Exercicios de Cálculo Roteiro 4

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Física Contemporânea I – Roteiro de aula 4 – Derivadas Parciais. 
 
Licenciatura em Física – Faculdades Oswaldo Cruz 1 
3.0 – DERIVADAS PARCIAIS. 
 
3.1 – Funções de duas Variáveis ou mais – Derivadas Parciais 
Consideremos, uma função de duas variáveis definida em ( ) 2D f Ì ! com valores em ! e 
( )0 0,x y um ponto do domínio. 
A derivada parcial de f em relação a x , no ponto ( )0 0,x y que representaremos por 
( )0 0,
f x y
x
¶
¶
 é a derivada da função de uma variável 0 0( ) ( , )x f x yj = no ponto 0x . 
0 0 0( , ) ( )
f dx y x
x dx
j¶
=
¶
 , ou seja, 
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
( ) ( ) ( , ) ( , )( , ) lim lim
x x
x x x f x x y f x yf x y
x x x
j j
D ® D ®
+ D - + D -¶
= =
¶ D D
 
Analogamente, a derivada parcial de f em relação a y no ponto )y,x( 00 , que representare-
mos por ( )0 0,
f x y
x
¶
¶
 é a derivada da função de uma variável )y,x(f)y( 0=y no ponto 0y . 
0 0 0( , ) ( )
f dx y y
y dx
y¶
=
¶
, ou seja, 
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
( ) ( ) ( , ) ( , )( , ) lim lim
y y
y y y f x y y f x yf x y
y y y
y y
D ® D ®
+ D - + D -¶
= =
¶ D D
 
 
EXERCÍCIOS: 
33) Calcule as derivadas parciais 
 
f
x
¶
¶
 e 
 
f
y
¶
¶
, nos pontos indicados: 
a) ( ) 2, 7f x y x y= - em ( )0,1 ; 
b) ( ), 1 3f x y xy= - em ( )1,2 ; 
c) ( ) 2 3 7, 2f x y x x y= + em ( )1,0 ; 
d) ( ) 2 2 3, 7 7f x y xy x y= - em ( )1,1 . 
 
34) Calcule as derivadas parciais 
 
f
x
¶
¶
 e 
 
f
y
¶
¶
: 
a) ( ) 5 3, 3 5 +13f x y x y= - 
b) ( ) 2 5, 7 7f x y x y= - - 
c) ( ) 3 7 2, 5 4f x y x y xy= + + 
d) ( ) 2 2, f x y ax bxy cy= + + 
e) 
11
322 2( , )f x y x xy x y= + + 
f) ( ) 2 75,f x y x y= 
g) 
3 23
1 ( , )f x y
x y
= 
h) ( ) ( )2, cosf x y x y= × 
i) ( ) ( )3, sen 2f x y y x= × 
j) ( ), x yf x y e ×= 
k) ( )2( , ) tanf x y y x= × 
l) ( )( , ) 3 cos 7f x y x y= × 
m) ( ) 2 7, x yf x y e += 
n) ( ) ( )2, cosxf x y e y= × 
o) ( ) ( )2 2, senf x y x y= + 
p) ( ) 2 2,f x y x y= + 
q) ( ) 2 2,
x yf x y
x y
+
=
+
 
r) ( )
2 2
1,f x y
x y
=
+
 
s) ( )
7
3,
x
xf x y e
+
+= 
t) ( ), x yf x y e ×= 
u) ( ) ( )2 2, lnf x y x y= + 
 
35) Calcule as derivadas parciais 
 
f
x
¶
¶
 e 
 
f
y
¶
¶
: 
a) ( ), yf x y xe x= + 
b) ( )
2 2
1,
3
f x y
x y
=
- -
 
c) ( ) 2 2 2, 3 3 2f x y x y y x= + - + 
d) 2 2( , ) ln f x y x y= + 
e) ( , ) x yf x y e y xe= + 
f) 2( , ) sen( ) f x y x xy= × 
g) 2( , ) sen( )yf x y x e xy= + 
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h) ( , ) cos(3 2 )f x y x x y= × + 
i) 2 2( , ) 100 2f x y x y x= - - 
j) ( )2( , ) ln 1f x y x y= + - 
k) ( ) 2 2, 9f x y x y= - - 
l) ( ) 2 2, 10 2f x y x y= - - 
m) ( ) ( ), x yf x y e y+= + 
n) ( ) 2 2, 4f x y x y= + 
o) ( ) 2 2, 20 9f x y x y= + - - 
p) ( ) 2 2, 35 9f x y x y= + + - 
q) ( ) 2 2, 2 8 +15 f x y x y= + 
r) ( ) 2 2,f x y x y= - 
s) ( )
2 2
12,
25
f x y
x y
=
- -
 
t) ( ) 2
2 2
1,
30
f x y y
x y
= +
- -
 
u) ( ) 2 2, ln 12f x y x y= + - 
v) ( ) ( )2, ln 2 3f x y x y= - + 
w) 2 2( , ) f x y yx y x= + 
 
 
3.2 – Significado Geométrico 
Seja f uma função definida em I Ì ! e 0x um ponto de I . 
Do Cálculo de funções de uma variável, temos: 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) lim
x
df f x x f xx f x
dx xD ®
+ D -æ ö¢= = ç ÷Dè ø
 e, 
sabemos que este número nos indica a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de 
abscissa 0x . 
Consideremos agora uma função f de duas variáveis definida em 2f IRD Ì e 0 0( , ) fx y DÎ . 
 
Sabemos que: 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( ) e ( , ) ( )
f d f dx y x x y y
x dx y dy
j y¶ ¶
= =
¶ ¶
. 
A partir do gráfico de f , buscaremos uma interpretação para o número real 0 0 ( , ) 
f x y
x
¶
¶
: 
 z 
 Gráfico de f 
 
 
 
 y 
 
 x 
 
 
Quando derivamos f em relação a x , y é uma constante e é igual a 0 y : 
 z 
 
 plano y = 0y 
 
 
 y 
 
 
 x 
 
 
 
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Agora vamos fazer a intersecção do gráfico de f com o plano 0 y y= : 
 
 O gráfico de reta tangente 
)y,f(x)x( 0=j 
 0z 
 
 
 
 
 0y 
 0x 
 ( 0x 0y ) 
 
 
 Na intersecção do gráfico de ( , )f x y com o plano 0y y= , obteremos o gráfico de 0( ) ( , )x f x yj = , 
podemos concluir que o número )(x 
dx
d )y,x(
x
f 000
j
=
¶
¶ é a inclinação da reta tangente ao gráfico 
de 0( ) ( , )x f x yj = no ponto 0 0 0 0 0( , ) ( , ( , ))x z x f x y= 
 
 Analogamente, teremos que 0 0 0( , ) ( )
f dx y y
y dyy¶
=
¶
 é a inclinação da reta tangente ao gráfico de 
0( ) ( , )y f x yy = no ponto 0 0 0 0 0( , ) ( , ( , ))y z y f x y= 
 
 
3.3 – Aplicações das Derivadas Parciais. 
 
Seja T(x,y) a temperatura do ponto (x,y) de uma chapa plana contida no plano xy. 
 
 
 
 )x(fy 00 = 
 
 
 0x x0x D+ 
A partir do ponto ( )0 0,x y calculemos a razão: 
T
x
D
D
 que é a taxa de variação média da 
temperatura em relação à distância percorrida na direção do eixo x (sentido positivo: 0xD > ) entre 
os pontos ( )0 0,x y e 0 0( , )x x y+ D . 
0
0
0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )lim lim
( , ) ( , ) ( , )lim lim
x
y y
x y y
x xy y
T x x y T x yT
x x
T x x y T x yT T x y
x x x
T x x y T x yT T x y
x x x
=
D ® D ®=
D ® D ®=
+ D -Dæ ö = Þç ÷D Dè ø
+ D -D ¶æ öæ ö = = Þç ÷ ç ÷D D ¶è ø è ø
+ D -D ¶æ öæ ö = =ç ÷ ç ÷D D ¶è ø è ø
 
 
 
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Suponhamos que ( )0 0,
T x y a
x
¶
= Î
¶
! : 
1) Se a > 0 e como 0xD > , temos 0T >D , logo, a partir do ponto 0 0( , )x y a temperatura aumentará 
de a aproximadamente. 
 2) Se a < 0 e como 0xD > , temos 0T <D , logo, a partir do ponto 0 0( , )x y a temperatura diminuirá 
de a aproximadamente. 
3) Se a = 0 , temos 0T =D , logo, a partir do ponto 0 0( , )x y a temperatura permanecerá constante. 
Analogamente para )y,x(
y
T
00¶
¶ . 
 
EXERCÍCIOS 
 
36) Dada a função 
22
2 1),(
yx
yyxf
+
+= : 
a) Determine o domínio de f ; 
b) Calcule (3,4)f
x
¶
¶
 e (3,4)f
y
¶
¶
; 
c) Calcule o coeficiente angular da reta tangente à curva que é a intersecção do gráfico de f com 
o plano 3x = no ponto em que 4y = . 
 
37) A temperatura do ponto ( )0 0,x y de uma chapa é dada por 2 2( , ) 2 3 15T x y x y= + + . 
a) Determine a equação da isoterma que passa pelo ponto ( )1,2 . 
b) Se a partir do ponto ( )1,2 nos movermos no sentido positivo do eixo x, a temperatura aumenta 
ou diminui? De quantos oC por cm, aproximadamente 
c) Em que ponto ( ),a b a temperatura vale 45oC, sendo a taxa de variação da temperatura com 
relação à distância percorrida na direção do eixo y, sentido positivo, igual a 12 oC/cm? 
 
38) Para um mol de gás ideal a temperatura T é uma função do par ( ),p V , onde p é a pressão e V 
é o volume. Sendo 
40
pVT = , calcule 
p
T
¶
¶ no ponto ( 500, 200) e interprete o número obtido. 
 
39) A temperatura do ponto ( ),x y de uma chapa é dada por 22228650),( yxyxT --+= . 
Considera a temperatura em ºC e as dimensões e centímetros. 
a. Determine o domínio de ( , )T x y e represente-o no plano xy ; 
b. Determine a equação da isoterma que passa pelo ponto ( )3,1 . 
c)Se, a partir do ponto ( )3,1 , uma formiga caminhar na direção do eixo y, no sentido positivo, a 
temperatura aumentará ou diminuirá? De quantos graus por cm aproximadamente? 
 
40) Para um mol de um gás real, as grandezas p (pressão), V (volume) e T (temperatura absoluta) 
relacionam-se através da equação ( )2
ap V b RT
V
æ ö+ - =ç ÷
è ø
 onde a, b e R são constantes. 
a) Exprima p em função do par ( , )T V , ou seja, ( , )p p T V= . 
b) Calcule 0 0( , )p p T V= , onde 
8 3
27o o
aT e V b
bR
= = . 
c) Calcule ( , ) ( , )o o o o
p pT V e T V
T V
¶ ¶
¶ ¶
 
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3.4 – Funções de três variáveis, ou mais. 
As derivadas parciais são definidas para funções de n variáveis. Para uma função 
( , , )w f x y z= de três variáveis, sua derivada parcial, em relação x, é definida como: 
( ) ( ) ( )
0
, , , , , ,
lim
h
f x y z f x h y z f x y z
x h®
¶ + -
=
¶
 
A derivada pode ser entendida como a taxa de variação de w em relação a x quando y e z 
são mantidos fixos, no entanto, não há interpretação geométrica, pois o gráfico da função pertence 
ao espaço de dimensão quatro. 
Possíveis notações: ( ), , x
f x y zw f
x x
¶¶
= =
¶ ¶
 
 
3.5 – Derivadas parciais de ordem superior. 
Quando derivamos uma função de duas ou mais variáveis duas ou mais vezes, obtemos suas 
de derivadas de ordem superior, possíveis notações: 
2
2 xx
f f
x
¶
=
¶
 lê-sê: del dois f del x dois; 
2
2 yy
f f
y
¶
=
¶
 lê-sê: del dois f del y dois; 
2
yx
f f
x y
¶
=
¶ ¶
 lê-sê: del dois f del x del y ; 
2
xy
f f
y x
¶
=
¶ ¶
 lê-sê: del dois f del y del x . 
As equações que definem a ordem na qual as derivadas são tomadas, são: 
2 2
2 , 
f f f f
x x x x y x y
æ ö¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶æ ö= = ç ÷ç ÷¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø è ø
 
Observe que, no último caso, primeiro derivamos na variável y depois em x . 
 
3.6 – Teorema das derivadas mistas. 
Se a função ( ),f x y é contínua no trecho em questão, então: 
2 2f f
x y y x
¶ ¶
=
¶ ¶ ¶ ¶
 
 
EXERCÍCIOS 
 
41) Calcule: 
2 2 2 2
2 2, , e 
f f f f
x y x y y x
¶ ¶ ¶ ¶
¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶
 para as seguintes funções: 
a) ( ), cos xf x y x y ye= × + 
b) ( ) ( ), 3cos 3f x y x yz= + 
c) ( ), yf x y x= 
d) ( ) ( )1, x yf x y e + += 
 
42) Dadas às funções de três variáveis, determine a derivada parcial da função em relação a cada 
variável. 
a) ( ) ( ), , lnf x y z yz xy= 
b) ( ) ( )
2 2 2
, , x y zf x y z e- + += 
c) ( ), , sin cosh r f q r f q= 
d) ( ) ( ), , 1 cosg r z r zq q= - - 
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43) Nos casos a seguir, verifique que: 
2 2f f
x y y x
¶ ¶
=
¶ ¶ ¶ ¶
 
a) ( ) ( ), senf x y xy= b) ( ), 1yf x y xe y= + + c) ( ) ( ), ln 2 3f x y x y= + 
 
44) Calcule 
2 2
 e f f
x y y x
¶ ¶
¶ ¶ ¶ ¶
. utilizando o caminho mais simples. 
a) ( ), sin yf x y x y e= + 
b) ( ) ( ), lnf x y x xy= 
c) ( ) 2, 1
yef x y xy
y
= +
+
 
d) ( ) ( ), 1 cosg r rq q= -
 
3.7 – Equações Diferenciais Parciais. 
Ocorrem em equações diferenciais parciais que exibem leis físicas. 
 
3.7.1 – Equação de Laplace. 
Utilizadas nos estudos que envolvam calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico. 
Forma bidimencional: 
2 2
2 2 0
f f
x y
¶ ¶
+ =
¶ ¶
 Forma tridimencional: 
2 2 2
2 2 2 0
f f f
x y z
¶ ¶ ¶
+ + =
¶ ¶ ¶
 
 
3.7.2 – Equação da onda. 
Descreve o comportamento de uma onda (sonora, luminosa ou outra) no instante t e a 
distancia x, onde c é a velocidade da onda. 
2 2
2
2 2
w wc
t x
¶ ¶
=
¶ ¶
 
 
EXERCÍCIOS 
45) Verifique se as equações abaixo satisfazem a equação de onda. 
a) ( ) ( ), sinw x t x ct= - 
b) ( ) ( ) ( ), sin cos 2 2w x t x ct x ct= + + + 
c) ( ) ( ), ln 2 2w x t x ct= + 
d) ( ) ( ), tan 2 2w x t x ct= - 
e) ( ) ( ), 5cos 3 3 x ctw x t x ct e += + + 
 
46) Verifique se as equações abaixo satisfazem a equação de Laplace. 
a)( ) 2 2,f x y x y= + 
b) ( ) ( ) 1 22 2 2, ,f x y z x y y -= + + 
c) ( ) 2 2 2, , 2f x y z x y z= + - 
d) ( ) ( )2, cos 2yf x y e x-= 
e) ( ) ( )2 2, lnf x y x y= + 
f) ( ), cos cosx yf x y e y e x- -= - 
g) ( ) ( )3 2 2, , 2 3f x y z z x y z= - + 
h) ( )
2 2 2
1, ,f x y z
x y z
=
+ +
 
i) ( ) ( )3 4, , cos 5x yf x y z e z+= 
 
47) Dada a função: ( ), y xz f x y xe ye= = + , prove que: 
3 3 3 3
3 3 2 2
z z z zx y
x y x y x y
¶ ¶ ¶ ¶
+ = +
¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶
. 
 
48) Mostre que a função de produção de Cobb-Douglas P bL Ka b= satisfaz a equação: 
( )P PL K P
L K
a b
¶ ¶
+ = +
¶ ¶