (fixo) que delimita uma região plana de área máxima. (Resposta: um 
círculo.) Na Mécanique Analytique, Lagrange aplica o seu "método dos multiplicadores" à pesquisa do movimento de uma 
partícula no espaço sujeita a se deslocar em uma supe,fície definida por uma equação da forma 
g(x,y, z) = O. 
Na Seção 14.9, aplica-se o método dos multiplicadores de Lagrange ao problema de maximização ou minimização de uma 
funçãof(x, y, z) sujeita a um "vínculo " daforma 
g(x,y,z) = O. 
Hoje, este método tem aplicações que vão desde a minimização do combustível necessário para que uma aeronave percorra 
determinado trajeto até a maximização da produtividade de uma empresa comercial limitada pela disponibilidade de recur-
sos financeiros, naturais e de pessoal. 
O A visualização científica moderna costuma empregar técnicas gráficas de computação para apresentar, simultaneamen-
te, diferentes interpretações dos mesmos dados em uma única figura. O gráfico do MATLAB 4.0 mostra, simultaneamente, o 
mapa bidimensional de uma supe,fície 
z = f(x,y) 
e o mapa de contorno da mesma, codificado embaixo. Na Seção 14.5 ver-se-á como localizar pontos de máximo ou mínimo 
em várias variáveis, como os desta supe,fície. 
(Imagem criada em MATLAB, cortes ia da MathWorks. Inc. , Nat ick , MA.) 
14.1 
Introdução 
Fig. 14.1.1 A caixa cujo custo total 
se quer minimizar. 
14.2 
Funções de Várias 
Variáveis 
2 
O foco da atenção, aqui e nos Caps. 15 e 16, será no cálculo das funções de mais de 
uma variável. Muitas funções da vida real dependem de duas ou mai s variáveis, como: 
O Na química física, a lei dos gases ideais pV = nRT (onde n e R são constantes) per-
mite expressar qualquer uma das variáveis p, V e T como função das outras duas. 
O A altitude acima do nível do mar em determinado ponto da supe1fície da Terra de-
pende da latitude e da longitude do lugar. 
O O lucro de um industrial depende das vendas, do custo de administração, do custo 
de cada matéria-prima e, em alguns casos, de variáveis adicionais. 
O A quantidade de energia utilizável que um painel solar pode captar depende de sua 
eficiência, do séu ângulo de inclinação em relação aos raios solares , do ângulo de 
elevação do Sol acima do horizonte, e outros fatores. 
Uma aplicação típica pode exigir que se determine um valor extremo de uma fun-
ção de várias variáveis. Suponha-se, por exemplo, que se deseje minimizar o custo de 
fabricação de uma caixa retangular com 48 ft3 de volume, dado que as partes dianteira 
e traseira custam $1/ft2, a tampa e o fundo custam $2/ft2e as duas extremidades custam 
$3/ft2. A Fig. 14.1.1 ilustra essa caixa, com comprimento x, largura y e altura z. Sob as 
condições dadas, seu custo total será 
C = 2xz + 4xy + 6yz (dólares) . 
Mas x, y, z não são variáveis independentes, porque a caixa tem um volume fixo 
V= xyz = 48. 
Elimina-se z, por exemplo, na primeira fórmula, utilizando-se a segunda; como z = 
48/(xy), o custo que se deseja minimizar é dado por 
288 96 
C = 4xy + - + -. 
X y 
Como nenhuma das variáveis x e y pode ser expressa em termos da outra, não se pode 
aplicar aqui as técnicas de máximo e mínimo de uma variável do Cap. 3. São necessá-
rias novas técnicas de otimização aplicáveis a funções de duas ou mais variáveis inde-
pendentes. Volta-se a este problema na Seção 14.5. 
O problema de otimização é apenas um exemplo. Ver-se-á neste capítulo que todos 
os principais tópicos do cálculo diferencial de uma variável- limites, derivadas e taxas 
de variação, cálculos pela regra da cadeia e técnicas de máximo e mínimo - podem 
ser generalizados para funções de duas ou mais variáveis. 
Recorde-se, da Seção 1.1, que umafanção com valores reais é uma regra, ou corres-
pondência!, que associa um número real único a cada elemento de um conjunto D. O 
conjunto D é chamado domínio de definição da função f O domínio D tem sido um 
subconjunto da reta real para as funções de uma única variável estudadas até aqui. Se 
D é um subconjunto do plano, então fé uma função de duas variáveis - porque, dado 
um ponto P de D, naturalmente se associam a P suas coordenadas retangulares (x, y). 
Definição Funções de Duas ou Três Variáveis 
Uma função de duas variáveis, definida no domínio D no plano, é uma regraf 
que associa a cada ponto (x, y) de D um número real, denotado porf(x, y). Uma 
Cap. 14 / Diferenc iação Parcia l 
· · 1'ntção de. três. va~v~~}~Íiv!~ª ~-O doJJi!l,l(♦ 
associa a cada pontoi(X;.·J'llt)eí,tf P um nútn . 
, ·:::.: -"S'\<',r?,·i 
Em geral, define-se uma função f de duas ( ou três) variáveis dando-se uma fórmula 
que especifiqueflx, y) em termos de x e y (ouflx, y, z) em termos de x, y, z). Caso o 
domínio D não seja indicado explicitamente, toma-se como D o conjunto de todos os 
pontos para os quais a fórmula dada tem sentido. 
EXEMPLO 1 O domínio da funçãofdada porflx, y) = -J25- x 2 - y 2 é o conjunto 
de todos os (x, y) tais que 25 - x2 - y2 ~ O - isto é, o disco circular x2 + y2 < 25 de 
raio 5 centrado na origem. Analogamente, a função g definida por 
x+y+z 
g(x, Y, z) = v' 2 2 2 
X + y + Z 
é definida em todos os pontos do espaço onde x2 + y2 + z2 > O. Assim, seu domínio 
consiste em todos os pontos do espaço tridimensional R3 com exceção da origem. 
EXEMPLO 2 Ache o domínio de definição da função cuja fórmula é 
f(x, y) = Y 
Vx-y2 (1) 
Ache também os pontos (x, y) em que flx, y) = ± 1. 
Solução Para queflx, y) seja definida, é preciso que o radicando x - y2 seja positivo 
- isto é, y2 < x. Logo, o domínio de fé o conjunto de pontos que estão estritamente à 
x direita da parábola x = y2. Este domínio aparece sombreado na Fig. 14.2.1. A parábola 
na figura aparece pontilhada, para indicar que ela não está incluída no domínio de f, 
qualquer ponto para o qual x = y2 acarretaria divisão por zero na Eq. (1). 
A função flx, y) tem o valor ± 1 onde quer que 
y = +}· 
Vx - y2 - ' 
Fig. 14.2.1 O domínio def(x, y) = R (Exemplo 2). 
2 
isto é, quando y- = x - y-, ou seja, x = 2y-. Assim,flx, y) = + 1 ouflx, y) = -1 em cada 
ponto da parábola x = 2y- [ diferente do vértice (0, 0), que não está incluído no domínio de 
j]. A parábola é apresentada na Fig. 14.2.1 como uma curva em traço contínuo. 
Em uma situação geométrica, física ou econômica, uma função resulta, em geral, 
do fato de se expressar uma variável descritiva em termos de outras. Como se viu na 
Seção 14.1, o custo C da caixa era dado pela fórmula 
288 96 
C=4xy+-+-
x y 
em termos do comprimento x e da largura y da caixa. O valor C desta função é uma 
variável que depende dos valores de x e y. Logo, chama-se C uma variável dependen-
te, enquanto x e y são variáveis independentes. E se a temperatura T no ponto (x, y, z) 
do espaço é dada por alguma fórmula T = h(x, y, z), então a variável dependente T é 
uma função das três variáveis independentes x, y e z. 
Pode-se definir uma função de quatro ou mais variáveis dando-se uma fórmula que 
inclua o número adequado de variáveis independentes. Por exemplo, se certa quanti-
dade A de caloré liberada na origem, no espaço, no instante t = O em um meio com 
SEÇÃO 14.2 / Funções de Várias Variáveis 3 
z (x, y,f(x, y)) 
X 
(x, y, 0) 
Fig. 14.2.2 O gráfico de uma função 
de duas variáveis é quase sempre uma 
superfície "sobre" o domínio da fun-
ção. 
X 
)' 
;x 
Fig. 14.2.3 O parabolóide é (parte de) 
o gráfico da função ftx, y) = x2 + y2. 
)' 
Fig. 14.2.4 A metade superior de um 
elipsóide é o gráfico de uma função de 
duas variáveis . · 
nível Y 
){ 
Fig. ]4.2.5 Uma curva de contorno e 
a curva de nível correspondente. 
4 
difusividade térmica k, então- sob condições adequadas - a temperatura T no ponto 
(x, y, z) no instante t > O é dada por 
A ( x2 + y2 + z2) 
T(x, y, z, t) = (41rkt)Jf2 exp - 4kt . 
Esta fórmula dá a temperatura Tcomo função das quatro vaiiáveis independentes x, Y; z e t. 
Ver-se-á que as principais diferenças entre o cálculo de uma variável e o ca!culo 
multi variado já aparecem quando apenas duas variávei s independentes estão em JO~~-
Assim, a maioria dos resultados será enunciada em termos de fun ções de duas vana-
veis. Muitos desses resultados se generalizam imediatamente por analogia, para O caso 
de três ou mais variáveis independentes. 
GRÁFICOS E CURVAS DE NÍVEL 
Com auxílio de seu gráfico pode-se visualizar como uma função J de duas variáveis x 
e y "funciona". O gráfico def é o gráfico da equação z = j(x, y) . Assim, o gráfico def 
é o conjunto de todos os pontos do espaço com coordenadas (x, y, z) que satisfazem ª 
equação z = j(x, y) (Fig. 14.2.2). , . 
Vários exemplos de tais gráficos foram vistos no Cap. 13. Por exemplo, o gráfic,o 
da funçãof(x, y) = x2 + y2 é o parabolóide z = x2 + y 2 mostrado na Fig. 14.2.3. O gra-
fico da função 
éametadesuperiordoelipsóidedeequação x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1 (Fig. 14.2.4). Em 
geral, o gráfico de uma função de duas variáveis é uma superfície que está acima, ou 
abaixo, ou acima e abaixo de seu domínio D no plano xy. 
A interseção do plano horizontal z = k com a superfície z = J(x, y) é chamada curva 
de contorno de altura k na superfície (Fig. 14.2.5). A projeção vertical, no pJan°/Yj 
desta curva de contorno é a curva de nívelj(x, y) = k da função f As curvas de mve 
defsão simplesmente os conjuntos em que o valor def é constante. Em um mapa topo-
Fig. 14.2.6 A área em redor de Mt. Rainier, Washington , com curvas de níve l a inte rvalos de 400 ft. 
Cap. 14 / Dife re nciação Parcial 
J 
y 
Fig. 14.2.9 Curvas de nível de flx, y ) = 
25-x 2 - y 2 (Exemplo 3). 
z 
Pés 
_./'-----------.--400 
--------~ ---71300 
_><----+- 200 
.>..-------l-100 
o 
z =O 
y 
Fig. 14.2.7 Curvas de contorno e curvas de nível Fig. 14.2.8 Curvas de contorno em z = 25 - x2 - y2 
de uma colina. (Exemplo 3). 
gráfico, como o da Fig. 14.2.6, as curvas de nível são curvas de altura constante acima 
do nível do mar. 
As curvas de nível dão uma maneira bidimensional de representar uma superfície 
tridimensional z = f(x, y), precisamente como o mapa da Fig. 14.2.6 representa uma 
montanha tridimensional. Para tanto, traçam-se curvas de nível típicas de z = f (x, y) no 
plano .xy, rotulando-se cada uma com o correspondente valor (constante) de z. A Fig. 
14.2.7 ilustra o processo para uma colina simples. 
EXEMPLO 3 A Fig. 14.2.8 mostra algumas curvas de contorno típicas do parabo-
lóide z = 25 - x2 - y 2 • A Fig. 14.2.9 mostra as curvas de nível correspondentes. 
~ ·r 
EXEMPLO 4 A Fig. 14.2.1 O mostra curvas de contorno no parabolóide hiperbólico 
z = y 2 - x2 . A Fig. 14.2.11 mostra as curvas de nível correspondentes da funçãof(x, y) 
= y 2 - x2 . Se z = k > O, y 2 - x2 = k é uma hipérbole que se abre ao longo do eixo y; 
se k < O, a hipérbole se abre ao longo do eixo x . A curva de nível para a qual k = O 
consiste nas duas retas y = x e y = - x. 
O gráfico de uma função j(x, y, z) de três variáveis não pode ser traçado em três di-
mensões, mas podem-se visualizar prontamente suas superfícies de nível da formaf(x, 
y 
Fig. 14.2.10 Curvas de contorno em z = y 2 - x2 
(Exempl o 4). 
y 
X 
Fig. 14.2.11 C urvas de nível de flx, y) = y 2 - x2 
(Exemplo 4) . 
SEÇÃO 14 .2 / Fu nções de Várias Yar·iáveis 5 
6 
prev istos de elevada 
polui ção do ar 
Total de dias 
Over 70 
60-70 
50-60 
40-50 
30-40 
20-30 
10-20 
0-10 
Fig. 14.2.12 Dias de previsão de alta poluição do ar nos Estados Unidos (de National Atlas of the United 
States, U.S. Department of the Interior, 1970). 
y, z) = k. Por exemplo, as superfícies de nível da função f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 são 
esferas centradas na origem. Assim, as superfícies de nível de f são os conjuntos do 
espaço onde o valor de f(x, y, z) é constante. 
Se a funçãof dá a temperatura no local (x, y) ou (x, y, z), então suas curvas ou super-
fícies de nível são chamadas isotermas. Um mapa meteorológico apresenta curvas de 
nível da pressão atmosférica ao nível do solo; são as isóbaras. Mesmo que se possa 
construir o gráfico de uma função de duas variáveis, tal gráfico pode ser tão complica-
do que obscurece a informação sobre a função (ou sobre a situação que descreve). Não 
raro as curvas de nível, por si mesmas, dão mais informação, tal como no caso de mapas 
meteorológicos. Por exemplo, a Fig. 14.2.12 mostra curvas de nível para os números 
de dias, por ano, de previsão de alta poluição em diversas localidades dos EUA. A escala 
desta figura não exibe variações locais causadas por cidades isoladas. Mas um simples 
olhar indica que o Colorado ocidental, a Georgia do sul e o centro de Illinois, todos 
esperam o mesmo número (10, no caso) de dias de elevada poluição cada ano. 
EXEMPLO 5 A Fig. 14.2.13 mostra algumas curvas de nível da função 
f(x, y, z) = x2 + y2 - z2_ (2) 
Se k > O, o gráfico de x2 + y2 - z2 = k é um hiperbolóide de uma folha; e se k < O, é um 
hiperbolóide de duas folhas. O cone x2 + y2 - z2 = O está entre esses dois tipos de hiper-
bolóide. 
z 
y 
Fig. 14.2.13 Algumas superfícies de níve l da fun ção w = 
fl.x, y, z) = x2 + y 2 - z2 (Exemplo 5) . 
Cap. 14 / Diferenc iação Parcial 
Fig. 14.2.16 Interseção de z = ftx, y ) 
com o plano y = y0 (Exemplo 7). 
z 
z 
r 
Fig. 14.2.14 A curva z = sen r (Exemplo 6) . Fig.142.15 A superficie "chapéu" z = sen V x 2 + y 2 
(Exemplo 6). 
EXEMPLO 6 A superfície 
z = senYx 2 + y 2 (3) 
é simétrica em relação ao eixo z, porque a Eq. 3 se reduz à equação z = sen r (Fig. 
14.2.14) em termos da coordenada radial r = x 2 + y 2 que mede a distância perpen-
dicular ao eixo z . A supeifície z = sen ré gerada pela revolução da curva z = sen x em 
torno do eixo z_ Daí, suas curvas de nível são círculos centrados na origem no plano .xy. 
Por exemplo, z = O ser é um múltiplo inteiro de n, e z = ± 1 ser é um múltiplo ímpar 
de w2. A Fig. 14.2.15 mostra traços desta superfície em planos paralelos ao plano yz. 
O "efeito chapéu" foi conseguido marcando (x, y, z) para os pontos (x, y) que estão no 
interior de uma certa elipse no plano .xy. 
Dada uma função arbitráriaf(x, y), a construção de um gráfico da superfície z = f(x, 
y) pode constituir um desafio. O Exemplo 7 ilustra algumas técnicas especiais. Outras 
técnicas aparecerão no restante deste capítulo. 
EXEMPLO 7 Estude o gráfico da função 
f ( ) _ 3 2 + 1 3 1 4 2 x,y - 4Y 2'i"Y - TIY - X · (4) 
Solução A característica-chave na Eq. (4) é que o segundo membro é a soma de uma 
função de x e uma função de y . Assumindo x = O, obtém-se a curva 
(5) 
conforme a qual a superfície z = f(x, y) intercepta o plano yz. Mas, assumindo y = Yo 
na Eq. (4), obtém-se 
isto é, 
z = k - x2, (6) 
que é a equação de uma parábola no plano xz. Logo, o traço de z = f(x, y) em cada 
plano y = y0 é uma parábola com a forma da Eq. (6) (Fig. 14.2.16). 
Pode-se utilizar as técnicas da Seção 4 .5 para esboçar a curva da Eq. (5) . Calculan-
do a derivada de z em relação a y, obtém-se 
dz 3 1 ? 1 3 - = - y + -y- - - y = 
dy 2 8 8 
_! y(y 2 - y - 12) 
8 
1 
- 8y(y + 3)(y - 4) . 
SEÇÃO 14.2 / Funções de Vári as Vari áveis 7 
y 
Fig. 14.2.17 A curva z = ¾ y2 +Fig. 14.2.18 Parábolas-traço de z = ft.x, y) (Exem- Fig. 14.2.19 Curvas de conto rn o e m z = fl._x, y ) 
(Exempl o 7). f.- y3 - fi-y" (Exemplo 7). pio 7). 
8 
Logo, os pontos críticos são y = -3, y = O e y = 4. Os valores correspondentes de~z 
sãof(0, -3)"" 3,09,f(0, O)= O ef(0, 4) = 6,67 . Como z ➔ - oo quando y ➔ :±: 00, ve-
se que o gráfico da Eq. (5) tem a aparência da Fig. 14.2.17. 
Pode-se agora ver com que se parece a superfície z = f (x, y ). Cada plano vertical Y 
= y0 intercepta a curva da Eq. (5) em um único ponto, e este ponto é o vértice de uma 
parábola que se abre para baixo como a da Eq. (6); esta parábola é a interseção d~ p_la-
no com a superfície. Assim, a superfície z = f(x, y) é gerada transladando-se o vertice 
dessa parábola ao longo da curva 
conforme indicado na Fig. 14.2.18. 
A Fig. 14.2.19 mostra algumas curvas de contorno típicas desta superfície. Elas mos-
tram que a superfície se assemelha a dois picos separados por um caminho de monta-
nha. Para conferir esta figura, programa-se um microcomputador para grafar curvas de 
nível típicas da funçãof(x, y). A Fig. 14.2.20 mostra o resultado. As curvas de nível em 
y z=-3 
z=-1,S 
z=0,0 
z= 1,5 
z=3,0 
z=4,S 
z=6,0 
X 
Fig. 14.2.20 Curvas de nível da fun ção ft.x, y) = ¾ y2 + i.f y 3 - 1:f y 4 - x 2 (Exe mplo 7 ). 
Cap . 14 / Dife renc iação Parc ia l 
torno dos pontos (O, - 3) e (O, 4) indicam os máximos locais de z = f(x, y ). A curva de 
nível em forma de "oito" que passa por (O, O) assinala o ponto de sela que se vê nas 
Figs. 14.2.18 e 14.2.19. Nas Seções 14.5 e 14.10 estudam-se os extremos locais e os 
pontos de sela de funções de duas variáveis. 
14.2 Problemas 
Nos Problemas 1 a 10, indique o domínio de definição máximo 
possível da função f dada. 
l. f(x, y) = exp(-x 2 - y 2) (Fig. 14.2.21) 
Fig. 14.2.21 Gráfico da função do Problema 1. 
2. J(x, y) = ln(x 2 - y 2 - 1) 
x+y 
3. J(x, y) = -- 4. f(x, y) = Y4 - x 2 - y 2 
x-y 
I + senxy 
5. J(x, y) = ------'-
xy 
1 + senxy 
6. J(x, y) = x 2 + y 2 (Fig. 14.2.22) 
Fig. 14.2.22 Gráfico da função do Problema 6 . 
7/ zy I • (x, y) = , , 8. f(x, y, z) = ------;::==== 
x - - y- -Vz _ x2 _ Y2 
9. f (x, y, z) = exp( , \ 2 ) x· + r + z 
10. f (x, y, z) = ln(xyz) 
Nos Problemas 11 a 20, descreva o gráfico da função f 
11. f(x , y) = 10 12. f (X , y) = X 
13, f (x, y) = X + y ~--14. f (x , y ) = V x 2 + y 2 
SEÇÃO 14.2 / Funções de Várias Vari áveis 
15. f(x, y) = x 2 + y 2 16. f (x, y) = 4 - x 2 - y 2 
17. f (x, y) = V 4 - x 2 - y 2 
18. f(x, y) = 16 - y 2 
19. f(x, y) = 10 - V~x-2 _+_y_2 
20. f(x, y) = - Y36 - 4x 2 - 9y 2 
Nos Problemas 21 a 30, esboce algumas curvas de nível típicas 
dafunçãof 
21. f (X, y) = X - y 
23. f (x, y) = x 2 + 4y 2 
22. f (x, y) = x 2 - Y 2 
24. f (x, y) = Y - x 2 
25. f(x, y) = y - x 3 26. f(x, y) = y - cos x 
27. f (x, y) = x 2 + y 2 - 4x 
28. f (x, y) = x 2 + y 2 - 6x + 4y + 7 
29. f(x, y) = exp(- x 2 - y 2) 
1 
30. f (x, y) = 1 + x2 + y2 
Nos Problemas 31 a 36, descreva as superfícies de nível da função f 
31. f (x. y, z) = x 2 + y 2 - z 
32. f(x , y, z) = z + -Vx 2 + Y 2 
33. f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 - 4x - 2y - 6z 
34. f (x, y, z) = z 2 - x 2 - Y 2 
35.f(x, y, z) = x 2 + 4y 2 - 4x - 8y + 17 
36. f (x, y, z) = x 2 + z 2 + 25 
Nos Problemas 37 a 40, afunçãof(x, y) é a soma de uma função 
de x e uma função de y. Logo, é possível utilizar o método do 
Exemplo 7 para construir um esboço da superfície z = fix, y ) . 
Associe cada função ao seu gráfico nas Figs. 14.2.23 a 14.2.26. 
37. f (x, y) = y 3 - x 2 38. f (x, y) = y 4 + x 2 
39. f (x, y) = y• - 2y 2 + x 2 
40. f (x, y) = 2y 3 - 3y 2 - 12y + x 2 
\ 
Fig. 14.2.23 Fig. 14.2.24 
9 
Fig. 14.2.25 Fig. 14.2.26 
41. As Figs. 14.2.27 a 14.2.32 mostram os gráficos de seis fun-
ções z = f(x, y). As Figs. 14.2.33 a 14.2.38 mostram curvas de 
nível das mesmas seis funções , mas não na mesma ordem. As 
curvas de nível em cada figura correspondem a contornos em 
alturas igualmente espaçadas na superfície z = f(x, y) . Associe 
cada superfície a suas curvas de nível. 
Fig. 14.2.27 
1 
z = , 2 , lxl â 2, lyl â 2 1 + x- + y 
Fig. 14.2.29 z = cos.Jxi + yi, 
lxl â 10, lyl â 10 
Fig. 14.2.31 z = 3(x2 + 3y2) x 
exp( - x2 -y2), lxl â 2,5, lyl â 2,5 
10 
Fig.14.2.28 z = rexp(-r)cos2(36Y2), 
lx l â 3, lyl â 3 
Fig. 14.2.30 z = x exp(-x2 - y2), 
lxl â 2, lyl â 2 
z 
/','' {/' 
•{~:•,~I~ {:\ 
".,'f:!;,;I 
~jl X 
Fig. 14.2.32 z = xy exp( -½(x2 + 
y2)), lx l â 3,5, ly l â 3,5 
2 
>, o 
-2 
>, o 
-1 
-2 o 
X 
Fig. 14.2.33 
2 
-2 L------::-~--::----::2 
-2 -1 O 1 
8 
4 
>, o 
-4 
X 
Fig. 14.2.34 
-2 L___...._::,,,,___,,,~~--: 
-2 -1 O 2 
X 
o 
X 
Fig. 14.2.35 Fig. 14.2.36 
2 
>, o 
-2 
-2 O 2 
X 
Fig. 14.2.37 
>, o 
-1 
-2_L2----1~~0----:l:---""""-:'.2 
X 
Fig. 14.2.38 
Cap. 14 / Diferenciação Parcial 
14.2 Projeto ~ ============::::::::::::::::::::::::::;;;;;:;:::::::::::::E:.:::::::::::::::::::::::::::::::::::~~~=~~~~me~,. 
Fig. 14.2.39 Comandos para gerar 
gráficos tridimensionais em sistemas 
comuns. 
14.3 
Limites e 
Continuidade 
SEÇÃO 14.3 / Limites e Continuidade 
O ato de traçar superfícies com auxílio de um programa gráfico de computador pode 
ajudar a desenvolver uma "intuição" a respeito de gráficos de funções de duas variá-
veis. A Fig. 14.2.39 relaciona comandos adequados, em vários sistemas comuns de 
computador, para esboçar o gráfico da superfície z = f(x, y) sobre o retângulo base 
a ~ x ~ b, e ~ y ~ d. Para começar, esboce o gráfico de algumas das funções seguin-
tes sobre retângulos de vários tamanhos, para ver como a escala afeta a figura. 
J (x, y) = p cos qx 
f (x, y) = p cos qy 
J(x, y) = sen px sen qy 
J (x, y) = p + qx 2 } 
f(x, y) = p + qy2 
J (x, y) = pxi + qy2 
(Use valores negativos e 
positivos de p e q nestes 
três exemplos.) 
f (x, y) = px 2 + qxy + ry 2 
f (x, y) = exp(- px 2 - qy 2) 
f (x, y) = (px 2 + qxy + ry 2) exp(- x2 - y 2) 
Da mesma forma, varie os parâmetros numéricos p, q e reobserve as alterações resul-
tantes no gráfico. Invente então algumas funções por si próprio para experimentar. Se 
dispuser de um computador com impressora anexa, monte um catálogo de seus exem-
plos mais interessantes. 
Sistema 
Derive 
Maple 
Mathematica 
X(PLORE) 
Comando 
Author f(x.y) Plot Plot 
Use Length and Center to set rectangle 
plot3d( f(x,y), x = a . . b, y = c .. d 
Plot3D[ f[x ,y]. {x,a,b}. {y,c,d} 
graph3d( f(x,y), x =ato b, y = e to d ) 
Precisa-se de limites de funções de várias variáveis pelas mesmas razões que detenni-
naram a necessidade de limites de funções de uma única variável - de modo que se possa 
então discutir coeficientes angulares e taxas de variação no caso multivariado. Tanto a 
definição como as propriedades básicas de limites de funções de várias vaiiáveis são es-
sencialmente as mesmas que as apresentadas na Seção 2.2 para funções de urna variável. 
Para simplificar, serão aqui enunciadas apenas para funções de duas variáveis x e y; para 
uma função de três variáveis, basta substituir o par (x, y ) pelo temo (x, y, z). 
Para uma função f de duas variáveis, pergunta-se para que valor (se existir) f (x, y) 
tende quando (x, y) tende pma o ponto fixo (a, b) no plano coordenado. Para uma fun -
ção f de três variáveis, a pergunta é: para que valor (se existir) o valor f(x, y, z) tende 
quando (x, y, z) tende para o ponto fixo (a, b, e) no espaço. 
EXEMPLO 1 Os dados numéricos da tabela da Fig. 14.3. l sugerem que o valor da 
função f(x , y ) = xy tende para 6 quando x ➔ 2 e y ➔ 3 simultaneamente - isto é, 
quando (x , y ) tende para o ponto (2, 3). É natural, pois, escrever-se 
11 
Fig. 14.3.1 Dados numéricos do 
Exemplo 1. 
y 
(a. b) 
• 
l 
28 
~ l 
1--28 -----l 
X 
Fig. 14.3.2 O quadrado lx - ai< 8, ly 
- bl < 8. 
12 
X 
2,2 
1,98 
2,002 
1,9998 
2,00002 
1,99999 8 
! 
2 
y 
2,5 
3,05 
2,995 
3,0005 
2,99995 
3,000005 
! 
3 
f(x, y) = xy 
(arredondado) 
5,50000 
6,03900 
5,99599 
6,00040 
5,99996 
6,00000 
t 
6 
lim xy = 6. 
(x,y)-(2.3)A idéia intuitiva de limite de uma função de duas variáveis é a seguinte : Diz-se que 
o número L é o limite da função f(x, y) quando (x, y) tende para o ponto (a, b ), e escre-
ve-se 
lim f(x, y) = L, 
(x,y)-(a,b) 
(1) 
se o númerof(x, y) fica arbitrariamente próximo de L, desde que se escolha o ponto (x, 
y) suficientemente próximo do ponto (a, b) - mas não igual a ele. 
Para tornar precisa esta idéia intuitiva, deve-se especificar quão próximo de L -
dentro da distância E > O, digamos- se quer quef(x, y) esteja, e então quão próximo 
de (a, b) o ponto (x, y) conseqüentemente deve estar. Considera-se o ponto (x, y) como 
próximo de (a, b) desde que ele esteja dentro de um pequeno quadrado (Fig. 14.3.2) 
com centro no ponto (a, b) e lado de comprimento 28, onde 8 é um número positivo 
pequeno. O ponto (x, y) está dentro desse quadrado se, e somente se, 
lx-al <8 e I y - bl < 8. (2) 
simultaneamente. Esta observação serve como motivação para a definição formal , com 
duas condições adicionais. Primeiro, define-se o limite def(x, y) quando (x, y) ~ (a, b) 
somente sob a condição de que o domínio de definição def contenha pontos (x, y)-::/:- (a, 
b) que estejam arbitrariamente próximos de (a, b) - isto é, dentro de qualquer qua-
drado do tipo mostrado na Fig. 14.3.2 e, assim, a menos de toda e qualquer distância 
prefixada de (a, b). Logo, não se fala do limite def em um ponto isolado do seu domí-
nio D. Finalmente, não se exige quef seja definida no próprio ponto (a , b). Logo, de-
liberadamente exclui-se a possibilidade (x, y) = (a, b). 
Definição O Limite de f(x, y) 
Diz-se que o limite de/(x, y) quando (x, y) tende para (a, b) é L se, para todo 
número E > O, existe um número 8 > O com a seguinte pxopriedade: Se (x, y) é 
um ponto do domínio de f distinto de (a, b) tal que, simultaneamente, 
1 X - ai < Ô e I y - bl < ô, (2) 
então decon-e que 
1 f(x, y) - L 1 < E. (3) 
Cap. 14 / Diferenciação Parcial 
f(.x. y) = I, 
g(.x.y)= 1 
y 
(1, O) 
X 
Fig. 14.3.3 O di sco circular do Exem-
plo 2. 
SEÇÃO 14.3 / Limites e Continuidade 
Em geral, apela-se para a continuidade, e não para a definição formal de limite, para 
calcular limites de funções de várias variáveis. Diz-se quefé contínua no ponto (a, b) 
sej(a, b) existe efix, y) tende paraf(a, b) quando (x, y ) tende para (a, b). Isto é, 
lim J(x, y) = f(a, b). 
' (x,y)-(o. b) 
Assim,f é contínua em (a, b) se é definida aí, e se seu limite em (a, b) é igual ao seu 
valor aí, precisamente como no caso de uma função de uma variável. Diz-se que a fun-
ção fé contínua no conjunto D se é contínua em cada ponto de D, exatamente como 
no caso de uma variável. 
EXEMPLO 2 Seja D o disco circular consistindo nos pontos (x, y) tais que x 2 + y2 
~ 1, e sejaf(x, y) = 1 em cada ponto de D (Fig. 14.3.3). Então, o limite def(x, y) em 
cada ponto de D é 1, de modo que fé contínua em D. Defina-se, entretanto, a nova 
função em todo o plano R2 como se segue: 
( ) _ {f(x, y) g X, y - Ü 
se(x, y) está em D; 
ern caso contrário. 
Então g não é contínua em R2 . Por exemplo, o limite de g(x, y) quando (x, y) ➔ (1, O) 
não existe, porque existem não só pontos interiores a D arbitrariamente próximos de 
(1 , O), onde g tem o valor 1, como pontos exteriores arbitrariamente próximos de (1 , 
0), em que g tem o valor O. Assim, g(x, y) não pode tender para qualquer valor único 
quando (x, y ) ➔ (1, O) . E como g não tem limite em (1 , 0), não pode ser contínua ali. 
As lei s dos limites da Seção 2.2 têm análogas naturais para funções de várias variá-
veis. Se 
lim f(x, y) = L 
(x. y)->(a, b) 
e lim g(x, y) = M, 
(x,y) ->(a,b) 
então as leis da soma, do produto e do quociente para limites são: 
lim [f(x, y) + g(x , y) ] = L + M, 
(x. y)->(a . b) 
lim [f(x, y) • g(x, y) ] = L · M e 
(x. y)->(a,b ) 
lim f( x, y) = f.. seM * O. 
(x, y)->(a, b)g(x, y) M 
EXEMPLO 3 Mostre que lim xy = ab. 
(x, y )-->( a ,b) 
(4) 
(5) 
(6) 
(7 ) 
Solução Toma.m-sefix, y) = x e g(x, y ) = y . Decorre então da definição de limite que 
lim J(x, y) = a 
(x, y)->(a. b) 
e lim g(x, y) = b. 
(x. y)-(a.b) 
Logo, a lei do produto dá 
lim xy = lim J(x, y) g(x, y) 
(x , y)->(a . b) (x, y)->(a. b) 
= [(x .. ~~~a.b/(x, y)] [ (x .H~!a.b) g(x, y) ] = ab. 
De modo mais geral, suponha-se que P(x, y ) seja um polinômio nas duas variáveis 
x e y, podendo, pois, escrever-se na forma 
13 
14 
P(x, y) = ~ Cijx;yi. 
Então, as leis da soma e do produto implicam que 
lim P(x, y) = P(a, b}. 
(.r,y)-o(a,b) 
Uma conseqüência imediata, mas importante, é que todo polinômio em duas ( ou mais) 
variáveis é uma função contínua. 
Tal como no caso de uma única variável, qualquer composição de funções contínu-
as de várias variáveis é ainda uma função contínua. Por exemplo, suponha-se que as 
funções/e g sejam ambas contínuas em (a, b) e que h seja contínua no ponto (J{a, b), 
g(a, b)). Então, a função composta 
H(x, y) = h(j(x, y}, g(x, y}} 
também é contínua em (a, b). Como conseqüência, qualquer combinação finita que en-
volva somas, produtos, quocientes e composições das funções elementares conheci-
das é contínua, com possível exceção de pontos onde um denominador se anule, ou 
onde a fórmula da função por algum motivo não tenha sentido. Esta regra geral é sufi-
ciente para o cálculo da maioria dos limites que se encontra. 
EXEMPLO 4 Com a aplicação das leis dos limites, obtém-se 
lim [e.ry sen TTY + xy ln~] 
(.r,y)-o(l,2) 4 
= lim e .. Y sen TTY + lim xy ln~ 
(.r,y)-o(l,2) 4 (.r,y)-o(l,2) 
= C .. }~h.2i e-'>')C..)~'i.2>sen 7) + CJ~.2> xy)C .. .!~1.2> ln~) 
= e2 • 1 + 2 ln 1 = e2• 
Os Exemplos 5 e 6 ilustram técnicas que, às vezes, se revelam eficientes ao se lidar 
com casos em que denominadores tendam para zero. 
lim xy =O 
EXEMPLO 5 Mostre que <.r,y>-<o,o> V x2 + y2 • 
Solução Sejam (r, U) as coordenadas polares do ponto (x, y). Então, x = r cos 8 e y = 
r sen 8. Assim, 
xy (r cos 8}(r sen 8) 8 8 ""."""'i=i==~ = = r cos sen 
V x2 + y2 V r 2(cos2 8 + sen2 8) 
parar> O. 
Como r = .J x2 + y2 é claro quer➔ O quando x e y tendem conjuntamente para zero. 
Decorre, portanto, que 
lim xy = lim r cos 8 sen 8 = O, 
.(.r,y)➔(o,o> V x2 + y2 ,-o 
porque lcos (J sen 81 ;ãí 1 para todos os valores de 0. 
EXEMPLO 6 Mostre que 
1. xy 
llll 2 2 
(.r,y)-(0,0) X + y 
Cap. 14 / Diferenciação Parcial 
'4 
y 
y 
Fig. 14.3.4 A função f do Exemplo 6 
toma ambos os valores + + e - + em 
pontos arbitrariamente próximos da 
origem. 
0,5 
o z 
Fig. 14.3.5 O gráfic o de f(x , y) = 
xy (Exemplo 6). 
xi + yz 
14.3 Problemas 
não existe. 
Solução O objetivo é mostrar quef(x, y) = xyl(x 2 + y 2) tende para diferentes valores 
quando (x, y) tende para (0, O) por diferentes caminhos. Suponha-se que (x, y) tenda 
para (0, 0) ao longo da reta de coeficiente angular m pela origem. Sobre esta reta, tem-
se y = 111.x e, assim, 
X ·111.X 111. 
f(x, y) = 2 + 2 , = 1 + 2 x m x- m 
se x ± O. Assumindo m = l , vê-se que f(x, y) = ½ em todo ponto da reta y = x que não 
(O, 0). Assumindo 111. = -1, entãof(x, y) = - ½ em todo ponto da reta y = - x diferente 
de (0, O). Assim, fix, y) tende para dois valores diferentes quando (x, y) tende para (O, 
O) ao longo daquelas duas retas (Fig. 14.3.4). Logo,f(x, y) não pode tender para ne-
nhum valor único quando (x, y) tende para (O, O), e isto implica que o limite em ques-
tão não pode existir. 
A Fig. 14.3.5 mostra um gráfico gerado por computador da funçãof(x, y) = xyl(x2 
+ y 2). Consiste em raios lineares, ao longo de cada um dos quais a coordenada 0 é 
constante. Para cada número z entre - ½ e ½ (inclusive), existem raios ao longo dos 
quaisf(x, y) tem o valor constante z. Logo, pode-se fazer f(x, y) tender para qualquer 
número em [ - ½, ½], fazendo (x, y ) tender para (O, O) segundo a direção apropriada. 
Para que 
L = lim f(x , y) 
(x. y)->(a,b) 
exista, f(x, y) deve tender para L qualquer que seja a maneira como (x, y) tende para 
(a, b) . No Problema 27, dá-se um exemplo de uma funçãoftal quefix, y) ~ O quando 
(x, y) ~ (O, O) ao longode qualquer reta pela origem, masf(x, y) ~ I quando (x, y) 
tende para a origem ao longo da parábola y = x2 . Assim, o método do Exemplo 6 não 
pode ser utilizado para mostrar que determinado limite existe, e sim somente para 
mostrar que ele não existe. Felizmente, muitas aplicações importantes, inclusive as que 
serão estudadas no restante deste capítulo, envolvem apenas funções que não apresen-
tam o comportamento exótico da função do Problema 27. 
Utilize as leis dos limites e as conseqüências da continuidade 
para calcular os limites nos Problemas 1 a 15. 
xz + Y2 + 2 2 
11. lim 
(x. y. z)-(1 . 1. 1) 1 - X - y - Z 
1. lim (7 - x 2 + Sxy) 
(x. y)-(0. 0) 
2. lim (3x 2 - 4xy + 5y 2) 
(x. y)-( 1. -2) 
3. lim e- xy 
(x,y)->(1,-1 ) 
5. lim 5 - x 2 
(.,. y)-(0.0) 3 + X + y 
X + y 
4. lim 
cx.yJ-,o.o> I + xy 
9 - 2 
6. Jim l X 
(x . y)- (2 . 3) + xy 
7. lim lnV I - x 2 - y 2 
(.,. y) - (0 . 0) · 
8. 
9. 
lim ln 1 + x + 2Y 
(x . y)-(2, -1 ) 3y 2 - X 
lim 
(x, y ) ->{O.O) 
exY sen xy 
xy 
( 1 ) 10. lim exp - 2 2 
(x . y) - (0 . 0) X + y 
SEÇÃO 14.3 / Limi tes e Continuidade 
12. 
13. 
15. 
lim (x + y + z) ln xyz 
(x .y, z) -(1 . 1.1 ) 
X)' - Z X + )' + Z 
lim --- 14. lim 2 º , 
(x.y. ,) - ( 1.1.0) COS X)'Z (x. y. z)-(2. - 1. 3) X + y- + z-
~ ,- 3 7TZ 
lim vxy to -
(x . y. : )- (2 .8.1) b 4 
Nos Problemas 16 a 20, calcule os limites 
1. J(x + h, y) - J(x , y) lffi ·_c_ __ ......:...;_-'---'- e 
1, - 0 h 
r f(x , y + k) - f( x, y) 
k!To k . 
16. f (X, y) = X + Y 17. f( x, y ) = xy 
15 
r 
1 
1 
1 
1; 
jj 
1 
18. f(x, y) = x2 + y2 
20. f (x, y) = x2y 3 - 10 
19. f (x, y) = xy2 - 2 
Nos Problemas 21 a 23, utilize o método do Exemplo 5 para ve-
rificar o limite dado. 
21. lim x2 - y2 = O 22 lim x3 - y3 = O 
(x,y)-(0,0) Vx2 + y2 ° (x.y)➔(O,O) x2 + y2 
4 + 4 23.Iim X y _ 
(x.y)➔(O,O) (x2 + y2)312 - Q 
24. Aplique o método do Exemplo 6 para mostrar que 
lim x2 - y2 
(x,y)-(0,0) x2 + y2 
nãoexiste.AFig.14.3.6apresentaográficodeft..x,y) = _x_2 ---=-y_2 
x2 +y2 
Fig. 14.3,6 Gráfi x2 - y2 
ico de.f{x, y) = -- do Problema 24. 
x2 + y2 
25• Faça, na exp . 
esféricas x == P s:Cssão abaixo, a substituição por coordenadas 
mostrar que n q, cos 9, y = p sen q, sen 9, z = p cos q, para 
llin xyz _ 
1"•"-d-10.0,oi x2 + y2 + z2 - O. 
26. Determine se 
existe ou não. 
27. Seja 
). xy + xz + vz 1m · 
(x,y,z)-c0,0,0) x2 + y2 + z2 
2x 2y 
f(x, y) = 4 i. 
X + y 
(a) Mostre que ft..x, y) ➔ O quando (x, y) ➔ (0, O) ao longo de 
todaequalquerretapelaorigem. (b) Mostre queftx, y) ➔ 1 quan-
~o ~x. Y) ➔ (0, 0) ao longo da parábola y = x2. Conclua que 0 
hmite deft..x, y), quando (x, y) ➔ (0, O). não existe. A Fig. 14.3.7 
mostra o gráfico de f. 
Fig.14.3.7 Gráfico da função do Problema 27, 
28. Suponha queft..x, y) = (x - y)/(x-1 - y), exceto em pantos da 
curvay = x3, onde se defineft..x, y) = 1. Mostre que/não é contínua 
no ponto (1, 1). Calcule os limites deft..x, y) quando (x, y) ➔ (~ !) 
ao longo da reta vertical x = I e ao longo da reta horizontal Y - • 
[Sugestão: Recorde que a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + Jr).] . 
29. Localize e identifique os extremos (locais ou globais, máx•: 
mo ou mínimo) da função ft..x, y) = x2 - x + y2 + 2y + 1. [Nota. 
O interessante neste problema é que não é necessário o cálculo 
para resolvê-lo.] _ 
30. Esboce um número suficiente de curvas de nível da funçao 
h(x, y) = y - x2 para mostrar que ela não tem valores extremos 
- nem máximos nem mínimos, locais ou globais. 
14.4 
Derivadas p . . 
areia.is 
Suponha-se que y = f{x) seja uma função de uma variável real. Sua derivada primeira 
16 
dy = D,, f(x) = lim f(x + h) - f(x) 
dx h-+o h 
(1) 
pode ser interpretada como a taxa instantânea de variação de y em relação a x. Para 
uma função z = f{x, y) de duas variáveis, necessita-se de uma interpretação análoga da 
taxa à qual z varia quand~ x e y variam (isolada ou ~imul~~~e~~ente). Para s~ ch~~ar a 
este conceito mais comphcado, adota-se a estratégia do d1v1d1r para conquistar · _ 
Começa-se mantendo:y fixo e fazendo x variar. A taxa de variação de z elll relaçao 
a x é então denotada por ik/ iJx e tem o valor 
!Mf ~•·· . '1:-~~';l",~~"",~-i 
'---'---~,,,J.;:.:.,,.,,:..:.:1..,:•~-~f' ._, __ ,;,,,,,:,(_·,,,4_,, .. •·. __ . 
(2) 
Cap. 14 / Diferenciação Pareia) 
SEÇÃO 14.4 / Derivadas Parciais 
O valor deste limite - se existir- é chamado derivada parcial def em relação a x. 
Da mesma forma, pode-se manter x fixo e fazer y variar. A taxa de variação de z em 
relação ay é então a derivada parcial defem relação ay, definida como 
(3) 
para todo par (x, y) para o qual este limite exista. Observe-se o símbolo a usado em vez 
de d para indicar as derivadas parciais de uma função de duas variáveis. Uma função 
de três ou mais variáveis admite uma derivada parcial (definida de modo análogo) em 
relação a cada uma de suas variáveis independentes. Seguem-se algumas outras nota-
ções usuais para derivadas parciais: 
az af 
ax = ax = fx(x, y) = D,J(x, y) = D1 f(x, y), (4) 
az af 
ay = ay = fy(x, y) = D,f(x, y) = D2/(x, y). (5) 
Observe-se que, se o símbolo y na Eq. (2) for omitido, o resultado é o limite na Eq. (1 ). 
Isto significa que se pode calcular ôz/ ax como uma derivada simples em relação a x, sim-
plesmente considerando-se y como uma constante durante o processo de diferenciação. 
Analogamente, pode-se calcular ôz/iJy como uma derivada simples, encarando-se y como 
a única variável e tratando-se x como uma constante durante o cálculo. 
EXEMPLO 1 Calcule as derivadas parciais éJ.f/ ax e éJ.f/ ay da função f(x, y) = r + 2xy2 
-y3. 
Solução Para calcular a derivada parcial de f em relação a x, considera-se y como 
uma constante. Diferencia-se então normalmente, obtendo-se 
:~ = 2x + 2y2• 
Quando se considera x como constante e diferencia-se em relação a y, obtém-se 
a/ = 4xy - 3y2• 
ay 
Para se ter uma idéia intuitiva do significado das derivadas parciais, pode-se pensar 
emftx, y) como a temperatura no ponto (x, y) do plano. Entãofx(x, y) é a taxa instantâ-
nea de variação da temperatura em (x, y) por aumento unitário em x (com y mantido 
constante). Analogamente,_{y(x, y) é a taxa instantânea de variação da temperatura por 
aumento unitário em y ( com x mantido constante). Por exemplo, com a função tempe-
ratura f(x, y) = x:- + 2xy2 - y3 do Exemplo 1, a taxa de variação da iemperatura no 
ponto (1, -1) é +4ºpor unidade de distância na direção x positiva, e -7º por unidade 
de distância na direção y positiva. 
EXEMPLO 2 Calcule ôzlax e ôz/iJy se z = (x:- + y 2)e-..,. 
Solução Como avax é calculada como se fosse uma derivada simples em relação a x, 
com y constante, aplica-se regra do produto, o que dá 
17 
1 1 
Fig. 14.4.1 Um plano vertical parale-
lo ao plano xz intercepta a superfície 
z == f(x, y) segundo uma curva x. 
Superfície 
2 =f(x.y) 
)' 
Como x e y comparecem simetricamente na expressão de z , obtém-se az/êJy permutan-
do-se x e y na expressão de Jz/éJx: 
Confira este resultado diferenciando z em relação a y . 
EXEMPLO 3 O volume V(em centímetros cúbicos) de J molde um gás ideal é dado 
por 
V= (82,06) T 
p ' 
onde pé a pressão (em atmosferas) e Té a temperatura absoluta [em kelvins (K), onde 
K = ºC + 273]. Ache as taxas de variação do volume de 1 mol de um gás ideal em 
relação à pressão e à temperatura quando T = 300 K e p = 5 atm. 
Solução As derivadas parciais de V em relação às duas variáveis independentes são 
av 
ap 
(82,06)T 
p2 e 
av 82,06 -=--aT p 
Com T = 300 e p = 5, tem-se os dois valores éJV/éJp = -984,72 (cm3/atm) e éJV/éJT === 
16,41 (cm3/K). Estas derivadas parciais permitem que se estime, como segue, o efeito 
de uma variação na temperatura ou na pressão, sobre o volume V de um gás. Tem-se T 
= 300 e p = 5, de forma que o volume do gás com que se está lidando é 
V = (82,06)(300) = 4923 60 
5 , 
Esperar-se-ia um aumento de 1 atm na pressão (com Tmantida constante) para reduzir 
o volume do gás em aproximadamente 1 L (1.000 cm3), porque -984,72 = - J .000. 
Um aumento de 1 K (ou1 ºC) na temperatura, com p mantida constante, aumentaria 0 
x volume em cerca de 16 cm3, porque 16,41 = 16. 
Fig. 14.4.2 Uma curva x e sua reta 
tangente. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS 
z 
Reta tangente 
z =f (x, b) 
(a, O) X 
Fig. 14.4.3 Projeção, no plano xz, da 
c urva x por P(a, b, e) e sua reta tan-
gente. 
18 
As derivadas parciais f.- e J;, são os coeficientes angulares de retas tangentes a certas 
curvas na superfície z = f(x, y). A Fig. 14.4.1 ilustra a interseção desta superfície com 
um plano vertical y = b que é paralelo ao plano coordenado xz. Ao longo desta curva 
de interseção, a coordenada x varia, mas a coordenada y permanece constante: y ===_ b 
em cada ponto, porque a curva está no plano vertical y = b. Uma curva de interseçao 
de z = f(x, y) com um plano vertical paralelo áo plano xz é, pois, chamada curva X na 
superfície. 
A Fig. 14.4.2 mostra um ponto P(a, b, e) na superfície z = f(_x, y), a curva x por P e 
a reta tangente a esta curva x em P. A Fig. 14.4.3 mostra a projeção paralela do plano 
vertical y = b no próprio plano xz. Pode-se agora "ignorar" a presença de y = b e con-
siderar z = f(x, b) como uma função da única variável x . O coeficiente angular da reta 
tangente à curva x original por P (veja Fig. 14.4.2) é igual ao coeficiente angular 
( altura az) 
deslocamento = ax 
da reta tangente na Fig. 14.4.3. Mas, pelo cálculo de uma variável , este último coefici-
ente angular é dado por 
Cap. 14 / Diferenci ação Parcial 
1 1 
Fig. 14.4.4 Um plano vertical parale-
lo ao plano yz intercepta a superfície 
z = f(x, y) segundo uma curva y. 
Plano x = a 
1 
L~-f-
/ 
z 
y 
Fig. 14.4.5 Uma curva y e sua reta 
trangente. 
z 
Reta tangente 
(b , e) 
z=f(a,y) 
(b, O) y 
Fig. 14.4.6 Projeção, no plano yz, da 
curva y por P(a, b, e) e sua reta tan-
gente. 
z 
k 
r f(a + h, b) - f(a, b) 
1~ h = f,(a, b). 
Vê-se assim que o significado geométrico de J, é o seguinte: 
Interpretação Geométrica de ékl àt" 
O valor fia, b) é o coeficiente angular da reta tangente, em P(a, b, e), à curva x por 
P na superfície z = f(x, y ). 
Procede-se precisamente da mesma maneira para estudar o sionificado oeométrico 
b b 
da derivada parcial em relação a y. A Fig. 14.4.4 ilustra a interseção, com a superfície 
z = f(x, y), de um plano vertical x = a paralelo ao plano coordenado yz. Ora, a curva de 
interseção é uma curvay ao longo da qual y varia mas x = a é constante. A Fig. 14.4.5 
mostra esta curva y, z = f(a , y ), e sua reta tangente em P. A projeção da reta tangente 
no plano yz (na Fig. 14.4.6) tem coeficiente angular êrdé)y = f / a, b). Vê-se assim que o 
significado geométrico de J;, é: 
Significado Geométrico de d1,/ 07 
O valorJ;,(a, b) é o coeficiente angular da reta tangente, em P(a, b, e), à curva y por 
P, na superfície z = f(x, y). 
PLANOS TANGENTES A SUPERFÍCIES 
As duas retas tangentes que se acabou de achar determinam um plano único pelo pon-
to P(a, b,f(a, b)). Ver-se-á, na Seção 14.7, que se as derivadas parciaisf, eJ;,são fun-
ções contínuas de x e y, então este plano contém a reta tangente em P a toda curva suave 
na superfície z = f(x, y) que passa por P. Este plano é, portanto (por definição), o plano 
tangente à superfície em P. 
Definição Plano Tangente a z = f(x, y) 
Suponha-se que a função j(x, y) tenba derivadas parciais contínuas em um retân-
gulo no plano xy contendo (a, b) em seu interior. Então o plano tangente à su-
perfície z = j(x, y) no ponto P(a, b, fia, b)) é o plano por P que contém as retas 
tangentes às duas curvas 
z = f(x, b), y = b (curva x) (6) 
e 
z = f(a, y), x=a (curva y). (7) 
Para escrever a equação deste plano tangente, tudo que se precisa é um vetor n nor-
mal ao plano. Uma forma de obter um tal vetor é achar o produto vetorial dos vetores 
tangentes às curvas nas Eqs. (6) e (7) . As Figs. 14.4.7 e 14.4.8 mostram essas duas 
curvas. Como se viu anteriormente, a curvay na Eq. (7) tem coeficiente angularJ;,(a, b) 
em P, e assim pode-se tomar 
u = j + k_{y(a, b) (8) 
como seu vetor tangente em P. A curvax na Eq. (6) tem coeficiente angularf/a, b) em 
Y P, e assim pode-se tomar 
Fig. 14.4.7 A curva z = j(a, y) no pla-
no x = a. 
SEÇÃO 14.4 / Derivadas Parciais 
v = i + kf,(a, b) (9) 
19 
X 
. 
z corno seu vetor tangente. Com esses dois vetores tanoentes obtém-se o vetor normal 
b , 
j k 
v I f:,(a, b) 
-----' 1 
n = u x v = O 1 fy(a, b) 
1 O fx(a, b) ' 
k e assim 
X n = ifx(a, b) + jfy(a, b) - k. (10) 
Fig.14.4.8 A curva z = fi.x, b) no pia- Observe-se que 
no y = b. 
< 
1 
1 Superfície 
: z=/(x, y) 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
y 
Fig. 14.4.9 Pode-se determinar um 
vetor normal ao plano tangente, for-
mando-se o produto vetorial de dois 
vetores tangentes. 
n = / Ê:.. az -1) 
\ax' ay' 
(11) 
é um vetor que aponta para baixo; seu negativo -n é O vetor normal mostrado na Fig. 
14.4.9. 
Finalmente, com o vetor normal n da Eq. (10), obtém-se uma equação do plano tan-
gente à superfície z = fi..x, y) no ponto P(a, b, f(a, b)). Esta equação é 
fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b) - [z - J(a, b)] = O. (12) 
Urna forma equivalente desta equação é 
az az 
z - e = ax (x - a) + ay (y - b), (13) 
onde e= fi..a, b); lembre-se de que as derivadas parciais az!Jx e az;ay são calculadas no 
ponto (a, b ). 
EXEMPLO 4 Escreva urna equação do plano tangente ao parabolóide z = x2 + y2 
no ponto P(2, -1, 5). 
Solução Começa-se calculando az/Jx = 2x e Jv'Jy = 2y. Os valores dessas de~ivadas 
parciais em (x, y) = (2, -1) são 4 e -2, respectivamente. Assim, a Eq. (12) da 
4(x - 2) - 2(y + 1) - (z - 5) = O 
(ou 4x - 2y - z = 5 após ~irnplificação) como equação do plano tangente desejado. 
DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 
As derivadas parciais de primeira ordem.fx eh, são elas próprias funções de x e Y ' 
podendo ser, assim, diferenciadas em relação a x e a y. As derivadas parciais de flx, Y) 
e fy(x, y) são chamadas derivadas parciais de segunda ordem de f Existem quatro 
delas, porque há quatro possibilidades na ordem de diferenciação: 
20 Cap. 14 / Diferenciação Parcinl 
SEÇÃO 14.4 / Derivadas Parciais 
Escrevendo z = ft.x, y), pode-se substituir/por z em cada caso. 
NOTA A função fxyé a derivada parcial de segunda ordem def, resultado da diferen-
ciação, primeiro em relação ax e, em seguida, em relação ay;J,x é o resultado da dife-
renciação, primeiro em relação a y e, em seguida, em relação a x. Embora/xy e hx não 
sejam necessariamente iguais, prova-se, em cálculo avançado, que essas duas deriva-
das parciais "mistas" são iguais, se forem contínuas. Mais precisamente, sef. eJ,xsão 
contínuas em um disco circular centrado no ponto (a, b), então xy 
(14) 
[Se/xy eJ,xsão contínuas apenas em (a, b), elas podem ser diferentes ali.] Como amai-
oria das funções que interessam aqui tem derivadas parciais de segunda ordem contí-
nuas onde quer que sejam definidas, serão trabalhadas, em geral, três - e não quatro 
- derivadas parciais de segunda ordem distintas. Analogamente, se ft.x, y, z) é uma 
função de três variáveis com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então 
õ2/ - õ2/ 
ãxãy - ayax' 
éJ2/ éJ2/ --=--, 
ax az az ax 
e 
éJ2.f éJ2f --=--
ôy ÔZ ÔZ ôy 
Definem-se de modo análogo as derivadas parciais de terceira e de quarta ordem, 
não importando a ordem em que se fazem as diferenciações, desde que todas as deri-
vadas envolvidas sejam contínuas. Por exemplo, as derivadas parciais de terceira or-
dem da função z = ft.x, y) são 
éJ ( éJ2/) éJ3f 
fxxy = ay éJx2 = éJy éJx2' 
ª(ª2!) éJ3f ÍxYY = ay éJy àx = éJy2 éJx e 
éJ ( à2/) éJ3/ 
Ím = ày éJy2 = ày3 • 
EXEMPLO S Mostre que as derivadas parciais de terceira ordem e de ordem supe-
rior da funçãoft.x, y) = x2 + 2xy2 - y3 são constantes. 
Solução Tem-se 
fx(x, y) = 2x + 2y2 e fy(x, y) = 4xy - 3y2• 
Assim, 
f xx(X, y) = 2, fxy(x, y) = 4y e fyy(x, y) = 4x - 6y. 
Finalmente, 
.fxxx(X, y) = 0, fxxy(X, y) = 0, fxyy(X, y) = 4 e fm(x, y) = -6 . 
A função/ é um polinômio, e assim todas as suas derivadas parciais_são também po!i-
nômios, sendo, portanto, contínuas em todo ponto. Logo, não se precisa calcular qums-
quer outras derivadas parciais, pois cada uma delas é igual a uma destas quatro. Além 
disso, como as derivadas parciais de terceira ordem são todas constantes, todas as de-
rivadas parciais de/ de ordem superior à terceira são zero. 
21 
14.4 Problemas 
Nos Problemas 1 a 20, calcule as derivadas parciais de primei-
ra ordem de cada função . 
1. f(x, y) = x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 
2. f(x , y) = x seny 
3. f(x, y) = ex(cos y - seny) 
4. f(x, y) = x 2exy 5. f(x, y) = x + y 
x-y 
6. f (x, y) = xy 
xz + y2 
8. f(x, y) = (x - y)l4 
7. f (x, y) = ln(x 2 + y 2) 
9. f(x, y) = x Y 
10. f(x, y) = tg -i xy 11. J(x, y, z) = x2y 3z 4 
12. f(x, y, z) = x2 + y3 + z4 
13. f(x, Y, z) = e= 14. f(x, y, z) = x 4 - 16yz 
15. f(x , y, z) = x 2eY ln z 
16. f(u, v) = (2u 2 + 3v 2 ) exp(-u2 _ v2) 
r2 - s2 
17. f(r, s) = --
r 2 + s2 
18· f(u, v) = e"º(cos uv + sen uv) 
19. f(u , v, w) = ueº + vew + we" 
20. f(r, s, t) = (1 - r2 - s2 - t2)e- rst 
Nos Problemas 21 a 30, verifique que Z.ry = Zy.r 
21. z = x2 - 4xy + 3y2 
22. z = 2x3 + 5xiy _ 6y2 + xy4 
23. z = x2 exp(-y 2) 
25. z = ln(x + y) 
27. Z = e-3x cos y 
29. z = x2 cosb(l/y2) 
24. z = xye-xy 
26. z = (x3 + y3)10 
28. z = (x + y)sec xy 
30. z = sen xy + tg - i xy 
Nos Problemas 31 40 
superfície = .!( ª ' ache uma equação do plano tangente à 
z x, y) dada no ponto P indicado. 
31. z = x2 + yi; p = (3, 4, 25) 
32. z = V25 - x2 _ 2. 
Y , P = (4, -3, O) 
33. z = sen TTxy. p _ (3 5 2 ' - , , -1) 
34 4 -1 • z = - tg xy ; P = (1, 1, l) 
7T . 
35. z = x3 - y3; P = (3, 2, 19) 
36. z = 3x + 4y· p _ (l • - , l , 7) 
37. z = xy; p = (l, -l, - J) 
38. z = e:p(-x2 _ yi); p = (O, O, l) 
39. Z = X - 4y2; p = (5, 2, 9) 
40. z = V x2 + y2 . p _ c3 ' - , -4, 5) 
d
41 · Vderifique ª igualdade das derivadas parciais mistas de segun-
a or em,.f..ry e..- para.f(x y) - "'"Y'' d - · · . . J yx• ' - .... , on em e n sao rnte1ros po-
s1t1vos . 
22 
42. Seja z =~+;-_Mostre que e-<+-" é o res ultado da diferenciação 
de z, primeiro m vezes em relação a x e , em seguida, n vezes em 
relação ay. 
43. Seja.f(x, y, z) = e<>·:_ Calcule as derivadas parciais de segunda 
ordem, distintas, def, e a derivada p a rcial de terceira ordemf-'>4 • 
44. Seja g(x, y) = sen xy. Verifique que g,, = gn e que guy = g_'>'X 
= 8 p :r 
45. Mostra-se em física que a temperatura 11(x, t) no instante t, no 
ponto x de uma haste longa, isolada, di spos ta ao longo do eixo x, 
satisfaz a equação unidimensional do calor 
(k é uma constante). 
Mostre que a função 
u = u(x, t) = exp(-n 2kt)sen nx 
satisfaz a equação unidimensional do calor qualquer que seja a 
constante n. 
46. A equação bidimensional do calor, para um plano isolado, é 
Mostre que a função 
u = u(x, y, t) = exp(-[m 2 + n 2 ]kt) sen mx cos ny 
satisfaz esta equação, quaisquer que sejam as constantes me 11. 
47. Uma corda fixada em cada extremidade, esticada ao longo 
do eixo x, é posta em vibração. Mostra-se, em física , que o des-
locamento y = y(x, t) do ponto da corda na posição x e no instan-
te t satisfaz a equação unidimensional da onda 
onde a constante a depende da densidade e da tensão da corda. 
Mostre que as funções seguintes verificam a equação unidimen-
sional da onda: (a) y = sen(x + at); (b) y = cosh(3[x - at]); (c) 
y = sen kx cos kat (k é uma constante). 
48. Uma função de temperatura de estado estacionário u = u(x, 
y) para uma placa delgada, plana, verifica a equação de Laplace 
Determine quais das s{uintes funções satisfazem a equação de 
Laplace: (a) u = ln ( x 2 + y 2 ); (b) u = ,}x2 + y 2 ; (c) u = 
arctg(y/x); (d) u = e- x sen y. 
49. A lei dos gases ideais p V = nRT (n é o número de mols do 
gás, Ré uma constante) determina cada uma das três variáveis p, 
V e T (pressão, volume e temperatura) como funções das outras 
duas . Mostre que 
a p . av . ar = -1. 
av aT ap 
Cap. 14 / Diferenciação Parcial 
50. Mostre, por meio do cálculo, o fato, geometricamente eviden-
te, que todo plano tangente ao cone z2 = J.2 + y2 passa pela origem. 
51. Há apenas um ponto em que o plano tangente à superfície z 
= J.2 + 2.xy + 2y2 - 6.x + 8y é horizontal. Determine-o. 
52. Mostre que o plano tangente, no ponto (a, b, e) , ao parabo-
lóide z = .x2 + y2 intercepta o plano .xy conforme a reta de equa-
ção 2a.x + 2by = a 2 + b2 . Mostre então que esta reta é tangente 
ao círculo de equação 4.x2 + 4y2 = a2 + b2• 
53. De acordo com a equação de van der Waals, 1 mo! de um 
gás satisfaz a equação 
(P + ; 2 )cv - h) = (82,06)r 
onde p , V e T são como no Exemplo 2. Para o dióxido de carbo-
no, a= 3,59 x l06 e b = 42,7, e V= 25.600 cm3 quando pé 1 
atm e T = 313 K. (a) Calcule iJV/iJp diferenciando a equação de 
van der Waals com T mantido constante. Estime então a varia-
ção de volume que resultaria de um aumento de O, 1 atm de pres-
são com T a 313 K. (b) Calcule a VI êJT diferenciando a equação 
de van der Waals comp mantido constante. Estime então a vari-
ação no volume resultante de um aumento de 1 K na temperatu-
ra, com p mantido em 1 atm. 
54. Uma supe,fície mínima é a que tem a menor área dentre to-
das as superfícies de mesmo contorno. A Fig. 14.4.10 mostra a 
supe,fície mínima de Scherk, que tem por equação 
z = ln(cos x) - ln(cos y) . 
Fig. 14.4.10 A superfície mínima de Scherk (Problema 54). 
Sabe-se que uma superfície mínima satisfaz a equação díferen-
cial parcial 
( 1 + z/ )z..x - ZZxZyZ..y + (1 + z/ )Zyy = 0. 
Verifique-o, no caso da superfície mínima de Scherk. 
55. Diz-se que a função z = f(.x, y ) é harmônica se satisfaz a 
equação de Laplace z .• , + Zv,· = O (veja Problema 48). Mostre que 
cada função em (a) a (d) é.harmônica: 
(a) f1(x,y) = senxsenh(rr - y); 
(b) fz(x, y) = senh 2x sen 2y; 
(c) f3(x, y) = sen 3x senh 3y; 
(d) f4(x,y) = senh 4(7T - x) sen4y. 
56. A Fig. 14.4.11 mostra o gráfico da função definida por 
4 
z = 2:: f;(x, y) 
i=l 
para O 2 x 2 :rr, O 2 y 2 :rr. Explique por que z é harmônica (veja 
Problema 55). 
3 0 X 
z 
Fig. 14.4.11 A superfície z = j{x, y) do Problema 56. 
14.5 
Máximos e Mínimos 
de Funções de V árias 
Variáveis 
As técnicas de máximo e mínimo das funções de uma variável (Seção 3.5) se gene-
ralizam facilmente para funções de várias variáveis. Será considerada primeiro uma 
função f de duas variáveis. Suponha-se que interessem os valores extrem os atingidos 
por J(.x, y) em uma região plana R que consiste nos pontos de uma curva fechada C e 
se_u interior (Fig. 14.5.1). Diz-se que a funçãof atinge seu valor máximo absoluto, ou 
global, M em R no ponto (a, b) se 
J(x, y) 2 M = J (a , b) 
para todos os pontos (x, y) de R. Analogamente,f atinge seu valor mínimo absoluto, 
ou global, m em R no ponto (e, á) de R sej(x, y) ~ m = j(c, á) para todos os pontos (x, 
y) de R. O Teorema 1, demonstrado em cursos de cálculo avançado, assegura a exis-
tênc ia de m áximo e mínimo absoluto em m uitas situações de interesse prático . 
SEÇ 6..v ;4 _5 / Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis 23 
24 
y 
Teorema 1 Existência de Valores Extremos 
Seja a função f contínua na região R que consiste nos pontos de uma curva fechada 
simples C do plano e do seu inte1ior. Então f atinge um máximo ab o luto em algum 
ponto (a, b) de Reatinge llD1 múümo absoluto em algum ponto (e, d) de R. 
O Teorema 1 é o análogo bidimensional do teorema amplamente usado nos Caps. 3 
e 4: Uma função contínua (de uma variável) definida no intervalo fechado e limitado 
x [a, b] atinge seu valor máximo absoluto em algum ponto de [a , b], bem como atinge 
seu valor mínimo absoluto em algum ponto de [a, b]. 
Fig. 14.5.1 Uma região plana, limita-
da, R cuja fronteira é a curva fechada 
si mples C. 
Mas, como no cálculo de uma variável, a questão natural que a seguir se levanta é: 
Como se pode achar esses extremos? O interesse é principalmente no caso em que a 
funçãof atinge seu máximo (ou mínimo) absoluto em um ponto interior de R. O ponto 
(a, b) é chamado ponto interior deR se existe um disco circular centrado em (a, b) 
inteiramente contido em R. Os pontos interiores de uma região R do tipo descrito no 
Teorema 1 são precisamente os pontos que não pertencem à curva fronteira C. 
Um extremo absoluto atingido pela funçãof em um ponto interior de Ré necessari-
amente um extremo local. Diz-se quef(a, b) é um máximo local def se existe um dis-
co circular D centrado em (a, b) tal quef é definida em D ef(x, y) < f(a, b) para todos 
os pontos (x, y) de D. Se se inverte a desigualdade, então fia, b) é um mínimo local de/ 
EXEMPLO 1 A Fig. 14.5 .2 mostra o gráfico de certa função f(x, y) definida em uma 
região R do plano xy, delimitada por uma curva simples, fechada, C. Pode-se imaginar 
a superfície z = f(x, y) começando-se com uma membrana elástica distendida, com 
fronteira fixa C, e esticando-se dois "dedos" para cima e dois "dedos" para baixo. Os 
dois dedos em cada direção têm comprimentos diferentes. Atentando para os quatro 
valores extremos def(x, y), vê-se 
O Um máximo local que não é máximo absoluto. 
O Um máximo local que é também máximo absoluto. 
O Um mínimo local que não é mínimo absoluto, e 
O Um mínimo local que é também mínimo absoluto. 
No Teorema 2 da Seção 3.5, viu-se que, se a funçãoftem máximo local ou mínimo 
local em um pontox = e, ondefé diferenciável, entãof'(c) =O.Agora, será mostrada 
a ocorrência análoga no caso bidimensional: Sef(a, b) é máximo local ou mínimo lo-
cal da funçãof(x, y), entãofx(a, b) e/y(a, b) são ambas zero, desde que essas duas deri-
vadas parciais existam no ponto (a, b). 
Suponha-se, por exemplo, quef(a, b) seja um máximo local def(x, y) e que ambas 
as derivadas parciais f,(a, b) e /y(a, b) existam. Visualizam-se seções transversas dos 
Máximo abso luto 
t. 
~ 1'1 i?i 
' x, 
Mínimo loca l 
Mínimo absoluto 
Fig. 14.5.2 Extremos locais em contraste com extremos globais (Exemplo J ). 
Cap. 14 / Diferenciação Parcial 
X 
z 
f(x. y) = x2 + y2 
Mínimo local em (0, O) 
y 
z 
g(x, y) = -x2- y2 
Máximo local em (0, 0) 
gráficos dez = f(x, y) da mesma maneira que quando se definiram essas derivadas 
parciais na Seção 14.4. Sejam 
G(x) = f(x, b) e H(y) = f(a, y). 
Como fé definida em um disco circular centrado em (a, b ), decorre que G(x) é definida 
em um intervalo aberto contendo o ponto x = a, e que H(y) é definida em um intervalo 
aberto contendo o ponto y = b. Mas está-se admitindo queftenha um máximo local 
em (a, b), decorrendo, portanto, que G(x) tem um máximo local em x = a e que H(y) 
tem um máximo local em y = b. O resultado sobre máximo-mínimo que se acabou de 
citar implica, portanto, que G'(a) = O e que H'(a) =O.Mas 
G'(a) = lim G(a + h) - G(a) = lim f(a + h, b) - f(a, b) = fx(a, b) 
h-O h h-->O . h 
e 
H'(b) = lim H(b + k) - H(b) = lim f(a, b + k) - f(a, b) = fy(a, b). 
k-->O k k-->0 k 
Logo, conclui-se que.fx(a, b) =O= J;,(a, b) . Argumento análogo conduz à mesma con-
clusão sef(_a, b) é um valor mínimo def. Tudo isto estabelece o Teorema 2. 
Teorema 2 Condições Necessárias para Extremos Locais 
Suponha-se que ft...x, y) atinja um valor máximo local ou 'tlID valor mínimo local no 
ponto (a, b), e que ambas as derivadàsparciais.fx(a, b) eJ;,(a, b) existam. Então, 
Jx(á, b) = O = fx(a, b) · (1) 
As equações (1) implicam que o plano tangente à superfície z = f(x, y) deve ser ho-
rizontal em qualquer ponto (a, b,f(_a, b)) de máximo local ou mínimo local, em perfei-
ta analogia com o caso de uma variável (em que a reta tangente é horizontal em qual-
quer ponto de máximo ou mínimo local no gráfico de uma função diferenciável) . 
y EXEMPLO 2 Considerem-se as três superfícies conhecidas 
X 
Ponto de sela em (O, 0) 
Fig. 14.5.3 Quando ambas as deriva-
das parciais se anulam, pode haver (a) 
um mínimo, (b) um máximo ou (e) 
nenhum dos dois (Exemplo 2). 
z = f(x, y) = x2 + y2, 
z = g(x, y) = - x 2 - y 2 e 
z = h(x, y) = y 2 - x 2 
mostradas na Fig. 14.5.3. Em cada caso, azJa:x = ±2x e az/cJy = ±2y. Assim, ambas as 
derivadas parciais são zero na origem (O, O) (e somente ali). Pela figura, é claro quef(_x,y) 
= x2 + y1 tem um mínimo local em (O, O). De fato, como um quadrado não pode ser nega-
tivo, z = x2 + y1 tem mínimo global O em (O, O). Analogamente, g(x, y) tem máximo local 
(e, na verdade, global) em (O, O), enquanto h(x, y) não tem nem mínimo local nem máximo 
local ali- a origem é um ponto de sela. Este exemplo mostra que um ponto (a, b) onde 
az _ 0 _ az -- --ax ay 
pode corresponder a um mínimo local, a um máximo local, ou a nenhum dos dois. Assim, 
a condição necessária na Eq. (1) não é uma condição suficiente para existência de ex-
tremo local. 
SEÇÃO 14.5 / Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis 25 
(0,4, ~) 
o 
-5 y 
Fig. 14.5.4 A superfície do Exemplo 3. 
26 
EXEMPLO 3 Determine todos os pontos da superfície 
onde o plano tangente é horizontal. 
Solução Calculam-se primeiro as derivadas parciais ê)z/êJx e ê)z/êJy: 
az - = -2x ax ' 
az 3 1 2 1 3 1 ( 2 1 
ay = 2Y + gY - gY = - 8y Y - y - 12) = - 8y(y + 3)(y - 4). 
Em seguida, igualam-se avax e az/éJy a zero. Tem-se 
-2x = O e -½J(y + 3)(y - 4) = O. 
A solução simultânea dessas equações dá exatamente três pontos onde ambas as deri-
vadas parciais são zero: (0, -3), (0, O) e (O, 4). Os três pontos correspondentes na su-
perfície onde o plano tangente é horizontal são (O, -3, 1~ ),(O, O, O) e (O, 4, 2f ). Esses 
três pontos estão indicados no gráfico desta superfície na Fig. 14.5.4. (Recorde-se que 
já se construiu esta superfície no Exemplo 7 da Seção 14.2.) 
O Teorema 2 é um instrumento muito útil para determinar os valores máximo absoluto 
e mínimo absoluto atingidos por uma função contínuaf em uma região R do tipo descrito 
no Teorema 1. Sej{a, b) é o valor máximo absoluto, por exemplo, então (a, b) ou é ponto 
interior de R, ou é ponto da sua fronteira C. Se (a, b) é um ponto interior e se ambas as 
derivadas parciaist(a, b) efy(a, b) existem, então o Teorema 2 implica que ambas essas 
derivadas parciais devem ser zero. Tem-se, assim, o seguinte resultado: 
Teorema 3 Tipos de Extremos Absolutos 
Suponha-se f contínua na região plana R consistindo nos pontos de uma curva 
simples fechada Cede seu interior. Se j{a, b) é ponto de máximo absoluto ou de 
mínimo absoluto dej{x, y) em R, então (a, b) é 
1. Um ponto interior de R no qual 
iJf = i!f = o, 
ax ay ou 
2. Um ponto interior de Ronde as derivadas parciais não existem simultaneamente, 
ou 
3. Um ponto da curva frontefra C de R. 
Um ponto (a, b), onde se verifica uma das condições (1) ou (2) é chamado ponto crítico 
da funçãof Assim, Teorema 3 revela que qualquer valor extremo da função contínuaf na 
região plana R deve ocorrer em um ponto crítico interior ou em um ponto da fronteira. 
Observe-se a analogia com o Teorema 3 da Seção 3.5, que implica que um valor extremo 
de uma função.f{x) de uma variável em um intervalo fechado e limitado/ deve ocon-er em 
um ponto crítico interior de/ ou em uma extremidade (ponto fronteira) de /. 
Como conseqüência do Teorema 3, podem-se achar os valores de máximo absoluto 
e mínimo absoluto def(x, y) em R como segue: 
Cap. 14 / Diferenciação Parcial 
z 
X 
Fig. 14.5.5 Gráfico da função do 
Exemplo 4. 
y 
(0,4) 
(0, 0) X 
Fig. 14.5.6 A região triangular do 
Exemplo 5. 
1. Primeiro, localizando os pontos críticos. 
2. Em seguida, achando os valores extremos possíveis defna curva fronteira C. 
3. Finalmente, comparando os valores defnos pontos encontrados em 1 e 2. 
A técnica a ser aplicada no segundo passo depende da natureza da curva fronteira 
C, conforme ilustrado no Exemplo 5. 
EXEMPLO 4 Sejaf(x, y) = -J x 2 +y2 na região R que consiste nos pontos-fronteira 
e interiores do círculo x2 + y2 = 1 no plano xy. A Fig. 14.5 .5 mostra o gráfico de f Vê-
se que o valor mínimo O de J ocorre na origem (O, 0), onde nenhuma das derivadas 
parciais!, e.J;,existe (Por quê?), enquanto o valor máximo 1 def em R ocorre em todos 
os pontos do círculo fronteira. 
EXEMPLO 5 Ache os valores máximo e mínimoatingidos pela função 
f(x, y) = xy - x - y + 3 
em pontos da região triangular R do plano xy, com vértices em (O, O) , (2, O) e (O, 4). 
Solução A Fig. 14.5.6 mostra a região R. Sua "curva" fronteira C consiste no segmento 
O ~ x ~ 2 no eixo x, do segmento O ~ y < 4 no eixo-y, e de parte da reta 2x + y = 4 que 
está no primeiro quadrante. Qualquer extremo interior deve ocorrer em um ponto onde 
af 
- = y - I ax e 
af - = X - 1 
ay 
são simultaneamente zero. Logo, o único ponto crítico interior é (1, 1). 
Ao longo do lado em que y = O: A funçãof(x, y) toma a forma 
a(x) = f(x, O) = 3 - x, Ü ~X~ 2. 
Como a(x) é uma função decrescente, seus extremos para O< x ~ 2 ocorrem nas ex-
tremidades x = O ex = 2. Isto dá as duas possibilidades (O, O) e (2, O) para localização 
de extremos def(x, y). 
Ao longo do lado em que x = O: A funçãof(x, y) toma a forma 
{3(y) = J(O, y) = 3 - y, O~ y ~ 4. 
Os pontos extremos deste intervalo dão os pontos (O, O) e (O, 4) como possíveis loca-
lizações de extremos def(x, y). 
No lado de Ronde y = 4 - 2x: Pode-se substituir y por 4 - 2x na fórmula def(x, y) e 
expressar, assim,! como função de uma única variável: 
-y(x) = x(4 - 2x) - x - (4 - 2x) + 3 
= -2x 2 + 5x - 1, Ü ~ X ~ 2. 
Para achar os valores extremos de ,<x), calcula-se primeiro 
-y'(x) = -4x + 5; 
y''(x) = O onde x = ¾-Assim, cada valor extremo de y(x) em [O, 2] deve ocorrer no 
ponto interior x = ¾ do intervalo [O, 2] ou em uma das extremidades x = O ex = 2. 
Isto dá (O, 4), ( ¾, t) e (2, O) como possíveis localizações de extremos de f(x, y). 
SEÇÃO 14.5 / Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis 27 
Conclui-se calculando f em cada um dos pontos encontrados: 
/{O, O)= 3, 
/{¾. }) = 2,125, 
/(1, 1) = 2, 
/(2, O)= 1, 
/{O, 4) = -1. 
máximo 
mínimo 
Fig.14.5.7 A superfície z = x4 + y4 
-x2y2seabreparacima. Assim,ovalormáximode.l{x,y)naregiãoRé.1{0,0) = 3,eovalormínimoé.f(0,4) = -1. 
Fig. 14.S.8 A superfície z = x4 + y4 
- 4.ry2_se abre tanto para cima como 
para baixo. 
Fig. 14.5.9 A superfície z = f x3 + 
4y3 - x" - Y4 se abre para baixo 
(Exemplo 6). 
28 
Observe-se a terminologia usada em toda esta seção. No Exemplo 5, o valor máxi-
mo de/é 3, ovalormáximoocorrenoponto (0, O) no domínio de/, e o ponto mais alto 
do gráfico de fé (0, O, 3). 
PONTO MAIS ALTO E PONTO MAIS BAIXO DE SUPERFÍCIES 
Em problemas aplicados, geralmente se sabe que o valor máximo ( ou mínimo) absoluto 
de .l{x, y) em R ocorre em um ponto interior de R, onde ambas as derivadas parciais de/ 
existem. Neste importante caso, o Teorema 3 afirma que é possível localizar todos os pon-
tos em que o máximo pode ocorrer, resolvendo simultaneamente as duas equações 
(2) 
Se se tiver sorte, essas equações admitem apenas uma solução simultânea (x, y) no in-
terior de R. Nesse caso, então, essa solução deve ser a localização do máximo deseja-
do. Mas se as equações em (2) têm várias soluções simultâneas no interior de R, então 
o que se tem a fazer é calcular f em cada solução para determinar a que dá o maior 
valor de.l{x, y), sendo, portanto, o ponto máximo desejado. 
Pode-se utilizar este método para achar o ponto mais baixo de uma superfície z = 
.l{x, y) que se abre para cima, como na Fig. 14.5. 7. Se Ré um retângulo suficientemente 
grande, .l{x, y) atinge grandes valores positivos em toda a fronteira de R, atingindo, 
porém, valores menores em pontos interiores. Decorre que o valor mínimo de.f(x, y) 
deve ser atingido em um ponto interior de R. 
A questão de ponto mais alto ou ponto mais baixo deixa de ter sentido para Ul'Ilª 
superfície que se abre tanto para cima como para baixo, como na Fig. 14.5.8. 
EXEMPLO 6 Ache o ponto mais alto na superfície 
(3) 
Solução Em razão dos termos de quarto grau negativos na Eq. (3) que predominam 
quando lxl e/ou lyl são grandes, esta superfície se abre para baixo (Fig. 14.5.9), o que se 
pode verificar escrevendo 
z = (x4 + y•)(-1 + 1;:: ;t) 
e fazendo a substituição x = r cos 8, y = r sen 8:. 
( 4 •>( 1 + J cos3 6 + 4 sen3 6) z = x + y - r(cos4 6 + sen4 6) 
É claro, agora, que a fração tende para zero quando r ➔ oo e, daí, que z < O se lxl ou lyl 
é grande. 
Cap. 14 / Diferenciação Parcial 
Fig. 14.5.10 Os pontos críticos do 
Exemplo 6. 
Fig. 14.5.11 A caixa cujo custo total 
se quer minimizar (Exemplo 7). 
Mas z = z(x, Y) atinge valores positivos, como z( 1, 1) = 1f . Procura-se pois O valor 
máximo de z. ' ' 
Como as_ deri~adas p~ciais d~~ em relação a x e a y existem em todos os pontos, o 
Teorema 3 1mphca que e necessano apenas resolver as equações avax = o e avay = 
O na Eq. (2) - isto é, 
8x2 - 4x3 = 4x2(2 - x) = O, 
12y2 - 4y 3 = 4y 2(3 - y) = o. 
Se estas duas equações são satisfeitas, então 
Ou x = 0ou x = 2 e ou y = O ouy = 3. 
Decorre que, ou 
x= O x=O x= 2 
e ou e ou e 
y= O , y = 3 ' y = o 
Conseqüentemente, basta estudar os valores 
z(O, O) = O, 
z(2, O) = 1f = 5,333 333 333 ... , 
z(O, 3) = 27, 
z(2, 3) = 2f- = 32,333 333 333 .... 
x=2 
ou e 
y = 3. 
máximo 
Assim, o ponto mais alto na superfície é o ponto (2, 3, 937 ). A Fig. 14.5.10 indica os 
quatro pontos críticos da superfície. 
PROBLEMAS APLICADOS DE MÁXIMO E MÍNIMO 
A análise de um problema aplicado de máximo e mínimo com várias variáveis envol-
ve os mesmos passos indicados no início da Seção 3.6. Aqui, entretanto, será expressa 
a variável dependente - a grandeza a ser maximizada ou minimizada - como uma 
funçãof(x, y) de duas variáveis independentes. Uma vez identificada a região apropri-
ada do plano xy como o domínio def, aplicam-se os métodos desta seção. Freqüente-
mente se faz necessário um passo preliminar: Se o domínio de definição de fé uma 
região não-limitada, primeiro restringe-se! a uma região plana limitada R , na qual se 
sabe que ocorre o valor extremo desejado. Este processo é análogo ao utilizado nos 
problemas de máximo e mínimo em intervalo aberto (Seção 4.4). 
EXEMPLO 7 Determine o custo mínimo de uma caixa retangular de 48 ft3 de volu-
me, se as partes da frente e de trás custam $1/ft2, a tampa e a base custam $2/ft2 e as 
duas extremidades custam $3/ft2. (Estudou-se esta caixa na Seção 14.1 .) A Fig. 14.5 .11 
mostra a caixa 
Solução Na Seção 14.1 viu-se que o custo C (em dólares) desta caixa é dado por 
288 96 
C(x, y) = 4xy + - + -
X y 
SEÇÃO 14.5 / Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis 29 
y 
4 .xy é grande 
nestes dois lados 
288 é grande aqui 
]C 
96 é grande aqui y 
]C 
Fig. 14.5.12 A função-custo C do 
Exemplo 7 assume grandes valores 
positivos na fronteira do quadrado. 
30 
em função de seu comprimento x e sua largura y. Seja R um quadrado como o da Fig. 
14.5.12. Dois lados de R estão tão próximos dos eixos coordenados que 288/x > 1.000 
no lado mais próximo do eixo y e 96/y > 1.000 no lado mais próximo do eixo x. Tam~ 
bém, o quadrado é tão grande que 4.xy > 1.000 em ambos os outros dois lados. Isto 
significa que C(x, y) > 1.000 em qualquer ponto (x, y) do prime iro quadrante que esti 
na fronteira ou no exterior do quadrado R. Como C(x, y) atinge valores razoavelmente. 
pequenos dentro de R (por exemplo, C( 1, 1) = 388 ), é claro que o mínimo absoluto 
C deve ocorrer em um ponto interior de R. Assim, embora o domínio natural da função· , 
custo C(x, y) seja todo o primeiro quadrante, consegue-se restringir seu domínio a uma.~ : 
região R do tipo ao qual se aplica o Teorema 3. :" 1 
Resolvam-se então, as equações 
ac = 4Y _ 288 = 0 
ax x 2 ' 
ac 96 
-=4x--=0. 
ay Y2 
Multiplica-se a primeira equação por x e a segunda, por y. (Freqüentemente, tomam-se 
necessários artifícios ou métodos ad hoc na solução de equações não-lineares simultâ-
neas.) Este processo dá 
288 96 
- =4xy = -, 
X y 
deformaquex = 288y/96 = 3y. Substituindox = 3y na equação iJC/ay = O, vê-seque 
96 
12y - 2 = O, e então 12y3 = 96. y 
Logo, y = 1/8 = 2, e assim x = 6. Portanto, o custo mínimo da caixa é C(6, 2) = 144 
(dólares). Como o volume da caixa é V = xyz = 48, sua altura é z = 48/(6 · 2) = 4 
quando x = 6 e y = 2. Assim,a caixa ótima deve ter 6 ft de largura, 2 ft de profundi-
dade e 4 ft de altura. 
OBSERVAÇÃO A título de verificação, observe-se que as superfícies mais baratas 
(frente e trás) são as maiores, enquanto as mais caras (os lados) são as menores. 
Viu-se que, sefz<.a, b). =O= J,(a, b), entãofta, b) pode ser um valor máximo, ou um 
valor mínimo, ou nenhum deles. Na Seção 14.1 O serão estudadas condições suficien-
tes paraquej{a, b) seja um máximo local ou um mínimo local. Tais condições envol-
vem as derivadas parciais de segunda ordem defem (a, b). 
Os métodos desta seção generalizam-se facilmente para funções de três ou mais 
variáveis. Por exemplo, se afunçãoftx, y, z) tem extremo local no ponto (a, b, e), onde 
suas três derivadas parciais de primeira ordem existem, então todas as três devem anu-
iar-se aí, ou seja, 
fz(a, b, e) = /,,(a, b, e) = fz(a, b, e) = O. (4) 
O Exemplo 8 ilustra um método que pode, às vezes, ser usado para mostrar que um ponto 
(a, b, e) em que as condições (4) se verificam, não é ponto de máximo local nem de míni-
mo local. (O método é também aplicável a funções de duas ou de mais de três variáveis.) 
EXEMPLO 8 Determine se a função ftx, y, z) = xy + yz - xz tem extremos locais. 
Solução As condições necessárias da Eq. (4) dão as equações 
Cap. 14 / Diferenciação Parcial. 
fx(x, y, z) = y - z = O, 
fy(x, y, z) = x + z = O, 
J,.(x, y, z) = y - x = O. 
Vê-se facilmente que a solução simultânea destas equações é x = y = z = O. Sobre a 
reta x = y = z por (0, O, O), a função f(x, y, z) se reduz a x2, que é mínima em x = O. Mas 
sobre a reta x = - y = z, a função se reduz a -3x 2, que é máxima quando x = O. Logo, 
f não pode ter máximo local nem mínimo local em (O, O, O). Portanto, não tem extre-
mos, nem locais nem globais. 
14.5 Problemas 
Nos Problemas 1 a 12, determine todos os pontos da supe,fície 
dada z = f(x, y) em que o plano tangente é horizantal. 
1. Z = X - 3y + 5 2. z = 4 - x 2 - y 2 
3. z = xy + 5 4. z = x 2 + y 2 + 2x 
5. z = x 2 + y 2 - 6x + 2y + 5 
6. z = 10 + 8x - 6y - x 2 - y 2 
1. z = x 2 + 4x + )' 3 8. z = x 4 + y 3 - 3y 
9. z = 3x 2 + 12x + 4y 3 - 6y 2 + 5 (Fig. 14.5.13) 
Fig. 14.5.13 A superfície do Problema 9. 
10· z = 1 - 2x + 2y + x 2 + y 2 
11. z = (2x2 + 3y 2 ) exp(- x 2 - y 2 ) (Fig. 14.5.14) 
F ig. 14.5.14 A superfície do Problema 1 1. 
12. z = 2xy exp(-½ (4x 2 + y 2 )) (Fig. 14.5.15) 
Fig. 14.5.15 A superfície do Problema 12. 
SEÇÃO 14.5 / Máx imos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis 
Nos Problemas 13 a 20, determine o ponto mais alto ou o ponto 
mais baixo ( conforme o caso) na supe,fície de equação dada. 
13. z = f(x , y) = x 2 - 2x + y 2 - 2y + 3 
14. z = f(x, y) = 6x - 8y - x 2 - y 2 
15. z = f(x, y) = 2x - x 2 + 2y 2 - y 4 
16. z = f(x, y) = 3x4 + 4x 3 + 6y 4 - l6y 3 + 12y 2 
+7 
17. z = f( x, y) = 2x2 + 8xy + y 4 
1 
18. z = f(x, y) = --------
10 - 2x - 4y + x 2 + y 4 
19. z = f(x, y) = exp(2x - 4y - x 2 - y 2 ) 
20. z = f(x, y) = (1 + x 2) exp(-x 2 - y 2 ) 
Nos Problemas 21 a 26, determine os valores máximo e mínimo 
atingidos pelafunçãof(x, y) dada na região indicada R. 
21.f(x, y ) = x + 2y; Ré o quadrado de vértices ( :::!:: 1, :::!:: 1 ) . 
22.f(x, y) = x2 + y2 - x; Ré o quadrado do Problema 21. 
23.j{x, y) = x2 + y2 - 2x; Ré a região triangular de vértices em 
(0, O), (2, O) e (0, 2). 
24.f(x, y) = x2 + y2 - x - y; Ré a região do Problema 23. 
25.f(x, y) = 2xy; Ré o disco circular x2 + y2 ~ 1. 
26.j{x, y) = xy2; R é o disco circular x2 + y2 ~ 3. 
27. Determine as dimensões x, y e z de uma caixa retangular de 
volume fixo V = l.000 e área total A de superfície mínima. 
28. Determine os pontos da superfície xyz = l mais próximos da 
origem. 
29. Ache as dimensões da caixa retangular de volume máximo e 
área total 600 cm2 de superfície. 
30. Uma caixa retangular sem tampa deve ter volume fixo de 4.000 
cm3• Que dimensões minimizam a área total de sua superfície? 
31. Uma caixa retangular é colocada no primeiro octante, com 
um de seus vértices na origem e três de suas faces coincidindo 
com os três planos coordenados. O vértice oposto à origem está 
no plano de equação x + 2y + 3z = 6. Qual é o volume máximo 
possível de tal caixa? Quais são suas dimensões? 
32. A soma de três números positivos é 120. Qual é o valor má-
ximo possível do seu produto? 
33. Um depósito retangular deve ter um volume de 8.000 ft3• O 
custo anual do condicionamento de ar é de $2/ft2 para o teto, frente 
e parte de trás, e $4/ft2 para as duas paredes laterais. Que dimen-
sões do depósito minimizarão esse custo anual ? 
31 
34. Deve-se fazer uma caixa retangular sem tampa. de mate~al 
que custa $3/ft2 para a base e $2/ft2 p~ os q~a~o. lad~s. A caix~ 
deve ter 48 ft3 de volume. Que dimensoes mmumzarao o custo. 
35. Um engradado retangular deve ter 12 m3 de volume. Sua base 
custa o dobro do que custam seu topo e seus lados (por metro 
quadrado). Que dimensões minimizarão o custo total do engra-
dado? 
36. Aplique os métodos de máximo e nún~o des~ seção para 
achar o ponto do plano 2x - 3y + z = I mais próxuno do ponto 
(3, -2, 1). [Sugestão:Umagrandezapositivaéminimizadaquan-
do seu quadrado o é.] 
37. Determine o volume máximo de uma caixa retangular que ? 
Correio pode aceitar, se a soma de seu comprimento e seu pen-
metro transversal não pode exceder 108 in. . 
38. Refaça o Problema 37 para o caso de uma caixa cilíndrica. 
como uma caixa de chapéu ou um canudo. . . 
39. Uma caixa retangular com sua base no plano xy está m~cnta 
no gráfico do parabolóide z = 1 - x2 - y2, z ~ O. Deternune 0 
volume máximo possível da caixa. [Sugestão: Supor que ~s ~a-
dos da caixa sejam paralelos aos planos coordenados verticais, 
decorrendo que a caixa está colocada simetricamente em tomo 
desses planos.] . 
40. Qual é o volume máximo possível de uma caixa retangular 
inscrita em um hemisfério de raio R? Admita que uma face da 
caixa esteja sobre a base plana do hemisfério. 
41. Um arame de 120 cm de comprimento é cortado em três ou 
menos pedaços, e com cada pedaço forma-se um quadrado. Como 
se deve fazer isto de modo a minimizar a área total desses qua-
drados? De modo a maximizá-la? 
42. Deve-se dividir um volume fixo V de massa em três ou me-
nos partes, transformando-as em cubos. Como se deve proceder 
de modo a maximizar a área total desses cubos? De modo ª 
minimizá-la? 
43. Considere a função ft.x, y) = (y - r)(y - 3.x2). (a) M~stre 
que fx(0, 0) = O = f,(0, 0). (b) Mostre que, para toda reta Y - mx 
por (0, O), a funçãoj(x, mx) tem um núnimo local emx = O. (c) 
Examine os valores de J em pontos da parábola Y = 2x2 para 
mostrar que J não tem mínimo local em (O, O). Isto revela que 
não se pode utilizar O método do Exemplo 8 para mostrar que 
um ponto é um extremo local. 
44. Uma chapa retangular de metal muito longa. tem largura L, 
e vai ser dobrada de modo a form~ uma calha (Fig. 14.5.16). 
Maximize seu volume maximizando a área da seção transversa 
mostrada na figura. [Sugestão: use as duas variáveis indepen-
de~tes x e 0 indicadas na figura. À primeira vista, as equações 
obtidas se apresentam complicadas, mas é fácil resolvê-las para 
obter os valores exatos de x e 0 que maximizem a área.] 
45. Localize e identifique os extremos deft.x, y) = x2 - 2xy + y3 
-y. 
46. A _base de uma caixa retangular sem tampa deve ser feita de 
matena! que custa $3/ft2, e os lados, de material que custa $1/ft2• 
Se a caixa deve ter um volume total de 12 ft3, qual é seu custo 
mínimo possível? 
14.5 Projeto 
Fig. 14.5.16 Seção transversa da calha do Problema 44. 
47. Localize e identifique os extremos de j(x, y) = x2y no qua-
drado do plano com vértices em ( ± l, ± l ). 
48. Localize e identifique os extremos de g(x, y) = x4 + 4xy + 
y4. 
49. Qual é o volume máximo possível de uma caixa retangular, 
se a soma dos comprimentos de suas 12 arestas é 12 m? 
50. Uma caixa retangular está inscrita no primeiro octante, com 
três de suas faces sobre os planos coordenados, seu vértice co-
mum na origem, e o vértice oposto no plano de equação x + 3y+ 1z = 11. Qual é o volume máximo possível de tal caixa? 
51. Três lados de uma caixa retangular estão nos planos coorde-
nados, seu vértice comum está na origem; o vértice oposto está 
no plano de equação 
~+l+!= 1 
a b e 
(a, b e e são constantes positivas). Em termos de a, b, e, qual é o 
volume máximo possível dessa caixa? 
52. Uma bóia deve ter a forma de um cilindro circular reto, com 
as extremidades rematadas por cones circulares retos de mesmo 
raio que o cilindro. Ache a área mínima possível de tal bóia, dado 
que ela deve ter volume fixo V. 
53. Deve-se construir um aquário retangular com o fundo feito 
de ardósia que custa $0,28/in2• Seus lados serão de vidro, ao cus-
to de $0,05/in2, e sua tampa de aço inoxidável, ao custo de $0,02/ 
in2• O volume do aquário deve ser 24.000 in3• Quais as dimen-
sões que minimizam o custo desse aquário? 
54. Uma janela pentagonal deve ter a forma de um retângulo 
encimado por um triângulo isósceles (com base horizontal); o 
perímetro da janela deve ser de 24 ft. Quais devem ser as dimen-
sões de tal janela que admitam a maior quantidade de luz (por-
que sua área é máxima)? 
55. Ache o ponto (x, y) do plano para o qual a soma dos quadra-
dos de suas distâncias aos pontos (O, I ), (0, O) e (2, O) é mínima. 
56. Ache o ponto (x, y) do plano para o qual a soma dos quadra-
dos de suas distâncias a (a1, b 1), (ai, b2) e (a3, b3) é mínima. 
57. Uma casa em forma de A deve ter volume fixo V. As paredes 
da frente e de trás têm a forma de triângulos isósceles iguais, 
paralelos, com bases horizontais. O teto consiste em dois retân-
gulos que unem pares de lados superiores dos triângulos. Para 
minimizar o custo de calefação e resfriamento, a área total da es-
trutura em A (excluído o chão) deve ser minimizada. Descreva a 
forma da estrutura em A de área mínima. 
58. Qual é o volume máximo possível de uma caixa retangular 
cuja maior diagonal tem comprimento fixo L? 
Os problemas deste projeto exigem o uso de uma calculadora gráfica ou de um com-
putador com dispositivo gráfico. 
32 Cap. 14 / Diferenciação Parcial 
Denote-se por R o disco circular unitário x2 + y2 < 1 delimitado pelo círculo e no 
plano .xy. Suponha-se que se queira achar os valores mínimo e máximo da função 
z = f (x, y) = 3x2 + 4xy - 5y2 
em pontos de R. 
Procura-se primeiro as possibilidades interiores. As equações 
af = 6x + 4y = o ax ' 
af 
- = 4x - lOy = O 
ay 
(5) 
admitem apenas a solução trivial x = y = O, de modo que a única possibilidade interior 
é.f(_0, O) = O. 
Para estudar as possibilidades na fronteira, usa-se a parametrização em coordena-
das polares 
X= COS t, y = sen t (6) 
do círculo C da fronteira. Substituindo (6) na Eq. (5), obtém-se a função de uma variá-
vel 
z = g(t) = 3 cos2 t + 4 cos t sen t - 5 sen2 t, (7) 
cujos extremos se procura. 
O gráfico z = g(t) da Fig. 14.5.17 revela um valor máximo positivo e um valor mí-
nimo negativo, ambos ocorrendo em dois pontos diferentes de [O, 2n]. Os zooms indi-
cados nas Figs. 14.5.18 e 14.5.19 dão, com duas decimais exatas, o valor máximo apro-
ximado g(0,23)::: 3,47 e o valor mínimo aproximado g(l,80) = -5,47, atingidos por 
.f(_x, y) em pontos do disco R. 
Nos Problemas 1 a 3, procure determinar de modo análogo os valores máximo e 
mínimo aproximados atingidos pela função.f(_x, y) indicada, em pontos do disco unitá-
rio R: x2 + y2 < 1. Denote-se por p, q e r três inteiros selecionados, tais como os três 
últimos algarismos de sua carteira de identidade. 
1. f(x, y) = px + qy + r 
2. f (x, y) = px2 + qxy + ry 2 
3. f (x, y) = px4 + qy4 - rx2y2 
3,5 
8 ............. ······· ········:········ ........ ;. . .........•.......... ; ......... ~- ......... , ........ . 
3,48 ····•·····~··········;··· ······•i·····•·····:····. 
4 ...... . 
3,46 
.... .... 
3,44 
-4 .......... ~ .. - ...... i••·····•···\···········\········ 
·······•:········-:········ ...... . ................ . 3,42 ··········t ...... j-· 
-8 ....................... . . ................... : . -........ ~- ......... -: ........ . 
o 2 4 6 3,4 o 0,2 0,22 0,24 0,26 ,28 0,3 
t 
Fig. 14.5.17 z = g(t) no intervalo O á tá 2n. Fig.14.5.18 Um ponto alto da Fig. 14.5.17. Fig.14.5.19 Um ponto baixo da Fig. 14.5.17. 
SEÇÃO 14.5 / Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis 33 
14.6 
Incrementos e 
Diferenciais 
34 
Na Seção 4.2 utilizou-se a diferencial 
df = f'(x) Ax (1) 
como aproximação do incremento, ou variação efetiva, 
A/ = f(x + Ax) - f(x) (2) 
do valor de uma função de uma variável, resultante de uma variação 6-x na variável 
independente. Assim, 
A/ = f(x + :Ax) - f(x) = f' (x) Ax = df. (3) 
Agora, será estudada a aplicação das derivadas parciais i!{/ax e i!{lay para aproximar 
o incremento 
A/= f(x + Ax, y + Ay) - J(x, y) (4) 
no valor de uma função de duas variáveis, que resulta quando suas variáveis indepen-
dentes variam simultaneamente. Se apenas x variasse e y permanecesse constante, poder-
se-ia temporariamente considerar.f(x, y) como função de x apenas. Então, comfix, )) 
desempenhando o papel def'(x), a aproximação linear da Eq. (3) daria 
J(x + Ax, y) - f(x, y) = fx(x, y) Ax (5) 
para a variação de f correspondente à variação & em x. Analogamente, se apenas 
variasse ex permanecesse constante, então - considerando f(x, y) temporariamente 
como função de y apenas - obter-se-ia 
f(x, y + Ay) - J(x, y) = fy(x, y) Ay (6) 
para a variação def correspondente à variação ~y em y . 
Mas se x e y variam simultaneamente, é de se esperar que a soma das aproximações 
em (5) e (6) seja uma boa estimativa do incremento resultante no valor de f Nessa 
condições, define-se a diferencial 
df = fx(x, y) Ax + fy(x, y) ó.y , 
de uma funçãof(x, y) de duas variáveis. 
EXEMPLO 1 A diferencial de 
f(x, y) = x 2 + 3xy - 2y 2 
é 
af af 
df = -Ax + -Ay = (2x + 3y) Ax + (3x - 4y) ó.y. ax ay 
No ponto P(3 , 5), esta diferencial é 
df = 21 Ax - 11 Ay. 
(7) 
Com & = 0,2 e ~y = -0, 1, correspondente à variação de P(3, 5) para o ponto vizinho 
Q(3,2; 4,9), obtém-se · 
df = 21 · 0,2 - 11 · (-0,1) = 5 ,3. 
Cap. 14 / Diferenciação Pareio! 
A variação efetiva no valor de J, de P para Q, é o incremento 
ll.f = f(3,2, 4,9) - f(3, 5) = 9,26 - 4 = 5,26, 
e assim, neste exemplo, a diferencial parece constituir uma boa aproximação do incre-
mento. 
No ponto fixo P(a, b), a diferencial 
df = fx(a, b) tu + fy{a, b) ll.y (8) 
é uma função linear de Ax e 8y; os coeficientes.fx(a, b) e/y(a, b) nesta função linear 
dependem de a e b. Assim, a diferencial df é uma aproximação linear do incremento 
real 8f. No término desta seção, mostra-se que df é uma aproximação muito boa de 8f 
quando Ax e 8y são ambos pequenos, no sentido de que 
ll.f - df = E1 ll.x + E'2 ll.y, (9) 
onde e1 e e2 são funções de Ax e 8y que tendem para zero quando Ax ➔ O e 8y ➔ O. 
Logo, pode-se escrever 
ll.f - df - O, ou ll.f - df 
quando Ax e 8y são pequenos. A aproximação 
f(a + ll.x, b + ll.y) = f(a, b) + ll.f - f(a, b) + df; 
f(a + ll.x, b + ll.y) - f(a, b) + fx{a, b) ll.x + f,(a, b) ll.y (10) 
pode então ser utilizada para estimar o valor deft.a + Ax, b + 8y) quando Ax e 8y são 
pequenos e os valoresf{a, b),fx(a, b) e/y(a, b) são todos conhecidos. 
EXEMPLO 2 Com auxílio da Eq.(1 O), estime .J2 . (2.02)3 + (2.97)2 • Observe que 
.J2 . 23 + 32 = .J25 = 5 . 
Solução Tomandoft.x, y) = .J2x3 + y2 , tem-se 
af = 3x2 
ax v2x3 + y2 e aJ = y ay V2x3 + y 2 • 
Fazendo agora a= 2, b = 3, Ax = 0,02 e 8y = -0,03, tem-seft.2,3) = 5, e 
/z(2, 3) = !/- e /y(2, 3) = i. 
Logo, a Eq. (10) dá 
V2 . (2,02)3 + (2,97)2 = J(2,02, 2,97) 
- f(2, 3) + /z(2, 3) · (0,02) + /,(2, 3) · (-0,03) 
= 5 + !/- (0,02) + i ( -0,03) = S,03. 
O valor efetivo, com quatro decimais, é 5,0305. 
Se z = f(x, y), costuma-se escrever dz em vez de df. Assim, a diferencial da variável 
dependente z no ponto (a, b) é dz = fx(a, b)Ax + fv(a, b)8y. No ponto genérico (x, y), a 
diferencial de z toma a forma · 
SEÇÃO 14.6 / Incrementos e Diferenciais 35 
36 
dz = fx(x, y) llx + fy(x, y) lly. 
Pode-seescrever, de modo mais simples, 
az az 
dz = - llx + - lly. ax ay (11) 
Costuma-se escrever nesta fórmula dx e dy em vez de .6.x e .6. y, respectivamente. Então, 
a Eq. (11) toma a forma 
az az 
dz = -dx + -dy. ax ay (12) 
Ao se utilizar esta notação, deve-se ter em mente que dx e dy não têm nenhuma cono-
tação de "infinitésimo", ou mesmo "pequeno". A diferencial dz ainda é simplesmente 
uma função linear das variáveis reais ordinárias dx e dy, uma função que dá uma apro-
ximação linear da variação em z quando x e y variam de dx e dy, respectivamente. 
EXEMPLO 3 No Exemplo 3 da Seção 14.4, considerou-se 1 molde um gás ideal 
- seu volume V em centímetros cúbicos dado em termos de sua pressão p em atmos-
feras e sua temperatura Tem kelvins pela fórmula V= 82,06 · Tlp. Obtenha uma apro-
ximação da variação em V quando p aumenta de 5 atm para 5,2 atm e T aumenta de 
300 K para 310 K. 
Solução A diferencial de V = V(p, 1) é 
dV = av dp + av dT = _ 82,06 -T d + 82,06 dT. 
ap ar P2 'P p · 
Com p = 5, T = 300, dp = 0,2, e dT = 10, calcula-se 
82,06 · 300 82 06 
dV = - 52 • 0,2 + T. 10 = -32,8 (cm3). 
Isto indica que o gás sofrerá um decréscimo de volume da ordem de 33 cm3• A varia-
ção real é 
&V _ 82,06 · 310 82,06 . 300 
- 5,2 - 5 =4.892,0 -4.923,6 = -31,6 (cm3). 
EXEMPLO 4 O ponto (1, 2) pertence à curva de equação 
f(x, y) = 2x3 + y 3 - 5.xy = O. 
Dê uma aproximação da coordenada y do ponto vizinho ( 1, 1; y ). 
Solução Calcula-se primeiro a diferencial 
df = ix dx + iy dy = (6x2 - Sy) dx + (3y 2 - 5x) dy = O. 
Fazendox = 1, Y = 2, e dx = 0,1, obtém-se dy = 0,06. Isto dá (1,1; 2,06) como coor-
denadas aproximadas do ponto vizinho. Para verificar a precisão desta aproximação, 
pode-se fazer x = 1, 1 na equação original, obtendo:..se 
2. (1,1)3 + y 3 - 5 . 1,1 . y = o. 
Cap. 14 / Diferenciação Parcial 
il 
1 
Resolve-se então em relação a y utilizando-se o método de Newton. Obtém-se y = 2,05. 
Definem-se de modo análogo incrementas e diferenciais de funções de mais de duas 
variáveis. Uma função w = f(x, y, z) tem incremento 
Âw = Af = J(x + Ax, y + Ay, z + Â.z) - J(x, y, z) 
e diferencial 
isto é, 
aw àw àw 
dw = -dx + -dy + -dz, 
ax ày àz 
escrevendo, como na Eq. ( 11), dx, dy e dz em vez de&, Ây e&, respectivamente. 
EXEMPLO 5 Construiu-se um cubo de metal que se supõe ter uma aresta de 100 
mm de comprimento, mas a medição de cada uma das três dimensões x, y, z pode ter 
um erro máximo de 1 milímetro. Por meio de diferenciais, estime o erro máximo re-
sultante no cálculo do volume V = xyz. 
Solução É preciso uma aproximação do incremento 
AV = V(l00 + dx, 100 + dy, 100 + dz) - V(l00, 100, 100) 
quando os erros dx, dy e dz em x, y e z são máximos. A diferencial de V = xyz é 
dV = yz dx + xz dy + xy dz. 
Fazendo x = y = z = l 00 e dx = ± l, dy = ± l e dz = ± l, obtém-se 
dV = 100 · 100 · (± 1) + 100- 100 · (±1) + 100 -100 · (± 1) = ±3.000. 
Pode surpreender que um erro de apenas um milímetro em cada dimensão de um cubo 
resulte em um erro de 30.000 mm3 em seu volume. (Para um cubo feito de metal pre-
cioso, um erro de 30 cm3 poderia corresponder a uma diferença de centenas de milha-
res de dólares em seu custo.) 
O TEOREMA DA APROXIMAÇÃO LINEAR 
A diferencial df = fxdx + J;,dy é definida desde que ambas as derivadas parciais f , e J;, 
existam. O Teorema 1 dá condições suficientes para que df seja uma boa aproximação 
do incremento Ãj quando Lix e Ây são pequenos. 
Teorema 1 Aproximação Linear 
Suponha-se que j( ~ y) tenha derivadas parciais de primeira ordem contínuas em 
urna região retangular com lados horizontais e verticais, e que contenha os pon-
tos P(a, b) e Q(a + &, b + Ây) em seu interior. Seja 
AJ = f(a + Ax, b + Ay) - f(a. b) 
SEÇÃO 14.6 / Incrementas e Diferenciais 37 
y 
Q(a+l\x, b+Ay) 
........ , 
.,.... •(a+ l\x, Y) 
,,... 1 
,,, 1 
P(a, b) ,,,. -:_ _ • - ---• R(a +l\x,b) 
(X, b) 
X 
Fig. 14.6.1 Ilustração da prova do te-
orema da aproximação linear. 
38 
o incremento correspondente no valor de f Então 
!:,.J = fx(a, b) âx + fy{a, b) !:,.y + E1 A.x + E2 A.y. (13) 
onde E1 e E2 são funções de Lll e D-y que tendem para zero quando ~ ➔ O e 
A.y ➔ O. 
Demonstração Se Ré o ponto (a + .6.x, b) indicado na Fig. 14.6.1 , então 
D./ = J(Q) - J(P) = [f(R) - /(P)] + [f(Q) - J(R)] 
= [/(a + D.x, b) - f(a, b)] 
+ [f(a + D.x, b + D.y) - f(a + !:,.x, b)]. (14) 
Serão considerados separadamente os dois termos no membro direito da Eq. (14). 
Para o primeiro termo, define-se a função de uma variável 
g(x) = f(x, b) para x em [a, a + A.x]. 
Então, o teorema do valor médio dá 
J(a + D.x, b) - f(a, b) = g(a + D.x) - g(a) = g'(X) Âx = fx(X, b) A.x 
para algum número X no intervalo aberto (a, a + &). 
Para o segundo termo à direita na Eq. (14), define-se a função de uma variável 
h(y) = f(a + D.x, y) para y em[b, b + A.y]. 
O teorema do valor médio dá agora 
/(a + D.x, b + D.y) - f(a + D.x, b) = h(b + A.y) - h(b) 
= h'(Y) A.y = jy(a + A.x, Y) A.y 
para algum número Y no intervalo aberto (b, b + A.y) . 
Substituindo estes dois resultados na Eq. (14), tem-se 
l:lf = fx(X, b) D.x + fy(a + Âx, Y) Ây 
= [fx(a, b) + fx(X, b) - fx(a, b)] A.x 
+ [j;,(a, b) + fy(a + l:lx, Y) - fy{a, b)] A.y. 
Assim, 
D.f = fx(a, b) D.x + fy(a, b) A.y + E1 Âx + E2 A.y, 
onde 
1:1 = fx(X, b) - fx(a, b) e E2 = fy(a + A.x, Y) - jy(a, b). 
Finalmente, como ambos os pontos (X, b) e (a + &, Y) tendem para (a, b) quando 
Lll ➔ O e A.y ➔ O, decorre da continuidade defx ef;, que tanto E 1 como E2 tendem para 
zero quando & e A.y tendem a zero. Isto completa a demonstração. O 
A função definida no Problema 39 ilustra o fato de que uma função f(x, y) de duas 
variáveis pode ter derivadas parciais em um ponto sem que seja contínua aí. Assim, a 
Cap. 14 / Diferenciação Parcial 
14.6 Problemas 
simples existência de derivadas parciais significa muito menos para uma função de duas 
(ou mais) variáveis do que a existência de derivada para uma função de uma única 
variável. Mas, pelo teorema da aproximação linear, uma função dotada de derivadas 
parciais contínuas em todo ponto de um círculo é ela própria contínua dentro desse 
circulo (ver Problema 40). 
Diz-se que uma funçãof de duas variáveis é diferenciável no ponto (a, b) sef/a, b) 
eJ;,(a, b) existem ambas, e existem também funções E1 e E2, de~ e Lly, que tendem 
para zero quando~ e Lly tendem para zero, e para as quais a Eq. (13) é válida. Não se 
terá grande necessidade deste conceito de diferenciabilidade, porque basta admitir que 
as funções tenham derivadas parciais contínuas. 
Pode-se generalizar o Teorema 1 para funções de três ou mais variáveis. Por exem-
plo, se w = f(x, y, z), a análoga da Eq. (13) é 
!J.f = fx(a, b, e) !J.x + J;,(a, b, e) /J,.y + fz(a, b, e) /J,.z 
+ E1 !J.x + E2 !J.y + E3 Llz, 
onde E1, E2 e E3 todos tendem para zero quando ~. Lly e & tendem a zero. A demons-
tração para o caso de três variáveis segue as mesmas linhas do caso de duas variáveis. 
Ache a diferencial dw nos Problemas 1 a 16. Nos Problemas 24 a 29, aplique diferenciais para obter uma 
aproximação do número indicado. 
1. w = 3x2 + 4xy - 2y 3 2. w = exp(-x2 - y 2) 
3. w = VI + x 2 + y 2 4. w = xyex+y 
5. w = arctg (~) 
6. w = xz2 - yxi zy2 
7. w = ln(x2 + y2 + z2) 
9. W = x tg yz 
11. w = e-xy, 
13. w = u 2 exp(-v 2) 
15. w = V x2 + y2 + z2 
S. w = sen .xyz 
10. w = xye"º 
12. w = ln(l + rs) 
s + t 
14. w =--
s - t 
16. w = pqr exp( _ p 2 _: q2 _ ri) 
Nos Problemas 17 a 23, obtenha, por meio de diferenciais, uma 
aproximação de !).f = f(Q) - f(P). 
17. f (x, y) = y .x2 + y2; 
18. f(x, y) = Vx 2 - y 2 ; 
P(3, 4) , Q(2 ,97 ; 4 ,04) 
P(13, 5), Q(13 ,2; 4,9) 
19. f (x, y) = l + ! + y; P(3, 6), Q(3,02; 6,05) 
20. f(x, y, z) = Vryz; P(l , 3, 3), Q(0,9, 2,9;3,1) 
21. f (x, y, z) = V x 2 + y 2 + z 2 ; P(3, 4, 12), 
Q(3,03 ; 3,96; 12,05) 
22. f (x, y, z) = / Y\ ; P(2 , 3, 5), 
X y Z 
Q(l,98; 3,03 ; 4,97) 
23. f(x , y, z) = e- m; P(l, O, -2), 
Q(l ,02 ; 0,03; -2,02) 
SEÇ \v i 4.6 / Incrementas e Diferenciais24. (V26)(~)("V17) 
~ 
26 . . s;;:;-;;-
v 30 
25. (Vl5 + Y99) 2 
27. e0A = exp(l,l2 - 0,92) 
28. A coordenada y do ponto P vizinho a (1, 2) na curva 2x3 + 
2y3 = 9xy, se a coordenada x de P é 1, 1. 
29. A coordenada x do ponto P na vizinhança de (2, 4) na curva 
4.x" + 4y4 = 17.x2y2, se a coordenada y de Pé 3,9. 
30. Mediram-se a base e a altura de um retângulo, obtendo-se 1 O 
cm e 15 cm, respectivamente, com erro máximo possível de 0 , 1 
cm em cada medida. Ap]jcando diferenciais, estime o erro máxi-
mo resultante no cálculo da área do retângulo. 
31. Medem-se o raio da base r e a altura h de um cone circular 
reto, obtendo-se 5 in e 10 in, respectivamente. Há um erro máxi-
mo possível de rt; in em cada medida. Por meio de diferenciais, 
estime o erro máximo que pode ocorrer no cálculo do volume do 
cone. 
32. As dimensões de uma caixa retangular fechada são 1 O cm por 
15 cm por 20 cm, com erro de medida possível de O, 1 cm em cada 
valor. Aplique diferenciais para estimar o erro máximo resultan-
te no cálculo da área total da superfície da caixa. 
33. Uma agrirnensora deseja calcular a área, em acres, de certo ter-
reno (1 acre corresponde a 43.560 ft2). Ela mede dois lados adjacen-
tes, obtendo a = 500 ft e b = 700 ft, com e1rn possível de, no máxi-
mo, 1 ft em cada medida. Determine então o ângulo entre esses dois 
lados, achando 0 = 30º, com erro máximo possível de 0,25º. O ter-
reno é triangular, sendo, pois, sua área dada por A = ½ab sen 0. 
Aplicando diferenciais, estime o erro máximo resultante~ em acres, 
no cálculo da área do terreno por esta fórmula. 
34. Com auxílio de diferenciais , estime a variação no volume do 
gás do Exemplo 3, se sua pressão é reduzida de 5 atm para 4,9 
atm e sua temperatura decresce de 300 K para 280 K. 
39 
35. O período de oscilação de um pêndulo de Jmprimento L é 
dado (aproximadamente) pela fórmula T = 2n L ! g . Estime a 
variação no período de um pêndulo, se seu comprimento aumenta 
de 2 ft para 2 ft 1 in e se o pêndulo é simultaneamente removi-
do de um local onde g é exatamente 32 ft/s2 para outro local onde 
g = 32,2 ft/s2• 
36. Dado o pêndulo do Problema 35, mostre que o erro relativo 
na determinação de T é a metade da diferença entre os erros re-
lativos nas medidas de L e g - isto é, que 
dT _ 1 (dL dg) --- ---
T 2 L g . 
37. O alcance de um projétil disparado (no vácuo) com veloci-
dade inicial V0 e ângulo de inclinação a em relação à horizontal 
é R = 312 Võ sen 2a. Com auxfüo de diferenciais, obtenha uma 
aproximação da variação do alcance, se v0 aumenta de 400 ft/s 
para ~1-10 ft/s e a aumenta de 30º para 31º. 
38. Uma viga horizontal, apoiada em suas duas extremidades, 
suporta uma carga uniforme. A deflexão, ou selamento, no seu 
ponto médio é dada por 
k 
S = wh3' (15) 
onde w eh são a largura e a a ltura, respectivamente, da viga, e 
k é uma constante que depende do comprimento e da composi-
ção da viga e da quantidade de carga. Mostre que 
dS = -s(± dw + ¾dh ). 
Se S = 1 in quando w = 2 in eh = 4 in, obtenha uma aproxi-
mação da deflexão quando w = 2, l in eh = 4, 1 in. Compare os 
resultados obtidos com o valor real calculado com a Eq. (15). 
39. Seja a função f definida em todo o plano .xy por j(x, y) = l 
se x = y * O, e f(x, y) = O em caso contrário. (a) Mostre quef 
não é contínua em (O, O). (b) Mostre que ambas as derivadas 
parciais/, e,t, existem em (0, 0). 
40. Deduza da Eq. (13) que, sob as hipóteses do teorema de 
aproximação linear, l:!.f ➔ O quando & e L'iy tendem a zero. Que 
é que isto implica quanto à continuidade def no ponto (a, b)? 
14.7 
A Regra da Cadeia 
A regra da cadeia para uma variável expressa a derivada de uma função composta 
f(g(t)) em termos das derivadas def e g: 
40 
D,f(g(t)) = f'(g(t)) · g'(t). (1) 
Com w = f(x) ex = g(t), a regra da cadeia afirma que 
dw dw dx 
dt - dx dt. (2) 
A situação mais simples da regra da cadeia no caso de mais de uma variável envolve 
uma função w = f(x, y), em que x e y são ambas funções da mesma e única variável t: 
x = g(t) e y = h(t). A função compostaf(g(t), h(t)) é então uma função da única vari-
ável t, e o Teorema 1 expressa sua derivada em termos das derivadas parciais def e das 
derivadas simples de g eh. Supõe-se que as hipóteses enunciadas sejam válidas em 
domínios em que a função composta seja definida. 
Teorema 1 A Regra da Cadeia 
Suponha-se que w = f(x, y) tenha derivadas par:eiais âe primeil;a ordem Gontínu-
as e que x = g(t) e y = h(t) sejam funções diferenciáveis. Então 11' _é ama função 
diferenciável de t, e 
(3) 
A notação com variáveis da Eq. (3) em geral é mais útil do que a notação funcional. 
Deve-se ter em mente, de qualquer forma, que as derivadas parciais na Eq. (3) devem 
ser calculadas no ponto (g(t), h(t)), de forma que, em notação funcional, a Eq. (3) é 
D, [f(g(t), h(t))] = fx(g(t), h(t)) · g'(t) + J;,(g(t), h(t)) · h'(t). (4) 
Cap. 14 / Diferenciação Parcial 
Variável 
dependente 
Variáveis 
intermediárias 
Variável 
independente 
Fig. 14.7.1 Níveis das variáveis na 
EXEMPLO 1 Sejam w = e'<J', x = t2, e y = t3. Então 
A Eq. (3) dá 
aw - = xexy 
ay , 
dx - = 2t 
dt 
e 
dw aw dx aw dy - = - · - + - · - = (ye-'Y)(2t) + (xe-'Y)(3t 2) 
dt ax dt ay dt 
= (t 3e 15)(2t) + (t2e 15)(3t2) = 5t4e 15 • 
Se não se tivesse em mira ilustrar a regra da cadeia para o caso multi variado, ter-se-ia 
obtido o mesmo resultado de modo mais simples escrevendo-se 
e diferenciando-se w como função da única variável t. 
No fim desta seção inclui-se uma demonstração da regra da cadeia. A título de es-
boço, começa-se com a aproximação linear 
aw aw 
6.w =-6.x +-6.y 
ax ay 
da Seção 14.6 e divide-se por /),.t: 
Ó.W aw Ó.X aw ó.y -=--+--
6.t ax b..t ay 6.t" 
Toma-se então o limite quando /),.t ➔ O, obtendo-se 
dw aw dx aw dy -=--+--
dt ax dt ay dt . 
Na situação do Teorema 1, pode-se designar w como a variável dependente, x e y 
como variáveis intermediárias, e t como a variável independente. Observe-se, en-
tão, que o membro direito da Eq. (3) tem dois termos, um para cada variável interme-
diária, e ambos semelhantes ao membro direito da regra da cadeia de uma única variá-
vel da Eq. (2). Se há mais de duas variáveis intermediárias, então há ainda um termo 
no membro direito para cada variável intermediária. Por exemplo, se w = f(x, y, z), 
com x, y, z cada uma função de t, então a regra da cadeia toma a forma 
dw àw dx õw dy aw dz 
-=---+- ·-+- · -dt õx dr ày dr àz dt. (5) 
A demonstração da Eq. (5) é essencialmente a mesma que a da Eq. (3) ; exige o teore-
ma da aproximação linear para três (e não duas) variáveis. 
É interessante encarar os três tipos de variável - dependente, intermediária e inde-
pendente - como se estivessem em três níveis diferentes, como na Fig. 14.7 .1, com a 
variável dependente no topo e a variável independente na base. Cada variável então 
depende (direta ou indiretamente) das que estão abaixo dela. 
regra da cadeia. EXEMPLO 2 Determine dw/dt, se w = x2 + zeY + sen xz e x = t, y = t2 e z = t3. 
SEÇÃO 14.7 / A Regra da Cadeia 41 
Fig. 14-7.2 Diagrama para w = w(x, 
Y, z), onde x = x(u, v) , y = y(u, v ) e z 
= z(u, v) . 
42 
Solução A Eq. (5) dá 
dw = aw . dx + aw . dy + aw . dz 
dt ax dt ay dt az dt 
= (2x + z cos xz)(l) + (zeY)(2t) + (eY + x cos xz)(3t 2) 
= 2t + (3t 2 + 2t4)e 12 + 4t3 cos t 4 • 
No Exemplo 2 poder-se-ia verificar o resultado dado pela regra da cadeia, escre-
vendo-se primeiro w como função explícita de te em seguida calculando-se a derivada 
simples de w em relação a t. 
V ÁRIAS VARIÁ VEIS INDEPENDENTES 
Pode haver várias variáveis independentes, assim como várias variáveis intermediári-
as. Por exemplo, se w = f (x, y, z), com x = g(u, v) , y = h(u, v ), e z = k(u, v) , de forma 
que 
w = J(x, y, z) = J(g(u, v), h(u, v), k(u, v)), 
então tem-se três variáveis intermediárias x, y, z, e duas variáveis independentes u e v. 
Neste caso, seria preciso calcular as derivadas parciais êJwlêJu e aw/av da função com-
posta. A regra da cadeia geral no Teorema 2 afirmaque cada derivada parcial da variá-
vel dependente w é dada por uma fórmula da regra da cadeia tal como a Eq. (3) ou a 
Eq. (5). A única diferença é que as derivadas em relação às variáveis independentes 
são derivadas parciais. Por exemplo, 
aw aw ax aw éJy aw az ---- -+- --+-·-. au ax au ay au az au 
O "modelo molecular" da Fig. 14.7.2 ilustra esta fórmula. O "átomo" no topo represen-
ta a variável dependente w. Os átomos no nível seguinte representam as variáveis intern1e-
diárias x, y, z. Os átomos na base representam as variáveis independentes u e v. Cada "liga-
ção" no modelo representa uma derivada parcial envolvendo as duas variáveis ( os átomos 
unidos pela "ligação"). Observe-se, finalmente, que a fórmula apresentada antes deste pa-
rágrafo expressa aw/au como a soma dos produtos das derivadas parciais tomadas ao lon-
go de todas as trajetórias de w a u. Analogamente, a soma dos produtos das derivadas par-
ciais ao longo de todas as trajetórias de w a v dá a fórmula correta 
aw aw ax aw ay aw az -----+---+-·-. 
av ax av ay av az av 
O Teorema 2 descreve a situação mais geral. 
Teorema 2 A Regra da Cadeia Generalizada 
Suponha-se w função das variáveü; x 1, -½, ... , x,m e cada urna destas, função das 
variáveis ti, t2, ••• ,ln-Se todas essas funções têm derivadas parciais de primeira 
ordem contínuas, então 
aw aw àx, aw àx2 aw dXm -=-·-+- ·-+ ···+-·-a,, ax I àt, àx2 a,, àx,., éJr; · (6) 
para todo i, 1 ~ i ::: n. 
Cap. 14 / Diferenciação Parcial 
L_ 
Fig.14.7.3Diagramaparaz = z(u, v), 
onde u = u(x, y) e v = t,(x, y) (Exem-
plo 3). 
Assim, há uma fórmula na Eq. (6) para cada uma das variáveis independentes t1, t2, 
... , tn, e o membro direito de cada uma dessas fórmulas contém um termo típico da re-
gra da cadeia para cada variável intermediária Xi, x2, ••• , Xm. 
EXEMPLO 3 Suponha-se que 
z = f(u, v), u=2x+y, V= 3x - 2y. 
Dados os valores ;)ú;Ju = 3 e ;JúiJv = -2 no ponto correspondente (u, v) = (3, 1), ache 
os valores ;Júr:Jx e ;JúiJy no ponto correspondente (x, y) = (1, 1). 
Solução A Fig. 14.7.3 mostra as relações entre as variáveis. A regra da cadeia dá 
az = az . au + az . av = 3 . 2 + (-2) . 3 = 0 
ax au ax av ax 
e 
az = az . au + az . av = 3 . 1 + (-2) . (-2) = 7 
ay au ay av ay 
no ponto indicado (x, y) = (1, 1). 
EXEMPLO 4 Seja w = j(x, y), com x e y dados em coordenadas polares pelas equa-
ções x = r cos 8 e y = r sen 8. Calcule 
aw 
ar· 
aw 
a8 • e 
em termos der e 8 e as derivadas parciais je w em relação a x e y (Fig. 14.7.4). 
Solução Aqui x e y são variáveis intermediárias; as variáveis independentes são r e 
8. Observe-se primeiro que 
Então 
ax - = cos8, ar 
ay = sen8 ar , 
ax - = -rsen8 a8 • e 
ay = rcos 8 a8 · 
aw aw ax aw ay aw aw - = -·- + - · - = -cos8 + -sen8 ar ax ar ay ar ax ay (7a) 
Fig.14.7.4 Diagrama para w = w(x, e 
Y), onde x = x(r, 9), y = y(r, 9) 
(Exemplo 4). aw aw ax aw ay aw aw - = - • - + - • - = -r- sen 8 + r- cos 8. (7b) 
SEÇÃO 14.7 / A Regra da Cadeia 
a8 ax a8 ay a8 ax ay 
Em seguida, 
a2w = ~ (ªw) = ~ (ªw cos 8 + aw sen 8) ar2 ar ar ar ax ay 
awx awy = -cos8 + -sen8, ar ar 
onde wx = iJw/iJx e w, = iJwliJy. Aplicando a Eq. (7a) para calcular iJw/õre aw,lõr, obtém-se 
a2w = (ªWx . ax + awx . êJy)COS (J + (ªWy . ax + aw,. . ay)sen (J 
ar2 ax ar ay ar ax ôr ôy ar 
= ( ~; cos 8 + aªy':x sen o)cos 8 + ( aª::Y cos 8 + !) sen 8)sen 8. 
43 
Fig.14.7.5 Diagrama para w = j(u, v, 
x, y), onde u = u(x, y), v = v(x, y) 
(Exemplo 5). 
44 
Finalmente, como W yx = w xy, tem-se 
(8) 
EXEMPLO 5 Suponha-se que w = fi.u, v, x, y), onde u e v são funções de x e y. Aqui, 
x e y desempenham papel duplo de variáveis intermediárias e independentes. A regra 
da cadeia dá 
àw - àf . au + àf . av + aJ . ax + af . ay 
àx àu ax av ax àx àx ày ax 
= aJ . au + aJ . av + af 
au ax àv ax ax' 
porque ax/éJx = 1 e ôy/éJx = O. Analogamente, 
aw àf àu af av àf 
-----+---+-. 
ay au ay av ay ày 
Estes resultados são consistentes com as trajetórias de w a x e de w a y no modelo mo-
lecular da Fig. 14.7.5. 
EXEMPLO 6 Considere uma curva paramétrica x = x(t), y = y(t), z = z(t) sobre a 
superfície z = fi.x, y). Lembre-se de que, se 
T _ / dx dy dz) e 
- \dt' dt' dt 
N=/az~-1) 
\ax' ay' ' 
então T é tangente à curva e N é normal à superfície. Mostre que T e N são sempre 
perpendiculares. 
Solução A regra da cadeia na Eq. (3) afirma que 
dz _ ~ . dx + ~ . dy 
dt a x dt a y dt · 
Mas esta equação é equivalente à equação vetorial 
/ ~ ~ - l) . / dx dy dz) = O 
\ax' ày' \dt' dt' dt . 
Assim, N · T = O, de forma que N e T são perpendiculares. 
Teorema 3 Diferenciação Parcial lmplfeita 
' Suponha-se que a função F(x, y, z) te]i):ha derivadas parciais de prilirreira ordem 
contínuas. e que a equação F(x, y, z) = O defina implicitamente uma função .t = 
fi.x, y) com derivadas parciais de primeira ordem contínuas. E.ntão 
e (9) 
sempre que Fz = rJFlaz ::t:. O. 
Demonstração 
relação a x dá 
Como w = F(x, y, f(x, y)) é identicamente zero, a diferenciação em 
Cap. 14 / Diferenciação Parcial 
SEÇÃO 14.7 / A Regra da Cadeia 
L 
então • 
0 _ àw _ àF . àx + àF . ày + àF . àz 
àx àx àx ày àx àz àx 
àz = 1 · F,, + O • Fy + - · F~, 
àx 
àz 
F,, + àx · F~ = O. 
Com isto, tem-se a primeira fórmula em (9). A segunda se obtém de modo análogo, 
diferenciando w em relação ay. O 
OBSERVAÇÃO Em geral, em um caso específico, é mais simples diferenciar a equa-
ção F(x, y,j(x, y)) = O implicitamente do que aplicar as fórmulas (9). 
EXEMPLO 7 Determine o plano tangente, no ponto (1, 3, 2), à superfície de equação 
z3 + xz - y 2 = 1. 
Solução A diferenciação parcial implícita da equação dada, em relação a x e em re-
lação a y, dá as equações 
àz àz 
3z2 - + Z + X - = 0 
àx àx 
àz àz 
3z2 - + X - - 2y = Ü. 
ày ày 
e 
Substituindo x = 1, y = 3 e z = 2, obtêm-se ikfiJx, = - f3 e ik/;)y = ,& . Assim, a equa-
ção do plano tangente procurado é 
z - 2 = --h(x - 1) + i\(y - 3); 
ou seja, 
2x - 6y + 13z = 10. 
Demonstração da Regra da Cadeia Como w = j(x, y) satisfaz as hipóteses do Teo-
rema 1, escolhe-se um ponto to onde se quer calcular dw/dt e escreve-se 
Seja 
Então 
Se 
a= g(to), b = h(to). 
Ax = g(to + At) - g(to), Ay = h(to + Ar) - h(to). 
g(to + At) = a + Ax e h(to + At) = b + Ay. 
Aw = f(g(to + At), h(to + At)) - f(g(to), h(t0 )) 
= /(a + Ax, b + Ay) - f(a, b), 
então o que se tem de calcular é 
_dw = lim Aw 
dt ât-+O At. 
45 
O teorema da aproximação linear da Seção 14.6 dá 
àw = /z(a, b) /u + /,(a, b) Ay + E1 Ax + E2 Ay, 
onde E1 e E2 tendem para zero quando Ax e Ay tendem a zero. Observe-se que Ax e Ãy 
tendem ambos para zero quando At ➔ O, porque ambas as derivadas 
e 
existem. Por conseguinte, 
dy = lim Ay 
dt 41-o At 
dw . Aw . [ Ax Ay Ax Ay] 
-d = lim -A = lim fz(a, b)-A + f,(a, b)-A + E1 -A + E2 At t 41-o t 41-o t t t a 
dx dy dx dy 
= /z(a, b) dt + /,(a, b) dt + O dt + O dt . 
Logo, 
dw = aw . dx + aw . dy 
dt ax dt ay dt · 
Estabelece-se assim a Eq. (3), escrevendo-se éJw/ax e éJw/iJy para representar as deri-
vadas parciais.fx(a, b) ef,(a, b) no final. O 
14.7 Problemas 
Nos Problemas 1 a 4, calcule dw/dt aplicando a regra da cadeia 
e explicitando w como função de t antes de diferenciar. 
1. w = exp(-x2 - y 2), x = t, y = '\IÍ 
1 
2• w = u2 + 02 , u = cos 2t, v = sen2t 
3. w = senxyz, x = 1, y = 12, z = t3 
4. w = ln(u + v + z), u = cos2 t, v = sen2 t, z = t 2 
Nos Problemas 5 a 8, calcule owlos e ow/ot. 
S. w = ln(x2 + y 2 + z2), x = s - t, y = s + t, 
z = 2\/ãi 
6. w = pqsenr,p = 2s + t, q = s - t, r = st 
7. w = Vu2 + v2 + z2 , u = 3e'sen s, u = 3e' coas, 
z = 4e' 
8. w = yz + zx + xy, x = 8 2 _ 12, y = 8 2 + 12, 
z = s2t2 
Nos Problemas 9 e 10, calcule àrlàx, àrliJy e àrlik. 
9 r - e"+o+w • - , U = yz, V = XZ, W = X)' 
10. r == uuw - u 2 - v 2 - w2, u = y + z, u = x + z, 
w==x+y 
Nos Problemas J 1 a 15 calcule ik/àx e az1ay como funções de x, 
Y e z, supondo que z = j(x, y) satisfaça a equação dada. 
46 
11. x2/3 + y2/3 + z2l3 = 1 12. x3 + y 3 + z3 = xyz 
13. xe"1 + ye•" + ze"1= 3 
14. x5 + xy2 + yz = S 
Nos Problemas 16 a 19, aplique o método do Exemplo 5 para 
calcular owlàx e ow/oy como funções de x e y. 
16. w = u2 + v2 + x 2 + y2, u = x - y, v = x + y 
17. w = '\Írwxy,u = vi"'=y,v = Vx+y 
18. w = xy ln(u + u), u = (x2 + y 2) 113, 
u = (x3 + y3)1/2 
X y 
19, W = UU - XJ, U = 2 2 , V = 2. + 2 
X + y X y 
Nos Problemas 20 a 23, escreva uma equação do plano tangen-
te, no ponto P, à supe,fície de equação dada. 
20. x2 + y 2 + z2 = 9; P(l, 2, 2) 
21. x2 + 2y2 + 2z2 = 14; P(2, 1, -2) 
22. x3 + y 3 + z3 = Sxyz; P(2, 1, 1) 
23. z3 + (x + y)z2 + x2 + y 2 == 13; P(2, 2, 1) 
24. Supondo que y = g(x, z) satisfaça a equação F(x, y, z) = O e 
que F,* O, mostre que 
ay aF/ax 
ax == - aF/ay · 
Cap. 14 / Diferenciação Parcial 
25. Suponha que x = h(y, z) satisfaça a equação F(x, y, z) = O 
e que Fx =t: O. Mostre que 
ax aF/ay 
ay = - aF/ax· 
26. Suponha que w = j(x, y), x = r cos 0e y = r sen 0. Mostre 
que 
(aw)2 + (ªw)2 = (ªw)2 + .!. (ªw)2. ax ay ar r 2 a8 
27. Suponha que w = j(u) e que u = x + y. Mostre que éJwliJx 
= éJwlr}y. 
28. Suponha que w = j(u) e que u = x - y. Mostre que éJwliJx 
= -awtr}y e que 
a2w a2w a2w 
ax2 ay 2 axay • 
29. Seja w = j(x, y), onde x = u + v e y = u - v. Mostre que 
30. Supondo w = j(x, y), x = 2u + v e y = u - v. Mostre que 
a2w a2w a2w a2w a2w 
5-+ 2--+ 2-=-2 +-2· 
ax2 axay ay2 au av 
31. Sendo w = j(x, y), x = r cos 0, e y = r sen 0, mostre que 
a2w a2w a2w 1 aw 1 a2w 
ax2 + ay 2 = ar2 + ; ar + r 2 a82 • 
[Sugestão: Calcule primeiro éJ2w / i)02 pelo método do Exem-
plo 4. Combine então o resultado com as Eqs. (7) e (8).] 
32. Suponha que 
e quer= ✓x2 + y 2 + z2 . Mostre que 
a2w a2w a2w 1 a2w 
-+-+-=--. 
ax2 ay 2 az 2 a 2 ar2 
33. Suponha que w = j(r) e quer= ✓x2 + y2 + z2. Mostre 
que 
a2w a2w a2w d2w 2 dw 
-+-+-=-+--. 
ax2 ay 2 az2 dr2 r dr 
34. Supondo w = j(u) + g( v), u = x - at, e v = x + at, mostre 
que 
SEÇÃO 14.7 / A Regra da Cadeia 
35. Supondo que w = j(u, v), u = x + y, e v = x - y, mostre que 
36. Dados w = j(x, y), x = e" cos v, e y = e" sen v, mostre que 
37. Suponha que w = j(x, y) e que exista uma constante a tal que 
x = u cos a - v sen a e y = u sen a + v cos a Mostre que 
38. Suponha que w = j(u), onde 
x2 _ y2 
u=---'--
x2 + y2· 
Mostre que XWx + ywy = o. 
Suponha que a equação F(x, y, z) = O defina implicitamente as três 
funções z = j(x, y), y = g(x, z), e x = h(y, z). Para identificar as 
várias derivadas parciais, utiliza-se a notação 
(::t = =~· ( az) af ay "= ay' (10a) 
(!:t = ::. (8Y) ag az x = az' (10b) 
(:;t ah (!:t ah =- = az· (10c) ay' 
Em resumo, o símbolo geral (éJwliJu)v denota a derivada de w em 
relação a u, onde w é considerada como uma função das variáveis 
independentes u e v. 
39. Com a notação das Eqs. (10), mostre que 
[Sugestão: Calcule as três derivadas parciais do membro direito das 
Eqs. (10) em termos de Fx, FY e F,.] 
40. Verifique o resultado do Problema 39 para a equação 
F(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 - 1 - O. 
41. Verifique o resultado do Problema 39 (com p, V e Tem vez de 
x, y e z) para a equação 
F(p, V. T) = pV - nRT = O 
(n e R são constantes), que expressa a lei dos gases ideais. 
47 
14.s .... --_, 
Derivadas 
Direcionais e o Vetor 
Gradiente 
48 
A variação no valor da função w = f{x, y, z) do ponto P(x, y, z) para o ponto vizinho 
Q(x + llx, Y + lly, z + /lz) é dada pelo incremento 
llw = f(Q) - J(P). (1) 
O teorema da aproximação linear da Seção 4.6 dá 
(2) 
Pode-se expressar esta aproximação concisamente em termos do vetor gradiente 
V/(que se lê "dei f') da função/, que se define como 
}l/jj;(x,, y, ~ . + k.fz(x, y, z-:;:~ 
.,i,,..~~,!:_ .......... ~~---- ---~-- ·- ----- ·--· •. ·---- - - - ·--- - . - -·- . 
(3) 
Escreve-se também 
V/ = ( iJ/, iJf, a/) = iJf i + àf j + àf k. 
ax ay az ãx ãy ãz 
Então a Eq. (2) mostra que o incremento /lw = f{Q) - f{P) é dado aproximadamente 
por 
llw = V/(P) • v, (4) 
---+ 
onde v = PQ = (llx, lly, llz} é o vetor deslocamento de P a Q. 
EXEMPLO 1 Sef{x, y, z) = :i1- + yz - 2xy - z2, então a d~finição de vetor gradiente 
naEq. (3) dá 
Vf(x, y, z) = iJf i + iJ/ j + iJ/ k 
ax ay ãz 
= (2x - 2y)i + (z - 2x)j + (y - 2z)k. 
Por exemplo, o valor de V/no ponto P(2, 1, 3) é 
V/(P) = V/(2, 1, 3) = 2i - j - Sk. 
Para aplicar a Eq. (4), calcula-se primeiro 
f(P) = /(2, 1, 3) = 22 + 1 · 3 - 2 · 2 · 1 - 32 = -6 . 
.Se Q é o ponto vizinho (1,9; 1,2; 3, 1 ), então PQ = v = < - O, 1 ; 0,2; O, 1 > e assim a 
aproximação em ( 4) dá 
J(Q) - f(P) = V/(P) • v = (2, -1, -5) • (-0,l;, 0,2; 0,1) = -0,9. 
Logo,J{Q) = -6 + (-0,9) = -6,9. Neste caso, pode-se calcular rapidamente, para 
fins de comparação, o valor exato de.ftQ) = -6,84. 
DERIVADAS DIRECIONAIS 
Sabe-se que as derivadas parciais/..(x, y, z),f,(x, y, z) efz(x, y, z) dão as taxas de varia-
ção de w = f(x, y, z) no ponto P(x, y, z), nas direções x, y e z, respectivamente. Pode-se 
Cap. 14 / Diferenciação Parcial 
z 
X y 
Fig. 14.8.1 Primeiro passo no cálcu-
1~ da taxa de variação de ftx, y, z) na 
direção do vetor unitário u. 
agora aplicar o vetor gradiente V/para calcular a taxa de variação de w em P, em uma 
direção arbitrária. Lembre-se de que uma "direção" fica definida por um vetor unitá-
rio u. 
Seja Q um ponto do raio de P na direção deu (Fig. 14.8.1). A taxa média de vari-
ação de w em relação à distância entre P e Q é 
---+ 
onde & = 1 PQ 1 = lvl é a distância de P a Q. Então, a aproximação em (4) dá 
Aw = V/(P) • v = V/(P) . u, 
As I vi (5) 
onde u = v/lvl é o vetor unitário na direção de P a Q. Ao tomarmos o limite da taxa 
média de variação Ãw/& quando & ➔ O, obtém-se a taxa instantânea de variação 
dw . Aw 
- = lim - = V/(P) · u. 
ds âs-+O As 
(6) 
Estes cálculos motivam a definição 
(7) 
da derivada direcional de/ em P(x, Y, z) na direção u. Os textos de física e de enge-
nharia costumam utilizar a notação 
dfl ds P = Duf(P), 
ou simplesmente dwlds como na Eq. (6), para a taxa de variação da função w = f(x, y, 
z) em relação à distância s na direção do vetor unitário u. 
OBSERVAÇÃO Tenha em mente que o vetor u na Eq. (7) é um vetor unitário: lul = 
1. Se u = (a, b, e), então a Eq. (7) implica simplesmente que 
(8) 
EXEMPLO 2 Suponha que a temperatura no ponto (x, y, z), com a distância medida 
em quilômetros, seja dada por 
w = J(x, y, z) = 10 + xy + xz + yz 
(em graus Celsius). Ache a taxa de variação (em graus por quilômetro) da temperatura 
no ponto P(l, 2, 3) na direção do vetor 
v = i + 2j - 2k. 
Solução Como v não é unitário, deve-se substituí-lo por um vetor unitário de mesma 
direção antes de se aplicarem as fórmulas desta seção. Toma-se, pois, 
SEÇÃO 14.8 / Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente 49 
50 
O vetor gradiente de fé 
V/= (y + z)i + (x + z)j + (x + y)k, 
e assim V.f{l, 2, 3) = 5i + 4j + 3k. Logo, a Eq. (7) dá 
Daf(P) = {5, 4, 3) • {½, f, -f) = f 
{graus por quilômetro) como a taxa de variação da temperatura em relação à distância. 
REGRA DA CADEIA NO CASO VETORIAL 
A derivada direcional DJ está estreitamente relacionada com uma versão da regra da 
cadeia no caso multivariado. Suponha-se que as derivadas parciais de primeira ordem 
de f sejam contínuas, e que 
r{t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k 
seja uma função diferenciável com valores vetoriais. Então 
/{r{t)) = f(x(t)), y(t), z(t)) 
é uma função diferenciável de t, e sua derivada (simples) em relação a t é 
D, /{r{t)) = D, [f(x(t), y(t), z(t))] 
_ a/ . dx + õf . dy + õf . dz 
ax dt õy dt àz dt · 
Logo, 
(9) 
onde r'(t) = (x'(t), y'(t), z't)) é o vetor velocidade da curva paramétrica r(t). A Eq. (9) é a 
regra da cadeia vetorial. A operação no membro direito da Eq. (9) é o produto escalar, 
porque tanto o gradiente de f como a derivada de r são funções com valores vetoriais. 
Se o vetor velocidade v(t) = r' (t) =fo O, então v = vu, onde v = lvl é a velocidade 
(escalar) eu= v/vé o vetor unitário tangente à curva. Então a Eq. (9) implica que 
D,/(r(t)) = vDu/{r{t)). (10) 
Com w = .f{r(t)), DJ= dw/ds, e v = ds/dt,a Eq. (10) toma a forma simples da regra 
da cadeia 
(11) 
EXEMPLO 3 Se a função 
w = f(x, y, z) = 10 + xy + xz + yz 
do Exemplo 2 dá a temperatura, que taxa de variação em relação ao tempo (graus por 
minuto) um gavião observará ao voar por P( 1, 2, 3) a uma velocidade de 2 km/min 
diretamente para o ponto Q(3, 4, 4)? 
Solução No Exemplo 2 calculou-se V.f{P) = (5, 4, 3), e o vetor unitário na direção de 
PparaQé 
Cap. 14 / Diferenciação Parcial 
Fig. 14.8.2 O vetor unitário u da Eq. 
( 13). 
p 
Fig. 14.8.3 O ângul o <f> entre 'vf e o 
vetor unitári o u. 
Então 
Duf(P) = Vf(P) · u = (5 , 4, 3) · (ti,½) = 7 
(graus por quilômetro). Logo, a Eq. (11) dá 
dw = dw . ds = ( 7 gr ) ( 2 km) = 14 ~ 
dt ds dt km min mm 
como a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo, observada pelo gavião. 
INTERPRETAÇÃO DO VETOR GRADIENTE 
Até aqui, abordaram-se as derivadas direcionais apenas para funções de três variáveis . 
As fórmulas para uma função de duas, ou de mais de três variáveis são análogas: 
Vf(x, y) = /af, af) = af i + af j 
\ax ay ax ay 
(12) 
e 
af af 
Duf(x, y) = Vf(x, y) • u = a - ·+- b -
ax ay 
(13) 
seu= (a, b) é um vetor unitário. Se aé o ângulo de inclinação deu (medido no sentido 
anti-horário a partir do eixox positivo, como na Fig. 14.8.2), então a = cos ae b = sen 
a, e assim a Eq. (13) toma a forma 
af af 
Duf(x, y) = - cosa + - sena. 
ax ay 
(14) 
O vetor gradiente Vf admite uma interpretação importante, que envolve a derivada 
direcional máxima def Se <pé o ângulo entre Vf no ponto P e o vetor unitário u (Fig. 
14.8.3), então a fórmula da Eq. (7) dá 
Du f(P) = Vf(P) · u = J Vf(P) J cos cp, 
porque lul = 1. O valor máximo de cos <pé 1, quando <p = O. Isto ocorre quando u é o 
vetor unitário particular Vf(P)/ I Vf(P)I , que aponta na direção do próprio vetor gradi-
ente. Neste caso, a fórmula anterior dá 
Du f(P) = J Vf(P) J , 
e assim o valor da derivada direcional é o comprimento (módulo) do vetor gradiente. 
Provou-se, portanto, o Teorema 1. 
Teorema 1 Significado do Vetor Gradiente 
Obtém-se o vailor máximo da de1ívada direcional D,J(P) quando u é o vetor na 
direção do vetor gradiente Vf(P) - isto é, quando u = V.f(P)/ I V.f(P)I. O valor 
máximo da derivada direcional é IV:f(P)I, o comprimento (módulo) do vetor gra-
diente. 
SEÇÃO 14.8 / Derivadas Direcionais e o Vetor Grad iente 51 
y 
( 40, 30) ~ 4;:- - -
~ 
u = (i - j) /..ri. 
X 
Fig. 14.8.4 O vetor unitário u = V f 
do Exemplo 4. \V f\ 
52 
Assim, o vetor gradiente Vf aponta na direção em que a função f cresce mais rapi-
damente, e seu módulo é a taxa de crescimento de f (em relação à distância) naquela 
direção. Por exemplo, se a funçãof dá a temperatura no espaço, então o vetor gradien-
te VJ(P) aponta na direção em que uma abelha em P deve começar a voar para se aque-
cer o mais depressa possível. 
EXEMPLO 4 Suponha-se que a temperatura w (em graus Celsius) no ponto (x, y) 
seja dada por 
w = J(x, y) = 10 + (0,003)x 2 - (0,004)y 2 . 
Em que direção u uma abelha no ponto (40, 30) deve começar a voar para se aquecer 
o mais depressa possível? Determine a derivada direcional Duf(40, 30) nesta direção 
ótima u. 
Solução O vetor gradiente é 
Vf = af i + af j = (0,006x)i - (0,008y)j, 
ax ay 
então 
VJ(40, 30) = (0,24)i - (0,24)j = (0,24V2)u. 
O vetor unitário 
VJ(40, 30) i - j 
u = 1 VJ(40, 30) 1 = V2 
aponta para sudeste (Fig. 14.8.4); esta é a direção em que a abelha deve começar a voar. 
E, de acordo com o Teorema 1, a derivada defnesta direção ótima é 
Duf(40, 30) = 1 Vf(40, 30) \ = (0,24)V2 = 0,34 
graus por unidade de distância. 
O VETOR GRADIENTE COMO VETOR NORMAL 
Considere-se o gráfico da equação 
F(x, y, z) = O, (15) 
onde Fé uma função com derivadas parciais de primeira ordem contínuas. De acordo com 
o teorema da função implícita do cálculo avançado, na vizinhança de todo ponto em que 
VF =I= O- isto é, ao menos uma das derivadas parciais de Fé diferente de zero - o grá-
fico da Eq. (15) coincide com o gráfico de uma equação de uma das formas 
z = J(x, y), y = g(x, z), x = h(y, z). 
Em razão disto,justifica-se, de modo geral, que o gráfico da Eq. ( 15) seja referido como uma 
"superfície". O vetor gradiente Vf é normal a esta superfície, no sentido do Teorema 2. 
Teorema 2 Vetor Gradiente como Vetor Normal 
Suponha-se que F(x, y, z) tenha derivadas parciais de primeira ordem contínuas, e 
seja P0(x0, y0, Zo) um ponto do gráfico da equação F(x, y, z) = O com VF(P0) *O.Se 
r(t) é uma curva diferenciável nessa superfície com r(t0) = (x0, y0, z0), então 
Cap. 14 / Diferenciação Parcial 
r(r) 
Fig. 14.8.5 O vetor gradiente V F é 
normal a toda curva na superfície F(x, 
y, z) = O. 
1, 
V F(Po) • r' (to) = O. (16) 
Assim, 'Vfl_P0) é perpendicular ao vetor tangente r' (t0), conforme indicado na Fig. 
14.8.5. 
Demonstração A afirmação de que r(t) está na superfície F(x, y, z) = O significa 
que F(r(t))= O para todo t. Logo, 
O = D1 F(r(to)) = V F(r(to)) • r' (to) = V F(Po) • r' (to) 
pela regra da cadeia na forma da Eq. (9). Portanto, os vetores VF(P0) e r'(t0) são 
perpendiculares. D 
Como VF(P0) é perpendicular, no ponto P0, a toda curva na superfície F(x, y, z) = O 
que passa por esse ponto, ele é um vetor nonnal à superfície em P0 , 
àF . àF. aF k n=-1+-J+-. 
ax ay az 
(17) 
Reescrevendo a equação z = f(x, y) na forma F(x, y, z) = f(x, y) - z = O, então 
Assim, a Eq. ( 17) concorda com a definição de vetor normal dada na Eq. ( 1) da Seção 
14.4. 
O plano tangente à superfície F(x, y, z) = O no ponto Po(x0 , Yo, z0) é o plano por Po 
perpendicular ao vetor normal n da Eq. (13). Sua equação é 
Fx(Xo, Yo, zo)(x - Xo) + Fy(xo, Yo, zo)(y - Yo) 
+ F,(xo, Yo, zo)(z - zo) = O. (18) 
EXEMPLO 5 Escreva uma equação do plano tangente ao elipsóide 2.x2 + 4y2 + z2 
= 45 no ponto (2, -3, - 1). 
Solução Escrevendo 
F(x, y, z) = 2x2 + 4y 2 + z2 - 45, 
então F(x, y, z) = O é a equação do elipsóide. Logo, um vetor normal é V F(x, y, z) = 
(4x, 8y, 2z), e assim 
VF(2, -3, -1) = 8i - 24j - 2k 
é normal ao elipsóide em (2, -3, -1). A Eq. (18) dá então a resposta na forma 
8(x - 2) - 24(y + 3) - 2(z + 1) = O; 
isto é, 
4x - l2y - z = 45. 
A interseção das duas superfícies F(x, y, z) = O e G(x, y, z) = O é em geral uma 
curva no espaço. Pelo teorema da função implícita, pode-se representar esta curva pa-
rametricamente na vizinhança de todo ponto onde os vetores gradientes VF e VG não 
SEÇÃO l4.8 / Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente 53 
(a) Parabolóide 
54 
Fig. 14.8.6 V F x VG é tangente à curva e de interseção. 
sejam paralelos. Esta curva C é normal ª am?os os vetores V F e V G. Isto é, se P é um 
ponto de C, então o vetor tangenteª Cem P e perpendicular a ambos os vetores V F(P) 
e VG(P) (Fig. 14.8.6). Decorre que o vetor 
T = VF x VG 
é tangente à curva de interseção das superfícies F(x, y, z) = o e G(x, y , z) = o. 
EXEMPLO 6 O ponto P(l, -1, 2) pertence ao parabolóide 
F(x, y, z) = x 2 + y 2 - z = o 
e ao elipsóide 
G(x, y, z) = 2x 2 + 3y 2 + z2 - 9 = o. 
(19) 
Escreva uma equação do plano por P normal à curva de interseção dessas duas super-
fícies (Fig. 14.8.7). 
Solução Calcula-se primeiro 
VF = (2x, 2y, -1) 
Em P(l , -1, 2), esses dois vetores são 
VF(I, -1, 2) = (2, -2, -1) 
(e) Interseção do 
e VG = (4x, 6y, 2z). 
e VG(l, -1, 2) = (4, -6, 4). 
(b) Eli psóide parabolóide com o elipsóide 
(d ) Vi sta de um corte 
Fig. 14.8.7 Exemplo 6. 
Cap. 14 / Diferenciação Parcial 
Logo, um vetor tangente à curva de interseção do parabolóide com o elipsóide é 
i j k 
T = VF X VG = 2 -2 -1 = (-14, -12, -4). 
4 -6 4 
Um vetor ligeiramente mais simples paralelo a T é n = (7, 6, 2), e n também é normal 
ao plano procurado por (1, -1, 2). Portanto, uma equação do plano é 
7(x - 1) + 6(y + 1) + 2(z - 2) = O; 
ou seja, 7x + 6y + 2z = 5. 
Resultado análogo ao do Teorema 2 é válido em duas dimensões . O gráfico da equa-
ção F(x, y) = O se assemelha a uma curva na vizinhança de cada ponto em que V F -;f::. O, 
e V F é normalà curva em tais casos. 
EXEMPLO 7 Escreva a equação da reta tangente, no ponto (1 , 2), ao folium de Des-
cartes de equação 
X 
F(x, y) = 2x3 + 2y 3 - 9xy = O 
(Fig. 14.8.8). 
Solução O gradiente de F é 
VF(x, y) = (6x 2 - 9y)i + (6y 2 - 9x)j. 
Assim, um vetor normal ao folium em (1, 2) é VF(l, 2) = -12i + 15j. Logo, a equa-
Fig. 14.8.8 O folium e sua tangente ção da reta tangente é -12(x - 1) + 15(y - 2) =O.Simplificada, a equação é 4x - Sy 
(Exemplo 7). + 6 = O. 
14.8 Problemas 
Nos Problemas 1 a 10, determine o vetor gradiente Vf no ponto 
P indicado. 
1. f (x, y) = 3x - 7y; P(l 7, 39) 
2. f(x, y) = 3x2 - 5y 2 ; P(2, -3) 
3. f(x, y) = exp(-x 2 - y 2); P(O, O) 
4. f(x, y) = sen¼?Txy; P(3, -1) 
5. f(x, y, z) = y 2 - z2; P(17, 3, 2) 
6. f(x, y, z) = Vx 2 + y 2 + z2 ; P(l2, 3, 4) 
7. f(x, y, z) = exseny + e Ysen z + e ' senx; 
P(O, O, O) 
8. f(x, y, z) = x2 - 3yz + z3 ; P(2, 1, O) 
9. f(x, y, z) = 2'\,Íxyz; P(3, -4, -3) 
10. f(x, y, z) = (2x - 3y + 5z)5; P(-5, 1, 3) 
Nos Problemas 11 a 20, determine a derivada direcional def em 
P na direção de v; isto é, determine 
Du J(P), onde 
V 
u = 1v1· 
SEÇÃO 14.8 / Derivadas Direcionai s e o Vetor Gradiente 
11. f(x, y) = x 2 + 2xy + 3y2; P(2, 1), v = (1, 1) 
12. f(x, y) = exseny; P(O, ?T/4), v = (1, -1) 
13. f(x, y) = x 3 - x 2y + xy 2 + y3; P(l, -1), 
V= 2i + 3j 
14. f(x, y) = tg-1(-~} P(-3,3),v = 3i + 4j 
15. f(x, y) = senx cosy; P(1, -;7r), v = (4, -3) 
16. f(x, y, z) = xy + yz + zx; P(l, -1 , 2), 
v=(l,1,1) 
17. f(x, y, z) = vÍxyz; P(2, -1 , - 2), 
v = i + 2j - 2k 
18. f(x, y, z) = ln(l + x 2 + y 2 - z 2); P(l, - 1, 1), 
v = 2i - 2j + 3k 
19. f(x, y, z) = exyz; P(4, O, -3), v = j - k 
20. f(x, y, z) = YlO - x 2 - y 2 - z 2 ; P(l , 1, - 2), 
V = (3 , 4, - 12) 
Nos Problemas 21 a 25, determine a derivada direcional máxi-
ma de f em P e a direção em que isto ocorre. 
55 
21. f(x, y) = 2x 2 + 3xy + 4y2; P(l, 1) 
22. f (x, y) = arctg (~} P(l, -2) 
23. f(x, y, z) = 3x2 + y 2 + 4z2; P(l, 5, -2) 
24. f (x, y, z) = exp(x - y - z); P(5, 2, 3) 
25. f(x, y, z) = Vxy2z3; P(2, 2, 2) 
Nos Prob~emas 26 a 30, escreva uma equação da reta ( ou plano) 
tangente a curva (ou à superfície) dada, no ponto indicado P. 
26, 2x2 + 3y2 = 35; P(2, 3) 
27. x4 + xy + y2 = 19; P(2, -3) 
28. 3x2 + 4y2 + 5z2 = 73 ; P(2, 2, 3) 
29. x113 + y113 + z113 = 1; P(l, -1, 1) 
30. xyz + x2 - 2y2 + zJ = 14; P(S, -2, 3) 
31: Md 0stre que o operador gradiente V goza das seguintes pro-
pne ades formais ·d . . . , que ev1 enc1am sua estreita analogia com o 
operador D (derivada no caso de uma variável) 
(a) Se a e b são constantes, então . 
V(au + bv) = aVu + bVv. 
(b) V(uv) = u Vv + TY V VU. 
(c) v(!!.) = v Vu - uVv 
v v1 se v -f O. 
(d) Se n é inteiro positivo, então 
Vu" = nu"-1 Vu. 
32. Sejaf uma fun - d A • , 
Mostre que DJ = i~~- e ~res vanav~s independentes x, y e z. 
33. Mostre que a e l Jy, e DJ - J,. 
Bxy + cy2 = D quaçao da reta tangente à seção cônica Ax2 + 
no ponto (xo, Yo) é 
(Axo)x + ½ B(yox + xoy) + (Cyo)Y = D. 
34. Mostre que a e u - , . , . 
ca Ax2 + By2 + Cz~ _:çao do plano tangente à superf1c1e quadn-
- D no ponto (x y z ) é o, o, o 
(Axo)x + (Byo)y + (CZo)z = D. 
35. Suponha que a t 
(x, y, z) no espaço ~mperatura W (em graus Celsius) no ponto 
taxa de variação d seJa dada por W = 50 + xyz. (a) Determine a 
to P(3, 4, 1) na dir: t~mperatura em relação à distância, no po_n-
tância no espaço ç ~ do vetor v = (1, 2, 2). (Unidades de d1s-
ma D,,Wno ponto ~m(3 pes.) (b) ~che a derivada direcional máxi-
máximo. ' 4 , 1) e a drreção u em que se verifica aquele 
36. Suponha que a t 
z) no espaço seja da:mpera~a (em graus Celsius) no ponto (x, y, 
unidades no esp ~ pela formu la W = 100 - x2 - y2 - z2. As 
aço sao dad · d variação da tem as em metros. (a) Deternune a taxa e 
v = 3i _ 4j + 1~~atura no ponto P(3 , -4, 5) na direção do vetor 
te em p? Q ual , · (b.l) Em que direção W cresce mais rap1damen-
. e o va or da d . d . . áxº p? 
37. Suponha que a 1 . enva a d1rec1onal m 1ma em . 
de uma colina se·a ~~Jude z (em milhas acima do nível do mar) 
J a pela equação z = f(x, y),onde 
J(x, y) = (O,I)(x2 _ xy + 2y2). 
56 
(a) Escre~a ui:na equação (na forma z = ax + by + c) do plano 
tange~te a coh?a no ponto P(2, 1, 0,4). (b) Com auxílio de Vfi.P), 
aproxime a altitude da colina acima do ponto (2,2; 0,9) no plano 
xy. Compare seu resultado com a altitude real nesse ponto. 
38. Escreva uma equação do plano simultaneamente tanoente ao 
parabolóide z = 2x2 + 3y2 e paralelo ao plano 4x - 3 y - 0 z = 1 O. 
39. O cone de equação z2 = x2 + y2 e o plano de equação 2x + 3y 
+ 4z + 2 = O se interceptam segundo uma elipse. Escreva uma 
equação do plano normal a esta elipse no ponto P(3 , 4, -5) (Fig. 
14.8.9). 
Fig. 14.8.9 O cone e o plano dos Problemas 39 e 40. 
40: É evide_nte, pela geometria, que os pontos mais alto e mais 
bruxo da ~hps~ do Problema 39 são os pontos em que sua reta 
tangente e honzontal. Determine esses pontos . 
41. Mostre que a esfera x2 + y2 + z 2 = r2 e O cone z2 = a 2x2 + b2y2 
são ortogonais (isto é, têm planos tangentes perpendiculares) em 
todos os pontos de sua interseção (Fig. 14.8.1 O). 
Fig. 14.8.10 Vista de um corte do cone e da esfera do Problema 41. 
Nos Problemas 42 a 46, a função z = f(x, y) descreve a forma de 
uma colina;f(P) é a altitude da colina acima do ponto P( x, Y) no 
plano xy. Se você parte do ponto ( P, f( P)) nessa colina, então 
Duf( P) é sua taxa de ascensão ( elevação por unidade de distân-
cia horizantal), na medida em que você prossegue na direção ho-
rizantal u = ai + bj. E o ângulo de sua subida, nessa direção, é 
y = tg- 1 Duf(P)), como mostra a Fig. 14.8.11 . 
Fatia de 
z =f(x, y) : _ J ___ .....; ... 
: Duf(x, y) 
r : l -------7--
... 1 ---1----' 
1 
P(x. y)., ___ ;;;.u __ _ 
Fig. 14.8.11 Seção transversa da parte do gráfico acima deu (Proble-
mas 42 a 46). 
Cap. 14 / Diferenciação parcial 
42. Você está no ponto (- 100, - 100, 430) em uma colina que 
tem a forma do gráfico de 
1.000 
z = 1 + (0,00003)x 2 + (0,00007)y 2 • 
z = 500 - (0,003)x 2 - (0,004)y2, 45. Refaça o Problema 43, partindo, porém, do ponto P( I 00, 100, 500) da colina do Problema 44. 
com x, y, z dados em pés. (a) Qual é sua taxa de subida (subida 
em relação ao percurso) ao se dirigir para noroeste? A que ân-
gulo, em relação à horizontal , você estará subindo? (b) Refaça a 
parte (a), supondo agora que você se dirija para nordeste. 
46. Você está no ponto (30, 20, 5) de uma colina com a forma da 
superfície 
( x
2 + 3 2) z = 100 exp - 701 y . 
43. Você está no ponto ( -100, - 100, 430) da colina do Proble-
ma 42. Em que direção você deve caminhar para fazer a subida 
mais íngreme? A que ângulo, em relação à horizontal , você es-
tará subindo inicialmente? 
(a) Em que direção você deve prosseguir para fazer a subida mais 
íngreme? A que ângulo, em relação à horizontal, você começará 
a subida? (b) Se, em vez de subir conforme a parte (a), você se 
dirige diretamente para oeste (a direção de x negativo), então a 
que ângulo você iniciará a subida? 
44. Refaça o Problema 42, supondo agora que você esteja no pon-
to (100, 100, 500) na colina descrita por 
14. 9 .c::::::=_~::;;;:::;:;:::::c::;c::, 
Os Multiplicadores 
de Lagrange e 
Problemas de 
Máximos e Mínimos 
Vinculados 
Na Seção 14.5, abordou-se o problema da determinação dos valores máximo e mí-
nimo atingidos por uma funçãof(x, y ) em pontos de uma região plana R, no caso sim-
ples em que R consistia nos pontos da fronteira e do interior de uma curva fechada sim-
ples C. Viu-se que qualquer máximo ou mínimo local no interior de R ocorre em um 
ponto ondef, =O= J;, ou em um ponto ondefnão é diferenciável (este último caso 
caracterizado pela não existência defx ouJ;.). Aqui, será abordado um tópico bastante 
diferente, a saber, a detenninação de valores máximo e mínimo atingidos por f em pontos 
da curvafronteira C. 
Se a curva C é o gráfico da equação g(x, y) = O, então nossa tarefa é maximizar ou 
minimizar a função f(x, y) sujeita ao vínculo, oucondição lateral, 
g(x, y) = O. (1) 
Poder-se-ia, em princípio, tentar resolver esta equação de vínculo para obter y = </J(x) 
e então maximizar ou minimizar a função de uma única variável,flx, </J(x)) pelo méto-
do convencional de determinação dos pontos críticos. Mas se for trabalhoso, ou mes-
mo impossível, resolver a Eq. (1) explicitamente em relação a y em termos de x? Uma 
abordagem alternativa, que não exige a resolução prévia dessa equação, é o método 
dos multiplicadores de Lagrange, cujo descobridor foi o matemático francês, nasci-
do na Itália, Joseph Louis Lagrange (1736-1813). O método se baseia no Teorema 1. 
Teorema 1 Multiplicadores de Lagrange (um vínculo) 
Sejamflx, y) e g(x, y) funções com derivadas parciais de primeira ordem contínu-
as. Se o máximo (ou o mínimo) defsujeito à condição 
g(x, y) = O 
ocorre em um ponto P onde V g(P) =f. O, então 
VJ(P) = A Vg(P) 
para algnma constante À. 
(1) 
(2) 
Demonstração Pelo teorema da função implícita mencionado na Seção 14.8, o fato 
de ser V g(P) =f. O permite que se represente a curva g(x, y) = O na vizinhança de P por 
uma curva paramétrica r(t), e de tal modo quer tenha um vetor tangente não-nulo na 
SEÇÃO 14.9 / Os Multiplicadores de Lagrange e Problemas de Máx imos e Mínimos Vinculados 57 
y 
X 
vizinhança de P. Assim, r'(t) ± O (Fig. 14.9.1). Seja t0 o valor de t tal que r(t0) = 0P. 
Sef(x, y) atinge seu valor máximo em P, então a função composta.f(r(t)) atinge seu 
máximo em t = t0, e assim 
D,/(r(t))l,=to = V/(r(to)) • r'(to) = V/(P) • r'{t0 ) = O. (3) . 
Aplica-se aqui a regra da cadeia para vetores, da Eq. (9) da Seção 14.8. 
Como r(t) está na curva g(x, y) = O, a função composta g(r(t)) é uma função cons-
tante. Portanto, 
D,g(r(t))I = Vg(r(to)} • r'(to) = Vg(P) · r'(t0 ) = O. 
t=to 
(4) 
Fig.14.9.1 Ilustração da conclusão do 
Teorema 1. As Eqs. (3) e (4) implicam que ambos os vetores V.f(P) e V g(P) são perpendiculares ao 
-2 o 
X 
2 
Fig.14.9.2As curvasj{x, y) = meg(x, 
y) = O são tangentes em um ponto P 
de máximo ou mínimo vinculado de 
J{x, y). 
58 
vetor tangente (não-nulo) r' (t0 ). Logo, V.f(P) deve ser um múltiplo escalar de V g(P), e 
este é exatamente o significado da Eq. (2). Com isto, conclui-se a demonstração do 
teorema. □ 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA 
Seja.f(P) = m um valor máximo ou mínimo def(x, y) sujeito ao vínculo g(x, y) = O. 
Então, pelo Teorema 2 da Seção 14.8, os vetores gradientes V.f(P) e Vg(P) são nor-
mais às curvas.f(x, y) = me g(x, y) = O no ponto P. Logo, a condição na Eq. (2) impli-
ca que 
Sef(P) = m é um valor máximo ou mínimo sujeito a g(x, y) = O, então as curvas.f(x, 
y) = me g(x, y) = O são tangentes em P. 
A Fig. 14.9.2 ilustra esta interpretação com 
J(x, y) = x2 + Y2 
g(x, y) = xy - 1 = O 
(quadrado de distância), 
(hipérbole equilátera). 
Neste caso,.f(x, y) é mínima nos pontos da hipérbole mais próximos da origem. Pela 
geometria, vê-se que esses pontos são ( 1, 1) e ( -1, -1) onde o círculo x2 + y2 = 2 e a 
hipérbole xy = 1 são, de fato, tangentes. 
O caminho que se deve seguir para resolver um problema utilizando O Teorema 1 é 
o método dos multiplicadores de Lagrange. Primeiro, deve-se identificar uma grande-
za, ou função, z = f(x, y) a ser maximizada ou minimizada, sujeita ao vínculo g(x, y) = 
O. Então, a Eq. (1) e as duas componentes escalares da Eq. (2) dão as três equações 
(1) 
(2a) 
(2b) 
Têm-se assim três equações, que se pode tentar resolver em relação às três incógnitas 
x, y, e Â. Os pontos (x, y) que (eventualmente) se encontrar são as únicas localizações 
possíveis dos extremos de/ sujeitos ao vínculo g(x, y) = O. Os valores associados de À, 
chamados multiplicadores de Lagrange, podem também ser determinados, mas em 
geral não têm grande interesse. Finalmente, calcula-se o valor f(x, y) em cada ponto-
solução (x, y), para localizar os valores máximo e mínimo. 
Deve-se ter em mente a possibilidade adicional de o máximo e/ou o mínimo de f 
ocorrerem em pontos onde 8x =O= g,. O método dos multiplicadores de Lagrange 
Cap. 14 / Diferenciação Parcial 
y 
pode falhar na localização desses pontos excepcionais, mas eles podem, em geral, ser 
reconhecidos como pontos onde o gráfico g(x, y) = O deixa de ser uma curva suave. 
EXEMPLO 1 Retome-se ao problema da serraria do Exemplo 5, na Seção 3.6: ma-
ximizar a área da seção transversa de uma viga retangular cortada de um toro circular. 
Com r = -J2 como raio dado do toro, será mostrado, com os multiplicadores de La-
grange, que a seção transversa da viga ótima é um quadrado. 
Solução Com o sistema de coordenadas indicado na Fig. 14.9.3, maximiza-se a área 
A = J(x, y) = 4xy 
da seção transversa retangular da viga, sujeita ao vínculo 
g(x, y) = x2 + y 2 - 2 = O 
que descreve o toro circular. Como 
âf = 4'-' 
âx J• 
âg = 2x 
âx ' 
âf 
-=4x 
ây 
e 
(5) 
(6) 
âg 
ây = 2y, 
Fig. 14.9.3 Cortando uma viga retan- as Eqs. (2a) e (2b) se escrevem 
guiar de um toro circular (Exemplo 1 ). 
4y = 2Ax e 4x = 2Ay. 
É claro que nem x = O nem y = O dão a área máxima, de modo que  -:t:- O. Logo, pode-
se dividir a primeira equação pela segunda, obtendo-se 
y X 
- =-
X y' 
decorrendo quer = y2. 
Substituindo-se esta conseqüência das equações dos multiplicadores de Lagrange 
na equação de vínculo r + y2 = 2, obtém-se 2r = 2; portanto, r = y2 = 1. Procuran-
do-se (como na Fig. 14.9.3) um ponto-solução no primeiro quadrante, conclui-se que 
x = y = 1 dá o máximo. Assim, a viga ótima tem efetivamente seção transversa qua-
drada com lados 2x = 2y = 2 ft. A área de 4 ft2 de sua seção transversa é cerca de 64% 
da área total, 2n, da seção transversa do toro circular original. 
OBSERVAÇÃO 1 Observe-se queftx, y) = 4xy atinge seu valor máximo de 4 em (1, 
1) e (-1, -1), e seu valor mínimo de -4 em (1, -1) e (-1, 1). O método dos 
multiplicadores de Lagrange localiza efetivamente todos esses quatro pontos. 
OBSERVAÇÃO 2 Nos problemas aplicados de máximo e mínimo da Seção 3.6, par-
tiu-se tipicamente de umaf6rmula como a da Eq. (5) desta seção, expressando-se a 
grandeza a ser otimizada em termos de duas variáveis x e y, por exemplo. Utilizou-se 
então alguma relação disponível, tal como a Eq. (6), entre as variáveis x e y, para eli-
minar uma delas, y por exemplo. Obteve-se finalmente uma.função de uma única va-
riável substituindo-se y em termos de x na fórmula original. Tal como no Exemplo 1, 
o método dos multiplicadores de Lagrange liberta o leitor do processo algébrico de subs-
tituição e eliminação. 
EXEMPLO 2 Após cortada a viga quadrada do Exemplo 1 do toro circular de raio 
-J2 ft, cortam-se quatro pranchas dos pedaços restantes, cada uma com dimensões 2x 
por y -1, conforme a Fig. 14.9.4. Como se deve proceder para maximizar a área total 
combinada das seções transversas de todas as quatro pranchas, reduzindo-se assim ao 
mínimo a perda de madeira? 
SEÇÃO 14.9 / Os Multiplicadores de Lagrange e Problemas de Máximos e Mínimos Vinculados 59 
60 
y 
X 
Fig. 14.9.4 Cortando mai s quatro pranchas do toro (Exemplo 2). 
Solução Como o ponto (x, y) está no círculo x2 + y2 = 2, maximiza-se a função área 
total (quatro pranchas) 
f(x, y) = 4 · 2x · (y - 1) = 8xy - 8x 
sujeita à condição de vínculo 
g(x, y) = x 2 + y 2 - 2 = O. 
As equações dos multipbcadores de Lagrange,.fx = AgxeJ,. = Ag.r tomam então a forma 
8y - 8 = 2Ax, 8x = 2Ay. 
Como x =1- O e y =1- O (isto é óbvio?), pode-se resolver estas equações para obter 
À= 4y - 4 = 4x 
X y 
Despreza-se À e multiplica-se pelo denominador comum xy, obtendo-se x2 = y2 - y. 
Substitui-se esta conseqüência das equações dos multiplicadores de Lagrange na 
equação de vínculo x2 + y2 - 2 = O, o que finalmente dá a equação quadrática 
2y 2 - y - 2 = O, 
cuja única solução positiva é y = 1,2808, e assim x = ✓ y 2 - y = 0,5997. Logo, nos-
sas quatro pranchas devem ter 2x = 1, 1994 ft = 14,4 in de largura e y - 1 = 0,2808 ft 
= 3,4 in de espessura. A área de sua seção transversa combinada será então 
f{0,5997, 1,2808) = 4 · (1,1994)· (0,2808) = 1,3472 (ft2 ). 
Isto representa aproximadamente 21 % da área da seção transversa circular origina], de 
forma que a viga original e as quatro pranchas representam cerca de 85% da madeira 
no toro original. (Alguém gostaria de tentar fazer mais doze pranchas retangulares com 
os 12 pedaços que ainda restam?) 
OBSERVAÇÃO A solução do Exemplo 2 segue um padrão típico. O valor do parâ-
metro À de Lagrange por si só não interessa. Eliminando-o das equações do 
Cap. 14 / Diferenciação Parc ial 
t Vf(P) 
V g(P) 
p· ig. 14.9.5 A generalização natural do 
T:orema I é válida para funções de 
tres variáveis. 
multiplicadores de Lagrange, obtém-se uma relação entre x e y . Substituindo-se esta 
relação na equação de vínculo g(x, y) = O, pode-se finalmente resolver explicitamente 
em relação a x e y. 
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE EM TRÊS DIMENSÕES 
Suponha-se agora que.f(x, y, z) e g(x, y, z) tenham derivadas parciais de primeira or-
dem contínuas, e que se queira achar os pontos da supe,fície 
g(x, y, z) = O (7) 
em que a função fix, y, z) atinge seus valores máximo e mínimo. Com funções de três 
(e não duas) variáveis, o Teorema 1 é válido precisamente como enunciado, levando 
a a-ora em conta a direção z_ Os detalhes são deixados para o Problema 31 , mas um ar-
g~mento análogo ao da prova do Teorema 1 mostra que, em um ponto P de máximo ou 
mínimo defix, y, z) na superfície da Eq. (7), ambos os vetores gradiente V.f(P) e V g(P) 
são normais à superfície (Fig. 14.9.5). Decorre que 
Vf(P) = A Vg(P) (8) 
para algum escalar A. Esta equação vetorial corresponde a três equações escalares. Para 
achar as possíveis localizações dos extremos de f sujeita ao vínculo g, pode-se tentar 
resolver simultaneamente as quatro equações 
g(x, y, z) = O, 
fx(x, y, z) = A.gx(x, y, z). 
fy(x, y, z) = Agy{x, y, z), 
f,(x, y, z) = Ag,(x, y, z) 
(7) 
(8a) 
(8b) 
(8c) 
em relação às incógnitas x, y, z e A. Caso se consiga, calcula-se então f(x, y, z) em cada 
um dos pontos-solução (x, y, z), para se ver em qual deles a função atinge seus valores 
máximo e mínimo. Analogamente ao caso bidimensional , verificam-se também os 
pontos em que a superfície g(x, y, z) = O deixa de ser suave. Assim, o método dos 
multiplicadores de Lagrange com um vínculo para três dimensões é essencialmente o 
mesmo que no caso de duas dimensões. 
EXEMPLO 3 Determine o volume máximo de uma caixa retangular inscrita no elip-
sóide x21a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1, com faces paralelas aos planos coordenados. 
Solução Seja (x, y, z) o vértice da caixa situado no primeiro octante ( onde x, y e z são 
todos positivos) . Quer-se maximizar o volume V(x, y, z) = 8xyz sujeito ao vínculo 
x2 Y2 z2 
g(x y z) = - + - + - - 1 = O. , , ª2 b2 c2 
As Eqs. (8a), (8b) e (8c) dão 
2,\x 
8yz = - 2 , a 8xz 
2Az 
8xy = - 2 • 
e 
Parte da arte da matemática consiste em fazer uma pausa momentânea para desco-
brir uma forma elegante de resolver um problema, em vez de atacá- lo diretamente com 
métodos preestabelecidos. Aqui , multiplicando-se a primeira equação por x, a segun-
da por y, e a terceira por z, obtém-se 
SEÇÃO 14.9 / Os Multiplicadores de Lagrange e Problemas de Máx imos e Mínimos Vincul ados 61 
e 
Fig. 14.9.6 A relação entre os vetores 
grad iente na prova do Teorema 2. 
62 
xi Y2 2 2 
2A - = 2A - = 2A - = 8xyz. 
ª2 bz c2 
Mas A::/= O porque (no volume máximo) x, y e z são diferentes de zero. Conclui-se que 
A soma das três últimas expressões é 1, porque esta é precisamente a condição de vín-
culo neste problema. Assim, cada uma dessas três expressões é igual a t . x, y e z são 
todos positivos, e assim 
a 
x=-
v'3' 
b 
y=-
V'3 
e 
Portanto, o volume da caixa de volume máximo é 
A resposta está dimensionalmente correta (o produto dos três comprimentos a, b e e dá 
um volume), e é plausível - a caixa máxima ocupa cerca de 37% do volume fnabc 
do elipsóide circunscrito. 
PROBLEMAS COM DOIS VÍNCULOS 
Suponha-se que se queira achar os valores máximo e mínimo da função j(x, y, z) em 
pontos da curva de interseção das duas superfícies 
g(x, y, z) = O e h(x, y, z) = O. 
Trata-se de um problema de máximo e mínimo com dois vínculos . Para tais situações 
o método dos multiplicadores de Lagrange se baseia no Teorema 2. 
Teorema 2 Multiplicadores de Lagrange (dois vínculos) 
Sejamfix, y, z), g(x, y, z) e h(x, y, z) funções com derivadas parciais de primeira 
ordem contínuas. Se o valor máximo (ou mínimo) def, sujeito às duas condições 
g(x, y, z) = O e h(x, y, z) = O. (9) 
ocorre em um ponto P onde os vetores V g(P) e V h(P) são diferentes de zero e 
não-paralelos, então 
VJ(P) = Ai Vg(P) + À2 Vh(P) 
para constantes À 1 e ~-
(10) 
Esboço de Prova Por uma versão adequada do teorema da função implícita, a curva 
C de interseção das duas superfícies (Fig. 14.9.6) pode ser representada, na vizinhança 
de P, por uma curva paramétrica r(t) com vetor tangente não-nulo r' (t) . Seja t0 o valor 
---"-) 
de t tal que r(t0) = OP . Calculam-se as derivadas , em t0 , das funções compostasj{r(t)), 
g(r(t)) e h(r(t)) e verifica-se - precisamente como na prova do Teorem a 1 - que 
Cap. 14 / Diferenciação Parcial 
Fig. 14.9.7 Geometria da equação 
Vf(P) = A1 Vg(P) + A2 Vh(P). 
y 5 
Fig. 14.9.8 O plano e o parabolóide 
interceptando-se na elipse do Exem-
plo 4. 
Vf(P) · r'(to) = O, Vg(P) · r'(to) = O e Vh(P) · r' (to) = O. 
Estas três equações implicam que todos os três vetores gradientes são perpendiculares 
à curva C em P e, assim, que eles estão todos em um plano único, o plano normal à 
curva C no ponto P. 
Mas Vg(P) e Vh(P) são diferentes de zero e não-paralelos, e assim VJ(P) é a soma 
de suas projeções sobre V g(P) e Vh(P) (veja o Problema 47 da Seção 13.1 ) . Conforme 
ilustrado na Fig. 14.9.7, este fato implica a Eq. (8). O 
Em exemplos, prefere-se evitar índices, escrevendo-se os multiplicadores de Lagran-
ge como ,\ e µ., em vez de À1 e À2 no enunciado do Teorema 2. As Eqs. (9) e as três 
componentes escalares da equação vetorial ( I O) dão então origem às cinco equações 
simultâneas 
g(x, y, z) = O, 
h(x, y, z) = O, 
fx(x, y, z) = Agx(x, y, z) + µhx(x, y, z), 
fy(x, y, z) = Àgy(x, y, z) + µh;;(x, y, z), 
fz(x, y, z) = Àgz(x, y, z) + µ,hz(x, y, zJ 
nas cinco incógnitas x, y, z, ,\ e µ. 
(9a) 
(9b) 
(10a) 
(10b) 
(1 0c) 
EXEMPLO 4 O plano x + y + z = 12 intercepta o parabolóide z = x2 + y2 em uma 
elipse (Fig. 14.9.8). Determine os pontos mais alto e mais baixo dessa elipse. 
Solução A altura do ponto (x, y, z) é z, e assim deseja-se determinar os valores máxi-
mo e mínimo de 
f(x, y, z) = z 
sujeita aos dois vínculos 
g(x, y, z) = x + y + z - 12 = O 
e 
h(x, y, z) = x 2 + y 2 - z = O. 
As condições em (10a) a (10c) dão 
O= À+ 2µ,x, 
O = À + 2µ,;' e 
1 = À - µ,. 
(11) 
(1 2) 
(13) 
(14a) 
(14b) 
(14c) 
Seµ fosse zero, a Eq. (14a) implicaria ,\ = O, o que contradiz a Eq. (14c). Logo,µ., 
i=- O e, assim, as equações 
2µ,x = -À = 2µ,y 
implicamx = y. Substituindo-sex = y naEq. (13) obtém-se z = 2x2 e, então, aEq. (12) dá 
2x 2 + 2x - 12 = O; 
x 2 + x - 6 = O; 
(x + 3)(x - 2) = O. 
SEÇÃO 14 .9 / Os Multiplicadores de Lagrange e Problemas de Máximos e Mínimos Vi nculados 63 
Obtém-se assim as duas soluções x = - 3 ex = 2. Como y = x e z = 2x1 , os pontos corres-
pondentes da elipse sãoP1(2, 2, 8) ePi(-3, -3, 18). É claro qual é o mais baixo e o mais alto. 
14.9 Problemas 
Nos Problemas 1 a 10, determine os valores máximo e mínimo 
- se existirem - da função f, sujeita ao( s) vínculo( s) indicado( s ). 
1. f (x, y) = x2 - y2; x2 + y2 = 4 
2. f (x, y) = x 2 + y 2 ; 2x + 3y = 6 
3. f (x, y) = xy; 4x 2 + 9y 2 = 36 
4. f (x, y) = 4x 2 + 9y 2 ; x 2 + y 2 = 1 
5. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z2 ; 3x + 2y + z = 6 
6. f (x, Y, z) = 3x + 2y + z; x 2 + y 2 + z2 = 1 
7. f(x, Y, z) = x + y + z ; x 2 + 4y 2 + 9z2 = 36 
8. f(x, Y, z) = xyz; x 2 + y 2 + z2 = 1 
9. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z2 ; x + y + z = 1 e 
X + 2y + 3z = 6 
10. f (x, y, z) = z; x 2 + y 2 = 1 e 
2x + 2y + z = 5 
Nos Problemas 11a 20, aplique os multiplicadores de Lagran-
ge para resolver o problema da Seção 14.5 indicado. 
11. Problema 27 12. Problema 28 
13. Problema 29 14. Problema 30 
15. Problema 3 1 16. Problema 32 
17· Problema 34 18. Problema 35 
19· Problema 40 20. Problema 41 
21: J?etermine o(s) ponto(s) da superfície z = xy + 5 mais 
P,:0x_imo(s) da origem. [Sugestão: Minimize o quadrado da di s-
tancia.] 
22· Um triângulo de lados x, y e z tem perímetro fixo 2s = x + y 
+ z. Sua área A é dada pela fórmula de Heron: 
A = V s(s - x)(s - y)(s - z). 
Aplique O método dos multiplicadores de Lagrange para mos-
trar que de tod · ~ 1 , , , os os tnangu os com o perímetro dado o de maior 
~ea e o_equilátero. [Sugestão: MaximizeA2, em ve'z de A.] 
· Apltque o método dos multiplicadores de Lagrange para 
mostrar que de todos o tr· ~ 1 . . , 1 . , . 
0 d . : , s 1angu os mscntos no cucu o umtar10, 
0 f:t m~ior area ~ o equilátero. [Sugestão: Utilize a Fig. 14.9.9 e 
0 ~ que a area de um triângulo de lados a e b e ângulo in-
cluso e e dada pela fórmula A = ½ab sen 0.] 
Fig. 14.9.9 Um triângu lo inscrito em um círcu lo (Problema 23). 
64 
24. Ache os pontos da elipse rodada x 2 + xy + y 2 = 3 mais pró-
ximos e mais afastados da origem. [Sugestão: Escreva as equa-
ções dos multiplicadores de Lagrange na forma 
ax + by = O, 
ex+ dy = O. 
Estas equações têm uma solução não- tri v ia l somente se ad - bc 
= O. Com base neste fa to , resolva prime iro e m relação a À.] 
25. Aplique o método do Problema 24 para achar os pontos da 
hipérbole rodada x2 + 12.xy + 6y1 = 130 que estão mais próxi-
mos da origem. 
26. Determine os pontos da e lipse 4x2 + 9y 2 = 36 que estão mais 
próximos do ponto (1, 1), e os que estão mais afastados desse 
ponto. 
27. Determine os pontos mais alto e mais baixo da e lipse de in-
terseção do cilindro x2 + y 1 = 1 com o plano 2x + y - z = 4. 
28. Aplique o método do Exemplo 4 para determinar os pontos 
mais alto e mais baixo da elipse de interseção do cone z2 = x2 + 
y1 com o plano x + 2y + 3z = 3. 
29. Determine os pontos da elipse do Problema 28 que estão mais 
próximos e os que estão mais afastados da origem. 
30. A bandeja de gelo da Fig. 14.9.10 deve ser feita de um mate-
rial que custa 1 cent/in2 • Minimize a função custo.flx, y, z) = xy 
+ 3xz + 7yz sujeita aos vínculos que cada um dos doze compar-
timentos deve ter seção transversa horizontal quadrada e que 0 
volume total (ignorando as partições) deve ser de 12 in3. 
X 
Fig. 14.9.10 A bandej a de gelo do Problema 30. 
31. Prove o Teorema 1 para funções de três variáveis, mostrando 
que ambos os vetores Vf(P) e V g(P) são pe rpendiculares, em P, 
a toda curva na superfície g(x, y, z) = O. 
32. Determine os comprimentos dos semi-eixos da elipse do 
Exemplo 4. 
33. A Fig. 14. 9 .11 mostra um triângulo retângulo com lados x, Y, 
z e perímetro fixo P. Maximize sua área A = + xy sujeita aos 
vínculos x + y + z = P e x2 + y2 = z2 . Em particular, mostre que 
o tri ângulo ótimo deve ser isósceles (mostrando que x = y). 
X 
Fig. 14.9.11 Um triângulo retângulo com perímetro fixo P (Problema 33). 
Cap. 14 / Diferenciação Parcial 
X 
Fig. 14.9.12 Um triângulo genérico com perímetro fixo P (Problema 34). 
34. A Fig. 14.9.12 mostra um triângulo genérico com ladosx, y, 
z e perímetro fixo P. Maximize sua área 
A = J(x, y, z, a) = ½ xy sena 
sujeita aos vínculos x + y + z = P e a lei dos co-senos 
z 2 = x 2 + y 2 - 2xy cos a. 
Em particular, mostre que tal triângulo ótimo é equilátero (mos-
trando que x = y = z). [Nota: As equações dos multiplicadores 
de Lagrange para otimização de fl..x, y, z, w) sujeita ao vínculo 
g(x, y, z, w) tomam a forma 
J,. = Ag, , Í w = Àgw; 
isto é, Vf = AV g, em termos dos vetores gradientes com quatro 
componentes.] 
35. A Fig. 14.9.13 mostra um hexágono com vértices (O, ± 1) e 
(±x, ±y ) inscrito no círculo unitário x2 + y2 = 1. 
14.9 Projetos 
y 
X 
Fig. 14.9.13 O hexágono inscrito do Problema 35. 
Mostre que sua área é máxima, no caso de um hexágono regular 
com lados e ângulos iguais. 
36. Quando o hexágono da Fig. 14.9.13 gira em tomo do eixo y, 
gera um sólido de revolução que consiste em um cilindro e dois 
cones (Fig. 14.9.14). Que raio e altura do cilindro maximizam o 
volume deste sólido? 
Fig. 14.9.14 O sólido do Problema 36. 
PROJETO A Exige-se uma calculadora gráfica ou um computador com dispositivo 
para traçado de gráficos. A Fig. 14.9.15 mostra um fosso cheio de jacarés, de largura w 
= 10 ft, limitado em cada lado por um muro de altura h = 6 ft. Soldados planejam 
atravessar este fosso subindo por uma escada colocada por sobre o muro e fixada no 
solo por uma grande pedra, com a extremidade superior diretamente acima do muro 
no lado oposto do fosso. Qual é o comprimento mínimo L de tal escada, suficiente para 
esta finalidade? Delineiam-se duas abordagens. 
Fig. 14.9.15 O fosso cheio de jacarés 
do Projeto A. 
Com Um Único Vínculo Aplica-se o teorema de Pitágoras e o teorema da proporci-
onalidade para triângulos semelhantes, para mostrar que se deve minimizar a função 
(quadrado do comprimento da escada) 
Corda 
SEÇÃO 14.9 / Os Multiplicadores de Lagrange e Problemas de Máx imos e Mínimos Vincu lado 65 
X 10 4 
0,8 
0,4 
- 10 O 
X 
Fig. 14.9.16 y = .x4 + 1 Ox3 - 360x 
- 3.600 (Projeto A). 
y 
(0.1) 
f(x, y) = (x + 10)2 + (y + 6)2 
sujeita ao vínculo 
g(x, y) = xy - 60 = O. 
Aplica-se então o método dos multiplicadores de Lagrange para deduzir a equação de 
quarto grau 
x 4 + l0x 3 - 360x - 3.600 = O. (15) 
É possível aproximar a solução desta equação graficamente (Fig. 14.9 .16). O leitor pode 
até resolvê-la manualmente - desde que primeiro localize uma solução inteira (que 
deve ser um fator inteiro do termo constante 3.600). 
Com Dois Vínculos Pode-se evitar a álgebra manual envolvida na dedução e resol~-
ção da equação de quarto grau (15), se se dispõe de um sistema de álgebra computaci-
onal. Com z = L para o comprimento da escada, observa-se, diretamente da Fig. 14.9.15, 
que se deve minimizar a função 
f(x, y, z) = z 
sujeita aos dois vínculos 
g(x, y, z) = xy - 60 = O, 
h(x, y, z) = (x + 10)2 + (y + 6)2 - z2 = O. 
Isto conduz a um sistema de cinco equações em cinco incógnitas (x, y, z e os dois 
multiplicadores de Lagrange). Pode-se pesquisar o comando Maple 
s olve ((equa ti ons), (unknowns) ) 
ou o comando Mathematica 
So l v e[ (equat ions), (unknowns ) 
(x.y) para resolver uma lista de equações em relação às suas incógnitas. O comando Derive 
X 
Fig. 14.9.17 O polígono do Projeto B. 
NEWTONS ( [e quati ons] , [unknowns ], [ini t ial g ues s es] , n) 
produz n aproximações numéricas sucessivas da solução. . . 
Para seu próprio problema do fosso, você pode escolher para w eh < w os dois mai-
ores algarismos do número de sua carteira de identidade. 
PROJETO B A Fig. 14.9.17 mostra um polígono de 14 lados praticamente inscrito 
no círculo unitário. Tem vértices (0, ±1), (±x, ±y), (±u, ±v), e (±u, ±:y ). Quando 
este polígono gira em torno do eixo y, gera o "pião" sólido ilustrado na Fig. J 4.9. l ~. 
que consiste em um cilindro só~ido de raio x, dois cilindros sólidos de raio ~ ~ dois 
cones sólidos. O problema consiste em determinar x, y, u, e v de modo a maximizar 0 
volume deste pião. 
Começa-se expressando o volume V do pião como uma função 
V= f(x, y, u, v) 
Fig. 14.9.18 O pião do Projeto B. de quatro variáveis. O problema é então maximizarfix, y, u, v) sujeita aos dois vínculos 
66 Cap. 14 / Difere nciação Parcial 
14.10 
O Teste da Derivada 
Segunda para 
Funções de Duas 
Variáveis 
z 
X 
Fig. 14.10.1 A origem é ponto de sela 
da superfície de equação z = x2 - y 2 • 
g(x, y, u, v) = x 2 + y 2 - 1 = O, 
h(x, y, u, v) = u 2 + v 2 - 1 = O. 
A condição dos multiplicadores de Lagrange correspondente toma a fo1ma 
Vf = ,\ Vg + µ, Vh, 
onde Vf = if.., f , f,, , fv) e V g e Vh são vetores análogos de 4 componentes derivadas 
parciais. 
Tudo isto resulta em um sistema de seis equações nas seis incógnitas x, y , u, v, ,\ eµ. Monte este sistema, embora provavelmente só deva tentar resolvê-lo se dispuser de 
um sistema de álgebra computacional. 
Viu-se, na Seção 14.5, que, para que a função diferenciávelf(x, y) tenha mínimo 
local ou máximo local em um ponto inte1ior P(a, b) de seu domínio, é condição neces-
sária que P seja um ponto crítico de f- isto é, que 
fx(a, b) = O = fy(a, b). 
Agora, serão dadas condições suficientes para que f tenha um extremo local em um 
ponto crítico. O critério enunciado no Teorema 1 envolve as derivadas parciais de se-
gunda ordem def em (a, b) e desempenha o mesmo papel que o teste da derivada se-
gunda (Seção 4.6) no caso de uma variável. Para simplificar, adotam-se as seguintes 
abreviações: 
A= fxx(a, b), B = fxy{a, b), c = fyy{a, b), (1) 
e 
Ll = AC - B 2 = fxx(a, b) fyy(a, b) - [f,y(a, b)]2. (2) 
No final desta seção esboça-se uma prova do Teorema 1. 
Teorema 1 Condições Suficientes para Extremos Locais 
Seja (a, b) um ponto crítico da funçãoflx, y), e suponha-se queftenha derivadas 
parciais de primeira e de segunda ordens contínuas em um disco circular centra-
do em (a. b). 
1. Se Ll > O e A > O,ftem mínimo local em (a, b). 
2. Se .ó. > O e A < O,ftem máximo local em (a, b). 
3. Se .ó.< O,fnão tem mínimo nem máximo local em (a, b) mas tem um ponto 
de sela ali. 
Assim,ftem máximo local ou mínimo local no ponto crítico (a, b) desde que o dis-
criminante Ll = AC - B2 seja positivo. Neste caso, A = fu(a, b) desempenha o papel 
da derivada segunda no caso de uma variável: Há mínimo local em (a, b) se A > O, e 
máximo local se A < O. 
Se .ó. < O,f não tem máximo local nem mínimo local em (a, b). Neste caso, (a, b) é 
um ponto de sela def, em virtude da aparência do parabolóide hiperbólicoflx, y) = x 2 
- y2 (Fig. 14 .10.1), exemplo típico deste caso. 
O Teorema 1 não responde à pergunta "que acontece quando .ó. = O?" Neste caso, o 
teste da derivada segunda no caso de duas variáveis falha - não dá informação algu-
SEÇÃO 14.10 / O Teste da Derivada Segunda para Funções de Duas Vari áveis 67 
Fig. 14.10.2 Análise dos pontos críti-
cos para a fun ção do Exemplo 1. 
68 
Ponto Tipo de 
crítico A B e a ex trem o 
(1, 0) -6 o -6 36 Máx imo loca l 
(-1, 0) 6 o 6 36 M ínimo loca l 
(O, 1) o -6 o -36 Não é um ex tre mo 
(0, -1) o 6 o -36 Não é um ex tremo 
ma. Além disso, em um tal ponto (a, b), qualquer coisa pode ocorrer, desde um míni-
mo local (na realidade, global) def(x , y ) = x4 + y 4 em (0, 0), até a "sela de macaco" do 
Exemplo 2. 
No caso de uma funçãofix, y ) com vários pontos críticos, deve-se calcular A, B, C e 
Ll separadamente em cada um desses pontos, a fim de aplicar o teste. 
EXEMPLO 1 Determine e classifique os pontos críticos de 
J(x, y) = 3x - x 3 - 3xy 2 • 
Solução Esta função é um polinômio, e assim suas derivadas parciais existem e são 
contínuas em qualquer ponto. Igualando a zero suas derivadas parciais primeiras (para 
localizar os pontos críticos de j), obtém-se 
fx(x, y) = 3 - 3x 2 - 3y 2 = O, fy(x, y) = -6xy = O. 
A segunda destas equações implica que ou x ou y deve ser zero; então, a primeira equação 
implica que a outra variável deve ser ± l. Há, pois, quatro pontos críticos: (1 , O), (-1 , 
O), (0, 1), e (0, -1). 
As derivadas parciais de segunda ordem de f são 
A= Íxx = -6x, B = ÍxY = -6y, C = fyy = -6x. 
Logo, Ll = 36(x2 - y2) em cada um dos pontos críticos. A tabela na Fig. 14.10.2 resu-
me a situação em cada um dos quatro pontos críticos. As Figs. 14.10.3 e 14.10.4 mos-
tram o gráfico de f 
EXEMPLO 2 Determine e classifique os pontos críticos da função 
z 
M ínimo local 
(-1,0,-2) 
Fig. 14.10.3 Gráfico da função do Exemplo 1. 
. , ./• 
: .. ~ 
: ;•, 
,' . j .\ .. ~ : 
,:\;'\/ ;:· 
Fig. 14.10.4 Outra perspec ti va da superfíc ie do 
Exemplo J . 
Cap. 14 / Diferenciação Parcial 
Ponto 
crítico A B 
(O, 0) o o 
(1, 1) -12 12 
e 
o 
-24 
6. 
o 
144 
Tipo de 
extremo 
Fig. 14.10.5 Análise de pontos críti- (1, -1) -12 -12 -24 144 
O teste falha 
Máximo local 
Mínimo local 
cos para a função do Exemplo 2. 
f (x, y) 
2 X 
2 
f (x, y) = 6xy 2 - 2x 3 - 3y4 . 
Solução Igualando a zero as derivadas parciais de primeira ordem, obtêm-se as equa-
ções 
fx(x, y) = 6y 2 - 6x 2 = O e fy(x, y) = 12xy - 12y 3 = O. 
Segue que 
x2 = y2 
A primeira destas equações dá x = ±y. Se x = y, a segunda equação implica que y = 
O ou y = 1. Se x = - y, a segunda equação implica que y = O ou y = -1. Logo, há três 
pontos críticos: (O, O), (1, 1) e (1, -1 ). 
As derivadas parciais de segunda ordem de f são 
A = fxx = - 12x, B = fxy = 12y, e = hY = 12x - 36y 2 • 
Estas expressões dão os valores da tabela da Fig. 14.10.5. O teste do ponto crítico fa-
lha em (O, O), e assim deve-se achar outra forma de testar este ponto. Vê-se quef(x, O) 
= -2x3 e que.f(0, y) = -3y4 . Logo, ao nos afastarmos da origem 
na direção de x positivo, 
na direção de x negativo, 
na direção de y positivo, 
na direção de y negativo, 
f decresce; 
f cresce; 
f decresce; 
f decresce. 
o z Conseqüentemente,! não tem máximo local nem mínimo local na origem. A Fig. 14.10.6 
mostra o gráfico def Se um macaco estivesse sentado na origem e olhando na direção 
-2 x negativa, as direções em quef(x, y) decresce dariam lugar para sua cauda e suas duas 
pernas. Esta é a razão por que esta superfície é denominada sela de macaco (Fig . 
14.10.7). 
Fig. 14.10.6 A se la de macaco do EXEMPLO 3 Determine e classifique os pontos críticos da função 
Exemplo 2. 
f(x, y) = ½x4 + ½J 4 - 4xy 2 + 2x 2 + 2y 2 + 3. 
Solução Igualando a zero as derivadas parciais de primeira ordem def, obtêm-se as 
equações 
f<(x, y) = j x 3 - 4y 2 + 4x = O, 
fy(x , y) = 2y 3 - 8xy + 4y = O, 
(3) 
(4) 
que não são tão fácei s de resolver como as equações correspondentes nos Exemplos 1 
e 2. Mas escrevendo a Eq. (4) na forma 
Fig. 14.10.7 O macaco em sua sela 
(Exemplo 2) . 2y(y
2 - 4x + 2) = O, 
SEÇÃO 14. 10 / O Teste da Deri vada Segunda para Funções de Duas Variáveis 69 
. . . 
20 ····!······· : ; .... 
10 :::r· :::: 
····~ r·· 
:,,.. o i---,,-+----.--+--..;..---1 
; ; . : ; 
-10 ····! ·········1··········· ··········!··········1···· 
: : : : 
-20 .............. t ................. .) .......... t .. . 
: : : 
-4 -2 O 2 4 
X 
Fig. 14.10.8 Gráfico de <f,(x) = x3 -
9x + 6 (Exemplo 3). 
Fig. 14.10.9 Classificação dos pontos 
críticos no Exemplo 3. 
70 
vê-se que ou y = O ou 
y 2 = 4x - 2. 
Se y = O, a Eq. (3) se reduz à equação 
~ x3 + 4x = ~ x(x 2 + 3) = O, 
cuja única solução é x = O. Assim, um ponto crítico de fé (0, 0). 
Se -y =/:- O, substitui-se y2 = 4x - 2 na Eq. (3), obtendo-se 
!x3 - 4(4x - 2) + 4x = O; 
isto é 
~x3 - 12x + 8 = O. 
Deve-se, pois, resolver a equação cúbica 
cf,(x) = x3 - 9x + 6 = O. 
(5) 
(6) 
O gráfico de c/>(x) na Fig. 14.10.8 mostra que esta equação tem três soluções reais com 
valores aproximados x = -3, x = 1 ex= + 3. Aplicando técnicas gráficas ou o método 
de Newton (Seção 3.9), podem-se obter os valores 
X= -3,2899, X== 0,1051, X== 2,5842, (7) 
com quatro decimais exatas. Os valores correspondentes de y são dados [Eq. (5)] por 
y = ±\!4x - 2, (8) 
mas o primeiro valor de x na Eq. (7) não dá valor real para y. Assim, os dois valores 
positivos de x na Eq. (7) acrescentam mais quatro pontos críticos def(x, y) ao ponto 
crítico (O, O) já achado. 
Estes cinco pontos críticos estão relacionados na tabela da Fig. 14.1 O. 9, juntamente 
com os valores correspondentes de 
A = Íxx = 4x2 + 4, 
e = f,, = 6y2 - 8x + 4, 
B = ÍxY = hx = -8y. 
.:1 = AC - B2 
(arredondados para duas decimais) em cada um desses pontos críticos. Vê-se que l!,. > 
O e A > O em (0, 0) e em (2,5482, ±2,8874); assim, esses pontos são pontos de mínimo 
Ponto 
crítico 1 2 3 4 5 
X 0,0000 0,7057 0,7057 2,5842 2,5842 
y 0,0000 0,9071 -0,9071 2,8874 2,8874 
z 3,0000 3,7402 3,7402 -3,5293 -3,5293 
A 4,00 S,99 5,99 30,71 30,71 
B 0,00 -7,26 7,26 -23,10 23,10 
e 4,00 3,29 3,29 33,35 33,35 
/1 16,00 -32,94 -32,94 490,64 490,64 
Tipo Mínimo Ponto Ponto Mínimo Mínimolocal de sela de sela local local 
Cap. 14 / Diferenciação Parcial 
Fig. 14.10.10 Curvas de nível para a 
função do Exemplo 3. 
2 
>. o 
Mínimo local 
(0, 0) 
-2 Z= 3,74 
z=3,2 
-4 z =-1 Z=-3 
-4 -2 o 
X 
2 4 
Mínimo local 
(2,58, 2,89) 
Ponto sela 
(0,71, 0,91) 
Ponto sela 
(0,71, -0,91) 
Mínimo local 
(2,58, -2,89) 
local. Mas~< O no ponto (0,7057, ±0,9071), de modo que esses dois pontos são pontos 
de sela. O diagrama de curvas de nível da Fig. 14.10.10 mostra como esses cinco pon-
tos críticos se dispõem. 
Vê-se, finalmente, que o comportamento deftx, y) é aproximadamente o de tx4 + 
½y4 quando l.xl ou lyl é grande, de modo que a superfície z = ftx, y) deve abrir-se para 
cima e, portanto, ter um ponto baixo global (mas não um ponto alto global). Exami-
nando os valores 
/(O, O)= 3 e /(2,5842, ±2,8874) = -3,5293, 
vê-se que o valor mínimo global deftx, y) é -3,5293, aproximadamente. 
DISCUSSÃO DO TEOREMA 1 
Uma prova completa do Teorema 1 ( dando condições suficientes para extremos locais 
de funções de duas variáveis) deve ser deixada para o cálculo avançado. Não obstante, 
aqui será dado um esboço das idéias básicas. Dada uma função./{x, y) com ponto críti-
co (a, b) que se deseja pesquisar, a função./{x - a, y - b) teria um ponto crítico do 
mesmo tipo em (0, O); suponha-se, pois, a = b = O. 
Para analisar o comportamento deftx, y) na vizinhança de (0, O), fixa-se x e y e in-
troduz-se a função de uma variável 
g(t) = J(xt, yt), (9) 
cujos valores concordam com os de/na linha reta por (O, O) e (x, y) no plano xy. A 
fórmula de Taylor de segundo grau correspondente em t = O é 
g(t) = g(O) + g'(O) · t + ½ g''(O) · t 2 + R, (10) 
onde o termo resto é da forma R = g<3>(-r)-t3/3! para -rentre O e t. Com t = I, obtém-
se 
g(l) = g(O) + g'(O) + ½ g"(O) + R. (11) 
Porém 
g(O) = /(O, O) e g(l) = f(x, y) (12) 
pela Eq. (9), e a regra da cadeia dá 
, iJf dx iJf dy 
g (O) = - - + - - = xf, + yJ; 
iJx dt iJy dt " y (13) 
e 
SEÇÃO 14.10 / O Teste da Derivada Segunda para Funções de Duas Variáveis 71 
14.10 Problemas 
g"{O) = aªx (xfx + y.{y) ! + :Y (xfx + y.{y) dr 
= x2.fxx + 2xyfxy + y2jyy, 
onde as derivadas parciais de f devem ser calculadas no ponto (O, O). 
(14) 
Comofx(O, O)= f,(0, O)= O, a substituição das Eqs. (12), ( 13) e (14) na Eq. (11) dá 
o desenvolvimento de Taylor de duas variáveis 
f(x, y) = /(O, O) + ½ (Ax 2 + 2Bxy + Cy 2) + R, (15) 
onde 
A = fxx(O, O), B = f xy(O, O), C = .{yy(0, O). (16) 
Se l.xl e lyl são suficientemente pequenos, então o resto R é desprezível, e o compor-
tamento dej(x, y) na vizinhança do ponto crítico (0, O) fica determinado pelo compor-
tamento, naquela vizinhança, daforma quadrática 
q(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy 2• (17) 
Mas a forma da superfície 
z = q(x, y) (18) 
fica definida pela natureza da seção cônica (rodada) 
q(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 = 1 (19) 
que se estudou na Seção 10.7. (Ali, escreveu-se Bem vez de 2B e, conseqüentemente, 
4AC - B2 em vez de d = AC - B2, como aqui.) Considerem-se os três casos separada-
mente. 
Se d> O eA > O, então a Eq. (19) é a equação de uma elipse. Segue que z = q(x, y) 
é um parabolóide que se abre para cima. Supondo que z = j(x, y) tenha praticamente a 
mesma forma na vizinhança da origem, decorre que o ponto crítico (O, O) é um ponto 
de mínimo local para.f. 
Se d > O e A < O, a situação é a mesma, apenas com a exceção de que os sinais dos 
coeficientes na Eq. (19) são trocados. Neste caso, z = q(x, y) é um parabolóide que se 
abre para baixo, e o ponto crítico (0, O) é um ponto de máximo local para.f. 
Se d< O, então a Eq. (19) é a equação de uma hipérbole, e z = q(x, y) é um hiper-
bolóide com um ponto de sela na origem. Assim, (0, 0), neste caso, é um ponto de sela 
para.f. 
Note-se finalmente, que essas possibilidades correspondem diretamente às conclu-
sões do Teorema 1. 
Determine e classifique os pontos críticos das funções dos Pro-
blemas 1 a 22. 
1. f (x, y) = 2x2 + y 2 + 4x - 4y + 5 
2. f (x, y) = 10 + 12x - 12y - 3x2 - 2y2 
3. f (x, y) = 2x2 - 3y2 + 2x - 3y + 7 
(Fig. 14.10.11) 
72 
Fig. 14.10.11 Gráfico para o Problema 3. 
Cap. 14 / Diferenciação Parcial 
4. f(x, y) = xy + 3x - 2y + 4 
5. f(x, y) = 2x2 + 2xy + y 2 + 4x - 2y + 1 
6. f (x, y) = x 2 + 4xy + 2y 2 + 4x - 8y + 3 
1. f(x, y) = x 3 + y 3 + 3xy + 3 (Fig. 14.10.12) 
Fig. 14.10.12 Gráfico para o Problema 7. 
8. f (x, y) = x 2 - 2xy + y 3 - y 
9. f (x, y) = 6x - x3 _ y3 
10. f (x, y) = 3xy _ x3 _ y3 
11. f(x, y) = x 4 + y 4 - 4xy 
12. f (x, y) = x 3 + 6xy + 3y2 
13. f (x, y) = x 3 + 6xy + 3y2 - 9x 
14. f (x, y) = x 3 + 6xy + 3y2 + 6x 
15. f (x, y) = 3x2 + 6xy + 2y 3 + 12x - 24y 
(Fig. 14.10.13) 
Fig. 14.10.13 Gráfico para o Problema 15. 
16. f(x, y) = 3x2 + 12xy + 2y3 - 6x + 6y 
17. f (x, y) = 4xy _ 2x4 _ y2 
18. f(x, y) = 8xy - 2x2 - y4 
19. f(x, y) = 2x 3 - 3x2 + y 2 - 12x + 10 
(Fig. 14.10.14) 
Fig. 14.10.14 Gráfico para o Problema 19. 
20. f (x, y) = 2x3 + y 3 - 3x2 - 12x - 3y 
(Fig. 14. 10.15) 
Fig. 14.10.15 Gráfico para o Problema 20. 
Fig.14.10.16 Gráfico para o Problema 21. 
21. f(x, y) = xy exp(-x2 - y 2) (Fig. 14.10.16) 
22. f (x, y) = (x 2 + y 2) exp{x2 - y 2) 
Nos Problemas 23 a 25, mostre primeiro que ,1 = JJyy - (j:,;y)2 é 
zero na origem. Classifique então este ponto crítico imaginando 
com que se parece a superfície z = f(x, y). 
23. j(x, y) = x4 + y4 
24. f (x, y) = x3 + y3 
25. f(x, y) = exp(-x4 - y 4 ) 
26. Denote-se por fi.s, t) o quadrado da distância entre um ponto 
daretax = t,y = t + I, z = 2t, e um ponto daretax = 2s, y = s 
- 1, z = s + 1. Mostre que o único ponto crítico defé um míni-
mo local. Determine os pontos mais próximos nessas duas retas 
reversas. 
27. Sejaj{x, y) o quadrado da distância de (0, O, 2) a um ponto da 
superfície z = xy. Determine e classifique os pontos críticos def 
28. Mostre que a superfície 
z = (x 2 + 2y 2) exp (1 - x 2 - y 2) 
se assemelha a dois picos de montanha unidos por dois cumes 
com um vale entre eles. 
29. Corta-se um arame de 120 cm de comprimento em três peda-
ços de comprimentos x, y e 120 - x - y, e com cada pedaço faz-
se um quadrado. Sejaj{x, y) a soma das áreas desses quadra-
dos. Mostre que o único ponto crítico de fé um mínimo local. 
Mas, sem dúvida, é possível maximizar a soma das áreas. Expli-
que. 
30. Mostre que o gráfico da função 
f (x, y) = xy exp(½[x 2 + 4y2]) 
tem um ponto de sela, dois mínimos locais, e dois mínimos glo-
bais. 
31. Determine e classifique os pontos críticos da função 
SEÇÃO 14.10 / O Teste da Derivada Segunda para Funções de Duas Variáveis 73 
32. Sejaf(x, y) = x3 - 3xy2 (a) Mostre que seu único ponto crí-
tico é (O, 0), e que Li= O ali. (b) Examinando o comportamento 
de x3 - 3xy2 sobre retas pela origem, mostre que a superfície z 
= x3 - 3xy2 é uma sela de macaco (Fig. 14.10.17). 
z 
z 
Fig. 14.10.18 A sela de cachorro do Problema 33. 
Caracterize o comportamento def na vizinhança do ponto críti-
co (O, O). 
Nos Problemas 35 a 39, utilize métodos gréificos ou numéricos 
para determinar os pontos crfücos de f com quatro decimais. 
Classifique-os então. 
Fig. 14.10.17 A sela de macaco do Problema 32. 
33. Refaça o Problema 32 com f(x , y) = 4.xy(x2 - y2). Mostre 
que, na vizinhança do ponto crítico (0, 0), a superfície z = f(x, 
y ) se apresenta como uma "sela de cachorro" (Fig. 14.10.18). 
34. Seja 
35. f (x, y) = 2x4 - 12x2 + y 2 + 8x 
36. f(x, y) = x 4 + 4x 2 - y 2 - 16x 
37. f (x, y) = x 4 + 12xy + 6y 2 + 4x + 10 
38. f (x, y) = x4 + Sxy - 4y 2 - 16x + 10 
xy(xz - yz) 
f(x, y) = 2 + 2 
39. f(x, y) = x 4 + 2y 4 - 12xy2 - 20y 2 
X y 
14.10 Projetos 
Fig. 14:10.19 G ráfico para o Projeto 
A (gráfi co MATLAB 4,0, cortesia de 
The MathWorks , Inc .) . 
74 
PROJETO A Este projeto é trabalhoso computacionalmente, podendo ser de gran-
de ajuda uma calculadora ou um computador que possa calcular derivadas simbolica-
mente. Considere-se a função f de duas variáveis definida por 
f (x, y) = 10(x3 + y 5 + ½ x) exp(-x2 - y 2) 
+ ½exp(-[x - 1]2 - y 2 ), (20) 
cujo gráficoé mostrado na Fig. 14.10.19. Comof(x, y) ➔ O quando x, y ➔ :±:oo, a su-
perfície z = f(x, y) deve ter um ponto mais alto e um ponto mais baixo. Determine-os. 
Seis pontos críticos são visíveis: dois máximos locais, dois pontos de sela e dois míni-
mos locais. O problema consiste em determinar a localização desses pontos críticos. Mos-
tre primeiro que, ao se calcular as duas derivadas parciaisf, eJ;,, igualá-las a zero e remover 
o fator comum exp(-x2 - y2) de cada equação resultante obtêm-se as duas equações 
-Hx - l)e 2"- 1 - 20x4 + 26x 2 - 20xy 5 + 2 = O, 
-he2x-l - 20x3y - 4xy - 20y 6 + 50y4 = O, 
(21) 
(22) 
a serem resolvidas em relação às coordenadas x e y dos pontos críticos da função f 
Embora, à primeira vista, estas equações pareçam assustadoras, elas têm duas ca-
racterísticas favoráveis que permitem resolvê-las: 
O Observe-se que y = O satisfaz a Eq. (22) . Assim, podem-se achar os pontos críti-
cos que estão sobre o eixo x fazendo y = O na Eq. (21) e resolvendo a equação 
remanescente em relação a x e aplicando as técnicas de "zoom" ao gráfico def 
Cap. 14 / Diferenciação Parcial 
Fig. 14.10.20 Gráfico para o projeto 
B (gráfico MATLAB 4,0, cortesia de 
The MathWorks, Inc.). 
O Pode-se resolver a Eq. (21) em relação a y em termos de x. Quando se substitui o 
resultado na Eq. (22), obtém-se outra equação em x que pode ser resolvida por 
técnicas de "zoom". Isto dá os cinco pontos críticos restantes. 
PROJETO B A Fig. 14.10.20 mostra o gráfico da nova função g(x, y) definida pela 
fórmula 
g(x, y) = 10(x3 + y 5 - ½ x) exp(-x 2 - y 2) 
+ ½ exp( -[x - 1]2 - y 2), (23) 
obtida com a mudança de um único sinal (o de {x) na Eq. (20). Agora é visível que há 
alguma "ação" adicional na vizinhança da origem. Com persistência, pode-se levar 
avante o processo esboçado acima para localizar e analisar todos os pontos críticos desta 
função alterada. Ver-se-á então que g tem dez pontos críticos - três máximos locais, 
três mínimos locais e quatro pontos de sela. Seis desses pontos críticos localizam-se 
de maneira análoga à do Projeto A; os quatro pontos críticos novos estão localizados 
dentro de um quadrado unitário centrado na origem. 
OBSERVAÇÃO Viu-se pela primeira vez a função g(x, y) em uma brochura descre-
vendo o sistema MATLAB para cálculo numérico interativo. A descoberta da função 
f(x, y), cuja estrutura de ponto crítico é algo mais simples, foi o resultado fortuito de 
um erro tipográfico ocorrido na primeira vez que se tentou estudar a função g(x, y). 
Capítulo 14 Revisão: DEFINIÇÕES, CONCEITOS, RESULTADOS 
lJ_se a seguinte lista como guia de conceitos que você possa pre-
cisar rever. 
1. G_rá~icos e curvas de nível de funções de duas variáveis. 
2. L1m1tes e continuidade de funções de duas ou três variáveis. 
3. Derivadas parciais - definição e cálculo. 
4. Interpretação geométrica das derivadas parciais e do plano 
tangente à superfície z = f(x, y) . 
5. Máximos e mínimos absolutos e locais. 
6. Condições necessárias para um extremo local . 
7 · Incrementas e diferenciais de funções de duas ou três variáveis. 
Capítulo 14 Problemas Diversos 
1. Aplique o método do Exemplo 5 da Seção 14.3 para mostrar 
que 
2. Utilizando coordenadas esféricas, mostre que 
. XJ + y 3 - z3 
hm , , = O. 
(x. y. e) -(0. O. O) x- + y 2 + z-
3. Suponha que 
Cap. 14 / Problemas Diversos 
8. O teorema da aproximação linear. 
9. A regra da cadeia para funções de vá.das variáveis. 
10. Derivadas direcionais - definição e cálculo. 
11. O vetor gradiente e a regra da cadeia vetorial. 
12. Significado do módulo e da direção do vetor gradiente. 
13. O vetor gradiente como vetor normal; plano tangente a uma 
superfície F(x, y, z) = O. 
14. Problemas de máximo e mínimo vinculados e o método dos 
multiplicadores de Lagrange. 
15. Condições suficientes para um extremo local de uma função 
de duas variáveis. 
xy 
g(x, y) = , + 2 
X- y 
se (x, y) -:/= (0, O); define-se g(0, O) como zero. Mostre que g não é 
contínua em (O, 0). 
4. Calcule g/0, 0) e g,.(0, O) para a função g do Problema 3. 
5. Determine uma furiçãof(x, y) tal que 
fx(x, y) = 2xy 3 + ex sen y 
e 
fy(x , y) = 3x2y 2 + ex cos y + l. 
75 
6. Prove que não existe uma funçãofcom derivadas parciais de 
segunda ordem contínuas tal que.fx(x, y) = 6xy2 ef,(x, y) = 8.ry. 
7. Ache os pontos do parabolóide z = x'- + y2 nos quais a reta 
normal passa pelo ponto (0, O, 1). 
8. Escreva uma equação do plano tangente à superfície sen xy + 
sen yz + sen xz = 1 no ponto (1, 1d2, 0). 
9. Prove que toda reta normal ao cone de equação z = .J x2 + y2 
intercepta o eixo z. 
10. Mostre que a função 
u(x, t) = ~ ~exp --1 ( x2) 
v41Tkt 4kt 
satisfaz a equação unidimensional do calor 
11. Mostre que a função 
u(x, y, t) = -- exp - -~-1 ( x2 + y2) 
41Tkt 4kt 
satisfaz ª equação bidimensional do calor 
12. Seja 
xy(x2 - y2) 
f(x, y) = -"-'.,,.----<-...a. 
x2 + y2 
~:aa~x/). = (O, O); d~f!ne-se.f(0, O) como zero. Mostre que to-
envadas parciais de segunda ordem!, f, f, ef, exis-
tem em (0, O), mas que f, (O, O) * f, (O O). = ...,, ,... ,, 
13. Defina as d · adas "' . . .,... ' . = i.x + . + env p~ciais r_.. e r, da função vetonal r(x, y) 
JY lvtx, Y) mediante diferenciação parcial das compo-
~~tes. Mostre então que o vetor r x r é normal à superfície z 
- J\X, y). x y 
14. Uma caixa retan 1 
300 cm2 D . gu ~ sem tampa deve ter uma área total de 
15 D · etermme as dimensões que maximizem seu volume. • eve-se construir dad 3 1 S um engra o retangular com 60 ft devo-
ume. eus lados custam $1/ft2 $ 2 b custa $3/ft2 Q . , seu topo custa 2/ft e sua ase 
16 U . · 1;1e dimensões minimizarão o custo da caixa? 
ph~no n;::irâmide é limitada pelos três planos coordenados e pelo 
octant Jente ~ superfície xyz = 1 em um ponto do primeiro 
Ponto~ taneter!1u'!e O volume dessa pirâmide (é independente do _e gencia). 
17. Dois resisto tê . 
Quando r res m resistências R1 e R2, respectivamente. 
sultante ig~os em paralelo, a resistência total R do circuito re-
sat1s1az a equação 
Medindo-se R e R b · 
• 1 2,0 tiveram-seosvalores300e600O(ohms), 
r~spectivamente, com erro máximo de 1 % em cada medida. Es-
time po · d d'ti . . • r meio e i erenc1ais, o erro máximo (em ohms) no valor 
calculado de R. 
18. Considere um gás que satisfaz a equação de van der Waals 
(Problema 53 da Seção 14.4). Utilizando diferenciais, obtenha 
76 
uma aproximação da variação de seu volume, quando p aumenta 
de l atm para l, l atm e T diminui de 313 K para 303 K. 
19. Mede-se cada um dos semi-eixos a, b e e de um elipsóide de 
volume V = t nabc, com erro percentual máximo de 1 %. Esti-
me, com auxílio de diferenciais, o erro percentual máximo no 
valor calculado de V. 
20. Duas esferas têm raios a e b, e a distância entre seus centros 
é e< a + b. Assim, as esferas se interceptam em um círculo. Seja 
P um ponto desse círculo, e sejam (!]' 1 e (!]' 2 os planos tangentes 
em P às duas esferas. Determine o ângulo entre (!} 1 e (!]' 2 em ter-
mos de a, b e e. [Sugestão: Recorde que o ângulo entre dois pla-
nos é, por definição, o ângulo entre seus vetores normais.] 
21. Determine os pontos da superfície do elipsóide x2 + 4y2 + 
9z2 = 16 nos quais a reta normal passa pelo centro (0, O, O) do 
elipsóide. h<x> 
22. Seja F(x) = J f(t)dt. Mostre que 
g(.t) 
F'(x) = f(h(x))h'(x) - f(g(x))g'(x). 
[Sugestão: Escreva w = ff(t)dt, com u = g(x) e v = h(x).] 
23. Sejam a, b e e vetores u'nitários mutuamente perpendiculares 
no espaço, e fuma função das três variáveis independentesx, ye 
z. Mostre que 
24. Sejam R = (cos 0, sen 0, O) e 0 = (-sen 0, cos 0, O) vetores 
unitários em coordenadas polares. Dado j(x, y, z) = w(r, 0, z), 
mostre que 
aw 
Daf=-
ar 
e 
Iaw 
Daf=--. 
r a8 
Conclua então, pelo Problema 23, que o vetor gradiente é dado, 
em coordenadas cilíndricas, por 
V/ = aw R + !, aw e + aw k. 
ar r ae az 
25. Suponha que você está no ponto de coordenadas (-100, 
-100, 430) de uma colina que tem a forma do gráfico de 
z = 500 - {0,003)x2 - (0,004)y2 
(unidades emmetros). Em que direção (horizontal) você dev_e 
caminhar a fim de manter altitude constante - isto é, nem subir 
nem descer a colina? 
26. Suponha que a concentração de sangue no oceano, no ponto 
(x, y), seja d~a por 
f (x, y) = A exp(-k[x2 + 2y 2]), 
onde A e k são constantes positivas. Um tubarão nada sempre n~ 
direção de Vf Mostre que sua trajetória é uma parábola y = cr. 
[Sugestão: Mostre que a condição de que (dxldt, dyldt) seja múl-
tiplo de Vfimplica 
Cap. 14 / Diferenciação Parcial 
Antidiferencie então a equação.] 
27. Considere um plano tangente à superfície de equação x2'3 + 
y113 + z213 = 1. Determine a soma dos quadrados dos interceptos 
x, y e z desse plano. 
28. Ache os pontos da elipse x2/a2 + y2/b2 = 1 (com a * b) em 
que a reta normal passa pela origem. 
29. (a) Mostre que a origem é um ponto crítico da função f do 
Problema 12. (b) Mostre que f não tem extremo local em (0, 0). 
30. Ache o ponto da superfície z = xy + 1 mais próximo da ori-
gem. 
31. Aplique o método do Problema 24 da Seção 14.9 para achar 
os semi-eixos da elipse 
73x2 + 12xy + 52y2 = 100. 
32. Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, mos-
tre que a maior corda da esfera x2 + y2 + z2 = 1 tem comprimen-
to 2. [Sugestão: Não há perda de generalidade em admitir que 
(1, O, 0) é uma das extremidades da corda.] 
33. Com auxílio dos multiplicadores de Lagrange, da lei dos co-
senos e da Fig. 14.9.9, determine o triângulo de perímetro míni-
mo inscrito no círculo unitário. 
34. Quando uma corrente / entra em dois resistores, com resis-
tências Ri e R2, ligados em paralelo, ela se divide em duas cor-
rentes / 1 e / 2 (com/ = /1 + /2) de modo a minimizar a potência 
total R.If + R2/i. Expresse / 1 e / 2 em termos de R1, R2 e/. Dedu-
za então a fórmula do Problema 17. 
35. Aplique o método dos multiplicadores de Lagrange para achar 
os pontos da elipse x2 + 2y2 = 1 mais próximo e mais afastado 
daretax + y = 2. [Sugestão: Denote porf(x, y, u, V) o quadrado 
da distância entre o ponto (x, y) da elipse e o ponto (u; v) da reta.] 
36. (a) Mostre que o máximo de 
f (x, y, z) = x + y + z 
em pontos da esfera x2 + y2 + z2 = a 2 é a ,fj. 
(b) Conclua, pelo resultado da parte (a), que 
(x + Y + z)2 ~ 3(x2 + Y2 + z2) 
para três números arbitrários x, y e z. 
37 · Generalize o método do Problema 36 para mostrar que 
( 
n )2 n 
Lx; ~nLx? 
1=1 1=1 
para n números reais arbitrários x1, x2, ••• , Xn. 
38. Determine os valores máximo e mínimo def(x, y) = xy - x 
- Y em pontos da fronteira e do interior do triângulo de vértices 
(O, 0), (0, 1) e (3, O). 
Cap. 14 / Problemas Diversos 
39. Determine os valores máximo e mínimo de f(x, y, z) = x2 -
yz em pontos da esfera x2 + y2 + z2 = 1. 
40. Determine os valores máximo e mínimo de f(x, y) = x2y2 em 
pontos da elipse x2 + 4y2 = 24. 
Localize e classifique os pontos críticos (máximos locais, míni-
mos locais, pontos de sela e outros pontos em que o plano tan-
gente seja horizantal) das funções dos Problemas 41 a 50. 
41. f (x, y) = x 3y - 3xy + y 2 
42. f(x, y) = x2 + xy + y 2 - 6x + 2 
43. f (x, y) = x 3 - 6xy + y 3 
44. f (x, y) = x2y + xy2 + x + y 
45. f (x, y) = x 3y 2(l - x - y) 
46. f (x, y) = x 4 - 2x2 + y 2 + 4y + 3 
47. f (x, y) = e"Y - 2xy 
48. f (x, y) = x3 - y3 + x2 + Y2 
49. f (x, y) = (x - y)(xy - 1) 
50. f(x, y) = (2x2 + y 2) exp(-x2 - y 2) 
51. Dados os pontos (x;, Y;), i = 1,2, ... ,n, a reta de mínimos qua-
drados y = mx + b é a reta que melhor se ajusta a esses dados, 
no seguinte sentido: Seja d; = Y; - (mx; + b) o desvio do valor 
predito mx; + bem relação ao verdadeiro valor Y;• Seja 
f(m, b) = d12 + dl + · · · + d/ = Í [y; - (mx, + b)]2 
i=I 
a soma dos quadrados dos desvios. A reta de mínimos quadra-
dos é a reta que minimiza esta soma (Fig. 14.PD.1). Mostre como 
determinar me b minimizando/. [Nota: As únicas variáveis nes-
tes cálculos são me b.] 
y 
X 
Fig. 14.PD.1 Ajustando a melhor reta aos pontos (x1, y1), I ~ i ~ n (Pro-
blema 51). 
77 
CAPÍTULO 
15 : · :tfit,êgrais Múltiplas 
O Os problemas de medida - relacionados com os conceitos de comprimento, área e volume - re-
montam à aurora das civilizações, há mais de 4.000.anos, nos férteis vales fluviais da África e da Ásia, 
quando problemas como o cálculo de áreas de campos e volumes de grãos começaram a ter importân-
cia. Esses problemas acabaram por levar à integral, que é utilizada para calcular ( entre outras coisas) 
áreas e volumes de figuras curvilíneas. Mas somente no começo do século XX é que certas dificuldades 
de longa data com a medida e a integraçãoforamfinalmente resolvidas, em grande parte como conse-
qüência dos trabalhos do matemático francês Henri Lebesgue (1875-1941). 
O Em sua tese de 1902 submetida à Sorbonne em Paris, Lebesgue apresentou uma nova definição da 
integral, que generalizava a definição de Riemann. Em essência, para definir a integral da função f de 
x = a a x = b, Lebesgue substituiu a subdivisão de Riemann do intervalo [a, b] em subintervalos disjuntos, 
por uma partição de [a, b] em conjuntos mensuráveis disjuntos {EJ. A soma de Riemann ~f( x;)'1.xfoi, 
então, substituída por uma soma da forma ~f( x; )mi, onde m; é a medida do imº conjunto Ei contendo x;. 
Para ver a vantagem da "integral de Lebesgue", considere-se o fato de que existem funções diferenciáveis 
cujas derivadas não são integráveis no sentido de Riemann. Para uma função desse tipo, o teorema fun-
damental do cálculo na forma 
f f'(x) dx = f(b) - /(a) 
'!ão é ~álido. Mas com sua nova definição da integral, Lebesgue mostrou que uma função derivada f' é 
~ntegra~el: e que o teorema fundamental é válido. Da mesma forma, a igualdade de integrais duplas e 
~ntegra~s lte;a~as (Seção 15.1) vale apenas sob condições drásticas se a definição de Riemann para 
integrais multzplas é usada, mas a integral de Lebesgue resolve a dificuldade. 
□ Por essas razões, a teoria de Lebesgue da medida e da integração predomina na pesquisa matemáti-
c~ m~derna, tanto pura quanto aplicada. Assim é que a integral de Lebesgue é fundamental em campos 
t~o dzv~rsos como probabilidade e biologia matemática, a teoria quântica dos átomos e núcleos e a teo-
ria da informação e o processamento de sinais elétricos da moderna tecnologia computacional. 
O ~ P_roje~o da Seção 15.5 ilustra a aplicação das integrais múltiplas a problemas concretos tais como 
a otzmzzaçao do planejamento de rodas de carros de corrida. 
15.1 
Integrais Duplas 
z 
Fig. 15.1.1 Será utilizada uma integral 
dupla para calcular o volume V. 
y 
d 
e 
a 
I 
I 
• 
/ 
/ 
/ 
I R 
b X 
Fig. 15.1.2 Uma partição Ç!/J do retân-
gu lo R. 
SEÇÃO 15. 1 / Integrais Duplas 
Este capítulo discute integrais de funções de duas ou três variáveis . Tais integrais 
são chamadas integrais múltiplas. A aplicação de integrais múltiplas inclui o cálculo 
de área, volume, massa e área de superfície em uma variedade maior de situações do 
que as que podem ser abordadas com a integral simples dos Caps . 5 e 6. 
O tipo mais simples de integral múltipla é a integral dupla 
f J f(x, y) dA 
R 
de uma função contínuafix, y) sobre o retângulo 
R = [a,b] X [c,d] 
= {(x, y) 1 a~ x ~ b, e~ y ~ d} 
no plano xy . Assim como a definição de integral simples é motivada pelo problema do 
cálculo de áreas, a definição de integral dupla é motivada pelo problema de cálculo do 
volume V do sólido da Fig. 15.1.1 - um sólido limitado acima pelo gráfico z = f(_x, y) 
da função não-negativaf sobre o retângulo R no_plano .xy. 
Para definir o valor 
V = f J f(x, y) dA 
R 
de uma tal integral dupla, começa-se com uma aproximação de V. Para se obter esta 
aproximação, o primeiro passo é a construção de uma partição <!P de R em sub-retân-
gulos R 1, R2, .• • , Rkdeterminada pelas partições 
Q = Xo < X i < X2 < · · · < Xm = b 
de [a, b] e 
e = Yo < Yi < Y2 < · · · < Yn = d 
de [e, d]. A Fig. 15.1.2 mostra uma tal partição de R em k = mn retângulos . A ordem 
em que esses retângulos são rotulados, ou numerados, é indiferente. 
Escolhe-se em seguida um pontoarbitrário (x;~ ,y;" ) do i01º sub-retângulo R; para cada 
i (1 ~ i ~ k) . A coleção de pontos S = { (x; ,l) 11 ~ i ~ k} é chamada de uma escolha 
para a partição <!P = {RA 1 ~ i ~ k}. Como medida do tamanho dos sub-retângulos da 
partição <!P, define-se sua norma l<fP I como a maior diagonal dos retângulos { R;}. 
Considere-se agora uma coluna retangular que se eleva verticalmente do plano .xy. 
Sua base é o sub-retângulo R;e sua altura é o valorf(x;,y;) de f no ponto escolhido 
* * , (x; , Y; ) de R;. A Fig. 15.1 .3 po~tra uma dessas colunas. Se M ;denota a area de Ri, então 
o volume da i01ª coluna éf(x; ,Y; )M;. A soma dos volumes de todas essas colunas (Fig . 
15.1.4) é a soma de Riemann 
k 
L J(x(, yr-) LlA;, (1 ) 
i= I 
uma aproximação do volume V da região sólida situada acima do retângulo Reabaixo 
do gráfico z = fix, y ). 
Pode-se esperar que o volume exato V seja obtido tomando-se o limite da soma de 
Riemann da Eq. (1) quando a norma l<fP I da partição <!P tende para zero. Define-se as-
sim a integral (dupla) da funçãof sobre o retângulo R como 
ff f( x, y) dA = lim ± J(xt. y;") ~A;, 
R l~l-0;= 1 
(2) 
79 
80 
X 
X 
Fig. 15.1.3 Aproximação do volume 
sob a superfície somando-se os volu-
mes de torres de bases retangulares. 
Fig.15.1.4 Colunas correspondentes 
a uma partição do retângulo R. 
desde que este ]jmite exista (na Seção 15.2 torna-se mai s preciso o conceito da exis-
tência de um tal limite). Em cálculo avançado, prova-se que O limite na Eq. (2) real-
mente existe sef é contínua em R. Para motivar a introdução da soma de Riemann na 
Eq. (1), supôs-sefnão-negativa em R, mas a Eq. (2) serve para definir a integral dupla 
sobre um retângulo, querf seja aí não-negativa, ou não. 
INTEGRAIS ITERADAS 
O cálculo direto do limite na Eq. (2) é, em geral, ainda menos prático que o cálculo 
direto do limite usado na Seção 5.4 para definir a integral de uma função de uma variá-
vel. Na prática, serão calculadas integrais duplas sobre retângulos por meio de inte-
grais iteradas, conforme o Teorema 1. 
Teorema 1 lntegrais Duplas como Integrais Simples Iteradas 
Sejaj(x, y) contínua no retângulo R = [a, b] x [e, d]. Então 
if f(x, y) dA = r (f f(x, y) dy) dx = fá (f bf(x, y) dx) dy. (3) 
R a o e " 
O teorema 1 indica como calcular uma integral dupla por meio de duas integraçõe 
simples sucessivas (ou iteradas), que podem ser calculadas aplicando-se o teorema 
fundamental do cálculo (desde que a função f seja suficientemente bem comportada 
emR). 
Explica-se a seguir o que significam os parênteses na integral iterada 
r rf(x, y) dy dx = Jb (fd f(x, y) dy) dx. 
" e a e 
(4) 
Primeiro, mantém-se x constante e integra-se em relação a y, de y = e a y = d. O r -
sultado desta primeira integração é a integral parcial def em relação ay, denotada 
por 
Cap. 15 / Integra is Múltipl a 
l 
J 
-----••••iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii-•--""""'.iiiiiiiiiiliiiiiiiili;;;;;;;.;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;,;;,;-=====---===-----'-----'--'============~~~c;.· 11F1""""' 
y 
.... 
.... 
.... . .......... -Y=l 
' 1 ' . 
X 
.... 
.... 
Fig. 15.1.5 Limites interiores da pri-
meira integral iterada (Exemplo 1 ). 
y 
... 
... 
... 
' 1 ' ; ' . . . . X 
... 
... 
/ 
x=I ... 
Fig. 15.1.6 Limites interiores da se-
gunda integral iterada (Exemplo 1 ). 
SEÇÃO 15.1 / Integrais Duplas 
e é uma função de x somente. Integra-se então esta última função, em relação a x, de x 
= a ax=b. 
De forma análoga, calcula-se a integral iterada 
(5) 
integrando-se primeiro de a a b em relação a x (mantendo y fixo) e, em seguida, o re-
sultado de e a d em relação a y. A ordem de integração (primeiro em relação a x e, em 
seguida, em relação a y, ou vice-versa) é determinada pela ordem em que as diferenci-
ais dx e dy aparecem nas integrais iteradas nas Eqs. (4) e (5). Trabalha-se sempre "de 
dentro para fora". O Teorema 1 assevera que o valor obtido é independente da ordem 
de integração, desde que/seja contínua em R. 
EXEMPLO 1 Calcule as integrais iteradas das Eqs. (4) e (5) para a função.ftx, y) = 
4.i' + 6xy2 no retângulo R = [I, 3] x [-2, 1] . 
Solução A Fig. 15.1.5 mostra o retângulo R; ali, o segmento vertical (sobre o qual x 
é constante) corresponde à integral interior da Eq. (4). Seus pontos extremos estão nas 
alturas y = -2 e y = 1, que são, portanto, os limites da integral interior. Assim, a Eq. (4) 
dá 
f 3 (f (4x3 + 6xy2) dy) dx = f 3 [ 4x3y + 2xy3 ] 1 dx 
1 ~ 1 p~ 
= J3 [(4x3 + 2x) - (-8x3 - 16x)] dx 
1 
= f 3 (12x3 + 18x) dx 
= [3x4 + 9x2T = 312. 
O segmento horizontal (sobre o qual y é constante) na Fig. 15.1.6 corresponde à inte-
gral interior da Eq. (5). Seus pontos extremos estão em x = 1 ex= 3 ( os limites de x) e, 
assim, a Eq. (5) dá 
f ~
2 
(f 3 (4x 3 + 6xy2) dx) dy = f 
2 
[ x4 + 3x2y 2 I=• dy 
= r [(81 + 27y2) - (1 + 3y2)] dy 
-2 
= J~
2 
(80 + 24y2) dy 
= [ 80y + 8y3 ]~2 = 312. 
Considerando que as integrais duplas iteradas são sempre calculadas de dentro para 
fora, é claro que os parênteses nos membros direitos das Eqs. (4) e (5) se tomam des-
necessários, sendo, assim, omitidos, como nos Exemplos 2 e 3. Quando dy dx aparece 
no integrando, integra-se primeiro em relação a y, enquanto o aparecimento de dx dy 
indica que se deve integrar primeiro em relação a x. 
81 
,1. 
1· 
x=O 
82 
y 
/......_ 
x=tt y=O 
Fig. 15.1. 7 Exemplo 2. 
y 
y=l 
Fig. 15.1.8 Exemplo 3. 
X 
X 
EXEMPLO 2 Veja a Fig. 15.1.7. 
f., f "'2 f" [ ] 'fr/2 
0 0 
cosxcosydydx = 
0 
cosxseny y=o dx 
= i"' cosx dx = [senx J: = O. 
EXEMPLO 3 Veja a Fig. 15.1.8 
f 1 f "'2 f 1 [ ] 'fr/2 
0 0 
(e"+ senx) dx dy = 
0 
xe1 - cosx ..-=o dy 
= f (½ 1re>' + 1) dy 
[ 1 ]
1 1r(e - 1) 
= 21re>' + Y o = 2 + 1. 
INTEGRAIS ITERADAS E SEÇÕES TRANSVERSAS 
Um esboço da prova do Teorema 1 esclarece a relação entre integrais iteradas e o método 
das seções transversas (para cálculo de volumes) abordado na Seção 6.2. Primeiro di-
vide-se [a, b] em n subintervalos iguais, cada um de comprimento & = (b-a)ln; divi-
de-se também [e, d] em n subintervalos iguais, cada um de comprimento ~Y = (d - e)/ 
n. Obtém-se assim n2 sub-retângulos, cada um dos quais tem área M = & ~Y- Esco-
lhe-se a seguir um ponto x: em [x;-i, x-] para cada i, I ~ i ~ n. Então, o teorema do 
valor médio para integrais simples csfção 5.6) dá um ponto y: em [yj- I• Yi] tal que 
JYJ f(xf, y) dy = f(xf, y;f) Ay. 
YJ-1 
Isto dá o ponto escolhido (x: ,y;) no sub-retângulo [x;_., x;] x [y;-i, y;]. Então 
f(x, y) dA = ~ f(xf, y;f) AA = LL/(xf, y;f) AyAx II n n n 
R I.J=I i=IJ=I 
onde 
n(n JYJ ) =; ~ f(xf, y) dy Ax 
>'J-1 
= ! (fd f(xf, y) dy) Ax 
e 
n 
= ~ A(xf) Ax, 
i-1 
A(x) = fd f(x, y) dy. 
e 
Esta última soma é uma soma de Riemann para a integral 
Jb A(x) dx, 
a 
Cap. 15 / Integrais Múltiplas 
X 
e assim o resultado do cálculo é 
II J(x, y) dA = ~ A(xn l:ix 
R 
= r A(x) dx = Jb (f d J(x, y) dy) dx. 
a a e 
Pode-se transformar este esboço em uma prova completa do Teorema 1, mostrando-se 
que as aproximações precedentes se tomam igualdades ao serem tomados limites quando 
n ~ oo. 
Fig. 15.1.9 A área da seção transversa 
No caso de a função f ser não-negativa em R, a função A(x) introduzida aqui dá a 
área da seção transversa vertical perpendicular ao eixo x (Fig. 15.1.9). Assim, a inte-
gral iterada na Eq. (4) expressa o volume V como a integral dex = a ax = b da função 
área da seção transversa A(x). Analogamente, a integral iterada na Eq. (5) expressa V 
como a integral de y = e a y = d da função Jd emxéA(x) = J(x,y)dy. 
15.1 Problemas 
A(y) = r J(x, y) dx, 
a 
que dá a área de uma seção transversa vertical em um plano perpendicular ao eixo y . 
[Embora pareça adequado utilizar aqui a notação A(y), tenha-se em mente que A(x) e 
A(y) não são a mesma função!] 
Calcule as integrais iteradas dos Problemas 1 a 20. 
16. i"/2 i"/2 (y - 1) COS X dx dy 
1. f f (3x + 4y) dx dy 
3. f,f (2x - 7y) dydx 
:JIXf (xy + 7x + y) dx y 
6. f r (x 2y 2 - 17) dx dy 
7. {J~, (2xy 2 - 3x"y) dy dx 
8.(
3 f-1 (x 3y - xy 3) dy dx J 1 - 3 
~-f "12 L"12 (sen x cos y) dx dy 
/ ,,-/2 ,,-; 2 
10. L i (cos x sen y) dy dx 
/ 11/ L L xe>' dy dx 
13. L i" e" sen y dy dx 
15. i" i" (xy + sen x) dx dy 
SEÇÃO 15. 1 / Integrais Duplas 
2. f f x 2y dx dy 
4. f 1 (4 x2y 3 dy dx -2 J2 
12. (' f 2 x 2eY dx dy Jo -2 
14. L L ex+ y dx dy 
17. ( "12 (' sen y dx dy ~ (' (' _!__ dy dx 
Jo J I X .a.o. J I J 1 .xy 
19· L L e ~ 1 + y ~ l) dx dy _/ 
20. r f (~ + ~) dy dx 
Nos Problemas 21 a 24, verifique que os valores de 
if f(x, y) dA 
R 
dados pelas integrais iteradas nas Eqs. (4) e (5) são, na verda-
de, iguais. 
21. f(x, y) = 2xy - 3y 2 ; R = [-1 , 1] X [-2, 2] 
22. J(x , y) = sen x cos y; R = [O, 1r] X [ -1r/2, 1r/2] 
23. J(x, y) = Vx+y; R = [O, l] X [1 , 2] 
24. J(x, y) = ex +.v ; R = [O, ln 2] X [O, ln 3] 
25. Prove que 
lim (' (' x"y" dx dy = O. 
n-~ Jo Jo 
83 
15.1 Projeto 
y 
d 
• • (ui , V2) (u2, " z) 
(ui~ v1) (u: v1) 
a u 1 
[.- h --1 
(u: V2) 
(u3~ Vi ) 
T 
k 
.1 
113 b X 
Fig. 15.1.10 Pontos utili zados na 
aproximação pelo ponto médio. 
84 
Este projeto aborda a aproximação pelo ponto médio para a integral dupla 
I = f I J(x, y) dA 
R 
(6) 
da funçãof(x, y) sobre o retângulo plano R = [a, b] x [e, d]. Para definir a aproxima-
ção pelo ponto médio, divide-se [a, b] em m subintervalos, todos com o mesmo com-
primento h = & = (b - a)lm, e [e, d] em n subintervalos , todos com o mesmo com-
primento k = ~y = (d- c)ln. Para cada i ej () ~ i ~me 1 ~j ~ n) , sejam u; e vios 
pontos médios do imº subintervalo [x; _ 1, x;] e do ) 111º subintervalo [Yi- 1, yi], respectiva-
mente. Então, a aproximação pelo ponto médio con-espondente, para a integral dupla 
J, é a soma 
m n 
Smn = ~ ~ J(u;, Vj) hk. 
i= i j = i 
A Fig. 15.1.10 ilustra o caso m = 3, n = 2, em que h = (b - a)/3 , k = (d - c)/2, e 
s32 = hk[J(ui, Vi) 
+ J(u2, vi) + J(u3, vi) + J(ui, v2) + J(u2, v2) + J(u3, v2)]. 
(7) 
Pode-se calcular numericamente a soma dupla na Eq. (7) utilizando-se programas 
BASIC ou de calculadora gráfica. Com um sistema de álgebra computacional ou uma 
calculadora como a HP-48 ou TI-85 que tenha uma função SUM, pode-se utili-
zar comandos como os relacionados na Fig. 5.4.11. Por exemplo, o comando Mathe-
matica 
Sum [ f [ x , y] , { x , a + h / 2 , b - h / 2 , h) , 
f y , e + k/ 2 , d - k / 2 . k J ] h k 
é adequado. 
Para cada uma das integrais duplas nos Problemas 1 a 6, calcule primeiro a apro-
ximação pelo ponto médio S,,,,, com os valores indicados de me n. Experimente então 
valores maiores. Compare cada aproximação numérica com o valor exato da inte-
gral. 
l. r r (x + y) dy dx, nz = n = 2 
o o 
2. f f (2x + 3y ) dy dx, m = 3, n = 2 
o o 
3. f f xy dy dx, m = n = 2 
o o 
4. r r x 2y dy dx , m = n = 3 
o o 
5. f "12 f "12 ·senx seny dy dx, m = n = 2 
o o 
6. J"12J1 t~ x 2 dy dx, m = n = 2 
o o y 
Cap. 15 / Integrai s Múltiph, 
15.2 
Integrais Duplas 
sobre Regiões Mais 
Gerais 
.... 
I ._ ' l 
\ II R n (x,• . y;*) / 
1'- • R; ! 
' 
\ 
-
Fig. 15.2.1 A partição retangul ar de S 
induz uma partição interior associada 
(sombreada) da região R. 
Agora serão definidas e calculadas integrais duplas sobre regiões mais gerais do que 
simples retângulos. Seja a funçãof definida na região plana R, e suponha-se que R seja 
limitada - isto é, que R esteja no interior de um retângulo S. Para definir a integral 
(dupla) def sobre R, começa-se com uma partição 22 do retângulo Sem sub-retângu-
los. Alguns retângulos de 22 estarão inteiramente contidos em R, outros serão exterio-
res a R, e alguns estarão parte dentro e parte fora de R. Considere-se a coleção r!P = { R 1, 
R2, ••• , Rk} de todos os sub-retângulos de 22 que estão completamente dentro da região 
R. Esta coleção !JJ é chamada partição interior da região R, determinada pela partição 
22 do retângulo S (Fig. 15.2.1). Por norma i!JJI da partição interior !JJ se quer dizer a 
norma da partição !!l que determina <!Jl. Observa-se que i!JJI depende não somente de r!J> 
mas também de !!l 
Utilizando-se a partição interior !JJ da região R, pode-se proceder como na Seção 
15.1. Escolhendo-se um ponto arbitrário (x;1'l )no imº sub-retângulo R;de !JJ, par·a i = l , 
2, 3, ... , k, obtém-se uma escolha para a partição interior !JJ. Denota-se por M ; a área 
de R;. Então, esta escolha dá a soma de Riemann 
k 
L J(x7, y7) à.A; 
i=l 
associada à partição interior !JJ. No caso de f ser não-negativa em R, esta soma de 
Riemann é uma aproximação do volume da região tridimensional sob a superfície z = 
J(x, y) e acima da região R do plano xy. Define-se, pois, a integral dupla de f sobre a 
região R tomando-se o limite desta soma de Riemann quando a norma i!JJI tende para 
zero. Assim, 
lf f(x, y) dA = lim ± f(x't , yt) à.A, R j g> j-O;=J (1) 
desde que este limite exista, no sentido da definição seguinte. 
Definição A Integral Dupla 
A integral dupla da função limitadaf sobre a região plana Ré o número 
I = lf f(x, y) dA 
R 
desde que, para todo E > O, exista um número 8 > O tal que 
1 
± f (xf, y;:') .:iA; - 11 < €. 
,c l 
para toda partição interior !JJ = {R, , R2 , R3, ... , Rd de R com nonna l!JJI < 8e para 
toda escolha de pontos (x;l) ern R1U = 1, 2, .. .. k). 
Assim, o significado do limite na Eq. (] ) é que a soma de Riemann pode tornar-se 
arbitrariamente próxima do nún:iero 
I = II f(x, y) dA 
R 
desde que se escolha a norma da pa,tição interior !JJ suficientemente pequena. 
SEÇÃO 15.2 / Integrais Duplas sobre Regiões Ma is Gerais 85 
y 
R 
x=a x=b x 
Fig. 15.2.2 Uma região R vertical-
mente simples. 
y 
y=d 
R 
y=c 
X 
Fig. 15.2.3 Uma região R horizontal-
mente simples. 
86 
NOTA Se Ré um retângulo e escolhe-se S = R (de modo que uma partição interior de Ré 
simplesmente uma partição de R), então a definição precedente se reduz à definição anterior 
de integral dupla sobre um retângulo. Em cálculo avançado, mostra-se que a integral dupla 
da função f sobre a região plana limitada R existe, desde que f seja contínua em R e que a 
fronteira de R seja razoavelmente bem-comportada. Em particular, é suficiente que afrontei-
ra de R consista em um número finito de curvas fechadas, simples, parcialmente suaves (isto 
é, cada curva fronteira consiste em um número finito de arcos suaves). 
CÁLCULO DE INTEGRAIS DUPLAS 
Para certos tipos comuns de regiões, pode-se calcular integrais duplas utilizando-se 
integrais iteradas, da mesma forma que quando a região é um retângulo. A região Ré 
chamada verticalmente simples se é dada pelas desigualdades 
a~ x ~ b, (2) 
onde y 1(x) e yz(x) são funções contínuas de x em [a, b ]. A Fig. 15.2.2 mostra uma tal 
região. A região Ré chamada horizontalmente simples se é definida por 
e~ y ~ d, (3) 
onde x 1(y) e x2(y) são funções contínuas de y em [e, d]. A região na Fig. 15.2.3 é hori-
zontalmente simples. 
O Teorema 1 mostra como calcular, por integração iterada, uma integral dupla so-
bre uma região R que é verticalmente simples ou horizontalmente simples. 
Teorema 1 Cálculo de Integrais Duplas 
Sejaftx, y) contínua na região R. Se Ré a região verticalmente simples dada em 
(2), então 
.. . . . 
Se R é a região horizontalmenfü ~i~p_Jé& d&da em (3), então 
O Teorema I inclui o Teorema I da Seção 15.1 como caso especial (quando Ré 
um retângulo), e pode ser demonstrado por uma generalização do argumento esbo-
çado ali. 
EXEMPLO 1 Calcule de duas maneiras diferentes a integral 
II xy 2 dA, 
R 
onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas duas curvas y = -/x e y = x-1. 
Solução Faça sempre um esboço da região R de integração, antes de tentar calcu-
lar uma integral dupla. Como se vê nas Figs. 15.2.4 e 15.2.5, a região R dada é verti-
Cap. 15 / Integrais Múltiplas 
y 
X 
y y 
X X 
Fig. 15.2.4 A região verticalmente 
simples do Exemplo 1. 
Fig. 15.2.5 A região horizontalmente 
simples do Exemplo 1. 
calmente simples e horizontalmente simples. O segmento vertical na Fig. 15.2.4, com 
extremidades sobre as curvas y = x3 e y = -Jx , corresponde à integraçãoprimeiro em 
relação ay: 
f.J xy'dA = u: xy'dydx = njxy'C dx 
-f i(lxs/2 - lx10) dx - i - ..!. - 2.. - 3 3 - 21 33 - 77 • 
o 
Obtém-se x = y2 ex = y 113 quando se resolve as equações y = -Jx e y = x3 em relação a 
x, em termos de y. O segmento horizontal na Fig. 15.2.5 corresponde à integração pri-
meiro em relação a x: 
f.J xy'dA = f C' xy'dxdy = j}x'y'[, dy 
_ f 1 (lys/3 _ !y6) dy = .l. _ ..!. = 2.. 
- 2 2 22 14 77 • 
o 
'- EXEMPLO 2 Calcule 
'· 
Fig. 15.2.6 A região verticalmente 
simples do Exemplo 2. 
y 
X 
Fig. 15.2.7 A região horizontalmente 
simples do Exemplo 2. 
II (6x + 2y 2 ) dA, 
R 
onde R é a região limitada pela parábola x = y2 e pela reta x + y = 2. 
Solução A Fig. 15.2.6 mostra a região R, que é horizontal e verticalmente simples. 
Caso se fosse integrar primeiro em relação a y e, em seguida, em relação a x, ter-se-ia 
de calcular duas integrais: 
II f lfyx J4f2-.t R J(x, y) dA = 
0 
-vx (6x + 2y2 ) dy dx + 
1 
-vx (6x + 2y 2 ) dy dx. 
A razão é que a fórmula da função y = yz(x) que descreve a "curva fronteira superior" 
de R varia no ponto ( 1, 1 ), de y = -Jx à esquerda para y = 2 - x à direita. Mas, confor-
me a Fig. 15.2.7, qualquer segmento horizontal em R se estende de x = y2 à esquerda a 
x = 2 - y à direita. Portanto, a integração primeiro em relação a x exige o cálculo de 
apenas uma integral dupla: 
SEÇÃO 15.2 / Integrais Duplas sobre Regiões Mais Gerais 87 
y 
y=2 
y=2.r 
X=!. / R 
2 / 
\/ 
/.--+--, .r= 1 
í 
Í 
! 
i/ 
y=O .r 
Fig. 15.2.8 A região do Exemplo 3. 
88 
.[f f(x, y) dA = f 2 J;-,, (6x + 2y2) dx dy 
= f 
2 
[ 3x2 + 2xy2 I::2 dy 
= f 2 [3(2 - y)2 + 2(2 - y)y2 - 3(y2)2 - 2y4] dy 
= f 2 (12 - 12y + 7y2 - 2y3 - 5y4 ) dy 
= [ 12y - 6y2 + ~ YJ - ½ y4 - ys] • = 9:. 
-2 
O Exemplo 2 mostra que, mesmo quando uma região R é tanto verticalmente como 
horizontalmente simples, pode ser mais fácil integrar em uma ordem, e não na outra, 
tendo em vista a forma de R. Naturalmente, prefere-se o caminho mais fácil. A nature-
za da funçãoft.x, y) também pode influir na escolha da ordem de integração. O cálculo 
de uma dada integral iterada pode ser difícil, ou mesmo impossível - mas pode tor-
nar-se fácil após se inverter a ordem de integração. O Exemplo 3 mostra que a chave 
para a inversão dessa ordem é: Achar (e esboçar) a região R sobre a qual a integração 
deve ser feita. 
EXEMPLO 3 Calcule 
f 2 J' yex3 dx dy. 
O y/2 
Solução Não é possível integrar primeiro em relação a x, porque se sabe que exp(x3) 
não tem antiderivada elementar. Tenta-se então calcular a integral invertendo-se pri-
meiro a ordem de integração. Para tanto, faz-se um esboço da região de integração 
especificada pelos limites da integral iterada. 
A região R é definida pelas desigualdades 
e O< y < 2. 
Assim, todos os pontos (x, y) de R estão entre as retas horizontais y = O e y = 2, e entre 
as duas retas x = y/2 ex = 1. Traçam-se então as quatro retas y = O, y = 2, x = y/2 ex= 
1, e verifica-se que a região de integração é o triângulo sombreado que aparece na Fig. 
15.2.8. 
Integrando-se primeiro em relação a y, de y, (x) = O a yi(x) = 2.x, obtém-se 
Conclui-se esta seção relacionando-se algumas propriedades formais úteis das inte-
grais duplas. Seja e uma constante, e sejam/ e g funções contínuas em uma região R na 
qual ft.x, y) atinge um valor mínimo m e um valor máximo M. Denote-se por a(R) a 
área da região R. Se todas as integrais indicadas existem, então: 
II cf(x, y) dA = e II f(x, y) dA, 
R R 
(6) 
Cap. 15 / Integrais Múltiplas 
-....____ II [J(x, y) + g(x, y)] dA = II f(x, y) dA + II g(x, y) dA, 
R R R 
(7) 
m · a(R) ~ II f(x , y) dA ~ M • a(R), 
R 
(8) 
(9) 
Fig. 15.2.9 As regiões da Eq. (9) . 
lI f(x, y) dA = [I f(x, y) dA + IJ J(x, y) dA. 
15.2 Problemas 
Na Eq. (9), R I e R2 são simplesmente duas regiões que não se sobrepõem (regiões com 
interiores disjuntos), com união R (Fig. 15.2.9). Nos Problemas 25 a 28, indicam-se 
provas das propriedades em (6) a (9), para o caso especial em que Ré um retângulo. 
A propriedade na Eq. (9) permite que se calculem integrais duplas sobre uma região 
R que não é nem verticalmente nem horizontalmente simples. Basta dividir R em um 
número finito de regiões simples R, , R2 , ... , R,,. Então, integra-se sobre cada uma (trans-
formando a integral dupla em uma integral iterada, como nos exemplos desta seção) e 
adicionam-se os resultados . 
Calcule as integrais iteradas nos Problemas 1 a 14. 12 f y'!y 8. (3x + 2y) dx dy (Fig. 15.2.13) 
1. L f (1 + x) dy dx 
2. f r·' (1 + y) dy dx 
i) L f-~ + y) dx dy (Fig. 15 .2. 10) 
X 
X 
Fig. 15.2.10 Problema 3. Fig. 15.2.11 Problema 4. 
4. (" f 1 (x + y) dx dy 
Jo y/2 
(Fig. 15.2.11) 
5. L L'2 xy dy dx 11 Jv;; 6. (x + y) dx dy 
o )' 
f { LV/ (2x - y) dy dx (Fig. 15.2. 12) 
J 
y 
/ 
x = y2 
/ I y =x 
X 
Fig. 15.2.12 Problema 7. Fig. 15.2.13 Problema 8. 
- '\ 
SEÇAO 15.2 / Integra is Duplas sobre Regiões Mais Gerai s 
o -y'!y 
9. ( 1·' (y - x) dy dx Jo x4 
J2 f y+2 10. _
1 
- y (x + 2y 2 ) dx dy (Fig. 15.2. 14) 
y 
y=2 
X 
Fig. 15.2.14 Problema I O. 
11 . L f 3 e>'1-" dy dx 
12. f' fen, y dy dx (Fig . 15.2.15) 
y 
y= sen x 
y=O 
Fig. 15.2.15 Problema 12. 
X 
13. f f Yy 2 + 16 dx dy 14. f 2 f 1" e·')' dx dy 
89 
Nos Problemas 15 a 24, esboce primeiro a região de integração, 
em seguida inverta a ordem de integração como nos Exemplos 2 
e 3 e, finalmente, calcule a integral resultante. 
28. Utilize integrais iteradas e propriedades conhec idas das inte-
grais simples para provar a Eq. (9) se R1 e R~ são retângulos c~m 
lados paralelos aos eixos coordenados e o lado direito de Ri e 0 
lado esquerdo de R,. 
15. f 2 (4 x 2y dy dx 
-2 J<2 
17. J3 ( 2x+J X dy dx 
-1 Jx2 
~ ç (~C~•~ 1 dy dx 
~ J2x 
21. (" (" sen y dy dx 
Jo Jx Y 
li II l 23. --4 dxdy 
o y 1 + X 
16. ( (' (x - 1) dy dx 
Jo Jx4 
J2 J4-y2 18. _
2 
Y2 _ 4 
y dx dy 
IJI 
20. d e-'2 dx dy 
~ !' 
(v,r Jv,r 
22. Jo v sen x 2 dx dy 
li f"o/4 24. _ sec x dx dy 
O 1g I y 
29. Por meio de so~as de Riemann , prove que 
II f(x, y) dA ~ f I g(x, y) dA 
R R 
sef(_x, y) ~ g(x, y) em todos os pontos da região R, um retângulo 
( com lados paralelos aos eixos coordenados. 
3?.\Suponha que a função contínua/ seja integrável na região 
~a R e quef atinja um valor mínimo me um valor máximo M 
em R. Suponha ainda que R seja conexa , no seguinte sentido: Para 
25. Utilizando somas de Riemann, prove a Eq. (6) para o caso 
em que R é um retângulo com lados paralelos aos eixos coorde-
nados. 
dois pontos arbitrários (x0, y0 ) e (x, , y ,) de R, existe uma curva 
paramétrica contínua r(t) em R para a qual r (O) = ( x 0 , y0 ) e r(l) 
=<Xi, y 1>. Deduza então, de (8), a propriedade do valor médio 
para integrais duplas: 
f I f(x, y) dA = J(x, .9) · a(R) 26. Cm~ auxíli? d~ integrais iteradas e de propriedades conheci-
das da~ mtegra1s simples, prove a Eq. (7) para o caso em que Ré 
um retangulo com lados paralelos aos eixos coordenados 
27 U T · . · ti 1zando somas de Riemann, prove as desi oualdades em (8) 
R 
para O caso em que R é um retângulo com lact°os paralelos aos 
eixos coordenados. 
para algum ponto (x, y) de R. [Sugestc7o: Se m = f(_x0 , y0) e M = 
fi.x,, y ,), então se pode aplicar a propriedade do valor intermediá-
rio da função contínuaf(r(t)).] 
15.3 
Área e Volume por 
Integração Dupla 
Z=f(x. y) 
X 
y 
Fig. 15.3.I Uma reg ião ' l'd T 
1 d . so I a com a os verti ca is e base R 
no plano .xy. 
90 
A definição de Jf f(x,y)dA foi motivada na Seção 15.2 pelo problema do cálculo do 
volume do sólido R 
T = {(x,y,z) 1 (x, y) E R e O ~ z ~ J(x, y)} 
situado abaixo da superfície z = f(x, y) e acima da região R no plano xy. A Fig. 15.3. l 
mostra um tal sólido . Apesar desta motivação geométrica, a definição efetiva da inte-
gral dupla como um limite de somas de Riemann não depende do conceito de volume. 
Pode-se, assim, inverter a situação e utilizar a integral dupla para definir volume. 
Definição Volume sob z = J(x, y) 
Suponha-se que a funçãof seja contínua e não-negativana região plana limitada 
R. Então, o ,•olume V do sólido sob a superfície z = j{x, y) e acima da região R se 
define como 
V = if J(x, y) dA, 
R 
(l) 
desde que esta integral exista. 
É interessan te observar a conexão entre esta definição e a abordagem do volume 
por seções transversas, discutida na Seção 6.2. Se, por exemplo, a região Ré vertical-
mente simples, então a integral de volume da Eq . (1) toma a forma 
II fb Jyz(x) V= z dA = J(x, y) dy dx 
R a Y1(x) 
Cap. 15 / Integrais Múltiplas 
X 
. ry,(x) 
A =J,/(x,y)dy 
y,(x) 
y 
Fig. 15.3.2 A integral interior na Eq. 
( 1) como a área de uma região no pla-
no yz. 
Fig. 15.3.3 A área da seção transver-
Jy, (x) sa é A = f(x,y)dy. 
Y,(x) 
y 
R 
y=;,(;), " 
1 
a X 
.. ,.,.c#"/1 
1 
1 
b X 
Fig. 15.3.4 Uma região verticalmen-
te simples. 
em termos de integrais iteradas. A integral interior 
Jn(x) A(x) = J(x, y) dy 
11(-<) 
é igual à área da região no plano yz que está abaixo da curva 
z = J(x, y) (x fixo) 
e acima do intervalo Y1(x) ~y ~yi(x) (Fig. 15.3.2). Mas isto é a projeção da seção trans-
versa mostrada na Fig. 15.3.3. Logo, o valor da integral interior é simplesmente a área 
da seção transversa da região sólida Tem um plano perpendicular ao eixo x. Assim, 
V = Jb A(x) dx, 
a 
e, neste caso, a Eq. (1) se reduz a "o volume é a integral da área da seção transversa". 
EXEMPLO 1 O retângulo R no plano .xy consiste nos pontos (x, y) tais que O~ x ~ 2 
e o~ y ~ 1. Determine o volume V do sólido abaixo da supetfície z = 1 + .xy e acima de R. 
Solução Aqui,fix, y) = 1 + .xy, e a Eq. (1) dá 
V = lf z dA = r r (1 + xy) dy dx 
R O O 
VOLUME POR INTEGRAIS ITERADAS 
Uma região tridimensional T é descrita genericamente em termos das superfícies que 
a delimitam. O primeiro passo ao se aplicar a Eq. ( 1) para calcular o volume V de uma 
tal região é determinar a região R no plano .xy sobre a qual Testá situada. O segundo 
passo consiste em determinar a ordem de integração apropriada, para o que se pode 
proceder como se segue: 
Se cada reta vertical no plano .xy encontra R segundo um único segmento de reta, 
então Ré verticalmente simples, e pode-se integrar primeiro em relação a y. Os li-
mites de y serão as coordenadas y y 1(x) e yi(x) dos pontos extremos deste segmento 
(Fig. 15.3.4). Os limites de x serão os pontos extremos a e b do intervalo no eixo x 
sobre o qual R se projeta. O Teorema 1 da Seção 15.2 dá então 
II. fb f12(x) V == _ ·. f(x. y) dA == · f(x, y) dy dx. 
R a l'}(-") 
(2) 
Altemati vamente, 
Se cada reta horizontal no plano .xy encontra R segundo um único segmento, então R 
é horizontalmente simples, podendo-se integrar em relação a x primeiro. Neste caso, 
lf. Jd fx2(Y) V = • _ f(x, y) dA = f(x, y) dx dy. 
R - e x1IJ1) 
(3) 
SEÇÃO 15.3 / Área e Volume por Integração Dupla 91 
y 
X 
Fig. 15.3.5 Uma região horizontal-
mente simples. 
f(x,y)=I 
X 
Fig. 15.3.6 A " mesa". 
92 
Conforme indicado na Fig. 15.3.5, x 1 (y) e x 2(y) são as coordenadas .. r das extremida-
des deste segmento horizontal, e e e d são as extremidades do intervalo correspon-
dente no eixo y . 
Se a região Ré vertical e horizontalmente simples, tem-se a opção de escolher a ordem 
de integração que conduza aos cálculos subseqüentes mai s s imples. Se R não é nem 
verticalmente nem horizontalmente simples, deve-se então, em primeiro lugar, subdj-
vidir R em regiões simples antes de se proceder à integração iterada. 
O caso especialf(x, y) = 1 na Eq. (1) dá a área 
A = a(R) = If 1 dA = II dA 
R R 
(4) 
da região plana R. Neste caso, a região sólida T se assemelha a uma " mesa" do deserto 
(Fig. 15.3.6)-um cilindro sólido com base R de área A e altura 1. O volume de qual-
quer um desses cilindros- não necessariamente circular- é o produto de sua altura 
pela área de sua base. Nesse caso, as integrais iteradas nas Eqs . (2) e (3) se reduzem a 
f b f Ysup. A= 1 dy dx 
ª Yinf. 
e A = Jd r dir 1 dx dy, 
e xcsq . 
respectivamente. 
EXEMPLO 2 Calcule, por integração dupla, a área A da região R no plano .xy deli-
mitada pela reta y = x e pela parábola y = x2 - 2x. 
Solução Conforme indicado na Fig. 15.3 .7 , a reta Ysur= x e a parábola y ;11 r= x 2 - 2x se 
interceptam nos pontos (O, O) e (3, 3). (Estas coordenadas são fáceis de determinar. 
resolvendo-se a equação Ysur = Y;nr·) Portanto, 
f b f Ysup f 3 f x A = 1 dy dx = 1 dy dx 
a Yinf. O x 2 -2x 
= f3 [y]x dx = r (3x - x 2) dx = [~x 2 - ½x 3 ] 3 = r 
O y =x2-2x O O 
EXEMPLO 3 Ache o volume do sólido Tem forma de cunha acima do plano X) 
abaixo do plano z = x, e no interior do cilindro x2 + y 2 = 4. A Fig. 15 .3.8 ilustra esta 
cunha. 
x2 + y2 = 4 
X 
Fig. 15.3.7 A região R do Exemplo 2. Fig. 15.3.8 A cunha do Exemplo 3. 
Cap. 15 / Integra is Múltipl ,' 
y 1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
:/y = ✓ 4 - .r2 
-7t---t--* --------
x=O 
y=O .r 
Fig. 15.3.9 Metade da base R da cu-
nha (Exemplo 3). 
X 
Fig. 15.3.10 O sólido Ttem lados ver-
tic_ais e é delimitado por superfícies 
acima e abaixo. 
X 
Fig.15.3.11 O sólido Tdo Exemplo 4. 
Solução A região base R é um semicírculo de raio 2, mas, por simetria, pode-se in-
tegrar sobre o quarto de círculo S do primeiro quadrante e duplicar o resultado. Um 
esboço do quarto de círculo (Fig. 15.3.9) ajuda a estabelecer os limites de inteoracão. 
Poder-se-ia integrar em qualquer ordem, mas a integração primeiro em relacã; a; dá 
um cálculo ligeiramente mais simples do volume V: , 
II f2 JV4-y2 J2 V4-y2 V = 
5 
z dA = 2 
0 0 
x dx dy = 2 
0 
[ ½ x2 l=o dy 
Como exercício, o leitor deverá integrar na outra ordem e comparar os resultados. 
VOLUME ENTRE DUAS SUPERFÍCIES 
Suponha-se agora que a região sólida Testeja acima da região plana R, como anterior-
mente, mas entre as superfícies z = z 1(x, y) e z = zi(x, y), com z 1(x, y) ~ zi(x, y) para todo 
par (x, y) em R (Fig. 15.3.1 O). Então, obtém-se o volume V de T subtraindo-se o volu-
me abaixo de z = z1(x, y ) do volume abaixo de z = zi(x, y): 
V= II[zi(x, y) - z1(x, y)] dA. 
R 
(5) 
Mais resumidamente, 
V = II (Zsup - Zinr) dA 
R 
onde Zsur = zi(x1 y) representa a superfície do topo e Z;nr = z1(x, y) representa a superfície 
da base de T. E uma generalização natural da fórmula da área da região plana entre as 
curvas y = f 1(x) e y = fi(x) sobre o intervalo [a, b]. Além disso, tal como aquela fórmu-
la, a Eq. (5) é válida mesmo sefi(x, y), ouJ;(x, y), ou ambas, são negativas em parte da 
região R ou em toda ela. 
EXEMPLO 4 Determine o volume V do sólido T delimitado pelos planos z = 6 e z = 
2y e pelos cilindros parabólicos y = x2 e y = 2 - x2 . A Fig. 15.3.11 ilustra este sóbdo. 
Solução Como os ci lindros parabólicos dados são perpendiculares ao plano.xy, o só-
lido T tem lados verticais. Assim, pode-se encarar T como situado entre os planos Zsup 
= 6 e Z;nr = 2y e acima da região R do plano xy delimitada pelas parábolas y = x2 e y = 2 
- x2 • Como se vê na Fig. 15 .3.12, estas parábolas se interceptam nos pontos (- 1, 1) e 
(1 , 1 ). 
y 
X 
Fig. 15.3.12 A região R cio Exemplo 4. 
SEÇÃO 15.3 / Área e Volume por Integração Dupla 93 
Integrando-se primeiro em relação a y (pois, do contrário , se ri am necessári as duas 
integrais), obtém-se 
15.3 Problemas 
V= II (Zsup - Zinr) dA = r f2-·\6 - 2y) dy dx 
= ;f 1 [6y - y 2 ] 2-x2 dx -i x2(por simetria) 
O y = x2 
= 2 f ([6(2 - x 2 ) - (2 - x 2 ) 2] - [6x 2 - x 4 ]) dx 
o 
= 2 f 1 (8 - 8x 2 ) dx = 16[ x - ½ x 3 J = 1f . 
o o 
Nos Problemas 1 a 10, use a integração dupla para achara área 
da região do plano xy delimitada pelas curvas dadas. 
Nos Problemas 11 a 26, determine o volume do sólido abaixo da 
supe,fície z = f(x, y) e acima da regi cio do plano .xy delimitada 
pelas curvas dadas. 
1. )' = X, y 2 = X 2. )'=X,)' = x 4 
(3}y = x 2 , Y = 2x + 3 (Fig. 15.3.13) 
F ig. 15.3.13 Problema 3. Fig. 15.3.14 Problema 4. 
4. Y = 2x + 3, y = 6x - x 2 (Fig. 15.3. 14) 
5. )' = X 2, X + )' = 2, y = Ü 
6. Y = (x - 1)2, y = (x + 1)2, y = O 
1• Y = x 2 + 1, Y = 2x 2 - 3 (Fig. 15.3.15) 
y 
y = x2 + 1 
y 
X 
Iy = 9-x2 y= 2x
2 - 3 
F ig. 15.3.15 Problema 7. Fig. 15.3.16 Problema 8. 
8. y = x 2 + 1, y = 9 - x 2 (Fig. 15.3 .16) 
9. y = x,y = 2x,xy = 2 
10 - 2 2 
• y - x ' y = I + x2 
94 
X 
11. z = 1 + x + y; x = O, x = 1, y = o, y = 1 
12. z = 2x + 3y; x = O, x = 3, y = O, y = 2 
:.---13 z = y + ex; x = O, x = 1, y = o, y = 2 
14. z = 3 + cos x + cos y; x = o, x = 1T , y = O, 
y = 1r (Fig. 15 .3.17) 
3 + COS X + CO S y 
4 
z 
Fig. 15.3.17 A superfíc ie do Problema 14 . . 
15. z = x + y; x = o, y = O, x + y = 1 
16. z = 3x + 2y; x = O, y = O, x + 2y = 4 
17. z = 1 + x + y; x = 1, y = O, y = x 2 
18. Z = 2x + y; X = Ü, )' = 1, X = Vy 
19. z = x 2 ; y = x2, y = 1 
20. Z = y 2 ; X = y2, X = 4 
21. Z = X 2 + y 2 ; X = Ü, )' = Ü, X = ] , )' = 2 
22. z = 1 + x 2 + y 2 ; y = x, y = 2 - x 2 
23. Z = 9 - X - y; )' = Ü, X = 3, )' = 2x/3 
24. z = 10 + y - x 2 ; y = x2, x = y 2 
25. z = 4x 2 + y 2 ; x = O, y = O, 2x + y = 2 
26. z = 2x + 3y; y = x 2 , y = x 3 
Cap. 15 / Integrai s Mú ltipla 
'20or integração dupla, calcule o vo lume do tetraedro no pri-
meiro octante delimitado pelos planos coordenados e pelo plano 
de equação xla + ylb + z/c = 1 (Fig. 15 .3. 18). Os números a, b e 
e são constantes positivas. 
,. 
z 
1 
1 
lc 
1 
a ,,L __ b 
.,,..,,,, .,,. --=--
Fig. 15.3.18 O tetraedro do Problema 27. 
28. Suponha h >a> O. Mostre que o vo lume do sólido delimita-
do pelo ci lindro x2 + y 2 = a2, pelo plano z = O, e pelo plano z = x 
r,+-h.___é na2 h. 
, ~9. _Cflcu le o volume da parte do primeiro octante do sólido de-
limitado pelos ci lindros x 1 + y 2 = 1 e y2 + z2 = 1 (Fig. 15.3.19). 
[Sugestão: Uma ordem de integração é consideravelmente mais 
fáci l do que a outra.] 
X 
Fig. 15.3.19 O sólido do Problema 29. 
30. Determine as áreas das duas regiões delimitadas pela pará-
bola Y = x2 e pela curva y(2x - 7) = -9, uma hipérbole equi látera 
transladada (Fig. 15.3.20). [Sugestão: x = -1 é uma raiz da equa-
ção cúbica que deverá ser resolvida.] 
-2 o 
X 
2 
Fig. 15.3.20 As duas regiões do Problema 30. 
Nos Problemas 31 a 38, o leitor pode consultar o Cap. 9 ou a 
tábua de integrais, logo após o sumário deste livro, para achar 
antiderivadas de expressões tais como (a 2 - u2) 3n. 
31. Ache o volume de uma esfera de raio a por integração du-
pla. · 
32. Use a integração dupla para achar a fórmula V = V(a, b, e) 
para o volume de um elip óide com semi-eixos a, b e c. 
SEÇÃO 15 .3 / Área e Volume por Integração Dupla 
33. Calculando uma integral dupla, determine o volume do sóli-
do delimitado pelo plano xy e pelo parabolóide z = 25 - x2 - y2 
(Fig. 15.3 .21). 
z = 25 - x 2 - y > 
Fig. 15.3.21 O parabolóide 
sólido do Problema 33. 
34. Determine o volume do sólido delimitado pelos parabolóides 
z = x2 + 2y2 e z = 12 - 2x2 - y 2 (Fig. 15 .3.22). 
z 
y 
Fig. 15.3.22 O sólido do Proble-
ma 34. 
35. Ache o volume removido quando se faz um orifício quadra-
do de lado R diretamente através do centro de um longo cilindro 
horizontal de raio R. 
Fig. 15.3.23 O sólido do 
Problema 36. 
/ 
1 3~etermine o volume do sólido delimitado pelas duas super-
fícjbs z = x2 + 3y2 e z = 4 - y2 (Fig. 15.3.23). 
37. Determine o volume V do sólido Tdelimitado pelos ci lindros 
parabólicos z = x2, z = 2x2, y = x2 e y = 8 - x2 . 
38. Suponha que um orifício quadrado de lado com comprimen-
to 2 seja aberto simetricamente pelo centro de uma esfera de raio 
2. Mostre que o volume removido é dado por 
V= L F(x) dx, 
onde 
Utilize a regra de Simpson (ou a tec la de integração ou uma sub-
rotina de uma calculadora) para obter uma aproximação desta 
integral. Seu resu ltado numérico é consistente com o va lor exato 
V = i (191r + 2V2 - 54 arctg V2)? 
95 
y 
I 
I 
15.4 
Integrais Duplas em 
Coordenadas Polares 
y 
X 
Fig. 15.4.1 Um retângulo polar. 
z =f(x, y ) 
r=b 
Fig. 15.4.2 Região sólida cuja base é 
o retângulo polar R. 
I 
I 
I 
a r=a 
"' r = b 
X 
Fig. 15.4.3 U ma parti ção polar do re-
tâng ulo po lar R. 
96 
Uma integral dupla pode ser mais fácil de calcular após ser transformada de coorde-
d 1 . Jmente na as retangu ares xy para coordenadas polares r0. Isto ocorre muito provave 
quando a região R de integração é um retângulo polar. Um retângulo polar é urna 
região definida, em coordenadas polares, pelas desigualdades 
a~ r ~ b, (1) 
A Fig. 15.4.1 mostra este retângulo polar. Se a= O, tem-se um setor de um disco c(rcu-
. b f3 · · · tenor a lar de ra10 . Se O< a< b, a= O e = 2n, tem-se uma coroa circular de raio 111, 20 
e raio exterior b. Como a área de um setor circular de raio r e ângulo central 0 e ½ 1 ' 
a área do retângulo polar em ( 1) é 
A = ½b 2({3 - a) - ½a 2({3 - a) 
= ½(a + b)(b - a)({3 - a) = r Llr Ll0, 
(2) 
onde !ir= b - a, 110 = /3- a e r =½(a+ b) é o raio médio do retângulo polar. 
Suponha-se que se queira calcular o valor da integral dupla 
f J f(x, y) dA, 
R 
onde Ré o retângulo polar em(]). Deseja-se, assim , achar o volume do sóli~o de b~se 
R que está abaixo da superfície z = f(x,y) (Fig. 15.4.2). Na Seção 15.1 defi111u-se ª i_n-
tegral dupla como um limite de somas de Riemann associadas a partições que cons~-
tiam em retângulos usuais. Pode-se igualmente definir a integral dupla em term_o~ e 
partições polares, constituídas de retângulos polares. Começa-se com uma paruçao 
de [a, b] em m subintervalos iguais, cada um de comprimento !1r = (b - a)lm e uma 
partição 
a = 0o < 01 < 02 < . . . < 0n = /3 
de [ a, /3] em n subintervalos iguais, cada um de comprimento L}.0 = (/3- a)/n. IS ta~~ a 
partição polar </P de R nos k = mn retângulos polares R,, R 2, • • • , R. indicados na ig. 
15.4.3 . A norma i</P I desta partição polar é o comprimento da maior diagonal de seu 
sub-retângulos polares. ,. d 
* e'" ) 011 e Suponha-se que o ponto central de R; tenha coordenadas polares (,; , ; _ 
,.* é o raio médio de R;. Então, as coordenadas retangulares deste ponto s~o 
I * ., * * * 0* p d R" f - jrx y ) associa-x. · = r."' cos0. · ey. · =r sen . . ortanto,asoma e 1emannparaa unçao \ , 
l l l l I l 
da à partição polar P é 
k 
L f(xt, yt) LlA;, 
j=l 
onde M -= r* !ir/10 é a área do retângulo polar R; [em parte, uma conseqüência da Eq. 
1 / 
(2)] . Expressando esta soma de Riemann em coordenadas polares, tem-se 
k k 
.L f(xt, yr-) ÂA; = L J(rt cos 0(, rt sen 0n r"t Âr Â0 
~l ~I 
k 
= L g(rf, 0t) Âr ó.0, 
i=l 
Cap. 15 / Integrais Múltipl a 
onde g(r, 0) = rj{r cos 0, r sen 0). Esta última soma é simplesmente uma soma de 
Riemann para a integral dupla 
Jflfb fflfb . g(r, 8) dr d8 = f(r cos 8, r sen 8) r dr d8, 
a a a a 
donde decorre, finalmente, que 
Isto é, 
II J(x, y) dA = lim ± f(x?', yt) àA; 1 lil'l-+O i=l 
R 
k fp Jb = lim ~ g(r?', 8?') !l.r !l.8 = g(r, 8) dr d8 . 
.6.r.'16-+0 i=l ,. a 
,.:,'..·> 
•"-'--·~'-"":~·~..e.,_~<:·>;~. ~ -r e-- l 
(3) 
Assim, transforma-se formalmente em coordenadas polares uma integral dupla so-
bre um retângulo polar da forma (1), substituindo-se 
X= r COS 8, y = r sen 8, dA = rdrd8 (4) 
e inserindo-se os limites de integração adequados de r e 0. Em particular, observe o r 
"extra" no membro direito da Eq. ( 3 ), o que é fácil de rememorar, considerando o 
"retângulo polar infinitesimal" da Fig. 15.4.4, com "área" dA = r dr d0 (formalmente). 
y 
X Fig. 15.4.4 As dimensões do pequeno retângulo polar 
sugerem que dA = r dr d0. 
EXEMPLO 1 Determine o volume V do sólido da Fig. 15.4.5, delimitado abaixo 
pelo plano xy e acima pelo parabolóide z = 25 - x2 - y2• 
Solução O parabolóide em questão intercepta o plano xy segundo o círculo x2 + y 2 
= 25. Pode-se calcular o volume do sólido integrando-se sobre o quarto de círculo do 
primeiro quadrante (Fig. 15.4.6) e multiplicando-se o resultado por 4. Assim, 
fsf~ V = 4 (25 - x2 - y 2 ) dy dx. 
o o 
SEÇÃO 15.4 / Integrais Duplas em Coordenadas Polares 97 
1 ' 
1 
,1 
! 
• 1 ! 
1 
·•·· i 1 j i 
'I 
y 
13 
5 y 
r=5 
z 
/ 0=0 X 
5 r=O 
Fig. 15.4.5 O parabolóide do Exem-
plo 1. 
Fig. 15.4.6 Um quarto do domínio da in-
tegra l do Exemplo 1.Não há dificuldade em fazer a integração em relação a y, mas então depara-se com as 
integrais 
J Y25 - x 2 dx, J x 2Y25 - x 2 d:x. e J (25 - x 2) 312 dx. 
Em vez disso, transforma-se a integral original em coordenadas polares. Como 25 -
x2 - y2 = 25 - r2, e como o quarto do disco circular do primeiro quadrante é dado por 
O~ r ~ 5, 
a Eq. (3) dá o volume 
f-rr/2 JS V = 4 (25 - r 2) r dr d0 
o o 
= 4 J-rr/i [25 r 2 _ .!. r 4]5 dO = 4 . 625 . TT = 625TT 
0 2 4 r =O 4 2 2 . 
REGIÕES MAIS GERAIS EM COORDENADAS POLARES 
Se R é uma região mais geral , então é possível transformar em coordenadas polares a 
x integral dupla 
Fig. 15.4.7 Uma partição polar inte-
nor da região R. 
y 
0 
X 
Fig. 15.4.8 Uma região R radialmen-
te s imples. 
98 
II J(x, y) dA 
R 
expressando-a como um limite de somas de Riemann associadas às "partições polare 
interiores" do tipo indicado na Fig. 15.4.7. Em vez de dar urna dedução detalhada-
uma generalização da dedução precedente da Eq. (3) - serão apresentados simple -
mente os resultados para um caso especial de importância prática. 
A Fig. 15.4.8 mostra uma região R radia/mente simples consistindo nos pontos com 
coordenadas polares que satisfazem as desigualdades 
Neste caso, a fórmula 
II J{3 Jr2(0) J(x, y) dA = 
R a r1 (8) 
J(r cos 0, r sen 0) r dr d0 (5 
Cap. 15 / Integrais Múlliplos 
X 
Fig. 15.4.9 Integrando primeiro em 
relação ar e, em seguida, em relação 
a e. 
y 
r:,1. = 2 + CDS 0 
X 
Fig. 15.4.10 A região R do Exem-
plo 2. 
2 
Fig. 15.4.11 A es fera com a perfura-
ção não-centrada (Exemplo 3). 
dá o cálculo, em coordenadas polares, de uma integral dupla sobre R (sob a hipótese 
óbvia de que as integrais existam). Observe-se que integrou-se primeiro em relação a 
r, com os limites r 1(0) e 1"z(0) sendo as coordenadas rdas extremidades de um segmen-
to radial típico em R (Fig. 15.4.8). 
A Fig. l 5.4.9 mostra como se pode estabelecer a integral iterada no membro direito 
da Eq. (5) de uma maneira formal. Em primeiro lugar, varre-se um elemento típico de 
área dA = r dr d0 radialmente der= r 1( 0) ar= ri( 0). Em segundo lugar, gira-se a faixa 
resultante de e= a a e= f3 de modo a vaner a região R. A Eq. (5) dá a fórmula de 
volume 
J/3 J'ext. V= zrdrd0 
ª ,.int. 
(6 ) 
para volume V do sólido delimitado abaixo pela região R da Fig. 15.4.8 e acima pela 
superfície z = f(x, y) = f(r cos e, r sen 0). 
Observe-se que as Eqs. (3) e (5) para o cálculo de uma integral dupla em coordena-
das polares, tomam a forma 
II J(x, y) dA = JJ J(r cos 0, r sen 0) r dr d0. 
R S 
(7) 
O símbolo S no membro direito representa os limites adequados de r e e tais que a re-
gião R seja varrida na forma indicada na Fig. 15.4.9. · 
Comf(x, y) = 1, a Eq. (7) se reduz à fórmula 
(8) A = a(R) = Jf r dr d0 
s 
para o cálculo da área de R por integração dupla em coordenadas polares. Observe-se 
novamente que o símbolo S não se refere a uma nova região no plano xy, mas apenas a 
uma nova descrição- em termos de coordenadas polares - da região original R. 
EXEMPLO 2 A Fig. 15.4.1 O mostra a região R delimitada interiormente pelo círcu-
lo r = 1 e exteriormente pelo caracol r = 2 + cos 0. Seguindo uma reta radial típica 
partindo da origem para fora, vê-se que rim = 1 e rex, = 2 + cos 0. Logo, a área de R é 
f /3 f'ext. A= rdr d0 
a r int . 
f 1T f2+cos0 = 2 r dr d0 
o j 
(simetria) 
= 2 f1T ½[(2 + cos 0)2 - (1)2] d0 = J"" (3 + 4 cos 0 + cos2 0) d0 
o o 
= f"" (3 + 4 cos 0 + ½ + ½cos 20) d0 = f "" (3 + ½) de = ~ 1r. 
o o 
Os termos em co-seno na penúltima integral não dão nenhuma contribuição porque, 
após integração, dão termos em seno, que se anulam em ambos os limües. 
EXEMPLO 3 Determine o volume da região sólida interior à esfera x2 + y2 + z2 = 
4 de raio 2 e ao cilindro (x - 1 )2 + y2 = 1. Este é o volume de material removido quan-
do se faz, em uma esfera de raio 2, um orifíc io de raio 1 tangente a um diâmetro da 
esfera (Fig. 15.4. 11). 
SEÇÃO 15 .4 / Integrais Duplas em Coordenadas Polares 99 
y 
r = 2 cos 0 
X 
/ 
Fig. 15.4.12 O pequeno círculo é o 
domínio da integrai do Exemplo 3. 
X 
2 
Fig. 15.4.13 O sólido do Exemplo 4. 
100 
Soluç~o Deve-se integrar a função f(x, y) = ,J4- x2 _ y 2 sobre O di sco R delimitado 
pelo CITculo de cen!ro (1 , O) e raio 1 (Fig. 15.4.12). O volume procurado é o dobro do 
volume da parte acima do plano xy; assim, 
V = 2 II V 4 - x2 - Y2 dA. 
R 
Mas esta integral é difícil de calcular em coordenadas retangulares, de modo que se 
passa às coordenadas polares. 
O círculo de raio 1 da Fig. 15.4.12 já é conhecido do Cap. 1 O; sua equação polar é r 
= 2 cos 0. Portanto, a região Ré descrita pelas desigualdades 
O~ r ~ 2 cos 0, 
Será feita integração apenas sobre a metade superior de R , tirando-se vantagem da si-
metria do sólido esfera-com-orifício. Aplicando-se a Eq . (5) , obtém-se 
f
-rr/2 f2cos8 
V = 4 ~ r dr d0 
o o 
f 'Tr/2 [ ]2cos8 f "'/2 = 4 -½(4 - r2 )312 d0 = Jj (1 
O r=O O 
- sen3 0) d0. 
Mas, pela Fórmula (113), nas páginas iniciais deste livro, logo após o sumá1io, vê-se 
que 
e, portanto, 
f
-rr/2 
sen3 0 d0 = ~, 
o 
V= lf 1r - ~ = 9,64405. 
No Exemplo 4 será utilizada uma versão, em coordenadas polares, da conhecida 
fórmula de volume 
V = II (zsup - Zinr) dA. 
R 
EXEMPLO 4 Determine o volume do sólido delimitado, acima, pelo parabolóide z 
= 8- r2 e, abaixo, pelo parabolóide z = r2 (Fig. 15.4.13). 
Solução Obtém-se a curva de interseção dos dois parabolóides pela resolução simul -
tânea das equações das duas superfícies. Elimina-se z para se obter 
r 2 = 8 - r 2 ; isto é, r 2 = 4. 
Logo, o sólido está acima do disco circular plano D descrito em coordenadas polares 
por r ~ 2, e seu volume é 
V = II (Zsup. - Zinr.) dA = f"" f2 [(8 - r 2) - r 2] r dr d0 
D O O 
167T. 
Cap. 15 / Integrais Múltipla 
,---iiiii-=====~=~=~=;;:;;:~~~;;:==============--------""'-=============~=--ITlr-
z 
2 
2 
X 2 
Fig. 15.4.14 A superfície z = 
-:r2- ., 
e · y- (Exemplo 5). 
Fig. 15.4.15 A superfície z = e-r2 
(Exemplo 5) . 
EXEMPLO 5 Aqui aplica-se uma técnica padrão de coordenadas polares para mos-
trar que 
l - f 00 - x2 d v;. - e x=--2 . 
o 
(9) 
Esta importante integral imprópria converge porque 
f b e-x2 dx ~ f b e-x dx ~ f oo e - x dx = !_ 
l l I e 
(A primeira desigualdade é válida porque e-x2 ~ e-xpara x ~ 1). Decorre que 
é uma função limitada e crescente de b. 
Solução Seja Vbo volume da região abaixo da superfície z = e_,.2->'2 e acima do qua-
drado de vértices (±b, ±b) no plano xy (Fig. 15.4.14). Então 
% = f b f b e-~-)'2 dx dy = f b e_)'2(f b e--~ dx) dy 
~ (f. ,-,' dx )(f. ,-,' dy) (f. ,-;, dx )' ~ 4u: ,-;, dx )' 
Então o volume abaixo de z= e-x2-yi e acima de todo o plano xy é 
Calcula-se agora V por outro processo: utilizando coordenadas polares . Toma-se o li-
mite, quando b ➔ 00 , do volume abaixo de z = e-x' - )'' = e- ,' acima do disco circular de 
centro (O, O) e raio b (Fig. 15 .4.15). Este disco é dado por O~ r ~ b, O~ 0 ~ 2n e, assim, 
obtém-se 
Igualam-se estes dois valores de V, e vê-se que 412 = n e, portanto, 1 = ½ .Jn como se 
queria. 
SEÇÃO 15.4 / Integrais Duplas em Coordenadas Polares 101 
15.4 Problemas 
Nos Problemas 1 a 7, ache a área indicada, por integração du-
pla em coordenadas polares. 
1. A área limitada pelo círculo r = l. 
2. A área limitada pelo círculo r = 3 sen 0. 
3. A área limitada pela cardióide r = 1 + cos 0 (Fig. 15 .4.16). 
2 
-2 Fig. 15.4.16 A cardióide do 
Problema 3. 
4. A área limitada por um laço de r= 2 cos 20 (Fig. 15.4.17). 
Fig. 15.4.17 A rosácea do Pro-
blema 4. 
5. A área interior a ambos os círculos r = l e r = 2sen 0. 
6. A área interior ao círculo r = 2 + cos 0 e exterior ao círculo 
r=2. 
7. A área interior ao laço menor der= 1-2 sen 0(Fig. 15.4.1 8). 
2 
-2 
r= l -2 sen0 
Fig. 15.4.18 O caracol do 
Problema 7. 
Nos Problemas 8 a 12, utilize a integração dupla em coordena-
das polares para achar o volume do sólido delimitado, acima, 
pela superfície dada e, abaixo, pela regiãoplana R limitada pela 
curva dada. 
8. Z = X 2 + y 2 ; r = 3 
9. z = Vx2 + y 2 ; r = 2 
10. z = x 2 + y 2 ; r = 2 cose 
11. z = 10 + 2x + 3y; r = sen 0 
12. z = a 2 - x 2 - y 2 ; r = a 
Nos Problemas 13 a 18, calcule a integral dada, /ramforman-
do-a primeiro em coordenadas polares. 
J.3.11 lv,-y2 2 dx dy (Fig 15 4 19) 
o o 1 + x 2 + Y · · · 
102 
14. it 1"'1-,.2 1 dy dx 
o o V4 - x 2 - y 2 
(Fig. 15.4.19) 
y 
X 
15. 
(2 (~ 
Jo Jo (x2 + y2)3/2 dy dx 
16. L L x 2 dy dx 
r' rvP 
17. Jo Jo sen(x 2 + y 2 ) dx dy 
18. f 2 ( v2,-x2 --;:=l== dy dx 
1 Jo Vx2 + y 2 
y 
X 
Fig. 15.4.19 O qu arto de cír-/ 
cul o dos Problemas 13 e;1 4. 
(Fig. 15.4.20) 
Fig. 15.4.20 O quarto de cír-
culo do Problema 18. 
Nos Problemas 19 a 22, ache o volume do sólido limitado acima 
e abaixo pelas supe,fícies z = z1(x, y ) e z = zi(x, y) e situado aci-
ma da região plana R delimitada pela curva dada r = g( 0). 
19. Z = 1, Z = 3 + X + y; r = 1 
20. z = 2 + x, z = 4 + 2x; r = 2 
21. z = O, z = 3 + x + y; r = 2 sen 0 
22. z = O, z = 1 + x; r = I + cos 0 
Resolva os Problemas 23 a 32 por integração dupla em coorde-
nadas polares. 
23. Problema 3 1, Seção 15.3. 
24. Problema 34, Seção 15 .3. 
25. Problema 28, Seção 15 .3. 
26. Ache o volume do sólido e m forma de cunha desc ri to no 
Exemplo 3 da Seção I 5 .3 (Fig. 15.4.2 1 ). 
27. Ache o volume delimitado pelos parabolóides z = x2 + y2 e ~ 
= 4 - 3x2 - 3y2• 
28. Ache o vo lume de limitado pelos parabolóides z = x2 + i ~ 
= 2x2 + 2y2- 1. 
29. Ache o volume do "cone de sorvete" de limitado pela esfera 
x2 + y2 + z2 = a 2 e pelo cone z = x 2 + y 2 (Fig. 15.4.22, ond 
a= 1). 
Cap. 15 / Integrais Mú ltipla~ 
z 
Fig. 15.4.21 A cunha do 
Problema 26. 
33. Se O< h < a, então o plano z = a - h determina um seomento 
esférico de alturah e raio b da esferax2 + y2 + z2 = a2 (Fig. 15.4.23). 
(a) Mostre que b2 = 2ah - h2. (b) Mostre que o volume do seg-
mento esférico é V= 1;rch(3b2 + h2). 
~O. Ache o volume delimitado pelo parabolóide z = r2, pelo ci-
__lindro r = 2a sen e e pelo plano z = O. 
x 2 + y2 + 2 2 = a 2 
x 2 + y 2 + 2 2 a2 
2 0,5 
o 
0 ,5 Fig. 15.4.22 O "cone de 
sorvete" do Problema 29. 
Fig. 15.4.23 O segmento esféri-
co do Problema 33. 
Fig. 15.4.24 O toro do Problema 
35 (com a = I e b = 2) . 
34. Mostre, pelo método do Exemplo 5, que 
l~l"' dx dy 
o o (1 + x 2 + y 2)2 
1T 
4 
31., Ache? volume do sólido delimitado, acima, pelo parabolóide z 
= ,- e abaixo por um laço da Iemniscata de equação 12 = 2 sen 0. 
32. Ache o volume interior ao ci lindro x2 + y2 = 4 e ao elipsóide 
2x2 + 2 y2 + z2 = l 8. 
35. Ache o volume do toro sólido obtido pela revolução do disco r ~ 
a em tomo da reta x = b > a (Fig. 15.4.24). [Sugestão: Se o ele-
mento de área dA = r dr d0 revolve em tomo da reta, o volume gera-
do é dV = 2n(b -x) dA. Expresse tudo em coordenadas polares.] 
15.5 
Aplicações das 
Integrais Duplas 
y 
x .* 
1 
R 
X 
Fig. 15.5.1 O elemento de área M . = 
a(R;). , 
Pode-se utilizar a integral dupla para achar a massa me o centróide (x,y) de uma 
lâmina, ou placa delgada, que ocupa uma região limitada R no plano xy. Supõe-se que 
a densidade da lâmina (em unidades de massa por unidade de área) no ponto (x,y) seja 
dada pela função contínua p (x, y). 
Seja 9J> = {R1, R2, .. . , R,, } uma partição interior de R, e escolhe-se um ponto (x;,l)em 
cada sub-retângulo R; (Fig. 15.5.1). Então, a massa do pedaço da Jâmjna que ocupa R; 
é dada aproximadamente por p(x;*,l)M;, onde M;denota a área a(R;) de R;, Logo, a 
massa de toda a lâmina é dada aproximadamente por 
n 
m = ~ p(xf , yt) ~A;. 
i=l 
Quando a norma 19J>I da partição interior 9J> tende para zero, esta soma de Riemann ten-
de para a integral dupla correspondente sobre R. Define-se, portanto, a massa m da 
lâmina pela fórmula 
m = If p(x, y) dA . 
R 
(1) 
Em resumo, 
m = f J p dA = f J dm 
R R 
em termos da densidade p e do e lemento de massa 
dm = p dA. 
SEÇÃO 15 .5 / Aplicações das Integrais Duplas 103 
1 
1 
Fig. 15.5.2 Uma lâmina equilibrada 
em seu centróide. 
L 
R 
Fig. 15.5.3 Uma reta de simetri a. 
e 
Fig. 15.5.4 O centróide de um retân-
gulo. 
y 
(a. O) x 
Fig. 15.5.5 O centróide de um di sco 
semi circ ul ar (Exemplo 1 ). 
104 
As coordenadas (.x,y)do centróide, ou centro de massa, da lâmina se definem como 
(2) 
--------, 
x = ; II xp(x, y) dA, 
R 
(3) Y =;;; II yp(x, y) dA. 
R 
Pode-se rememorar estas fórmulas na forma - ---
A . - - - l 'd· d o ntróide ssun, x e y sao os va ores me ws ex e y em relação à massa na região R. ce 
(x,y) é o ponto da lâmina onde ela ficaria em equilíbrio horizontal se colocada na ponta 
de um palito (Fig. 5.5.2) 
Se a função densidade p tem o valor constante k > O, então as coordenadas de x e Y 
são independentes do valor específico de k. (Por quê?) Neste caso, costuma-se tomar P 
= 1 nos cálculos. Além disso, aqui m terá o mesmo valor numérico que a área A de R, 
e (x,y) é então chamado centróide da região plana R. 
Em geral, devem-se calcular todas as três integrais nas Eqs. ( J) a (3) para se ~c~ar 0 
,.d d IA · M ' , , · · cipw de centro1 e e uma amma. as, as vezes, e poss1vel se valer do seguinte prm 
simetria: Se a região plana R (considerada como uma lâmina de densidade conStante) 
é simétrica em relação à reta L-isto é, se Ré levada sobre si mesma quando O plano 
gira de um ângulo de 180º em tomo da reta L - então O centróide de R está sobre L 
(Fig. 5.5.3). Por exemplo, o centróide de um retângulo (Fig. 15.5.4) é o ponto de e~-
contro das mediatrizes de seus lados, porque essas mediatrizes são também retas e 
simetria. 
No caso de uma função de densidade p não-constante, exige-se (por simetria} ~ue P 
- assim como a própria região - sejam simétricos em relação à linha geom:tnca L 
de simetria. Isto é, p(P) = p(Q) se, conforme a Fig. 15.5.3, os pontos p e Q estao ~oca-
lizados simetricamente em relação a L. Então o centróide da lâmina R estará so re a 
reta L de simetria. 
EXEMPLO 1 Considere-se o disco semicircular de raio a mostrado na Fig. 15 ·5 ·5 · 
Se ele tem densidade constante p = 1, então sua massa é m = ½na2 (numericamente 
igual à sua área), e, por simetria, seu centróide C(O, y) está sobre o eixo y. Portanto, 
basta calcular 
2 f'TT fª = - 2 (r sen 8) r dr d8 
'TT"Q o o 
(coordenadas polares) 
= 2-[-cos e],,, [Ir 3]ª = -2_. 2. ª 3 = 4ª. 
7ra 2 3 7Ta 2 3 37T o o 
Assim o centróide da lâmina semicircular está localizado no ponto (O, 4a/3tr). Ob-
serve-~e que o valor calculado para y tem dimensão de comprimento (~or9ue ª 
d . ao e sus-é um comprimento), como deve ser. Qualquer resposta com outra 1mens 
peita. 
Cap. 15 / Integrais Múltipla, 
\ 
y 
y=x2 
\ 
! 
f 
/ 
-1 2 X 
Fig. 15.5.6 A lâmina do Exemplo 2. 
y 
y=x 
\ x2+ y2=a2 
\ 
a X 
Fig. 15.5.7 Determinação da massa e 
do centróide (Exemplo 3). 
EXEMPL0_2 Uma lâmina o~upa a re~iã~ delimitada pela reta y = x + 2 e pela pará-
bola y =r~F1f 1_5.5.6). A d~ns1dade da ~amma no ponto P(x, y) é proporcional ao qua-
drado da d1stanc1a de P ao eixo y-ass1m, p(x, y) = kx2(onde k é uma constante posi-
tiva). Determine a massa e o centróide da lâmina. 
Solução A reta e a parábola se interceptam nos dois pontos (-1, 1) e (2, 4 ); assim, a 
Eq. (1) dá a massa 
J 2 Jx+2 J 2 [ ]x+2 m = _ kx2 dy dx = k x 2y dx 
1 x2 -1 y=x2 
f2 63k = k (x3 + 2x2 - x4) dx = - . 
-1 20 
Então, as Eqs. (2) e (3) dão 
20 f 2 Jx+l 20 f 2 [ ]x+2 x = - kx3 dy dx = - x 3y dx 
63k _1 x2 63 _1 y=x2 
20 f2 . 20 18 8 = - (x4 + 2x3 - x 5) dx = - · - = - · 
63 -1 63 5 7' 
20 f 2 Jx+l 20 f 2 [ 1 ]x+Z y = - kx2ydydx = - -x2y 2 dx 
63k _1 x2 63 _1 2 y=x2 
= 10 f2 (x4 + 4x3 + 4x2 - x6) dx = 10. 531 = 118 
63 -1 63 35 49 . 
A lâmina deste exemplo tem, pois, massa 63k/20 e seu centróide está localizado no 
ponto (8/7, 118/49). 
EXEMPLO 3 Uma lâmina tem a forma do quarto de círculo de raio a do primeiro 
quadrante, mostrado na Fig. 15.5. 7. Sua densidade é proporcional à distância à origem 
-isto é, p(x, y) = k.Jx2 +y2 =kr (onde ké uma constante positiva). Achesua massa e 
seu centróide. 
Solução Primeiro, passa-se às coordenadas polares, porque tanto a forma da frontei-
ra da lâmina como a da sua densidade sugerem que tal substituição tornará os cálculos 
mais simples. A Eq. (1) dá então a massa 
m = II P dA = L,,.12 fª kr2 drd8 
R O O 
f,,,12 [ ]ª J"''2 k 3 = k ½r3 d8 = k ½a3 dfJ = ~ . 
O r=O O 
Por simetria da lâmina e de sua função de densidade, o centróide está sobre a reta y = 
x. A Eq. (3) dá, assim, 
1 II 6 f "''2 f ª x = Y = ; YP dA = bra 3 kr3 sen 8 dr d8 
R O O 
6 f "''2 [ ]ª 6 4 f "''2 3 = - 3 ¼ r4 sen 8 d8 = - . ~ sen 8 d8 = ~. 
'IT'a o 17'a3 4 271' 
r=O O 
A lâmina dada tem, portanto, massa ¾kmz3 e seu centróide está localizado no ponto 
(3a/2,r, 3a/2,r). 
SEÇÃO 15.5 / Aplicações das Integrais Duplas 105 
Eixo de 
revolução 
Área A 
I 
Centróide 
Fig. 15.5.8 Um sólido de volume V= 
A · d é gerado pela área A quando seu 
centróide percorre a distância d = 2nr 
ao longo de um círculo de raio r. 
y 
y=f(x) 
D 
: y = g(x) : 
1 1 
a b X 
Fig. 15.5.9 Região R entre os gráficos 
de duas funções. 
Fig. 15.5.11 Uma esfera de raio age-
rada pela revolução de um semicírcu-
1 
lo de área A = 2 na2 em torno de seu 
di âmetro no eixo x (Exemplo 4) . O 
centróide do semicírculo se desloca ao 
longo de um círculo de circunferên-
cia d = 2ny. 
106 
VOLUME E O PRIMEIRO TEOREMA DE PAPPUS 
Um importante teorema que relaciona centróides e volumes de revolução deve seu nome 
ao matemático grego Pappus, que o enunciou no terceiro século a.C. 
Primeiro Teorema de Pappus: Volume de Revolução 
Suponha-se que uma região plana R revolva em torno de um eixo em seu plano 
(Fig. 15.5.8), gerando um sólido de revolução com volume V. Suponha-se ainda 
que o eixo não intercepte o interior de R. Então, o volume 
V= A-d 
é o produto da área A de R pela distância d perconída pelo centróide de R. 
Demonstração para o Caso Especial de uma Região como a da Fig. 15.5.9 Trata-
se da região entre os gráficos de y = f(x) e y = g(x) para a < x < b, tendo como eixo de 
revolução o eixo y. Então, em uma revolução em torno do eixo y, a distância percorri-
da pelo centróide de Ré d= 2nx. Pelo método das cascas cilíndricas [veja a Eq. (4) da 
Seção 6.3 e a Fig. 15.5.10], o volume do sólido gerado é 
fb fb ff (x) V= 21rx[f(x) - g(x)] dx = 2'1Tx dy dx 
a a g(x) 
= 21r f f x dA = 2m . A 
R 
[pela Eq. (2), com p = 1.] Assim, V= d· A. O 
y 
f(x) - g (x) 
X 
Fig. 15.5.10 Um sólido de revolução que consiste em cascas cilíndricas. 
EXEMPLO 4 Ache o volume V da esfera de raio a gerada pela revolução, em tomo 
do eixo x, do semicírculo D do Exemplo 1. Veja a Fig. 15.5.11. 
Solução A área de D é A= ½na2 , e, pelo Exemplo 1, y = 4a/3n. Logo, o teorema de 
Pappus dá 
_ 4a 1ra 2 4 3 
V = 27Ty"A = 21T · 31T • 2 = 3 'TTa • 
Cap. I 5 / Integrais Múltipla 
y 
----
;--- X 
d=2nb 
Fig.15.5.12 A revolução do disco cir-
cular em tomo do eixo y gera um toro 
(Exemplo 5). 
y 
(a,0) X 
Fig. 15.5.13 O arco semicircular do 
Exemplo 6. 
EXEMPLO 5 Considere o disco circular da Fig. 15.5. l 2, com raio a e centro no ponto 
(b, 0) com O < a < b. Determine o volume V do toro sólido gerado pela revolução do 
disco em torno do eixo y. A Fig. 15.4.24 mostra esse toro. 
Solução O centróide do círculo está no centro (b, 0), e assim x = b. Logo, o centróide, 
ao revolver, percorre a distância d= 2nb. Conseqüentemente, 
Observe-se que o resultado está correto dimensionalmente. 
ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE E O SEGUNDO TEOREMA DE PAPPUS 
Os centróides de curvas planas se definem por analogia com o método para regiões 
planas; por esta razão, apresenta-se este tópico com menos detalhes. Será suficiente 
abordar o caso da densidade constante p = 1 (como um fio com massa unitária por 
unidade de comprimento). Então o centróide (x,y)da curva plana C se define pelas 
fórmulas 
X=! J X ds, 
s e 
y=!fyds 
s e 
(4) 
onde s é o comprimento de arco de C. 
O significado das integrais na Eq. (4) é o da notação da Seção 6.4, isto é, ds é um 
símbolo que deve ser substituído (antes de se calcular a integral) por 
conforme C seja um arco suave da formay =f(x) ou da formax = g(y). Como alterna-
tiva, pode-se ter 
tJs = V'(dx)2 + (dy) 2 = ✓(~~r + (:Y dt 
se C é dada em forma paramétrica, como na Seção 12.2. 
EXEMPLO 6 Denote-se por J a metade superior do círculo ( e não do disco) de raio 
a e centro (0, O), representado parametricamente por 
X= a COS t, y = a sen t, o::: t ~ 'TT. 
A Fig. 15.5.13 mostra o arco J. Determine seu centróide. 
Solução Note-se, primeiro, que x = O, por simetria. O comprimento de arco de J é s 
= mi; o elemento de comprimento de arco é 
ds = V'(-a sen t dt)2 + (a cos t dt)2 = a dt. 
Logo, a segunda fórmula em ( 4) dá 
y = - (a sen t)(a dt) = ~ -cos t = - . 1 J... [ ]'" 2a 
1M o '1T o '1T 
Assim, o centróide do arco semicircular está localizado no ponto (0, 2a/n) sobre o eixo 
y. Observe-se que a resposta é plausível e dimensionalmente correta. 
SEÇÃO 15.5 / Aplicações das Integrais Duplas 107 
z 
O primeiro teorema de Pappus admite um análogo para a área de uma superfície de 
revolução . 
. ' 
~ Teo'-"818 de Pappus: Área de uma Superfície de Revolução 
t . . . , > ',. ·. ' ;.,, 
, · ~-a-;..~qlíe a curva C revolva em tomo de um eixo de seu plano que não a :1 :. 
int~te~ Então,: a área. :, 
~ ·,' v.,-,, .·. ,,, ' ',. ' 
A -s d ,,, : ': -. • ··:1 
. , · de,4,e revolução gerada é igual ao produto do comprimentos de C pela'~j, 
iíéreonida pelo centróide de e. 
Demonstração para o Caso Especial em que C É um Arco Suave Descrito por y = 
f(x), a ~x ~b, e o Eixo de Revolução é o eixo y A distância percorrida pelo centróide 
de C é d= 2nx. Pela Eq. (11) da Seção 6.4, a área da superfície de revolução é 
A= r· 21rx ds = I: 21rxVI + [f'(x)]2 dx = 27TS.; fc X ds = 27TSX 
conforme Eq. (4). Portanto, A =d· s, como se queria. O 
EXEMPLO 7 Ache a área A da superfície da esfera de raio a gerada pela revolução, 
em tomo do eixo x, do arco semicircular do Exemplo 6. 
Solução Já se encontrou que y = 2a/1r, e como se sabe que s = :,ra, o segundo teore-
ma de Pappus dá 
2a 
A = 2eys = 21r · - • 7Ta = 47Ta 2• 
7T 
EXEMPLO 8 Ache a área A da superfície do toro do Exemplo 5. 
Solução Faz-se agora revolver, em tomo do eixo y, o círculo (e não o disco) de raio 
a e centro no ponto (b, 0). Naturalmente, o centróide do círculo está localizado em seu 
centro (b, O), o que decorre do princípio de simetria, podendo também ser verificado 
por cálculos como os do Exemplo 6. Logo, a distância percorrida pelo centróide é d= 
21Cb. Como a circunferência do círculo é s = 21ra, o segundo teorema de Pappus dá 
A = 21rb · 27Ta = 47T2ab. 
MOMENTOS DE INÉRCIA 
Sejam Ruma lâmina plana e L uma linha reta que pode estar, ou não, no plano xy. O 
momento de inércia / de R em relação ao eixo L se define como 
(5) 
onde w = w(x, y) denota a distância (perpendicular) a L, de um ponto genérico (x, y) de R. 
O caso mais importante é aquele em que o eixo é o eixo z, sendo w = r = ✓ x 2 + y2 (Fig. 
15.5.14 ). Neste caso, 1 = 10 é o momento polar de inércia da lâmina R. Define-se, assim, 
y o momento polar de inércia de R como 
Fig. 15.5.14 Uma lâmina no plano xy 
no espaço. 
lo = II r 2 p(x, y) dA = II (x2 + y 2 ) dm. 
R R 
(6) 
108 Cap. 15 / Integrais Múltiplas 
1 
' 
f 
l 
1 
1 
1 
f 
y 
X 
Fig. 15.5.15 O disco em rotação. 
y 
X 
Fig. 15.5.16 A lâmina do Exemplo 9. 
y 
1--i 
X 
Fig. 15.5.17 Uma viga retangular, 
para comparação com a viga em I do 
Exemplo 9. 
Decorre que 
onde 
lx = If y 2 dm = If y 2 p dA 
R R 
(7) 
e 
(8) 
Aqui, lx é o momento de inércia da lâmina em relação ao eixo x, e ly é o momento de 
inércia em relação ao eixo y. 
Uma aplicação importante dos momentos de inércia envolve a energia cinética de 
rotação. Considere-se um disco circular revolvendo em torno do seu centro (a origem) 
com velocidade angular de roradianos por segundo. Um elemento de massa dm, à dis-
tância r da origem, se move com velocidade (linear) v = rro (Fig. 15.5.15).Assim, a 
energia cinética desse elemento de massa é 
½(dm)v2 = ½er,2r 2 dm. 
Pela soma, por integração, sobre todo o disco, vê-se que sua energia cinética, devida à r 
rotação com velocidade angular ro, é 
isto é, 
EC,01 = If ½er,2r2 dm = ½er,2 If r2 dm; 
R R (9) 
Como a energia cinética linear tem a fórmula EC = ½ mv2, a Eq. (9) sugere que o mo-
mento de inércia é o análogo rotacional da massa. 
EXEMPLO 9 Calcule lx para uma lâmina de densidade constante p = 1 que ocupa a 
região delimitada pelas curvas x = ± y4, -1 ~Y ~ 1 (Fig. 15.5.16). 
Solução A Eq. (7) dá 
lx = r [4 yl dx dy = II [xy2]'4 dy = II 2y6 dy = ;. 
-1 -,4 -1 x=-y4 -1 
A região do Exemplo 9 se assemelha à seção transversa de uma viga em 1. Sabe-se 
que a rigidez, ou resistência ao encurvamento, de uma viga horizontal é proporcional 
ao momento de inércia de sua seção transversa, em relação a um eixo horizontal pelo 
centróide da referida seção. Compare-se a viga em I com uma viga retangular de igual 
altura 2 e igual área 
A = f I f"" 1 dx dy = f. 
-1 -,4 
A Fig. 15.5.17 mostra a seção transversa de uma tal viga retangular. Sua largura é ¾, 
e o momento de inércia de sua seção transversa é 
II fl/S 1,, = y 2 dx dy = n -
-1 -1/5 
SEÇÃO 15.5 / Aplicações das Integrais Duplas 109 
z 
CJ) 
Fig. !5•5-18 Uma lâmina plana em 
rotaçao em torno do eixo z. 
110 
e - d 4 4 , 15 A • 1 , d · ç orno a razao e 7 para 15 e 7 , ve-se que a viga em e uas vezes mais 1orte que uma 
viga retangular de mesma área de seção transversa. Esta é a razão por que as vigas em 
I são geralmente utilizadas em construção. 
EXEMPLO 10 Ache o momento polar de inércia de uma lâmina circular R de raio 
a e densidade constante p, centrada na origem. 
Solução Em coordenadas cartesianas, a lâmina R ocupa a região plana x2 + y2 ~ a2; 
em coordenadas polares, esta região é descrita de forma muito mais simples por O~ r 
~a, O~ 0~ 2n. A Eq. (6) dá então 
II fl1T fª 4 1 lo= R r 2 p dA = 
0 0 
pr3 drd0 = p~a = 2ma2 , 
onde m = p11'.a2 é a massa da lâmina circular. 
Finalmente, o raio de giração r de uma lâmina de massa m em torno de um eixo se 
define como 
(10) 
onde l é o momento de inércia da lâmina em relação àquele eixo. Por exemplo, os raios 
de giração x e y em relação ao eixo y e ao eixo x, respectivamente, são dados por 
A ix y = -. 
m 
e (11) 
Suponha-se agora que esta lâmina esteja no semiplano direito x > O, e seja simétrica 
em relação ao eixo x. Se ela representa a face de uma raquete de tênis cujo cabo (de 
peso desprezível) se estende ao longo do eixo x, da origem à face da raquete, então o 
ponto ( x, O) é um candidato plausível para o ponto da raquete que proporciona impac-
to e controle máximos (sweet spot) (veja o Problema 56). 
A definição na Eq. (10) é motivada pela consideração de uma lâmina plana R giran-
do com velocidade angular roem torno do eixo z (Fig. 15.5.18). Então a Eq. (10) dá 
lo= mr2, 
decorrendo então, da Eq. (9), que a energia cinética da lâmina é 
EC = ½m(rw)2. 
Assim, a energia cinética da lâmina em rotação é igual à energia cinética de uma par-
tícula isolada de massa m revolvendo à distância r do eixo de revolução. 
Cap. 15 / Integrais Múltiplas 
15.5 Problemas 
Nos Problemas 1 a 10, ache o centróide da região plana delimi-
tada pelas cu rvas dadas. Admita que a densidade seja p = 1 para 
cada região. 
1. x = O, x = 4 ,y = 0,y = 6 
2. x = l, x = 3,y = 2,y = 4 
3. X = -1, X= 3, y = -2, y = 4 
4. x = O, y = 0 ,x + y = 3 
5. x = O, y = o, x + 2y = 4 
6. y = O, y = x,x + y = 2 
1. y = O, y = x 2,x = 2 
8. y = x2, y = 9 
9. y = O, y = x 2 - 4 
10. x = -2, x = 2, y = O, y = x" + 
Nos Problemas 11 a 30, ache a massa e o centróide de uma lâ -
mina plana com a forma e a densidade indicadas. 
11. A região triangular delimitada por x = O, y = O, ex + y = l , 
com p (x, y ) = x y . 
12. A região triangular do Problema 11 , com p(x, y) = x2. 
13. A região delimitada por y = O, e y = 4 - x 2, com p (x, y) = y. 
14. A região delimitada por x = O ex = 9 - y2, com p(x, y) = x2. 
15. A região delimitada pelas parábolas y = x2 ex = y2, com p(x, 
y) = .xy. 
16. A região do Proble ma 15 , com p(x, y) = x2 + y2. 
17. A região delimitada pelas parábolas y = x2 e y = 2 - x 2, com 
p(x, y) = y. 
18. A região de limitada por x = O, x = e, y = O e y = ln x, para 1 ~ 
x ~ e , com p(x, y) = 1. 
19. A região delimitada por y = O e y = sen x, para O~ x ~ n, com 
p (x, y ) = 1. 
20. A região delimitada por y = O, x = -1 , x = 1, e y = exp(-x2) , 
com p(x, y) = lxyl. 
21. O quadrado de vértices (0, O), (0, a) , (a, a) e (a, 0), com p(x, 
y) = x + y . 
22. A região triangular delimitada pelos eixos coordenados e pela 
reta x· + y = a ; p (x, y ) = x2 + y2 . 
23. A região delimitada por y = x 2 e y = 4; p(x, y) = y. 
24. A região delimitada por y = x2 e y = 2x + 3; p (x, y) = x1 . 
25. A região do Problema 19; p(x, y) = x. 
26. A região semicircular x 2 + y2 ~ a2, y ~ O; p(x, y) == y . 
27. A região do Problema 26 ; p (x, y ) == r (a coordenada polar 
radial) . 
28. A região delimitada pela ca.rdióide de equação polar r = 1 + 
cos 0; p = r (Fig. 15.5.1 9). 
2 
j T = ] + CDS 0 
-1 
-2 
Fig. 15.5.19 A card ió ide do Problema 28. 
SEÇÃO 15.5 / Aplicações das Integrais Duplas 
29. A região interior ao círculo r = 2 sen 0 e exterior ao círculo r 
= 1; p(x, y) = y . 
30. A região interior ao caracol r == l + 2 cos e e exterior ao cír-
culo r = 2; p(x, y) = r (Fig. 15.5.20). 
Fig. 15.5.20 O caracol do Problema 30. 
Nos Problemas 31 a 35, determine o momento p olar de inércia 
10 da lâmina indicada. 
31. A região delimitada pelo círculo r = a; p (x, y) = r", n sendo 
um inteiro positivo fi xo. 
32. A lâmina do Problema 26. 
33. O disco delimitado por r = 2 cos 0; p (x, y) == k (constante 
positiva). 
34. A lâmina do Problema 29. 
35. A região delimitada pelo laço direito da lemniscata r2 = cos 
20; p (x, y) = r2(Fig. 15.5.21 ). 
r2 = CDS 20 
- 1 O 
Fig. 15.5.21 A lemni scata do Problema 35. 
Nos Problemas 36 a 40, determine os raios de giração xe y da 
Lâmina indicada, em relação aos eixos coordenados. 
36. A lâmina do Problema 21. 
37. A lâmina do Problema 23 . 
38. A lâmina do Problema 24. 
39. A lâmina do Problema 27. 
40. A lâmina do Problema 33. 
41. Determine o centróide do primeiro quadrante do di sco circu-
lar x2 + y2 ~ r2, por cálculo direto , como no Exemplo 1. 
42. Aplique o primeiro teorema de Pappus para achar o centróide 
do pri meiro quadrante do disco circular x2 + y2 ~ r2. Tenha em 
mente que x = y (por simetria) e que a revolução do quarto de 
disco em torno de qualquer um dos e ixos coorde nados gera um 
? 
hemisfério sólido de vo lume V == t nr1. 
43. Determi ne , por cá lc ulo d ireto , co mo no Exe mp lo 6 , o 
centróide do arco do primeiro quadrante do círculo x2 + y2 = 12 . 
44. Aplique o segundo teorema de Pappus para achar o centróide 
do quarto de círculo do Problema 43. Note que .x = y (por si-
111 
metria), e que a revolução desse arco, em tomo de qualquer um 
dos eixos coordenados, gera um hemisfério cuja área de superfí-
cie é A= 2trr2. 
45. Mostre, por um cálculo direto, que o centróide do triângulo 
de vértices (0, 0), (r, 0) e (0, h) é o ponto (r/3, h/3). Verifique 
que este ponto pertence à reta que passa pelo vértice (0, 0) e pelo 
ponto médio do lado oposto do triângulo, e está a dois terços do 
caminho do vértice ao ponto médio. 
46. Aplique o primeiro teorema de Pappus e o resultado do Pro-
blema 45 para verificar a fórmula V= 1/31rrh do volume do cone 
obtido pela revolução do triângulo em tomo do eixo y. 
47. Aplique o segundo teorema de Pappus para mostrar que a área 
da superfície lateral do cone do Problema 46 é A = m-L, onde L = 
✓ r 2 + h2 é a altura inclinada (geratriz) do cone. 
48. (a) Ache o centróide do trapézio da Fig. 15.5.22. (b) Aplique 
o primeiro teorema de Pappus e o resultado da parte (a) para 
mostrar que o volume do tronco de cone gerado pela revolução 
do trapézio em tomo do eixo y é 
y 
Fig. 15.5.22 O trapézio do Problema 48. 
49. Aplique o segundoteorema de Pappus para mostrar que a área 
da superfície lateral do tronco de cone do Problema 48 é A = 
Jt(r, + r2)L, onde 
L = V(r, - r2) 2 + h 2 
é sua altura inclinada. 
5~. (a) Aplique o segundo teorema de Pappus para verificar que 
a areada superfície curva de um cilindro circular reto de altura h 
e raio da base ré A = 2m-h. (b) Explique como este fato também 
decorre do resultado do Problema 49. 
51. (a) Determine o centróide da região plana mostrada na Fig. 
15.5.23, que consiste em uma região semicircular de raio a apoi-
ada_ sobre uma região retangular de largura 2a e altura b, cuja base 
esta sobre o eixo x. (b) Aplique então o primeiro teorema de 
Pappus para achar o volume gerado pela rotação dessa região em 
tomo do eixo x. 
y 
(-a, O) (a.O) X 
Fig. 15.5.23 A região plana do Problema 5l(a). 
112 
52. (a) Considere a região plana da Fig. 15.5.24, delimitada por 
x2= 2py, x = O e y = h = r/2p (p > 0). Mostre que sua área éA = 
¾ rh e que a coordenada x de seu centróide é x = 3r/8. (b) Apli-
que o teorema de Pappus e o resultado da parte (a) para mostrar 
que o volume de um parabolóide de revolução com raio r e altu-
ra h é V= ½irrh. 
y 
1------- (r. h) 
X 
Fig. 15.5.24 A região do Problema 52. 
53. Ache o centróide da região não-limitada compreendida entre 
o gráfico de y = e-x e o eixo x, x ~ O. 
54. O centróide de uma região plana uniforme está em (0, 0) e 
a região tem massa total m. Mostre que seu momento de inér-
cia em relação a um eixo perpendicular ao plano xy no ponto (x0, 
Yo) é 
I = lo + m(xa2 + ya2). 
55. Suponha que uma lâmina plana consista em duas lâminas que 
não se superpõem. Mostre que seu momento polar de inércia é a 
soma dos momentos das duas lâminas componentes. Com auxí-
lio deste fato e com os resultados dos Problemas 53 e 54, deter-
mine o momento polar de inércia da lâmina em forma de T de 
densidade constante p = k > O, mostrada na Fig. 15.5.25. 
y 
(-4,4) ---------. (4,4) 
(-4,3) /i 
(- 1, 3) 1 
! 
i"-. l º· 3) 
(-1,0) (1,0) 
(4, 3) 
X 
Fig. 15.5.25 Uma lâmina 
constituída de duas lâminas 
mais simples (Problema 55). 
56. Uma raquete consiste em uma lâmina uniforme que ocupa a 
região interior do laço direito de r = cos 20 na extremidade de 
um cabo (de massa desprezível) correspondente ao intervalo -1 
~x~0 (Fig. 15.5.26). Determine o raio de giração da raquete em 
relação à reta x = - l. Onde está o ppnto da raquete que propor-
ciona impacto e controle máximos (sweet spot)? 
y 
x=-1 r 2 = cos 26 
X 
Fig. 15.5.26 A raquete do 
Problema 56. 
Cap. I 5 / Integrais Múltipla.e; 
15.5 Projeto 
~l V h 
a J 
Fig.15.5.27 Um objeto circular rolan-
do por uma rampa. 
Para ver os momentos de inércia em ação, suponha-se que um clube esteja planejando 
uma corrida de carros sem motor para o torneio anual de descida de uma colina. Tem-se 
a escolha entre rodas sólidas, rodas de bicicleta com raios finos, ou rodas esféricas sóli-
das (como mancais gigantes). Que tipo de roda imprimirá maior velocidade aos carros? 
Suponha-se um experimento em que se liberem vários tipos de rodas em um plano 
inclinado, para saber qual chega à base primeiro (Fig. 15.5.27). Suponha-se que uma 
roda de raio a e massa M parta do repouso no topo, com energia potencial EP = Mgh e 
chegue à base com velocidade angular coe velocidade (linear) v = aco. Então, pela con-
servação da energia, a energia potencial inicial da roda se transformou em uma soma 
ECtr + ECrot de energia cinética translacional ECtr= ½Mv2 e energia cinética rotacional 
_ 1 2 _ Iov 2 
ECro1 - 2 low - 2a 2 , 
conseqüência da Eq. (9) desta Seção. Assim, 
1 /0v 2 
Mgh = -Mv 2 + - . 2 2a2 
Os Problemas 1 a 8 exploram as implicações desta fórmula. 
1. Suponha que o momento de inércia (polar) da roda seja dado por 
lo = kMa 2 
(12) 
(13) 
(14) 
para uma constante k. (Por exemplo, o Exemplo 10 dá k = ½para uma roda com a for-
ma de um disco sólido uniforme.) Deduza, então, da Eq. (13) , que 
~ 
V = \j~· (15) 
Assim, quanto menor for k (e, daí, quanto menor for o momento de inércia da roda), 
mais depressa a roda descerá o plano inclinado. 
Nos Problemas 2 a 8, tome g = 32ft/s2 e suponha que a altura vertical do plano incli-
nado seja h = 100 ft. 
2. Por que razão decorre da Eq. (4) que, qualquer que seja o tipo da roda, a velocidade 
máxima que uma roda circular pode atingir nesse plano inclinado é de 80 ft/s (ligeira-
mente abaixo de 55 mi/h)? 
3. Se a roda é um disco sólido uniforme ( como a roda de uma diligência dos velhos 
tempos) com 10 = ½Ma2, qual é sua velocidade v no final do plano inclinado? 
4. Responda o Problema 3 se a roda tem a forma de um pneu fino de bicicleta, com 
toda sua massa concentrada à distância a do seu centro. Neste caso, 10= Ma2 . (Por quê?) 
5. Responda o Problema 3 se a roda tem a forma de uma coroa circular (ou arruela) 
com raio exterior a e raio interior b. 
Não tente resolver os Problemas 6 a 8, até ter estudado o Exemplo 3 da Seção 15. 7. 
Nos Problemas 6 a 8, qual é a velocidade da roda quando ela atinge a base do plano 
inclinado ? 
6. A roda é uma esfera sólida uniforme de raio a . 
7. A roda é uma casca esférica muito delgada, cuja massa total está concentrada à dis-
tância a do seu centro. 
8. A roda é uma casca esférica com raio exterior a e raio interior b = ½a. 
Finalmente, qual é sua conclusão? Qual é a forma da roda que permite a descida 
mais rápida de um catTo? 
SEÇÃO 15.5 / Aplicações das Integrai s Duplas 113 
X 
15.6 
Integrais Triplas 
Fig. 15.6.I Um pequeno bloco em 
uma partição interior da região espa-
cial limitada T. 
JU.4 
A definição da integral tripla é a versão tridimensiona l da defini cão de integral du-
pla da Seção 15.2. Sejafix, y, z) contínua na região limitada T do espaço, e suponha-se 
que T esteja contida no bloco retangular R definido pe las desig ua ldades a~ x ~ b, e ~ 
Y ~de P ~ z ~ q. Divide-se [a, b] em subintervalos dei oual comprimento&, [e, d] em 
subintervalos de igual comprimento Liy e [p, q] em subintervalos de igua l comprimen-
to&. Isto gera uma partição de R em blocos retangulares menores (como na Fig. 15.6. I) , 
cada um com volume Li V= &Liy&. Seja (JJ> = {T1, T,, ... , T,,} a coleção desses blo~os 
menores que estão inteiramente contidos em T. Então-(JJ> é chamada uma partição in-
terior da região T. A norma l(JJ>J de (JJ> é o comprimento da maior di agonal dos blocos 
T;. Se (x;',y;,z;) é um ponto de T; escolhido arbitrariamente (para cada i = I , 2, ···• n), 
então a soma de Riemann 
n 
2: J(xt, yt, zt ) LlV 
i= l 
é uma aproximação da integral tripla de f sobre a região T. 
Por exemplo, se T é um corpo sólido com função de densidade J, então esta soma de 
Riemann é uma aproximação da massa total do corpo. Define-se a integral tripla def 
sobre T por meio da equação 
Jff f(x, y, z) dV = lim ± f(x ;*, y;*, zt+') LlV. 1 eJ> l-o i=J 
T 
(1) 
Prova-se no cálculo avançado que este limite de somas de Riemann existe, quando a 
norma l(JJ>I tende para zero, desde quef seja contínua em Te que a fronteira da regiã_o T 
seja razoavelmente bem comportada. Basta, por exemplo, que a fronteira de T consista 
em um número finito de superfícies suaves. . 
Precisamente como nas integrais duplas, calculam-se as integrais triplas por meIO 
de integrais iteradas. Se a região de integração é um bloco retangular, como no Exem-
plo 1, então a ordem de integração é arbitrária. 
EXEMPLO 1 Sef(x, y, z ) = xy + yz e Tconsiste nos pontos (x, y, z) do espaço tais 
que -1 ~ x~ 1, 2~y~3, O~ z~ 1, então 
As apl icações das integrais duplas, vi stas em seções ~~teriores, se g~neralizam_ ime-
diatamente para as integrais triplas. Se T é um corpo solido com funçao de densidade 
p (x, y, z), então sua massa m é dada por 
m = J J J p dV. (2) 
T 
Cap. 15 / Integrais Mú ltip las 
X 
R 
Fig. 15.6.2 Determinando os limites 
de integração de z. 
SEÇÃO 15 .6 / Integra is Triplas 
O caso p = 1 dá o volume 
V= J J J dV (3) 
T 
de T. As coordenadas de seu centróide são 
x = ! J J J xp dV, (4a) 
T 
e (4b)z = ; J J J zp dV. (4c) 
T 
Os momentos de inércia de T em_reJação-aos l!"ês eixos coordenados são 
lx = J J J (y 2 + z 2)p dV, (5a) 
T 
fy = J J J (x 2 + z 2)p dV e (5b) 
T 
I, = J J J (x 2 + y 2)p dV. (Se) 
T 
Conforme indicado anteriormente, quase sempre se calculam integrais triplas por 
integração simples iterada. Suponha-se que a região Tseja uma região z simples: Cada 
reta paralela ao eixo z intercepta Tno máximo em um único segmento de reta. Isto sig-
nifica, na verdade, que T pode ser descrita pelas desigualdades 
(x, y) em R, 
onde R é a projeção vertical de T no plano xy. Então 
J J J J(x, Y, z) dV = lf (f zi<x.y) J(x, y, z) dz) dA. 
T R q(x,y) 
(6) 
Na Eq. (6), toma-se dA = d.x dy ou dA = dy d.x, dependendo da ordem preferida de 
integração sobre o conjunto R. Os limites z1(x, y ) e zi(x, y ) de z são as coordenadas z 
das extremidades do segmento de reta em que a vertical em (x, y ) encontra T (Fig. 
15.6.2). 
Se a região R admite a representação 
a~ x ~ b, 
então (integrando por último em relação a x ), 
JJJ Jb Jn(x) f '2(x.y) J(x, y, z) dV = J(x , y, z) dz dy dx . 
T a )' 1(x) ,i(x.y) 
115 
X 
z 
Fig. 15.6.3 Para achar a fronteira de R, 
resolva a equação z1(x, y) = zi(x, y) . 
X 
X 
X 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
d 
(a) T é z simples 
(b) T é y simples 
(e) T é x simples 
y 
Fig. 15.6.4 Sólidos (a) z simples, (b) 
y s imples, (e) x simples. · 
116 
Assim a integral tripla se reduz, neste caso, a três integrais simples iteradas. Estas po-
dem (em princípio) ser calculadas com auxílio do teorema fundamental do cálculo. 
Se o sólido T é delimitado por duas superfícies z = z 1(x, y ) e z = zix, y), como na 
Fig. 15.6.3, pode-se achar a região R da Eq. (6) como segue. A equação z 1(x , y ) = zz(x, 
y) define um cilindro vertical que passa pela curva de interseção das duas superfícies. 
Assim, o cilindro intercepta o plano .xy conforme a curva fronteira de R. Por exemplo, 
será visto que o sólido do Exemplo 3 é delimitado pelo parabolóide z = x2 + y 2 e pelo 
plano z = y + 2. E o gráfico da equação x 2 + y 2 = y + 2 é um círculo que delimita a 
região R sobre a qual está o sólido T. 
Procede-se da mesma forma se T é uma região x simples ou y simples. Tais situa-
ções, assim como o caso z simples, são ilustradas na Fig. 15 .6.4. Suponha-se, por exem-
plo, que T seja y simples, admitindo, portanto, uma representação da forma 
(x, z) em R, 
onde R é a projeção de T no plano xz . Então 
f f f f(x, y, z) dV = II (fn(x,z) f(x, y, z) dy) dA, 
T R ~kd 
(7) 
onde dA = dx dz ou dA = dz dx e os limites y 1(x, z) e yi(x, z ) são as coordenadas Y das 
extremidades do segmento retilíneo de acordo com o qual uma reta genérica paralela 
ao eixo y intercepta T. Se T é x simples, tem-se 
f f f J(x, y, z) dV = f J (f z(y, z) f(x, y, z) dx) dA, 
T R x1(y,z) 
(8) 
onde dA = dy dz ou dA = dz dy e R é a projeção de T no plano yz . 
EXEMPLO 2 Calcule, por integração tripla, o volume da região T delimitada pelo 
cilindro parabólico x = y2 e pelos planos z = O e x + z = I. Determine, também, o 
centróide de T, sabendo que T tem densidade constante p = I. 
COMENTÁRIO Os três segmentos na Fig. 15.6.5 paralelos aos eixos coordenados in-
dicam que a região T é simultaneamente x simples, y simples e z simples. Pode-se, por-
tanto, integrar em qualquer ordem, havendo, assim, seis maneiras de se calcular a inte-
gral. A seguir, são apresentados três cálculos do volume V de T. 
z 
Z,up.=?- X \ 
X 
Fig. 15.6.5 A região T do Exemplo 2 é x simples, y simples, z simples . 
Cap. 15 / Integrais Múltiplas 
y 
Xatrú=y2 (] 1) \ / . 
/_
/ Xrrente= 1 
. / 
----
Solução 1 A projeção de T no plano xy é a região mostrada na Fig. 15.6.6, delimita-
da por x = y2 ex= 1. A Eq. (6) dá, assim, 
V = f 1 f i f 1-x dz dx dy = 2 f i f i (1 - x) dx dy 
-1 y 2 0 O y2 
(1, 0) 
x = 211 [x - ½x2]1 dy = 211 (½ - y2 + ½Y4) dy = fs. 
O x=y2 O 
Fig. 15.6.6 Projeção vertical da região 
sólida T no plano xy (Exemplo 2, So-
lução 1). 
Zsup.= 1 -X 
/ 
(1, O) 
\ X 
Z;nr_=0 
Fig.15.6.7 Projeção vertical da região 
sólida T no plano xz (Exemplo 2, So-
lução 2). 
z 
H,O) z=O (1,0) Y 
Fig. 15.6.8 Projeção vertical da região 
sólida T no plano yz (Exemplo 2, So-
lução 3). 
SEÇÃO 15.6 / Integrais Triplas 
Solução 2 A projeção de T no plano xz é o triângulo delimitado pelos eixos coorde-
nados e pela reta x + z = 1 (Fig. 15.6.7), de forma que a Eq. (7) dá 
fl fl-x fw fl fl-x V= dydzdx=2 Vxdzdx 
00 -vx 00 
= 2 f (x1/2 - xJ/2) dx = fs. 
Solução 3 A projeção de T sobre o plano yz é delimitada pelo eixo y e pela parábola z 
= 1 - y2 (Fig. 15.6.8) e a Eq. (8) dá, assim, 
f I f t-y2 f 1-t V= dx dz dy, 
-1 O y 2 
e o cálculo desta i?tegral dá novamente V = fs. 
Agora, passe-se ao cálculo do centróide de T. Como a região T é simétrica em rela-
ção ao plano xz, seu centróide está nesse plano e, assim, y = O. Calcula-se x e z 
integrando-se primeiro em relação a y: 
1 III 15!1 fl-x rw x = V x dV = 8 0 0 J_w x dy dz dx 
T 
15 f I f 1-x 15 f 1 3 = - xJ/2 dz dx = - (xJ/2 - xs/2) dx = 1' 
4 o o 4 o 
e analogamente, 
1 III 15 f I J l-x fw 2 z=v zdV= 8 zdydzdx= 1. 
. T O O -yx 
Assim, o centróide de Testá localizado no ponto ( t·º·f} 
EXEMPLO 3 Ache o volume do segmento oblíquo de um parabolóide delimitado 
pelo parabolóide z = x2 + y2 e pelo plano z = y + 2 (Fig. 15.6.9). 
Solução A região T dada é z simples, mas sua projeção no plano xy é delimitada pelo 
gráfico da equação x2 + y2 = y + 2, que é um círculo transladado. Poder-se-ia integrar 
primeiro em relação a z, mas outra escolha talvez dê uma integral mais simples. 
A região T é também x simples, de forma que se pode integrar primeiro em relação 
a x. A projeção de T no plano yz é delimitada pela reta z = y + 2 e pela parábola z = 
117 
Fig. 15.6.9 Um segmento oblíquo de 
um parabolóide (Exemplo 3). 
15.6 Problemas 
z=x2+ y2 ----r----
y 
y 
Fig. 15.6.10 Projeção do segmento do 
parabolóide no plano yz (Exemplo 3). 
y 2, que se interceptam nos pontos (-1, 1) e (2, 4) (Fig. 15.6.10). As extremidades de um 
segmento de reta em T paralelo ao eixo x têm coordenadas x dadas por x = :±: ✓ z - y2 • 
Como T é simétrica em relação ao plano yz , pode-se integrar de x = O a 
x = ✓ z- y2 e duplicar o resultado. Logo, o volume de T é 
f 2 Jy+2 f ~ f 2 J y+2 V = 2 dx dz dy = 2 V z - y 2 dz dy 
-1 y2 o -1 y2 
J 2 [2 ( )3/2] y+2 4 f 2 = 2 -1 3 z - y2 z=y2 dy = 3 -1 (2 + y - y2)3;2 dy 
_ 4 f 3/ 2 (9 2)3/2 - - - - u du 
3 -3/2 4 
(completando o quadrado; u = y - ½) 
27 f ,r/ 2 
= 4 cos4 0 d0 
-,r/ 2 
(u = hen 0) 
27 1 3 7T 8l7r 
---2--------
4 2 4 2 32 . 
No cálculo final, utiliza-se a Fórmula (113) (capa interna final). 
Nos Problemas J a 10, calcule o valor da integral tripla 7.f(x, y, z) = xyz; T situa-se abaixo da superfície z = 1 - x2e 
acima do retângulo - l ;;; x;;; 1, O;;; y;;; 2 no plano xy. 
f f f f(x, y, z) dV. 
T 
1. f(x, Y, z) = x + y + z; T é a caixa retangular O ~ x ~ 2, 
O ~ Y ~ 3, O ~ z ~ 1. 
02· f(x, Y, z) = xy sen z; T é o cubo O ~ x ~ 7T, O ~ y ~ 7T, 
~ z ~ 'TT". 
\ilx, Y, z) = xyz ; T é o bloco retangular - 1 ;;; x;;; 3, O;;; y;;; 2, 
- ;;; z ;;; 6. 
4-fix, Y, z) = x + y + z; Té o bloco retangular do Problema 3. 
S.fix, Y, z) = x2 ; Té o tetraedro delimitado pelos planos coor-
denados e pelo primeiro octante do plano x + y + z = 1. 
6. f(x , Y, z) = 2x + 3y; T é um tetraedro do primeiro octante 
c~mo no Problema 5, com a diferença de que o plano tem equa-
çao 2x + 3 y + z = 6. 
118 
8.f(x, y, z) = 2y + z; T situa-se abaixo da superfície z = 4 - y2 
e acima do retângulo - l ;;; x;;; 1, -2 ;;; y ;;; 2 no plano xy. 
9.f(x, y, z) = x + y; T é a região entre as superfícies z = 2 - x2 
e z = x2, para O ;;;y;;; 3 (Fig. 15.6.11). 
z = 2 - x 2 
X Fig. 15.6.11 O sólido do Problema 9. 
Cap. 15 / Integrais Múltiplas 
10.flx, y, z) = z; T é a região entre as superfícies z = y2e z = 8 
- y2 para - 1 ~ x ~ 1. 
Nos Problemas 11 a 20, esboce o sólido delimitado pelos gráficos 
das equações dadas. Ache então seu volume por integraçãotripla. 
11. 2x + 3 y + Z = Ó, X = Ü, y = Ü, Z = Ü 
12. z = y, y = x 2, y = 4, z = O (Fig. 15.6.12) 
z 
Fig. 15.6.12 As superfícies do Pro-
blema 12. 
13.y + z = 4,y = 4 - x2,y = O, z = O 
14. z = x 2 + y2, z = O, x = O, y = O, x + y = l 
15. z = 10 - x2 - y 2 , y = x2, x = y 2, z = O 
16.x = z2.x = 8 - z2,y = -l,y = -3 
17. z = x2,y + z = 4,y = O,z = O 
18. Z = 1 - y2, Z = y 2 - 1, X + Z = 1, X= Ü 
(Fig. 15.6.13) 
X + Z = 1 z = y 2 - 1 
Fig. 15.6.13 As superfícies do Pro-
blema 18. 
19. y = z2, z = y2,x + y + z = 2,x = O 
20. y = 4 - x2 - z2, x = O, y = O, z = O, x + z = 2 
Nos Problemas 21 a 32, admita que o sólido indicado tenha den-
sidade constante p = l. 
21. Determine o centróide do sólido do Problema 12. 
22. Determine o centróide do hemisfério x2 + y 2 + z2 ~ R2, z ~ O. 
23. Determine o centróide do sólido do Problema 17. 
24. Determine o centróide do sólido delimitado por z = 1 - .x2, 
z = O, y = - 1 e y = 1. · 
25. Ache o centróide do sólido delimitado por z = cos x, x = - 711 
2, x = 7r/2, y = O, z = O e y + z = 1. 
26. Ache o momento de inércia, em relação ao eixo z, do sólido 
do Problema 12. 
27. Ache o momento de inércia, em relação ao eixo y , do sólido 
do Problema 24. 
28. Ache o momento de inércia, em relação ao eixo z, do cilin-
dro sólido x2+ y2 ~ R2, O :s; z :s; H. 
29. Determine o moment~ d;;- inércia, em relação ao eixo z, do 
sólido delimitado por x + y + z = l , x = O, y = O e z = O. 
30. Ache o momento de inércia, em relação ao eixo z, do cubo 
de vértices (±0,5 , 3, ±0,5) e ( ± 0,5 , 4 , ±0,5). 
SEÇ \v 15.6 / Integrais Triplas 
31. Considere o parabolóide sólido delimitado por z = x2 + y 2 e 
pelo plano z = h > O. Mostre que seu centróide está sobre seu 
eixo de simetria, a dois terços do caminho do seu "vértice" (0, O, 
0) à sua base. 
32. Mostre que o centróide de um cone circular reto está situado 
sobre o eixo do cone e a três quartos da distância do vértice à base. 
Nos Problemas 33 a 40, o sólido indicado tem densidade unifor-
me p = 1, a menos que se indique o contrário. 
33. Para um cubo com aresta de comprimento a, ache o momen-
to de inércia em relação a uma de suas arestas. 
34. A densidade em P(x, y, z) do cubo do primeiro octante com 
aresta de comprimento a, faces paralelas aos planos coordenados 
e vértices opostos (O, O, O) e (a, a, a) é proporcional ao quadrado 
da distância de P à origem. Ache as coordenadas de seu centróide. 
35. Ache o momento de inércia, em relação ao eixo z, do cubo 
do Problema 34. 
36. O cubo delimitado pelos planos coordenados e pelos planos 
x = 1, y = 1 e z = l tem densidade p = kz no ponto P(x, y, z) (k 
sendo uma constante positiva). Determine seu centróide. 
37. Ache o momento de inércia, em relação ao eixo z, do cubo 
do Problema 36. 
38. Ache o momento de inércia, em relação a um diâmetro, de 
uma esfera sólida de raio a. 
39. Ache o centróide da região do primeiro octante interior aos 
dois cilindros .x2 + z2 = 1 e y2 + z2 = 1 (Figs.15.6.14 e 15.6.15). 
1 x2 + z2 ; 1 
Fig. 15.6.14 Cilindros que se in-
terceptam (Problema 39). 
Fig. 15.6.15 O sólido de inter-
seção do Problema 39. 
40. Ache o momento de inércia, em -relação ao eixo z, do sólido 
do Problema 39. 
41. Ache o volume delimitado pelos parabolóides elípticos z = 
2.x2 + y2 e z = 12 - x2 - 2y2• Note que este sólido se projeta em 
um disco circular no plano xy. 
42. Ache o volume delimitado pelo parabolóide elíptico y = x2 
+ 4z2 e pelo plano y = 2x + 3. 
43. Determine o volume do cone elíptico delimitado por z = 
✓ x2 + 4 y2 e pelo plano z = 1. [Sugestão: Integre primeiro em 
relação a x .] 
44. Ache o volume da região delimitada pelo parabolóide z = Y2 
+ 2z2 epelocilindroparabólico x = 2 - y2 (Fig. 15.6. 16). 
Fig. 15.6.16 As superfícies do Pro-
x ; y2 + 2 2 2 blema 44. 
119 
X 
X 
15.7 
Integração em 
Coordenadas 
Cilíndricas e 
Esféricas 
1 
-----.J... 
1 z =Z 1(r. 0) 
~ 
(r, 0 ) 
y 
Fig. 15.7.I Os limites d 
integral tripla em e z em uma 
d ricas são det . coordenadas cilín-
erm,nados 1 
fíci es inferior e . pe as super-
supenor. 
j_ 
6 z .:S...:.-,:---==: 6 8 
1 ' -
y 
Fig. 15.7.2 O volu me do bl . , 
drice é ó. V - r- A oco cilm-- u z ó.r ó.0. 
120 
~ejaj(x, y) uma função contínua definida em uma região z simples T que-por ser 
z simples - pode ser descrita como 
z1(x, y) ~ z ~ zi(x, y) para (x, y) em R 
(onde Ré a projeção de T no plano xy, como de costume). Viu-se na Seção 15.6 que 
J J f f(x, Y, z) dV = f J (f'2(x.yJ f(x, y, z) dz) dA. 
T R z1(x. y) 
(1) 
Se for possível descrever a região R em coordenadas polares, de maneira mais natural 
do que em coordenadas retangulares, então é provável que a inteoração sobre a região 
plan~ R ~eja mais simples_se efetuada em coordenadas polares. 0 
Pnme1ro expressa-se a mtegral parcial interior da Eq. ( 1) em termos de r e 0, escre-
vendo-se 
(2) 
onde 
F(r, 0, z) = f(r cos 0, r sen 0, z) (3a) 
e 
Z;(r, 0) = Z;(r cos 0, r sen 0) (3b) 
parai = 1, 2. Substituindo-se a Eq. (2) na Eq. (1) com (importante) dA = r dr d0, 
tem-se 
J J J f(x, y, z) dV = J J (f Zz(r,e) F(r, 0, z) dz) r dr d0, 
T s Z1 (r , 8) 
(4) 
onde F, Z, e Zi são as funções dadas em (3) e S representa os limites der e 0 a~ropri-
ados para descrever a região plana R em coordenadas polares ( conforme discutido na 
Seção 15.4). Os limües de z são simplesmente as coordenadas z (em termos der e_ 0) 
de um segmento retilíneo genérico unindo as superfícies fronteira inferior e supenor 
de T, conforme indicado na Fig. 15.7.1. 
Assim, a fórmula geral para integração tripla em coordenadas cilíndricas é 
f f f f(x, Y, z) dV = f f JJ(r cos 0, r sen 0, z) r dz dr d8, (5) 
T U 
onde U não é uma região no espaço, mas-como na Seção 15 .4-uma representa~~º 
dos limites de z, r e 0 adequados para descrever, em coordenadas cilíndricas, a regiao 
T do espaço. Antes de integrar, devem-se substituir as variáveis x e y por r cos 0 e r sen 
0, respectivamente; z permanece inalterado. O elemento de volume em coordenadas 
cilíndricas 
dV = rdz drd0 
pode ser considerado formalmente como o produto de dz pelo elemento de área~ ,= 
r dr d0. É uma conseqüência da fórmula .6. V= r .6..z .6.r .6.0 do volume do bloco c tlin -
drico da Fig. 15.7.2. 
Cap. 15 / Integrais Múltipla 
,.;j 
X 
z 
Fig. 15.7.3 O primeiro octante da es-
fera (Exemplo 1 ). 
z 
z=h 
z = br2 
y 
X 
Fig. 15.7.4 O parabolóide do Exem-
plo 2. 
r 
h 
l 
Fig.15.7.5 Volume e centróide de um 
parabolóide circular reto em termos 
do cilindro circunscrito . 
A integração em coordenadas cilíndricas é especialmente útil para cálculos relacio-
nados com sólidos de revolução. Para que os limites de integração sejam os mais sim-
ples possíveis, o sólido deve, em geral, ser colocado de forma que o eixo de revolução 
seja o eixo z. 
EXEMPLO 1 Ache o centróide da porção T do primeiro octante da bola sólida de-
limitada pela esfera r + z2 = a2 • A Fig. 15.7.3 mostra o sólido. 
Solução O volume do primeiro octante da bola sólida é V = ..!.. • i na3 = ..!.. na3 • Como 
. . · l l 8 3 6 .x = y = z por s1metna, precisa-se ca cu ar apenas 
Assim, o centróide está localizado no ponto (3a/8, 3a/8, 3a/8). Observe-se que ares-
posta, além de plausível, é dimensionalmente correta. 
EXEMPLO 2 Ache o volume e o centróide do sólido T delimitado pelo parabolóide 
z = b(x2 + y2) (b > O) e pelo plano z = h (h > O). 
Solução Pela Fig. 15.7.4, torna-se claro que se obterá o raio da parte superior de T 
igualando-se z = b(x2 + y2) = br e z = h. Isto dá a = JiJb como o raio do círculo 
sobre o qual o sólido se projeta. Logo, a Eq. (4), comflx, y, z) = 1, dá o volume: 
V - J [ J dV - r f f ,' dz dr dO - r f (hr - br') dr dO 
= 21rGha 2 - ¼ba 4 ) = ~!2 = ~ 1ra1h 
(porque a2 = hlb). 
Por simetria, o centróide de Testá no eixo z, de forma que resta calcular apenas z : 
novamente levando em conta que a2 = h/b. Por conseguinte, o centróide de Testá no 
ponto (O, O, 2h13), resultado tanto plausível,_ quanto dirnensionalmente correto. 
Pode-se resumir os resultados do Exemplo2 corno segue: O volume de um 
parabolóide circular reto é a metade do volume do cilindro circunscrito (Fig. 15.7 .5) e 
seu centróide está localizado em seu eixo de simetria, a dois terços do caminho do 
"vértice" em (0, O, O) ao topo. 
SEÇÃO 15.7 / Integração em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas 121 
z 
y 
INTEGRAIS EM COORDENADAS ESFÉRICAS 
Quando as superfícies fronteiras da região T de integração são esferas, cones, ou ou-
tras superfícies de representação simples em coordenadas esféricas, é conveniente trans-
formar uma integral tripla sobre T para essas coordenadas. Recorde-se, da Seção 13 · 7 • 
que a relação entre as coordenadas esféricas (p, q,, 8) (Fig. 15.7.6) e as coordenadas 
retangulares (x, y, z) é dada por 
x = p sen q> cos 0, y = p sen q, sen 0, z = p cos cf:,. (6) 
X 
Fig. 15.7.6 Coordenadas esféricas (p, Suponha-se, por exemplo, que T seja o bloco esférico definido pelas desigualdades 
tf>, (J) do ponto P. simples 
z 
Pi ~ P ~ p2 = P1 + ll.p, 
t/>1 ~ q> ~ q>2 = <J,1 + 6.<f,, (7) 
0, ~ 0 ~ fh = 81 + 6.8. 
Conforme indicado pelas dimensões rotuladas na Fig. 15. 7. 7, este bloco esférico é ( se 
l!ip, l!it/>, !i8 são pequenos) aproximadamente um bloco retangular com dimensões 6.p, 
p1 l!it/>, e p1 sen "'2 !i8 . Assim, seu volume é aproximadamente Pf sen "'2 !ip !it/> LJ.f!. 
Pode-se mostrar (ver Problema 19 da Seção 15.8) que o volume exato do bloco esfén-
co descrito em (7) é 
(8) 
para certos números p e~ tais que P1 < p < p2 e (/)1 < ~ < <f,2• 
2 
y 
r148 = p1sen,2 48 
Fig.15.7.7 O volum . 2 ,1,_ 
llp lltf> llB. e aproximado do bloco esférico é Pt sen 'l'2 
Fig.15.7.8 O bloco esférico T dividido em n blocos esféricos 
menores. 
122 
Divida-se agora cada um dos intervalos [p1, p2], [t/>1, t/>2] e [81, 82] em n subinterva-
los iguais de comprimentos 
A _p2-p1 
~p - ' n 
e 
Cap. 15 / Integrais Múltiplas 
...... 
respectivamente. Isto gera urna partição esférica r!/' do bloco esférico Tem k = n3 blocos 
esféricos menores T1, T2, ... , Tk; veja a Fig. 15.7.8. PelaEq. (8), existe um ponto (pA- ;._ Ô-) ,.. ,. ', .,,, , ' 
do bloco esférico T; tal que seu volume é /l. V; = P; sen t/J; ll.p ll.</J ll.8. A norma 1 {!/' 1 de {!} 
é O comprimento da maior diagonal dos pequenos blocos esféricos Ti, T2, ••• , Tk. 
Se (x;, y;, z;) são as coordenadas retangulares do ponto com coordenadas esféricas 
(p;, ~;,Ô;), então a definição de integral tripla como limite de somas de Riemann, quando 
a norma Ir!/'! tende para zero, dá 
k III f(x, y, z) dV = lim ~f(xf, yf, zf) ll.V; 19'1-0 /=I 
T k 
(9) 
= lim ~ F(p;, 4,;, 8,) j,;2 sen 4,i Ap Acf, A6, 
19'1-0 1=1 
onde 
F(p, cf,, 6) = f(p sen e/, cos 6, p sen e/, sen 6, p cos cf,) (10) 
é O resultado da substituição da Eq. (6) emfl...x, y, z). Mas a soma no membro direito na 
Eq. (9) é simplesmente urna soma de Riemann para a integral tripla 
f62Jtf>2JP2 F(p, cf,, 6) p2 sen e/, dp de/, d6. 
91 4>1 PI 
Decorre, portanto, que 
J J J f(x, y, z) dV = f'z J"'2 f Pz F(p, cf,, 6) p2 sen tJ, dp de/, d6. (11) 
T 61 tf>1 PI 
Assim, transforma-se a integral 
J J J f(x, y, z) dV 
T 
para coordenadas esféricas, substituindo-se as variáveis x, y, z em coordenadas retan-
gulares por suas expressões na Eq. (6) em termos das variáveis p, </J e 8. Além disso, 
escreve-se 
para o elemento de volume em coordenadas esféricas. 
De modo mais geral, pode-se transformar a integral tripla 
III J(x, y, z) dV 
T 
para coordenadas esféricas sempre que a região Tfor centralmente simples - isto é, 
sempre que admita uma representação, em coordenadas esféricas, da forma 
(12) 
Nesse caso, então 
III f '2 f "'z f pz(tf,.9) f(x, y, z) dV = F(p, cf,, 6) p2 sen </, dp d</, d6. 
T 61 <f>1 p1(4>,9) 
(13) 
SEÇÃO 15.7 / Integração em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas 123 
z 
y 
X 
Fig. 15.7.9 Uma região centralmente 
simples . 
y 
X 
Fig. 15.7.10 O "cone de sorvete" do 
Exemplo 4 é a parte do cone interior 
à esfera. 
124 
Os limites de p são simplesmente as coordenadas p (em termos de </J e 0) das extremi-
dades de um segmento radial genérico que une as partes "interior" e "exterior" da fron-
teira de T (Fig. 15.7 .9). Assim, a fórmula geral para a integração tripla em coordena-
das esféricas é 
J f f f(x, y, z) dV 
T 
= J f J J(p seu q, cos O, p seu </> seu 0, p cos </>) p 2 sen </J dp dcp d0, 
u 
(14) 
onde, como anteriormente, U não denota uma região no espaço, e sim indica limites de 
p, </J e 0 que descrevam adequadamente a região Tem coordenadas esféricas. 
EXEMPLO 3 Uma bola sólida T com densidade constante 8 é delimitada pela su-
perfície esférica de equação p = a. Utilizando coordenadas esféricas, calcule seu vo-
lume V e seu momento de inércia ( em relação ao eixo z. 
Solução Os pontos da bola T são dados pelas desigualdades 
O~ p ~ a, 
Toma-sef= F== 1 naEq. (11), obtendo-se 
V = III dV = r1T f 11" r p2 sen </> dp d</J d0 
T O O O 
f 21Tf 1T = ½a 3 sen </> d</> dO 
o o 
A distância do ponto genérico (p, </J, 0) da esfera ao eixo z é r = p sen </J, de forma que 
o momento de inércia da esfera em relação àquele eixo é 
!, = I f f r2f, dV = r1T f 7T r f,p4sen3 </> dp d</J d0 
T O O O 
= kf>a 5 r.,,.J.,,. sen3 </> d</J d0 
o o 
= ~1Tôa 5 f.,,. sen3 </> d</> = ~1Tóa 5 • 2 • i = ~ma 2 , 
o 
onde m = ¼ n:a.3 8 é a massa da bola. A resposta está correta dimensionalmente, porque 
é o produto de uma massa pelo quadrado de uma distância. A resposta é plausível por-
que implica que, para fins de inércia rotacional, a esfera atua como se sua massa esti-
vesse concentrada em um ponto a 63% do caminho do eixo ao equador. 
EXEMPLO 4 Ache o volume e o centróide do "cone de sorvete" C delimitado pelo 
cone </J = n/6 e pela esfera p = 2a cos </J de raio a. A Fig. 15. 7 .1 O mostra a esfera e a 
parte do cone interior a ela. 
Solução O cone de sorvete é dado pelas desigualdades 
1T o ~ 0 ~ 21T, o ~ </> ~ 6' o ~ p ~ 2a cos <P-
Cap. 15 / Integrais Múltiplas 
Calculando seu volume com auxflio da Eq. (13), obtém-se 
V = f2" f "/6 racos,p P2 sen 'P dp d</J d0 
o o o 
= Ja 3 f"f "16 cos3 <p sen <p d<p d0 
o o 
= -'f 1ra3[ - ¼ cos4 <p I16 = ú 1ra 3• 
Quanto ao centróide, é claro, por simetria, que x= y=O. Como z = p cos c/J, a coor-
denada z do centróide de C é 
1 J II 12 J2"J"/6 J2acos,p . z = V z dV = 71Ta 3 0 0 0 p3 cos <p sen <p dp d</J d0 
e 
48a J 2" f "16 96a [ 1 ] "16 = - cos5 <p sen <p d<p d0 = - - -6 cos6 <p 71r o o 7 o 37a 28. 
Assim, o centróide do cone de sorvete está no ponto (0, O, 37a/28). 
15.7 Problemas 
Resolva os Problemas J a 20 por integração tripla em coorde-
nadas cilíndricas. Suponha que cada sólido tenha densidade 
unitária, a menos que se especifique outra função de densidade. 
1. Determine o volume do sólido delimitado acima pelo plano 
z = 4 e abaixo pelo parabolóide z = r2. 
2. Determine o centróide do sólido do Problema l. 
3. Deduza a fórmula do volume de uma esfera de raio a. 
4. Determine o momento de inércia, em relação ao eixo z, da esfe-
ra sólida do Problema 3, dado que o eixo z passa pelo seu centro. 
5. Ache o volume da região interior à esfera x2 + y2 + z2 = 4 e 
ao cilindro x2 + y2 = 1. 
6. Determine o centróide da metade da região do Problema 5, 
situada no plano .xy ou acima dele. 
7 • Determine a massa do cilindro O ~ r ~ a, O ~ z ~ h, sabendo 
que sua densidade em (x, y, z) é z. 
8. Determine o centróide do cilindro do Problema 7. 
9. Determine o momento de inércia, em relação ao eixo z, do 
cilindro do Problema 7. 
10. Determine o volume da região interior à esfera x2 + y2 + z2 
= 4 e ao cilindro x2 + y2 -:- 2.x = O (Fig. 15.7.11). 
x2 + y2 + z2 
+ y 2 - 2x = O 
Fig. 15.7.11 A esfera e o ci-
lindro do Problema 10. 
SEÇÃO 15.7 / Integração em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas 
11. Determine o volume e o centróide da região delimitada pelo 
plano z = O e pelo parabolóide z = 9 - x2 - y2. 
12. Determine o volume e o centróide da região delimitada pe-
los parabolóides z = x2 + y2 e z = 12 - 2.x2 - 2y2 . 
13. Calcule o volume da região delimitada pelos parabolóidesz 
= 2x2 + y2 e z = 12 - x2 - 2y2. 
14. Determine o volume da região delimitada abaixo pelo 
parabolóide z = x2 + y2 e acirría pelo plano z = 2.x (Fig. 15.7.12). 
Fig. 15.7.12 O plano e o parabolóide 
do Problema 14. 
15. Determine o volume da região delimitada acima pela super-
fície esférica x2 + y2 + z2 = 2 e abaixo pelo parabolóide z = x2 
+ y2 (Fig. 15.7.13). 
z = x2 + y 2 
1 
2 
Fig. 15.7.13 A esfera e o parabo-
lóide do Problema 15 . 
125 
16. Um cilindro sólido homogêneo tem massa me raio a. Mostre 
que seu momento de inércia, em relação ao seu eixo de simetria, 
é ½ma2• 
17. Determine o momento de inércia/ de um cilindro sólido ho-
mogêneo, em relação a um diâmetro de sua base. Expresse/ em 
termos do raio a, da altura h e da densidade (constante) 8 do ci-
lindro. 
18. Ache o centróide de um cilindro sólido homogêneo de raio a. 
19. Ache o volume da região delimitada pelo plano z = 1 e pelo 
cone z = r. 
20. Mostre que o centróide de um cone circular reto, sólido, ho-
mogêneo, está sobre seu eixo, a três quartos da distância do seu 
vértice à base. 
Resolva os Problemas 21 a 30 por integração tripla em coorde-
nadas esféricas. 
21. Ache o centróide de um hemisfério sólido homogêneo de raio a. 
22. Ache a massa e o centróide de um hemisfério sólido de raio 
a, se sua densidade 8 é proporcional à distância z de sua base -
de modo que 8 = kz (k sendo uma constante positiva). 
23. Resolva o Problema 19 por integração tripla em coordena-
das esféricas. 
24. Resolva o Problema 20 por integração tripla em coordena-
das esféricas. 
25. A~he o volume e o centróide do sólido interior à esfera p = 
a e acima do cone r = z. 
26. Determine o momento de inércia / do sólido do Problema 
25, sob a hipótese de que tenha densid~de constante 8. 
27 · Ache o momento de inércia, em relação a uma reta tangente, 
de uma esfera sólida homogênea de raio a e massa total m. 
28. Uma casca esférica de massa m é delimitada pelas esferas p 
= ª e P = 2a, e sua função de densidade é 8 = p2. Determine seu 
momento de inércia em relação a um diâmetro. 
29 . . ~escreva a superfície p = 2a sen </J e calcule o volume da 
regiao por ela delimitada. 
30._~escreva a superfície p = 1 + cos </J e calcule o volume da 
regiao por ela delimitada. A Fig. 15.7.14 pode ajudar. 
P 1 + cos q> 
15. 7 Projeto 
Fig. 15.7.14 A superfície do 
Problema 30. 
31. Determine o momento de inércia, em relação ao eixo x, da 
região interior ao cilindro r = a e à esfera p = 2a. 
32. Ache o momento de inércia, em relação ao eixo z, do "cone 
de sorvete" do Exemplo 4. 
33. Ache a massa e o centróide do "cone de sorvete" do Exem-
plo 4, se sua densidade é dada por 8 = z. 
34. Considere uma bola esférica homogênea de raio a centrada 
na origem, com densidade 8 e massa M = 1na38. Mostre que a 
força gravitacional F exercida por esta bola sobre uma massa 
pontual m situada no ponto (O, O, c) (c > a) (Fig. 15.7.15) é a 
mesma que seria se toda a massa da bola estivesse concentrada 
em seu centro (O, O, 0). Ou seja, mostre que IFI = GMmlc2• [Su-
gestão: Por simetria, pode-se admitir que a força seja vertical, 
de forma que F = F,k. Estabeleça a integral 
F, = - (21T r (" Gm5 ~os a pi sen </> d<f> dp d0. 
Jo Jo Jo w 
Mude a primeira variável de integração de </> para w, utilizando a 
lei dos co-senos: 
w 2 = p 2 + c 2 - 2pc cos </). 
Então, 2w dw = 2pc sen </J d</> e w cos a + p cos </J = c. (Por 
quê?)] 
z 
m (0, O, e) 
Fig. 15.7.15 O sistema do Problema 34. 
35. Considere agora a casca esférica a ~ r ~ b com densidade 
uniforme 8. Mostre que esta casca não exerce nenhuma força 
resultante sobre uma massa pontual m localizada no ponto (0, O, 
c) em seu interior- isto é, lcl < a . O cálculo é o mesmo que no 
Problema 34, exceto quanto aos limites de integração de p e w. 
Se a terra fosse uma esfera perfeita com raio R = 6.370 km, densidade uniforme 8 e 
massa M = i 8n:R3, então (de acordo com o Exemplo 3) seu momento de inércia em 
relação ao seu eixo polar seria / = ¾ MR2 • Acontece, entretanto, que, na realidade, 
I = kMR2, (15) 
126 Cap. 15 / Integrais Múltipla 
X 
onde k < 0,4 = ; . A razão é que, em lugar de ter um interior uniforme, a terra tem um 
núcleo denso recoberto por um manto menos denso de alguns milhares de quilômetros 
Núcleo de espessura (Fig. 15. 7 .16). A densidade do núcleo é 
Fig. 15.7.16 O núcleo e o manto da 
Terra. 
15.8 
Área de uma 
Superfície 
V 
• (U, V) 
' 
R 
u 
Fig. 15.8.1 A região uv R em que a 
transformação r é definida. 
y 
Fig. 15.8.2 A superfície paramétrica 
S no espaço xyz. 
e a do manto é 
O valor numérico de k na Eq. (15) pode ser determinado a partir de certas observa-
ções de um satélite da terra. Se o momento polar de inércia/ da terra e a massa M ( do 
modelo núcleo-manto) são expressos em termos do raio (desconhecido) x do núcleo 
esférico, então, substituindo-se estas expressões na Eq. (15), obtém-se uma equação 
que pode ser resolvida em relação a x. 
Mostre que esta equação pode ser escrita na forma 
(16) 
Dado o valor numérico medido k = 0,371, resolva esta equação (gráfica ou numerica-
mente) para achar x, e com base nessa solução, determine a espessura do manto da terra. 
Até agora, o conceito de superfície tem sido o gráfico z = f(x, y) de uma função de 
duas variáveis. Ocasionalmente, uma tal superfície era definida implicitamente por uma 
equação da forma F(x, y, z) = O. Agora, será introduzido o conceito mais preciso de 
superfície paramétrica - o análogo bidimensional de uma curva paramétrica. 
Uma superfície paramétrica Sé a imagem de uma função ou transformação r que 
é definida em uma região R do plano uv (Fig. 15.8.1) e toma valores no espaço xyz 
(Fig. 15.8.2). A imagem, por r, de cada ponto (u, v) de Ré o ponto no espaço xyz com 
vetor posição 
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). (1) 
Será admitido, em toda esta seção, que as funções componentes der tenham derivadas 
parciais contínuas em relação a u e v, e também que os vetores 
ar ax . ay . az 
ru = au = (xu, Yu, Zu) = au l + au J + au k (2) 
e 
ar ax . ay . az 
r = - = (x y z ) = - 1 + - J + - k 
o av o, o' o av av av (3) 
sejam não-nulos e não-paralelos em todos os pontos interiores de R. (Compare com a 
definição de curva paramétrica suave r(t) na Seção 12.1.) As variáveis u e v são os 
parâmetros da superfície S (por analogia com o parâmetro único t para uma curva 
paramétrica) . 
EXEMPLO 1 (a) Pode-se encarar o gráfico z = f(x, y ) de uma função como uma 
superfície paramétrica com parâmetros x e y . Em tal caso, a transformação r do plano 
.xy para o espaço xyz tem as funções componentes 
X = X , y = y, z = J (x, y) . 
SEÇÃO 15.8 / Área de uma Superfície 
(4) 
127 
128 
B 
• (r,9) 
R 
r 
Fig. 15.8.3 Um retângulo no plano r0; o 
domínio da função z = g(r, 0) (Exemplo 1 ). 
X 
(r cos 9, r sen 9, g (r, 6)) 
1 
1 
1 
1 1 
1 1 1 1 y 
~ 
(r cos B, r sen9, O) 
Fig. 15.8.4 Uma superfície em coordenadas 
cilíndricas no espaço A)'Z (Exemplo 1). 
(b) Da mesma forma, pode-se encarar uma superfície dada em coordenadas cilíndricas 
pelo gráfico de z = g(r, 0) como uma superfície paramétrica com parâmetros r e 0. A 
transformação r do plano r0(Fig. 15.8.3) para o espaço.xyz (Fig. 15.8.4) é então dada 
por 
X= r COS 0, y = r sen 0, z = g(r, 0) . (5) 
(c) Uma superfície dada em coordenadas esféricas por p = h(</J, 0) pode ser considera-
da corria uma superfície paramétrica com parâmetros </J e 0, e a transformação corres-
pondente, do plano </)0 para o espaço .xyz é dada por 
x = h(</J, 0) sen <p cos 0, y = h(</J, 0) sen <p sen 0, z = h(</>, 0) cos cp. (6) 
O conceito de superfície paramétrica permite que se trate com as mesmas técnicas to-
dos esses casos especiais, e muitos outros. 
Define-se agora a área de supeifície para a superfície paramétrica geral dada na Eq. 
(1). Começa-se com uma partição interior da região R- o domínio der no plano uv 
-em retângulos R1, R2, ••• , R,,, cada um com dimensões /),,.u e !),,.v. Seja (u;, v;) o canto 
esquerdo inferior de R;(conformeFig. 15.8.5). A imagem S; de R;, pela transformação 
r, em geral não será um retângulo no espaço .xyz; parecerá mais uma figura curvilínea 
na superfície imagem S, com r(u;, v;) como um "vértice" (Fig. 15.8.6). Denote-se por 
M; a área dessa figura curvilínea Si. 
V 
X 
li 
Fig. 15.8.5 O retângulo R; no plano uv. 
z 
y 
Fig. 15.8.6 A imagem de R; é uma figura 
curvilínea. 
Cap. 15 / Integrais Múltipla 
z 
z 
y y 
X X 
Fig. 15.8.7 Vetor N normal à superfície em r(u;, v;). Fig. 15.8.8 A área do paralelogramo P; é uma apro-
xjmação da área da figura curvilínea S;. 
As curvas paramétricas r(u, v;) e r(u;, v)- com parâmetros u e v, respectivamente 
- estão sobre a superfície Se se encontram no ponto r(u;, v;). Nesse ponto de interse-
ção, essas duas curvas têm os vetores tangentes ru(u;, v;) e r v(u;, v;) mostrados na Fig. 
15.8.7. Logo, seu produto vetorial 
(7 ) 
é um vetor normal a S no ponto r(u;, vJ 
Suponha-se agora que !),_u e !),_v sejam ambos pequenos. Então a área !),_Si da figura 
curvilínea S;será aproximadamente igual à área M ;do paralelogramo com lados adj a-
centes r,lu;, v;)/),_u e r u(u;, v;)!),_v (Fig. 15.8.8). Mas a área desse paralelogramo é 
ÂP; = 1 r,,(u; , V;) Âu X rv(u;, v; ) Âv 1 = 1 N(u;, v;) 1 Au Av . 
Isto significa que a área a(S) da superfície S é dada aproximadamente por 
n n 
a(S) = L AS; = L ÂP;, 
i= I i=l 
e, assim, 
n 
a(S) = L I N(u;, v;) 1 Âu Âv. 
i=I 
Mas esta última soma é uma soma de Riemann para a integral dupla 
II I N(u, v) 1 du dv. 
R 
Fica-se, assim, motivado a definir a área A da superfície paramétrica S como 
(8) 
ÁREA DE SUPERFÍCIE EM COORDENADAS RETANGULARES 
No caso da superfície z = f(x, y), para (x, y) na região R do plano .xy, as funções com-
ponentes der são dadas pelas equações em (4) com parâmetros x e y (em vez deu e v). 
Então 
SEÇÃO 15.8 / Área de uma Superfície 129 
z 
j k 
N = ar x ar= 1 o af af. aJ. = --1--J+k. 
ax ay ax ax ay 
o 1 af 
ay 
e assim a Eq. (8) toma a forma especial 
A= a(S) = JJ ✓1 + (:~r + (:~r dx dy 
R 
= f J V 1 + z/ + z/ dx dy. 
R 
(9) 
z - 2 x + 2Y + 1 EXEMPLO 2 Ache a área da elipse de interseção do plano z = 2x + 2y + 1 com o 
5 
Fig. 15.8.9 O cilindro e o plano do 
Exemplo 2. 
130 
cilindro x2 + y 2 = 1 (Fig. 15.8.9). 
Solução Aqui, R é o círculo unitário no plano xy com área 
f J l dx dy = 7r, 
R 
e, assim, a Eq. (9) dá para a área da elipse 
A = f J V 1 + z; + z; dx dy 
R 
= f J V 1 + 22 + 22 dx dy = f J 3 dx dy = 37r. 
R R 
OBSERVAÇÃO As figuras geradas por computador, como a Fig. 15.8.9, não podem ser 
construídas sem que se utilizem superfícies paramétricas. Por exemplo, o cilindro ver-
tical da Fig. 15.8.9 foi gerado instruindo-se o computador a esboçar a superfície 
paramétrica definida no retângulo z0 
-5 ~ z ~ 5, O~ 0 ~ 27T' 
por 
r(z, 0) = (cos 0, sen 0, z). 
Está claro, para o leitor, que a imagem desta transformação é o cilindro x 2 + y 2 = 1, 
-5~ z ~5? 
ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE EM COORDENADAS CILÍNDRICAS 
Considere-se agora uma superfície em coordenadas cilíndricas z = g(r, 0) parametrizada 
pelas equações em (5) para (r, 0) em uma região R do plano r0. Então o vetor normal 
é 
j k 
N = ar x ar= cos 0 sen 0 az ar ao ar 
-r sen O r cos O 
az -
ao 
= i( :~ sen O - r :~ cos O) - j( :~ cos 0 + r !~ sen 0) + rk. 
Cap. 15 / Integrais Múltiplas 
z 
X 
l 
1 
1 
Fig. 15.8.10 A parte do parabolóide z 
= r2interior ao cilindro r = I (Exem-
plo 3) é a mesma que a parte sob o 
plano z = 1. (Por quê?) 
Fig. 15.8.11 A rampa em espiral do 
Exemplo 4. 
Fig. 15.8.12 O toro do Exemplo 5. 
Após algumas simplificações, encontra-se 
A Eq. (8) então dá a fórmula 
A = II V r 2 + (rzr) 2 + (z8) 2 dr d0 
R 
para a área de uma superfície em coordenadas cilíndricas. 
(10) 
EXEMPLO 3 Determine a área da superfície do parabolóide z = r2 seccionada pelo 
cilindro r = 1 (Fig. 15.8.10). 
Solução A equação (1 O) dá a área 
+ 4r2 dr 
+ 4r2 ) 312 r = i (5V5 - 1) = 5,3304. 
o 
No Exemplo 3, o leitor obteria o mesmo resultado se escrevesse primeiro z = x2 + 
y2, aplicando a Eq. (9), que dá 
A = II Yl + 4x 2 + 4y 2 dx dy, 
R 
e passasse então para coordenadas polares. No Exemplo 4, seria menos conveniente 
começar com coordenadas retangulares. 
EXEMPLO 4 Determine a área da rampa em espiral z = 0, O ~ r ~ 1, O ~ 0 ~ n. 
Trata-se da superfície superior do sólido mostrado na Fig. 15.8.11. 
Solução A Eq. (10) dá a área 
A= J'Tl"f 1 Yr 2 + 1 drd0 = ~[V2 + ln(l + V2)] = 3,60S9. 
o o 2 
Evita-se uma substituição trigonométrica recorrendo-se à tabela de integrais, no início 
deste livro. 
EXEMPLO 5 Ache a área da superfície do toro gerado pela revolução, em tomo do 
eixo z, do círculo (x - b)2 + z2 = a2 (O< a < b) no plano xz (Fig. 15.8. 12). 
Solução Com a coordenada polar 0 e o ângulo f//da Fig. 15.8.13, o toro é dado, para 
x O ~ 0 ~ 2n e O ~ f// ~ 2n, pelas equações paramétricas 
Fig. 15.8.13 O círculo que gera o toro 
(Exemplo 5). 
SEÇÃO 15.8 / Área de uma Superfície 
x = r cos 0 = (b + a cos if,) cos 0, 
y = r sen 0 = (b + a cos if,) sen 0, 
z = a sen if,. 
131 
Calculando N = r 0 x r 'I' e simplificando, obtém-se 
1 NI = a(b + a cos tf,). 
Assim, a fórmula geral para a área de uma superfície, Eq. (8), dá a área 
f 2.,,.f2.,,. [ ]2,r A = a(b + a cos r/J) d0 dtf, = 2'TT'a bt/f + a sen t/J = 4'TT'2ab. 
o o o 
Na Seção 15.5, obteve-se o mesmo resultado aplicando-se o teorema de Pappus. 
15.8 Problemas 
1. Determine a área da parte do plano z = x + 3y interior ao 
cilindro elíptico de equação x2/4 + y2/9 = l. 
2. Ache a área da região do plano z = l + 2x + 2y situada di-
retamente acima da região do plano xy delimitada pelas parábo-
las y = x2 ex = y2• 
3. Ache a área da parte do parabolóide z = 9 - x2 - y2 que está 
acima do plano z = 5. 
4. Ache a área da parte da superfície 2z = x2 que está direta-
mente acima do triângulo de vértices (0, O), (1, O) e (1, 1) no pla-
no xy. 
5. Ache a área da superfície que é o gráfico da equação z = x + 
Y2 para O ~ x ~ l , O ~ y ~ 2. 
6. Ache a área da parte da superfície do Problema 5 que está 
acima do triângulo de vértices (O, 0), (0, 1) e (1, 1) no plano xy. 
7. Determine, por integração, a área da parte do plano 2x + 3y 
+ z = 6 que está no primeiro octante. 
8. Ache a área da elipse definida pela interseção do plano 2x + 
3y + z = 6 com o cilindro x2 + y2 = 2. 
9. Ache a área da superfície sela z = xy interior ao cilindro x2 + 
y2 = l. 
10. Determine a área cortada da superfície z = x2 - y2 pelo cilin-
dro x2 + y2 = 4. 
11., Ac?e a área da parte do parabolóide z = 16 - x2 - y2 que 
esta acrma do plano xy. 
12. Mostre, por integração, que a área da superfície cônica z = 
br_entre os ~]anos z = O e z = h = ab é dada por A = na.L, onde f 3e ~ ger~triz ✓ a 2 + h2 e ~ ~ o raio da base do cone. 
= 0 e on~dere a parte _do cilindro x2 + y2 = a2 entre os planos z 
A r z - h parametnzada por x = a cos 0, y = a sen 0, z = z. 
P ique ~ Eq • (8) para mostrar que a área dessa zona é A = 2na.h. 
14. Considere a região meridional de altura h = e - b situada na 
~f~ra r2 + z2 = a2 entre os planos z = b e z = e, O ;S b < c ;S a. 
P que a~• ( 1 O) para mostrar que a área dessa região é A = 2na.h. 
15. Ache a areada parte do cilindro x2 + 22 = a2 interior ao cilin-
dro r2 = x2 + y2 = a2. 
16. Ache a área da parte da esfera r2 + 22 = ª2 interior ao cilin- . 
dro r = a sen 0. 
~- (a) Aplique a Eq. (8) p~a mostrar que a área da superfície y 
- /(x, z), para (x, z) na regiao R do plano xz, é dada por 
A = f f ✓l + (~n2 + (~~y dx dz. 
R 
132 
(b) Enuncie e deduza uma fórmula análoga para a área da super-
fície x = .f(y, z), (y, z) em R. 
18. Seja Ruma região do plano 1/)0. Considere a parte da esfera p 
= a correspondente a ( 1/), 0) em R, parametrizada pelas equações 
em (6) com h(tj), 0) = a. Aplique a Eq. (8) para mostrar que a 
área da superfície desta parte da esfera é 
A = f f a 2 sen cp dcp d0. 
R 
19. (a) Considere o "retângulo esférico" definido por p = a, tj), ~ 
tP ~ tP2 = tP1 + !11/), 01 ~ 0 ~ 02 =01 + !10. Aplique a fórmula do 
Problema 18 e a propriedade do valor médio (Problema 30 da 
Seção 15.2) para mostrar que a área desse retângulo esférico é A 
= a2 sen efJ /11/) !10 para algum efJ em (1/)1, 1/)2). (b) Conclua, do 
resultado da parte (a), que o volume do bloco esférico definido 
por P1 ~ P ~ P2 = P1 + !1p e tP1 ~ 1/) ~ tP2, 01 ~ 0 ~ 02 é 
Finalmente, deduza a Eq. (8) da Seção 15.7 aplicando o teorema 
do valor médio à função f(p) = p 3 no intervalo [p1, P2l 
20. Descreva a superfície p = 2a sen 1/). Por que razão ela é cha-
mada um toro sem orifício? Tal superfície é parametrizada como 
na Eq. (6), com h(tj), 0) = 2a sen 1/). Mostre que sua área é A == 
47ila2. A Fig. 15.8. 14 pode ajudar. 
Fig. 15.8.14 Vista do corte no toro do Problema 20. 
21. A superfície de revolução obtida ao revolver a curva x = f(z) , 
a~ z ~ b, em torno do eixo zé parametrizada em termos de 0 (O 
~ 0 ~ 2n) e z (a ~ z ~ b) por x = f(z) cos 0, y = .f(z) sen 0, z = z. 
Com auxílio da Eq. (8), deduza a fórmula da área de superfície 
f2.,,.fb 
A = Jo 
O 
/(z)Yl + [f'(z)]2 dz dO. 
Cap. 15 / Integrais Múltiplas 
Esta fórmula é coerente com a área de uma superfície de revolu-
ção definida na Seção 6.4. 
23. Aplique o resultado do Problema 21 para verificar a fórmula 
A = 2m-h da área da superfície lateral de um cilindro crrcular reto 
de raio r e altura h. 22. Aplique a fórmula do Problema 18 em ambas as partes deste 
problema. (a) Verifique a fórmula A = 4na2 da área da superfí-
cie de uma esfera de raio a. (b) Determine a área da parte de uma 
esfera de raio a e centro (O, O, O) interior ao cone 1/J = 7r/6. 
24. Aplique a Eq. (9) para verificar a fórmula A = 2nrh da área 
da superfície lateral do cilindro x.2 + z2 = ?-, O ;:; y ;:; h, de raio r 
e altura h. 
15.8 Projetos 
As superfícies paramétricas são utilizadas na maioria dos trabalhos de gráficos por 
computador. Os sistemas comuns de computadores contêm instruções para gráficos 
paramétricos análogas ao comando Maple 
plot3d( [f(u,v), g(u,v), h(u,v)], u = a .. b, v = e . . d) 
ou ao comando Mathematica 
ParametricPlot3D[ (f[u,v], g[u,v], h[u,v]}, 
(u. a, b}. (v, e, d)] 
para esboçar o gráfico da superfície paramétrica definida por 
x = J(u, v), y = g(u, v), z = h(u, v) 
para a~ u ~ b, e~ v ~ d. Os projetos que se seguem dão algumas possibilidades que o 
leitor deve tentar, se dispuser de um tal sistema. 
PROJETO A Utilize a parametrização em coordenadas cilíndricas 
X= r COS 0, y = r sen0, z = f(r , 0) 
da superfície z = f(r, 0) para esboçar o gráfico de alguns cones (z = kr) e parabolóides 
(z = kr2). Tente então algo mais exótico, talvez z = (sen r)/r. 
PROJETO B Mostre que o cilindro elíptico (xla)2 + (ylb)2 = 1 centrado ao longo 
do eixo z, é parametrizado por 
X= a COS 0, y = bsen 0, z = z 
para O~ 0 ~ 2n:. Faça um esboço dos cilindros com semi-eixos a e b variáveis. 
PROJETO C Mostre que a parametrização 
x =arcos 0, y = brsen 0, z = r 2 
dá O parabolóide elíptico z = (xla)1 + (ylb)1. Esboce alguns desses parabolóides com 
diferentes valores de a e b. 
PROJETO D Mostre que a parametrização 
x = a sen <p cos 0, y = b sen </> sen 0, z = ecos</> 
dá um elipsóide. Esboce alguns deles, com semi-eixos a, b e e diferentes. 
SEÇÃO 15.8 / Área de uma Superfície 133 
*15.9 
Mudança de 
Variáveis em 
Integrais Múltiplas 
V 
s 
u 
X 
PROJETO E Mostre que 
X= X, y = J(x) cos 0, z = J(x) sen 0 
para a ;S x ;S b, O ;Se ;S 2n, parametriza a superfície obtida pela revolução da curva y = 
f(x), a ;S x ;S b, em tomo do eixo x no espaço xyz. Esboce algumas dessas superfícies 
geradas por várias curvas y = f(x). 
PROJETO F Explique como alterar a parametrização do Exemplo 5 desta Seção 
para esboçar um toro com seção transversa elíptica (em vez de circular). 
Viu-se, em seções anteriores, que é possível calcular certas integrais múltiplas trans-
formando-as de coordenadas retangulares para coordenadas polares ou esféricas. A 
técnica de mudança de sistemas coordenados para calcular uma integral múltipla é o 
análogo multivariado da substituição no caso da integral simples. Recorde-se, da Se-
ção 5.7, que, se x = g(u), então 
r J(x) dx = r f(g(u))g'(u) du, 
a e 
(1) 
onde a= g(c) e b = g(d). O método de substituição envolve uma "mudança de variá-
veis" moldada de acordo com o cálculo de determinada integral. 
Suponha-se que se queira calcular a integral dupla 
II F(x, y) dx dy. 
R 
Uma mudança de variáveis para esta integral fica determinada por uma transforma-
ção T, do plano uv para o plano xy- isto é, uma função T que associa ao ponto (u, v) 
um ponto (x, y) = T(u, v) dado pelas equações 
x = J(u, v), y = g(u, v). (2) 
O ponto (x, y) é chamado de imagem do ponto (u, v) pela transformação T. Se dois 
pontos diferentes no plano uv nunca têm o mesmo ponto imagem no plano xy, então a 
transformação é chamada um-a-um, ou biunívoca. Em tal caso, é possível resolver as 
equações em (2) em relação a u e V em termos de x e y, obtendo-se assim as equações 
u = h(x, y), v = k(x, y) (3) 
da transformação inversa Y-- 1 do plano xy para o plano uv. 
Freqüentemente, convém visualizar a transformação T geometricamente em termos 
de suas curvas u e de suas curvas V. As curvas u de T são as imagens de retas horizon-
tais no plano uv, e as curvas V de T são as imagens de retas verticais no plano uv. 
Observe-se que a imagem, por T, de um retângulo delimitado por retas horizontais e 
verticais no plano uv é umafigura curvilínea delimitada por curvas u e curvas v no 
plano xy (Fig. 15.9.1). Conhecidas as equações (3) da transformação inversa, é fácil 
achar as curvas u e as curvas V escrevendo as equações 
Fig. 15.9.1 A transformação T trans-
forma o retângul o S na figura curvilí-
nea R. 
k(x, y) = C1 e 
respectivamente, onde C1 e C2 são constantes. 
134 Cap. 15 / Integrais Múltiplas 
Curvas v 
com v <0 
y 
Curvas v 
com v > O 
X 
Fig. 15.9.2 As curvas u e as curvas v 
do Exemplo 1 . 
V 
u 
y 
X 
Fig. 15.9.3 Efeito da transfonnação T; 
estima-se a área de R; = T(S;) calcu-
lando-se a área de P;. 
EXEMPLO 1 Determine as curvas u e as curvas v da transformação Tcuja inversa 
Y- 1 é definida pelas equações u = xy, v = x2 - y2. 
As curvas u são as hipérboles equiláteras 
(constante), 
e as curvas v são as hipérboles 
x 2 - y 2 = v = C2 (constante). 
A Fig. 15.9.2 mostra essas duas farru1ias usuais de hipérboles. 
Agora descreve-se a mudança de variáveis em uma integral dupla, que corresponde 
à transformação T definida pelas equações (2). Seja a região R do plano xy a imagem, 
por T, da região S do plano uv. Suponha-se F(x, y) contínua em R e seja {S1, S2, .•• , Sn} 
uma partição interior de S em retângulos, cada um com dimensões Âu e  v. Cada re-
tângulo S; é transformado, por T, em uma figura curvilíneaR; no planoxy (Fig. 15.9.3). 
As imagens {R1, R2, ••• , R,,}, por T, dos retângulos S; constituem então uma partição 
interior da região R (agora em figuras curvilíneas, e não em retângulos). 
Seja (u7, v;) o ponto do canto inferior esquerdo de S;, e escreva-se 
(x1, y1) = (!(~1, vn, g(u1, v1)) 
para sua imagem por T. A curva u por (x7 ,J7) tem vetor velocidade 
tu = iju(ut, vn + jgu(u1, vn = ax i + ay j, 
au au 
e a curva v por (x;, J7) tem vetor velocidade 
t., = ifv(u1, vt) + jgv(ut, vn = ax i + ay j. 
av av 
Pode-se assim aproximar a figura curvilínea R; por um paralelogramo P; cujos lados 
são "cópias" dos vetores t,,Âu e tvÂV. A Fig. 15.9.3 mostra esses lados e o paralelogramo 
aproximador. 
Mas a área M;de R; também é aproximada pela área do paralelogramo P;, e pode-se 
calcular esta. Com efeito, 
ÂA; = a(P;) = 1 (tu Âu) X (t., Âv) j = j tu X fv j Âu Âv. 
Mas 
i j k ax ax 
ax ay -- o au av k. tu X fv = au au = 
ax ay 
ay ay 
- o au av 
av av 
O determinante dois-por-dois à direita é chamado de jacobiano da tr~sforn:iaç~o T, 
de acordo com o matemático alemão Carl Jacobi (1804-1851), que foi o pnmeuo a 
investigar as mudanças gerais de variáveis em integrais múltiplas. O jacobiano da trans-
formaçãoT é uma função deu e v , que se denota por 17 = Jr(u, V). Assim, 
Jr(u, v) = l .f.,(u, v) f ,,(u, v) 1 · 
gu(u, v) 8v(u, v) 
(4) 
SEÇÃO 15.9 / Mudança de Variáveis em Integrais Múltiplas 135 
136 
Uma notação não só comum como especialmente sugestiva para o jacobiano é 
Ir= a(x, y) 
a(u, v). 
O cálculo que precede a Eq. (4) mostra que a área M;de R;é dada aproximadamen-
te por 
ô.A; = 1 lr(ut, vn I Ô.U Ô.V. 
Portanto, quando se estabelecem somas de Riemann para aproximar integrais duplas, 
verifica-se que 
II F(x, y) dx dy = ~ F(xt, yt) ô.A; 
R 
n 
= ~ F(J(ut, vn, g(ut, vt)) 1 lr(ut , vt)I ô.u Ô.V 
i=l 
= II F(J(u, v), g(u, v)) 1 JT(u, v) 1 du dv. 
R 
Esta discussão é, na realidade, um esboço de uma prova do seguinte teorema geral 
sobre mudança de variáveis. Supõe-se que Ttransforme a região limitada S no plano 
uv, na região limitada R no plano xy, e que Tseja biunívoca, do interior de S para o 
interior de R. Supõe-se, ainda, que a função F(x, y) e as derivadas parciais de primeira 
ordem das funções componentes de T sejam funções contínuas. Finalmente, para as-
segurar a existência das integrais duplas indicadas, admite-se que a fronteira de am-
bas as regiões R e S consistam em um número finito de curvas fechadas simples par-
cialmente suaves. 
Teorema 1 Mudança de Variáveis 
Se a transformação T, com funções componentes x = f(u, v), y = g(it, V), satisfaz 
as condições do parágrafo precedente, então 
II F(x, y} dx dy = ÍJ F(f(u, v), g(u, v)) 1 h(u, v)I du dv. (5) 
R S 
Escrevendo G(u, v) = F(f(u, v), g(u, v)), então a fórmula para a mudança de variá-
veis da Eq. (5) se toma 
II F(x, y) dx dy = lf G(u, v) 1 :~:: ~~ f du dv. 
R S 
(5a) 
Assim, formalmente se transforma J f f(x,y)dA substituindo-se as variáveis x e y por 
f(u, v) e g(u, v), respectivamente, e escrevendo-se 
dA = la(x, y)I du dv 
a(u, v) 
para o elemento de área em termos deu e v. Observe-se a analogia entre a Eq. (5a) e a 
fórmula na Eq. (1) para uma única variável. De fato, se g' (x)-::/=- O em [e, d] e se se de-
Cap. 15 / Integrais Múltiplas 
4 
li 
3 u 
y 
nota por a o menor e por /3 o maior dos dois limites e e d na Eq. (1), então a Eq. (1) 
toma a forma 
f J(x) dx = J/3 J(g(u)) 1 g'(u)I du. 
a a 
(la) 
Assim, o jacobiano na Eq. (5a) desempenha o papel da derivada g'(u) na Eq. (1). 
EXEMPLO 2 Suponha-se que a transformação T, do plano r0 no plano xy seja de-
finida pelas equações polares 
x = f(r, 8) = r cos 8, 
O jacobiano de T é 
y = g(r, 8) = r sen 8. 
--- - r> éJ(x, y) -1 cos 8 -r sen 81 _ 0 
éJ(r, 8) sen 8 r cos 8 ' 
e, assim, a Eq. (5) ou (5a) se reduz à fórmula conhecida 
II F(x, y) dx dy = II F(r cos 8, r sen 8) r dr d8. 
R S 
Dada uma integral dupla particular JJ;<x,y)dxdy, como se pode achar uma mu-
dança de variáveis produtiva? Uma abordagem padrão consiste em escolher uma trans-
formação T tal que a fronteira de R consista em curvas u e curvas v. Caso seja mais 
conveniente expressar u e vem termos de x e y, pode-se calcular primeiro o(u, v)lo(x, 
y) explicitamente e achar então o jacobiano necessário o(x, y)lo(u, v) a partir da fór-
mula 
éJ(x, y} . éJ(u, v) = 1 
éJ(u, v) éJ(x, y) · 
A Eq. (6) é uma conseqüência da regra da cadeia (veja o Problema 18). 
(6) 
EXEMPLO 3 Suponha que R seja a região plana de densidade unitária delimitada 
pelas hipérboles 
xy = 1, xy = 3 e x2 - y2 = 1, x2 - y2 = 4. 
Determine o momento polar de inércia 
lo= II (x2 + y 2) dx dy 
R 
dessa região. 
Solução As hipérboles que delimitam R são curvas u e curvas v. se u = xy e v = x2 
- y2, como no Exemplo 1. Pode-se escrever facilmente o integrando x2 + y2 em ter-
mos de u e v, notando-se primeiro que 
4u2 + v2 = 4x2y2 + {x2 _ y2)2 = (x2 + y2)2, 
x então x 2 + y 2 = V4u 2 + v 2• Ora, 
Fig. 15.9.4 A transformação Te a nova 
região S construída no Exemplo 3. 
SEÇÃO 15.9 / Mudança de Variáveis em Integrais Múltiplas 
à(u, v) 1 y x 1 
à(x, y) = 2x -2y = - 2(x2 + y2). 
137 
y 
X 
Fig. 15.9.5 Determinação da área da 
região R (Exemplo 4). 
138 
Logo, a Eq. (6) dá 
a(x, y) 1 
a(u, v) = - 2(x2 + y 2) = - 2V4u 2 + v 2 • 
1 
Agora, se pode aplicar o teorema da mudança de variáveis, com as regiões R e S con-
forme mostradas na Fig. 15.9.4. Com F(x, y) = x2 + y2, a Eq. (5a) dá 
lo= If(x2 + y2) dx dy = [J3 V4u 2 + v 2 1 du dv 
R 1 1 2V 4u 2 + v 2 
J4J3 1 = -dudv = 3. 
1 1 2 
O Exemplo 4 é motivado por uma aplicação importante. Considere-se um motor com 
ciclo de operação que consiste alternadamente em expansão e compressão de um gás 
em um pistão. Durante um ciclo, o ponto (p, V), que dá a pressão e o volume do gás, 
traça uma curva fechada no plano p V. O trabalho realizado pelo motor-desprezados 
o atrito e perdas decorrentes-é então igual (em unidades apropriadas) à área encer-
rada por essa curva, chamada diagrama indicador do motor. O diagrama indicador 
para um motor de Camot ideal consiste em duas isotermas xy = a, xy = b e duas adia-
báticas xy1 = c, xy1 = d, onde ré a razão da capacidade térmica do gás atuando no 
pistão. Um valor típico de yé 1,4. 
EXEMPLO 4 Determine a área da região R delimitada pelas curvas xy = 1, xy = 3, 
e xy1•4 = 1, xy1•4 = 2 (Fig. 15.9.5). 
Solução Para que as curvas dadas sejam curvas u e curvas v, define-se a transforma-
ção para mudança de variáveis por u = xy e v = xy1•4. Então 
à(u, v) -1 y x 1 - (O 4) i 4 - (O 4) a(x, y) - yi.4 (1,4)xyº·4 - ' xy • - ' v. 
Assim, 
a(x, y) 1 
a(u, v) = à(u, v)/a(x, y) = -v 
2,5 
Conseqüentemente, o teorema da mudança de variáveis dá a fórmula 
A = if 1 dx dy = f 2 f 3 2~5 du dv = 5 ln 2. 
MUDANÇA DE VARIÁ VEIS EM INTEGRAIS TRIPLAS 
A fórmula da mudança de variáveis para integrais triplas é análoga à Eq. (5). Sejam S 
e R regiões que se correspondem pela transformação biunívoca T do espaço uvw no 
espaço xyz, onde as funções coordenadas que constituem T são 
x = f(u, v, w), y = g(u, v, w), z = h(u, v, w). (7) 
Cap. 15 / Integrais Múltiplas 
O jacobiano de T é 
ax ax ax 
àu àv àw 
J ( . ) _ éJ(x, y, z) _ ay ay ay 
T U, V, W - d( ) -
U, V, W au av aw (8) 
az az az 
au av aw 
Então, a fórmula da mudança de variáveis para integrais triplas é 
(9) 
onde G(u, v, w) = F(f(u, v, w), g(u, v, w), h(u, v, w)) é a função obtida de F(x, y, z) 
expressando-se as variáveis x, y e z em termos de u, v e w. 
EXEMPLO 5 Se T é a transformação, para coordenadas esféricas, dada por 
x = p sen <p cos 0, 
então o jacobiano de T é 
y = p sen <p sen 0, z = p cos <P, 
a(x, y, z) 
= 
a(p, </J, 0) 
sen <p cos 0 p cos <p cos 0 
sen <p sen 0 p cos <p sen 0 
cos <p -p sen <p 
Assim, a Eq. (9) se reduz à fórmula conhecida 
-p sen <p sen 0 
p sen <p cos 0 
o 
= p 2 sen <p. 
f f f F(x, y, z) dx dy dz = f f f G(p, </>, 0) p 2 sen </> dp d</> d0. 
R S 
O sinal está correto, porque p2 sen <P ~ O para </J em [O, n']. 
EXEMPLO 6 Determine o volume do toro sólido R gerado pela revolução, em tor-
no do eixo z, do disco circular 
(x - b)2 + z2 ~ a2, O<a<b (10) 
no plano xz. 
Solução Trata-se do toro do Exemplo 5 da Seção 15.8. Represente-se por u a coor-
denada polar angular 0, por v o ângulo vrda Fig. 15.8.12 e por w a distância ao centro 
do disco circular descrito pela desigualdade (10). Define-se então a transformação T 
por meio das equações 
x = (b + w cos v) cos u, y = (b + w cos v) sen u, z = w sen v. 
Então, o toro sólido Ré a imagem, por T, da região do espaço uvw descrita pelas desi-
gualdades O~ u ~ 2n, O~ v ~ 2n, O~ w ~a.Um cálculo rotineiro dá o jacobiano de T: 
a(x,y,z) ( ) 
a ( ) = w b + w cos V • U, V, W 
SEÇÃO 15.9 / Mudança de Variáveis em Integrais Múltiplas 139 
Logo, a Eq. (9), com F(x, y, z) = 1, dá o volume 
V= f f f dx dydz = f2" f2" f0 (bw + w 2 cos v) dw du dv 
712,,. O O O 
= 2'17' 
0 
(½a 2b + }a3 cos v) dv = 2'1T2a2b, 
que está de acordo com o valor V = 2nb · 7ril2 dado pelo primeiro teorema de Pappus 
(Seção 15.5). 
15.9 Problemas· 
Nos Problemas 1 a 6, resolva em relação a x e y em termos de u 
e v. Calcule então o jacobiano d(x, y)ld(u, v).· 
1. u=x+y,v=x-y 
2. U = X -2y, V = 3x + y 
3. u = xy, v = y/x 
4. u = 2(x2 + y2), v = 2(x2 _ y2) 
5. U = X + 2y2, V = X - 2y2 
6. u = _2_x_ V - _-_2.;;_y_ 
. x2 + y2 • - x2 + y2 
7. SeJa R o paralelogramo delimitado pelas retas x + y = 1, x + 
Y = 2 e 2x - 3y = 2, 2x - 3y = 5. Faça u = x + y, v = 2x -
3y para achar a sua área 
A= II dxdy. 
R 
8. I:aça u = xy, v = ylx, para determinar a área da região do pri-
~erro quadrante delimitada pelas retas y = x, y = 2x, e pelas 
hipérboles xy = 1, xy = 2 (Fig. 15.9_6). 
X 
Fig. 15.9.6 A região do Proble-
ma 8. 
X 
Fig.15.9.7 A região do Proble-
ma 9. 
9. Faça u = xy, V = xy3, para achar a área da região do primeiro 
quadr~te delimitada pelas curvas xy = 2, xy = 4 e xy3 = 3, xy3 
= 6 (Fig. 15.9.7). 
1 O. Ache a área da região do primeiro quadrante delimitada pe-
las curvas y = x2, y = 2x2 ex= y2, x = 4y2 (Fig. 15.9.8). [Suges-
tão: Faça y = ux2 ex = vy2.] 
140 
X 
Fig. 15.9.8 A região do Problema 10. 
11. Utilize o método do Problema 1 O para achar a área da região 
do primeiro quadrante delimitada pelas curvas y = x3, y = 2.x3 e 
X= y3,X = 4y3. 
12. Seja R a região do primeiro quadrante delimitada pelos cír-
culos x2 + y2 = 2x, x2 + y2 = 6x e pelos círculos x2 + y2 = 2y, x2 
+ y2 = 8y. Com a transformação u = 2xl(x2 + y2), v= 2yl(x2 + 
y2), calcule a integral 
II (x2 ~ y2)2 dx dy. 
R 
13. Utilize coordenadas elípticas x = 3r cos 0, y = 2r sen 0, para 
achar o volume da região delimitada pelo plano xy, pelo 
parabolóide z = x2 + y2 e pelo cilindro elíptico x2/9 + y2/4 = 1. 
14. Seja R o elipsóide sólido cuja fronteira exterior é a superfície 
x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1. Utilize a transformação x = au, y = 
bv, z = cw para mostrar que o volume deste elipsóide é 
V= III 1 dx dy dz = 17Tabc. 
T 
15. Ache o volume da região do primeiro octante delimitada pelos 
cilindros hiperbólicos xy = 1, xy = 4; xz = 1, xz = 9; e yz = 4, 
yz = 9. [Sugestão: Faça u = xy, v = xz, w = yz e note que uvw 
= x2y2z2.] 
16. Com a transformação 
r 
y = -sen 9 t • z = r 2 
ache o volume da região R situada entre os parabolóides z = x2 
+ y2, z = 4(x2 + y2) e entre os planos z = 1, z = 4. 
Cap. I 5 / Integrais Múltiplas 
17. Seja R a região elíptica delimitada pelo gráfico de x2 + xy + 
y2 = 3. Sejamx = u + vey = u - v. Mostre que 
II exp(-x2 - xy - y 2) dx dy 
R 
= 2 II exp(-3u2 - v 2) du dv. 
s 
Faça então u = r cos 0, v = ../3 (r sen (/) para calcular a última 
integral. 
18. Pela regra da cadeia e pela propriedade, a seguir, dos deter-
minantes, deduza a relação da Eq. (6) entre o jacobiano de uma 
transformação e o de sua inversa. 
1 a, b, l · I a2 b2 1 = lª'ª2 + b,c2 a1bz + b1d2 1· e, d, c2 d2 a2c1 + c2d1 bzc, + d,d2 
19. Transforme para coordenadas esféricas e mostre que, para k 
>0, 
20. Seja R o elipsóide de densidade constante ô e superfície fron-
teira x2/a2 + y2/b2 + i2lc2 = 1. Utilize coordenadas elípticas x = 
ap sen tp cos 0, y = bp sen tp sen 0, z = cp cos tp para mostrar que 
sua massa é M = 1 nôabc. 
21. Mostre que o momento de inércia do elipsóide do Problema 
20 em relação ao eixo zé 1: = ½M(a2 + b2). 
Capítulo 15 Revisão: DEFINIÇÕES, CONCEITOS, RESULTADOS 
Utilize a lista a seguir como guia de conceitos que você poderá 
precisar rever. 
1. Definição de integral dupla como limite de somas de Riemann. 
2. Cálculo de integrais duplas por integração simples iterada. 
3. Utilização da integral dupla para achar o volume entre duas 
superfícies acima de uma dada região plana. 
4. Transformação da integral dupla JJ/<x,y)dAem coordena-
das polares. 
5. Aplicação de integrais duplas para achar massa, centróides e 
momentos de inércia de lâminas planas. 
6. Os dois teoremas de Pappus. 
Capítulo 15 Problemas Diversos 
Nos Problemas 1 a 5, calcule a integral dada, invertendo pri-
meiro a ordem de integração. 
Í'J' 1 1. :--;:==;dxd º .,113 VI + x2 y 
3. f f exp(-y2) dy dx 
5. [ f 2 Y exp(x2) dx d 
o v; x3 Y 
6. A integral dupla 
2. (' f' sen x dx dy Jo 1 X 
4. f' I x cos y4 dy dx 
)o)~l3 
[ [ e~' dydx 
é uma integral imprópria sobre a região não-limitada do primei-
ro quadrante, determinada pelas retas y = x ex = O. Admitindo 
que seja válido inverter a ordem de integração, calcule esta inte-
gral, integrando primeiro em relação a x. 
SEÇÃO 15 / Problemas Diversos 
7. Definição da integral tripla como limite de somas de Riemann. 
8. Cálculo de integrais triplas por integração simples iterada. 
9. Aplicação de integrais triplas para determinação de volume, 
massa, centróides e momentos de inércia 
10. Transformação da integral tripla JJJJx,y,z)dVem coordena-
das cilíndricas e esféricas. 
11. Área de uma superfície paramétrica 
12. Área de uma superfície z = j{x, y) para (x, y) na região plana 
R. 
13. O jacobiano de uma transformação de coordenadas. 
14. A transformação de uma integral dupla ou tripla correspon-
dente a uma dada mudança de variáveis. 
7. Ache o volume do sólido T situado abaixo do parabolóide z = 
x2 + y2 e acima do triângulo R do plano xy com vértices (0, O, 0), 
(1, 1, 0) e (2, O, 0). 
8. Por integração em coordenadas cilíndricas, ache o volume 
delimitado pelos parabolóides z = 2x2 + 2y2 e z = 48 - x2 - y2. 
9. Utilize a integração em coordenadas esféricas para achar o 
volume e o centróide da região sólida interior à esfera p = 3, 
abaixo do cone q, = ,r/3 e acima do plano xy <f, = ,r/2. 
10. Ache o volume do sólido delimitado pelos parabolóides elíp-
ticos z = x2 + 3y2 e z = 8 - x2 - 5y2. 
11. Ache o volume delimitado pelo parabolóide y = x2 + 3z2 e 
pelo cilindro parabólico y = 4 - z2• 
12. Ache o volume da região delimitada pelos cilindros parabó-
licos z = x2, z = 2 - x2 e pelos planos y = O, y + z = 4. 
13. Ache o volume da região delimitada pelo cilindro elíptico y2 
+ 4z2 = 4 e pelos planos x = O, x = y + 2. 
14. Mostre que o volume do sólido delimitado pelo cilindro elíp-
tico x2/a2 + y2/b2 = 1 e pelos planos z = O, z = h + x (h >a> O) 
é V= 1rabh. 
141 
15. Seja R a região do primeiro quadrante delimitada pela retay 
= x e pela curva r + x2y2 = y2. Utilize coordenadas polares para 
calcular 
JJ _(l_+_x- ;- +-y-2)-2 dA. 
R 
Nos Problemas 16 a 20, ache a massa e o centróide de uma lâ-
mina plana com a forma e a densidade p dadas. 
16. A região delimitada por y = x2 ex= y2; p = x2 + y2. 
17. A reg~~o delimitada por x = 2y2 e y2 = x - 4; p = y2. 
18. A regiao entre y = ln x e o eixo x sobre o intervalo 1 ::;; x::;; 2 · 
p = 1/x. - - , 
19. O círculo delimitado por r = 2 cos 0; p = k (constante). 
20. A r~gião do Problema 19; p = r. 
21. Aplique o primeiro teorema de Pappus para achar a coorde-
~ada Y ~~ centróide da metade superior da elipse (x/a)2 + (y/b)2 
- 1. Utilize os fatos de que a área desta semi-elipse éA = n:ab/ 
2 e O volume do elipsóide por ela gerado ao revolver em tomo 
d . , 4 o eixo x e V = - n:ab2 
3 . 
22· (~~ Aplique o primeiro teorema de Pappus para achar o 
centr01de da por - · • . d r . çao, no pnmeiro quadrante, da coroa circular 
e imitada pelos círculos x2 + y2 = a2 e x2 + y2 = b2 (0 <a< b). 
(b) Mostre que a · - 1· · . posiçao lDllte deste centróide quando b ➔ a é 
o centróide do ar d , ' ' p bl co e quarto de crrculo, conforme se achou no 
ro ema 44 da Seção 15.5. 
23. Ache o centró1·de da ·- d 1 . . . regiao o p ano xy dehrrutada pelo eixo 
x e pela parábola y = 4 _ x2 
24. Ache o volume d ' lid .. 
li 2 ° so o situado abaixo do cilindro parabó-co z = x e acim d • · A 
x p 1 . ª 0 tnangulo do plano xy delimitado pelo eixo , e o eixo y e pela reta x + y = 1 
25• Aplique coorde d il ' · · 
d na as c mdricas para achar o volume do cone e sorvete deli ·t d · 
ffil a o acima pela esfera x2 + y2 + z2 = 5 e abai-
xo pelo cone z = 2 ~ -vx~+ y~ 
26. Ache o volum . , . 
acima p 1 ., e e O centro1de do cone de sorvete delimitado e a es1era p - b • 27 u . - a e a a1xo pelo cone 1/J = n/3. 
· m cone crrcul Td base a A h ar so 1 o, homogêneo, tem massa Me raio da 
. c e seu mome t d . , . . 
simetria. n ° e inercia em relação ao seu eixo de 
28. Ache a massa d . . 
sidade em ( :' pnmerro octante da bola p;;:;a, se sua den-
29 A x, y, z) e 8 = xyz. 
· che o moment d · , · 
de sólido h A O e inercia, em relação ao eixo x, do elipsói-
teira (xla )'i ~m(yo!gbe~eo, de densidade unitária e superfície fron-
) + (z/c)2 = 1 
30. Ache o volu d ·- . 
esfera p = a e~e . ~ regiao do primeiro octante delimitada pela 
e pelo plano' Jz. 0 ctlmdro r = a, pelo plano z = a, pelo plano xz 
31. Ache o mome t d . , . 
homogênea d d n ~ e mer~ia, em relação ao eixo z, da região 
cilindro r _ 2e ensidade unitária, interior à esfera p = 2 e ao - cos 0. 
Nos Problemas 32 34 
de uma . _ L ª , gera-se um volume mediante revolução 
rbegzao P ana R em torno de um eixo. Para achar o volu-
me, esta eleça um · 
d , dA ª integral dupla sobre Rfazendo um elemento e area revolve 
e lem t d l r em torno do eixo indicado para gerar um en o e vo ume dV. 
32• ~che O volu?2e do s~lido gerado pela revolução, em torno 
do eixo Y, da reg1ao mtenor ao círculo r = 2a cos 0. 
142 
33. Ache o volume do sólido obtido pela revolução, em torno do 
eixo x, da região encerrada pela cardióide r = 1 + cos 0. 
34. Determine o volume do toro sólido obtido pela revolução do 
disco O;;:; r;;:; a em torno da reta x = -b, lbl ~ a. 
35. Reveja o segmento oblíquo de um parabolóide discutido no 
Exemplo 3 da Seção 15.6, e mostrado na Fig. 15.6.9. (a) Mostre 
primeiro que seu centróide está no ponto C(O, ½, ¾ ). (b) Mostre que 
o centro da "base" elíptica superior do parabolóide sólido está 
1 5 . 1 1 , 
no ponto Q(0,5,2). (c) Venfique que o ponto V(0, 2,4) e o pon-
to no qual o plano tangente ao parabolóide é paralelo à base su-
perior. O ponto V é chamado vértice do segmento oblíquo, e o 
segmento de reta VQ é seu eixo principal. (d) Mostre que C está 
sobre o eixo principal a dois terços do caminho do vértice à base 
superior. Arquimedes mostrou que isto é válido para qualquer 
segmento determinado em um parabolóide por um plano. Este 
fato constituiu a chave para sua determinação da posição de equi-
líbrio de um parabolóide circular reto em flutuação, em termos 
de sua densidade e suas dimensões. A Fig. 15.PD. l mostra as po-
sições possíveis. Os princípios que Arquimedes introduziu para 
a resolução deste problema ainda são importantes na engenharia 
naval. 
Nível da 
água 
Vertical Inclinado Parcialmente 
submerso 
Fig. 15.PD.1 Como um parabolóide sólido uniforme pode flutuar (Pro-
blema 35). 
Os Problemas 36 a 42 referem-se a distância média. A distâ11• 
eia média d do ponto (x0, y0) aos pontos da região plana R com 
área A se define como 
d = j J f V (x - xo)2 + (y - yo)2 dA. 
R 
Define-se de modo análogo a distância média de um ponto (x0, 
y0, Zo) aos pontos de uma região do espaço. 
36. Mostre que a distância média dos pontos de um disco de raio 
a ao seu centro é 2a/3 . 
37. Mostre que a distância média dos pontos de um disco de raio 
a a um ponto fixo de sua fronteira é 32a/9n. 
38. Um círculo de raio 1 é interior a um círculo de raio 2, 
tangenciando-o. Ache a distância média do ponto de tangência 
aos pontos que estão entre os dois círculos. 
39. Mostre que a distância média dos pontos de uma bola esféri-
ca de raio a ao seu centro é 3a/4. 
40. Mostre que a distância média dos pontos de uma bola esféri-
ca de raio a a um ponto fixo de sua superfície é 6a/5. 
41. Uma esfera de raio 1 é interior a uma esfera de raio 2, 
tangenciando-a. Ache a distância média do ponto de tangência 
ao conjunto de todos os pontos entre as duas esferas. 
42. Um cone circular reto tem raio R e altura H. Ache a distância 
média dos pontos do cone ao seu vértice. 
Cap. 15 / Integrais Múltiplas 
43. Ache a área da parte da superfície do parabolóide z = 10 -
r2 que está entre os dois planos z = 1 e z = 6. 
44. Ache a área da parte da superfície z = y2 - x2 interior ao ci-
lindro x2 + y2 = 4. 
45. Use a fórmula do Problema 18 da Seção 15.8 para mostrar 
que a área da superfície da região na esfera p = a entre os planos 
z = Z1 e z = z2 (-a~ z1 < z2 ~ a) é A = 21Ulh, onde h = Z2 - Zi-
46. Determine a área da parte da superfície da esfera p = 2 inte-
rior ao cilindro x2 + y2 = 2x. 
47. Faz-se uma perfuração quadrada com lado de comprimento 
2 através de um cone de altura 2 e raio da base 2; a reta central 
do orifício é o eixo de simetria do cone. Determine a área da 
superfície removida do cone. 
48. Aproxime numericamente a área da parte da superfície do 
ciHndro parabólico 2z = x2 interior ao cilindro x2 + y2 = 1. 
49. Uma "cerca" de altura variável h(t) está fincada sobre a cur-
va plana (x(t), y(t)). Assim, a cerca tem equações paramétricas x 
= x(t), y = y(t), z = z, para a~ t ~ b, O~ z ~ h(t). Aplique a Eq. 
(8) da Seção 15.8 para mostrar que a área da cerca é 
_ Jb lh<•> [ (dx)2 (dy)2]1;2 A - - + - dz dt. 
ª o dt dt 
50. Aplique a fórmula do Problema 49 para calcular a área da 
parte do cilindro r = a sen 0 interior à esfera 12 + z2 = a 2• 
51. Ache o momento polar de inércia da região do primeiro qua-
drante, de densidade constante 8, delimitada pelas hipérboles xy 
= 1, xy = 3, e x2 - y2 = 1, x 2 - y2 = 4. 
52. Faça u = x - y e v = x + y para calcular 
f f exp(: ~ ~) dx dy, 
R 
R sendo a região delimitada pelos eixos coordenados e pela reta 
x+y= 1. 
53. Utilize coordenadas elipsoidais x = ap sen <P cos 0, y = bp 
sen <P sen 0, z = cp cos <P para achar a massa do elipsóide sólido 
(x/a)2 + (y/b)2 + (z/c)2 ~ 1, se sua densidade no ponto (x, y, z) é 
dada por 8 = 1 - (x/a)2 - (y/b)2 - (z/c)2. 
54. Seja R a região do primeiro quadrante delimitada pelas 
lemniscatas r2 = 3 cos 20, r2 = 4 cos 20 e 12 = 3 sen 20, r2 = 4 
sen 20 (Fig. 15 .PD.2). Mostre que sua área é A = (10 - 7 -fi. )/ 
4. [Sugestão: Defina a transformação T, do plano uv para o pla-
no r0, por r2 = u112 cos 20, r2 = V112 sen 20. Mostre primeiro que 
4 uv r =--
u + v' 
Mostre, em seguida, que 
1 u 1/2 
(J = 2 arctg v1 12· 
a(r, 0) _ 1 
a(u, v) - 16r(u + v) 312 • 
SEÇÃO 15 / Problemas Diversos 
y 
r 2 = 4sen20 
X 
Fig. 15.PD.2 A região R do Problema 54. 
55. Faz-se uma perfuração quadrada de 2 por 2, simetricamente 
através de uma esfera de raio -fj (Fig. 15.PD.3). (a) Mostre que 
a área total da superfície dos dois pedaços cortados da esfera é 
A= L1 8V3 arcsen(~) dx. 
Aplique então a regra de Simpson para obter uma aproximação 
desta integral. 
. · . , . dr d tr , s da esfera do Pro-F1g. 15.PD.3 Perfurando um onf1c10 qua a o a ave 
blema 55. 
. aJ na parte (a) é (b) (Difícil!) Mostre que o valor exato d_a mtegr artes e fa-
A = 47t( -fj - 1). [Sugestão: Integre prunerro por P ' 
ça então x =-fi sen 0.] rfí · 
56. Mostre que o volume delimitado pela supe cie 
x2/J + y2/J + z2/J = ª2/J 
é V= 47UZ3/35. [Sugestão: Faça y = b senJ 0.] f' . 
57. Mostre que o volume delimitado pela super ic1e 
xl /3 + yl /3 + z l/ 3 = al / 3 
é V= a 3/210. [Sugestão: Faça y = b sen6 0.] 
143 
CAPÍTULO Análise Vetorial 
16 
O Costuma-se citar Arquimedes, Newton e Carl Friedrich Gauss ( 1777-1855) como três matemáticos 
eminentes da história. Gauss foi um menino precoce em uma família pobre e de pouca instrução. Apren-
deu a calcular antes de falar, e a ler por si mesmo antes de ingressar na escola em seu ducado natal de 
Brunswick, Alemanha. Aos 14 anos de idade, recebeu uma bolsa do Duque de Brunswick, que lhe permi-
tiu prosseguir seus estudos. A essa altura, ele já estava familiarizado com a geometria elementar, a ál-
gebra e a análise. Com 18 anos, quando ingressou na Universidade de Gottingen, já tinha descoberto 
empiricamente o "teorema dos números primos", que afirma que o número de números primos p < n é 
cerca de n/(ln n). Este teorema só veio a ser demonstrado um século mais tarde. 
O Em seu primeiro ano na universidade, Gauss descobriu condições para a construção, com régua e 
compasso, de polígonos regulares, e demonstrou a construtibilidade do polígono regular de 17 lados ( o 
primeiro avanço nessa área desde a construção análoga do pentágono regular nos Elementos de Euclides 
2.000 anos antes). Em 1801, Gauss publicou seu grande tratado Disquisitiones arithmeticae, que resu-mia toda a teoria dos números da época e firmava as bases para as pesquisas do século XIX na área. 
Esse livro consagrou Gauss como matemático de estatura invulgar, mas outro evento veio novamente 
lançá-lo à celebridade. Em 1 de janeiro de 1801,foi observado o novo asteróide Ceres que, entretanto, 
desapareceu atrás do Sol um mês depois. Nos meses seguintes, os astrônomos perscrutaram em vão os 
céus, na busca do reaparecimento do Ceres. Foi Gauss quem desenvolveu o novo método de aproxima-
ção pelos mínimos quadrados, para predizer a órbita futura do asteróide, com base em um conjunto de 
observações. Quando, ao cabo de três meses, Gauss terminou seus cálculos, Ceres foi, pouco depois., 
localizado no ponto preciso que ele havia previsto. Todos estes fatos contribuíram para afama de Gauss 
como matemático e astrônomo com a idade de 25 anos. 
□ Em 1807, Gauss foi nomeado diretor do Observatório de Gottingen, onde permaneceu até sua morte. 
Seus trabalhos publicados daí em diante abrangiam a ciência física, embora seus artigos não publica-
dos mostrassem que ele continuava a trabalhar em matemática teórica, em tópicos que englobavam desde 
as séries infinitas e funções especiais até a geometria não-euclidiana. Seu trabalho sobre a forma da 
sup~ifície da Terra firmou a geometria diferencial, e seus estudos sobre os campos magnético e gravi-
taczonal da Terra incluíam resultados como o teorema da divergência (Seção 16.6), às vezes conhecido 
como teorema de Gauss. 
O O conceito de espaço-tempo curvo da teoria geral da relatividade de Albert Einstein remonta à des-
coberta da geometria não-euclidiana e às primeiras pesquisas de Gauss em geometria diferencial. Uma 
aplicação corrente da teoria da relatividade é o estudo dos buracos negros. Admite-se que o próprio 
espaço sof ra um severo encurvamento na região de um buraco negro, com sua imensa atração gravita-
cional - e a matemática necessária para analisar tal situação começa com a análise vetorial do Cap. 
16. 
16.1 
Campos Vetoriais 
y 
Fig. 16.1.1 O campo vetorial F(x, y) 
=xi+ yj. 
y 
Fig. 16.1.2 O campo vetorial de ve-
locidades v(x, y) = w( - y i + xj), para 
w = 1 (Exemplo 2). 
SEÇÃO 16. 1 / Campos Vetoriais 
Este capítulo discute tópicos do cálculo de campos vetoriais de importância para a 
ciência e a engenharia. Um campo vetorial definido em uma região T do espaço é 
uma função F com valores vetoriais que associa a cada ponto (x, y, z) de T um ve-
tor 
F(x, y, z) = iP(x, y, z) + jQ(x, y, z) + kR(x, y, z). (1) 
Pode-se descrever mais sucintamente o campo vetorial F em termos de suas funções 
componentes P, Q e R escrevendo-se F = (P, Q, R). Observe-se que P, Q e R são fun-
ções escalares (com valores reais). 
Um campo vetorial no plano é semelhante, à exceção do fato de não estarem en-
volvidas nem as componentes z nem as coordenadas z. Assim, um campo vetorial na 
região plana Ré uma função F, com valores vetoriais, que associa a cada ponto (x, y) 
de Rum vetor 
F(x, y) = iP(x, y) + jQ(x, y). (2) 
É útil habituar-se a imaginar um campo vetorial F. Para tanto, esboça-se uma cole-
ção de vetores típicos F(x, y), cada um representado por uma seta de comprimen-
to I F(x, y) 1 tendo (x, y) como seu ponto inicial. O Exemplo 1 ilustra este procedimen-
to. 
EXEMPLO 1 Descreva o campo vetorial F(x, y) =xi+ yj. 
Solução Para cada ponto (x, y) no plano coordenado, F(x, y) é simplesmente seu vetor 
posição. Aponta diretamente a partir da origem e tem comprimento 
/F(x, y) / =/ xi+ yj/ = v'x 2 + y 2 = r, 
igual à distância da origem a (x, y) . A Fig. 16.1.1 mostra alguns vetores típicos deste 
campo vetorial. 
Entre os campos vetoriais mais importantes nas aplicações estão os campos de ve-
locidade. Imagine o fluxo de um fluido estacionário, tal como a água em um rio ou o 
vento solar. Por fluxo estacionário se quer dizer que o vetor velocidade v(x, y, z) do 
fluido em cada ponto (x, y, z) é independente do tempo (embora não necessariamente 
independente de x, y e z), de modo que o fluxo permanece constante. Então, v(x, y, z) 
é o campo vetorial da velocidade do fluxo do fluido. 
EXEMPLO 2 Suponha que o plano xy, horizontal , esteja coberto por uma camada 
de água que revolve (como um rodamoinho) em tomo da origem com velocidade an-
gular constante de w radianos por segundo, no sentido anti-horário. Descreva o campo 
de vetores velocidade associado. 
Solução Neste caso, tem-se um campo vetorial bidimensional v(x, y ) . Em cada pon-
to (x, y), a água está se movendo com uma velocidade v = rw tangencial ao círculo de 
raio r = -J x2 + y 2 • O campo vetorial 
v(x, y) = w(- yi + xj) (3) 
tem comp1imento rw e aponta em uma direção em geral anti-horária, e 
v·r = w(- yi + xj)·(xi + y j) = O, 
de forma que v é tangente ao círculo que se acaba de mencionar. A Fig. 16.1.2 ilustra 
o campo de velocidade determinado pela Eq. (3). 
145 
X 
Fig. 16.1.3 Um campo de forças de 
quadrado inverso (Exemplo 3). 
146 
Igual importância na física têm os campos de força. Suponha-se que alguma cir-
cunstância (de caráter gravitacional ou elétrico, por exemplo) faça com que uma força 
F(x, y, z) atue em uma partícula quando colocada no ponto (x, y, z). Tem-se então um 
campo de forças F. O Exemplo 3 diz respeito ao que talvez seja o campo de forças 
mais comum percebido pelos seres humanos. 
EXEMPLO 3 Suponha-se uma massa M fixada na origem no espaço. Quando uma 
partícula de massa unitária é colocada no ponto (x, y, z) que não a origem, fica sujeita 
a uma força F(x, y, z) da atração gravitacional dirigida para a massa M na origem. Pela 
lei de Newton do inverso do quadrado da gravitação, o módulo de Fé F = GM/r, onde 
r = ,,j x 2 + y2 + z2 é o comprimento do vetor posição r = xi + yj + zk. Segue ime-
diatamente que 
kr 
F(x, y, z) = - - 3 , r (4) 
onde k = GM, porque este vetor tem não só módulo como direção corretos ( direção 
para a origem, porque Fé múltiplo de -r). Um campo de forças com a forma da Eq. 
(4) é chamado campo de forças de quadrado inverso. Note que F(x, y, z) não é defini-
do na origem e que IFI ~ oo quando r ~ o+. A Fig. 16.1.3 ilustra um campo de forças 
de quadrado inverso. 
O CAMPO VETORIAL GRADIENTE 
Na Seção 14.8, introduziu-se o campo vetorial gradiente da função com valores reais 
ft..x, y, z). É o vetor VJ definido como se segue: 
V/ = i af + . af + k a/. 
éJx J éJy éJz (5) 
As derivadas parciais no membro direito da Eq. (5) são calculadas no ponto (x, y, z). 
Assim, Vft..x, y, z) é um campo vetorial: É o campo vetorial gradiente da funçãof. De 
acordo com o Teorema 1 da Seção 14.8, o vetor Vft..x, y, z) aponta na direção em que a 
derivada direcional de f em (x, y, z) é máxima. Por exemplo, se f (x, y, z) é a tempera-
tura no ponto (x, y, z) do espaço, então se deve caminhar na direção Vft..x, y, z) para se 
aquecer mais rapidamente. 
A notação na Eq. (5) sugere a expressão formal 
(6) 
É proveitoso encarar V como um operador diferencial vetorial. Isto é, V é a operação 
que, quando aplicada à função escalar f, dá seu campo vetorial gradiente Vf. Esta ope-
ração se comporta, em muitas formas usuais e importantes, como a operação da dife-
renciação de uma única variável. A título de exemplo familiar deste fenômeno, lem-
bre-se de que, no Cap. 14, definiu-se como pontos críticos de uma função f de várias 
variáveis os pontos em que Vf(x, y, z) = O e os pontos em que Vf(x, y, z) não existe. 
Como exemplo útil, do ponto de vista computacional, suponha-se quef e g sejam fun-
ções e que a e b sejam constantes. Decorre então imediatamente de (5) e da linearidade 
da diferenciação parcial que 
V(a/ + bg} = aVf + bVg. (7) 
Assim, a operação gradiente é linear. Satisfaz também a regra do produto, conforme 
demonstrado no Exemplo 4. 
Cap. 16 / Análise Vetorial 
SEÇÃO 16. 1 / Campos Vetoriai s 
EXEMPLO 4 Dadas as funções diferenciáveis f(x, y, z) e g(x, y, z ) , mostre 
que 
V(fg) = f Vg + g Vf. (8) 
Solução Aplicando a definição da Eq. (5) e a regra do produto para a diferenciacão 
parcial, tem-se . ,V(fg) = i a(fg) + j a(fg) + k a(fg) 
ax ay az 
= i(fgx + gfx) + j{fgy + gfy) + k(jgz + gJ,.) 
= f · (ig, + jgy + kg,) + g · (ifx + jfy + kJ,.) = JVg + gVf, 
como se desejava. 
A DIVERGÊNCIA DE UM CAMPO VETORIAL 
Suponha-se a função com valores vetoriais 
F(x, y, z) = iP(x, y, z) + jQ(x, y, z) + kR(x, y, z) 
com funções componentes P, Q e R diferenciáveis. Então, a divergência de Fé a fun-
ção escalar div F definida como se segue: 
. aP aQ aR 
div F = V · F = - + - + - . ax ay az (9) 
Aqui, div é uma abreviação de "divergência", e a notação alternativa V · Fé consisten-
te com a expressão formal de V na Eq. (6). Isto é, 
\ 
a a a ) aP aQ aR V·F= - , -,- ·(P, Q,R)=-+-+-. 
ax ay az ax ay az 
Na Seção 16.7, será visto que se v é o campo de vetores velocidade do fluxo estacioná-
rio de um fluido, então o valor de div v em um ponto (x, y, z) é essencialmente a taxa 
líquida, por unidade de volume, à qual a massa de fluido está fluindo (ou "divergin-
do") do ponto (x, y, z). 
EXEMPLO 5 Se o campo vetorial F é dado por 
F(x, y, z) = (xeY)i + (z sen y)j + (xy ln z)k, 
então, P(x, y, z ) = xeY, Q(x, y, z) = z sen y, e R(x, y, z) = xy ln z. Logo, a Eq. (9) dá 
. a a a xy 
div F = - (xeY) + - (z sen y) + - (xy ln z) = eY + z cos y + - . 
ax ay az z 
Por exemplo, o valor de div F no ponto ( - 3, O, 2) é 
V· F(-3, O, 2) = eº + 2 cos O + O = 3. 
147 
148 
e 
Os análogos das Eqs. (7) e (8) para a divergência são as fórmulas 
V· (aF + bG) = aV · F + bV · G 
V · (/G) = (/)(V · G) + (V/) · G. 
(10) 
(11) 
Pede-se ao leitor que verifique estas fórmulas nos problemas. Observe-se que a Eq. 
(11)-em que fé uma função escalar e G é um campo vetorial - é consistente, no 
sentido de quefe V· G são funções escalares, enquanto Vfe G são campos vetoriais, 
de forma que a soma no membro direito tem sentido (e é uma função escalar). 
O ROTACIONAL DE UM CAMPO VETORIAL 
O rotacional do campo vetorial F = Pi + Qj + Rk é o campo vetorial seguinte, abre-
viado como rot F: 
(12) 
Calculando o determinante formal da Eq. (12), obtém-se 
rot F = •(ªR _ aQ) + J(ªp _ õR) + k(ªQ _ aP). (13) 
ay az az ax ax ay 
Embora o leitor possa querer memorizar esta fórmula, recomenda-se - por ser geral-
mente mais simples - que a estabeleça e calcule diretamente o determinante formal 
da Eq. (12). O Exemplo 6 mostra como isto é fácil. 
EXEMPLO 6 Para o campo vetorial F do Exemplo 5, a Eq. (12) dá 
rot F = 
i 
a 
ax 
J 
a 
ay 
k 
a 
az 
xe' z seny xy ln z 
= i(x ln z - seny) + j(-y ln z) + k(-xe'). 
Em particular, o valor de rot F no ponto (3, TT/2, e) é 
V X F(3, 'ff'/2, e) = 2i - ½TTJ - 3e.,12k. 
Na Seção 16.7, será visto que se v é o vetor velocidade do fluxo de um fluido, então 
o valor do vetor rot v no ponto (x, y, z) ( onde aquele vetor é não-nulo) determina o eixo 
por (x, y, z) em torno do qual o fluido está girando ( ou redemoinhando) e a velocidade 
angular da rotação. 
As análogas das Eqs. (10) e (11) são as fórmulas 
V x (aF + bG) = a(V X F) + b(V X G) (14) 
e 
V X (/G) = {/)(V X G) + (V/) X G (15) 
que se pede para verificar nos problemas. 
Cap. 16 / Análise Vetorial 
16.1 Problemas 
EXEMPLO 7 Se a função f(x, y, z) tem derivadas parciais de segunda ordem contí-
nuas, mostre que 
rot (grad /) = O. 
Solução Um cálculo direto dá 
i j k 
a a a 
V x V/= ax ay az 
af af af 
ax ay az 
_ i( rfL _ a2f ) + J·( rfL _ a2f ) + k( a2f _ fl ) 
- ayaz azay azax axaz axay ayax · 
Portanto, 
V X V/= O 
em razão da igualdade das derivadas parciais cruzadas de segunda ordem. 
Na Seção 16.2, serão definidas integrais curvilíneas, que têm aplicação (por exem-
plo) no cálculo do.trabalho realizado por um campo de força ao mover uma partícula 
ao longo de uma trajetória curva. Na Seção 16.5, serão discutidas integrais de superfí-
cie, utilizadas (por exemplo) no cálculo da taxa à qual um fluido com campo vetorial 
de velocidade conhecido se desloca através de uma superfície. Os três teoremas bási-
cos do cálculo integral vetorial- o teorema de Gree (Seção 16.4 ), o teorema da diver-
gência (Seção 16.6) e o teorema de Stokes (Seção 16.7) - desempenham o mesmo 
papel nas integrais curvilíneas e de superfície que o teorema fundamental do cálculo 
nas integrais usuais de uma variável. 
Nos Problemas 1 a 1 O, ilustre o campo vetorial F dado esboçando 
vários vetores típicos do campo. 
14. F(x, y, z) = x 2i + y2J + z2k 
15. F(x, y, z) = xy2i + yz2J + zx2k 
1. F(x, y) = i + J 
2. F(x, y) = 31 - 2J 
3. F(x, y) = xi - yj 
4. F(x, y) = 2i + xj 
S. F(x, y) = (x2 + y2)1/2(xi + yj) 
6. F(x, y) = (x2 + y2)-1/2(xl + yj) 
7. F(x, y, z) = J + k 
8. F(x, y, z) = 1 + J - k 
9. F(x, y, z) = -xi - yj 
10. F(x, y, z) = xi + yj + zk 
Nos Problemas 11 a 20, calcule a divergência e o rotacional do 
campo vetorial F dado. 
11. F(x, y, z) = xi + yj + zk 
12. F(x, y, z) = 3xi - 2yj - 4zk 
13. F(x, y, z) = yd + xd + xyk 
SEÇÃO 16.1 / Campos Vetoriais 
16. F(x, y, z) = (2x - y)i + (3y - 2.-;)J + (7z - 3x)k 
17. F(x, y, z) = (y2 + z2)i + (x2 + zZ)J + (x2 + y2)k 
18. F(x, y, z) = (e.z' seny)J + (e"" cos z)k 
19. F(x, y, z) = (x + sen yz)I + (y + sen xz)J 
· + (z + senxy)k 
20. F(x, y, z) = (x2e-')i + {y3 ln x)J + (z cosb y)k 
Aplique as definições de gradiente, divergência e rotacional para 
estabelecer as identidades nos Problemas 21 a 27, onde a e b 
denotam constantes,/ e g denotam funções escalares diferenciá-
veis e F e G denotam campos vetoriais diferenciáveis. 
21. V(a/ + bg) = aV/ + bVg 
22. V•(aF + bG) = aV•F + bV • G 
23. V x (aF + bG) = a(V x F) + b(V x G) 
24. V•(/G) = (/)(V•G) + (V/)·G 
25. V x (/G) = (/)(V x G) + (V/) X G 
149 
26. v(l) = gVf - fVg 
g g2 
33 e 34 implicam que tanto a divergência como o rotacional de 
um campo vetorial de quadrado inverso se anulam identicamente. 
27. V· (F x G) = G· (V X F) - F · (V x G) 
Estabeleça as identidades nos Problemas 28 a 30, sob a hipóte-
se de que as funções escalares f e g e o campo vetorial F sejam 
duas vezes diferenciáveis. 
31. V· r = 3 e V x r = O 
32.V•(axr)=0 eVx(axr)=2a 
r r 
28. div(rot F) = O 
33. V· 3 = O r 34. V X 3 = O r 
29. div(Vfg) = f div(Vg) + g div(Vf) + 2(VJ) · (Vg) 
r 
35. Vr = -
r 
36. v(.!.) = -~ r ,-3 
30. div(Vf x Vg) = O 
38. V· (Vr) = O 
Verifique as identidades nos Problemas 31 a 40, nos quais a é 
um vetor constante, r = xi + yj + zk, e r = lrl. Os Problemas 
37. V·(rr) = 4r 
r 
39. V(ln r) = 2 r 
16.2 
Integrais Curvilíneas 
Para motivar a definição de integral curvilínea, imagine-se um fio delgado em for-
ma de uma curva suave C, com extremidades A e B (Fig. 16.2.1 ). Suponha-se que o fio 
tenha densidade variável, dada no ponto (x, y, z) pela função contínua conhecidaflx, y, 
z), em unidades tais como gramas por centímetro (linear). Seja 
X 
z 
A 
X = x(t), y = y(t), z = z(t), tem[a, b] (1) 
uma parametrização suave da curva C, com t = a correspondendo ao ponto inicial A 
da curva, e t = b ao ponto terminal B. 
Para obter uma aproximação da massa total m do fio curvo, começa-se com uma 
partição 
y de [a, b] em n subintervalos, todos com o mesmo comprimento /:,,.t = (b - a)ln. Estes 
pontos de subdivisão de [a, b] produzem, pela parametrização utilizada, uma divisão 
física do fio em pequenos segmentos curvilíneos (Fig. 16.2.2). Denote-se por P;o pon-
to (x(t;), y(t;), z(t;)) parai= O, l, 2, ... , n. Então, os pontos P0 , P 1, ••• , P,,são os pontos de 
subdivisão de C. 
Fig. 16.2.1 Um fio de densidade va-
riável, com a forma de uma curva su-
ave C. 
X 
--L-.1..--'---..L' ~._I -----'--..LI---· t 
t; _ 11 I; 'n- 1 b = ln 
r; 
Fig. 16.2.2 A partição do intervalo [a, b] determina uma partição correspondente da curva Cem pequenos 
arcos. 
150 Cap. 16 / Análise Vetorial 
SEÇÃO 16.2 / Integrais Curvilíneas 
Pelo estudo de comprimento de arco nas Seções 12.2 e 13.4, sabe-se que o compri-
mento do arco Lis;do segmento de C de P;_, a P; é 
lls; = r Y[x'(t)]2 + [y'(t)]2 + [z'(t)]2 dt 
fj-\ 
= Y[x'(tt)]2 + [y'(tt)] 2 + [z'(tt)]2 llt (2) 
para algum número t; no intervalo [t;_ 1, t;]. É uma conseqüênciado teorema do valor 
médio para integrais da Seção 5.5. 
Caso se multiplique a densidade no ponto (x; , y;, z;) pelo comprimento Lis; do seg-
mento de C que contém aquele ponto, obtém-se uma estimativa da massa daquele seg-
mento de C. Assim, após somar sobre todos os segmentos, tem-se uma estimativa da 
massa total m do fio: 
n 
m = 2' J(x(tt), y(tt), z(tt)) D.s;. 
i=I 
O limite desta soma, quando Lit .- O, deve ser a massa real m. Esta é a motivação para 
a definição de integral curvilínea da função f ao longo da curva C, denotada por 
1, 
11 
li 
f J(x, y, z) ds . 
e 
Definição Integral Curvilínea em relo,ção ao Comprimento de Arco 
Suponha-se que a função ftx, y, z) seja contínua em todos os pontos da curva 
paramétrica suave C, de A até B, conforme dado em (1). Então. a integral curvi-
línea de/ ao longo de C de A a B, em relação ao comprimento de arco, se 
define como 
f f(x, y, z) ds = lim ± J(x(tn, y(tf), z(r;*)) âs;. e ~-o i - 1 (3) 
Substituindo-se a Eq. (2) na Eq. (3), reconhece-se o resultado como o limite de uma 
soma de Riemann. Portanto, 
f f(x, y, z) ds = r J(x(t), y(t), z(t))-V[x'(t)]2 + [y'(t)]2 + [z ' (t)] 2 dt. (4) 
e a 
Assim, pode-se calcular a integral curvilínea J e f(x, y, z) ds expressando-se tudo em 
termos do parâmetro t, inclusive o elemento simbólico de comprimento de arco 
ds = Y [x'(t)]2 + [y'(t)]2 + [z'(t)]2 dt. 
O resultado - o membro direito da Eq. (4) - é uma integrai simples em relação à 
variável real (única) t. 
151 
152 
Uma curva C no plano xy pode ser considerada como uma curva no espaço para a 
qual z [e z'(t)] são ambas zero. Em tal caso, suprime-se a variável z na Eq. (4) e escre-
ve-se 
f J(x, y) ds = f b J(x(t), y(t))Y[x'(t)]2 + [y'(t)] 2 dt. 
e a 
EXEMPLO 1 Calcule a integral curvilínea 
f xy ds, 
e 
(5) 
onde C é o quarto de círculo do primeiro quadrante parametrizado por x = cos t, y = 
sen t, O < t < -rr/2. 
Solução Aqui 
ds = Y(-sent)2 + (cos t)2 dt = dt, 
e assim a Eq. (5) dá 
f f'fr/2 cxyds= 
0 
costsentdt= 
Retorne-se agora ao fio físico e denote-se sua função de densidade por p(x, y, z). A 
massa de um pequeno pedaço !J.s é !J.m = p !J.s e, assim, escreve-se 
dm = p(x, y, z) ds 
como seu elemento (simbólico) de massa. Então, a massa m do fio e seu centróide 
(.x, ji, z) se definem como a seguir: 
m = L dm = L p ds, 
x=.!.fxdm, 
m e 
y = .!. f y dm, 
m e 
z = .!. f z dm. 
m e 
(6) 
Observe-se a analogia com as Eqs. (2) e (4) da Seção 15.6. O momento de inércia do 
fio em relação a um eixo dado é 
1 = f w 2 dm, 
e 
(7) 
onde w = w(x, y, z) denota a distância perpendicular do ponto (x, y, z) do fio ao eixo 
em questão. 
EXEMPLO 2 Determine o centróide de um fio que tem densidade p = kz e a forma 
da hélice C parametrizada por 
X= 3 COS t, y = 3 sen t, z = 4t, o::: t ~ Tr. 
Cap. 16 / Análise Vetorial 
SEÇÃO 16.2 / Integrais Curvilíneas 
Solução O elemento de massa do fio é 
dm = p ds = kz ds = 4kt'V(-3 sen t)2 + (3 cos t)2 + 42 dt = 20kt dt. 
Assim, as fórmulas em ( 6) dão 
m = L p ds = f r 20kt dt = 10k'7T2; 
1 J 1 fb x = - pxds = -- · 60ktcos tdt 
m e 10k'7T2 ª 
6 [ ]11' 12 = 2 cos t + t sen t = - 2 == -1,22; 
'7T o '7T 
1 J 1 fb y = m e py ds = lOk'7T2 ª 60kt sen t dt 
6 [ ]11' 6 = 2 sen t - t cos t = - == 1,91; 
'7T o '7T 
1 f 1 fb 8 [1 ]., 8'71' z = - pz ds = --2 80kt2 dt = -2 -t3 = 3 =8,38. m e IOk'7T ª 7r- 3 0 
O centróide do fio está, pois, localizado no ponto de coordenadas aproximadas ( -1,22, 
1,91, 8,38). 
INTEGRAIS CURVILÍNEAS EM RELAÇÃO A VARIÁ VEIS 
COORDENADAS 
Obtém-se um tipo diferente de integral curvilínea substituindo-se ll.s;na Eq. (3) por 
!:ix, = x(t;) - x(t,-1) = x'(ti") l:it. 
Define-se a integral curvilínea de/ ao longo de C em relação a x como 
f f(x, y, z) dx = lim f f(x(t?' ), y(ti"), z(ti")) !:ix,. C 41....0 i=l 
Assim, 
f f(x, y, z) dx = Jb f(x(t), y(t), z(t)) x'(t) dt. 
e a 
(8a) 
Da mesma forma, as integrais curvilíneas de/ ao longo de C em relação a y e em 
relação a z são dadas por 
f f(x, Y, z) dy = f b f(x(t), y(t), z(t)) y'(t) dt 
e a 
(8b) 
e 
f f(x, Y, z) dz = f b f(x(t), y(t), z(t)) z'(t) dt. 
e a 
(8c) 
153 
154 
As três integrais em (8) ocorrem tipicamente em conjunto. Se P, Q e R são funções 
contínuas das variáveis x, y e z, então se escreve (na realidade, define-se) 
(9) 
As integrais curvilíneas nas Eqs. (8) e (9) são calculadas expressando-se x, y, z, dx, dy 
e dz em termos de t, por meio de uma parametrização adequada da curva C. O resulta-
do é uma integral usual de uma variável. Por exemplo, se C é uma curva plana parame-
trizada no intervalo [a, b] por r(t) = (x(t), y(t)), então 
f P dx + Q dy = fb[P(x(t), y(t)) x'(t) + Q(x(t), y(t)) y'(t)] dt. 
e a 
EXEMPLO 3 Calcule a integral curvilínea 
Í, y dx + z dy + x dz, 
e 
C sendo a curva paramétricax = t, y = t2, z = t3, O< t < I. 
Solução Como dx = dt, dy = 2t dt, e dz = 3t2 dt, a substituição em termos de t dá 
( y dx + z dy + x dz = f t 2 dt + t 3(2t dt) + t(3t2 dt) 
Jc o 
= f (t2 + 3t3 + 2t4) dt 
= [ t t3 + ¾ t4 + I t5 I = ~. 
Há uma diferença importante entre a integral curvilínea da Eq. ( 4) em relação ao 
comprimento de arcos e as integrais curvilíneas na Eq. (9) em relação às variáveis 
coordenadas x, y e z. Suponha-se que se inverta a orientação da curva C (a direção em 
que ela é traçada com o crescer de t). Então, em virtude dos termos x'(t), y'(t) e z'(t) 
nas Eqs. (8), o sinal da integral curvilínea na Eq. (9) se modifica. Mas esta inversão de 
orientação não altera o valor da integral curvilínea na Eq. (4). Pode-se, portanto, es-
crever 
J fds = f fds, 
-e e 
(10) 
em contraste com a fórmula 
J Pdx + Qdy + Rdz = -f Pdx + Qdy + Rdz. 
-e e 
(11) 
Aqui, o símbolo -C denota a curva C com sua orientação invertida ( de B a A, e não de 
A a B). Demonstra-se em cálculo avançado que, para ambos os tipos de integral curvi-
línea, duas parametrizações biunívocas da curva suave C que tenham a mesma orien-
tação dão o mesmo valor. 
Se a curva C consiste em um número finito de arcos de curva suaves unidos em pontos 
angulosos consecutivos, diz-se que C é parcialmente suave. Então, o valor de uma 
Cap. 16 / Análise Vetorial 
y y = x2 
(2,4) 
X 
Fig. 16.2.3 Os três arcos do Exemplo 
4. 
SEÇÃO 16.2 / Integrais Curvilíneas 
integral curvilínea ao longo de C se define como a soma de seus valores ao longo dos 
segmentos suaves de C. 
EXEMPLO 4 Calcule a integral curvilínea 
f ydx + 2xdy 
e 
para cada uma das três curvas C a seguir (Fig. 16.2.3): 
C1: O segmento de reta no plano, deA(l, 1) a B(2, 4); 
C2: A trajetória plana de A(l, 1) a B(2, 4) ao longo do gráfico da parábola y = x2; e 
C3: A reta no plano de A(l, 1) e Q(2, 1) seguida pela reta de Q(2, 1) a B(2, 4). 
Solução O segmento retilíneo C1 de A a B pode ser parametrizado por x = 1 + t, y = 
1 + 3t, O < t < 1. Logo 
f y dx + 2x dy = f 1 (1 + 3t) dt + 2(1 + t)(3 dt) 
C1 o 
= f (7 + 9t) dt = ~-
Em seguida, o arco C2 da parábola y = i2 de A a B é "autoparametrizado": Tem a 
parametrização x = x, y = i2, 1 ~ x < 2 e, assim, 
f y dx + 2x dy = f2(x2)(dx) + 2(x)(2x dx) = f2 5x2 dx = ~-
ci 1 1 
Finalmente, ao longo do segmento de reta de (1, 1) a (2, 1), tem-se y = 1 e (porque 
y é constante) dy = O. Ao longo do segmento vertical de (2, 1) a (2, 4) tem-se x == 2 e 
dx = O. Portanto, 
f y dx + 2x dy = J\(l)(dx) + (2x)(0)] + J\(y)(O) + (4)(dy)] 
C3 1 1 
= r 1 dx + [ 4 dy = 13. 
1 1 
O Exemplo 4 mostra que podem-se obter valores diferentes para a integral curvilí-
nea de A a B se for calculada ao longo de diferentes trajetos ligando aqueles pontos. 
Assim, esta integral curvilínea depende do trajeto. Na Seção 16.3 será dada uma con-
dição suficiente para que a integral curvilínea 
LPdx+Qdy+Rdz 
tenha o mesmo valor para todas as curvas suaves de A a B, sendo, então, independente 
do trajeto. 
INTEGRAIS CURVILÍNEAS E TRABALHO 
Suponha-se agora que F = Pi + Qj + Rk seja um campo de forças definido em uma 
região que contém a curva C que liga o ponto A ao ponto B. Suponha-se também que 
C admita aparametrização 
r(t) = ix(t) + Jy(t) + kz(t), tem[a, b], 
155 
156 
com vetor velocidade não-nulo 
.dx .dy kdz 
v=•dt+Jdt+ dt. 
A velocidade (escalar) associada a este vetor velocidade é 
Recorde-se, da Seção 13.5, que o vetor unitário tangente à curva C é 
Deseja-se obter uma aproximação do trabalho W realizado pelo campo de força F 
ao mover uma partícula ao longo da curva C de A a B. Subdivide-se C conforme indi-
cado na Fig. 16.2.4, e imagina-se F movendo a partícula de P;-i a P;, dois pontos de 
divisão consecutivos de C. O trabalho /l. W;realizado é aproximadamente o produto da 
distância Íl.s; de P;-i a Pi (medida ao longo de C) e da componente tangencial F · T da 
força F em um ponto genérico (x (t;), y (t;), z (t;)) entre P;_1 e Pi. Assim, 
!l.W, = F(x(tl" ), y(tl" ), z(tl")) • T(tl"} Íl.si, 
e o trabalho total W é dado aproximadamente por 
n 
W = ~ F(x(tl"), y(tf), z(t,*)} • T(tl") .âs,. 
l=I 
Esta aproximação sugere que se defina o trabalho W como 
(12) 
Assim, o trabalho é a integral, em relação ao comprimento de arco, da componente 
tangencial da força. Intuitivamente, pode-se considerar dW = F · T ds como o ele-
mento infinitesimal de trabalho realizado pela componente tangencial F · T da força 
ao mover a partícula ao longo do elemento de arco ds. A integral curvilínea na Eq. (12) 
é então a "soma" de todos esses elementos infinitesimais do trabalho. 
Fig. 16.2.4 A componente de F ao longo de C de P1_1 a P; é F · T. 
Cap. 16 / Análise Vetorial 
f 
SEÇÃO 16.2 / Integrais Curvilíneas 
É costume escrever formalmente 
r = xi + yj + zk, dr = i dx + j dy + k dz, 
e 
T d ( dx. dy . dz k) d d s = -1 + -J + - s = r. 
ds ds ds 
Com esta notação, a Eq. (12) toma a forma 
W = t F•dr (13) 
que é comum em textos de engenharia e física. 
Para calcular a integral curvilínea nas Eqs. (12) ou (13), expressamos seu integran-
do em termos do parâmetro t, como habitualmente. Assim, 
W = J F·T ds 
e 
= Jb(Pi + Qj + Rk)·!(dxi + dyj + dzk)v dt 
V dt dt dt 
a 
Jb( dx d dz) = P - + Q .l'. + R - dt. dt dt dt 
a 
Portanto, 
W = J P dx + Q dy + R dz. 
e 
(14) 
Este cálculo revela uma relação importante entre os dois tipos de integral curvilínea 
que definimos aqui. 
1 
li 
Teorema 1 lntegrais Curvilíneas Equivale11tes 
Suponha que o campo vetorial F = Pi + Qj + Rk tenha funções componentes 
c0ntínuas e que T seja o vetor unitário tangente à curva suave C. Então 
{ F · T ds = { P dx + Q dy + R dz. (15) 
OBSERVAÇÃO Invertendo-se a orientação da curva C, muda-se o sinal da integral 
do membro direito da Eq. (15), conforme a Eq. (11), enquanto o sinal da integral do 
membro esquerdo é trocado porque T é substituído por -T. 
EXEMPLO 5 O trabalho realizado pelo campo de forças F = yi + zj + xk ao mo-
ver uma partícula de (O, O, O) a ( 1, 1, 1) ao longo da cúbica reversa x = t, y = t2 , z = t3 
é dado pela integral curvilínea 
W = J F · T ds = J y dx + z dy + x dz, 
e e 
no Exemplo 3 calculamos o valor desta integral curvilínea. Logo, W = Po-. 
157 
EXEMPLO 6 Ache o trabalho realizado pelo campo de forças de quadrado inverso 
kr k(xi + yj + zk) 
F(x, y, z) = ~ = (x2 + Y2 + z2)3/2 
ao mover uma partícula ao longo do segmento de reta C do ponto (0, 4, O) ao ponto (O, 
4, 3). 
Solução Ao longo de C, tem-se x = O, y = 4 e z variando de O a 3. Escolhe-se, pois, 
z como parâmetro: 
x=O, y=4 e z = z, O< z < 3. 
Como dx = O = dy, a Eq. (14) dá 
k(x dx + y dy + z dz) kz f f3 
W = e (x2 + Y2 + z2)J/2 = 0 (l6 + z2)3/2 dz 
[ -k ]
3 k 
= V16 + z2 º = 20. 
16.2 Problemas 
Nos Problemas 1 a 5, calcule as integrais curvilíneas 
Lt(x, y) ds, Lt(x, y) dx e Lt(x, y) dy_ 
ao longo da curva paramétrica indicada. 
1. /(x, y) = x2 + y 2; x = 4t - 1, y = 3t + 1, -1 :ã t :ã 1 
2. f(x, y) = x; x = t, y = t 2, O ~ t ~ I 
3• f(x, y) = x + y; x = e' + 1, y = e' - 1, O~ t ~ ln 2 
4• f(x, y) = 2x - y; x = sen t, y = cos t, O ~ t ~ 'll'/2 
S. f(x, y) = xy; x = 3t, y = t4, O ~ t :ã I 
6• Calcule J cxy dx + (x + y) dy, onde C é a parte do gráfico de 
Y = x2 de (-1, 1) a (2, 4). 
7• Calcule J e y2 dx + x dy, C sendo a parte do gráfico de x = -y3 
de (-1, -1) a (1, 1). 
8• Calcule f cy-Jx dx + x-Jx dy, C sendo a parte do gráfico 
de y2 = x3 de (1, 1) a (4, 8). 
_9• Calcule a integral curvilínea J crJ dx + xy3 dy, onde C con-
siste dos segmentos retilíneos de ( -1, 1) a (2, 1) e de (2, 1) a 2, 5). 
lO. Calcule J c(x + 2y) dx + (2x - y) dy, C consistindo nos seg-
mentos de reta de (3, 2) a (3, -1) e de (3, -1) a (-2, -1). 
Nos Problemas 11 a 15, calcule a integral curvilínea f cF • T ds 
ao longo do trajeto e indicado. 
11. F = zi + xj - yk; e é parametrizada por x = t, y = f-, z = t3, 
O~t~I. 
158 
12. F = yzi + xzj + xyk; C é o segmento de reta de (2, -1, 3) a 
(4, 2, -1). 
13. F = yi - xj + zk; x = sen t, y = cos t, z = 2t, O ~ t ~ 'li'. 
14. F = (2x + 3y)i + (3x + 2y)j + 3z2k; C é a trajetória do pon-
to (O, O, O) ao ponto (4, 2, 3) que consiste em três segmentos 
retilíneos paralelos ao eixo x, ao eixo y e ao eixo z, nessa ordem. 
15. F = yz2i + xz2j + 2.xyzk; C é o trajeto do ponto (-1, 2, -2) 
ao ponto (1, 5, 2) que consiste em três segmentos retilíneos pa-
ralelos ao eixo z, ao eixo x e ao eixo y, nessa ordem. 
Nos Problemas 16 a 18, calcule J cf( x, y, z) ds para a função ft.x, 
y, z) e o trajeto C dados. 
16.j{x, y, z) = xyz; C é o segmento retilíneo de (1, -1, 2) a (3, 2, 
5). 
17.f(x, y, z) = 2x + 9.xy; C é a curva x = t, y = t2, z = t3, O~ t 
~ 1. 
18.f(x, y, z) = xy; C é a hélice elíptica x = 4 cos t, y = 9 sen t, z 
= 1t, O ~ t ~ 57112. 
19. Ache o centróide de um fio delgado uniforme com a forma 
do semicírculox2 + y2 = a 2, y ~ O. 
20. Ache os momentos de inércia, em relação aos eixos x e y, do 
fio do Problema 19. 
21. Ache a massa e o centróide de um fio de densidade constante 
p = k e com a forma da hélice x = 3 cos t, y = 3 sen t, z = 4t, O 
~t~2'11'. 
22. Ache o momento de inércia, em relação ao eixo z, do fio do 
Exemplo 1 desta seção. 
23. Um fio como a parte do primeiro quadrante do círculo x2 + 
y2 = a2 tem densidade p = kxy no ponto (x, y). Determine sua 
massa, seu centróide e seu momento de inércia em relação a cada 
eixo coordenado. 
24. Ache o trabalho realizado pelo campo de força de quadrado 
inverso do Exemplo 6, ao mover uma partícula de ( 1, O, O) a (O, 
Cap. 16 / Análise Vetorial 
3, 4). Integre primeiro ao longo do segmento retilíneo de 1, O, O) 
a (5, O, 0) e, em seguida, ao longo de um trajeto sobre a esfera de 
equação x2 + y 2 + z2 = 25. A segunda integral é automaticamente 
zero. (Por quê?) 
25. Imagine um fio infinitamente longo e uniformemente car-
regado que coincide com o eixo z. A força elétrica que ele 
exerce sobre uma carga unitária no ponto (x, y) * (0, O) no 
plano xy é 
F( )=k(xi+yj) 
X, y X2 + y2 
Detennine o trabalho realizado por F ao mover uma carga unitá-
ria ao longo do segmento de reta de (a) (1, O) a (1 , 1); (b) de (1 , 
1) a (O, 1). 
26. Mostre que, se Fé um campo de força constante, então exer-
ce um trabalho zero sobre uma partícula que percorre uma vez, 
em sentido anti-horário, o círculo unitário no plano xy. 
27. Mostre que se F = kr = k(xi + yj) , então F realiza trabalho 
zero sobre uma partícula que percorre uma vez, uniformemente 
no sentido anti-horário, o círculo unitário no plano xy. 
28. Ache o trabalho realizado pelo campo de forças F = - y i + 
xj ao fazer uma partícula percorrer, no sentido anti-horário, uni-
formemente, uma vez, o círculo unitário no plano xy. 
29. Seja C uma curva na esfera unitária x2 + y 2 + z2 = 1. Expli-
que por que o campo de forças de quadrado inverso do Exemplo 
6 realiza trabalho zero ao mover uma partícula ao longo de C. 
Nos Problemas 30 a 32, a curva dada C une os pontos P e Q no 
plano xy. O ponto P representa o cimo de um edifício de dez an-
dares, e Q é um ponto no solo a 100 ft da base do edifício. Uma 
pessoa pesando 150 lb escorrega, sem atrito, de P a Q, por um 
escorregador com a forma da curva, sob a influência da for-
ça gravitacional F = - 150j. Em cada