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Capítulo 5. Cálculo Diferencial e Integral de 
Funções Multivariáveis 
 
Seção 1. Funções Multivariáveis 
1. Em regiões com inverno severo, o índice vento frio ou índice de sensação térmica que mede 
o efeito do frio provocado pelo vento é frequentemente utilizado para descrever a severidade 
aparente do frio. Esse índice ܫ mede a temperatura subjetiva que depende da temperatura real 
ܶ (em °ܥ) e da velocidade (rapidez) ݒ (em ݇݉/ℎ) do vento. Assim, ܫ é uma função de ܶ e de ݒ, 
e podemos escrever ܫ = ݂(ܶ, ݒ). A tabela abaixo apresenta valores de ܫ compilados pelo Serviço 
de Administração de Oceanos e Atmosfera e pelo Serviço Nacional de Meteorologia (National 
Oceanic and Atmospheric Administration e National Weather Service) 
 
 v 
T 
6 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 
20 20 18 16 14 13 13 12 12 12 12 12 
16 16 14 11 9 7 7 6 6 5 5 5 
12 12 9 5 3 1 0 0 -1 -1 -1 -1 
8 8 5 0 -3 -5 -6 -7 -7 -8 -8 -8 
4 4 0 -5 -8 -11 -12 -13 -14 -14 -14 -14 
0 0 -4 -1 -14 -17 -18 -19 -20 -21 -21 -21 
-4 -4 -8 -15 -20 -23 -25 -26 -27 -27 -27 -27 
-8 -8 -13 -21 -25 -29 -31 -32 -33 -34 -34 -34 
-12 -12 -17 -26 -31 -35 -37 -39 -40 -40 -40 -40 
-16 -16 -22 -31 -37 -41 -43 -45 -46 -47 -47 -47 
-20 -20 -26 -36 -43 -47 -49 -51 -52 -53 -53 -53 
 
a) Qual é o valor de ݂(8,60)? Qual é o seu significado? 
 
b) Descreva em palavras o significado da questão: 
“Para quais valores de ݒ temos ݂(−12, ݒ) = −26? Em seguida, responda à questão. 
 
c) Descreva o significado da questão: 
“Para quais valores de ܶ temos ݂(ܶ, 80) = −14? Em seguida, responda à questão. 
 
d) Qual o significado da função ܫ = ݂(−4, ݒ)? Descreva o comportamento dessa função. 
 
e) Qual o significado da função ܫ = ݂(ܶ, 50)? Descreva o comportamento dessa função. 
2. A altura ℎ das ondas num mar aberto depende da velocidade (rapidez) ݒ do vento e do tempo 
ݐ durante o qual o vento se manteve naquela intensidade. Os valores da função ℎ = ݂(ݒ, ݐ) dados 
em pés, são apresentados na tabela que segue. 
 
 t 
v 
5 10 15 20 30 40 50 
10 2 2 2 2 2 2 2 
15 4 4 5 5 5 5 5 
20 5 7 8 8 9 9 9 
30 9 13 16 17 18 19 19 
40 14 21 25 28 31 33 33 
50 19 29 36 40 45 48 50 
60 24 37 47 54 62 67 69 
 
a) Qual é o valor de ݂(40,15)? Qual é o seu significado? 
 
b) Qual o significado da função ℎ = ݂(30, ݐ)? Descreva seu comportamento. 
 
c) Qual o significado da função ℎ = ݂(ݒ, 30)? Descreva seu comportamento. 
 
3. Considere as funções ݂(ݔ, ݕ) = ݈݊(ݔ + ݕ − 1), ݃(ݔ, ݕ) = ݁௫మି௬ e ℎ(ݔ, ݕ, ݖ) = ଵ
ඥ௫మ ା ௬మ ା ௭మ ି ଵ
. 
a) Estime os valores ݂(1,1), ݂(݁, 1), ݃(2,4) e ℎ(1,3, −4). 
b) Determine o domínio das funções ݂, ݃ e ℎ. 
c) Determine a imagem das funções ݂, ݃ e ℎ. 
4. Determine e faça o esboço do domínio das seguintes funções: 
a) ݂(ݔ, ݕ) = ඥݔ + ݕ b) ݂(ݔ, ݕ) = √ݔ + ඥݕ 
c) ݂(ݔ, ݕ) = ௫ ି ଷ௬
௫ ା ଷ௬
 d) ݂(ݔ, ݕ) = ଷ௫ ା ହ௬
௫మ ା ௬మ ି ସ
 
e) ݂(ݔ, ݕ) = ඥݕ − ݔ ln (ݕ + ݔ) f) ݂(ݔ, ݕ) = ඥݔଶ + ݕଶ − 1 + ln (4 − ݔଶ − ݕଶ) 
g) ݂(ݔ, ݕ) = ඥ1 − ݔଶ − ݕଶ − ݖଶ 
5. Esboce o gráfico das seguintes funções: 
a) ݂(ݔ, ݕ) = 3 b) ݂(ݔ, ݕ) = 1 − ݔ − ݕ 
c) ݂(ݔ, ݕ) = ܿ݋ݏ(ݔ) d) ݂(ݔ, ݕ) = 1 − ݔଶ 
e) ݂(ݔ, ݕ) = ඥݔଶ + ݕଶ 
 
 
6. Considere o seguinte mapa de contorno de certa função ݂. 
 
 
 
a) Use-o para estimar os valores de ݂(−3,3) e ݂(3, −2). 
 
b) O que você pode dizer sobre a forma do gráfico? 
 
7. Um dos métodos para visualizar funções é uma técnica emprestada dos cartógrafos, nos 
mapas de contornos, em que todos os pontos têm a mesma elevação. Tais contornos são 
chamados de curvas de contorno ou curvas de nível, conforme definição que segue: 
 
Definição. As curvas de nível de uma função ݂ de duas variáveis são aquelas curvas com 
equação ݂(ݔ, ݕ) = ݇, onde ݇ é uma constante (na imagem de ݂). 
Um exemplo comum de curvas de nível ocorre em mapas topográficos de regiões montanhosas, 
como o mapa da Montanha Solitária (figura que segue). 
 
 
 
Se você andar sobre um desses contornos, nem descerá nem subirá. Localize os pontos ܣ e ܤ 
no mapa da Montanha Solitária. Como você descreveria o terreno perto de ܣ? E perto de ܤ? 
 
8. Faça um esboço de um mapa de contorno da função dada por ݂(ݔ, ݕ) = (ݔଶ + 3ݕଶ)݁ି ௫మି ௬మ, 
cujo gráfico está mostrado a seguir sob dois diferentes pontos de vista. 
 
 
9. Faça o mapa de contorno das funções abaixo mostrando várias curvas de nível. 
 
a) ݂(ݔ, ݕ) = ݕ − cos (ݔ) b) ݂(ݔ, ݕ) = ݔ − ݕଶ c) ݂(ݔ, ݕ) = ݁
భ
ೣమ శ ೤మ 
10. Uma placa fina de metal, localizada no plano ܻܺ, tem temperatura ܶ(ݔ, ݕ) no ponto (ݔ, ݕ). As 
curvas de nível de ܶ são chamadas isotérmicas porque todos os pontos em uma dessas curvas 
têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas visto que a função 
temperatura é dada por ܶ(ݔ, ݕ) = ଵ଴଴
ଵ ା ௫మ ା ଶ௬మ
. 
 
11. Se ܸ(ݔ, ݕ) é o potencial elétrico em um ponto (ݔ, ݕ) no plano ܻܺ, então as curvas de nível de 
ܸ são chamadas curvas equipotenciais, porque em todos os pontos dessa curva tem-se que o 
potencial elétrico é o mesmo. Esboce algumas curvas equipotenciais da função, definida por 
ܸ(ݔ, ݕ) = ௖
ඥ௥మ ି ௫మ ି ௬మ 
, onde ܿ é uma constante positiva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção 2. Limites e Continuidade 
 
1. Suponha que lim
(௫,௬)⟶(ଷ,ଵ)
݂(ݔ, ݕ) = 6. O que podemos dizer do valor de ݂(3,1)? E se a função ݂ 
for contínua? 
 
2. Considere as seguintes funções ݂(ݔ, ݕ) = ௫
మ௬య ା ௫య௬మ ି ହ
ଶ ି ௫௬
 e ݃(ݔ, ݕ) = ଶ௫௬
௫మ ା ଶ௬మ
. Utilize uma tabela 
de valores numéricos de ݂(ݔ, ݕ) e de ݃(ݔ, ݕ), para (ݔ, ݕ) perto da origem, a fim de conjecturar 
sobre o limite de cada função quando (ݔ, ݕ) ⟶ (0,0). Em seguida, explique por que sua 
conjectura está correta. 
 
3. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. 
 
a) lim
(௫,௬)⟶(ହ,ିଶ)
(ݔହ + 4ݔଷݕ − 5ݔݕଶ) b) lim
(௫,௬)⟶(଺,ଷ)
ݔݕ cos (ݔ − 2ݕ) 
c) lim
(ݔ,ݕ)⟶(0,0)
ݔ2
ݔ2 + ݕ2
 d) lim
(௫,௬)⟶(଴,଴)
(௫ ା ௬)మ
௫మ ା ௬మ
 
e) lim
(ݔ,ݕ)⟶(0,0)
ݔ3 + ݔݕ2
ݔ2 + ݕ2
 f) lim
(ݔ,ݕ)⟶(0,0)
ݔݕ + 1
ݔ2 + ݕ2 + 1
 
g) lim
(ݔ,ݕ)⟶(0,0)
2ݔ2ݕ
ݔ4 + ݕ2
 h) lim
(ݔ,ݕ)⟶(0,0)
ݔ2 + ݕ2
ඥݔ2 + ݕ2 + 1 − 1
 
i) lim
(ݔ,ݕ)⟶(2,0)
ݔݕ − 2ݕ
ݔ2 + ݕ2 − 4ݔ + 4
 j) lim
(ݔ,ݕ,ݖ)⟶(3,0,1)
݁−ݔݕݏ݁݊ ቀߨݖ
2
ቁ 
k) lim
(ݔ,ݕ,ݖ)⟶(0,0,0)
ݔݕ + ݕݖ2 + ݔݖ2 
ݔ2 + ݕ2 + ݖ4 
 
 
4. Dadas as funções ݃(ݐ) = √௧ ି ଵ
√௧ ା ଵ
 e ݂(ݔ, ݕ) = ݔଶ − ݕ, determine o conjunto no qual ℎ é contínua, 
onde ℎ(ݔ, ݕ) = ݃൫݂(ݔ, ݕ)൯. 
 
5. Determine o maior conjunto no qual cada função abaixo é contínua. 
a) ݂(ݔ, ݕ) = ଵ
௫మ ି ௬
 
b) ݂(ݔ, ݕ) = ௫ ି ௬
ଵ ା ௫మ ା ௬మ
 
c) ݂(ݔ, ݕ) = ln (2ݔ + 3ݕ) 
d) ݂(ݔ, ݕ) = ඥݔ + ݕ − ඥݔ − ݕ 
6. Utilize coordenadas polares para determinar os limites abaixo (se (ݎ, ߠ) são as coordenadas 
polares do ponto (ݔ, ݕ) com ݎ ≥ 0, observe que ݎ ⟶ 0ା quando (ݔ, ݕ) ⟶ (0,0)). 
 
a) lim
(௫,௬)⟶(଴,଴)
௫య ା ௬య
௫మ ା ௬మ
 
 
b) lim
(௫,௬)⟶(଴,଴)
(ݔଶ + ݕଶ)ln (ݔଶ + ݕଶ) 
 
7. Utilize coordenadas esféricas para achar 
 
lim
(௫,௬,௭)⟶(଴,଴,଴)
ݔݕݖ
ݔଶ + ݕଶ + ݖଶ 
 
 
Seção 3. Derivadas Parciais 
1. A temperatura ܶ (em °ܥ) de uma localidade do Hemisfério Norte depende da longitudeݔ, da 
latitude ݕ e do tempo ݐ, de modo que podemos escrever ܶ = ݂(ݔ, ݕ, ݐ). Vamos medir o tempo em 
horas a partir do início de janeiro. 
 
a) Qual o significado das derivadas parciais డ்
డ௫
, డ்
డ௬
 e డ்
డ௧
? 
 
b) Honolulu tem longitude de 158° ܹ e latitude de 21° ܰ. Suponha que às 9 horas em 1º de 
janeiro esteja ventando para noroeste uma brisa quente, de forma que a Oeste e a Sul o ar esteja 
quente e a Norte e Leste o ar esteja mais frio. Você esperaria que ௫݂(158,21,9), ௬݂(158,21,9) e 
௧݂(158,21,9) fossem positivos ou negativos? Explique. 
 
2. Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função abaixo. 
 
a) ݂(ݔ, ݕ) = ݔହ + 3ݔଷݕଶ + 3ݔݕସ b) ݂(ݔ, ݕ) = ݔ௬ 
c) ݓ = ݏ݁݊(ߙ)cos (ߚ) d) ݂(ݏ, ݐ) = ௦௧మ
௦మ ା ௧మ 
 
e) ݂(ݔ, ݐ) = ݁ݏ݁݊ቀ
ݐ
ݔ
ቁ f) ݖ = ln ൫ݔ + ඥݔ2 + ݕ2൯ 
g) ݂(ݔ, ݕ) = ׬ cos(ݐ2) ݀ݐݔݕ h) ݂(ݔ, ݕ, ݖ) = ݔ
2݁ݕݖ 
i) ݓ = ln (ݔ + 2ݕ + 3ݖ) j) ݓ = √ݎ2 + ݏ2 + ݐ2 
k) ݑ = ݔ݁ି௧ݏ݁݊(ߠ) l) ݑ = ݔ௬/௭ 
m) ݂(ݔ, ݕ, ݖ, ݐ) = ݔ − ݕ
ݖ − ݐ 
 n) ݂(ݔ, ݕ, ݖ, ݐ) = ݔݕଶݖଷݐସ 
o) ݑ = ඥݔ12 + ݔ22 + ⋯ + ݔ݊2 p) ݑ = ݏ݁݊(ݔ1 + 2ݔ2 + ⋯ + ݊ݔ݊) 
3. Sabemos que as derivadas parciais são as funções ௫݂ e ௬݂ definidas, respectivamente, por 
 
. ௫݂(ݔ, ݕ) = lim௛⟶଴
݂(ݔ + ℎ, ݕ) – ݂(ݔ, ݕ)
ℎ
 
 
. ௬݂(ݔ, ݕ) = lim௛⟶଴
݂(ݔ, ݕ + ℎ) − ݂(ݔ, ݕ)
ℎ
 
 
Use essa definição de derivadas parciais como limites para determinar ௫݂(ݔ, ݕ) e ௬݂(ݔ, ݕ) das 
seguintes funções consideradas abaixo. 
 
a) ݂(ݔ, ݕ) = ݔଶ − ݔݕ + 2ݕଶ b) ݂(ݔ, ݕ) = ඥ3ݔ − ݕ 
 
4. Use diferenciação implícita nas equações abaixo para determinar డ௭
డ௫
 e డ௭
డ௬
. 
a) ݔݕݖ = cos (ݔ + ݕ + ݖ) b) ݔଶ + ݕଶ − ݖଶ = 2ݔ(ݕ + ݖ) 
5. Sabemos que o Teorema de Clairaut nos fornece condições sob as quais podemos afirmar 
que as derivadas parciais mistas de uma função ݂ são iguais, isto é, ௫݂௬ = ௬݂௫. Verifique nos 
casos abaixo se a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é, ݑ௫௬ = ݑ௬௫. 
 
a) ݑ = ln ൫ඥݔଶ + ݕଶ൯ b) ݑ = ݔݕ ௬ 
6. Determine as derivadas parciais que estão indicadas ao lado de cada função abaixo. 
 
a) ݂(ݔ, ݕ) = ඥݔଶ + ݕଶ; ௫݂(3,4) b) ݂(ݑ, ݒ, ݓ) = ݓ ݐ݃(ݑݒ); ௩݂(2,0,3) 
c) ݂(ݔ, ݕ) = ݔ4 − 3ݔ2ݕ3; ௬݂௫ d) ݑ = ݁ି௦ݏ݁݊(ݐ); ݑ௧௧ 
e) ݂(ݔ, ݕ) = ݁ݔݕ2 ; ௫݂௫௬ f) ݂(ݔ, ݕ, ݖ) = ݔ5 + ݔ4ݕ4ݖ3 + ݕݖ2; ௫݂௬௭ 
g) ݖ = ݔ ݏ݁݊(ݕ); డ
య௭
డ௬మడ௫
 h) ݖ = ln (ݏ݁݊(ݔ − ݕ)); డయ௭
డ௬డ௫మ
 
i) ݑ = ln (ݔ + 2ݕ2 + 3ݖ3); డ
య௨
డ௫డ௬డ௭
 j) ݑ = ݔܽݕܾݖܿ; డల௨
డ௫డ௬మడ௭య
 
 
7. Verifique qual das seguintes funções é uma solução da equação de Laplace, ݑ௫௫ + ݑ௬௬ = 0. 
 
a) ݑ = ݔଶ + ݕଶ b) ݑ = ݔଶ − ݕଶ 
c) ݑ = ݔ3 + 3ݔݕ2 d) ݑ = ln ൫ඥݔଶ + ݕଶ൯ 
e) ݑ = ݁−ݔ cos(ݕ) − ݁−ݕ cos(ݔ) 
 
8. Verifique se a função ݑ = ଵ
ඥ௫మ ା ௬మ ା ௭మ 
 é uma solução da equação de Laplace tridimensional 
 
ݑ௫௫ + ݑ௬௬ + ݑ௭௭ = 0 
 
9. Mostre que cada uma das seguintes funções é solução da equação da onda, ݑ௧௧ = ܽଶ ݑ௫௫. 
 
a) ݑ = ݏ݁݊(݇ݔ)sen (ܽ݇ݐ) b) ݑ = ௧
௔మ ௧మ ି௫మ
 
c) ݑ = (ݔ − ܽݐ)6 + (ݔ + ܽݐ)6 d) ݑ = ݏ݁݊(ݔ − ܽݐ) + ݈݊(ݔ + ܽݐ) 
10. Se ݑ = ݁௔భ௫భା௔మ௫మା⋯ା௔೙௫೙, onde ܽଵଶ + ܽଶଶ + ⋯ + ܽ௡ଶ = 1, mostre que 
 
߲ଶݑ
߲ݔଵଶ 
+
߲ଶݑ
߲ݔଶଶ 
+ ⋯ +
߲ଶݑ
߲ݔ௡ଶ 
= ݑ 
 
11. A temperatura em um ponto (ݔ, ݕ) de uma chapa de metal é dada por ܶ(ݔ, ݕ) = ଺଴
ଵ ା ௫మ ା ௬మ
 
onde ܶ é medido em °ܥ e ݔ, ݕ em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto 
(2, 1) em: 
 
a) Direção do eixo ݔ. b) Direção do eixo ݕ. 
 
12. A lei dos gases para uma massa fixa ݉ de um gás ideal à temperatura absoluta ܶ, pressão 
ܲ e volume ܸ é ܸܲ = ܴ݉ܶ, onde ܴ é a constante do gás. Mostre que 
 
߲ܲ
߲ܸ
߲ܸ
߲ܶ
߲ܶ
߲ܲ
= −1 
 
13. Disseram-lhe que existe uma função ݂ cujas derivadas parciais são ௫݂(ݔ, ݕ) = ݔ + 4ݕ e 
௬݂(ݔ, ݕ) = 3ݔ − ݕ. 
 
Pergunta: 
 
Você deve acreditar nisso? 
 
14. No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura ܶ em um certo 
instante ݐ (medido em dias) a uma profundidade ݔ (medida em metros) pode ser modelada pela 
função 
ܶ(ݔ, ݕ) = ଴ܶ + ଵܶ݁ିఒ௫ݏ݁݊(߱ݐ − ߣݔ) 
 
onde ߱ = 2ߨ/365 e ߣ é uma constante positiva. 
 
a) Determine డ்
డ௫
. Qual seu significado físico? 
 
b) Determine డ்
డ௧
. Qual seu significado físico? 
 
c) Mostre que ܶ satisfaz a equação do calor ௧ܶ = ݇ ௫ܶ௫ para certa constante k. 
 
d) Qual é o significado físico do termo −ߣݔ na expressão ݏ݁݊(߱ݐ − ߣݔ)? 
 
15. Utilize o Teorema de Clairaut para mostrar que, se as derivadas parciais de terceira ordem 
de ݂ forem contínuas, então 
 
௫݂௬௬ = ௬݂௫௬ = ௬݂௬௫ 
 
16. Quantas derivadas parciais de ݊-ésima ordem têm uma função de duas variáveis? E de três 
variáveis? Se essas derivadas parciais de uma função de duas variáveis forem contínuas, 
quantas delas podem ser distintas? 
 
17. Se ݂(ݔ, ݕ) = ݔ(ݔଶ + ݕଶ)ିଷ/ଶ݁௦௘௡( ௫మ௬), determine ௫݂(1,0). 
 
Dica: Em vez de achar ௫݂(ݔ, ݕ) primeiro, note que é mais fácil utilizar a equação 
 
௫݂(ܽ, ܾ) = ݃ᇱ(ܽ), onde ݃(ݔ) = ݂(ݔ, ܾ), 
 
ou a equação 
௫݂(ܽ, ܾ) = lim௛⟶଴
௙(௔ ା ௛,௕) ି ௙(௔,௕)
௛
, 
 
visto que ݃ᇱ(ܽ) = lim
௛⟶଴
௚(௔ ା ௛) ି ௚(௔)
௛
. 
 
18. Se ݂(ݔ, ݕ) = ඥݔଷ + ݕଷయ , determine ௫݂(0,0). 
 
19. Seja ݂(ݔ, ݕ) = ൝
௫య௬ ି ௫௬య
௫మ ା ௬మ
ݏ݁ (ݔ, ݕ) ≠ (0,0)
0 ݏ݁ (ݔ, ݕ) = (0,0)
. 
 
a) Determine ௫݂(ݔ, ݕ) e ௬݂(ݔ, ݕ) quando (ݔ, ݕ) ≠ (0,0). 
 
b) Determine ௫݂(0,0) e ௬݂(0,0) usando, respectivamente, as equações da definição, a saber, 
 
. ௫݂(ܽ, ܾ) = lim௛⟶଴
௙(௔ ା ௛,௕) ି ௙(௔,௕)
௛
. ௬݂(ܽ, ܾ) = lim௛⟶଴
௙(௔,௕ ା ௛) ି ௙(௔,௕)
௛
 
 
c) Mostre que ௫݂௬(0,0) = −1 e ௬݂௫(0,0) = 1. 
 
 
 
 
 
Seção 4. Regra da Cadeia e Derivação Implícita 
 
1. Utilize a regra da cadeia para achar ௗ௭
ௗ௧
 ou ௗ௪
ௗ௧
. 
a) ݖ = ݔ݈݊(ݔ + 2ݕ), ݔ = ݏ݁݊(ݐ), ݕ = ܿ݋ݏ(ݐ) 
b) ݓ = ݔ݁௬/௭, ݔ = ݐଶ, ݕ = 1 − ݐ, ݖ = 1 + 2ݐ 
c) ݓ = ݔݕ + ݕݖଶ, ݔ = ݁௧, ݕ = ݁௧ݏ݁݊(ݐ), ݖ = ݁௧ܿ݋ݏ(ݐ) 
2. Use a regra da cadeia para determinar డ௭
డ௦
 e డ௭
డ௧
. 
a) ݖ = ݔଶ + ݔݕ + ݕଶ, ݔ = ݏ + ݐ, ݕ = ݏݐ 
b) ݖ = ݔ/ݕ, ݔ = ݏ݁௧, ݕ = 1 + ݏ݁ି௧ 
c) ݖ = ݁௫௬ݐ݃(ݕ), ݔ = ݏ + 2ݐ, ݕ = ݏ/ݐ 
3. Resolva a seguinte questão: 
 
Seja ݂ uma função de duas variáveis ݔ e ݕ e escreva ݖ = ݂(ݔ, ݕ). 
 
Hipótese: 
 
ݔ = ݃(ݐ), ݕ = ℎ(ݐ), ݃(3) = 2, ݃’(3) = 5, ℎ(3) = 7, ℎ’(3) = −4, ௫݂(2,7) = 6, ௬݂(2,7) = −8 
 
Tese: 
 
ௗ௭
ௗ௧
= 62, quando ݐ = 3. 
4. Utilize um diagrama em árvore (grafo da árvore) para escrever a regra da cadeia para o caso 
dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis. 
 
a) ݑ = ݂(ݔ, ݕ), onde ݔ = ݔ(ݎ, ݏ, ݐ), ݕ(ݎ, ݏ, ݐ). 
b) ݓ = ݂(ݔ, ݕ, ݖ), onde ݔ = ݔ(ݐ, ݑ), ݕ(ݐ, ݑ), ݖ = ݖ(ݐ, ݑ). 
c) ݒ = ݂(݌, ݍ, ݎ), onde ݌ = ݌(ݔ, ݕ, ݖ), ݍ = ݍ(ݔ, ݕ, ݖ), ݎ = ݎ(ݔ, ݕ, ݖ). 
d) ݑ = ݂(ݏ, ݐ), onde ݏ = ݏ(ݓ, ݔ, ݕ, ݖ), ݐ = ݐ(ݓ, ݔ, ݕ, ݖ). 
5. Use a regra da cadeia para achar asderivadas parciais indicadas. 
 
a) ݓ = ݔଶ + ݕଶ + ݖଶ, ݔ = ݏݐ, ݕ = ݏ ܿ݋ݏ(ݐ), ݖ = ݏ ݏ݁݊(ݐ); డ௪
డ௦
, డ௪
డ௧
 quando ݏ = 1, ݐ = 0. 
b) ݑ = ݔݕ + ݕݖ + ݖݔ, ݔ = ݏݐ, ݕ = ݁௦௧, ݖ = ݐଶ; డ௨
డ௦
, డ௨
డ௧
 quando ݏ = 0, ݐ = 1. 
c) ݖ = ௫
௬
, ݔ = ݎ݁௦௧, ݕ = ݎݏ݁௧; డ௭
డ௥
, డ௭
డ௦
, డ௭
డ௧
 quando ݎ = 1, ݏ = 2, ݐ = 0. 
6. Utilize a equação ௗ௬
ௗ௫
= −
ങಷ
ങೣ
ങಷ
ങ೤
= − ிೣ
ி೤
 para determinar ௗ௬
ௗ௫
. 
a) ݔଶ − ݔݕ + ݕଷ = 8 b) ܿ݋ݏ(ݔ − ݕ) = ݔ݁௬ 
7. Utilize as equações డ௭
డ௫
= −
ങಷ
ങೣ
ങಷ
ങ೥
 = − ிೣ
ி೥
 e డ௭
డ௬
= −
ങಷ
ങ೤
ങಷ
ങ೥
= − ி೤
ி೥
 para achar డ௭
డ௫
 e డ௭
డ௬
. 
a) ݔݕݖ = ܿ݋ݏ(ݔ + ݕ + ݖ) b) ݔ݁௬ + ݕݖ + ݖ݁௫ = 0 
8. A temperatura em um ponto (ݔ, ݕ) é ܶ(ݔ, ݕ), medida em graus Celsius. Um inseto rasteja, de 
modo que sua posição após ݐ segundos é dada por ݔ = √1 + ݐ, ݕ = 2 + ଵଷ ݐ, onde ݔ e ݕ são 
medidos em centímetros. A função da temperatura satisfaz ௫ܶ(2,3) = 4 e ௬ܶ(2,3) = 3. Quão 
rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de três segundos? 
 
9. A produção de trigo ܹ em um determinado ano depende da temperatura média ܶ e do volume 
anual das chuvas ܴ. Cientistas estimam que a temperatura média anual está crescendo à taxa 
de 0,15 °ܥ/ܽ݊݋ e a quantidade anual de chuva está decrescendo à taxa de 0,1 ܿ݉/ܽ݊݋. Eles 
também estimam que, no atual nível de produção, డௐ
డ்
= −2 e డௐ
డோ
= 8. 
 
a) Qual é o significado do sinal dessas derivadas parciais? 
 
b) Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo డௐ
డ௧
. 
 
10. O comprimento ܮ, a largura ݓ e a altura ℎ de uma caixa variam com o tempo. Em um 
determinado momento, as dimensões são ܮ = 1 ݉ e ݓ = ℎ = 2 ݉, sendo que ܮ e ݓ estão 
aumentando em uma taxa de 2 ݉/ݏ enquanto ℎ está decrescendo em uma taxa de 3 ݉/ݏ. Nesse 
instante, encontre as taxas em que as seguintes quantidades estão variando. 
 
a) O volume b) A área da superfície c) O comprimento da diagonal 
 
11. A voltagem ܸ em um circuito elétrico simples decresce lentamente à medida que a pilha se 
descarrega. A resistência ܴ aumenta lentamente com o aumento de calor do resistor. Use a Lei 
de Ohm, ܸ = ܫܴ, para achar como a corrente ܫ está variando no momento em que ܴ = 400 ߗ, 
ܫ = 0,08 ܣ, ܸ݀/݀ݐ = −0,01 ܸ/ݏ e ܴ݀/݀ݐ = 0,03 ߗ /ݏ. 
 
12. Se ݖ = ݂(ݔ − ݕ), mostre que డ௭
డ௫
+ డ௭
డ௬
= 0. 
 
13. Se ݖ = ݂(ݔ, ݕ), onde ݔ = ݏ + ݐ e ݕ = ݏ − ݐ, mostre que ቀడ௭
డ௫
ቁ
ଶ
− ቀడ௭
డ௬
ቁ
ଶ
= డ௭
డ௦
డ௭
డ௧
. 
14. Uma função ݂ é chamada de função homogênea de ݊-ésimo grau se satisfaz a equação 
݂(ݐݔ, ݐݕ) = ݐ௡݂(ݔ, ݕ) para todo ݐ, onde ݊ é um inteiro positivo e ݂ tem derivadas parciais de 
segunda ordem contínuas. 
 
a) Verifique se ݂(ݔ, ݕ) = ݔଶݕ + 2ݔݕଶ + 5ݕଷ é homogênea de grau 3. 
 
b) Mostre que, se ݂ é homogênea de grau ݊, então ݔ డ௙
డ௫
+ ݕ డ௙
డ௬
= ݂݊(ݔ, ݕ). 
 
Dica: Utilize a regra da cadeia para derivar ݂(ݐݔ, ݐݕ) com relação ݐ. 
 
15. Seja ݂ homogênea de grau ݊. Mostre que: 
a) ݔଶ డ
మ௙
డ௫మ
+ 2ݔݕ డ
మ௙
డ௫డ௬
+ ݕଶ డ
మ௙
డ௬మ
= ݊(݊ − 1)݂(ݔ, ݕ) b) ௫݂(ݐݔ, ݐݕ) = ݐ௡ିଵ ௫݂(ݔ, ݕ) 
16. Suponha que a equação ܨ(ݔ, ݕ, ݖ) = 0 defina implicitamente cada uma das três variáveis ݔ, 
ݕ e ݖ como funções das outras duas: ݖ = ݂(ݔ, ݕ), ݕ = ݃(ݔ, ݖ), ݔ = ℎ(ݕ, ݖ) . Se ܨ for diferenciável 
e ܨ௫, ܨ௬ e ܨ௭ forem todas não nulas, mostre que 
 
߲ݖ
߲ݔ
߲ݔ
߲ݕ
߲ݕ
߲ݖ
= −1 
Seção 5. Derivadas direcionais, Gradiente, Máximos e Mínimos 
1. Determine a derivada direcional de ݂ no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo ߠ. 
 
a) ݂(ݔ, ݕ) = ݏ݁݊(ݔ + 2ݕ), (4, −2), ߠ = 3ߨ/4 b) ݂(ݔ, ݕ) = ݔ݁ିଶ௬, (5,0), ߠ = ߨ/2 
 
2. Dadas as funções ݂(ݔ, ݕ) = ݕ ݈݊ݔ e ݂(ݔ, ݕ, ݖ) = ݔݕଶݖଷ, considere os respectivos pontos 
ܲ(1, −3) e ܲ(1, −2,1) e vetores ݑ = ቀ− ସ
ହ
, ଷ
ହ
ቁ e ݑ = ቀ ଵ
√ଷ
, − ଵ
√ଷ
, ଵ
√ଷ
ቁ. 
a) Determine o gradiente de ݂. 
b) Calcule o gradiente no ponto ܲ. 
c) Determine a taxa de variação de ݂ em ܲ na direção do vetor ݑ. 
3. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor indicado. 
 
a) ݂(ݔ, ݕ) = 1 + 2ݔඥݕ, ponto ܲ(3,4), direção ݑ = (4, −3). 
b) ݃(ݏ, ݐ) = ݏଶ݁௧, ponto ܳ(2,0), direção ݒ = ݅ + ݆. 
c) ݂(ݔ, ݕ, ݖ) = ඥݔଶ + ݕଶ + ݖଶ, ponto ܲ(1,2, −2), direção ݑ = (−6,6, −3). 
d) ݃(ݔ, ݕ, ݖ) = ݖଷ − ݔଶݕ, ponto ܳ(1,6,2), direção ݒ = 3݅ + 4݆ + 12݇. 
4. Determine a derivada direcional de ݂(ݔ, ݕ) = ඥݔݕ em ܲ(2,8) na direção de ܳ(5,4). 
5. Determine a taxa de variação máxima de ݂ no ponto dado e a direção em que isso ocorre. 
 
a) ݂(ݔ, ݕ) = ݔ݁ି௬ + 3ݕ, ܲ(1,0). 
b) ݃(ݔ, ݕ) = ln (ݔଶ + ݕଶ), ܳ(1,2). 
c) ݂(ݔ, ݕ, ݖ) = ݔଶݕଷݖସ, ܲ(1,1,1). 
d) ݃(ݔ, ݕ, ݖ) = ௫
௬
+ ௬
௭
, ܳ(4,2,1). 
6. Seja ݂ uma função de duas variáveis que tenha derivadas parciais contínuas e considere os 
pontos ܣ(1,3), ܤ(3,3), ܥ(1,7) e ܦ(6,15). A derivada direcional de ݂ em ܣ na direção do vetor ܣܤሬሬሬሬሬറ 
é 3, e a derivada direcional em ܣ na direção ܣܥሬሬሬሬሬറ é 26. Determine a derivada direcional de ݂ em ܣ 
na direção do vetor ܣܦሬሬሬሬሬറ. 
 
7. Para o mapa de contorno dado, desenhe as curvas de maior crescimento em ܲ e em ܳ. 
 
 
8. Suponha que ݑ e ݒ sejam funções diferenciáveis de ݔ, ݕ e que ܽ, ܾ sejam constantes. Mostre 
que a operação de calcular o gradiente de uma função tem as seguintes propriedades: 
 
a) ∇(ܽݑ + ܾݒ) = ܽ∇ݑ + ܾ∇ݒ b) ∇(ݑݒ) = ݑ∇ݒ + ݒ∇ݑ 
c) ∇ ቀ୳
୴
ቁ = ௩∇௨ ି ௨∇௩
௩మ
 d) ∇u୬ = nu୬ିଵ∇ݑ 
9. Encontre uma equação do plano tangente e da reta normal à superfície dada no ponto 
especificado. 
 
a) ݔଶ + 2ݕଶ + 3ݖଶ = 21, ܲ(4, −1,1). 
b) ݖ + 1 = ݔ݁௬ cos(ݖ), ܳ(1,0,0). 
 
c) ݔ݁௬௭ = 1, ܴ(1,0,5). 
 
10. Se ݃(ݔ, ݕ) = ݔ − ݕଶ, determine o vetor gradiente ∇݃(3, −1) e use-o para determinar a reta 
tangente à curva de nível ݃(ݔ, ݕ) = 2 no ponto (3, −1). Esboce a curva de nível, a reta tangente 
e o vetor gradiente. 
 
11. Mostre que a equação do plano tangente ao elipsoide ௫
మ
௔మ
+ ௬
మ
௕మ
+ ௭
మ
௖మ
= 1 no ponto (ݔ଴, ݕ଴, ݖ଴) 
pode ser escrita como ௫௫బ
௔మ
+ ௬௬బ
௕మ
+ ௭௭బ
௖మ
= 1. 
 
12. Determine os pontos sobre o elipsoide ݔଶ + 2ݕଶ + 3ݖଶ = 1 onde o plano tangente é paralelo 
ao plano 3ݔ − ݕ + 3ݖ = 1. 
 
13. Mostre que o elipsoide 3ݔଶ + 2ݕଶ + ݖଶ = 9 e a esfera ݔଶ + ݕଶ + ݖଶ − 8ݔ − 6ݕ − 8ݖ + 24 = 0 
se tangenciam no ponto (1,1,2) (isso significa que eles têm um plano tangente comum nesse 
ponto). 
 
14. Mostre que todo plano que é tangente ao cone ݔଶ + ݕଶ = ݖଶ passa pela origem. 
 
15. Mostre que toda reta normal à esfera ݔଶ + ݕଶ + ݖଶ = ݎଶ passa pelo centro da esfera. 
 
16. Mostre que a soma das intersecções com os eixos ݔ, ݕ e ݖ de qualquer plano tangente à 
superfície √ݔ + ඥݕ + √ݖ = √ܿ é uma constante. 
 
17. Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva formada pela intersecção do 
paraboloide ݖ = ݔଶ + ݕଶ com o elipsoide 4ݔଶ + ݕଶ + ݖଶ = 9 no ponto (−1,1,2). 
 
18. Duas superfícies são ditas ortogonais em um ponto de intersecção se suas normais são 
perpendiculares nesse ponto. 
 
a) Mostre que superfícies com equações ܨ(ݔ, ݕ, ݖ) = 0 e ܩ(ݔ, ݕ, ݖ) = 0 são ortogonais no ponto 
ܲ onde ∇ܨ ≠ 0 e ∇ܩ ≠ 0 se, e somente se, ܨ௫ܩ௫ + ܨ௬ܩ௬ + ܨ௭ܩ௭ = 0 em ܲ. 
 
b) Use o item (a) para mostrar que as superfícies ݖଶ = ݔଶ + ݕଶ e ݔଶ + ݕଶ + ݖଶ = ݎଶ são ortogonais 
em todo ponto de intersecção. Você pode ver isso sem fazer os cálculos? 
 
19. Suponha que(1,1) seja um ponto crítico de uma função ݂ com derivadas de segunda ordem 
contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre ݂? 
 
a) ௫݂௫(1,1) = 4, ௫݂௬(1,1) = 1, ௬݂௬(1,1) = 2 
b) ௫݂௫(1,1) = 4, ௫݂௬(1,1) = 3, ௬݂௬(1,1) = 2 
20. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das funções abaixo: 
 
a)݂(ݔ, ݕ) = ݔଶ + ݕଶ + ݔଶݕ + 4 b) ݂(ݔ, ݕ) = ݁ସ௬ ି ௫మ ି ௬మ 
 
c) ݂(ݔ, ݕ) = 2ݔଷ + ݔݕଶ + 5ݔଶ + ݕଶ d) ݂(ݔ, ݕ) = ݔݕ − 2ݔ − ݕ 
 
e) ݂(ݔ, ݕ) = ௫
మ௬మ ି ଼௫ ା ௬
௫௬
 f) ݂(ݔ, ݕ) = ݁௫ cos(ݕ) 
 
g) ݂(ݔ, ݕ) = ݔ sen(y) 
 
21. Determine os valores máximo e mínimo absolutos de ݂ no conjunto ܦ especificado abaixo: 
a) ݂(ݔ, ݕ) = 5 − 3ݔ + 4ݕ, ܦ é a região triangular fechada com vértices (0,0), (4,0) e (4,5). 
b) ݂(ݔ, ݕ) = ݔଶ + ݕଶ + ݔଶݕ + 4, ܦ = ሼ(ݔ, ݕ) ∈ ℝଶ/ |ݔ| ≤ 1, |ݕ| ≤ 1ሽ. 
c) ݂(ݔ, ݕ) = 1 + ݔݕ − ݔ − ݕ, ܦ é a região limitada pela parábola ݕ = ݔଶ e a reta ݕ = 4. 
22. Determine a menor distância entre o ponto (2, −2,3) e o plano 6ݔ + 4ݕ − 3ݖ = 2. 
23. Determine os pontos da superfície ݖଶ = ݔݕ + 1 que estão mais próximos da origem. 
 
24. Determine três números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é máximo. 
 
25. Quais as dimensões da caixa retangular de maior volume se 64 ܿ݉ଶ é sua área total de 
superfície. 
 
26. Determine as dimensões de uma caixa retangular de volume máximo tal que a soma dos 
comprimentos de suas 12 arestas seja uma constante ܿ. 
 
27. Suponha que um cientista tenha razões para acreditar que duas quantidades ݔ e ݕ estejam 
relacionadas linearmente, ou seja, ݕ = ݉ݔ + , pelo menos aproximadamente, para algum valor 
de ݉ e ܾ. O cientista realiza uma experiência e coleta os dados na forma de pontos (ݔଵ, ݕଵ), 
(ݔଶ, ݕଶ), ..., (ݔ௡ , ݕ௡), e então coloca-os em um gráfico. Os pontos não estão todos alinhados, de 
modo que o cientista quer determinar as constantes ݉ e ܾ para que a reta ݕ = ݉ݔ + “ajuste” 
(“aproxime”) os pontos tanto quanto possível (veja a figura). 
 
 
 
Seja ݀௜ = ݕ௜ − (݉ݔ௜ + ܾ) o desvio vertical do ponto (ݔ௜ , ݕ௜) da reta. O método dos mínimos 
quadrados determina ݉ e ܾ de modo a minimizar ∑ ݀௜ଶ௡௜ୀଵ , a soma dos quadrados dos desvios. 
Mostre que, de acordo com esse método, a reta de melhor ajuste é obtida quando 
 
݉ ∑ ݔ௜ + ܾ݊ = ∑ ݕ௜௡௜ୀଵ௡௜ୀଵ e ݉ ∑ ݔ௜ ଶ + ܾ ∑ ݔ௜௡௜ୀଵ = ∑ ݔ௜ݕ௜௡௜ୀଵ௡௜ୀଵ 
 
Dessa forma, a reta é determinada ao resolver essas duas equações nas incógnitas ݉ e ܾ. 
 
Seção 6. Integrais Duplas 
1. Determine ׬ ݂(ݔ, ݕ)݀ݔଷ଴ e ׬ ݂(ݔ, ݕ)݀ݕ
ସ
଴ se ݂(ݔ, ݕ) = 2ݔ + 3ݔ
ଶݕ. 
2. Numeradas de 1 a 6, uma região ܴ é mostrada abaixo. Decida se você deve usar coordenadas 
polares ou retangulares, e escreva ∬ ݂(ݔ, ݕ) ݀ܣோ como uma integral iterada, onde ݂ é uma 
função qualquer contínua em ܴ. 
 
 
3. Calcule a integral dupla. 
a) ׬ ׬ (1 + 4ݔݕ) ݀ݔ݀ݕଵ଴
ଷ
ଵ b) ׬ ׬ ݏ݁݊(ݔ)cos (ݕ) ݀ݕ݀ݔ
గ/ଶ
଴
గ/ଶ
଴ 
c) ׬ ׬ ݏ݁݊(ݔ + ݕ) ݀ݕ݀ݔగ/ଶ଴
గ/ଶ
଴ d) ׬ ׬ ቀ
௫
௬
+ ௬
௫
ቁ ݀ݕ݀ݔଶଵ
ସ
ଵ 
e) ׬ ׬ (ݔ + ݕ)ିଶ ݀ݔ݀ݕଵ଴
ଶ
ଵ f) ׬ ׬ ݁
ଶ௫ ି௬ ݀ݔ݀ݕ௟௡଴
௟௡
଴ 
g) ׬ ׬ (ݔ + 2ݕ) ݀ݕ݀ݔ௫
మ
଴
ଵ
଴ h) ׬ ׬ √ݔ ݀ݔ݀ݕ
௘೤
௬
ଵ
଴ 
i) ׬ ׬ ݁௦௘௡(ఏ) ݀ݎ݀ߠୡ୭ୱ (ఏ)଴
గ/ଶ
଴ 
j) ׬ ׬ ݁௫మା௬మ ݀ݕ݀ݔ
ඥଵ ି ௫మ
଴
ଵ
଴ , sugestão: converta antes para coordenadas polares 
k) ׬ ׬ (ݔଶ + ݕଶ)ଷ/ଶ ݀ݔ݀ݕඥ௔
మ ି ௬మ
଴
௔
ି௔ , sugestão: converta antes para coordenadas polares 
l) ∬ ݔݕ݁௬ ݀ܣோ , ܴ = ሼ(ݔ, ݕ) ∈ ℝ
ଶ/ 0 ≤ ݔ ≤ 2, 0 ≤ ݕ ≤ 1ሽ 
m) ∬ ௫௬
మ
௫మ ା ଵ
 ݀ܣோ , ܴ = ሼ(ݔ, ݕ) ∈ ℝ
ଶ/ 0 ≤ ݔ ≤ 1, −3 ≤ ݕ ≤ 3ሽ 
n) ∬ ଵ ା ௫
మ
ଵ ା ௬మ
 ݀ܣோ , ܴ = ሼ(ݔ, ݕ) ∈ ℝ
ଶ/ 0 ≤ ݔ ≤ 1, 0 ≤ ݕ ≤ 1ሽ 
o) ∬ ݔ ݏ݁݊(ݔ + ݕ) ݀ܣோ , ܴ = [0, ߨ/6] × [0, ߨ/3] 
p) ∬ ଵ௫ ା ௬ ݀ܣோ , ܴ = [1,2] × [0,1] 
q) ∬ ݔ ݀ܣோ , onde ܴ é o disco com centro na origem e raio 5 (use coordenadas polares) 
r) ∬ ݔݕ ݀ܣோ , onde ܴ é a região do primeiro quadrante compreendida entre os seguintes círculos, 
ݔଶ + ݕଶ = 4 e ݔଶ + ݕଶ = 25 (use coordenadas polares) 
s) ∬ ݁ି ௫మି௬మ ݀ܣ஽ , onde ܦ é a região limitada pelo semicírculo ݔ = ඥ4 − ݕଶ e o eixo ݕ (use 
coordenadas polares) 
t) ∬ ଶ௬௫మ ା ଵ ݀ܣ஽ , ܦ = ൛(ݔ, ݕ) ∈ ℝ
ଶ/ 0 ≤ ݔ ≤ 1, 0 ≤ ݕ ≤ √ݔൟ 
u) ∬ ݁௫/௬ ݀ܣ஽ , ܦ = ሼ(ݔ, ݕ) ∈ ℝ
ଶ/ 1 ≤ ݕ ≤ 2, ݕ ≤ ݔ ≤ ݕଷሽ 
v) ∬ (ݔ + ݕ) ݀ܣ஽ , ܦ é limitada por ݕ = √ݔ e ݕ = ݔ
ଶ 
w) ∬ ݕଷ ݀ܣ஽ , ܦ é a região triangular com vértices (0,2), (1,1) e (3,2) 
x) ∬ ݔ ݀ܣ஽ , onde ܦ é a região do primeiro quadrante compreendida entre os seguintes círculos, 
ݔଶ + ݕଶ = 4 e ݔଶ + ݕଶ = 2ݔ (use coordenadas polares) 
4. Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada 
න න(4 − ݔ − 2ݕ) ݀ݔ݀ݕ
ଵ
଴
ଵ
଴
 
5. Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. 
a) ׬ ׬ ݂(ݔ, ݕ) ݀ݕ݀ݔ௫଴
ଵ
଴ b) ׬ ׬ ݂(ݔ, ݕ) ݀ݕ݀ݔ
௟௡௫
଴
ଶ
ଵ c) ׬ ׬ ݂(ݔ, ݕ) ݀ݔ݀ݕ
ଶ
௬/ଶ
ସ
଴ 
6. Calcule a integral trocando a ordem de integração. 
a) ׬ ׬ ݁௫మ ݀ݔ݀ݕଷଷ௬
ଵ
଴ b) ׬ ׬ √ݔଷ + 1 ݀ݔ݀ݕ
ଵ
√௬
ଵ
଴ c) ׬ ׬ ݔ
ଷݏ݁݊(ݕଷ) ݀ݕ݀ݔଵ௫మ
ଵ
଴ 
7. Utilize a integral dupla para determinar a área das seguintes regiões: 
a) Um laço da rosácea ݎ = ܿ݋ݏ(3ߠ). 
b) A região dentro do círculo ݎ = 4 ݏ݁݊(ߠ) e fora do círculo ݎ = 2. 
8. Use a integral dupla para determinar o volume do sólido dado. 
 
a) Sólido que é limitado acima pelo plano ݖ = 2ݔ + 5ݕ + 1 e abaixo pelo retângulo, definido por 
ܴ = ሼ(ݔ, ݕ) ∈ ℝଶ/ −1 ≤ ݔ ≤ 0, 1 ≤ ݕ ≤ 4ሽ. 
 
b) Sólido que está abaixo do paraboloide hiperbólico ݖ = ݕଶ − ݔଶ e acima do retângulo, definido 
por ܴ = [−1,1] × [1,3]. 
 
c) Sólido limitado pela superfície ݖ = ݔඥݔଶ + ݕ e os planos ݔ = 0, ݔ = 1, ݕ = 0, ݕ = 1 e ݖ = 0. 
 
d) Sólido limitado pelo paraboloide elíptico ݖ = 1 + (ݔ − 1)ଶ + 4ݕଶ, pelos planos ݔ = 3 e ݕ = 2, 
e pelos planos coordenados. 
e) Sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro ݖ = 9 − ݕଶ e pelo plano ݔ = 2. 
 
9. Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado. 
 
a) Abaixo do paraboloide ݖ = ݔଶ + ݕଶ e acima do disco ݔଶ + ݕଶ ≤ 9 
 
b) Dentro da esfera ݔଶ + ݕଶ + ݖଶ = 16 e fora do cilindro ݔଶ + ݕଶ = 4 
 
c) Uma esfera de raio ܽ 
 
d) Acima do cone ݖ = ඥݔଶ + ݕଶ e abaixo da esfera ݔଶ + ݕଶ + ݖଶ = 1 
 
e) Limitada pelos paraboloides ݖ = 3ݔଶ + 3ݕଶ e ݖ = 4 − ݔଶ − ݕଶ 
 
10. Em relação aos teoremas de Fubini e Clairaut: 
a) Em que aspectos são semelhantes? 
b) Se ݂(ݔ, ݕ) é contínua em [ܽ, ܾ] × [ܿ, ݀] e ݃(ݔ, ݕ) = ׬ ׬ ݂(ݏ, ݐ) ݀ݐ݀ݏ௬௖
௫
௔ , para ܽ < ݔ < ܾ e ܿ < ݕ <
݀, mostre que 
݃௫௬ = ݃௬௫ = ݂(ݔ, ݕ). 
11. No cálculo de uma integral dupla sobre uma região ܦ, obtivemos uma soma de integrais 
iteradas como a que segue: 
 
ඵ ݂(ݔ, ݕ) ݀ܣ
஽
= න න ݂(ݔ, ݕ) ݀ݔ݀ݕ
ଶ௬
଴
ଵ
଴
+ න න ݂(ݔ, ݕ) ݀ݔ݀ݕ
ଷି௬
଴
ଷ
ଵ
 
 
Esboce a região ܦ e expresse a integral dupla como uma integral iterada com ordem de 
integração contrária. 
 
12. Calcule ∬ (ݔଶݐ݃(ݔ) + ݕଷ + 4)݀ܣ஽ , onde ܦ = ሼ(ݔ, ݕ) ∈ ℝ
ଶ/ ݔଶ + ݕଶ ≤ 2ሽ. 
 
Dica: Explore o fato de que ܦ é simétrica com relação a ambos os eixos. 
 
13. Seja ܦ o disco ݔଶ + ݕଶ ≤ 1. Calcule a integral abaixo identificando-a primeiro como o 
volume de um sólido. 
 
ඵ ඥ1 − ݔଶ − ݕଶ ݀ܣ
஽
 
 
 
14. Definimos uma integral imprópria (sobre todo plano ℝଶ) por 
 
ܫ = ඵ ݁ି൫௫మା௬మ൯ ݀ܣ
ℝమ
= න න ݁ି൫௫మା௬మ൯ ݀ݕ݀ݔ
ஶ
ିஶ
ஶ
ିஶ
= lim
௔⟶ஶ
ඵ ݁ି൫௫మା௬మ൯ ݀ܣ
డೌ
 
 
onde ߲௔ é o disco com raio ܽ e centro na origem. 
 
a) Mostre que 
 
න න ݁ି൫௫మା௬మ൯ ݀ܣ
ஶ
ିஶ
ஶ
ିஶ
= ߨ 
 
b) Uma definição equivalente a ܫ é 
 
ඵ ݁ି൫௫మା௬మ൯ ݀ܣ
ℝమ
= lim
௔⟶ஶ
ඵ ݁ି൫௫మା௬మ൯ ݀ܣ
ௌೌ
 
 
onde ܵ௔ é o quadrado com vértices (±ܽ, ±ܽ). Use esse resultado para mostrar que 
 
න ݁ି௫మ
ஶ
ିஶ
݀ݔ න ݁ି௬మ
ஶ
ିஶ
݀ݕ = ߨ 
 
c) Deduza 
න ݁ି௫మ
ஶ
ିஶ
݀ݔ = √ߨ 
 
d) Fazendo a mudança de variável ݐ = √2ݔ, mostre que 
 
න ݁ି௫మ/ଶ
ஶ
ିஶ
݀ݔ = √2ߨ 
 
Nota: Esse resultado é fundamental para probabilidade e estatística. 
 
15. Utilize o resultado do item (c) do exercício anterior para calcular as seguintes integrais: 
 
a) ׬ ݔଶ݁ି௫మஶ଴ ݀ݔ 
 
b) ׬ √ݔ ݁ି௫ஶ଴ ݀ݔ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Aplicações Geométricas das IntegraisDuplas) 
 
16. Seja ܵ a superfície com equação ݖ = ݂(ݔ, ݕ), onde ݂ tem derivadas parciais contínuas. 
Podemos provar que, para todo (ݔ, ݕ) ∈ ܦ ≔ ܦ௙, a área da superfície ܵ é 
ܣ(ܵ) = ඵ ඨ1 + ൬
߲ݖ
߲ݔ
൰
ଶ
+ ൬
߲ݖ
߲ݕ
൰
ଶ
 ݀ܣ
஽
 
 
Use a fórmula ܣ(ܵ) para determinar a área das superfícies especificadas abaixo. 
a) A parte do plano ݖ = 2 + 3ݔ + 4ݕ que está acima do retângulo [0,5] × [1,4]. 
 
b) A parte do plano 2ݔ + 5ݕ + ݖ = 10 que está dentro do cilindro ݔଶ + ݕଶ = 9. 
 
c) A parte do plano 3ݔ + 2ݕ + ݖ = 6 que está dentro do primeiro octante. 
 
d) A parte do cilindro ݕଶ + ݖଶ = 9 que está acima do retângulo com vértices (0,0), (4,0), (0,2) e 
(4,2). 
 
e) A parte do paraboloide hiperbólico ݖ = ݕଶ − ݔଶ que está entre os cilindros ݔଶ + ݕଶ = 1 e ݔଶ +
ݕଶ = 4 (use coordenadas polares). 
 
f) A parte da esfera ݔଶ + ݕଶ + ݖଶ = 4 acima do plano ݖ = 1 (use coordenadas polares). 
 
17. Utilize a fórmula ܣ(ܵ), do exercício anterior, para mostrar que a área da parte do plano ݖ =
ܽݔ + ܾݕ + ܿ que projeta sobre uma região ܦ no plano ݔݕ com área ܣ(ܦ) é 
 
ඥܽଶ + ܾଶ + 1 ܣ(ܦ) 
 
18. A figura mostra a superfície criada quando o cilindro ݕଶ + ݖଶ = 1 intersecta o cilindro ݔଶ +
ݖଶ = 1. Use a fórmula ܣ(ܵ) do exercício 21 para encontrar a área desta superfície. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Aplicações Físicas das Integrais Duplas) 
 
19. Em Cálculo II, fazendo uso das integrais simples (unidimensionais), somos capazes de 
calcular momentos e centro de massa de placas finas ou lâminas de densidade constante. 
Definimos o ݉݋݉݁݊ݐ݋ de uma partícula em relação a um eixo como o produto de sua massa pela 
distância (perpendicular) ao eixo. Chamamos de c݁݊ݐݎ݋ ݀݁ ݉ܽݏݏܽ ou ܿ݁݊ݐݎ݋ ݀݁ ݃ݎܽݒ݅݀ܽ݀݁ o 
ponto ࡼ no qual uma fina placa de qualquer formato se equilibra horizontalmente (veja figura (a)). 
 
(ࢇ) (࢈)
(ࢉ)
 
 
Agora, em Cálculo III, com auxílio das integrais duplas (multivariáveis), temos condições de 
considerar lâminas com densidade variável. De fato, suponha que uma lâmina ocupe uma região 
ܦ do plano ݔݕ e que sua ݀݁݊ݏ݅݀ܽ݀݁ (em unidades de massa por unidade de área) no ponto (ݔ, ݕ) 
em ܦ seja definida pela função ߩ(ݔ, ݕ) = ݈݅݉ ∆௠
∆஺
, contínua sobre ܦ, onde ∆݉ e ∆ܣ são a massa e 
a área de um pequeno retângulo que contém (ݔ, ݕ). Aqui, tomamos o limite quando as dimensões 
do retângulo se aproximam de 0 (veja figura (b)). A ݉ܽݏݏܽ ݐ݋ݐ݈ܽ ݉ é dada por ݉ = ∬ ߩ(ݔ, ݕ) ݀ܣ஽ , 
e podemos concluir que o momento da lâmina inteira em relação ao eixo ݔ e em relação ao eixo 
ݕ é, respectivamente, ܯ௫ = ∬ ݕߩ(ݔ, ݕ) ݀ܣ஽ e ܯ௬ = ∬ ݔߩ(ݔ, ݕ) ݀ܣ஽ . É bom salientar que físicos 
consideram ainda outros tipos de densidade que podem ser tratados da mesma maneira. Por 
exemplo, se uma carga elétrica está distribuída sobre uma região ܦ e a densidade de carga (em 
unidades de carga por unidade de área) é dada por ߪ(ݔ, ݕ) em um ponto (ݔ, ݕ) em ܦ, então a 
carga total ܳ é dada pela integral ܳ = ∬ ߪ(ݔ, ݕ) ݀ܣ஽ . Bom, como anteriormente, definimos o 
centro de massa (̅ݔ, ݕത) de modo que ݉̅ݔ = ܯ௬ e ݉ݕത = ܯ௫. O significado físico disso é que a 
lâmina se comporta como se toda sua massa estivesse concentrada em seu centro de massa. 
Assim, a lâmina permanece horizontal quando equilibrada em seu centro de massa (veja figura 
(c)). Considerando a massa total ݉ = ∬ ߩ(ݔ, ݕ) ݀ܣ஽ , definimos as ܿ݋݋ݎ݀݁݊ܽ݀ܽݏ ݀݋ ܿ݁݊ݐݎ݋ ݀݁ 
݉ܽݏݏܽ de uma lâmina que ocupa uma certa região ܦ e tendo ߩ(ݔ, ݕ) como função densidade, 
por ̅ݔ = ெ೤
௠
= ଵ
௠ ∬ ݔߩ(ݔ, ݕ) ݀ܣ஽ e ݕത =
ெೣ
௠
= ଵ
௠ ∬ ݕߩ(ݔ, ݕ) ݀ܣ஽ . O ݉݋݉݁݊ݐ݋ ݀݁ ݅݊éݎܿ݅ܽ (também 
chamado ݏ݁݃ݑ݊݀݋ ݉݋݉݁݊ݐ݋) de uma partícula de massa ݉ em relação a um eixo é definido 
como ݉ݎଶ, onde ݎ é a distância da partícula ao eixo. Estendemos o conceito a uma lâmina com 
função densidade e que ocupa uma região ܦ através do mesmo processo que fizemos para os 
momentos normais. O momento de inércia da lâmina em relação ao eixo ݔ, em relação ao eixo 
ݕ e em torno da origem (݉݋݉݁݊ݐ݋ ݌݋݈ܽݎ ݀݁ ݅݊éݎܿ݅ܽ) é, respectivamente, 
 
ܫ௫ = ∬ ݕଶߩ(ݔ, ݕ) ݀ܣ஽ , ܫ௬ = ∬ ݔ
ଶߩ(ݔ, ݕ) ݀ܣ஽ e ܫ଴ = ∬ (ݔ
ଶ + ݕଶ)ߩ(ݔ, ݕ) ݀ܣ஽ . 
 
Digamos que uma lâmina ocupa a parte do disco ݔଶ + ݕଶ ≤ 1 no primeiro quadrante. Determine 
o centro de massa da lâmina se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do 
ponto ao eixo ݔ. Faça o mesmo em relação ao quadrado da distância do ponto à origem. E mais, 
determine os momentos de inércia ܫ௫, ܫ௬ e ܫ଴ para a lâmina do caso referente à origem. 
 
20. Tendo em vista o exercício anterior, considere uma pá quadrada de um ventilador com lados 
de comprimento 2 e com o canto inferior esquerdo colocado na origem. Se a densidade da pá 
for ߩ(ݔ, ݕ) = 1 + 0,1ݔ, é mais difícil girar a pá em torno do eixo ݔ ou do eixo ݕ? 
 
 
 
21. (Aplicação Probabilística das Integrais Duplas) 
 
Também, em Cálculo II, fazendo uso das integrais simples (unidimensionais), defini-se a ݂ݑ݊çã݋ 
݀݁݊ݏ݅݀ܽ݀݁ ݀݁ ݌ݎ݋ܾܾ݈ܽ݅݅݀ܽ݀݁ ݂ ݀݁ ݑ݉ܽ ݒܽݎ݅áݒ݈݁ ݈ܽ݁ܽݐóݎ݅ܽ ܿ݋݊ݐí݊ݑܽ ܺ. Isso significa que ݂(ݔ) ≥
0, para todo ݔ, ׬ ݂(ݔ)݀ݔ = 1ஶିஶ e a probabilidade de que ܺ esteja entre ܽ e ܾ é determinada por 
ܲ(ܽ ≤ ܺ ≤ ܾ) = ׬ ݂(ݔ)݀ݔ௕௔ . Além disso, se ܺ é uma variável aleatória com função densidade de 
probabilidade ݂, defini-se ݉é݀݅ܽ ܺ ou ݒ݈ܽ݋ݎ ݁ݏ݌݁ݎܽ݀݋ ܺ por ߤ = ׬ ݔ݂(ݔ)ஶିஶ ݀ݔ. Consideremos 
agora um par de variáveis aleatórias ܺ e ܻ como o tempo de vida de dois componentes de uma 
máquina ou a altura e o peso de uma mulher adulta escolhida ao acaso. A 
݂ݑ݊çã݋ ݀݁݊ݏ݅݀ܽ݀݁ ܿ݋݆݊ݑ݊ݐܽ ݀݁ ܺ ݁ ܻ é uma função ݂ de duas variáveis tais que a probabilidade 
de que (ܺ, ܻ) esteja em uma região ܦ seja ܲ൫(ܺ, ܻ) ∈ ܦ൯ = ∬ ݂(ݔ, ݕ) ݀ܣ஽ . Em particular, se a 
região for um retângulo, a probabilidade de que ܺ esteja entre ܽ e ܾ e de que ܻ esteja entre ܿ e 
݀ é dada pela integral dupla iterada ܲ(ܽ ≤ ܺ ≤ ܾ, ܿ ≤ ܻ ≤ ݀) = ׬ ׬ ݂(ݔ, ݕ) ݀ݕ݀ݔௗ௖
௕
௔ (veja figura). 
 
Nota: A probabilidade de que ܺ esteja entre ܽ e ܾ e de que ܻ esteja entre ܿ e ݀ é o volume do 
sólido acima do retângulo ܦ = [ܽ, ܾ] × [ܿ, ݀] e abaixo do gráfico da função densidade conjunta. 
 
Como probabilidades não podem ser negativas e são medidas na escala de 0 a 1, segue que a 
função densidade conjunta tem as propriedades ݂(ݔ, ݕ) ≥ 0 e ∬ ݂(ݔ, ݕ) ݀ܣℝమ = 1. E mais, como 
definido no exercício 14 da seção anterior, a integral dupla sobre ℝଶ é uma integral imprópria, 
dada como o limite da integral dupla sobre os círculos ou retângulos que se expandem, e 
podemos escrever ∬ ݂(ݔ, ݕ) ݀ܣℝమ = ׬ ׬ ݂(ݔ, ݕ) ݀ݔ݀ݕ
ஶ
ିஶ
ஶ
ିஶ = 1. Agora, suponha que ܺ seja uma 
variável aleatória com função densidade de probabilidade ଵ݂(ݔ) e ܻ seja uma variável aleatória 
com função densidade ଶ݂(ݕ). Então ܺ e Y são ditas variáveis aleatórias independentes se a 
função densidade conjunta for o produto das funções densidade individuais, isto é, o produto 
݂(ݔ, ݕ) = ଵ݂(ݔ) ଶ݂(ݕ). Também, se ܺ e Y são variáveis aleatórias com função densidade conjunta 
݂, definimos ݉é݀݅ܽ ܺ e ݉é݀݅ܽ ܻ, ou ݒ݈ܽ݋ݎ݁ݏ ݁ݏ݌݁ݎܽ݀݋ݏ de ܺ e ܻ por ߤଵ = ∬ ݔ݂(ݔ, ݕ) ݀ܣℝమ e ߤଶ =
∬ ݕ݂(ݔ, ݕ) ݀ܣℝమ , respectivamente. Agora, suponha que Xavier e Yolanda, alunos de Cálculo III, 
têm aulas que terminam ao meio-dia e concordaram em se encontrar todo dia depois das aulas. 
Eles chegam em um café separadamente. O tempo de chegada de Xavier é ܺ e o da Yolanda é 
ܻ, onde ܺ e ܻ são medidos em minutos após o meio-dia. As funções densidade individuais são 
 
ଵ݂(ݔ) = ൜
݁ି௫ , ݏ݁ ݔ ≥ 0
0, ݏ݁ ݔ ≥ 0 e ଶ݂(ݕ) = ቊ
ଵ
ହ଴
ݕ, ݏ݁ 0 ≤ ݕ ≤ 10
0, ݁݉ ܿܽݏ݋ ܿ݋݊ݐݎáݎ݅݋
. 
 
(Xavier chega algumas vezes depois do meio-dia, e é mais provável que ele chegue na hora do 
que se atrase. Yolanda sempre chega às 12h10 e é mais provável que se atrase do que chegue 
pontualmente.) Depois de Yolanda chegar, ela espera até meia hora por Xavier, mas ele não 
espera por ela. Determine a probabilidade de eles se encontrarem. 
Seção 7. Integrais Triplas 
1. Utilizando três ordens diferentes de integração,calcule a integral ∭ (ݔଶ + ݕݖ)ா ܸ݀, onde ܧ =
ሼ(ݔ, ݕ, ݖ) ∈ ℝଷ/ 0 ≤ ݔ ≤ 2, −3 ≤ ݕ ≤ 0, −1 ≤ ݖ ≤ 1ሽ. 
2. Calcule a integral tripla. 
a) ׬ ׬ ׬ 6ݔݖ௫ ା ௭଴ ݀ݕ݀ݔ݀ݖ
௭
଴
ଵ
଴ 
b) ׬ ׬ ׬ ݖ
ඥଵ ି ௭మ
଴ ݁
௬ ݀ݔ݀ݖ݀ݕଵ଴
ଷ
଴ 
c) ∭ 2ݔா ܸ݀, onde ܧ = ൛(ݔ, ݕ, ݖ) ∈ ℝ
ଷ/ 0 ≤ ݕ ≤ 2, 0 ≤ ݔ ≤ ඥ4 − ݕଶ, 0 ≤ ݖ ≤ ݕൟ 
d) ∭ 6ݔݕா ܸ݀, onde ܧ está abaixo do plano ݖ = 1 + ݔ + ݕ e acima da região do plano ݔݕ limitada 
pelas curvas ݕ = √ݔ, ݕ = 0 e ݔ = 1 
 
e) ∭ ݔݖா ܸ݀, onde ܧ é o sólido tetraedro com vértices (0,0,0), (0,1,0), (1,1,0) e (0,1,1) 
 
f) ∭ ݔா ܸ݀, onde ܧ é limitado pelo paraboloide ݔ = 4ݕ
ଶ + 4ݖଶ e pelo plano ݔ = 4 (use 
coordenadas polares) 
 
3. Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado. 
a) O tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano 2ݔ + 3ݕ + 6ݖ = 12 
b) O sólido limitado pelo cilindro ݔ = ݕଶ e os planos ݖ = 0 e ݔ + ݖ = 1 
4. Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada abaixo: 
a) ׬ ׬ ׬ ݀ݕ݀ݖ݀ݔଶ ି ଶ௭଴ 
ଵ ି ௫
଴
ଵ
଴ 
b) ׬ ׬ ׬ ݀ݔ݀ݖ݀ݕସ ି ௬
మ
଴ 
ଶ ି ௬
଴
ଶ
଴ 
5. Expresse a integral ∭ ݂(ݔ, ݕ, ݖ)ா ܸ݀ como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde 
E é o sólido limitado pelas superfícies dadas. 
 
a) ݔଶ + ݖଶ = 4, ݕ = 0, ݕ = 6 
b) ݖ = 0, ݔ = 0, ݕ = 2, ݖ = ݕ − 2ݔ 
c) ݖ = 0, ݖ = ݕ, ݔଶ = 1 − ݕ 
d) 9ݔଶ + 4ݕଶ + ݖଶ = 1 
6. O ݒ݈ܽ݋ݎ ݉é݀݅݋ de uma função de três variáveis ݂(ݔ, ݕ, ݖ) em uma região sólida ܧ é definido 
como 
௠݂éௗ =
1
ܸ(ܧ)
ම ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
ா
ܸ݀ 
 
onde ܸ(ܧ) é o volume de ܧ. Por exemplo, se ߩ é a função densidade, então ߩ௠éௗ é a densidade 
média de ܧ. Determine o valor médio da função ݂(ݔ, ݕ, ݖ) = ݔݕݖ no cubo com lados de 
comprimento ܮ que está no primeiro octante, com um vértice na origem e arestas paralelas aos 
eixos coordenados. 
(Aplicações das Integrais Triplas) 
 
7. Lembre-se do Cálculo II que se ݂(ݔ) ≥ 0, então a integral simples ׬ ݂(ݔ)݀ݔ௕௔ representa a área 
ܣ abaixo da curva ݕ = ݂(ݔ) de ܽ até ܾ (veja as duas figuras a esquerda). 
(ܣ ≈ ܵ݋݉ܽ ݀݁ ܴ݅݁݉ܽ݊݊) ቌܣ = න ݂(ݔ)݀ݔ
௕
௔
ቍ (ܸ ≈ ܵ݋ ݀ݑ݌݈ܽ ݀݁ ܴ݅݁݉ܽ݊݊)
ቌܸ = ඵ ݂(ݔ, ݕ) ݀ܣ
ோ
ቍ
 
Aqui, em Cálculo III, vimos que se ݂(ݔ, ݕ) ≥ 0, então a integral dupla ∬ ݂(ݔ, ݕ) ݀ܣ஽ representa o 
volume ܸ sob a superfície ݖ = ݂(ݔ, ݕ) acima de ܦ (veja as duas figuras a direita). A interpretação 
correspondente para a integral tripla ∭ ݂(ݔ, ݕ, ݖ)ா ܸ݀, onde ݂ (ݔ, ݕ, ݖ) ≥ 0, não é muito útil, porque 
seria um “hipervolume” de um objeto de quatro dimensões e, é claro, de muito difícil visualização 
(recorde-se que ܧ é somente o domínio da função ݂; o gráfico de ݂ pertence ao espaço 
quadridimensional). Apesar disso, a integral tripla ∭ ݂(ݔ, ݕ, ݖ)ா ܸ݀ pode ser interpretada de 
forma diversa em diferentes situações físicas, dependendo das interpretações físicas de ݔ, ݕ, ݖ e 
݂(ݔ, ݕ, ݖ). Em particular, no caso especial onde ݂(ݔ, ݕ, ݖ ) = 1 para todos os pontos em ܧ, a 
integral tripla representa o volume de ܧ, ou seja, ܸ(ܧ) = ∭ ܸ݀ா . Todas as aplicações de 
integrais duplas da seção anterior (exercícios 19 e 21) podem ser imediatamente estendidas para 
as integrais triplas. Por exemplo, se a função densidade de um objeto sólido que ocupa a região 
E é ߩ(ݔ, ݕ, ݖ), em unidades de massa por unidade de volume, em qualquer ponto (ݔ, ݕ, ݖ), então 
sua massa é ݉ = ∭ ߩ(ݔ, ݕ, ݖ)ா ܸ݀ e seus momentos em relação aos três planos coordenados 
são definidos pelas expressões ܯ௬௭ = ∭ ݔߩ(ݔ, ݕ, ݖ)ா ܸ݀ , ܯ௫௭ = ∭ ݕߩ(ݔ, ݕ, ݖ)ா e ܯ௫௬ =
∭ ݖߩ(ݔ, ݕ, ݖ)ா . O centro de massa está localizado no ponto (̅ݔ, ݕത, ݖഥ ), onde ̅ݔ =
ெ೤೥
௠
, ݕത = ெೣ೥
௠
 e ݖ̅ =
ெೣ೤
௠
. Se a densidade é constante, o centro de massa do sólido é chamado centroide de ܧ. Os 
momentos de inércia em relação aos três eixos coordenados são ܫ௫ = ∬ (ݕଶ + ݖଶ)ߩ(ݔ, ݕ, ݖ) ܸ݀ா , 
ܫ௬ = ∬ (ݔଶ + ݖଶ)ߩ(ݔ, ݕ, ݖ) ܸ݀ா e ܫ௭ = ∬ (ݔ
ଶ + ݕଶ)ߩ(ݔ, ݕ, ݖ) ܸ݀ா . Também, como anteriormente, a 
carga elétrica total sobre um objeto sólido ocupando a região ܧ e tendo uma densidade de carga 
ߪ(ݔ, ݕ, ݖ) é dado por ܳ = ∭ ߪ(ݔ, ݕ, ݖ) ா ܸ݀ . Por fim, se tivermos três variáveis aleatórias ܺ, ܻ e 
ܼ, sua função densidade conjunta é uma função das três variáveis, de forma que a probabilidade 
de (ܺ, ܻ, ܼ) estar em ܧ é ܲ((ܺ, ܻ, ܼ) ∈ ܧ) = ∭ ݂(ݔ, ݕ, ݖ)ܸ݀ா . Em particular, tem-se a seguinte 
probabilidade ܲ(ܽ ≤ ܺ ≤ ܾ, ܿ ≤ ܻ ≤ ݀, ݎ ≤ ܼ ≤ ݏ) = ׬ ׬ ׬ ݀ݖ݀ݕ݀ݔ௦௥ 
ௗ
௖
௕
௔ . A função densidade 
conjunta satisfaz ݂(ݔ, ݕ, ݖ) ≥ 0 e ׬ ׬ ׬ ݀ݖ݀ݕ݀ݔஶିஶ 
ஶ
ିஶ
ஶ
ିஶ = 1. Bom, vamos agora considerar o 
hemisfério ݔଶ + ݕଶ + ݖଶ ≤ 1, onde ݖ ≥ 0, com a função densidade, dada por ߩ(ݔ, ݕ, ݖ) =
ඥݔଶ + ݕଶ + ݖଶ . Escreva expressões integrais para a massa, o centro de massa e o momento de 
inércia em relação ao eixo ݖ. 
 
8. Suponha que a função densidade conjunta de variáveis aleatórias ܺ, ܻ e ܼ é dada por 
݂(ݔ, ݕ, ݖ) = ܥݔݕݖ se 0 ≤ ݔ ≤ 2, 0 ≤ ݕ ≤ 2, 0 ≤ ݖ ≤ 2 e ݂(ݔ, ݕ, ݖ) = 0 caso contrário. Determine o 
valor da constante ܥ e as probabilidades ܲ(ܺ ≤ 1, ܻ ≤ 1, ܼ ≤ 1) e ܲ(ܺ + ܻ + ܼ ≤ 1). 
Seção 8. Desafios 
1. Um retângulo com comprimento ܮ e largura ܹ é cortado em quatro retângulos menores por 
duas retas paralelas aos lados. Encontre os valores máximo e mínimo da soma dos quadrados 
das áreas dos retângulos menores. 
2. Biólogos marinhos determinaram que, quando um tubarão detecta a presença de sangue na 
água, ele nada na direção em que a concentração de sangue aumenta mais rapidamente. Com 
base em certos testes na água do mar, sabe-se que a concentração de sangue (em partes por 
milhão) em um ponto ܲ(ݔ, ݕ) na superfície é de aproximadamente 
ܥ(ݔ, ݕ) = ݁ି൫௫మାଶ௬మ൯/ଵ଴ర 
onde ݔ e ݕ são medidos em metros em coordenadas cartesianas com a fonte do sangue como 
origem. 
a) Identifique as curvas de nível da função concentração e esboce vários membros dessa 
família, junto com a trajetória que o tubarão deve percorrer para chegar à fonte. 
b) Suponha que um tubarão esteja no ponto (ݔ଴, ݕ଴) quando detecta a presença de sangue na 
água. Determine a equação da trajetória do tubarão escrevendo e resolvendo uma equação 
diferencial. 
3. Para que valores do número ݎ a função que segue é contínua em ℝଷ? 
݂(ݔ, ݕ, ݖ) =
ە
۔
ۓ
(ݔ + ݕ + ݖ)௥
ݔଶ + ݕଶ + ݖଶ
 , ݏ݁ (ݔ, ݕ, ݖ) ≠ 0
0 , ݏ݁ (ݔ, ݕ, ݖ) = 0
 
4. Verifique a escrita da equação de Laplace tridimencional a seguir nos casos abaixo. 
߲ଶݑ
߲ݔଶ
+
߲ଶݑ
߲ݕଶ
+
߲ଶݑ
߲ݖଶ
= 0 
a) Em coordenadas cilíndricas 
߲ଶݑ
߲ݎଶ
+
1
ݎ
߲ݑ
߲ݎ
+
1
ݎଶ
߲ଶݑ
߲ߠଶ
+
߲ଶݑ
߲ݖଶ
= 0 
b) Em coordenadas esféricas 
߲ଶݑ
߲ߩଶ
+
2
ߩ
߲ݑ
߲ߩ
+
ܿ݋ݐ݃ (߶)
ߩଶ
߲ݑ
߲߶
+
1
ߩଶ
߲ଶݑ
߲߶ଶ
+
1
ߩଶݏ݁݊ଶ (߶)
߲ଶݑ
߲ߠଶ
= 0 
5. Mostre que 
 
න න න
1
1 − ݔݕݖ
ଵ
଴
ଵ
଴
ଵ
଴
݀ݔ݀ݕ݀ݖ = ෍
1
݊ଷ
ஶ
௡ୀଵ
 
 
Curiosidade: 
Ninguém jamais foi capaz de determinar o valor exato da soma dessa série! 
 
Respostas 
 
Capítulo 5 
Seção 1. Funções Multivariáveis 
1. a) O valor de ݂(8,60), a saber -7, significa que uma temperatura de 8°ܥ com um vento 
soprando a 60 ݇݉/ℎ nos faz sentir o equivalente a -7°ܥ sem vento. 
b) Descrição: Quando a temperatura é -12°ܥ, qual velocidade do vento fornece um vento frio de 
-26°ܥ? Resposta: ݒ = 20 ݇݉/ℎ. 
c) Descrição: Com uma velocidade do vento de 80 ݇݉/ℎ, qual temperatura fornece um vento frio 
de -14? Resposta: 4°ܥ. 
d) A igualdade ܫ = ݂(−4, ݒ) significa uma função da velocidade do vento que fornece valores de 
vento frio quando a temperatura é -4°ܥ. 
e) A igualdade ܫ = ݂(ܶ, 50) significa uma função da temperatura que fornece valores de vento 
frio quando a velocidade do vento é 50 ݇݉/ℎ. 
2. a) O valor de ݂(40,15), a saber 25, significa que um vento de 40 nós sopra no oceano por 15 
horas criando ondas de cerca de 25 pés de altura. 
b) A igualdade ℎ = ݂(30, ݐ) significa uma função de t que fornece a altura de ondas produzidas 
por ventos de 30 nós que sopram por t horas. 
c) A igualdade ℎ = ݂(ݒ, 30) significauma função de ݒ que fornece a altura de ondas produzidas 
por ventos de velocidade v que sopram por 30 horas. 
3. a) ݂(1,1) = 0, ݂(݁, 1) = 1, ݃(2,4) = 1 e ℎ(1,3, −4) = ଵ
ହ
 
b) ܦ௙ = ሼ(ݔ, ݕ) ∈ ℝଶ/ ݕ > 1 − ݔሽ (região do plano acima da reta ݕ = 1 − ݔ; veja figura abaixo) 
 
ܦ௚ = ℝଶ (todo plano) e ܦ௛ = ሼ(ݔ, ݕ, ݖ) ∈ ℝଷ/ ݔଶ + ݕଶ + ݖଶ > 1ሽ (região exterior a esfera 
centrada na origem de raio 1, ou seja, ݔଶ + ݕଶ + ݖଶ = 1) 
c) ܫ݉(݂) = ℝ (reta real), ܫ݉(݃) = ሼݖ ∈ ℝ/ ݖ > 0ሽ (semi eixo positivo das cotas , isto é, eixo ݖ 
parte positiva) e ܫ݉(ℎ) = ൛(ݔ, ݕ, ݖ) ∈ ℝଷ/ ඥݔଶ + ݕଶ + ݖଶ − 1 > 0, (ݔ, ݕ, ݖ) ∈ ܦ௛ൟ = (0, ∞) 
 
4. a) ܦ௙ = ሼ(ݔ, ݕ) ∈ ℝଶ/ ݕ ≥ −ݔሽ b) ܦ௙ = ሼ(ݔ, ݕ) ∈ ℝଶ/ ݔ ≥ 0, ݕ ≥ 0ሽ 
 
c) ܦ௙ = ሼ(ݔ, ݕ) ∈ ℝଶ/ ݔ ≠ −3ݕሽ d) ܦ௙ = ሼ(ݔ, ݕ) ∈ ℝଶ/ ݔଶ + ݕଶ ≠ 4ሽ 
 
e) ܦ௙ = ሼ(ݔ, ݕ) ∈ ℝଶ/ −ݕ < ݔ ≤ ݕ, ݕ > 0ሽ f) ܦ௙ = ሼ(ݔ, ݕ) ∈ ℝଶ/ 1 ≤ ݔଶ + ݕଶ < 4ሽ 
 
g) ܦ௙ = ሼ(ݔ, ݕ, ݖ) ∈ ℝଷ/ ݔଶ + ݕଶ + ݖଶ ≤ 1ሽ 
 
 
 
 
 
5. a) Plano horizontal passando por (0,0,3) b) Plano passando em nos eixos em 1 
 
c) Uma “onda” d) Cilindro parabólico 
 
e) A metade superior de um cone circular 
 
6. a) O ponto (−3,3) situa-se entre as curvas de nível com ݖ iguais a 50 e 60. Uma vez que o 
ponto está um pouco mais perto da curva de nível com ݖ = 60, estimamos que ݂(−3,3) = 56. O 
ponto (3, −2) parece estar a meio caminho entre as curvas de nível com ݖ iguais a 30 e 40, por 
isso estima-se que ݂(3, −2) = 35. 
b) O gráfico aumenta à medida que nos aproximamos da origem, gradualmente, a partir de cima, 
abruptamente a partir de baixo. 
7. Perto de ܣ, as curvas de nível são muito próximas umas das outras, indicando que o terreno 
é bastante íngreme. Por outro lado, perto de ܤ, as curvas de nível são muito mais distantes, e 
assim esperamos que o terreno próximo de ܤ seja muito menos acentuado do que próximo de 
ܣ, talvez quase plano. 
8. 
 
9. a) ݇ = ݂(ݔ, ݕ) = ݕ − cos(ݔ) ⟺ ݕ = ݇ + cos (ݔ) (família de cossenóides). Desenhe! 
b) ݇ = ݂(ݔ, ݕ) = ݔ − ݕଶ ⟺ ݔ − ݇ = ݕଶ (família de parábolas com vértice (݇,0)) 
 
c) ݇ = ݂(ݔ, ݕ) = ݁
భ
ೣమ శ ೤మ > 1 ⟺ ଵ
௫మ ା ௬మ
= ln ݇ ⟺ ݔଶ + ݕଶ = ଵ
୪୬ ௞
 (família de círculos). Desenhe! 
10. ݇ = ܶ(ݔ, ݕ) = ଵ଴଴
ଵ ା ௫మ ା ଶ௬మ
 ⟺ ݔଶ + 2ݕଶ = ଵ଴଴ି௞
௞
 (família de elipses, onde 0 < ݇ ≤ 100) 
 
11. ݇ = ܸ(ݔ, ݕ) = ௖
ඥ௥మ ି ௫మ ି ௬మ 
 ⟺ ݔଶ + ݕଶ = ݎଶ − ቀ௖
௞
ቁ
ଶ
 (família de círculos, onde ݇ ≥ ௖
௥
) 
 
Nota: Fazendo ݇ ⟶ ∞, o raio do círculo tende a ݎ. 
 
 
 
 
 
 
 
Seção 2. Limites e Continuidade 
1. A princípio, coisa alguma pode ser afirmada. Mas, se ݂ é contínua, ou seja, se 
lim
(௫,௬)⟶(௔,௕)
݂(ݔ, ݕ) = ݂(ܽ, ܾ), então lim
(௫,௬)⟶(ଷ,ଵ)
݂(ݔ, ݕ) = ݂(3,1) = 6. 
2. As tabelas a seguir fornecem os valores das funções ݂ e ݃ para pontos próximos da origem. 
. ݂(ݔ, ݕ) = ௫
మ௬య ା ௫య௬మ ି ହ
ଶ ି ௫௬
. ݃(ݔ, ݕ) = ଶ௫௬
௫మ ା ଶ௬మ
Como mostra a tabela, os valores de ݂ parece-nos aproximarem de −2,5 quando (ݔ, ݕ) aproxima-
se da origem por direções diferentes. Isso nos sugere conjecturarmos que lim
(௫,௬)⟶(଴,଴)
݂(ݔ, ݕ) =
−2,5. Como ݂ é uma função racional, e portanto contínua em seu domínio, e sendo ݂ definida 
em (0,0), podemos usar substituição direta no calculo do limite obtendo lim
(௫,௬)⟶(଴,଴)
݂(ݔ, ݕ) =
଴మ଴య ା ଴య଴మ ି ହ
ଶ ି ଴∙଴
= −2,5, e assim nossa conjectura procede. Quanto a função ݃, a tabela parece nos 
mostrar que os valores de ݃ não se aproximam de um único valor quando (ݔ, ݕ) aproxima-se da 
origem por direções diferentes. De fato, para verificarmos isso, por um lado vamos primeiro 
aproximar (0,0) ao longo do eixo ݔ. Tomando então ݕ = 0, tem-se que ݂(ݔ, 0) = 0, para todo ݔ ≠
0. Assim, segue que ݂(ݔ, ݕ) ⟶ 0 quando (ݔ, ݕ) ⟶ (0,0) ao longo do eixo ݔ. Por outro lado, de 
modo análogo, aproximando ao longo da reta ݕ = ݔ obtemos ݃ (ݔ, ݔ) = ଶ௫
మ
௫మ ା ଶ௬మ
= ଶ
ଷ
 (ݔ ≠ 0). Logo, 
݂(ݔ, ݕ) ⟶ ଶ
ଷ
 quando (ݔ, ݕ) ⟶ (0,0) ao longo da reta ݕ = ݔ, e portanto, segue que não existe o 
limite lim
(௫,௬)⟶(଴,଴)
݃(ݔ, ݕ). 
3. a) 2025 (dica: a função é contínua) b) 18 (dica: a função é contínua) 
c) Não existe d) Não existe 
e)0 (dica: coloque ݔ em evidência) f) 1 (dica: a função é contínua) 
g) Não existe h)2 (dica: racionalize) 
i) Não existe j) 1 (dica: a função é contínua) 
k) Não existe 
4. ܦ௛ = ሼ(ݔ, ݕ) ∈ ℝଶ/ ݕ ≤ ݔଶሽ 
5. a) ሼ(ݔ, ݕ) ∈ ℝଶ/ ݕ ≠ ݔଶሽ b) ℝଶ c) ሼ(ݔ, ݕ) ∈ ℝଶ/ 2ݔ + 3ݕ > 0ሽ d) ሼ(ݔ, ݕ) ∈ ℝଶ/ |ݕ| ≤ ݔሽ 
6. a) 0 b) 0 
7. 0 
Seção 3. Derivadas Parciais 
1. a) A derivada parcial డ்
డ௫
 representa a taxa de variação de ܶ, quando fixamos ݕ e ݐ, e 
consideramos ܶ como função de uma única variável ݔ, que descreve a rapidez com que a 
temperatura muda quando se muda a longitude mas com latitude e tempo constantes. Significado 
análogo para డ்
డ௬
 e డ்
డ௧
. 
b) O número ௫݂(158,21,9) representa a taxa de variação da temperatura em longitude 158° ܹ, 
latitude 21° ܰ e tempo 9:00 ℎ, quando apenas a longitude varia. Uma vez que o ar é mais quente 
a oeste do que para o leste, e como a um aumento longitudinal ocorre um aumento na 
temperatura do ar, então esperamos que ௫݂(158,21,9) seja positivo. O número ௬݂(158,21,9) 
representa a taxa de variação da temperatura em mesma temperatura e localização, quando 
apenas a latitude varia. Uma vez que o ar é mais quente para sul e refrigera para o norte, e 
aumentando a latitude tem-se menor temperatura do ar, então esperamos ௬݂(158,21,9) a ser 
negativo. Por fim, O número ௧݂(158,21,9) representa a taxa de variação da temperatura em 
mesma tempo e localização, quando apenas o tempo varia. Como tipicamente a temperatura 
cresce de manhã e aquece a tarde devido ao sol, esperamos que ௧݂(158,21,9) seja positivo. 
2. a) ݂(ݔ, ݕ) = ݔହ + 3ݔଷݕଶ + 3ݔݕସ ⟹ ቐ
௫݂(ݔ, ݕ) = 5ݔସ + 9ݔଶݕଶ + 3ݕସ
௬݂(ݔ, ݕ) = 6ݔଷݕ + 12ݔݕଷ
 
b) ݂(ݔ, ݕ) = ݔ௬ ⟹ ቐ
௫݂(ݔ, ݕ) = ݕݔ௬ିଵ
௬݂(ݔ, ݕ) = ݔ௬ ln ݔ
 c) ݓ = ݏ݁݊(ߙ) cos (ߚ) ⟹
ە
۔
ۓ
డ௪
డఈ
 = ܿ݋ݏ(ߙ) cos (ߚ)
డ௪
డఉ
= −ݏ݁݊(ߙ) sen (ߚ)
 
d) ݂(ݏ, ݐ) = ௦௧మ
௦మ ା ௧మ 
⟹
ە
ۖ
۔
ۖ
ۓ ௦݂(ݏ, ݐ) =
௧రି௦మ௧మ
(௦మ ା ௧మ)మ 
௧݂(ݏ, ݐ) =
ଶ௦య௧
(௦మ ା ௧మ)మ 
 e) ݂(ݔ, ݐ) = ݁௦௘௡ቀ
೟
ೣቁ ⟹
ە
ۖ
۔
ۖ
ۓ
௫݂(ݔ, ݐ) = −ݐ ܿ݋ݏ ቀ
௧
௫
ቁ ௘
ೞ೐೙ቀ೟ೣቁ
௫మ
௧݂(ݔ, ݐ) =
௘ೞ೐೙ቀ
೟
ೣቁ
௫
ܿ݋ݏ ቀ௧
௫
ቁ
 
f) ݖ = ln ൫ݔ + ඥݔ2 + ݕ2൯ ⟹
ە
۔
ۓ
߲ݖ
߲ݔ
=
1
ඥݔ2 + ݕ2
߲ݖ
߲ݕ
=
ݕ
ݔ2 + ݕ2 + ݔඥݔ2 + ݕ2
 
g) ݂(ݔ, ݕ) = ׬ cos(ݐ2) ݀ݐݔݕ ⟹
ە
۔
ۓ ௫݂(ݔ, ݕ) =
డ
డ௫ ׬ cos(ݐ
ଶ) ݀ݐ௫௬ = cos(ݔ
ଶ)
௬݂(ݔ, ݕ) =
డ
డ௬ ׬ cos(ݐ
ଶ) ݀ݐ௫௬ = − cos(ݕ
ଶ)
 
h) ݂(ݔ, ݕ, ݖ) = ݔ2݁ݕݖ ⟹
ە
ۖ
۔
ۖ
ۓ ௫݂
(ݔ, ݕ, ݖ) = 2ݔ݁௬௭
௬݂(ݔ, ݕ, ݖ) = ݔଶݖ݁௬௭
௭݂(ݔ, ݕ, ݖ) = ݔଶݕ݁௬௭
 i) ݓ = ln (ݔ + 2ݕ + 3ݖ) ⟹ە
ۖۖ
۔
ۖۖ
ۓ
డ௪
డ௫
= ଵ
௫ ା ଶ௬ ା ଷ௭
డ௪
డ௬
= ଶ
௫ ା ଶ௬ ା ଷ௭
డ௪
డ௭
= ଷ
௫ ା ଶ௬ ା ଷ௭
 
j) ݓ = √ݎ2 + ݏ2 + ݐ2 ⟹
ە
ۖۖ
۔
ۖۖ
ۓ
డ௪
డ௥
= ௥
ඥ௥మ ା ௦మ ା ௧మ 
డ௪
డ௦
= ௦
ඥ௥మ ା ௦మ ା ௧మ 
డ௪
డ௧
= ௧
ඥ௥మ ା ௦మ ା ௧మ 
 k) ݑ = ݔ݁ି௧ݏ݁݊(ߠ) ⟹
ە
ۖۖ
۔
ۖۖ
ۓ
డ௨
డ௫
= ݁ି௧ݏ݁݊(ߠ) 
డ௨
డ௧
= −ݔ݁ି௧ݏ݁݊(ߠ)
డ௨
డఏ
= ݔ݁ି௧ܿ݋ݏ(ߠ)
 
l) ݑ = ݔ௬/௭ ⟹
ە
ۖ
ۖ
۔
ۖ
ۖ
ۓ ݑ௫ =
௬
௭
ݔ
೤
೥ିଵ 
ݑ௬ =
௫
೤
೥
௭
ln ݔ
ݑ௭ = −
௬௫
೤
೥
௭మ
ln ݔ
 m) ݂(ݔ, ݕ, ݖ, ݐ) = ݔ − ݕ
ݖ − ݐ 
 ⟹
ە
ۖ
ۖ
ۖ
۔
ۖ
ۖ
ۖ
ۓ ௫݂ =
ଵ
௭ ି ௧ 
௬݂ =
ଵ
௧ ି ௭ 
௭݂ =
௬ ି ௫
(௭ ି ௧)మ 
௧݂ =
௫ ି ௬
(௭ ି ௧)మ 
 
n) ݂(ݔ, ݕ, ݖ, ݐ) = ݔݕଶݖଷݐସ ⟹
ە
ۖۖ
۔
ۖۖ
ۓ ௫݂ = ݕ
ଶݖଷݐସ
௬݂ = 2ݔݕݖଷݐସ
௭݂ = 3ݔݕଶݖଶݐସ
௧݂ = 4ݔݕଶݖଷݐଷ
 
o) ݑ = ඥݔ12 + ݔ22 + ⋯ + ݔ݊2 ⟹
డ௨
డ௫೔
= ௫೔
ඥ௫భమ ା ௫మమ ା⋯ା ௫೙మ 
 , para cada ݅ = 1, . . . , ݊ 
p) ݑ = ݏ݁݊(ݔ1 + 2ݔ2 + ⋯ + ݊ݔ݊) ⟹ ݑݔ݅ = ݅ܿ݋ݏ(ݔ1 + 2ݔ2 + ⋯ + ݊ݔ݊), para cada ݅ = 1, . . . , ݊ 
3. a) ቐ
௫݂(ݔ, ݕ) = 2ݔ − ݕ
௬݂(ݔ, ݕ) = 4ݕ − ݔ
 b) 
ە
۔
ۓ ௫݂(ݔ, ݕ) =
ଷ
ଶඥଷ௫ ି ௬
௬݂(ݔ, ݕ) = −
ଵ
ଶඥଷ௫ ି ௬
 
4. a) 
ە
۔
ۓ
డ௭
డ௫
= − ௬௭ ା ୱୣ୬ (௫ ା ௬ ା ௭)
௫௬ ା ୱୣ୬ (௫ ା ௬ ା ௭)
డ௭
డ௬
= − ௫௭ ା ୱୣ୬ (௫ ା ௬ ା ௭)
௫௬ ା ୱୣ୬ (௫ ା ௬ ା ௭)
 b) 
ە
۔
ۓ
డ௭
డ௫
= ௫ – ௬ ି ௭
௫ ା ௭
డ௭
డ௬
= ௬ ି ௫
௫ ା ௭
 
5. a) ݑ = ln൫ඥݔଶ + ݕଶ൯ ⟹
ە
۔
ۓݑ௫ =
௫
௫మ ା ௬మ
⟹ ݑ௫௬ = −
ଶ௫௬
(௫మ ା ௬మ)మ
ݑ௬ =
௬
௫మ ା ௬మ
⟹ ݑ௬௫ = −
ଶ௫௬
(௫మ ା ௬మ)మ
 ⟹ ݑ௫௬ = ݑ௬௫ 
b) ݑ = ݔݕ݁௬ ⟹ ቐ
ݑ௫ = ݕ݁௬ ⟹ ݑ௫௬ = (ݕ + 1)݁௬
ݑ௬ = ݔ(ݕ + 1)݁௬ ⟹ ݑ௬௫ = (ݕ + 1)݁௬
 ⟹ ݑ௫௬ = ݑ௬௫ 
6. a) ௫݂(3,4) =
ଷ
ହ
 b) ௩݂(2,0,3) = 6 
c) ݂ݕݔ = −18ݔݕ
2 d) ݑ௧௧ = −݁ି௦ݏ݁݊(ݐ) 
e) ௫݂௫௬ = 2ݕଷ݁௫௬
మ(2 + ݔݕଶ) f) ௫݂௬௭ = 48ݔଷݕଷݖଶ 
g) ߲
3ݖ
߲ݕ2߲ݔ
= −ݏ݁݊(ݕ) h) ߲
3ݖ
߲ݕ߲ݔ2
= −2ܿ݋ݏݏ݁ܿ2(ݔ − ݕ)cot (ݔ − ݕ) 
i) ߲
3ݑ
߲ݔ߲ݕ߲ݖ
=
72ݕݖ2
(ݔ+2ݕ2+3ݖ3)3
 j) ߲
6ݑ
߲ݔ߲ݕ2߲ݖ3
= ܾܽ(ܾ − 1)ܿ(ܿ − 1)(ܿ − 2)ݔܽ−1ݕܾ−2ݖܿ−3 
7. Apenas os itens (a) e (c) não são soluções. 
8. É uma solução 
9. Teórico 
10. Teórico 
11. a) ௫ܶ(2,1) = −
ଶ଴
ଷ
 b) ௬ܶ(2,1) = −
ଵ଴
ଷ
 
Conclusão: Assim, a partir do ponto (2,1), a temperatura diminui a uma taxa de ଶ଴
ଷ
°ܥ/݉ na 
direção ݔ e diminui a uma taxa de ଵ଴
ଷ
°ܥ/݉ na direção ݕ. 
12. Teórico 
13. Sugestão: Use o Teorema de Clairaut ܶ(ݔ, ݕ) = ଴ܶ + ଵܶ݁ିఒ௫ݏ݁݊(߱ݐ − ߣݔ) 
14. a) A derivada డ்
డ௫
= −ߣ ଵܶ݁ିఒ [ݏ݁݊(߱ݐ − ߣݔ) + ܿ݋ݏ(߱ݐ − ߣݔ)] representa a taxa de variação da 
temperatura em relação a profundidade abaixo da superfície, num dado tempo ݐ. 
 
b) A derivada డ்
డ௧
= ߱ ଵܶ݁ିఒ௫ܿ݋ݏ(߱ݐ − ߣݔ) representa a taxa de variação da temperatura em 
relação ao tempo, a uma profundidade ݔ fixada. 
 
c) Teórico 
 
d) O termo −ߣݔ é uma mudança de fase. Isto representa o fato de que uma vez que o calor se 
difunde lentamente através do solo, leva tempo para mudanças da temperatura na superfície 
afetar a temperatura nos pontos mais profundos. 
 
15. Teórico 
16. Teórico 
17. ௫݂(1,0) = −2 
18. ௫݂(0,0) = 1 
19. a) Quando (ݔ, ݕ) ≠ (0,0), tem-se que ௫݂(ݔ, ݕ) =
௫ర௬ ା ସ௫మ௬యି ௬ఱ
(௫మ ା ௬మ)మ
 e ௬݂(ݔ, ݕ) =
௫ఱି ସ௫య௬మି ௫௬ర
(௫మ ା ௬మ)మ
. 
 
b) Usando a definição de limite, concluímos que 
 
. ௫݂(0,0) = lim௛⟶଴
௙(௛,଴) ି ௙(଴,଴)
௛
= 0
. ௬݂(0,0) = lim௛⟶଴
௙(଴,௛) ି ௙(଴,଴)
௛
= 0
 
 
c) Teórico 
 
 
Seção 4. Regra da Cadeia e Derivação Implícita 
1. a) ௗ௭
ௗ௧
= ቂ ௫
௫ ା ଶ௬
+ ݈݊(ݔ 2ݕ)ቃ cos(ݐ) − ଶ௫
௫ ା ଶ௬
ݏ݁݊(ݐ) b) ௗ௪
ௗ௧
= ݁௬/௭ ቀ2ݐ − ௫
௭
− ଶ௫௬
௭మ
ቁ 
c) ௗ௪
ௗ௧
= ݁௧ൣݕ + (ݔ + ݖଶ)൫cos(ݐ) + ݏ݁݊(ݐ)൯ + 2ݕݖ cos(ݐ) − ݏ݁݊(ݐ)൯൧ 
2. a) ൞
డ௭
డ௦
= 2ݔ + ݕ + ݔݐ + 2ݕݐ
డ௭
డ௧
= 2ݔ + ݕ + ݔݏ 2ݕݏ
 b) 
ە
۔
ۓ
డ௭
డ௦
= ଵ
௬
݁௧ − ௫
௬మ
݁ି௧
డ௭
డ௧
= ௦
௬
݁௧ + ௫௦
௬మ
݁ି௧
 
c) 
ە
۔
ۓ
డ௭
డ௦
= ݕ݁௫௬ݐ݃(ݕ) + ௘
ೣ೤
௧
(ݏ݁ܿଶݕ + ݔݐ݃(ݕ))
డ௭
డ௧
= 2ݕ݁௫௬ݐ݃(ݕ) − ௦௘
ೣ೤
௧మ
(ݏ݁ܿଶݕ + ݔݐ݃(ݕ))
 
3. Sugestão: Use a regra da cadeia. 
4. a) b) 
 
c) d) 
 
5. a) Usando a regra da cadeia, concluímos que డ௪
డ௦
= 2 e డ௪
డ௧
= 0. 
b) Usando a regra da cadeia, concluímos que డ௨
డ௦
= 3 e డ௨
డ௧
= 2. 
c) Usando a regra da cadeia, concluímos que డ௭
డ௥
= 0, డ௭
డ௦
= 0 e డ௭
డ௧
= 4. 
6. a) ௗ௬
ௗ௫
= − ிೣ
ி೤
= ௬ିଶ௫
ଷ௬మି௫
 b) ௗ௬
ௗ௫
= − ிೣ
ி೤
= ௦௘௡(௫ି௬) ା ௘
೤
௦௘௡(௫ି௬) ି ௫௘೤
 
7. a) డ௭
డ௫
 = − ிೣ
ி೥
 = − ௬௭ ା௦௘௡(௫ା௬ା
௫௬ା ௦௘௡(௫ା௬ା௭
 b) డ௭
డ௫
= − ிೣ
ி೥
= − ௘
೤ା ௭௘ೣ
௬ ା ௘ೣ
 
8. Usando a regra da cadeia obtemos ௗ்
ௗ௧
= 2. Assim, a temperatura está aumentando a uma taxa 
de 2 graus Celsius por segundo. 
 
9. a) Uma vez que డௐ
డ௧
 é negativa, um aumento da temperatura média (enquanto precipitação 
anual se mantém constante) provoca uma diminuição na produção de trigo nos níveis de 
produção atuais. Uma vez que డௐ
డ௧
 é positiva, um aumento da precipitação anual (enquanto a 
temperatura média se mantém constante) provoca um aumento na produção de trigo. 
 
b) Usando a regra da cadeia obtemos ௗ௪
ௗ௧
= −1,1. Assim, estimamos que a produção de trigo irá 
diminuir a uma taxa de 1,1 unidades por ano. 
 
10. a) Usando a regra da cadeia obtemos: ܸ = ݈ݓℎ ⟹ ௗ௏
ௗ௧
= 6 ݉ଷ/ݏ 
 
b) Usando a regra da cadeia obtemos ܵ = 2(݈ݓ + ݈ℎ + ݓℎ) ⟹ ௗௌ
ௗ௧
= 10 ݉ଶ/ݏ 
 
c) Usando a regra da cadeia obtemos ܮଶ = ݈ଶ + ݓଶ + ℎଶ ⟹ ௗ௅
ௗ௧
= 0 ݉/ݏ 
 
11. Aplique a regra da cadeia em ܫ = ௏
ோ
 e obtenha ௗூ
ௗ௧
= −0,000031 ܣ/ݏ. 
 
12. Teórico. 
 
13. Teórico. 
14. a) Verificando conclui-se que ݂ é homogênea de grau 3. 
 
b) Teórico. 
 
15. Teórico. 
16. Teórico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção 5. Derivadas direcionais, Gradiente, Máximos e Mínimos 
1. a) ܦ௨݂(4, −2) =
√ଶ
ଶ
 b) ܦ௨݂(5,0) = −10 
 
2. a) ൞
∇݂(ݔ, ݕ) = ቀ௬
௫
, ln ݔቁ
∇݂(ݔ, ݕ, ݖ) = (ݕଶݖଷ, 2ݔݕ ଷ, 3ݔݕଶݖଶ)
 b) ቐ
∇݂(1, −3) = (−3,0)
∇݂(1, −2,1) = (4, −4,12)
 
c) Taxa de variação de ݂ em ܲ na direção do vetor ݑ ⟹ ൞
ܦ௨݂(1, −3) =
ଵଶ
ଵହ
ܦ௨݂(1, −2,1) =
ଶ଴
√ଷ
 
3. a) ܦ௨݂(3,4) =
ଶଷ
ଵ଴
 b) ܦ௨݃(2,0) = 4√2 
 
c) ܦ௨݂(1,2, −2) =
ସ
ଽ
 d) ܦ௨݃(1,6,2) = 8 
4. ܦ௨݂(2,8) =
ଶ
ହ
 
5. a) A taxa de variação máxima é |∇݂(1,0)| = √5 e na direção ∇݂(1,0) = (1,2). 
b) A taxa de variação máxima é |∇݂(1,2)| = ଶ√ହ
ହ
 e na direção ∇݂(1,2) = ቀଶ
ହ
, ସ
ହ
ቁ ou (2,4). 
c) A taxa de variação máxima é |∇݂(1,1,1)| = √29 e na direção ∇݂(1,1,1) = (2,3,4). 
d) A taxa de variação máxima é |∇݂(4,2,1)| = √ଵ଻
ଶ
 e na direção ቀଵ
ଶ
, 0, −2ቁ ou (1,0, −4). 
6. ܦ஺஽ሬሬሬሬሬሬറ݂(1,3) =
ଷଶ଻
ଵଷ
 
7. A curva de subida mais íngreme é perpendicular a todas as linhas de contorno. 
 
8. Teórico. 
 
9. a) ቐ
equação do plano tangente: 8(x − 4) − 4[y − (−1)] + 6(z − 1) = 0 ou 4x − 2y + 3z = 21
equação da reta normal: ୶ ି ସ
଼
= ୷ ା ଵ
ିସ
= ୸ ି ଵ
଺
 ou ୶ ି ସ
ସ
= ୷ ା ଵ
ିଶ
= ୸ ି ଵ
ଷb) ቐ
equação do plano tangente: 1(x − 1) − 1(y − 0) − 1(z − 0) = 0 ou x + y − z = 1
equação da reta normal: x − 1 = y = −z
 
 
 
c) ቐ
equação do plano tangente: 1(x − 1) + 5(y − 0) + 0(z − 5) = 0 ou x + 5y = 1
equação da reta normal: x − 1 = ୷
ହ
, z = 5
 
 
10. ܩݎܽ݀݅݁݊ݐ݁ = ߘ (3, −1) = 0 ⟹ ݔ + 2ݕ = 1, reta tangente à curva de nível. Veja esboço: 
 
 
11. Teórico. 
 
12. ቀ± ଷ√ଶ
ହ
, ∓ ଵ
ହ√ଶ
, ± ଷ√ଶ
ହ
ቁ 
 
13. a 16. Teórico. 
 
17. ݔ = −1 − 10ݐ, ݕ = 1 − 16ݐ, ݖ = 2 − 12ݐ 
 
18. Teórico. 
 
19. Sugestão: Use o Teste da Derivada Segunda. 
 
20. a) ݂(0,0) = 4 é mínimo local e ൫±√2, −1൯ são pontos de sela. b) ݂(0,2) = ݁ସ é máximo local. 
 
c) ݂(0,0) = 0 é mínimo local, ݂ ቀ− ହ
ଷ
, 0ቁ = − ଵଶହ
ଶ଻
 é máximo local e (−1, ±2) são pontos de sela. 
 
d) (1,2) é um ponto de sela. e) ݂ ቀ− ଵ
ଶ
, 4ቁ = −6 é um máximo local. 
 
f) Não há pontos críticos. g) Cada ponto crítico (0, ݊ߨ), ݊ um inteiro, é um ponto de sela. 
 
21. Sugestão: Use o Teorema do Valor Extremo para Funções de Duas Variáveis e a extensão 
do Método do Intervalo finito. 
22. ݀ = ଻
√଺ଵ
 
23. (0,0, ±1) 
 
24. ݔ = ݕ = ݖ = ଵ଴଴
ଷ
 
 
25. ݔ = ݕ = ݖ = ଼
√଺
 
 
26. ݔ = ݕ = ݖ = ଵ
ଵଶ
ܿ (é bom salientar que, da natureza geométrica do problema, esse ponto crítico 
deve proporcionar o máximo absoluto). Assim, a caixa é um cubo com um comprimento de bordo 
ଵ
ଵଶ
ܿ. 
 
27. Teórico. 
Seção 6. Integrais Duplas 
 
1. ׬ ݂(ݔ, ݕ)݀ݔଷ଴ = 9 + 27ݕ e ׬ ݂(ݔ, ݕ)݀ݕ
ସ
଴ = 8ݔ + 24ݔ
ଶ 
2. 1. Melhor por coordenadas polares: ܴ = ሼ(ݎ, ߠ); 0 ≤ ݎ ≤ 2, 0 ≤ ߠ ≤ 2ߨሽ. Daí: 
 
ඵ ݂(ݔ, ݕ)݀ܣ
ோ
= න න ݂(ݎ ܿ݋ݏ ߠ, ݎ ݏ݁݊ ߠ)ݎ ݀ݎ݀ߠ
ଶ
଴
ଶగ
଴
 
 
2. Melhor por coordenadas retangulares: ܴ = ሼ(ݔ, ݕ); 0 ≤ ݔ ≤ 2, 0 ≤ ݕ ≤ 2 − ݔሽ. Daí: 
 
ඵ ݂(ݔ, ݕ)݀ܣ
ோ
= න න ݂(ݔ, ݕ) ݀ݕ݀ݔ
ଶି௫
଴
ଶ
଴
 
 
3. Melhor por coordenadas retangulares: ܴ = ሼ(ݔ, ݕ); −2 ≤ ݔ ≤ 2, ݔ ≤ ݕ ≤ 2ሽ. Daí: 
 
ඵ ݂(ݔ, ݕ)݀ܣ
ோ
= න න ݂(ݔ, ݕ) ݀ݕ݀ݔ
ଶ
௫
ଶ
ିଶ
 
 
4. Melhor por coordenadas polares: ܴ = ቄ(ݎ, ߠ); 1 ≤ ݎ ≤ 3, 0 ≤ ߠ ≤ గ
ଶ
ቅ. Daí: 
ඵ ݂(ݔ, ݕ)݀ܣ
ோ
= න න ݂(ݎ ܿ݋ݏ ߠ, ݎ ݏ݁݊ ߠ)ݎ ݀ݎ݀ߠ
ଷ
ଵ
గ
ଶ
଴
 
 
5. Melhor por coordenadas polares: ܴ = ሼ(ݎ, ߠ); 2 ≤ ݎ ≤ 5, 0 ≤ ߠ ≤ 2ߨሽ. Daí: 
 
ඵ ݂(ݔ, ݕ)݀ܣ
ோ
= න න ݂(ݎ ܿ݋ݏ ߠ, ݎ ݏ݁݊ ߠ)ݎ ݀ݎ݀ߠ
ହ
ଶ
ଶగ
଴
 
 
6. Melhor por coordenadas polares: ܴ = ቄ(ݎ, ߠ); 0 ≤ ݎ ≤ 2√2, గସ ≤ ߠ ≤
ହగ
ସ
ቅ. Daí: 
 
ඵ ݂(ݔ, ݕ)݀ܣ
ோ
= න න ݂(ݎ ܿ݋ݏ ߠ, ݎ ݏ݁݊ ߠ)ݎ ݀ݎ݀ߠ
ଶ√ଶ
଴
ହగ
ସ
గ
ସ
 
 
3. a) ׬ ׬ (1 + 4ݔݕ) ݀ݔ݀ݕଵ଴
ଷ
ଵ = 10 b) ׬ ׬ ݏ݁݊(ݔ)cos (ݕ) ݀ݕ݀ݔ
గ/ଶ
଴
గ/ଶ
଴ = 1 
c) ׬ ׬ ݏ݁݊(ݔ + ݕ) ݀ݕ݀ݔగ/ଶ଴
గ/ଶ
଴ = 2 d) ׬ ׬ ቀ
௫
௬
+ ௬
௫
ቁ ݀ݕ݀ݔଶଵ
ସ
ଵ =
ଶଵ
ଶ
ln 2 
e) ׬ ׬ (ݔ + ݕ)ିଶ ݀ݔ݀ݕଵ଴
ଶ
ଵ = ln
ସ
ଷ
 f) ׬ ׬ ݁ଶ௫ ି௬ ݀ݔ݀ݕ௟௡଴
௟௡ଶ
଴ = 6 
g) ׬ ׬ (ݔ + 2ݕ) ݀ݕ݀ݔ௫
మ
଴
ଵ
଴ =
ଽ
ଶ଴
 h) ׬ ׬ √ݔ ݀ݔ݀ݕ௘
೤
௬
ଵ
଴ =
ସ
ଽ
݁ଷ/ଶ − ଷଶ
ସହ
 
i) ׬ ׬ ݁௦௘௡(ఏ) ݀ݎ݀ߠୡ୭ୱ (ఏ)଴
గ/ଶ
଴ = ݁ − 1 j) ׬ ׬ ݁
௫మା௬మ ݀ݕ݀ݔ
ඥଵ ି ௫మ
଴
ଵ
଴ =
గ
ସ
(݁ − 1 ) 
k) ׬ ׬ (ݔଶ + ݕଶ)ଷ/ଶ ݀ݔ݀ݕඥ௔
మ ି ௬మ
଴
௔
ି௔ =
ଵ
ହ
ߨܽହ l) ∬ ݔݕ ௬ ݀ܣோ = 2 
m) ∬ ௫௬
మ
௫మ ା ଵ
 ݀ܣோ = 9 ln 2 n) ∬
ଵ ା ௫మ
ଵ ା ௬మ
 ݀ܣோ =
గ
ଷ
 
o) ∬ ݔ ݏ݁݊(ݔ + ݕ) ݀ܣோ =
√ଷ ି ଵ
ଶ
− గ
ଵଶ
 p) ∬ ଵ௫ ା ௬ ݀ܣோ = ln
ଶ଻
ଵ଺
 
q) ∬ ݔ ݀ܣோ = 0 r) ∬ ݔݕ ݀ܣோ =
଺଴ଽ
଼
 
s) ∬ ݁ି ௫మି௬మ ݀ܣ஽ =
గ
ଶ
(1 − ݁ିସ) t) ∬ ଶ௬௫మ ା ଵ ݀ܣ஽ = ln √2 
u) ∬ ݁௫/௬ ݀ܣ஽ =
ଵ
ଶ
(݁ସ − 4݁) v) ∬ (ݔ + ݕ) ݀ܣ஽ =
ଷ
ଵ଴
 
w) ∬ ݕଷ ݀ܣ஽ =
ଵସ଻
ଶ଴
 x) ∬ ݔ ݀ܣ஽ =
ଵ଺ିଷగ
଺
 
4. Podemos interpretar a integral ׬ ׬ (4 − ݔ − 2ݕ) ݀ݔ݀ݕ10
1
0 como o volume do sólido que está 
contido (no primeiro quadrante) acima de ܴ = [0,1] × [0,1] e abaixo da superfície (o plano) ݖ =
݂(ݔ, ݕ) = 4 − ݔ − 2ݕ ≥ 0 (o gráfico de f), conforme esboço que segue. 
 
5. a) Visto que ܦ = ሼ(ݔ, ݕ); 0 ≤ ݕ ≤ ݔ, 0 ≤ ݔ ≤ 1ሽ = ሼ(ݔ, ݕ); ݕ ≤ ݔ ≤ 1, 0 ≤ ݕ ≤ 1ሽ é a região de 
integração, temos: 
න න ݂(ݔ, ݕ) ݀ݕ݀ݔ
ݔ
0
1
0
= ඵ ݂(ݔ, ݕ) ݀ܣ
ܦ
= න න ݂(ݔ, ݕ) ݀ݔ݀ݕ
1
ݕ
1
0
 
(Faça o desenho!) 
b) Visto que ܦ = ሼ(ݔ, ݕ); 0 ≤ ݕ ≤ ݈݊ݔ, 1 ≤ ݔ ≤ 2ሽ = ሼ(ݔ, ݕ); ݁௬ ≤ ݔ ≤ 2, 0 ≤ ݕ ≤ ݈݊2ሽ é a região de 
integração, temos (veja esboço da região de integração abaixo): 
න න ݂(ݔ, ݕ) ݀ݕ݀ݔ
݈݊ݔ
0
2
1
= ඵ ݂(ݔ, ݕ) ݀ܣ
ܦ
= න න ݂(ݔ, ݕ) ݀ݔ݀ݕ
2
݁ݕ
݈݊2
1
 
 
c) Visto que ܦ = ቄ(ݔ, ݕ); ௬
ଶ
≤ ݔ ≤ 2, 0 ≤ ݕ ≤ 4ቅ = ሼ(ݔ, ݕ); 0 ≤ ݕ ≤ 2ݔ, 0 ≤ ݔ ≤ 2ሽ é a região de 
integração, temos: 
න න ݂(ݔ, ݕ) ݀ݕ݀ݔ
ݔ
0
1
0
= ඵ ݂(ݔ, ݕ) ݀ܣ
ܦ
= න න ݂(ݔ, ݕ) ݀ݔ݀ݕ
1
ݕ
1
0
 
(Faça o desenho!) 
6. a) ׬ ׬ ݁௫మ ݀ݔ݀ݕଷଷ௬
ଵ
଴ = ׬ ׬ ݁
௫మ ݀ݕ݀ݔ௫/ଷ଴
ଷ
଴ =
௘వିଵ
଺
 (desenhe região de integração) 
b) ׬ ׬ √ݔଷ + 1 ݀ݔ݀ݕଵ√௬
ଵ
଴ = ׬ ׬ √ݔ
ଷ + 1 ݀ݕ݀ݔ௫
మ
଴
ଵ
଴ =
ଶ
ଽ
൫2ଷ/ଶ − 1൯ (desenhe região de integração) 
c) ׬ ׬ ݔଷݏ݁݊(ݕଷ) ݀ݕ݀ݔଵ௫మ
ଵ
଴ = ׬ ׬ ݔ
ଷݏ݁݊(ݕଷ) ݀ݔ݀ݕ√௬଴
ଵ
଴ =
ଵ
ଵଶ
(1 − ܿ݋ݏ1)(desenhe região de integração) 
7. a) ܣ(ܦ) = ∬ ݀ܣ஽ୀቄ(௥,ఏ); ିഏల ஸ ఏ ஸ 
ഏ
ల, ଴ ஸ ௥ ஸୡ୭ୱ (ଷఏ)ቅ
= ׬ ׬ ݎ ݀ݎ݀ߠୡ୭ୱ(ଷఏ)଴
ഏ
ల
ିഏల
= గ
ଵଶ
 (veja esboço abaixo) 
 
b) Uma vez que 2 = 4 ݏ݁݊(ߠ) implica గ
଺
 ou ହగ
଺
, segue que: 
ܣ = න න ݎ ݀ݎ݀ߠ
ସ ௦௘௡(ఏ)
ଶ
ହగ
଺
గ
଺
=
4ߨ
3
+ 2√3 
8. a) ܸ = ׬ ׬ (2ݔ + 5ݕ + 1) ݀ݔ݀ݕ଴ିଵ
ସ
ଵ =
଻ହ
ଶ
 b) ܸ = ׬ ׬ (ݕଶ − ݔଶ) ݀ݔ݀ݕଵିଵ
ଷ
ଵ = 16 
 
c) ܸ = ׬ ׬ ݔඥݔଶ + ݕ ݀ݔ݀ݕଵ଴
ଵ
଴ =
ସ
ଵହ
൫2√2 − 1൯ d) ܸ = ׬ ׬ [1 + (ݔ − 1)ଶ + 4ݕଶ] ݀ݕ݀ݔଶ଴
ଷ
଴ = 44 
 
e) ܸ = ׬ ׬ (9 − ݕଶ) ݀ݔ݀ݕଶ଴
ଷ
଴ = 36 
9. a) ܸ = ∬ (ݔଶ + ݕଶ) ݀ܣ௫మା௬మஸଽ = ׬ ׬ (ݎ
ଶ)ݎ ݀ݎ݀ߠଷ଴
ଶగ
଴ =
଼ଵగ
ଶ
 
 
b) ܸ = 2 ∬ ඥ16 − ݔଶ − ݕଶ ݀ܣସஸ௫మା௬మஸଵ଺ = 2 ׬ ׬ √16 − ݎଶݎ ݀ݎ݀ߠ
ସ
ଶ
ଶగ
଴ = 32√3ߨ (por simetria) 
 
c) ܸ = 2 ∬ ඥܽଶ − ݔଶ − ݕଶ ݀ܣ௫మା௬మஸ௔మ = 2 ׬ ׬ √ܽଶ − ݎଶݎ ݀ݎ݀ߠ
௔
଴
ଶగ
଴ =
ସ
ଷ
ߨܽଷ (por simetria) 
 
d) ܸ = ∬ ൫ඥ1 − ݔଶ − ݕଶ − ඥݔଶ + ݕଶ൯ ݀ܣ௫మା௬మஸଵ/ଶ = ׬ ׬ ൫√1 − ݎଶ − ݎ൯ݎ ݀ݎ݀ߠ
ଵ/√ଶ
଴
ଶగ
଴ =
గ
ଷ
൫2 − √2൯ 
 
e) ܸ = ∬ [(4 − ݔଶ − ݕଶ) − 3(ݔଶ + ݕଶ)] ݀ܣ௫మା௬మஸଵ = ׬ ׬ 4(1 − ݎ
ଶ)ݎ ݀ݎ݀ߠଵ଴
ଶగ
଴ = 2ߨ 
10. Teórico. 
11. A integral dupla como uma integral iterada com ordem de integração contrária é 
 
ඵ ݂(ݔ, ݕ) ݀ܣ
஽
= න න ݂(ݔ, ݕ) ݀ݔ݀ݕ
ଶ௬
଴
ଵ
଴
+ න න ݂(ݔ, ݕ) ݀ݔ݀ݕ
ଷି௬
଴
ଷ
ଵ
= න න ݂(ݔ, ݕ) ݀ݕ݀ݔ
ଷି௫
௫/ଶ
ଶ
଴
 
 
Esboço da região ܦ: 
 
12. ∬ (ݔଶݐ݃(ݔ) + ݕଷ + 4)݀ܣ஽ = 8ߨ 
 
13. ∬ ඥ1 − ݔଶ − ݕଶ ݀ܣ஽ =
ଶ
ଷ
ߨ 
 
14. Teórico. 
 
15. a) ׬ ݔଶ݁ି௫మஶ଴ ݀ݔ
ଵ
ସ √ߨ (use integração por partes, faça ݑ = ݔ, e a regra de L’Hopital) 
 
b) ׬ √ݔ ݁ି௫ஶ଴ ݀ݔ
ଵ
ଶ √ߨ (use a substituição ݑ = √ݔ, e portanto ݑ
ଶ = ݔ, e o item (a)) 
 
16. a) Aqui temos ݖ = ݂(ݔ, ݕ) = 2 + 3ݔ + 4ݕ e o retângulo ܴ = [0,5] × [1,4]. 
 
Daí: 
 
ܣ(ܵ) = ඵ ඥ1 + 3ଶ + 4ଶ ݀ܣ
஽
= 15√26 
 
b) Aqui temos ݖ = ݂(ݔ, ݕ) = 10 − 2ݔ − 5ݕ e o disco ݔଶ + ݕଶ ≤ 9. 
 
Daí: 
 
ܣ(ܵ) = ඵ ඥ1 + (−2)ଶ + (−5)ଶ ݀ܣ
஽
= 9√30ߨ 
 
c) Aqui, ݖ = 6 − 3ݔ − 2ݕ intersecta o plano ݔݕ na reta 3ݔ + 2ݕ = 6, onde ܦ é a região triangular 
ቄ(ݔ, ݕ); 0 ≤ ݔ ≤ 2, 0 ≤ ݕ ≤ 3 − ଷ
ଶ
ݔቅ. 
 
Daí: 
 
ܣ(ܵ) = ඵ ඥ1 + (−3)ଶ + (−2)ଶ ݀ܣ
஽
= 3√14 
 
d) Aqui, temos que ݕଶ + ݖଶ = 9, ou seja, ݖ = ඥ9 − ݕଶ. Assim, ௫݂ = 0 e ௬݂ = −ݕ(9 − ݕଶ)ିଵ/ଶ. 
 
Daí: 
ܣ(ܵ) = න න ඨ1 + 0ଶ + ൤(−ݕ)(9 − ݕଶ)ି
ଵ
ଶ൨
ଶ
 ݀ݕ݀ݔ
ଶ
଴
ସ
଴
=12 ܽݎܿ ݏ݁݊ ൬
2
3
൰ 
 
e) Aqui temos ݖ = ݂(ݔ, ݕ) = ݕଶ − ݔଶ com 1 ≤ ݔଶ + ݕଶ ≤ 4. 
 
Daí: 
 
 ܣ(ܵ) = ∬ ඥ1 + 4ݔଶ + 4ݕଶ ݀ܣ஽ = ׬ ׬ √1 + 4ݎ
ଶݎ ݀ݎ݀ߠଶଵ
ଶగ
଴ =
గ
଺
(17√17 − 5√5) 
 
f) Dada esfera ݔଶ + ݕଶ + ݖଶ = 4, quando ݖ = 1 vem ݔଶ + ݕଶ = 3, onde ܦ = ሼ(ݔ, ݕ); ݔଶ + ݕଶ ≤ 3ሽ 
e ݖ = ݂(ݔ, ݕ) = ඥ4 − ݔଶ − ݕଶ. A área é 4ߨ, basta calcular a integral que segue: 
 
ܣ(ܵ) = ඵ ඨ1 + ൤(−ݔ)(4 − ݔଶ − ݕଶ)ି
ଵ
ଶ൨
ଶ
+ ൤(−ݕ)(4 − ݔଶ − ݕଶ)ି
ଵ
ଶ൨
ଶ
 ݀ܣ
஽
= න න ඨ
ݎଶ
4 − ݎଶ
+ 1ݎ ݀ݎ݀ߠ
√ଷ
଴
ଶగ
଴
 
 
17. Teórico. 
 
18. A área desta superfície é 16. 
 
19. O centro de massa da lâmina se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância 
do ponto ao eixo ݔ, ou seja, ߩ(ݔ, ݕ) = ݇ݕ = ݇ݎ ݏ݁݊(ߠ), é (̅ݔ, ݕത) = ቀଷ
଼
, ଷగ
ଵ଺
ቁ. Analogamente, obtemos 
(̅ݔ, ݕത) = ቀ ଼
ହగ
, ଼
ହగ
ቁ em relação ao quadrado da distância do ponto à origem, isto é, ߩ(ݔ, ݕ) = ݇(ݔଶ +
ݕଶ) = ݇ݎଶ. Quanto aos momentos de inércia ܫ௫, ܫ௬ e ܫ଴ para a lâmina do caso referente à origem 
temos: 
 
ە
ۖ
ۖ
ۖ
ۖ
۔
ۖ
ۖ
ۖ
ۖ
ۓ
ܫ௫ = න න(ݎଶݏ݁݊ଶߠ) (݇ݎଶ)ݎ ݀ݎ݀ߠ
ଵ
଴
గ/ଶ
଴
=
ߨ
24
݇
ܫ௬ = න න(ݎଶܿ݋ݏଶߠ) (݇ݎଶ)ݎ ݀ݎ݀ߠ
ଵ
଴
గ/ଶ
଴
=
ߨ
24
݇
ܫ଴ = ܫ௫ + ܫ௬ =
ߨ
12
݇
 
 
 
20. Como se requer mais força para rodar a pá em torno do eixo ݕ, já que ܫ௬ ≈ 6,13 > 5,87 ≈ ܫ௫, 
é mais difícil girar a pá em torno do eixo ݕ do que em torno do eixo ݔ. 
 
21. ܲ൫(ܺ, ܻ) ∈ ܦ൯ = ∬ ݂(ݔ, ݕ) ݀ܣ஽ ≈ 0,020 ≡ 20% 
 
 
 
 
 
 
Seção 7. Integrais Triplas 
1. ׬ ׬ ׬ (ݔଶ + ݕݖ)ଵିଵ ݀ݖ݀ݕ݀ݔ
଴
ିଷ
ଶ
଴ = ׬ ׬ ׬ (ݔ
ଶ + ݕݖ)ଶ଴ ݀ݔ݀ݕ݀ݖ
଴
ିଷ
ଵ
ିଵ = ׬ ׬ ׬ (ݔ
ଶ + ݕݖ)଴ିଷ ݀ݕ݀ݔ݀ݖ
ଶ
଴
ଵ
ିଵ = 16 
2. a) ׬ ׬ ׬ 6ݔݖ௫ ା ௭଴ ݀ݕ݀ݔ݀ݖ
௭
଴
ଵ
଴ = 1 b) ׬ ׬ ׬ ݖ
ඥଵ ି ௭మ
଴ ݁
௬ ݀ݔ݀ݖ݀ݕଵ଴
ଷ
଴ =
ଵ
ଷ
(݁ଷ − 1) 
c) ∭ 2ݔா ܸ݀ = ׬ ׬ ׬ 2ݔ
௬
଴ ݀ݖ݀ݔ݀ݕ
ඥସ ି ௬మ
଴
ଶ
଴ = 4 d) ∭ 6ݔݕா ܸ݀ = ׬ ׬ ׬ 6ݔݕ
ଵା௫ା௬
଴ ݀ݖ݀ݕ݀ݔ
√௫
଴
ଵ
଴ =
଺ହ
ଶ଼
 
e) ∭ ݔݖா ܸ݀ = ׬ ׬ ׬ ݔݖ
௬ି௭
଴ ݀ݔ݀ݖ݀ݕ
௬
଴
ଵ
଴ =
ଵ
ଵଶ଴
 (veja figura) 
 
 
 
f) ∭ ݔா ܸ݀ ∬ ቂ׬ ݔ
ସ
ସ௬మାସ௭మ ቃ ݀ܣ஽ =
ଵ଺గ
ଷ
 (veja figura) 
 
 
 
3. a) O plano 2ݔ + 3ݕ + 6ݖ = 12 intersecta o plano ݔݕ quando 2ݔ + 3ݕ + 6(0) = 12, e portanto 
ݕ = 4 − ଶ
ଷ
ݔ. Assim, ܧ = ቄ(ݔ, ݕ, ݖ): 0 ≤ ݔ ≤ 6, 0 ≤ ݕ ≤ 4 − ଶ
ଷ
ݔ, 0 ≤ ݖ ≤ ଵ
଺
(12 − 2ݔ − 3ݕ)ቅ. Daí: 
ܸ = න න න ݀ݖ݀ݕ݀ݔ
ଵ
଺(ଵଶିଶ௫ିଷ௬)
଴
ସିଶଷ௫
଴
଺
଴
= 8 
 
b) ܸ = ׬ ׬ ׬ ݀ݖ݀ݕ݀ݔଵି௫଴
√௫
ି√௫
ଵ
଴ =
଼
ଵହ
 (faça um esboço) 
 
4. a) ܧ = ሼ(ݔ, ݕ, ݖ): 0 ≤ ݔ ≤ 1, 0 ≤ ݖ ≤ 1 − ݔ, 0 ≤ ݕ ≤ 2 − 2ݖሽ 
 
b) ܧ = ሼ(ݔ, ݕ, ݖ): 0 ≤ ݕ ≤ 2, 0 ≤ ݖ ≤ 2 − ݕ, 0 ≤ ݔ ≤ 4 − ݕଶሽ 
 
5. a) 
 
 
Se ܦଵ, ܦଶ e ܦଷ são as projeções de ܧ nos planos ݔݕ, ݕݖ e ݔݖ, respectivamente, então: 
 
 
ە
ۖ
۔
ۖ
ۓ
ܦଵ = ሼ(ݔ, ݕ)/−2 ≤ ݔ ≤ 2, 0 ≤ ݕ ≤ 6ሽ
ܦଶ = ሼ(ݕ, ݖ)/−2 ≤ ݖ ≤ 2, 0 ≤ ݕ ≤ 6ሽ
ܦଷ = ሼ(ݔ, ݖ)/ ݔଶ + ݖଶ ≤ 4ሽ
 
Portanto: 
 ܧ = ൛(ݔ, ݕ, ݖ)/ −√4 − ݔଶ ≤ ݖ ≤ √4 − ݔଶ, −2 ≤ ݔ ≤ 2, 0 ≤ ݕ ≤ 6ൟ 
 = ൛(ݔ, ݕ, ݖ)/ −√4 − ݖଶ ≤ ݔ ≤ √4 − ݖଶ, −2 ≤ ݖ ≤ 2, 0 ≤ ݕ ≤ 6ൟ 
Daí: 
ම ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
ா
ܸ݀ = න න න ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
ඥସ ି ௫మ
ିඥସ ି ௫మ
݀ݖ݀ݕ݀ݔ
଺
଴
ଶ
ିଶ
= න න න ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
ඥସ ି ௫మ
ିඥସ ି ௫మ
݀ݖ݀ݔ݀ݕ
ଶ
ିଶ
଺
଴
 
= න න න ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
ඥସ ି ௫మ
ିඥସ ି ௫మ
݀ݔ݀ݖ݀ݕ
ଶ
ିଶ
଺
଴
= න න න ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
ඥସ ି ௫మ
ିඥସ ି ௫మ
݀ݔ݀ݕ݀ݖ
଺
଴
ଶ
ିଶ
 
= න න න ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
଺
଴
݀ݕ݀ݖ݀ݔ
ඥସ ି ௫మ
ିඥସ ି ௫మ
ଶ
ିଶ
= න න න ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
଺
଴
݀ݕ݀ݔ݀ݖ
ඥସ ି ௫మ
ିඥସ ି ௫మ
ଶ
ିଶ
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
Se ܦଵ, ܦଶ e ܦଷ são as projeções de ܧ nos planos ݔݕ, ݕݖ e ݔݖ, respectivamente, então: 
 
 
ە
ۖ
۔
ۖ
ۓ
ܦଵ = ሼ(ݔ, ݕ)/ 0 ≤ ݔ ≤ 1, 2ݔ ≤ ݕ ≤ 2ሽ = ሼ(ݔ, ݕ)/ 0 ≤ ݕ ≤ 2, 0 ≤ ݔ ≤ ݕ/2ሽ
ܦଶ = ሼ(ݕ, ݖ)/ 0 ≤ ݕ ≤ 2, 0 ≤ ݖ ≤ ݕሽ = ሼ(ݔ, ݕ)/ 0 ≤ ݖ ≤ 2, ݖ ≤ ݕ ≤ 2ሽ
ܦଷ = ሼ(ݔ, ݖ)/ 0 ≤ ݔ ≤ 1, 0 ≤ ݖ ≤ 2 − 2ݔሽ = ሼ(ݔ, ݖ)/ 0 ≤ ݖ ≤ 2, 0 ≤ ݔ ≤ (2 − ݖ)/2ሽ
 
Portanto: 
 ܧ = ሼ(ݔ, ݕ, ݖ)/ 0 ≤ ݔ ≤ 1, 2ݔ ≤ ݕ ≤ 2, 0 ≤ ݖ ≤ ݕ − 2ݔሽ 
 = ሼ(ݔ, ݕ, ݖ)/ 0 ≤ ݕ ≤ 2, 0 ≤ ݔ ≤ ݕ/2, 0 ≤ ݖ ≤ ݕ − 2ݔሽ 
 = ሼ(ݔ, ݕ, ݖ)/ 0 ≤ ݕ ≤ 2, 0 ≤ ݖ ≤ ݕ, 0 ≤ ݔ ≤ (ݕ − ݖ)/2ሽ 
 = ሼ(ݔ, ݕ, ݖ)/ 0 ≤ ݖ ≤ 2, ݖ ≤ ݕ ≤ 2, 0 ≤ ݔ ≤ (ݕ − ݖ)/2ሽ 
 = ሼ(ݔ, ݕ, ݖ)/ 0 ≤ ݔ ≤ 1, 0 ≤ ݖ ≤ 2 − 2ݔ, ݖ + 2ݔ ≤ ݕ ≤ 2ሽ 
 = ሼ(ݔ, ݕ, ݖ)/ 0 ≤ ݖ ≤ 2, 0 ≤ ݔ ≤ (2 − ݖ)/2, ݖ + 2ݔ ≤ ݕ ≤ 2ሽ 
Daí: 
ම ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
ா
ܸ݀ = න න න ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
௬ିଶ௫
଴
݀ݖ݀ݕ݀ݔ
ଶ
ଶ௫
ଵ
଴
= න න න ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
௬ିଶ௫
଴
݀ݖ݀ݔ݀ݕ
௬/ଶ
଴
ଶ
଴
 
= න න න ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
(௬ି௭)/ଶ
଴
݀ݔ݀ݖ݀ݕ
௬
଴
ଶ
଴
= න න න ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
(௬ି௭)/ଶ
଴
݀ݔ݀ݕ݀ݖ
ଶ
௭
ଶ
଴
 
= න න න ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
ଶ
௭ାଶ௫
݀ݕ݀ݖ݀ݔ
ଶିଶ௫
଴
ଵ
଴
= න න න ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
ଶ
௭ାଶ௫
݀ݕ݀ݔ݀ݖ
(ଶି௭)/ଶ
଴
ଶ
଴
 
c) 
 
 
 
Se ܦଵ, ܦଶ e ܦଷ são as projeções de ܧ nos planos ݔݕ, ݕݖ e ݔݖ, respectivamente, então: 
 
ە
ۖ
۔
ۖ
ۓܦଵ = ሼ(ݔ, ݕ)/ −1 ≤ ݔ ≤ 1, 0 ≤ ݕ ≤ 1 − ݔ
ଶሽ = ൛(ݔ, ݕ)/ 0 ≤ ݕ ≤ 1, −ඥ1 − ݕ ≤ ݔ ≤ ඥ1 − ݕൟ
ܦଶ = ሼ(ݕ, ݖ)/ 0 ≤ ݕ ≤ 1, 0 ≤ ݖ ≤ ݕሽ = ሼ(ݕ, ݖ)/ 0 ≤ ݖ ≤ 1, ݖ ≤ ݕ ≤ 1ሽ
ܦଷ = ሼ(ݔ, ݖ)/ −1 ≤ ݔ ≤ 1, 0 ≤ ݖ ≤ 1 − ݔଶሽ = ൛(ݔ, ݖ)/ 0 ≤ ݖ ≤ 1, −√1 − ݖ ≤ ݔ ≤ √1 − ݖൟ
 
Portanto: 
 ܧ = ሼ(ݔ, ݕ, ݖ)/ −1 ≤ ݔ ≤ 1, 0 ≤ ݕ ≤ 1 − ݔଶ, 0 ≤ ݖ ≤ ݕሽ 
 = ൛(ݔ, ݕ, ݖ)/ 0 ≤ ݕ ≤ 1, −ඥ1 − ݕ ≤ ݔ ≤ ඥ1 − ݕ, 0 ≤ ݖ ≤ ݕൟ 
 = ൛(ݔ, ݕ, ݖ)/ 0 ≤ ݕ ≤ 1, 0 ≤ ݖ ≤ ݕ, −ඥ1 − ݕ ≤ ݔ ≤ ඥ1 − ݕൟ 
 = ൛(ݔ, ݕ, ݖ)/ 0 ≤ ݖ ≤ 1, ݖ ≤ ݕ ≤ 1, −ඥ1 − ݕ ≤ ݔ ≤ ඥ1 − ݕൟ 
 = ሼ(ݔ, ݕ, ݖ)/ −1 ≤ ݔ ≤ 1, 0 ≤ ݖ ≤ 1 − ݔଶ, ݖ ≤ ݕ ≤ 1 − ݔଶሽ 
 = ൛(ݔ, ݕ, ݖ)/ 0 ≤ ݖ ≤ 1, −√1 − ݖ ≤ ݔ ≤ √1 − ݖ, ݖ ≤ ݕ ≤ 1 − ݔଶൟ 
Daí: 
ම ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
ா
ܸ݀ = න න න ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
௬
଴
݀ݖ݀ݕ݀ݔ
ଵ ି ௫మ
଴
ଵ
ିଵ
= න න න ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
௬
଴
݀ݖ݀ݔ݀ݕ
ඥଵ ି௬
ିඥଵ ି௬
ଵ
଴
 
= න න න ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
ඥଵ ି௬
ିඥଵ ି௬
݀ݔ݀ݖ݀ݕ
௬
଴
ଵ
଴
= න න න ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
ඥଵ ି௬
ିඥଵ ି௬
݀ݔ݀ݕ݀ݖ
ଵ
௭
ଵ
଴
 
= න න න ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
ଵ ି ௫మ
௭
݀ݕ݀ݖ݀ݔ
ଵ ି ௫మ
଴
ଵ
ିଵ
= න න න ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
ଵ ି ௫మ
௭
݀ݕ݀ݔ݀ݖ
√ଵ ି௭
ି√ଵ ି௭
ଵ
଴
 
d) 
 
 
Se ܦଵ, ܦଶ e ܦଷ são as projeções de ܧ nos planos ݔݕ, ݕݖ e ݔݖ, respectivamente, então: 
 
 
ە
ۖ
۔
ۖ
ۓܦଵ =
ሼ(ݔ, ݕ)/ 9ݔଶ + 4ݕଶ ≤ 1ሽ
ܦଶ = ሼ(ݕ, ݖ)/ 4ݕଶ + ݖଶ ≤ 1ሽ
ܦଷ = ሼ(ݔ, ݖ)/ 9ݔଶ + ݖଶ ≤ 1ሽ
 
 
Daí: 
ම ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
ா
ܸ݀ = න න න ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
ඥଵିଽ௫మିସ௬మ
ିඥଵିଽ௫మିସ௬మ
݀ݖ݀ݕ݀ݔ
ඥଵି ଽ௫మ
ଶ
ି
ඥଵି ଽ௫మ
ଶ
ଵ
ଷ
ିଵଷ
 
 
= න න න ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
ඥଵିଽ௫మିସ௬మ
ିඥଵିଽ௫మିସ௬మ
݀ݖ݀ݔ݀ݕ
ඥଵି ସ௬మ/ଷ
ିඥଵି ସ௬మ/ଷ
ଵ/ଶ
ିଵ/ଶ
 
 
= න න න ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
ඥଵିସ௬మି௭మ/ଷ
ିඥଵିସ௬మି௭మ/ଷ
݀ݔ݀ݖ݀ݕ
ඥଵି ସ௬మ
ିඥଵି ସ௬మ
ଵ/ଶ
ିଵ/ଶ
 
 
= න න න ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
ඥଵିସ௬మି௭మ/ଷ
ିඥଵିସ௬మି௭మ/ଷ
݀ݔ݀ݕ݀ݖ
ඥଵି ௭మ
ଶ
ି
ඥଵି ௭మ
ଶ
ଵ
ିଵ
 
 
= න න න ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
ඥଵିଽ௫మି௭మ/ଶ
ିඥଵିଽ௫మି௭మ/ଶ
݀ݕ݀ݖ݀ݔ
ඥଵି ଽ௫మ
ିඥଵି ଽ௫మ
ିଵଷ
ିଵଷ
 
 
= න න න ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
ඥଵିଽ௫మି௭మ/ଶ
ିඥଵିଽ௫మି௭మ/ଶ
݀ݕ݀ݔ݀ݖ
ඥଵି ௭మ
ଷ
ି
ඥଵି ௭మ
ଷ
ଵ
ିଵ
 
6. Uma vez que ܸ(ܧ) = ܮଷ, segue que: 
 
௠݂éௗ =
1
ܮଷ
ම ݂(ݔ, ݕ, ݖ)
ா
ܸ݀ =
1
ܮଷ
න න න ݔݕݖ
௅
଴
݀ݔ݀ݕ݀ݖ
௅
଴
௅
଴
=
ܮଷ
8
 
 
 
7. Expressão integral para a massa: 
 
݉ = න න න ඥݔଶ + ݕଶ + ݖଶ
ඥଵି௫మି௬మ
଴
݀ݖ݀ݔ݀ݕ
ඥଵି ௬మ
ିඥଵି ௬మ
ଵ
ିଵ
 
 
Expressão integral para o centro de massa, localizado no ponto (̅ݔ, ݕത, ݖഥ ), onde: 
 
̅ݔ = ݉ିଵ න න න ݔඥݔଶ + ݕଶ + ݖଶ
ඥଵି௫మି௬మ
଴
݀ݖ݀ݔ݀ݕ
ඥଵି ௬మ
ିඥଵି ௬మ
ଵ
ିଵ
 
 
ݕത = ݉ିଵ න න න ݕඥݔଶ + ݕଶ + ݖଶ
ඥଵି௫మି௬మ
଴
݀ݖ݀ݔ݀ݕ
ඥଵି ௬మ
ିඥଵି ௬మ
ଵ
ିଵ
 
 
ݖ̅ = ݉ିଵ න න න ݖඥݔଶ + ݕଶ + ݖଶ
ඥଵି௫మି௬మ
଴
݀ݖ݀ݔ݀ݕ
ඥଵି ௬మ
ିඥଵି ௬మ
ଵ
ିଵ
 
 
Expressão integral para o momento de inércia em relação ao eixo ݖ: