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Matemática para Negócios André Brochi Aula 10 * Derivadas Derivada de uma função é uma outra função que nos mostra o comportamento da função original. Exemplos 5. Física (estudo do movimento) Função posição → sua derivada é a função velocidade. 6. Administração Função custo total → sua derivada é o custo marginal. * * Exemplo 1 Considere o instante t = 0 h como o momento em que o móvel está na posição s = 0 km Elaborado pelo professor * Gráf3 0 60 90 108 120 138 150 160 161 tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) Física 0 0 0 120 0.25 60 1 120 0.5 90 0.75 108 1 0 1 120 1 120 1.5 138 2 150 0 160 3 160 3 160 3.2 161 3 0 3 160 0 150 2 150 2 0 2 150 Física tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) Adm 1 tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) * Exemplo 1 Posição no instante: t = 0 h → s = 0 km t = 3 h → s = 160 km Velocidade média neste intervalo: Elaborado pelo professor * Gráf8 0 160 0 0 1 60 160 160 160 90 108 120 138 150 160 161 tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) Física 0 0 0 120 0.25 60 1 120 0.5 90 0.75 108 1 0 1 120 1 120 1.5 138 2 150 0 160 3 160 3 160 3.2 161 3 0 3 160 0 150 2 150 2 0 2 150 Física tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) Adm 1 tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) * Exemplo 1 Posição no instante: t = 0 h → s = 0 km t = 2 h → s = 150 km Velocidade média neste intervalo: Elaborado pelo professor * Gráf7 0 150 0 0 60 150 150 150 90 108 120 138 150 160 161 tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) Física 0 0 0 120 0.25 60 1 120 0.5 90 0.75 108 1 0 1 120 1 120 1.5 138 2 150 0 160 3 160 3 160 3.2 161 3 0 3 160 0 150 2 150 2 0 2 150 Física tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) Adm 1 tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) * Posição no instante: t = 0 h → s = 0 km t = 1h → s = 120 km Velocidade média neste intervalo: Exemplo 1 Elaborado pelo professor * Gráf9 0 120 0 0 60 120 120 120 90 108 120 138 150 160 161 tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) Física 0 0 0 120 0.25 60 1 120 0.5 90 0.75 108 1 0 1 120 1 120 1.5 138 2 150 0 160 3 160 3 160 3.2 161 3 0 3 160 0 150 2 150 2 0 2 150 Física tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) Adm 1 tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) * A função acima fornece o custo total (CT) referente à produção de Q unidades do produto Exemplo 2 Elaborado pelo professor * Gráf12 1000 2350 3100 3600 4000 4550 4700 4750 4800 Quantidade Custo Total (R$) Função Custo Total (CT) Física 0 0 0 120 0.25 60 1 120 0.5 90 0.75 108 1 0 1 120 1 120 1.5 138 2 150 0 160 3 160 3 160 3.2 161 3 0 3 160 0 150 2 150 2 0 2 150 Física tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) Adm 1 tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) 0 1000 0 4000 25 2350 100 4000 50 3100 75 3600 100 0 100 4000 100 4000 150 4550 200 4700 0 4800 250 4750 300 4800 300 4800 300 0 300 4800 0 4700 200 4700 0 1000 100 1000 200 0 200 1000 200 4700 300 1000 Quantidade Custo Total (R$) Função Custo Total (CT) Quantidade Custo Total (R$) Função Custo Total (CT) Quantidade Custo Total (R$) Função Custo Total (CT) Quantidade Custo Total (R$) Função Custo Total (CT) * Para Q = 0 → CT = 1.000 reais Para Q = 300 → CT = 4.800 reais Custo médio por unidade: Exemplo 2 Elaborado pelo professor * Gráf13 1000 4800 1000 0 1000 2350 4800 4800 4800 1000 3100 3600 4000 4550 4700 4750 4800 Quantidade Custo Total (R$) Função Custo Total (CT) Física 0 0 0 120 0.25 60 1 120 0.5 90 0.75 108 1 0 1 120 1 120 1.5 138 2 150 0 160 3 160 3 160 3.2 161 3 0 3 160 0 150 2 150 2 0 2 150 Física tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) Adm 1 tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) 0 1000 0 4000 25 2350 100 4000 50 3100 75 3600 100 0 100 4000 100 4000 150 4550 200 4700 0 4800 250 4750 300 4800 300 4800 300 0 300 4800 0 4700 200 4700 0 1000 100 1000 200 0 200 1000 200 4700 300 1000 Quantidade Custo Total (R$) Função Custo Total (CT) Quantidade Custo Total (R$) Função Custo Total (CT) Quantidade Custo Total (R$) Função Custo Total (CT) Quantidade Custo Total (R$) Função Custo Total (CT) * Para Q = 0 → CT = 1.000 reais Para Q = 200 → CT = 4.700 reais Custo médio por unidade: Exemplo 2 Elaborado pelo professor * Gráf14 1000 4700 1000 0 1000 2350 4700 4700 4700 1000 3100 3600 4000 4550 4700 4750 4800 Quantidade Custo Total (R$) Função Custo Total (CT) Física 0 0 0 120 0.25 60 1 120 0.5 90 0.75 108 1 0 1 120 1 120 1.5 138 2 150 0 160 3 160 3 160 3.2 161 3 0 3 160 0 150 2 150 2 0 2 150 Física tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) Adm 1 tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) 0 1000 0 4000 25 2350 100 4000 50 3100 75 3600 100 0 100 4000 100 4000 150 4550 200 4700 0 4800 250 4750 300 4800 300 4800 300 0 300 4800 0 4700 200 4700 0 1000 100 1000 200 0 200 1000 200 4700 300 1000 Quantidade Custo Total (R$) Função Custo Total (CT) Quantidade Custo Total (R$) Função Custo Total (CT) Quantidade Custo Total (R$) Função Custo Total (CT) Quantidade Custo Total (R$) Função Custo Total (CT) * Para Q = 0 → CT = 1.000 reais Para Q = 100 → CT = 4.000 reais Custo médio por unidade: Exemplo 2 Elaborado pelo professor * Gráf15 1000 4000 1000 0 1000 2350 4000 4000 4000 1000 3100 3600 4000 4550 4700 4750 4800 Quantidade Custo Total (R$) Função Custo Total (CT) Física 0 0 0 120 0.25 60 1 120 0.5 90 0.75 108 1 0 1 120 1 120 1.5 138 2 150 0 160 3 160 3 160 3.2 161 3 0 3 160 0 150 2 150 2 0 2 150 Física tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) Adm 1 tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) tempo (h) posição (km) Posição (s) em função do tempo (t) 0 1000 0 4000 25 2350 100 4000 50 3100 75 3600 100 0 100 4000 100 4000 150 4550 200 4700 0 4800 250 4750 300 4800 300 4800 300 0 300 4800 0 4700 200 4700 0 1000 100 1000 200 0 200 1000 200 4700 300 1000 Quantidade Custo Total (R$) Função Custo Total (CT) Quantidade Custo Total (R$) Função Custo Total (CT) Quantidade Custo Total (R$) Função Custo Total (CT) Quantidade Custo Total (R$) Função Custo Total (CT) * Coeficiente angular Exemplo 3: a) y = 5x + 2 → o valor de y aumenta 5 unidades para cada aumento de uma unidade em x. b) y = – 3x + 2 → o valor de y decresce 3 unidades para cada aumento de uma unidade em x. O coeficiente angular de uma reta indica a variação ocorrida na variável y para cada aumento de uma unidade que ocorre em x. * * Função derivada A função derivada (y´) de uma função y nos mostra a tendência de variação dessa função y provocada por uma variação muito pequena (infinitesimal) de x (Δx→0). Notações: y´ ; f´(x) ; ; Δxy * * Interpretação gráfica O valor da derivada em um ponto (x,y) é igual ao do coeficiente angular da reta tangente à função neste ponto. Elaborado pelo professor 0 20 40 60 80 100 120 140 0 2 4 6 8 10 x y * * O valor da derivada de uma função y em um ponto (x,y) mostra a tendência de crescimento dessa função no ponto em questão. Se no ponto (x,y) a função for crescente, o valor da derivada será positivo. Se no ponto (x,y) a função for decrescente, o valor da derivada será negativo. * Regras elementares de derivação Exemplo 4: a) y = x8 y´ = 8x8-1 = 8x7 b) * Exemplo 5: a) y = 3x2 y´ = 32x = 6x b) * Exemplo 6: a) y = 10.040 y´ = 0 b) * Exemplo 7: a) b) * Derivada do produto de funções Exemplo 8: * Derivada do quociente de funções Exemplo 9: * Temos: * * Aplicação Se a demanda de determinado bem é dada pela equação y = 4.000 – 30x2 + x3 (y é a quantidade demandada e x é o preço), verifique se ela é crescente ou decrescente para os valores de preço x = 2, x = 10 e x = 20. * * * * Bibliografia DEMANA, Franklin et al. Pré-cálculo. Vol. único. 2ª Edição. Editora Pearson. São Paulo 2013. GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. v. 1. Rio de Janeiro: LTC, 1997. LEITHOLD, L. Matemática aplicada à economia e administração. Harbra, 2001. * * Bibliografia IEZZI, Gelson et al. Fundamentos de Matemática Elementar. Vol. 1 – Conjuntos e Funções - Ed. Atual. São Paulo. 2013 SILVA, Sebasatião Medeiros da et al. Matemática Básica para Cursos Superiores. Ed. Atlas. São Paulo. 2002. WEBER, J. E. Matemática para economia e administração. Harbra, 1988. * Matemática para Negócios André Brochi Atividade 10 * A função custo total de produção de determinado bem é dada por: para q variando entre 0 e 575 unidades. Calcule a taxa de crescimento do custo para as quantidades q = 0, q = 100 e q = 600. Qual é a quantidade produzida para a qual a taxa de crescimento do custo se iguala a zero? * Atividade * * * *
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