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Apostila
FÍSICA PARA CIÊNCIAS AGRÁRIAS
Leonardo Luiz e Castro
Professor do Instituto de Física da Universidade de Brasília
Material composto de resumos, exercícios, etc.,
 utilizado desde o segundo semestre de 2011
 na disciplina “Física para Ciências Agrárias”
oferecida pelo Instituto de Física (IF)
da Universidade de Brasília (UnB).
Conteúdo preliminar em revisão.
Março de 2012
1
INTRODUÇÃO
Física
A palavra física vem da raiz grega physis (φύσις) e significa “natureza”. 
Historicamente, à ciência a que chamamos de Física foi reservado o estudo da natureza 
em seus aspectos mais fundamentais. Portanto, conceitos da Física servem de base para 
estudos das mais variadas áreas do conhecimento, direta ou indiretamente, incluindo aí 
vários ramos das ciências agrárias.
A Física é baseada na medição de grandezas físicas, que são propriedades como 
comprimento, velocidade, pressão, etc., que têm definições precisas e métodos bem 
definidos para medi-las. As grandezas físicas são referidas através de termos científicos, 
que são palavras usadas na linguagem comum, mas que têm sentido mais restrito na 
linguagem científica. Na maioria das vezes, o sentido dessas palavras na linguagem 
comum é mais antiga que o científico. Palavras como massa, pressão, ligação, réptil, 
anfíbio e fruto têm sentidos bem específicos na Física, na Química ou na Biologia, mas 
uma simples busca num dicionário mostra que os sentidos dessas palavras em sentido 
comum podem ser bem diferentes.
O trabalho científico se baseia principalmente na definição dessas grandezas, no 
estabelecimento de métodos para medi-las e na criação de teorias que expliquem as 
medições. Uma vez que essas teorias estejam bem estabelecidas, passa-se à etapa da 
aplicação delas à prática, como é o caso da aplicação da Física às ciências agrárias.
Ana Lucia Figueiredo de Souza Nogueira [2] e Okuno et al. [3] citam várias 
aplicações de Física em Agronomia:
“Mecânica:
• Velocidade das águas nos canais
• Irrigação por sulcos
• Irrigação por aspersão
• Pivô Central
• Máquinas agrícolas
• Conjunto moto-bomba
• Carneiro Hidráulico
• Aplicador portátil de produtos químicos via água de Irrigação
• Empuxo exercido por um líquido sobre uma superfície plana imersa
Termodinâmica e Óptica:
• Germinação e crescimento de plantas
• Meteorologia e Climatologia
• Secagem de sementes
Ondas:
• Ondas eletromagnéticas, sensoriamento remoto e GPS
Eletromagnetismo:
• Separador eletrostático de sementes
• Cercas elétricas
• Motor de corrente contínua 
Noções de Física Quântica:
• Uso da radiação no combate de pragas e conservação de alimentos
• Indução de mutações para melhoramento genético”
Ana Lucia Figueiredo de Souza Nogueira
(com adaptações)
2
3
Medição
Grandeza: [Matemática] tudo o que é susceptível de ser acrescentado ou diminuído; 
tamanho; extensão [dicionário online Priberam].
Grandeza física: grandeza bem-definida referente ao mundo natural que pode ser 
estimada e confirmada por um processo descrito e reprodutível.
Medição: processo pelo qual se mede algo.
Medida: resultado de um processo de medição, geralmente composto por
• um número e uma unidade, que representam a melhor estimativa para uma 
grandeza, e
• um indicativo de precisão implícito (na quantidade de algarismos significativos) ou 
explícito (por uma faixa de erro provável).
Exemplos:
1.200m (mil e duzentos metros)
1,3km (um vírgula três quilômetros)
50min±5 min (cinquenta minutos com faixa de erro de cinco minutos a mais ou a menos)
30±1 s (trinta segundos com faixa de erro de um segundo a mais ou a menos)
Concordância: diz-se que duas medidas concordam entre si quando há sobreposição de 
seus valores prováveis, considerando-se a melhor estimativa e a faixa de erro.
Sistema Internacional de Unidades – SI: sistema padrão adotado por vários países que 
estabelece unidades pelos quais as grandezas físicas devem ser medidas.
Unidades básicas do SI:
Grandeza Unidade Símbolo
Comprimento metro m
Massa quilograma kg
Tempo segundo s
Corrente elétrica ampere A
Temperatura kelvin K
Quantidade de 
matéria
mol mol
Intensidade 
luminosa
candela cd
Algumas unidades derivadas do SI:
Grandeza Unidade Símbolo Equivalência 
SI
Força newton N kg·m/s2
Pressão pascal Pa kg/(m·s2)
4
Energia joule J kg·m2/s2
Potência watt W kg·m2/s3
Carga 
elétrica coulomb C A·s
Tensão 
elétrica volt V kg·m
2/(s3A)
Pode-se deduzir várias relações entre as grandezas derivadas, como
 Pa = N/m2,
 J = N·m,
 W = J/s,
 V = W/A, etc.
Unidades importantes que não fazem parte do SI:
Grandeza Unidade Símbol
o
Equivalência 
SI
Comprimento
pé (foot) ft 0,3048 m
polegada 
(inch) in 0,0254 m
milha 
terrestre mi ≈1609 m
angstron Å 1 · 10-10 m
Tempo
minuto min 60 s
hora h 3600 s
Volume litro L 0,001 m3
Área
Hectare 
(hectô-
metro 
quadrado)
ha 10.000 m2
Are (decâ-
metro 
quadrado)
a 100 m2
Alqueire 
paulista ? 24.200 m
2
Notação científica: padrão através do qual medidas são preferencialmente reportadas na 
Ciência. Em notação científica, uma medida é representada por
• um número com um e apenas um algarismo diferente de zero antes do separador 
de casas decimais (vírgula ou ponto, dependendo do país);
• multiplicado a esse número, 10 (dez) elevado a alguma potência positiva ou 
negativa, se necessário;
• unidade da medida, exceto se se tratar de grandeza adimensional.
Algarismos significativos: são os algarismos que fornecem informação de uma medida 
ou grandeza definida, com exceção daqueles que só expressam a sua ordem de 
5
grandeza (zeros à esquerda, potências, etc.), de modo que só sobre um deles incide o 
erro estimado.
Geralmente, em notação científica, só se expressa os algarismos significativos.
Prefixos do SI: são prefixos colocados juntos às unidades para representar potências de 
10. A tabela abaixo mostra os prefixos mais comuns:
Fator multiplicativo Prefixo Exemplo comum de uso
Potência Decimal Por 
extenso
Símbolo Por extenso Símbolo
1012 1.000.000.000.000 tera T terabyte* TB
109 1.000.000.000 giga G gigabyte* GB
106 1.000.000 mega M megahertz MHz
103 1.000 quilo k quilograma kg
102 100 hecto h hectômetro hm
101 10 deca da decâmetro dam
100 1 nenhum nenhum metro m
10-1 0,1 deci d decilitro dL
10-2 0,01 centi c centímetro cm
10-3 0,001 mili m milímetro mm
10-6 0,000001 micro μ micrômetro μm
10-9 0,000000001 nano n nanômetro nm
10-12 0,000000000001 pico p picossegundo ps
10-15 0,000000000000001 femto f femtossegundo fs
Referências:
[1] NOGUEIRA, A. L. F. S. “Uma adaptação curricular de Física para Ciências Agrárias.” In
Seminário Latino-Americano sobre Interdisciplinaridade no Ensino de Ciências da
Natureza, Foz do Iguaçu (2010).
[2] OKUNO, E., CALDAS, I. L., CHOW, C. “Física para Ciências Biológicas e Biomédicas”. 
1. ed. São Paulo: HARPER & ROW DO BRASIL, 1986.
* Em informática, os prefixos representam números ligeiramente diferentes, porque o computador trabalha 
internamente com números binários, o que exige que os prefixos sejam potências de 2. Deste modo, 1 kB 
(quilobyte) equivale a 1.024 bytes, ou 210 bytes. Temos também as seguintes relações:
1 MB = 1.024 x 1.024 bytes = 220 bytes = 1.048.576 bytes ≈ 106 bytes;
1 GB = 1.024 x 1.024 x 1.024 bytes = 230 bytes = 1.073.741.824 bytes ≈ 109 bytes;
1 TB = 1.024 x 1.024 x 1.024 x 1.024 bytes = 240 bytes = 1,099511628 x 1012 bytes ≈ 1012 bytes.
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Exercícios
Exercício 1
Defina:
• grandeza física:
• medida:
Exercício 2
Escreva, em função de unidades básicas do SI, as seguintes unidades:
(a) Ω (ohm), unidade de resistência elétrica, igual a V/A;
(b) F (farad), unidade de capacitância, igual a A·s/V;
(c) Wb (weber), unidade de fluxo magnético, igual a V·s.
Exercício 3
Reescrevaos seguintes valores para que fiquem adequadas ao SI:
(a) 25 litros;
(b) 14 ha;
(c) 300 Å;
(d) 24 horas.
Exercício 4
Reescreva os valores da tabela de título “Unidades importantes que não fazem parte do 
SI”, de modo que estejam em notação científica e no SI.
Aviso: lembre-se de que os prefixos também são elevados às potências das unidades.
Exercício 5
Reescreva os valores do exercício anterior, usando prefixos do SI.
Exercício 6
Indique o número de algarismos significativos de cada um dos valores do exercício 
anterior. Os zeros à direita devem ser contados ou não?
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Temas de Agronomia Temas de Física 
Irrigação localizada, velocidade de água em canais, pivô 
central e alcance.
Sistemas de cabos aéreos, tração animal e roldanas, peso e 
separação de sementes, atrito no solo, força erosiva da água 
no solo.
Erosão do solo, colisões de partículas do solo e impacto das 
gotas de chuva.
Trabalho e potência ou capacidade operacional de máquinas, 
energia da água no solo, energia solar na secagem de 
sementes, energia eólica, potencial da água, energia cinética 
da chuva. 
Densidade e compactação do solo, pressão, continuidade, 
vazão de orifícios, bombas de ar comprimido e carneiro 
hidráulico. 
Temperatura ambiente, conforto ambiental e de estresse 
animal.
Separação de sementes.
Reflexão e refração da luz nas plantas e pelas plantas.
Climatologia e radiação solar no crescimento das plantas, 
GPS e sensoriamento remoto.
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REVISÃO
Leia as seguintes definições e faça uma pesquisa mais profunda, em outras fontes, sobre 
os conceitos descritos:
Soma de vetores, graficamente: vetores podem ser somadas graficamente através da 
regra do paralelogramo, gerando outro vetor como soma.
Decomposição de vetores em eixos cartesianos: a projeção do comprimento de um 
vetor em eixos perpendiculares fornece a componente do vetor ao longo de cada eixo.
Soma de vetores, numericamente: a componente ao longo de eixo do vetor resultante 
da soma de vários vetores é dada pela soma das componentes ao longo daquele eixo de 
todos os vetores.
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LIÇÃO 1
Estática
Equilíbrio de Corpos Rígidos
Exemplos, gráficos e figuras que complementam este resumo são dados em aula.
Corpo rígido: corpo sólido não-deformável, ou seja, no qual a distância entre dois pontos 
arbitrários permanece constante.
Equilíbrio [de forma geral]: condição na qual todas as influências são canceladas por 
outras, resultando num sistema estável.
Equilíbrio translacional: condição na qual a soma vetorial das forças exercidas sobre o 
corpo (ou seja, a força resultante) é nula.
Pode ser:
• estático: o centro de massa do corpo não sofre translação;
• dinâmico: o centro de massa do corpo permanece em movimento retilíneo 
uniforme (MRU).
Equilíbrio rotacional:condição na qual a soma vetorial dos torques exercidos sobre o 
corpo é nula.
Pode ser:
• estático: o corpo não experimenta rotação;
• dinâmico: todos os pontos do corpo permanecem em movimento circular uniforme 
(MCU) em torno de seu centro de massa.
Condições de equilíbrio: costuma-se chamar a condição de equilíbrio translacional de 
primeira condição de equilíbrio e a condição de equilíbrio rotacional de segunda condição 
de equilíbrio.
Primeira condição de equilíbrio para um ponto material: para que um ponto material 
esteja em equilíbrio, a soma vetorial das forças que atuam nele deve ser nula.
Torque (momento de uma força): o torque é sempre calculado para uma força em 
relação a um ponto. O torque indica a capacidade que essa força tem de causar uma 
rotação de um objeto ou de um ponto material em relação àquele ponto.
O torque (vetor) é calculado matematicamente, como o produto vetorial entre o vetor que 
posiciona o ponto de aplicação da força em relação ao ponto para o qual se calcular o 
torque (geralmente um ponto fixo do corpo rígido):
=r x F
Deste modo, o módulo do torque τ é calculado segundo a fórmula
=r F sen ,
onde r é o módulo do vetor posição do ponto no qual se aplica a força F em relação ao 
ponto em relação ao qual se calcula o torque e θ é o ângulo entre o vetor r e o vetor F. A 
direção e o sentido são dados pela regra da mão direita.
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Primeira condição de equilíbrio para um corpo rígido: para que um corpo rígido esteja 
em equilíbrio translacional, a soma vetorial das forças que atuam nele (em qualquer 
ponto) deve ser nula.
Segunda condição de equilíbrio para um corpo rígido: para que um corpo rígido esteja 
em equilíbrio rotacional, a soma vetorial dos torques de todas as forças que atuam nele 
deve ser nula em relação a todos os seus pontos.
Não confunda equilíbrio estático ou dinâmico com estáve ou instável:
• Equilíbrio estável: situação na qual uma pequena perturbação no sistema em 
equilíbrio causa forças que tendem a levar o sistema novamente ao equilíbrio 
original.
• Equilíbrio instável: situação na qual uma pequena perturbação no sistema em 
equilíbrio causa forças que tendem a tirar o sistema do equilíbrio original.
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Exercícios
1. A plataforma de uma gangorra infantil, que tem 2 metros de comprimento, 5 kg de 
massa e é sustentada por um eixo localizado no ponto médio ao longo de seu 
comprimento, está inicialmente em posição horizontal. Num mesmo instante, um garoto 
de 30 kg senta-se numa ponta e uma garota de 20 kg senta-se na outra ponta. 
Considerando a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2, responda às questões:
(a) Qual é o módulo da força normal exercida sobre a gangorra?
(b) Define eixos cartesianos e expresse a força normal e todos os pesos envolvidos no 
problema com vetores.
(c) Qual é o torque causado pelo garoto sobre o ponto médio da gangorra?
(d) Qual é o torque causado pela garota sobre o ponto médio da gangorra?
(e) O sistema permanecerá em equilíbrio rotacional, considerando o período desde a 
gangorra vazia até a gangorra ocupada pelos garotos?
(f) A que distância do centro o garoto deveria ter se sentado para que a gangorra 
permanecesse em equilíbrio?
2. Se Maria está aplicando uma força de 5 N numa porta, pela parte de dentro, 
perpendicularmente à superfície da porta, num ponto a 20 cm da extremidade das 
dobradiças, 
(a) que força João deve fazer, pela parte de fora, para manter a porta em equilíbrio, se ele 
está aplicando a força no sentido contrário, também perpendicularmente à superfície da 
porta, num ponto a 30 cm da extremidade das dobradiças?
(b) Se João mudar o ângulo de aplicação da força para 45 graus com superfície da porta 
e mudar o módulo de sua força para que a porta permaneça em equilíbrio, qual será o 
novo módulo de sua força?
(c) Se, vendo João mudar a força exercida como descrito no item b, Maria achasse que 
deveria inclinar a sua força também, e passasse a exercê-la a 30 graus com a superfície 
da porta, a porta giraria em sentido horário, anti-horário ou permaneceria em repouso?
3. Uma certa alavanca consiste de uma barra de um metro de comprimento com o ponto 
de apoio a 30 cm da extremidade sobre a qual se coloca um peso de 10 kg. Quantos 
quilos devem ser colocado sobre a outra extremidade para equilibrar a alavanca, 
considerando que a barra esteja na posição horizontal?
4. Considere que uma engenheira agrônoma exerça uma força de 50 N na extremidade 
de chave de boca de um quarto de metro de comprimento, a fim de girar a cabeça de um 
parafuso na outra extremidade. Ela observa é exatamente a necessária para fazer o 
parafuso começar a girar, mas acha muito difícil continuar exercendo uma força dessa 
magnitude. Assim, ela coloca um extensor de meio metro de comprimento na chave. Que 
13
força agora será necessária para que o parafuso comece a girar?
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LIÇÃO 2
Energia e Trabalho
Resumo
Energia: uma das grandezas que se conservam durante um processo físico.
Tipos de energia: energia cinética, energia potencialgravitacional, energia potencial 
elástica, energia química, etc.
Conservação da energia:
• Energia não pode ser gerada, apenas transformada.
• A energia total de um sistema isolado permanece constante.
• Num sistema não isolado, a variação da energia é igual à energia transferida do 
sistema ou para o sistema.
Unidades comuns de energia:
Unidade Símbolo Correspondência
joule J N·m = kg·m2/s2
caloria cal 4,18 J
quilowatt-hora kWh 103W·h
Classificação da energia quanto ao tipo: o que é energia de um tipo em um contexto, 
pode ser energia de outro tipo em outro.
Por exemplo,
• o que se chama energia eólica num contexto pode ser considerado energia 
cinética das moléculas do ar em outro;
• o que se chama energia química num contexto pode ser considerado energia 
potencial de ligação em outro;
• o que se chama energia térmica num contexto pode ser considerado energia 
cinética de moléculas em outro;
etc.
A classificação depende da área de estudo, do grau de observação (microscópico ou 
macroscópico), da ordem de grandeza considerada, etc. Quando se estuda Mecânica 
(uma parte da Física), considera-se principalmente as energias apresentadas a seguir:
Energia cinética: energia associada ao movimento de um corpo. É descrita 
matematicamente como
K= 1
2
mv2 ,
onde m é a massa e v é o módulo da velocidade do objeto, considerado uma partícula 
pontual neste contexto.
Energia potencial gravitacional: energia associada à possibilidade da ação da 
gravidade que pode movê-lo. É descrita da seguinte forma:
U g=m g h ,
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onde g é o valor da aceleração da gravidade local e h é a altura em relação a um nível, 
em geral o nível da superfície do solo no local.
Regime elástico: formado pelas situações em que uma deformação num corpo ou numa 
superfície é totalmente revertida quando a força que a causa é retirada. Quando uma 
mola está no regime elástico, a força que ela exerce é dada pela lei de Hooke:
F⃗=−k x⃗ ,
onde k é uma constante característica do material (constante de mola), e x⃗ é o vetor 
deformação. O módulo x desse vetor é uma medida linear da deformação que, no caso 
da mola, chama-se deformação da mola e é a distância pela qual a extremidade livre se 
afastou da posição de equilíbrio.
Energia potencial elástica: energia associada à deformação de um objeto em regime 
elástico (tradicionalmente, uma mola) que tende a voltar à forma original, gerando 
movimento. É descrita por
U k=
1
2
k x2 .
Regime plástico: oposto ao regime elástico, corresponde às situações nas quais uma 
deformação não é totalmente revertida quando a força que a causa é retirada.
Energia mecânica: soma das energias cinética e potencial (gravitacional e elástica).
Variação da energia mecânica: a energia mecânica pode ser aumentada ou diminuída 
por meio de força que realiza trabalho. Isso não viola a conservação da energia, porque 
nesses casos há da energia mecânica em outro tipo de energia, ou vice-versa.
Trabalho: grandeza relacionada à variação de energia causada por uma força. É definida 
como
W=F d cosα ,
onde F é o módulo da força aplicada, d é o deslocamento e α é o ângulo entre os vetores 
F e d.
As unidades de trabalho são as mesmas de energia.
Teorema trabalho-energia cinética: durante o período de aplicação de uma força, o 
trabalho total realizado sobre um corpo é igual à sua variação de energia cinética.
Força de atrito: é a força devido ao atrito entre as rugosidades de duas superfícies (um 
objeto que se arrasta e o solo, geralmente). A força de atrito causa trabalho que diminui a 
energia cinética de um objeto.
Força de resistência do ar: é a força devido à viscosidade do ar, que tende a diminuir a 
velocidade de um objeto. Fluidos em geral (gases e líquidos) têm viscosidade e oferecem 
resistência ao movimento de objetos, diminuindo a sua velocidade.
Potência: rapidez com que trabalho é realizado. É descrita como
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P=W
 t ,
onde o denominador é o tempo decorrido durante a realização do trabalho (variação de 
tempo).
Unidade de potência: watt (W); 1 W = 1 J/s.
Referencial: o valor numérico da energia cinética ou da energia potencial pode mudar de 
acordo com o referencial adotado, mas a conservação da energia deve se verificar ao se 
utilizar o mesmo referencial. Por exemplo, dois passageiros no mesmo ônibus parecem 
parados, um em relação ao outro, de modo que não teriam energia cinética se o 
referencial de um for o outro. No entanto, quem está de fora do ônibus descreve os dois 
em movimento, portanto tendo energia cinética não-nula.
Exercícios
1. Um trator Agrale M 93 tem 885 kg de massa. Considere que, durante o transporte de 
um trator desses por meio de guindaste, ele seja levantado a uma altura de 10 m em 
relação ao solo. Em relação a essa questão, e considerando a aceleração da gravidade 
como 10 m/s2, responda aos itens abaixo:
(a) Qual é a energia potencial gravitacional desse trator em relação ao solo, depois de 
suspenso pelo guindaste?
(b) Se o trator for acidentalmente solto dessa altura, com que energia cinética chegará ao 
solo? Desconsidere a resistência do ar.
(c) Que velocidade ele terá imediatamente antes de se chocar com o solo?
2. Repita o exercício 1, trocando apenas o trator e a sua massa pelo Agrale 4100.4 de 
massa igual a 1.060 kg.
3. Repita o exercício 1, trocando apenas o trator e a sua massa pelo micro-trator 
Tramontini GN 12 de massa igual a 460 kg.
4. Uma certa mola, de 1 m de comprimento, é fabricada para que suporte uma 
deformação máxima de 20 cm, sem que saía do regime elástico. Quando se suspende um 
objeto de 10 kg por essa mola, a sua deformação é de apenas 7 cm. A respeito dessa 
situação, e considerando a aceleração da gravidade como 10 m/s2, responda aos itens 
abaixo:
(a) Qual é a constante de mola dessa mola?
(b) Se um objeto de 20 kg for suspenso por essa mola, ela sairá do regime elástico?
(c) Se um objeto de 30 kg for suspenso por essa mola, ela sairá do regime elástico?
(d) Se essa mola estiver em posição vertical e um objeto de 10 kg for largado de uma 
altura de 3 m acima dela, a mola sairá do regime elástico quando o objeto cair sobre ela?
(e) Se essa mola estiver em posição horizontal e um objeto de 10 kg for atirado com 
velocidade de 13 m/s2 em direção a ela, ela sairá do regime elástico?
Fontes das massas: http://www.ufpel.edu.br/faem/engenhariarural/maquinas/arquivos/tratores50cc.pdf
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LIÇÃO 3
Mecânica dos Fluidos
Resumo
Exemplos, gráficos e figuras que complementam este resumo são dados em aula.
Introdução
Fluido: substância que tem a propriedade de fluir.
Um fluido tem sua forma facilmente deformável, e por isso adequa sua forma ao 
recipiente que o contém. Todos os líquidos e gases são considerados fluidos.
Substância Volume Forma
Sólidos Constante Constante
Líquidos Constante Variável
Gases Variável Variável
Os líquidos são estudados tanto por físicos especializados em Física da Matéria 
Condensada quanto por especialistas em Física dos Fluidos, pois
• “matéria condensada” inclui sólidos e líquidos;
• “fluidos” incluem líquidos e gases.
Hidrostática ou fluidostática
Do grego: hidro- (água) + statikos (“estático”).
Hidrostática: ciência dos fluidos, especialmente dos líquidos, em repouso.
Princípio de Pascal: uma alteração na pressão de um fluido contínuo em equilíbrio se 
distribui igualmente por todo o seu volume e pelas paredes de seu recipiente.
Relação entre pressão e profundidade: a pressão dentro de um fluido em repouso 
aumenta com a profundidade, segundo a fórmula
p2= p1g  y2− y1 (Eq. 1),
onde p2 é a pressão num ponto 2; p1 é a pressão num ponto 1; ρ é a densidade do fluido; 
g é a aceleração da gravidade; y2 é a profundidade do ponto 2 * e y1 é a profundidade do 
ponto 1. 
Isso ocorre porque uma determinada área horizontal submersa experimenta todo o pesodo fluido acima dela. 
* Profundidade: distância até a superfície do fluido, seguindo a direção perpendicular à superfície do fluido.
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Princípio de Arquimedes: todo corpo submerso num fluido sofre uma força de módulo e 
direção iguais aos do peso do líquido deslocado pela sua submersão, mas de sentido 
contrário.
Barômetro: instrumento que mede a pressão atmosférica. Pode ser construído da 
seguinte maneira:
• um tubo, que contém uma extremidade aberta e a outra fechada (como um tubo de 
ensaio), é completamente preenchido por mercúrio;
• a abertura do tubo (a “boca”) é inserida numa bacia contendo mercúrio também, 
sem que o mercúrio escape nem que gás entre entre no tubo;
• o tubo é colocado na posição vertical com a abertura para baixo, de modo que a 
altura da coluna de mercúrio em seu interior desça até um certo ponto e a parte de 
cima contenha apenas vácuo;
• como a pressão do vácuo é nula, pode-se considerar p1 = 0 na equação Erro: 
Origem da referência não encontrada;
• considerando, por conveniência,
p0 ≡ p2 e h = y2 – y1, a equação Erro: Origem da referência não encontrada é escrita 
como
p0= g h (Eq. 2),
onde p0 é a pressão atmosférica medida.
Manômetro: instrumento que mede a diferença entre a pressão de um fluido e a pressão 
atmosférica, quantidade chamada de pressão manométrica ou sobrepressão.
Manômetro de tubo aberto: é um manômetro que contém um tubo em forma de J, 
parcialmente preenchido por um líquido que fica em contato com a atmosfera pela 
extremidade mais alta e em contato com um fluido, cuja pressão se pretende medir, pela 
extremidade mais baixa, que é conectada ao recipiente contendo esse fluido.
Através do manômetro de tubo aberto, pode-se medir a pressão manométrica (pm), que é 
relacionada com a diferença (h) entre os níveis do líquido em suas duas extremidades 
pela fórmula
pm= g h (Eq. 3).
Hidrodinâmica
Escoamento de um fluido ideal: um fluido ideal é incompressível e não tem 
viscosidade*, seu escoamento não forma vórtices nem turbulência.
Equação de continuidade: num tubo cuja área transversal pode ser variável, a 
velocidade de um fluido ideal pode ser descrito pela equação de continuidade,
V=Av=constante (Eq. 4),
* Viscosidade: resistência ao escoamento do fluido causado pelos paredes da superfície por onde ele flui.
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onde V é a chamada vazão (também chamada de “fluxo” ou “caudal”), A é a área 
transversal e v é a velocidade do fluido.
Equação de Bernoulli: relaciona a pressão (p), a velocidade (v) e a elevação (y) (“altura 
do tubo”) de um fluido ideal:
p1
2
 v2g y=constante (Eq. 5).
Essa equação expressa a conservação da energia para esse sistema.
Escoamento de fluidos reais: a principal correção que deve ser feita na descrição de 
fluidos reais, partindo-se da descrição de fluidos ideais, é a inclusão de efeitos da 
viscosidade. Além disso, há fluidos, especialmente gases, que são significativamente 
compressíveis em seu escoamento.
Escoamento laminar: escoamento no qual o fluido se desloca em lâminas ou camadas 
regulares que não se sobrepõem.
Camada limite: camada de fluido próxima à superfície que apresenta tendência a existir 
ao fluxo devido à aderência do fluido à superfície.
Força de viscosidade: uma camada de um fluido, de área Ac, que se desloca numa 
direção y, perpendicular à distância x a uma superfície sólida (o “leito”), sofre uma força 
de viscosidade (Fv), de mesma direção e sentido contrário ao de sua velocidade v, cujo 
módulo é dado por
F v= Ac
v
x (Eq. 6),
onde η é o coeficiente de viscosidade, que é uma característica do fluido específico. 
Lei de Poiseuille: a vazão de um fluido viscoso num tubo de comprimento l e raio de 
seção tranversal R é dada por
V=
P R4
8 l 
(Eq. 7).
Escoamento turbulento: escoamento no qual ocorre vórtices e/ou movimento caótico 
e/ou irregular do fluido.
Número de Reynolds: estimativa do nível de turbulência no fluido:
ℜ=
 v D

(Eq. 8).
onde ρ é a densidade do fluido, v é sua velocidade, D é um comprimento típico do 
escoamento, podendo ser identificado com o diâmetro do tubo, e η é o coeficiente de 
viscosidade. Em geral, estima-se que o escoamento é laminar quando R é menor que 
20
2.100 e turbulento quando R é maior que 4.000.
21
Anotações:
Exercícios
1. Calcule a diferença de pressão entre a superfície de um lago e um ponto a 10 metros 
de profundidade, considerando que a densidade da água do lago é de 106 g/m3 e que a 
aceleração da gravidade é 10 m/s2.
2. Considerando que a densidade do mercúrio é 13,6 · 103 kg/m3 e que 1 atm = 101.325 
Pa, converta a pressão de uma atmosfera para milímetros de mercúrio (mmHg), sabendo 
que um milímetro de mercúrio é a pressão que acarreta a elevação de um milímetro no 
tubo de um barômetro.
3. Converta a pressão de 2 mmHg para o SI.
4. Calcule a sobrepressão equivalente a uma diferença de 10 milímetros nos níveis do 
mercúrio em um manômetro de mercúrio.
5. Considere que um fluido se desloca a uma velocidade de 1 m/s num tubo cilíndrico de 
10 cm de diâmetro da seção transversal. Em outra parte desse tubo, o seu diâmetro se 
alarga para 20 cm. Considerando o fluido como ideal, calcule a velocidade do fluido nessa 
outra parte.
6. Considere que um fluido cilíndrico se desloca a uma velocidade de 5 m/s num tubo de 
30 cm de raio de seção transversal. Para que esse fluido saia a uma velocidade de 50 
m/s, qual deve ser o raio da seção transversal do tubo na saída do fluido, considerando 
que a viscosidade e a compressibilidade do fluido seja desprezível.
7. Considere um fluido cuja pressão seja constante em todo o seu escoamento por um 
mangueira. Se o fluido é bombeado inicialmente a uma velocidade de 10 m/s, e a 
mangueira se eleva a uma altura de 15 m, o fluido cherará até a parte mais alta? Em caso 
afirmativo, com que velocidade? Em caso negativo, a que altura o fluido chegará? 
Despreze a viscosidade.
8. Através de algumas medidas, conclui-se que uma força de viscosidade de 50 N atua 
em cada metro quadrado da superfície de um rio, no sentido contrário ao de seu fluxo, 
que tem uma velocidade de 10 m/s. Considerando que a água no fundo do rio permanece 
em repouso em relação ao leito, e que a profundidade do rio é de 5 m, calcule o 
coeficiente de viscosidade do rio. Depois, considerando que a densidade da água do rio é 
1 g/ml, calcule o número de Reynolds associado à corrente do rio.
9. Calcule a vazão de um fluido com coeficiente de viscosidade igual a 0,3 × 10−3 Pa a 2 
atm de pressão num tubo de 20 cm de raio, 10 metros de comprimento.
22
LIÇÃO 4
Termodinâmica
Parte I - Temperatura
Resumo
Temperatura: grandeza física relacionada à sensação humana de frio e calor que pode 
ser medida por um termômetro, aparelho que possui alguma propriedade que varia de 
maneira regular quando a substância fica mais fria ou mais quente.
Obs.: a definição de “agitação térmica das moléculas” foi estabelecida depois do desenvolvimento da 
Termodinâmica, na Teoria Cinética do Gases.
Escalas de temperatura:
Celsius: toma os pontos de congelamento e de ebulição da água como referências, 0 ºC 
(zero grau Celsius) e 100 ºC (cem graus Celsius), respectivamente;
Fahrenheit: foi inicialmente criada tomando a temperatura mais baixa medida em 
Copenhague como o zero (0 ºF) e o ponto de congelamento da água como 32 ºF;
Kelvin: criada para que o zero (0 K) represente a menor temperatura possível (aquela em 
que não há movimento atômico).
Relação entre os intervalos das escalas de temperatura:
A escala Kelvin usou o seu intervalo unitário como sendo o mesmo da escala Celsius.
Já a escala Fahrenheit possui um intervalo unitário diferente das escalas Kelvin e Celsius.
Considerando que uma mesma variação de temperatura ΔT seja medida nas três escalas, 
vale a relação
T C=T K=
5
9
T F
 (Eq.9),
onde os subscritos C, K e F indicam medições em graus Celsius, kelvins e graus 
Fahrenheits, respectivamente.
Conversão de temperaturas entre as escalas:
Tendo dois pontos de temperatura medidos em duas escalas lineares1 diferentes, pode-se 
converter qualquer temperatura de uma escala à outra. Para isso, usa-se o princípio de 
que a relação entre duas variações de temperatura distintas é a mesma 
independentemente da escala.
1 Escala linear é qualquer escala na qual uma variação na escala representa a mesma variação na grandeza medida, 
independentemente da localização dessa variação. Por exemplo, na temperatura em graus Celsius, isso significa que 
a variação de temperatura entre 0°C e 1°C é a mesma que entre 99°C e 100°C. Isso pode parecer óbvio, mas existem 
escalas não-lineares. Por exemplo, na escala Richter, de abalos sísmicos, a variação de intensidade entre 5 e 6 é 
muito maior que entre 4 e 5. Coisa semelhante ocorre com o decibel, a medida de intensidade sonora.
23
Temperatura K ºC ºF
Zero absoluto 0 -273 -560
Fusão da água 
(gelo)2 273 0 32
Ebulição da água 373 100 212
Tabela 1: três temperaturas expressas nas três principais escalas.
2 Os pontos de fusão (sólido para líquido) e de congelamento (líquido para sólido) podem ser considerados iguais para 
a maioria das substâncias.
Exercícios
1. Defina temperatura e as suas três principais escalas de medida.
2. Considere que um cientista descobriu uma nova substância, e mediu a diferença entre 
as temperatura de fusão e de ebulição dela como 90 K. Se ele tivesse medido essa 
diferença em graus Celsius, qual teria sido a variação medida? E se tivesse medido em 
graus Fahrenheit?
3. Usando os dados da tabela 1 e o princípio de que a relação entre duas variações de 
temperatura distintas é a mesma independentemente da escala, faça as seguintes 
conversões:
(a) 300 K para ºF;
(b) 213 ºF para K;
(c) 300 K para ºC;
(d) 30 ºC (temperatura em Nova York na época mais quente) para ºF;
(e) 110 ºF (temperatura máxima aproximada no deserto do Kalahari no verão) para ºC;
(f) 5500 ºC (temperatura da superfície do sol) para K.
4. Usando os dados da tabela 1, escreva fórmulas gerais para as seguintes conversões 
de temperaturas (Dica: use variáveis no lugar da temperatura que se quer converter.):
(a) ºC para ºF;
(b) ºF para ºC;
(c) ºC para K;
(d) K para ºC;
24
(e) K para ºF;
(f) ºF para K.
5. Confirme as fórmulas deduzidas no exercício 4 refazendo as conversões do exercício 
2.
25
Parte II - Termodinâmica e Teoria Cinética
Resumo
Modelo do gás ideal
Gás ideal: modelo idealizado de um gás (também utilizado para modelar líquidos) no qual 
as moléculas são consideradas partículas pontuais sem atração ou repulsão entre si, que 
se movem aleatoriamente e apenas se chocam de forma perfeitamente elástica, entre si 
ou com paredes do sistema.
Equação de Clapeyron: para um sistema isolado e homogêneo de gás ideal, vale a 
seguinte relação:
PV=nRT (Eq. 10),
onde
P é a pressão do gás no sistema;
V é o volume do sistema;
n é o número de mols do sistema;
R é a chamada constante dos gases ideais ou constante dos gases perfeitos; e
T é a temperatura do gás no sistema.
Energia interna: soma da energia cinética e potencial das moléculas de um sistema 
termodinâmico; para o gás ideal, não há energia potencial.
U= 3
2
nRT ou U=
3
2
Nk B T
onde
U é a energia interna do sistema;
N é o número de moléculas; e
k B é a constante de Boltzmann.
Constantes e unidades:
 
1 mol=6,02⋅1023
R=8,314 J /mol K 
k B=1,38⋅10
−23 J /K
[P] = Pa (pascal); 1 Pa = 1 N/m2
1 bar 100 000 Pa
1 barye 0,1 Pa
1 milibar 100 Pa
1 atm 
(atmosfera) 101 325 Pa
1 mmHg 
(ou Torr) 133,322 Pa
26
1 inHg 3386,833 Pa
1 cmH2O 98,0638 Pa
1 m.c.a. 10 000 Pa
Tabela disponibilizada na Wikipédia.
Sistema termodinâmico: qualquer parte do Universo tomada separadamente e descrita 
por grandezas da Termodinâmica.
Leis da Termodinâmica
Lei zero da termodinâmica: se dois corpos A e B estão em equilíbrio térmico com um 
terceiro corpo C, então A e B também estão em equilíbrio térmico entre si.
Primeira lei da termodinâmica: para um sistema termodinâmico, vale a relação
U=Q−W (Eq. 11),
onde
U é a variação de energia interna do sistema;
Q é o calor transferido para o sistema ( Q0 ) ou pelo sistema ( Q0 ); e
W é o trabalho realizado pelo sistema ( W0 ) ou para o sistema ( W0 )
Segunda lei da termodinâmica: 
Primeira forma
“Não é possível transformar calor completamente em trabalho, com nenhuma mudança 
ocorrendo no ambiente.”
ou
“Não existem motores perfeitos.”
(Halliday et al.)
Segunda forma
“Não é possível que o calor seja transmitido de um corpo para outro, que esteja à 
temperatura mais alta sem que outra mudança ocorra no ambiente.”
ou
“Não existem refrigeradores perfeitos.”
Terceira forma
 “Em qualquer processo termodinâmico que vai de um estado de equilíbrio para outro, a 
entropia do conjunto sistema + ambiente aumenta ou permanece constante.”
Terceria lei da termodinâmica: a entropia de um sistema termodinâmico tende a zero 
quando sua temperatura tende ao zero absoluto.
Entropia: para uma transformação de um sistema termodinâmico que vai de um estado i 
a um estado f, a entropia é definida por
27
S f−S i=∫i
f d Q
T (Eq. 12),
onde
S f e S i são os valores da entropia nos estados f e i do sistema, respectivamente;
d Q é uma porção infinitesimal de calor transferida em cada ponto da transformação; e
T é a temperatura em cada ponto da transformação.
Processos termodinâmicos
(Transformações termodinâmicas)
Processo isotérmico: aquele no qual a temperatura do sistema não varia (ΔT=0 ou T1 = 
T2).
Processo isobárico: aquele no qual a pressão do sistema não varia (ΔP=0 ou P1 = P2).
Processo isocórico (isovolumétrico): aquele no qual o volume do sistema não varia 
(ΔV=0 ou V1 = V2).
Processo adiabático: aquele no qual não há transferência de calor para o sistema ou 
pelo sistema (Q=0).
Processo cíclico: aquele em que o sistema volta ao estado inicial (ΔU=0).
Processo de expansão livre: aquele em que não há transferência de calor nem 
realização de trabalho (Q=W=0).
Motores e refrigeradores
Motor (máquina): dispositivo que transforma calor em trabalho, geralmente atuando em 
ciclos.
Eficiência de um motor:
e=∣W∣
∣Qq∣
=
∣Qq∣−∣Q f∣
∣Qq∣
(Eq. 13).
Refrigerador: qualquer dispositivo que transfere calor de uma fonte fria a uma fonte 
quente, geralmente atuando em ciclos contrários ao de um motor, através da aplicação de 
trabalho no sistema.
Eficiência de um refrigerador:
k=
∣Qc∣
∣W∣
=
∣Q f∣
∣Qq∣−∣Q f∣
(Eq. 14).
Ciclos termodinâmicos
Ciclo de Carnot: ciclo executado pela máquina de Carnot, máquina teórica que apresenta 
o rendimento máximo possível entre todas as máquinas e motores que atuam entre duas 
temperaturas definidas. Esse ciclo é composto de quatro fases:
expansão isotérmica,
28
expansão adiabática,
compressão isotérmica, e
compressão adiabática,
retornando depois ao ponto de partida para reiniciar o ciclo.
Eficiência de uma máquina de Carnot:
eCar=
∣T q∣−∣T f∣
∣T q∣
(Eq. 15).
Uma máquina de Carnot operando ao contrário é um refrigerador de Carnot, também de 
eficiência máxima, dada por:
Eficiência de um refrigerado de Carnot:
kCar=
∣T f∣
∣T q∣−∣T f∣
(Eq. 16).
Gráficos PxV e trabalho
Relação infinitesimal entre trabalho, pressão e volume: 
a partir da expressão para o trabalho
W=F⋅d ,
pode-se mostrar que
W=F⋅d d 
e que
W=P⋅d V  .
Isso significa que o trabalho pode ser dado pela área abaixo da curva num gráfico PxV. 
Desenhe, com instruções do professor, gráficos PxV para diferentes processos, com o 
trabalho indicado (atenção ao sinal de W):
29
Exercícios
6. Partindo daequação de Clapeyron e considerando um sistema cujo número de 
moléculas não varie, deduza a lei dos gases ideais,
P1 V 1
T 1
=
P2V 2
T 2
(Eq. 17).
7. Partindo da equação de Clapeyron, deduza a equação geral dos gases ideais para o 
caso em que possa haver entrada ou saída de moléculas no sistema.
8. Calcule o volume que um mol de gás ideal ocupa a 0ºC e 1 atm (CNTP).
9. Calcule a energia interna de um mol de gás ideal a 0ºC e 1 atm.
10. A partir da equação 8, deduza
(a) a lei de Boyle-Mariotte1 para um processo isotérmico;
(b) a lei de Gay-Lussac1 para um processo isobárico;
(c) a lei de Charles1 para um processo isocórico.
11. Escreva casos particulares da primeira lei da termodinâmica para
(a) um processo adiabático;
(b) um processo isocórico, lembrando-se que para haver trabalho deve haver mudança de 
volume;
(c) um processo cíclico;
(d) um processo de expansão livre.
12. Calcule o trabalho realizado
(a) na expansão de um pistão de 0,01 m3 para 0,02 m3 sob a pressão constante de 1.000 
Pa;
(b) na expansão de um pistão de 0,01 m3 para 0,02 m3 sob a pressão constante de 1 atm; 
(c) na expansão de um pistão de 0,5 L para 1,0 L sob a pressão constante de 1 atm; 
(d) num processo isocórico;
(e) no processo representado abaixo (copie do quadro em sala):
1 Essa lei é simplesmente o caso particular da lei dos gases ideais para os processo mencionado.
30
13. Um motor funciona da seguinte forma: a cada ciclo, recebe 20 J de uma fonte a 100ºC 
e fornece 15 J a uma fonte a 0ºC. Sobre essa situação, faça o que é pedido em cada 
item:
(a) calcule o trabalho realizado em cada ciclo;
(b) calcule a eficiência do motor;
(c) calcule a eficiência que uma máquina de Carnot teria trabalhando entre as duas 
temperaturas;
(d) diga se o motor descrito no enunciado da questão é teoricamente possível;
(e) calcule a eficiência do refrigerador obtido pela reversão desse ciclo;
(f) calcule a eficiência que um refrigerador de Carnot teria trabalhando entre essas duas 
temperaturas;
(g) considerando que cada uma das duas etapas do ciclo seja instantânea, calcule a 
variação de entropia em cada ciclo;
(h) considerando que o consumo de energia desse refrigerador seja causado apenas pelo 
trabalho exercido sobre ele, e que a frequência de funcionamento seja de 1.000 rpm, 
calcule a taxa de consumo de energia (potência gasta) em watts (W);
(i) considerando que esse refrigerador fique ligado por 30 dias ininterruptamente, calcule o 
seu consumo total em kWh.
14. Um motor funciona da seguinte forma: a cada ciclo, recebe 30 J de uma fonte a 80ºC 
e fornece 27 J a uma fonte a 30ºC. Sobre essa situação, faça o que é pedido em cada 
item:
(j) calcule o trabalho realizado em cada ciclo;
(k) calcule a eficiência do motor;
(l) calcule a eficiência que uma máquina de Carnot teria trabalhando entre as duas 
temperaturas;
(m) diga se o motor descrito no enunciado da questão é teoricamente possível;
(n) calcule a eficiência do refrigerador obtido pela reversão desse ciclo;
(o) calcule a eficiência que um refrigerador de Carnot teria trabalhando entre essas duas 
temperaturas;
(p) considerando que cada uma das duas etapas do ciclo seja instantânea, calcule a 
variação de entropia em cada ciclo;
(q) considerando que o consumo de energia desse refrigerador seja causado apenas pelo 
trabalho exercido sobre ele, e que a frequência de funcionamento seja de 1.000 rpm, 
calcule a taxa de consumo de energia (potência gasta) em watts (W);
(r) considerando que esse refrigerador fique ligado por 30 dias ininterruptamente, calcule 
o seu consumo total em kWh.
15. Em cada item, escreva “correto” caso a afirmação do item esteja correta e “errado” 
caso a afirmação do item esteja errada:
(a) ___________ Num gráfico de pressão por volume (eixo de pressão crescente para 
cima; eixo de volume crescente para a direita), uma curva orientada em sentido anti-
horário representa o ciclo de um refrigerador.
(b) ___________ A terceira lei da termodinâmica estabelece um valor máximo para a 
31
entropia.
(c) ___________ Num processo adiabático, não pode haver trabalho exercido sobre o 
sistema.
16. (Desafio.) Pesquise sobre o ciclo de Otto, desenhe um ciclo desse num gráfico e 
indique aproximadamente a eficiência desse motor.
32
LIÇÃO 5
Radiação
Radiação é “a propagação de energia sob várias formas, sendo dividida geralmente em 
dois grupos: radiação corpuscular e radiação eletromagnética” (Okuno et al., Física para 
Ciências Biológicas e Biomédicas).
Radiação corpuscular é assim chamada porque é formada de como minúsculos corpos, 
ou seja, “corpúsculos” mais conhecidos como “partículas”.
Duas importantes grandezas relacionadas a partículas são:
Energia cinética (K), dada por
K= 1
2
mv2 (Eq. 1),
e momento linear (p), dado por
p=mv (Eq. 2),
onde m é a massa da partícula e v é a sua velocidade (em módulo).
Obs.: para ser mais exato, a fórmula para o momento linear dada acima vale apenas para 
o seu módulo; a equação vetorial é escrita assim: p=mv . Se você não consegue 
perceber a diferença, revise o conteúdo de “vetores” do Ensino Médio ou de disciplinas 
universitárias básicas de Matemática ou Cálculo.
Exercício 1:
Calcule a energia cinética e o momento linear de uma bola de futebol de 0,4 kg a uma 
velocidade de 10 m/s.
▪
Exercício 2:
Calcule a energia cinética e o momento linear de um elétron com uma velocidade de 
5·107 m/s. A massa do elétron é 9,11·10-31 kg. 
▪
Radiação eletromagnética é composta por ondas eletromagnéticas, que são ondas de 
campos elétricos e magnéticos que se propagam à velocidade da luz.
Exercício 3:
Pesquise e dê exemplos de radiação corpuscular e de radiação eletromagnética.
▪
Para ondas em geral, vale a relação
v= f (Eq. 3),
onde v é a velocidade de propagação da onda, λ é o seu comprimento de onda e f é a sua 
frequência. Para ondas eletromagnéticas, essa relação se torna
c= f (Eq. 4),
onde c é a velocidade da luz,
c=3⋅108 m/s .
33
Dualidade onda-partícula
O primeiro tipo de radiação eletromagnética estudada foi a luz visível1. A natureza 
da luz sempre foi polêmica. Cientistas como Isaac Newton defendiam que era formada 
por partículas, enquanto outros, como Huygens e Young, defenderam que a luz era uma 
onda.
Os físicos Max Planck e Albert Einstein, entre 1901 e 1905, deram origem a uma 
teoria que estabelece que ondas podem se comportar como partículas. Planck mostrou 
que a luz se propaga em pacotes de energia chamados quanta (plural de quantum, que 
significa “quantidade” em Latim). Einstein mostrou que a luz apresentava propriedades de 
feixe de partículas na explicação do efeito fotoelétrico (principal motivo pelo qual Einstein 
ganhou o Prêmio Nobel). Por isso, posteriormente foi dado o nome de fóton ao quantum 
de luz, devido ao fato de que nomes de partículas tradicionalmente terminam em -on 
(elétron, próton, nêutron, pósitron, méson, glúon, píon, etc.).
Mais tarde, o físico Louis de Broglie fez-se a seguinte pergunta2:
“Se ondas eletromagnéticas podem se comportar como partículas, será que partículas 
podem se comportar como ondas?”
De Broglie assumiu que sim, e mais tarde foi mostrado experimentalmente que elétrons 
podem apresentar difração e interferência, fenômenos típicos de ondas.
Exercício 4:
Pesquise sobre “difração de elétrons”, para ter mais segurança teórica neste assunto.
▪
Só que partículas de radiações corpusculares, como elétrons, prótons, pósitrons, 
etc., não se comportam como ondas eletromagnéticas, mas sim como um novo tipo de 
onda: onda de matéria. Uma onda de matéria é uma onda de probabilidade. O tipo mais 
familiar para quem cursou o Ensino Médio é o orbital, que é uma onda de matéria 
estacionária.
Todos esses conceitos fazem parte de uma parte da Física chamada Física 
Quântica (nome derivado de quantum).
Relações entre grandezas de partículase de ondas
Como mostrado, tanto para ondas eletromagnéticas, quanto para ondas materiais, 
temos grandezas de partículas (energia e momento linear) e de ondas (frequência e 
comprimento de onda). As relações entre essas grandezas são:
E=hf (Eq. 5)
e
p= h
 (Eq. 6),
onde E é a energia, h é a chamada “constante de Planck”,
1 A expressão “luz visível” pode parecer uma expressão redundante, mas atualmente é comum na Física usar-se a 
palavra luz para qualquer radiação eletromagnética, mesmo invisível.
2 Essa pergunta não é historicamente precisa, apenas figurativa.
34
h=6,63×10−34 J⋅s ,
f é a frequência, p é o momento e λ é o seu comprimento de onda.
Para ondas materiais e fótons livres, a energia E pode ser totalmente igualada à 
energia cinética (K).
O comprimento de onda de matéria associado a uma partícula é chamado de 
comprimento de onda de de Broglie. 
Exercício 5:
Usando as equações 4 e 5, escreva a energia em função do comprimento de onda.
▪
Exercício 6:
Usando as equações 4 e 6, escreva o momento linear em função da frequência.
▪
Exercício 7:
Considerando E=K, e usando as equações 1 e 5, escreva a frequência associada a uma 
partícula de massa m e velocidade v.
▪
Exercício 8:
Usando as equações 2 e 2, escreva o comprimento de onda associado a uma partícula de 
massa m e velocidade v.
▪
Exercício 9:
Segundo algumas interpretações da Física Quântica, até uma bola de futebol poderia se 
comportar como uma onda, se pudesse passar por uma fenda (ou um buraco) de 
diâmetro com mesmo ordem de grandeza do comprimento de onda associado a ela.
(a) Calcule o comprimento de onda associado a uma bola de 1 kg e velocidade de 1 m/s.
(b) Seria possível uma bola de futebol passar por um buraco dessa largura?
▪
Exercício 10:
Calcule o comprimento de onda associado ao elétron do exercício 3 (este valor é o 
comprimento de onda de de Broglie desse elétron).
▪
Exercício 11:
Calcule a frequência associada ao elétron do exercício 3.
▪
Elétron-volt
O elétron-volt (símbolo: eV) é uma unidade de energia conveniente quando se trata 
de partículas, especialmente elétrons. Um elétron-volt corresponde à carga fundamental 
(e) multiplicada por um volt.
Exercício 12:
Sabendo que e=1,6 x 10-19 C, e que V·C=J, calcule a relação entre as unidades elétron-
35
volt (eV = e·1V) e joule (J).
▪
Exercício 13:
Expresse a energia calculada no exercício 3 em elétron-volts.
▪
 
Microscopia eletrônica
A resolução máxima de um microscópio convencional é limitado pela ordem de 
grandeza do comprimento de onda da luz utilizada. No caso do microscópio eletrônico, 
troca-se a luz por elétrons, que se comportam como ondas com comprimento de onda 
bem menor.
Exercício 14:
Calcule o comprimento de onda associado a um fóton de 5 eV. Compare com o resultado 
do exercício 10 e tire sua conclusão.
Tipos de radiação e suas características
Exercício 15:
Pesquise sobre os tipos de radiação e preencha as tabelas abaixo:
Tipo Composição Origem
Radiação alfa
Radiação beta
Nêutrons
Radiação 
gama
Raios X
 
Tipo Símbolo Alcance ou 
camada semi-
redutora de 
partícula de 1 MeV 
no tecido humano
Exemplo de 
material que 
blinda
Alcance ou 
camada semi-
redutora de 
partícula de 1 MeV 
nesse material
Radiação alfa
Radiação beta
Nêutrons
Radiação 
gama
Raios X
36
Aplicações de radiação na agricultura
Exercício 16:
Pesquise sobre aplicação de radiação na agricultura (incluindo a conservação de 
alimentos) e descreva a mais interessante.
Níveis de energia de átomos, absorção e emissão de fótons
Os níveis de energia dos elétrons de átomos são “quantizadas”, ou seja, têm 
valores discretos possíveis. Isso foi entendido inicialmente por uma aplicação do modelo 
atômico de Bohr com a dualidade onda-partícula de de Broglie, conforme você desenhará 
abaixo conforme modelo de seu professor:
Os níveis de energia dos elétrons de um átomo de hidrogênio (o mais simples) são 
dadas por
En=−
13,6
n2
eV (Eq. 7),
onde já está incluída energia potencial e cinética. O cálculo dos níveis de energia dos 
elétrons dos outros átomos seguem o de hidrogênio como modelo, acrescentando 
correções quando necessário: esse é um trabalho da Física Atômica e Molecular e da 
Química Quântica.
Um fóton pode fazer um elétron passar de um desses níveis para outro de energia 
maior. Neste caso, o átomo absorver o fóton se a energia desse fóton for igual à 
diferença entre os dois níveis eletrônicos (a energia do novo nível menos a energia do 
nível anterior).
O nível de energia que o elétron tem naturalmente em um átomo é o nível 
fundamental, e os demais são níveis excitados. Você fará uma representação abaixo, 
conforme modelo do professor:
37
Da mesma forma, se um elétron que estava num estado (nível) excitado volta ao 
estado fundamental (ou para outro intermediário), ele pode emitir um fóton equivalente à 
diferença entre esses níveis.
Você fará outro desenho abaixo:
Exercício 17:
Calcule o comprimento de onda que um fóton deve ter para excitar um elétron do átomo 
de hidrogênio
(a) do primeiro para o segundo nível;
(b) do primeiro para o terceiro nível;
(c) do segundo para o terceiro nível.
Espectroscopia
Espectroscopia é a análise da radiação emitida ou absorvida por elétrons atômicos, 
e é muito útil para se descrever a estrutura físico-química de um material.
Um espectro de emissão é um conjunto de linhas formadas por emissão de fótons 
por um átomo.
Um espectro de absorção é um conjunto de falhas no espectro contínuo devido a 
absorção de fótons por um átomo.
As linhas causadas por transições entre o nível fundamental (n=1) e outros níveis 
formam a série de Lyman.
As linhas causadas por transições entre o segundo nível (n=2) e outro nível mais 
alto formam a série de Balmer.
As linhas causadas por transições entre o terceiro nível (n=3) e outro nível mais 
alto formam a série de Paschen.
Exercício 18:
Calcule os comprimentos de onda e frequências associados a
(a) três linhas da série de Lyman;
(b) três linhas da série de Balmer;
(c) três linhas das série de Paschen.
Exercício 19:
Represente as linhas do exercício 18 num eixo de comprimento de onda ou de frequência.
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Estudo dirigido
para a revisão de conceitos
de Física do Ensino Médio
Decaimento exponencial e crescimento exponencial
Exercício 1:
Suponha que um professor, a cada dia de atraso na entrega deste estudo dirigido, 
desconte 10% da nota máxima da aula anterior. Por exemplo, o trabalho vale 100 no 
primeiro dia, 90 para um dia de atraso, e 81 para dois dias de atraso (pois desconta 10% 
de 90, que é 9).
Calcule a nota máxima atribuída a este estudo dirigido para cada quantidade de dias de 
atraso, de 0 a 10, começando com nota máxima 100. Faça um gráfico com pontos de nota 
máxima possível versus dias de atraso. Depois desenhe uma linha curva contínua que 
passe por esses pontos.
Exercício 2:
Considere que o professor tenha se enganado, e insanamente tenha dito que a nota 
máxima possível será acrescida de 10% do valor que tinha na aula anterior, de modo que 
essa nota cresce com os dias atrasos. Calcule novamente a nota máxima atribuída para 
cada quantidade de dias de atraso, de 0 a 10, e faça um gráfico análogo ao do exercício 1 
para este caso.
Ondas eletromagnéticas
Exercício 3:
Leia o diálogo abaixo, que envolve o conceito de “ondas eletromagnéticas”, e preencha as 
partes destacadas por letras entre parênteses – (a), (b), (c), etc. – conforme as instruções 
dadas e pesquisando em livros ou na Internet.
– Não entendi o que são ondas eletromagnéticas.
– São ondas de campos elétricos e magnéticos perpendiculares entre si.
– Hmmm... Mas em que direção a onda se propaga? Na direção do campo elétrico 
ou do magnético?
– Nenhuma delas. Para outra direção que é perpendicular às duas.
39(...)
(a) Pesquise na Internet ou em livros de física sobre ondas eletromagnéticas, e faça um 
desenho representando uma onda eletromagnética, com campo elétrico, magnético e 
direção de propagação. Indique também a amplitude (A) e o comprimento de onda (λ) no 
desenho.
40
(…) 
– Mas, na prática, onde se encontram ondas eletromagnéticas?
– Em todo lugar: ondas de rádio, raios-X, luz infravermelha, etc. São todas ondas 
eletromagnéticas.
(...)
(b) Faça uma tabela com esses e outros exemplos de ondas eletromagnéticas, colocando 
frequências e comprimentos de onda típicos para cada exemplo.
(...)
– Hmmm... E qual é a velocidade dessas ondas?
– É a velocidade da luz, que também é uma onda eletromagnética.
(...)
(c) Pesquise a velocidade da luz, e a escreva abaixo, especificando o número de 
algarismos significativos de sua resposta.
(…)
– 'Tá bom! Entendi isso. Mas uma coisa ainda é estranha: no seu desenho, as 
ondas eletromagnéticas parecem infinitas para os dois lados. Elas não têm fim?
– Boa pergunta! Na teoria de ondas ideais, a gente inicialmente define todas as 
grandezas considerando a onda infinita, mas as ondas reais sempre aparecem em 
duas formas: pulsos de onda ou ondas estacionárias.
– Mas eu já ouvi falar que a distância entre a Terra e a Lua foi medida com luz do 
tipo laser, que foi refletida num espelho colocado na Lua e voltou à Terra. E os 
raios laser que já vi parecem filetes longos, não pulsos.
– Bem, como esses “filetes” são finitos, não há problema em chamá-los de 
“pulsos”. Na verdade, “pulsos de ondas eletromagnéticas” são chamados de 
41
“fótons”.
– Mas eu já ouvi falar que “fótons” são partículas, não ondas.
– São ao mesmo tempo partículas e ondas.
– Como?!
– Esse é um dos “mistérios” da Física Quântica. Vamos falar disso depois.
(...)
(d) Pesquise desenhos de fótons e faça a sua própria representação abaixo
(…)
– E quando ocorrem ondas estacionárias?
– Quando há limites espaciais para a propagação da onda, que reflete e volta 
interagindo consigo mesma. Exemplos são ondas mecânicas relativas à vibração 
da corda de um violão, da água em baldes ou piscinas, da película de tambores, e 
ondas eletromagnéticas dentro de fornos micro-ondas, entre outros exemplos.
– Mas, quando ela volta e interage consigo mesmo, não pode haver destruição dos 
picos, que são cancelados por picos inversos?
– Sim, mas o que ocorre é que apenas alguns “modos” de vibração “sobrevivem” a 
essa interferência consigo mesmo. Aparecem assim ventres e nós fixos.
(...)
(e) Pesquise sobre “ondas estacionárias”, e faça representações de ondas estacionárias 
com um, dois, três e quatro ventres.
Campo elétrico
Exercício 4:
Leia a continuação do diálogo do exercício anterior, e responda ao que for solicitado da 
mesmo forma que no exercício anterior.
(...)
– Bem, só não entendi completamente o que é onda eletromagnética porque eu 
não me lembro do que é campo elétrico? Qual é o efeito dele?
– Campo elétrico age em partículas e corpos carregados. Não se lembra que força 
elétrica é igual à carga vezes o campo elétrico? Não se lembra da lei de Coulomb?
(...)
(a) Pesquise e escreva abaixo a fórmula que contém a definição de campo elétrico e a lei 
de Coulomb, especificando o significado de cada variável.
42
43
(...)
– Hmmm... Agora me lembro dessas fórmulas. Mas ainda não adianta porque não 
me lembro o que uma força faz? De que adianta eu calcular a força elétrica se não 
sei para quê?
– Como assim “não sei o que uma força faz”. Ela acelera os corpos. No caso da 
força elétrica, corpos carregados eletricamente.
– Acelera os corpos como?
– De acordo com a Segunda Lei de Newton, ora bolas!
(…)
(b) Escreva o enunciado e a fórmula da Segunda Lei de Newton, especificando o 
significado de cada variável da fórmula.
Campo magnético
Exercício 5:
Leia a continuação do diálogo do exercício anterior, e responda ao que for solicitado da 
mesmo forma que no exercício anterior.
(...)
– Ah, me lembrei! Como sou esquecido... Mas, desculpe-me a insistência, mas 
também não me lembro o conceito de campo magnético. Ele também atua 
somente em partículas e corpos carregados?
– Sim. Mas apenas em partículas e corpos carregados em movimento.
– Partículas carregadas em movimento são correntes elétricas, né?!
– Sim, mas geralmente a gente só fala de corrente elétrica quando há muitíssimas 
partículas que não podem ser consideradas individualmente.
– Mas, então, como o campo magnético orienta a agulha de uma bússola, que não 
tem partículas carregadas em movimento nem corrente elétrica?
– Hmmm... Agora você me pegou! Deixa eu pensar... Ah, me lembrei... No fundo, 
podemos dizer que há cargas em movimento na agulha de uma bússola, porque os 
elétrons rodam em torno de seu próprio eixo (spin) e em torno dos núcleos.
– Um professor me disse que spin não é bem rotação...
– Isso é um assunto mais complicado. Mas, para nossa discussão agora, vamos 
considerar esse modelo mental.
(...)
(a) Pesquise sobre a Força de Lorentz e escreva a sua fórmula abaixo, especificando 
todas as variáveis.
44
(b) A fórmula acima envolve um “produto vetorial”. Pesquise sobre isso, e define produto 
vetorial abaixo.
(...)
– OK, você explicou que campos magnéticos atuam em cargas em movimento. 
Mas quem gera campo magnético?
– Cargas em movimento.
– Também?!
– Sim, cargas em movimento ou correntes elétricas, que na verdade são a mesma 
coisa. O campo magnético na Terra, em teoria, é gerado por cargas elétricas em 
movimento no seu interior.
(...)
(c) Pesquise imagens num buscador da Internet ou em livros usando expressões como 
“campo magnético”, “campo magnético gerado pela Terra”, “campo magnético gerado por 
uma bobina (ou solenóide)”, “campo magnético gerado por uma carga em movimento”, 
etc. Escolha o desenho mais interessante e represente-o abaixo.
45
(...)
– Então, um campo magnético acelera as cargas na direção do campo também?
– Sim. Mas a força magnética é, segundo a fórmula da Força de Lorentz, sempre 
perpendicular à velocidade da carga em cada instante. Desse modo, ela atua como 
força centrípeta.
(…)
– Pesquise sobre movimento circular uniforme e força centrípeta. Represente 
abaixo um movimento circular uniforme com uma seta representando o vetor de 
força centrípeta.
(...)
– Então, um campo magnético só faz partículas carregadas rodarem em torno de 
um eixo?
– Sim. É por isso que partículas carregadas ficam presas na chamada 
“magnetosfera” da Terra, formando o “cinturão de van Allen”. A “aurora boreal” que 
se vê no Pólo Norte também é resultado de partículas elétricas que estavam 
presas.
– E esse tal de LHC, o acelerador de partículas que ia acabar com o mundo, as 
partículas lá rodam com um campo magnético também?
– Exato! Um campo magnético as mantém em trajetória circular, e um campo 
elétrica as acelera gradualmente.
– E depois elas se chocam umas com as outras, né?
– Sim, e suas trajetórias são vistas numa “câmara de bolhas”, onde elas estouram 
bolhas no seu percurso. De acordo com a trajetória, horária ou anti-horária, dá para 
saber se a parítcula é positiva ou negativa.
– Se girar em sentido horário é positiva?
– Nem sempre, depende do sentido do campo magnético que está lá dentro...
(…)
(e) Pesquise e escreva breves explicações dos conceitos abaixo:
• magnetosfera:
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• aurora boreal:
• cinturão de van Allen
• acelerador de partículas
• cíclotron
• síncrotron
• câmara de bolhas
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(f) Pesquise imagens de “magnetosfera”, “aurora boreal”e “câmara de bolhas” e faça 
algum comentário.
Ondas eletromagnéticas e ondas de matéria
Exercício 6:
Leia a continuação do diálogo do exercício anterior, e responda ao que for solicitado da 
mesmo forma que no exercício anterior.
(...)
– Entendi o que são campos elétricos e magnéticos, mas ainda não entendiporque 
eles caminham juntos na onda eletromagnética.
– Isso aí já é uma história mais longa. Descobriu-se depois que campo elétrico 
variante (aumentando ou diminuindo) gera campo magnético, e vice-versa. Esse 
comportamento é descrito pelas Equações de Maxwell.
– São muitas essas equações?
– São quatro, e na verdade o que Maxwell fez foi descrever matematicamente leis 
que já haviam sido descobertas por outras pessoas: Lei de Gauss, Lei de Gauss 
para o magnetismo, Lei de Faraday e Lei de Ampère (Maxwell acrescentou um 
termo a essa última, relativo a um fenômeno que Ampère não havia descrito).
– E o próprio Maxwell mostrou que essas leis juntas dão origem a ondas?
– Maxwell previu essas ondas, e Hertz as demonstrou.
– Esse Hertz tem a ver com o megahertz das rádios.
– Sim. Foi por causa dele.
(...)
(a) Pesquise e escreva a nacionalidade, a profissão, os anos de nascimento e morte e 
uma descoberta importante dos seguintes cientistas:
• James Clerk Maxwell:
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• Heinrich Rudolf Hertz:
• Johann Carl Friedrich Gauss
• Michael Faraday
• Andrè-Marie Ampère
Nenhum brasileiro? Que tal você descobrir algo importante e acrescentar o seu nome a 
essa lista?!
Exercício 7:
Leia a continuação do diálogo do exercício anterior, e responda ao que for solicitado da 
mesmo forma que no exercício anterior.
(...)
– Agora você já pode falar sobre aquela história de fótons serem partículas e ondas 
eletromagnéticas ao mesmo tempo?
– Ah, sim. É porque Albert Einstein, quando explicou o efeito fotoelétrico, mostrou 
que fótons, que são pulsos de onda eletromagnética, se comportam como 
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partículas quando se chocam com elétrons.
– Como assim?
– Por exemplo, eles podem colidir com os elétrons e arrancá-los de onde eles 
estão.
– Mas, quando duas partículas colidem, eu posso saber as velocidades finais pela 
conservação do momento linear e pela conservação da energia cinética. E no caso 
dos fótons?
– Existem relações que atribuem um momento linear e uma energia ao fóton 
também.
(…)
(a) Escreva as fórmulas que definem momento linear e de energia cinética, para uma 
partícula de velocidade v.
(b) Pesquise sobre colisões e escreva as equações que descrevem a conservação do 
momento linear e da energia cinética em colisões.
(c) Pesquise sobre a Teoria dos Quanta e a Dualidade Onda-Partícula, e escreva a 
relação entre energia e frequência, e entre momento linear e comprimento de onda.
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(...)
– Se eu bem entendi, é por isso que as ondas eletromagnéticas são chamadas de 
“ondas de matéria”!
– Não! Na verdade, ondas de matéria são outra coisa, embora as relações 
deduzidas acima valham para ambas.
– Então, o que são “ondas de matéria”?
– É que o cientista Louis de Broglie depois descobriu que, da mesma forma que 
ondas eletromagnéticas podem se comportar como partículas, partículas também 
podem se comportar como ondas.
– Partículas comuns, como o elétron, também são ondas eletromagnéticas?
– Não. Ondas eletromagnéticas, não. Partículas também são ondas de matéria.
– ?!?!?!?!
– Sim! Ondas de matéria!
– Mas qual é a natureza dessas ondas?
– São ondas de probabilidade. Você se lembra da definição de orbital em Química?
– Sim, de Química eu gosto! Orbital é a região de maior probabilidade de se 
encontrar o elétron!
– Exatamente. Um orbital é uma onda de matéria estacionária!
– Quando uma onda de matéria encontra uma onda eletromagnética, elas 
interagem como ondas ou como partículas?
– Depende. Pode ser de um jeito ou de outro, dependendo do experimento. É o 
Princípio da Complementaridade!
(d) Defina dualidade onda-partícula e Princípio da Complementaridade abaixo:
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