Apostila_FCA_parte-experimental

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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA
INSTITUTO DE FÍSICA
FÍSICA PARA CIÊNCIAS 
AGRÁRIAS
1- Introdução
A Física é composta por um conjunto de teorias, coerentes entre si, elaboradas 
sob o pressuposto de existência de regularidades objetivas.
Em conseqüência, essas teorias são passíveis de serem testadas, comparando-se 
suas explicações e predições com os fenômenos e dados empíricos. Os testes devem ser 
múltiplos, realizados de maneiras independentes e por diferentes pessoas.
A Física, contudo, não é uma ciência exata e sim precisa. Daí, para decidir se 
diferentes testes concordam entre si, é necessário: 
 - explicitar o grau de incerteza (ou imprecisão) dos valores obtidos experimentalmente.
- adotar procedimentos compatíveis entre si e as mesmas regras no tratamento dos dados.
 
2- Resultado Experimental
Um resultado experimental, obtido direta ou indiretamente, após várias repetições 
de um experimento, deve conter a melhor estimativa para a medida de uma grandeza. 
Ao mesmo tempo deve explicitar a incerteza na medida, ou dito de outra forma, deve 
evidenciar o intervalo de confiabilidade dessa melhor estimativa. Assim, um resultado 
experimental para uma grandeza X deve ser escrita como Xm  X , onde Xm representa 
a Melhor Estimativa e X, sempre positivo, o Erro Absoluto ( ou incerteza). 
Por exemplo, se a massa de um objeto for expressa por m = 316,2 + 0,5 g , isto 
significa que a medida da massa é confiável dentro dos limites 316,7 g e 315,7 , mas a 
melhor estimativa (valor mais provável) vale 316,2 g .
2-1. Erro Absoluto
O intervalo X representa a região em torno da Melhor Estimativa onde são 
encontrados os valores da medida X obtidos após uma série de repetições do experimento. 
Sua determinação independe do valor da grandeza X e, por isto, é chamado de Erro 
Absoluto.
Observe que X é definido como um valor sempre positivo. Em conseqüência, se 
o resultado experimental de uma grandeza vale X = Xm  X , então, X = | X - Xm |
2
2-2. Erro Relativo
Se o comprimento de uma grandeza foi determinado como sendo igual a 400 + 2m 
e o de outra 100 + 2 m, então, a comparação entre os valores relativos 2/400 e 2/100 dará 
uma idéia mais clara, comparativamente com o erro absoluto, sobre o significado da 
incerteza numa ou noutra determinação.
Este valor relativo, ER = X / X , é definido como sendo o Erro Relativo.
Na forma de percentagem, esta razão deve ser multiplicada por 100. Assim, no 
exemplo apresentado, ER vale 0,5 % no primeiro caso e 2 % no segundo. 
 A figura 1 abaixo (conforme ref. 1) representa um valor experimental:
 Intervalo de valores prováveis
 \ / 
| ( | X ) | | 
 | 
0 1 2 3
4
 |
 Melhor estimativa de X
Fig.1 - Nesta figura, a melhor estimativa de uma determinada grandeza X é mostrada em uma escala linear. A 
medida de X foi repetida várias vezes e todos os valores encontrados estão espalhados em um intervalo 
assinalado pela região entre parênteses. Este é o intervalo de valores prováveis, ou seja, se mais uma medida 
for realizada, ela tem grande probabilidade de se encontrar neste intervalo .
2-3. Comparação entre Resultados Experimentais
Quando comparamos dois resultados experimentais, ou um valor predeterminado 
com um outro medido, nosso grau de certeza sobre a igualdade entre os dois valores 
dependerá do grau de superposição entre os intervalos de valores prováveis. Devemos, 
então, comparar tanto as melhores estimativas como as incertezas a elas associadas, 
conforme exemplificado na figura 2 (obtida da ref. 1) :
3
Provavelmente Talvez Provavelmente 
iguais iguais desiguais
Medida 1 | | ( x )| | | | ( x |) | | | ( x ) | | 
0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3
Medida 2 | | ( x ) | | | (| x ) | | | ( x )| | | 
0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3
Fig.2 - Temos nesta figura a comparação do resultado de duas medidas em três 
situações distintas. Pode-se considerar os valores destas duas medidas como 
provavelmente iguais, talvez iguais, ou como provavelmente desiguais, 
dependendo do grau de superposição de suas incertezas, como pode ser 
observado pelo grau de superposição dos parênteses na primeira e segunda 
linhas correspondentes a cada caso.
Define-se discrepância como sendo a diferença entre duas melhores estimativas. 
A discrepância é significante se os intervalos de valores prováveis não se superpõem. Em 
outras palavras, se XA  XA e XB  XB representam duas medidas da grandeza X, a 
discrepância será dada por | XA melhor estimativa - XB melhor estimativa | e será significante 
se esta diferença for maior do que (XA + XB ) .
A figura 3 ( ref. no 1) mostra mais claramente a diferença entre incerteza e discrepância:
 Incerteza x
| ( | X ) | | | 
0 1 2 3 4
 discrepância
 <-------------------------->
| | | ( X ) | | 
0 1 2 3 4
 <----->
 Incerteza x
Fig.3 - Diferença entre incerteza e discrepância
A presença de discrepância entre duas determinações de uma grandeza coloca a 
questão de se saber qual é a resposta correta, uma vez que o valor exato não é conhecido. 
Na verdade procede-se da seguinte maneira: elimina-se, tanto quanto possível, as falhas 
(erros grosseiros); quando possível, aumenta-se a precisão dos instrumentos de medida e 
realiza-se um número razoável de repetições. Outros pesquisadores repetem o 
experimento, repetem os cálculos e os resultados são comparados. À medida que a 
precisão aumenta (X diminui) a teoria é melhor comprovada. O resultado é aceito 
quando vários experimentalistas estão de acordo. Se existe discrepância significante entre 
o valor aceito e o valor obtido em uma medida, conclui-se que esta medida foi inacurada. 
4
Entretanto, tal conclusão não é necessariamente correta pois existe a possibilidade de que 
os experimentalistas que determinaram o valor correntemente aceito podem não ter se 
apercebido de algum detalhe importante, só reconhecido posteriormente. Estas situações 
são bastante raras, mas quando ocorrem são de enorme importância. Observe que a 
inacurácia só surge quando duas determinações diferentes são feitas, enquanto a incerteza 
(imprecisão) ou erro absoluto aparece em uma única determinação.
Na figura 4 abaixo, obtida da ref. 1., mostra-se a distinção entre imprecisão e 
inacurácia. Em (a) a medida foi mais precisa do que em (b), porém mais inacurada. 
Diminuindo-se a precisão de uma medida, aumenta-se a probabilidade dela ser acurada, 
isto é, mais provável será o acordo entre dois valores (ou entre predição e determinação). 
No entanto, a validade de uma teoria aumenta quando tanto a precisão como a acuidade 
com que ela é testada aumentam!
INACURÁCIA
 Valor aceito como verdadeiro
 /
(a) | ( | X ) V | | | 
0 1 2 3 4
IMPRECISÃO
 Valor aceito como verdadeiro
 /
(b) | ( | X V |) | | 
0 1 2 3 4
Fig.4 - Nesta figura encontra-se a distinção entre imprecisão e inacurácia. O "V", localizado na escala, se 
encontra na posição do valor aceito como verdadeiro, e X, no valor mais provável de uma determinação 
experimental. Os parênteses delimitam aincerteza em X. 
3. TIPOS DE ERROS
Em Física, a palavra erro tem um significado bem amplo e não se reduz às falhas 
cometidas por distração ou inabilidade na realização de um experimento. Discutimos 
acima a terminologia empregada em descrever os erros em medidas, mas não 
mencionamos as causas dos vários tipos de erros. Daremos a seguir uma idéia das 
possíveis fontes dos variados tipos de erros experimentais e veremos que algumas 
incertezas sempre estarão presentes nas determinações de uma grandeza. Contudo, vale 
ressaltar que num trabalho experimental de qualidade, procura-se incessantemente reduzir 
ao mínimo essas incertezas.
5
3.1 Erros de Acurácia
Falhas (ou Erros Grosseiros): São erros cometidos por desconhecimento do 
assunto tratado, inabilidade, distração etc, e, portanto, desqualificam o experimentalista. 
Podem surgir através de uma leitura errônea da escala utilizada, de um erro aritmético, da 
aplicação da teoria onde ela não é válida etc. 
Exemplos: Se no cálculo da área de um retângulo de lados a e b, usamos a 
expressão A = 2 a b, o fator errôneo 2 produz um erro grosseiro. O mesmo acontece se, na 
montagem de um circuito elétrico, esquece-se de conectar um dos dispositivos do circuito. 
A prática e o cuidado na realização dos experimentos reduzem drasticamente tais falhas. 
Ao compararmos resultados, temos que ter certeza que esses tipos de erros não estão 
presentes.
Erros Sistemáticos: São assim chamados por levarem, sistematicamente, os 
resultados para mais ou para menos. Podem ser causados por falhas no aparelho de 
medida; por calibração incorreta (por exemplo, uma balança acusa valor diferente de zero 
mesmo na ausência de qualquer massa sobre o seu prato); por aproximações teóricas 
incorretas que muitas vezes representam apenas uma primeira aproximação ao problema e 
que num experimento com relativa precisão podem aparecer como discrepância (por 
exemplo, ao se calcular o tempo de queda de um corpo de uma altura h, admitir 
desprezível a resistência do ar pode produzir um erro sistemático).
Tais erros acima podem ser eliminados totalmente ou reduzidos a algum valor 
extremamente pequeno. Agora vamos tratar com tipos de erros inerentes ao processo de 
medição.
3.2 Erros de Precisão
Erro Instrumental (ou Erro de Escala): Na obtenção de medidas utilizamos 
equipamentos, então, estes devem ser calibrados a partir de padrões convenientemente 
definidos. A construção de uma escala implica a escolha de subdivisões, em partes iguais, 
da unidade padrão. No entanto, pode ocorrer que a grandeza a ser medida não 
corresponda a um número inteiro das subdivisões existentes no aparelho. Deparamo-nos, 
desta forma, com o problema de estimar a fração da subdivisão considerada. Ao 
estimarmos esta fração, introduzimos o Erro Instrumental que indica o grau de precisão 
6
de um dado instrumento. Assim, quanto mais preciso for um instrumento, menor será o 
valor do erro instrumental. O Erro Instrumental representa a limitação do instrumento.
 Obtenção do Erro Instrumental
A estimativa do Erro Instrumental, envolvido na medida de uma grandeza, 
depende do instrumento utilizado e da habilidade do experimentador. Às vezes, a escala é 
tão grande que é possível estimar se o valor medido está, nitidamente, aquém ou além da 
metade (ou de um quarto) da menor escala. Nesta situação, pode-se considerar como erro 
instrumental 1/4 (ou 1/8) da menor escala. Em outras situações, ao contrário, as 
subdivisões são tão juntas que não é possível distingüir o traço de referência entre duas 
subdivisões sucessivas. Neste caso, deve-se tomar como o erro instrumental a menor 
divisão da escala. 
No entanto, neste curso, sempre que possível, o Erro Instrumental será tomado 
como sendo igual à metade da menor divisão da escala do instrumento. 
Assim se, por exemplo, a menor subdivisão de uma régua for o centímetro (cm), 
então o erro instrumental será de 0,5cm, ou se em um voltímetro a menor subdivisão for o 
milivolt (mV), o erro instrumental será 0,5 mV. Isto se justifica pois 1/2 divisão implica 
uma imprecisão total de +1/2-(-1/2)=1 divisão, que é a menor subdivisão da escala do 
aparelho.
Erro Aleatório: As condições sob as quais um experimento é realizado podem 
não ser exatamente as mesmas a cada vez que se repete o experimento. Suponhamos que 
se queira estimar o tempo de queda de um corpo que se encontra a uma altura h. Ao se 
repetir o processo, se o corpo estiver ligeiramente acima ou abaixo do que na situação 
anterior, haverá uma incerteza na altura h, que produzirá uma incerteza no tempo de 
queda. Vê-se, neste caso, que uma das variáveis do experimento não está bem controlada, 
produzindo flutuações aleatórias em torno de um valor, chamado de valor mais provável. 
Esta margem de flutuação, decorrente de processos puramente aleatórios, é o que se 
denomina de Erro Aleatório. Talvez você possa imaginar algum mecanismo que reduza 
drasticamente esta incerteza, o que implicará um menor erro aleatório, mas, seguramente, 
surgirá aleatoriedade se formos além do grau de precisão deste mecanismo. Assim, o erro 
aleatório é inerente a todo processo de medida e deve ser convenientemente tratado. No 
erro de natureza aleatória, existe uma probabilidade igual de se errar para mais ou para 
menos, e o procedimento natural que se usa para tratá-los é a análise estatística que, para 
os propósitos desta disciplina, resume-se no seguinte:
7
 Melhor Estimativa
Após cuidadosas repetições dos mesmos procedimentos, obtém-se um certo 
número de medidas da grandeza que se quer medir. A melhor estimativa da medida desta 
grandeza será obtida tomando-se a média aritmética dos valores obtidos. Por exemplo: em 
um experimento qualquer, efetuamos N medidas de uma grandeza x, obtendo os valores, 
x1, x2, x3,..., xN . A melhor estimativa do valor x é dada por x , onde
x
x
N
i
i
N
 

1
 Cálculo do Erro Aleatório
O erro aleatório é obtido calculando-se a dispersão das diversas medidas, obtidas 
experimentalmente, com relação ao valor médio (Melhor Estimativa). Para isto, utiliza-se 
o conceito estatístico de variância de uma medida, que é dada por:
 x
i
i
N
x x
N
2
2
1
1




 ( )
A idéia existente na expressão acima é a seguinte: a diferença ( )x xi  para cada 
um dos N valores de x, dá uma medida de quanto o valor de cada medida xi se afasta do 
valor médio x . 
O efeito acumulativo destas diferenças é obtido tomando-se a soma dos quadrados 
das diferenças, isto é, ( )x xi  2 . Observe que a soma de quadrados é uma soma de 
termos positivos, logo, apenas o valor absoluto do desvio é importante (de fato, é fácil 
mostrar que a soma dos desvios ( )x xi  é sempre igual a zero). Em seguida, determina-se 
a média desses desvios quadráticos. Contudo, existem apenas (N - 1) desvios 
independentes, pois, a média x representa um vínculo entre os N valores, isto é, se 
conhecemos a média x e (N - 1) dos valores x1,x2 ... xN, o n-ésimo pode ser obtido. Assim, 
(N - 1) é o denominador correto. 
Para servir como medida do desvio na grandeza x, é necessário que a expressão 
tenha a mesma dimensão de x e, assim, a raiz quadrada é tomada, chegando-se à 
expressão para a Estimativa do Desvio Padrão que será utilizada como sendo o Erro 
Aleatório da série de medidas realizadas, ou seja:
8
 x
i
i
N
x x
N




 ( )2
1
1
OBS.
A repetição de um experimento num número limitado de vezes pode ser vista 
como uma Amostra de uma População Estatística que no caso corresponderia a repetir 
infinitamente o experimento.
A utilização da média aritmética como a Melhor Estimativa (valor mais provável) 
para o valor de uma grandeza medida e do Desvio Padrão, obtido com os desviosquadráticos da “amostra” (confira a equação acima), como uma Estimativa do Desvio 
Padrão da População1, encontra fundamentação na Teoria Estatística, desde que esta 
Amostra obedeça certas condições de tamanho e critério de escolha etc. 
Neste curso, vamos supor que essas condições estarão sendo satisfeitas.
Erro Experimental Absoluto 
Foi dito anteriormente que ao relatar um resultado experimental, além da Melhor 
Estimativa, devemos também relatar a margem de confiabilidade deste valor. Como 
decidir, em meio a tantos tipos diferentes de erros, qual a margem de confiabilidade? Para 
responder à pergunta acima, devemos levar em consideração a natureza de cada tipo de 
erro. 
Como regra geral, parte-se do pressuposto de que o experimentalista fez todos os 
esforços para eliminar os vários tipos de falhas ou erros sistemáticos. Por este motivo 
erros de acurácia não são relatados. Assumindo que as falhas (erros grosseiros) e os 
erros sistemáticos foram eliminados, restam os erros instrumentais e aleatórios.
Suponhamos que os erros aleatórios sejam muito maiores que a precisão do 
equipamento de medida. Neste caso sabe-se que o equipamento é capaz de medir com 
uma precisão maior do que as flutuações que surgem a cada repetição da medida. 
Obviamente, neste caso, o erro aleatório é o dominante e é o valor que deve ser relatado 
como erro experimental.
Agora, suponhamos que as flutuações nas várias repetições das medidas sejam 
menores do que a precisão de cada medida. Neste caso, não se pode determinar a medida 
com precisão maior do que a precisão do instrumento; logo, o erro no experimento é o 
erro instrumental2.
1No caso do cálculo do Desvio Padrão da População e não de sua estimativa, a equação a ser utilizada difere 
da equação acima pelo fato de o valor N substituir (N-1).
2Se não for possível repetir várias vezes a medida de uma grandeza, o erro aleatório será indeterminado e o 
erro total será dado pelo erro instrumental. Neste caso, a melhor estimativa da grandeza será dada pelo único 
9
Entretanto, se os dois tipos de erros forem comparáveis, o valor do Erro 
Experimental Absoluto será dado pela adição dos erros envolvidos, ou seja:
X exp = X ins trumental + X aleatório = X instrumental + 
4. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Como vimos, grande parte das medidas físicas envolvem leituras de escalas e, não 
raro, deparamo-nos com um resultado que não coincide exatamente com uma das linhas 
de divisão de escala. Teremos, então, que estimar o algarismo final da leitura. Este 
algarismo estimado é, até certo ponto, incerto. No entanto ele é significativo, no sentido de 
que ele nos fornece informações úteis sobre a quantidade que está sendo medida. Os 
algarismos significativos de uma medida são aqueles razoavelmente confiáveis. Na 
leitura de uma medida física, um e apenas um algarismo estimado ou incerto deve ser 
retido.
Para facilitar a compreensão do que foi dito acima, vejamos um exemplo: Um 
observador, medindo um comprimento com uma régua milimetrada, registra o resultado 
da medida como sendo igual a 3,28cm. Como a régua é milimetrada, o algarismo 8 desta 
leitura foi estimado. Talvez o resultado da estimativa pudesse ser 7 ou 8 , de qualquer 
forma ela dá uma certa informação sobre o comprimento; logo, é útil. A leitura feita pelo 
observador possui três algarismos significativos. Um fato importante a se destacar é o de 
que a localização da vírgula nada tem a ver com o número de algarismos significativos. O 
resultado da medida, feita no exemplo acima, poderia ter sido escrita como 32,8mm ou 
0,0328m; apesar da vírgula decimal ter sido deslocada, o número de algarismos 
significativos continua a ser três em cada caso.
A presença de zeros em uma certa medida pode causar dificuldades que, 
entretanto, podem ser superadas se possuirmos as seguintes informações:
a) Se os zeros se localizam no início de um número (à esquerda no número), isto é, 
se estão lá apenas para localizar a vírgula, eles não são considerados significativos, como 
no caso 0,0328m do exemplo anterior, onde existem três algarismos significativos.
b) Se os zeros se localizam entre dois algarismos significativos, então eles são 
sempre significativos: por exemplo se a leitura de um termômetro nos dá 30,8oC , o zero é 
significativo e este resultado possui, então, três algarismos significativos.
valor medido.
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c) Se os zeros estiverem no final de um número (à direita no número), é necessário 
que se tenha certo cuidado. Se não temos informações explícitas sobre a leitura feita, não 
sabemos, a princípio, se é um algarismo significativo ou se está lá apenas para localizar o 
ponto decimal. 
Por exemplo: em uma determinação da distância entre duas cidades obteve-se 
como resultado 325000 m, mas a acuidade da medida não passou da casa dos quilômetros. 
Então, este resultado será melhor expresso por 3,25 x 105 m, ficando claro que dispomos 
de apenas três algarismos significativos. 
Outro exemplo: medindo-se um determinado comprimento com uma régua 
milimetrada (que permite ler milímetros com exatidão e estimar décimos de milímetro), 
um resultado registrado como 20,00 cm é totalmente correto, significando que o último 
zero foi obtido como a melhor estimativa dos décimos de milímetros. Seria errado 
representar o resultado por 20 cm, pois este registro, assim como está, nos informa 
erroneamente que o instrumento de medida somente nos permite estimar centímetros. A 
leitura registrada deve sempre expressar o grau de precisão da medida.
Segundo uma das regras do trabalho científico, devemos registrar medidas 
guardando apenas os algarismos significativos quando realizamos cálculos envolvendo 
grandezas medidas diretamente. Incluir algarismos não significativos adicionais dão uma 
idéia falsa da medida e pode confundir as pessoas que venham a usar estes dados, pois eles 
acreditarão que todos os algarismos são significativos.
Na determinação de uma dada grandeza, quanto mais precisas forem as medidas, 
maior o número de algarismos significativos que aparecem no resultado. Se medirmos 
uma pequena espessura com uma régua milimetrada, teremos uma leitura com menos 
algarismos significativos do que a leitura da mesma espessura medida com um 
micrômetro. Quando escrevemos um resultado com quatro algarismos significativos 
estamos informando, a quem o consultar, que um quinto algarismo não teria qualquer 
significado. 
Por exemplo: uma medida de comprimento é feita com uma régua milimetrada e 
registrada como 28,356 cm. O algarismo 6 não tem significado algum, pois a tentativa de 
estimar os centésimos de milímetros em uma régua milimetrada não tem sentido.
Ao serem feitas manipulações aritméticas com resultados de medidas, é preciso ter 
cuidado para não introduzir, nas respostas, algarismos não significativos.
O número de algarismos significativos que devem ser mantidos depende do 
número de algarismos significativos dos dados experimentais e das operações aritméticas 
usadas. As regras comumente utilizadas nestas operações são as seguintes:
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1)ADIÇÃO e SUBTRAÇÃO
Regra: antes de efetuar a adição ou a subtração, deve-se arredondar as grandezas 
para a casa decimal do número com menor precisão.
Exemplo 1:
13,2 cm 13,2
 + 18,86 cm -------> 18,9 Resposta: 32,3 cm
 0,210 cm 0,2
_____ ___
32,3
Exemplo 2:
 96 cm 96
 + 7,6 cm -------> 8 Resposta: 104 cm.
 0,32 cm 0
_____ ___
104
Observe, neste exemplo, que o resultado, 104 cm, apresenta a casa das unidades como 
estimada, coerentemente com o fato de o valor 96 cm possuir o mesmo grau de 
confiabilidade. Observe, também, que o aumento do número de algarismos significativos 
decorre de cálculos e não compromete a precisão com que os resultados foram obtidos.
Exemplo3:
 545,36 m 545,4
 __ 32,5 m -------> 32,5 Resposta: 512,9 m
_____ ____
512,9
Exemplo 4:
 1,93 m 1,93
 __ 1,91 m -------> 1,91 Resposta: 0,02 m ou
 _____ ____ 2 x 10-2 m.
 0,02
Observe, neste exemplo, que o resultado da subtração deve ser apresentado apenas com 
um algarismo significativo embora as duas medidas iniciais possuíssem três algarismos 
significativos.
12
 
1)MULTIPLICAÇÃO e DIVISÃO
Regra: na multiplicação ou na divisão, o resultado deve apresentar o mesmo 
número de algarismos significativos da medida que apresentar o menor número de 
algarismos significativos.
Exemplo 1:
 12,387 N 
 x 8,23 m Resposta: 102 J 
 ________ Obs. : N x m = J
 101,94501 
Exemplo 2:
 157,20 m 
 x 39,3 s Resposta: 4,00 m/s. 
 _____ 
 4
Observe, neste caso, que embora a divisão seja exata, a resposta deve ser dada com três 
algarismos significativos, coerentemente com a medida que possui o menor número de 
algarismos significativos (39,3 s).
Observações:
1) As regras estabelecidas acima referem-se a resultados de medidas. Existem certos 
valores que resultam de contagem e, portanto, não estão sujeitos a incertezas. Por 
exemplo, o número de alunos em uma turma ou o número de oscilações de um pêndulo. 
Igualmente, números resultantes de definições, por exemplo, o número de metros 
existentes em um kilômetro, ou a relação entre o volume e o raio de uma esfera podem ser 
apresentados com absoluta precisão, isto é, podem ser considerados com um número 
infinito de algarismos significativos.
2) Arredondamentos:
Ao se desprezar algarismos não significativos nas operações aritméticas, as 
seguintes regras devem ser utilizadas:
a) se o primeiro algarismo a ser desprezado for maior do que 5 ou se for um 5 
seguido de algarismos diferentes de zero, o resultado deve ser acrescido de uma unidade.
Exemplo: 8,35796 
torna-se 8,36 se arredondado para três algarismos significativos; 
13
torna-se 8,3580 se arredondado para cinco algarismos significativos;
torna-se 8,4 se arredondado para dois algarismos significativos;
b) se o primeiro algarismo a ser desprezado for menor do que 5, simplesmente 
despreza-se este e os sucessivos algarismos.
Exemplo: 7,3623
torna-se 7,362 se arredondado para quatro algarismos significativos;
torna-se 7 se arredondado para um algarismo significativo;
c) se o primeiro algarismo a ser desprezado for um 5 não seguido por qualquer 
outro algarismo, ou se for um 5 seguido apenas de zeros, então, existem diferentes regras 
na literatura. Neste curso, vamos adotar a seguinte: acrescenta-se-lhe sempre um 
algarismo.
Exemplos: 
38,2500 torna-se 38,3 se arredondado para três algarismos significativos;
 8,35 torna-se 8,4 se arredondado para dois algarismos significativos;
As manipulações algébricas com resultados de medidas ocorrem quando 
procuramos obter a Melhor Estimativa ou o Erro Aleatório, e, principalmente, quando 
queremos determinar indiretamente alguma grandeza que depende de duas ou mais 
grandezas ( a densidade é um exemplo, pois depende da massa e volume). Os erros em 
cada uma destas medidas se "propagam" para outras grandezas. Veremos a seguir como o 
erro se propaga e como determinar o número de algarismos significativos em uma 
grandeza determinada por duas ou mais medidas.
5. PROPAGAÇÃO DE ERROS
Sempre que trabalhamos com dados experimentais, nos deparamos com situações 
onde é necessário que se efetuem cálculos envolvendo duas ou mais grandezas às quais já 
estão associados os seus respectivos erros. Os valores resultantes destes cálculos, em geral, 
são menos precisos do que os valores determinados, se possível, através de uma medida 
direta da grandeza. Isto porque os erros vão se acumulando na medida em que 
manipulamos matematicamente as grandezas envolvidas.
Os erros em uma quantidade calculada podem ser determinados a partir dos erros 
em cada uma das quantidades usadas, como veremos a seguir.
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5.1 Soma
Consideremos duas grandezas A e B representadas, respectivamente, por 
a=a±Da e b=b±Db
Se tivermos que calcular uma quantidade c = a + b, adotaremos o seguinte 
procedimento:
c a b a b   ( ) ( ) 
ou seja, tomamos como Melhor Estimativa da grandeza c, a soma das melhores 
estimativas de a e b:
c a b 
e o erro absoluto associado a c é dado pela soma dos erros associados a a e b:
5.2 Subtração
O mesmo raciocínio usado acima para a adição pode ser estendido à subtração. Se 
queremos calcular uma quantidade c=a -b, teremos:
c=a−b ±a b 
ou seja,
c=a−b
e, c= ab
Talvez você possa ter estranhado o fato de o erro absoluto asssociado à subtração 
ser dado pela soma dos erros absolutos individuais. Isto ocorre porque, como já sabemos, 
os erros vão se acumulando à medida que efetuamos cálculos envolvendo grandezas que já 
os contém. Portanto, se tivéssemos dito que c = a - b, estaríamos afirmando que um 
erro compensa o outro, o que é incorreto
5.3 Produto Simples
Suponha que precisamos estimar o erro cometido no cálculo de grandezas físicas 
dadas por expressões do tipo:
c = a . b
  c a b 
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Sabemos que o resultado deste produto deve ser uma expressão do tipo:
c=c±c
Como o valor da variável c está compreendido no intervalo ( cmin=c−c e 
cmax=c c ), obteremos uma expressão para c calculando:
cmax=amax . bmax= aa  bb =abbaa b ab
cmin=amin . bmin= a−a b− b =ab−ba−abab
admitindo que 
 a
a
 e 
 b
b
 << 1 podemos desprezar o termo a.b. Assim,
cmax=abbaab 
cmin=a b−b aab 
obtendo-se, então, c=ab±b Daab 
Em conseqüência, 
c=a b
e,
c=baab
Dividindo ambos os lados da equação por c=a b
 c
c
=
a
a

 b
b
ou seja, o erro relativo do produto é igual à soma dos erros relativos dos fatores.
5.3 Divisão
Suponhamos agora que desejamos obter o erro associado à divisão de duas 
grandezas, na forma c=a/b = a . (1/b).
Usando a regra anterior estabelecida para a multiplicação,
c= a 1/ b a1/b  ;
Ec R = EaR + EbR
16
precisamos, então, obter o erro associado à grandeza z = 1/b, sabendo que b = b + b. 
Observe que
b=∣z−z∣=∣1 /b−1 /b∣=∣b−b∣/b b
mas, ∣b−b∣=b , logo
b=b /b bb =b /b2 1 b/ b  .
Admitindo-se que b /b≪1 , obteremos
Conseqüentemente, 
c=a /b = baa b / b2 .
Dividindo ambos lados da equação acima por c=a /b , obteremos
c
c
=
a
a

b
b
ou,
ou seja, aqui também os Erros Relativos adicionam-se.
 
Conclusão
O Erro Absoluto, associado a uma grandeza obtida a partir da adição ou 
subtração de duas outras, é obtido a partir da soma dos Errros Absolutos associados a 
estas grandezas.
No caso da multiplicação ou divisão de duas grandezas, o Erro Relativo da 
grandeza resultante será igual à soma dos Erros Relativos associados àquelas grandezas. 
 
6. Referências
1. Dana Roberts, Errors, discrepancies, and the nature of physics, The Physics 
Teacher, 155, March (1983).
2. D. H. Garrison, Random error experiment for beginning physics laboratory, The 
Physics Teacher, 356. 13 (1975)
z= (1/b) = b/b2
Ec R = EaR + EbR
17
3. Christopher G. Deacon, Error Analysis in the Introductory Physics Laboratory, 
The Physics Teacher, 368. 30 (1992)
4. N. H. Cook e E. Rabinowicz, Physical Measurement and Analysis, Addison-Wesley 
Publishing Company, (1965).
5. N.C.Barford, Experimental Measurements:Precision, Error and Truth, John-Wiley 
& Sons, 2a edição, (1985).
18
Gráficos: Elaboração e Interpretação
1. Introdução
Uma lei física é uma relação de causa e efeito entre dois eventos. Se os eventos são 
mensuráveis, a lei física resultante expressará relaçõesentre quantidades físicas e que 
podem ser representadas de várias maneiras:
em palavras, através de enunciados;
em símbolos, através de uma equação ou relação matemática;
pictoricamente, através de um gráfico.
A escolha depende do uso que se precisa fazer da informação. Por exemplo, se quizermos 
fazer cálculos, então uma equação é o meio de expressão mais adequado. O gráfico, no 
entanto, expressa mais claramente o modo com que uma quantidade varia em função da 
outra. É de extrema utilidade quando a relação formal entre as quantidades não é 
conhecida a priori, o que impede a utilização das outras formas mencionadas acima.
2. Tipos de Gráficos
Existem vários tipos de gráficos. Interessa-nos aqui, particularmente, aquele em 
que os pontos experimentais são lançados em eixos coordenados e uma curva suave seja 
traçada da forma que melhor se ajusta aos pontos.
Uma hipótese tacitamente admitida na construção de um gráfico é a de que se os 
pontos experimentais não caem todos sobre uma curva suave é porque erros experimentais 
influíram nas medidas (isto pode ser verificado repetindo-se o experimento algumas 
vezes).
Gráficos são também úteis para expressar visualmente relações (funções) já 
conhecidas entre duas grandezas. Para isto toma-se a expressão e prepara-se uma tabela 
contendo o valor de uma grandeza para cada valor da outra. Esses dados são usados para 
traçar uma curva que passa pelos pontos calculados e permite uma rápida interpolação 
para se obter valores de uma grandeza para valores intermediários da outra.
Para que todo o intervalo investigado de uma das grandezas esteja representado é 
necessário que se defina uma escala. Os vários tipos de gráficos que veremos nesta 
disciplina se distinguem pela escala adotada:
19
Gráficos bilineares: Ambas as escalas, nos eixos horizontal e vertical são 
lineares. Este é o tipo mais comum de gráfico para o qual utilizamos um papel 
milimetrado, formado por um reticulado com linhas igualmente espaçadas.
Gráficos mono-log: Uma das escalas é linear e a outra é logarítmica. Uma escala 
logarítmica é aquela em que as distâncias entre as linhas no papel de gráfico são 
proporcionais aos logaritmos dos valores que estão sendo grafados.
Gráficos log-log: Ambas as escalas são logarítmicas.
2.1 Construção de um Gráfico
Para melhor padronizar os gráficos é preciso que determinadas regras sejam 
seguidas na sua construção, a saber:
1. Todo gráfico deve ser contruído a partir de dados adequadamente tabulados. A 
tabela deve conter duas colunas (ou linhas) adjacentes, uma para cada grandeza: variável 
independente (isto é, aquela que se está variando no experimento e, portanto, adquire 
valores pré-determinados) e variável dependente (isto é, aquela que depende ou se mede 
em função do parâmetro que está sendo variado no experimento).
2. Os valores da variável independente devem ser lançados ao longo da escala das 
abscissas (eixo - x) e os da variável dependente devem ser lançados ao longo da escala das 
ordenadas (eixo - y). Os eixos devem ser traçados com linhas visualmente destacadas. 
Nem sempre é necessário que a origem (ponto de intersecção entre a abscissa e ordenada) 
comece com zero. A origem pode ser escolhida a partir dos menores valores grafados e, se 
for conveniente, pode incluir o zero. Nota: em escalas logarítmicas o valor "zero" não 
pode ser representado no gráfico pois logaritmo de zero não é definido (isto será melhor 
discutido mais à frente).
3. O tamanho do gráfico deve ser escolhido de acordo com a acuidade dos valores 
tabulados. Em geral, a curva deve preencher a maior parte da folha. No entanto, se a 
variação entre o menor e o maior dos valores tabulados é pequena, deve-se evitar espalhar 
muito o gráfico. Um gráfico deve refletir a acuidade dos valores experimentais. Não tem 
significado físico a leitura de um gráfico com mais algarismos significativos que os da 
medição.
20
4. As divisões da escala devem ser destacadas de modo a facilitar visualmente as 
subdivisões. As escalas sobre os eixos x e y podem ser diferentes, se assim for necessário, 
para acomodar os dados. Deve-se buscar valores múltiplos e submúltiplos de 10, pois esta 
escolha facilita as subdivisões.
5. Nunca escreva os valores dos dados tabulados nos eixos coordenados pois isto 
prejudica a visualização da escala e das subdivisões.
6. Se os dados têm valores excepcionalmente grandes ou pequenos, deve-se buscar 
representá-los em potências de 10 e lançar os dados com até dois algarismos 
significativos.
7. As grandezas representadas no gráfico, (i.e, as variáveis, não os seus valores!) e 
suas respectivas unidades devem ser indicadas ao longo dos eixos.
8. Para cada par de dados na tabela deve ser localizado o ponto no gráfico que lhe 
corresponde. O mesmo par de eixos pode ser utilizado para mais de uma série de dados 
(ou seja, para que sejam traçadas mais de uma curva). Neste caso, para diferenciá-los, 
deve-se utilizar símbolos distintos (pequenos triângulos, quadrados, círculos, etc.) ou 
cores diferentes. Tal procedimento permite uma rápida comparação visual das diversas 
séries de medições.
9. Para cada ponto deve ser marcado o intervalo de flutuação correspondente a 
cada uma das grandezas. O uso desta informação possibilita que o erro associado a cada 
medição seja visualizado. Os intervalos de flutuação para cada uma das variáveis são 
delimitados com pequenos traços, estabelecentdo-se assim as barras de erro de cada ponto 
do gráfico.
10. Uma curva suave deve ser traçada de forma a passar dentro do intervalo 
estabelecido pelas barras de erro. A menos que haja explícita recomendação, um gráfico 
nunca deve ser feito interligando os pontos por segmentos de reta.
11. Todo gráfico deve conter um título que deve ser facilmente visualizado. Além 
disto, qualquer símbolo apresentado deve ter sua explicação em legenda.
Lembre-se de que os gráficos não são feitos exclusivamente para você, pois eles 
são um dos principais meios de comunicar aos outros os seus resultados, e, 
conseqüentemente, clareza é fundamental! Assim, um gráfico deve conter todas as 
21
informações necessárias para a sua interpretação. A falta de indicação clara da escala, ou 
do que está sendo representado, ou de uma legenda no caso de curvas múltiplas em um 
mesmo gráfico, em suma, a falta de clareza prejudica a compreensão do gráfico e pode 
acarretar interpretações errôneas. 
3. Análise e Interpretação de Gráficos
Uma das vantagens do uso de gráficos é a simplicidade com que novas informações 
podem ser obtidas através da observação de suas formas. Em particular, se o gráfico for 
linear, a inclinação e interseção da reta com os eixos coordenados podem ser rapidamente 
analisadas, como veremos a seguir.
A forma do gráfico indica imediatamente se uma variável (dependente) cresce ou 
decresce quando a outra (independente) cresce. Permite também uma clara distinção de 
intervalos onde a variação de uma variável em função da outra é rápida ou lenta. 
3.1. Escalas lineares
Para se estabelecer uma escala linear divide-se o eixo coordenado em intervalos 
regulares e associa-se números como na figura abaixo:
...| | | | | | | | | | | ...
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
As distâncias entre os pontos no eixo variam linearmente com a grandeza 
representada. Assim, o ponto correspondente ao valor 0,5 é exatamente o ponto médio do 
intervalo entre 0 e 1. O ponto correspondente ao valor 2,1 é o ponto a um décimo da 
distância entre 2 e 3, à direita do ponto marcado com 2.
3.2 Gráficos bilineares e Grandezas Proporcionais
Gráficos bilineares são geralmente utilizados para descrever a interdependência de 
duas grandezas. Sãoparticularmente úteis quando as grandezas envolvidas em uma 
medida dependem linearmente uma da outra. 
É bom distinguir aqui os casos de dependência linear e proporcionalidade direta. A 
variação linear indica simplesmente uma dependência através de uma curva do 1o grau, 
ou seja, por uma linha reta. A proporção direta entre as variáveis é mais forte do que 
22
isso! Quando duas variáveis são diretamente proporcionais uma à outra ocorre que se uma 
se anula a outra também. Neste caso a reta no gráfico tem que passar necessariamente pela 
origem do sistema de coordenadas. Dois são os parâmetros importantes em uma 
dependência linear: o coeficiente angular da reta (inclinação) e o ponto de corte com os 
eixos coordenados. Discutiremos primeiramente o coeficiente angular da reta.
É preciso distinguir claramente entre os valores físicos e geométricos da inclinação 
da reta (coeficiente angular). O valor físico da inclinação obtém-se trançando um triângulo 
grande, como indicado na figura 1, e dividindo Dy por Dx, usando, para cada um, as 
escalas e unidades que foram escolhidas para os eixos. O resultado é independente da 
escolha (arbitrária) feita para as escalas e pode expressar um fator significativo sobre a 
relação entre as variáveis lançadas. Por exemplo, num gráfico de velocidade contra o 
tempo a inclinação física (derivada) dará a aceleração.
No caso do exemplo acima, a inclinação física m da reta é:
m y y
x x
y
x




( )
( )
2 1
2 1


Em contraste com a inclinação física, a inclinação geométrica, definida como a 
tangente do ângulo q entre a reta e o eixo - x (é como se os dois eixos não possuíssem 
unidades e as escalas fossem iguais). Na análise de gráficos bilineares é sempre a 
inclinação física que tem significado (este já não é o caso em gráficos mono-log e log-
log; veja à frente).
Figura 1 - Gráfico bilinear da velocidade vs tempo para um móvel com 
aceleração constante a = 0,2 m/s2. Note que o ponto onde a reta corta o eixo das 
velocidades não é zero, o que indica que o móvel já possuía uma velocidade de 
aproximadamente 3,2m/s no instante t=0. As barras de erro indicam a incerteza 
nos valores medidos em cada ponto experimental. Seu tamanho depende da 
precisão com que o experimento foi realizado. No presente caso, a barra de erro 
vertical tem comprimento equivalente a 1 m/s, o que corresponde a um erro na 
medida da velocidade de +/-0,5m/s. A barra horizontal tem um comprimento 
total de 1 s, o que corresponde a uma indeterminação no instante em que a 
velocidade foi medida de +/- 0,5 s. No presente caso todas as barras de erro têm 
tamanhos iguais mas isto não é uma regra, pois cada ponto experimental pode ter 
um erro que é próprio às condições em que as medidas foram feitas. As retas de 
máxima e mínima inclinações são utilizadas para estimar o erro na determinação 
da inclinação (que no caso representa a aceleração "a" do móvel) e do ponto de 
corte (que neste caso representa a velocidade inicial) 
Outra informação significante pode também ser obtida determinando-se a interseção 
da reta com um eixo coordenado. No caso do exemplo da figura 1, a interseção da reta 
com o eixo das velocidades determina um valor que corresponde à velocidade do corpo 
23
quando t = 0, isto é, quando o observador começou a marcar o tempo. O fato da interseção 
com o eixo do tempo, no presente exemplo, ser negativa indica a duração do intervalo que 
antecedeu ao momento em que o observador acionou seu cronômetro e começou a marcar 
o tempo, quando o corpo estava com velocidade nula (tempo de reação).
3.2.1. Estimando Erros na Inclinação e no Ponto de Corte
Cada ponto representado no gráfico possui dois erros associados a ele, um para cada 
coordenada que define o ponto. Como dito anteriormente, estes erros, ou margem de 
credibilidade dos pontos, são indicados graficamente através de pequenas barras de 
tamanho apropriado. Dissemos também que ao construir um gráfico devemos traçar uma 
curva suave que passe pelas barras de erro. Note que existe mais de uma reta que passa por 
todas as barras de erro. Na verdade existe um número infinito delas. A figura 1 mostra que 
podemos definir 3 retas: uma que poderíamos chamar de mais provável, uma com 
inclinação máxima, e outra com inclinação mínima. Note que todas as três passam pelas 
barras de erro. Dizemos então que a inclinação m da reta é aquela da reta mais provável. 
Podemos definir um erro, ou uma incerteza, m para esta inclinação baseado na 
observação dela se encontrar entre uma inclinação máxima mmax e uma inclinação mínima 
mmin através da seguinte expressão:
m m m ( )max min 2
Observe que os pontos de corte com a ordenada (y) das retas de máxima e mínima 
inclinações são diferentes. Assim, para uma reta do tipo
y mx b 
podemos também estabelecer limites inferior bmin e superior bmax para o ponto de corte e 
definir um erro b para este parâmetro como:
b b b ( )max min 2
3.3. Escalas logarítmicas
Uma escala logarítmica é estabelecida pela divisão do eixo coordenado em intervalos 
regulares, e uma associação numérica a esses intervalos como na figura abaixo:
24
| | | | | | | | | | | 
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 105
A escala é logarítmica porque as distâncias entre os pontos apresentam uma relação 
logarítmica com os valores representados. Considerando cada intervalo como uma 
unidade de distância, temos que as distâncias entre o ponto correspondente ao valor 100 e 
um ponto qualquer é igual ao logaritmo do número correspondente a esse ponto. Por 
exemplo, entre os pontos 100 e 101 temos uma unidade da escala, de modo que o 
logaritmo de 101 na base 10 é igual a 1. Da mesma forma, entre os pontos 100 e 104 temos 
quatro unidades da escala, de modo que o logaritmo de 104 na base 10 é 4. Para os pontos 
à esquerda do ponto correspondente ao valor 100 associa-se um valor negativo para o 
logaritmo, de modo que o logaritmo de 10-3 na base 10 é -3, visto que o ponto 
correspondente a 10-3 dista de três unidades à esquerda do ponto 100.
Na escala logarítmica, pode-se também, marcar valores com expoentes francionários. 
Por exemplo, o valor correspondente à raiz cúbica de 10, ou seja 101/3 é o ponto 
localizado a um terço (da unidade de escala) de 100, no intervalo entre 100 e 101.
É claro que podemos construir a escala logarítmica em qualquer base. Por exemplo, a 
escala acima, cujos intervalos variam com 10n (base 10), na base 2 teria os intervalos 
variando com 2n.. Entretanto como a mudança de base pode ser feita de forma trivial, e no 
nosso dia a dia adotamos o sistema decimal, a escala logarítmica universalmente adotada 
para gráficos é a de base 10. No comércio é fácil encontrar papéis para gráficos com uma 
ou com duas escalas logarítmicas de base 10. Diferentemente das escalas milimetradas 
comuns, em que o espaçamento do reticulado é sempre constante, em escalas logarítmicas 
temos a marcação de números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 em intervalos cada vez menores, de 
modo que as distâncias estejam relacionadas com o logaritmo dos números representados 
(veja figura 2). 
Nos papéis comerciais a escala vem dividida em intervalos iguais assinalados pelos 
números 10 ,11 ,12 , ... etc. (veja figura 2). As distâncias entre os números 10 e 11 e entre 
11 e 12 são iguais, porque tais pontos correspondem aos valores 10n (n inteiro), de modo 
que a distância entre esses pontos é tomada como uma unidade da escala, como visto 
anteriormente.
Podemos associar qualquer número que possa ser representado na forma 10n, com n 
inteiro positivo, negativo ou nulo, a qualquer dos números 1 apresentados na escala. 
Assim, se marcamos o valor 1 no pontoassinalado 10, então o número 2 subseqüente, 
corresponde ao valor 2, o 3 ao 3, e assim sucessivamente. Já o ponto assinalado 11 
corresponde ao valor 10, e o próximo número 2 corresponde ao valor 20, o 3 ao 30 e 
25
assim por diante. O ponto assinalado 12 deve corresponder ao valor 100, o número 2 
subseqüente corresponde a 200, o 3 a 300, e assim por diante.
Note que podemos transladar os valores o quanto quisermos. Podemos, por exemplo, 
tomar para o ponto 10 o valor 10-6. Neste caso o ponto 11 obrigatoriamente toma o valor 
10-5, o ponto 12 toma o valor 10-4 e assim por diante. 
3.4. Gráficos Log-Log e funções do tipo { y(x)=axn }
Faz-se uso dos gráficos log-log quando desejamos analisar os parâmetros de uma 
relação do tipo y(x) = axn. Este tipo de relação descreve diversos fenômenos físicos. A 
relação entre o tempo de queda de um partícula partindo do repouso, no vácuo, e a 
distância percorrida é um exemplo típico. Neste caso, com y=distância e x=tempo de 
queda, temos a = 1/2 g e n = 2.
Observe que, exceto para n=1, os gráficos bilineares dessas funções não são retas. 
Entretanto, é possível linearizar tal classe de funções fazendo-se uso da propriedade dos 
logaritmos. Se tomarmos o logaritmo em ambos os lados da expressão
y x axn( ) 
obtemos,
log( ( )) log( ) log( )y x a n x 
ou seja, a relação entre log y e log x é uma relação linear, onde n é a declividade da reta e 
log a é o ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas. Ou, de outra forma, chamando:
log( )
log( )
log( )
y Y
a A
x X



podemos escrever a expressão anterior na forma
Y A nX 
que é a equação de uma reta com declividade n e que intercepta o eixo Y no ponto A.
Isto significa que, se na tabela abaixo, x e y mantém uma relação do tipo y = axn, 
então se tomarmos log x, log y e traçamos o gráfico de log y versus log x, devemos obter 
uma reta.
26
----------------------------------------------------------------------------------
x y log x log y
----------------------------------------------------------------------------------
0,5 1,5 -0,30 0,18
1,0 2,0 0,00 0,30
2,7 2,5 0,43 0,43
7,4 3,3 0,87 0,52
20,0 4,2 1,30 0,62
55,0 5,4 1,74 0,73
148,0 7,0 2,17 0,84
403,0 9,0 2,60 1,05
1097,0 11,5 3,04 1,06
----------------------------------------------------------------------------------
Uma rápida análise da tabela mostra que log x varia linearmente com log y, pois a 
variação de log x se dá a um passo praticamente constante de aproxidamente 0,44 e log y 
também varia a um passo constante de 0,11. A declividade da reta é 0,11/0,44 = 0,25. O 
ponto em que a reta cruza o eixo das ordenadas (X=log(x)=0) é Y=0,3. Deste modo, temos 
que a relação é dada por
log  y=0, 300,25log  x 
Aplicando a relação inversa obtém-se:
y=2x0, 25
Para evitar cálculos adicionais dos logaritmos dos valores experimentais, utilizamos o 
papel log-log, que possui duas escalas logarítmicas. A escala logarítmica nos permite 
representar no gráfico os logaritmos de x e y diretamente sem que tenhamos que calculá-
los. Neste tipo de papel a unidade de escala é 10 cm (confira, pois isto pode variar de 
fabricante para fabricante), e as subdivisões, que são espaçadas proporcionalmente ao 
logaritmo do número, nos permitem marcar diretamente os valores correspondentes a x e 
y.
Figura 2 - Gráfico Log-Log dos dados da tabela da página anterior. As barras 
de erro, que não estão especificados na tabela, foram incluidas no gráfico para 
exemplificar as retas de máxima e mínima inclinações e dos pontos de corte 
a(max) e a(min) utilizados na determinação do erro na melhor estimativa da 
constante a (veja 3.5.1). Observe que o ponto de corte se dá no ponto x=1. Este 
gráfico foi gerado por computador e as escalas logarítmicas horizontal e 
vertical não guardam as mesmas proporções, como é o caso do papel log-log 
comercial. 
27
3.5 Análise de Gráficos Log-Log
Na análise de gráficos com escalas logarítmicas, devemos lembrar que as distâncias 
(medidas com régua comum) mantêm uma relação com os logaritmos dos números 
marcados, mas os valores lidos na escala são os próprios números. 
Assim,o valor da declividade n da reta é obtida através da divisão y/x, onde y e x 
são os comprimentos lidos diretamente de uma régua comum. Como esses comprimentos 
são arbitrariamente escolhidos (pode-se escolher qualquer x e medir o y 
correspondente), procure adotar para x um valor que facilite a divisão. Por exemplo, se 
escolhemos x = 10cm, o valor de y dividido por 10 já é o valor correspondente da 
declividade n.
O valor da constante a, na relação y=axn, é obtida diretamente da leitura da escala 
logarítmica (veja o exemplo da figura 2). O valor corresponde ao ponto de interseção entre 
a reta e o eixo das ordenadas (na escala logarítmica o eixo das ordenadas corta a abscissa 
no ponto onde Log(x=1)=0).
3.5.1 Estimando Erros no expoente n e na constante a
Os erros em n e em a podem ser estimados da mesma maneira discutida em 3.2.1, 
com a única ressalva de que o papel adotado no presente caso é o log-log. Assim, o erro no 
expoente, n, pode ser estimado pelas inclinações máxima e mínima no gráfico log-log, 
como mostrado na fig 2. Da mesma forma, o erro na constante a, a, pode ser estimado 
pelo pontos de corte ( com o ponto x=1) superior e inferior (veja a fig. 2)
3.6 Gráficos Mono-Log e funções exponenciais
Gráficos com escalas mono-log são úteis para analisarmos funções exponenciais. 
Iniciaremos este estudo com função exponencial na base decimal, já que as escalas 
logarítmicas são normalmente apresentadas nesta base.
Seja, então, uma função do tipo y x a bx( )  10 , onde a e b são constantes. Calculando 
o logaritmo em ambos os membros da equação, temos:
log logy a bx 
Se chamamos Y = log y, A = log a, temos a expressão:
Y(x) = A + bx, 
28
que é a equação de uma reta. Desse modo, se traçarmos o gráfico de Y em função de x 
devemos obter uma reta. É claro que se fizermos o mesmo para log y versus x em escala 
bilinear, devemos obter a mesma reta. A escolha do papel de gráfico mono-log tem a 
vantagem de se obter a reta diretamente sem se precisar calcular o log y para cada valor.
O valor da constante A é obtido por leitura direta do ponto de interseção da reta com o 
eixo - y, e a declividade é obtida da relação
 
b y y
x x



log log2 1
2 1
 
Note que log y
2
 - log y
1
 é igual à distância y, dada em cm, dividida por 9,06, que 
para os papéis mono-log comerciais é a equivalência entre uma unidade na escala 
logarítmica e a unidade de distância (confira se uma unidade da escala mede 9,06cm, pois 
este número pode variar de fabricante para fabricante), e (x
2
 - x
1
), é calculada diretamente 
da diferença entre os valores x
2
 e x
1
 (e não o valor medido com a régua).
Com os valores das duas constantes a e b, determinados numericamente, a função 
exponencial y x a bx( )  10 fica completamente determinada.
Vários fenômenos físicos, no entanto, são descritos por funções exponenciais na base 
neperiana, e = 2,718281828... (2,718), ou seja, y  x=a ebx . Apesar da base não ser 10, 
podemos utilizar o papel mono-log (cuja base é 10), para linearizar a curva. Tomando o 
logaritmo decimal de ambos os membros temos
log y=log alog  ebx 
 =log abx log e
Chamando Y=log y , A=log a e B=b l og e temos
Y=ABx
Então a é tirado por leitura direta, como anteriormente, e b é dado por
b=
log y2−log y1
 x2− x1 log e
Note que 
log e=0, 434294481 .
29
Pré-Relatório I : Medidas e Erros
Procure desenvolver as questões abaixo estudando o texto sobre Erros e Algarismos 
significativos no início desta apostila.
1) O que é discrepância ?
2) O que significa dizer que a discrepância entre duas grandezas não é significante?
3) O que é inacurácia? Quais as suas principais causas?
4) Faça a distinção entre inacurácia e imprecisão?5) O que caracteriza um erro sistemático?
6) Segundo a regra adotada neste curso, indique o erro instrumental de:
a) um dinamômetro cuja menor divisão mede 0,1N
b) um dinamômetro cuja menor divisão mede 0,05N
c) uma régua milimetrada
d) um voltímetro digital cuja menor divisão seja 1 milivolt.
8) Qual a origem dos erros aleatórios? 
9) Qual a expressão matemática que, do ponto de vista estatístico, melhor estima o erro 
aleatório em uma medida repetida N vezes? 
10) Considerando que x1 = 5,3, x2 = 5,2, x3 = 5,4, x4 = 5,6, x5 = 5,3 correspondem a cinco 
medidas feitas de uma grandeza x qualquer, cada medida com um erro 
instrumental de 0,5, aplique a expressão descrita no item anterior para calcular o 
erro aleatório (você deve obter 0,1516..., no entanto, como se deve relatar o erro 
com um algarismo significativo escreve-se apenas 0,2!).
11) Calcule o valor médio dos dados fornecidos no item 10). Como escrever o valor final 
da medida? Que erro você deve relatar, o erro instrumental ou aleatório? Por quê?
12) E se as medidas de x fossem escritas da seguinte forma: x1 = 5,30, x2 = 5,20, x3 = 5,40, 
x4 = 5,60, x5 = 5,30, todas com erro instrumental de 0,05, o valor do erro aleatório 
30
seria diferente do obtido no item 10)? Entretanto, para o valor final da medida, que 
erro você deve relatar, o instrumental ou o aleatório? Explique.
Como parte da atividade que precede o experimento, é necessário que você leia 
com atenção o roteiro do experimento I. Verifique se as perguntas e orientações contidas 
no roteiro fazem sentido para você. Se isto não acontecer procure esclarecê-las 
prontamente para que não venham a perturbar o andamento das medidas. Um estudo 
prévio do roteiro é fundamental para realizar as suas atividades no laboratório. Procure 
fazer um planejamento, ou um sumário, das atividades que você deve desenvolver no 
laboratório. 
31
Experimento I - Medidas e Erros
Introdução
Será que alguma medida é exata? Como você viu no tópico "Medidas, Erros e 
Algarismos Significativos", nenhuma medida possui exatidão absoluta. Como fazer 
então para obter um conhecimento mais profundo, ou seja, quantitativo, sobre a natureza, 
se não conseguimos chegar a um acordo sobre uma dada medida? A resposta é a seguinte: 
não é necessário ter exatidão absoluta para que saibamos descrever determinados 
fenômenos, mas sim, é necessário ter exatidão suficiente e reconhecer a partir de onde ela 
se torna inexata. Se você souber estimar a margem de incerteza e identificar a sua origem, 
então seus resultados podem se encontrar de acordo com o de outros, desde que os 
resultados sejam iguais dentro das respectivas margens de incerteza, ou margem de erro. 
É importante que você leia a discussão contida no referido tópico.
Objetivos
Neste experimento você:
- verá exemplos que confirmam a afirmativa de que a toda medida está associada 
um grau de incerteza;
- aprenderá a distingüir os diferentes tipos de erros, em particular, o erro 
instrumental e o aleatório;
- utilizará as regras da teoria de erros e as de algarismos significativos no 
tratamento de dados;
- verificará que a incerteza associada a uma medida pode ser reduzida 
aumentando-se a precisão do instrumento de medida;
- obterá indiretamente a medida de uma grandeza a partir de outras e verá como os 
erros associados a elas propagam-se nesse processo.
Procedimento
32
Antes de iniciar o experimento vale aqui um lembrete: não se esqueça de anotar 
em seu livro de atas tudo de relevante que estiver fazendo. Responda as questões e realize 
os procedimentos indicados abaixo.
Leia as informações sobre o Micrômetro e o Paquímetro anexadas ao final deste 
roteiro; caso tenha dúvidas, solicite o auxílio do monitor ou do professor para entender 
como usar estes instrumentos de medida.
Questão 1. Quais são os erros instrumentais de cada um dos instrumentos de 
medida que você dispõe?
Vai aqui mais uma pergunta para o seu grupo:
Questão 2. Se vocês fizerem uma só medida de uma das dimensões dos objetos que 
lhes foram entregues, vocês terão a certeza de que se fizerem uma segunda medida, ela vai 
ser exatamente igual à primeira? O que pensar de uma terceira, ou de uma quarta medida? 
Que tal experimentar?
Etapa 1. 
Pegue o cilindro oco e meça algumas vezes (quantas vezes? Decida!) o seu 
diâmetro interno com a régua milimetrada. É sempre útil registrar os seus dados em 
tabelas.
Questão 3. O processo de medida envolve pegar o tubo e colocar a régua sobre 
ele.Não é o mesmo que deixar a régua sobre ele e fazer a leitura várias vezes (será que 
não? por quê?).
 Repita o procedimento e meça o diâmetro com o paquímetro e o micrômetro.
Q uestão 4 . Há variação entre as medidas obtidas com os diferentes instrumentos? 
Verifique! Apenas observando os dados contidos nas suas tabelas (sem nada calcular) 
você poderia estimar qual o valor da variação? Procure quantificá-las. O valor médio das 
medidas feitas com os diferentes instrumentos é a mesma? 
Questão 5. Existem erros de acurácia? E erros aleatórios? Em quais dessas 
medidas devemos acreditar? Verifique se você está usando o número correto de 
algarismos significativos.
Calcule o Desvio Padrão para as medidas feitas com cada um dos instrumentos 
utilizados, usando para isso a fórmula:
s=∑ i  xi−x 2N−1
33
onde, xi são os valores de cada uma das medidas, N é o número total de medidas, x é o 
valor médio das medidas, e  é o chamado desvio padrão. O desvio padrão corresponde à 
expressão que melhor quantifica a margem de erro do ponto de vista estatístico, isto é, 
quando consideramos que as variações nas medidas são de natureza puramente aleatória.
 Questão 6. Como o valor do erro calculado se compara às suas estimativas 
baseadas puramente na observação das tabelas?
Etapa 2
 Vejamos agora o que acontece quando temos que realizar uma medida que se 
compõe de duas ou mais outras medidas independentes. Por exemplo, como determinar a 
densidade de uma folha de papel? Para determinar a densidade você precisa encontrar a 
massa e o volume da folha ( = m/V). Você precisará medir as dimensões da folha. Com o 
equipamento que você possui, encontre uma maneira de medir essas dimensões. O volume 
é obtido multiplicando-se cada uma das dimensões.
Questão 7. Se você conhece o erro absoluto (ou o relativo) em cada uma das 
dimensões, como é que se determina o erro no volume? Utilize a regra de propagação de 
erros para o produto simples (pág. 20): 
Questão 8. Qual seria o erro cometido ao se calcular a densidade? Use a regra para 
a divisão (pág. 21).
Note que os erros se propagam, ou seja, grandezas calculadas a partir de outras que 
possuem incertezas serão também incertas, mas de quanto elas serão incertas dependerá da 
forma como elas estão relacionadas entre si, ou seja, da relação funcional entre elas.
Anote todas as suas observações, analise seus dados (as perguntas feitas nesse 
roteiro ajudam a cobrir alguns tópicos dessa análise) e conclua o relatório com um 
sumário das suas observações mais importantes, procurando contar o que você aprendeu, 
o que deixou de aprender, os pontos fracos e fortes deste experimento, ou como você 
gostaria de vê-lo melhorado.
34
Micrômetro
O micrômetro, mostrado na figura abaixo, é um instrumento de medida construído 
de maneira a determinar a distância entre dois pontos; sendo um fixo, no extremo da garra 
fixa "A'' e um móvel, no extremo da garra móvel "B'', que pode ser deslocado por meio de 
um parafuso conhecido como parafuso micrométrico. A rosca desse parafuso tem passo 
constante. A maioria dos micrômetros que temos no laboratório tem passo de 0,5mm, isto 
é, a cada volta completa do parafuso ele avança (ou retrocede) 0,5mm, de modo que a 
variação da distância entre os dois pontos é de 0,5mm por volta do parafuso.Alguns 
outros micrômetros que dispomos no laboratório tem parafusos micrométricos com passo 
de 1mm.
O número de voltas completas do parafuso micrométrico, e conseqüentemente o 
deslocamento da garra móvel, pode ser determinado através da escala linear "D''. A fração 
de cada volta do parafuso pode ser determinada através da escala circular "E'' presa ao 
parafuso e subdividida em 50 partes iguais (ou 100 partes para o micrômetros com passo 
de 1 mm) de modo que se pode detetar variações menores que um cinqüenta-avos de volta 
(ou menos), o que corresponde a distâncias da ordem de 0,01mm (10 micras) ou menos, 
dependendo das subdivisões na escala.
Para deslocamento rápido da garra fixa, pode-se girar o tambor "F'' a partir de sua 
parte mais rugosa mas para medir objetos deve-se girar a catraca "G'', no extremo do 
micrômentro, de modo a exercer uma pressão adequada entre as garras e o objeto sem que 
haja deformação da peça ou do próprio micrômetro.
Em micrômetros profissionais existem outros recursos tais como a trava "C'', que 
permite fixar a posição da garra móvel, ou isolante térmico que protege o arco do 
micrômetro de modo a evitar a dilatação térmica do metal em contato com a mão.
Paquímetro
35
O paquímetro, mostrado na figura abaixo, é, assim com o micrômetro, um instrumento 
projetado para medir as dimensões de um objeto, tanto em centímetros, com auxílio da 
escala "A'', quanto em polegadas, através da escala "B''. A leitura das escalas é realizada 
com auxílio do nônio "C'' e "D'', que permite uma medida mais precisa do que a leitura 
direta em uma régua, como veremos a seguir. As medidas externas de um objeto são 
determinadas, com o auxílio das garras inferiores "E'', a largura de fendas e reentrâncias, 
são determinadas com auxilio das garras superiores "F'' e a profundidade das fendas são 
medidas usando-se a lâmina "G''. A trava "H'' permite fixar a parte móvel do paquímetro 
para uma medida mais acurada.
36
A menor variação de distância possível de ser detetada com o paquímetro que dispomos 
no laboratório é da ordem de 5 centésimos de milímetro. Isto é possível através de uma 
escala auxiliar conhecida como nônio (ou escala vernier), inventada no século XVI pelo 
matemático português Pedro Nunes e difundida pela Europa pelo geômetra francês Pierre 
Vernier por volta de 1631. Essa escala auxiliar, acoplada à escala principal, é construida 
de tal maneira que uma divisão da escala auxiliar seja uma fração da escala principal. Por 
exemplo, na figura 3 a escala auxiliar (escala Vernier) tem divisões igual a nove décimos 
da escala principal, de modo que dez divisões da escala auxiliar coresponde a mesma 
distância dada por nove divisões da escala principal. Sendo assim, se um traço da escala 
principal coicide com um traço da escala auxiliar, o traço adjacente da escala vernier 
encontra-se a um décimo de distância do próximo traço da escala principal. O traço 
seguinte da escala vernier encontra-se a dois décimos de distância do traço seguinte da 
escala principal e assim sucessivamente. Ou seja, a cada passo a distância entre os traços 
das duas escalas defasam de um décimo de distância. Essa característica da escala vernier 
faz com que o mesmo seja útil para estimar frações de valores da menor divisão da escala 
principal como veremos a seguir.
37
FIGURA 4
Considere o zero do nônio como um ponteiro para a escala principal, de modo que se esse 
traço do nônio se posiciona entre o primeiro e o segundo traço da escala principal, como 
mostra a figura 4, o valor indicado é igual a uma unidade mais a fração correspondente à 
distância excedida pelo cursor sobre a escala principal. A forma de estimar esta fração 
usando o nônio é bastante simples; basta procurar identificar qual traço da escala vernier 
coicide (ou o que mais se aproxima) de um traço da escala principal (que na figura 
corresponde ao sexto traço da escala vernier) de modo que a fração correspondente à 
distância excedida pelo cursor é de seis décimos da unidade da escala principal. Isso 
porque a cada traço subseqüente ao zero do nônio corresponde a uma defasagem de um 
décimo. Portanto, o tamanho da peça neste exemplo é 1,6 unidades. A escala Vernier dos 
paquímetros que dispomos no laboratório possui 20 divisões: 10 divisões numeradas de 1 
a 10 e outras 10 divisões intermediárias localizadas entre aquelas numeradas. Assim, cada 
traço da escala Vernier corresponde a uma distância de 0,05 unidades da escala principal, 
ou seja, milímetros. Assim o paquímetro possui uma precisão de 0,05mm= 50m.
38
EXPERIÊNCIA 2
EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS
1. INTRODUÇÃO
Um dos pontos fundamentais em projetos de engenharia é a construção de 
estruturas suficientemente rígidas, capazes de se manter inalteradas sob a ação de forças 
que nelas atuam. Por exemplo, os pilares de uma ponte devem ser suficientemente fortes 
para não desmoronar sob o peso da ponte e o tráfego sobre ela. Da mesma forma, as 
fundações de um edifício devem ser capazes de sustentar toda a carga prevista, etc.
A contribuição de um curso elementar de física em tais projetos, é a possibilidade 
de se fazer previsões teóricas das forças exercidas pelos corpos sobre a base de 
sustentação, a partir de leis fundamentais da física.
2. OBJETIVOS
Ao final da experiência, o aluno deverá ser capaz de enunciar as condições de 
equilíbrio de um corpo rígido, definir torque ou momento de uma força e explicar os 
efeitos do torque sobre um corpo.
A partir de dados experimentais, o aluno deverá dizer se as condições de equilíbrio 
foram satisfeitas.
3. RESUMO TEÓRICO
O movimento de um corpo pode ser estudado como sendo composto de um 
movimento de rotação e de um movimento de translação. Quando uma única força atua 
sobre um corpo, podemos ter uma mudança tanto no seu movimento de translação, quanto 
no seu movimento de translação e de rotação simultaneamente. Entretanto, quando várias 
forças atuam sobre um corpo, podemos ter situações em que não há mudança nem em seu 
movimento de translação e nem em seu movimento de rotação. Em tal situação dizemos 
que o corpo está em equilíbrio.
3.1. Primeira condição de equilíbrio
39
Se, sobre um ponto material, inicialmente em repouso, aplicamos duas forças de 
igual intensidade, mas de sentidos opostos, como na figura abaixo, o ponto material 
permanece em repouso.
F2 F1
É o que se observa em um "cabo de guerra" quando as forças dos oponentes são iguais em 
módulo. Matematicamente, dizemos que a somatória das forças (ou a força resultante) é 
nula. Para perceber essa afirmação, podemos fazer a soma vetorial dos dois vetores pelo 
método gráfico.
Para somar 

F1 com 

F2 , devemos fazer com que a origem do vetor 

F2 coincida com 
a extremidade do vetor 

F1 como na figura abaixo,

F1

F2
e assumir como vetor resultante, a seta que une a origem do vetor 

F1 com a 
extremidade do vetor 

F2 . Note que, no exemplo, a extremidade de 

F2 coincide 
com a origem de 

F1 , portanto o vetor resultante tem módulo igual a zero (vetor nulo).
Outra forma de ver que o vetor resultante é nulo, é através do método analítico, 
que consiste em decompor os vetores nos eixos cartesianos. Nesse método, a origem de 
cada vetor deve ser posicionada na origem do sistema de coordenadas.
No nosso caso, podemos tomar os dois vetores sobre o eixo x,
 F 2 F 1
 - F 0 F x
de modo que a única componente do vetor 

F1 diferente de zero é a componente x, que é 
igual ao seu módulo. Da mesma forma, a única componente do vetor 

F2 diferente de zero é 
também a componente x. Porém, o valor dessa componente é igual ao valor negativo do 
módulo do vetor, isto porque a projeção do vetor situa-se do lado negativo do eixo x.
40
As componentes do vetor resultante é a soma doscomponentes dos vetores em 
cada eixo. Assim, retornando ao nosso exemplo, a componente x do vetor resultante é
F + (-F) = 0
as demais componentes do vetor resultante são zero, por construção, de modo que o vetor 
resultante é o vetor com todas as componentes nulas, ou seja, é o vetor nulo.
De uma forma geral, podemos dizer que um ponto material permanece em repouso 
desde que a resultante das forças que nele atuam seja nula. Esta é a primeira condição de 
equilíbrio.
3.2. Segunda Condição de Equilíbrio
O movimento dos corpos não só depende da soma das forças que nele atuam, mas 
depende também do ponto de aplicação das forças. Tome como exemplo as duas forças 
que atuam sobre a haste na figura a seguir: 
 

F1
F 2
 
 
Mesmo considerando que o módulo das forças 

F1 e 

F2 são iguais de modo a satisfazer a 
primeira condição de equilíbrio, a haste não está em equilíbrio, visto que ela tende a girar, 
até que 

F1 e 

F2 sejam colineares.
F 2 F 1
41
Para melhor entender o problema das rotações, considere uma haste de massa 
desprezível, sobre um apoio, 0, e mantida na horizontal sob a ação das forças F 1 e F 2 
como mostra a figura abaixo.
 F 1 F 2
Se o ponto de apoio localiza-se exatamente no meio da haste, então para manter o 
sistema em equilíbrio, é necessário que a intensidade da força F 1 seja igual a 
intensidade da força F 2 . Note que tal imposição não é decorrência da primeira condição 
de equilíbrio.
Pela primeira condição devemos ter a resultante das forças que atuam sobre a haste 
seja igual a zero; entretanto, perceba que tanto F 1 quanto F 2 estão orientadas para 
baixo, de modo que a soma das duas forças não pode ser zero. O que equilibra essas duas 
forças e faz com que a primeira condição seja satisfeita é a força de ação normal que o 
apoio exerce sobre a haste.
N
 F1 F2
Assim, temos que o módulo da força normal, N é igual a
N = F1 + F2
Note que se o ponto de apoio for deslocado para a esquerda, de modo a se situar a 
L/3 da extremidade à esquerda e a 2L/3 da extremidade à direita,
42
F1
F2
L/3 2L/3
para manter a haste em equilíbrio, é necessário que o módulo da força F 1 seja bem maior 
do que o módulo da força F 2 . De fato, o módulo de F 1 tem que ser o dobro do 
módulo da força F 2 . Por outro lado, se o ponto de apoio fosse colocado a L/4 da 
extremidade à esquerda, e consequentemente a 3L/4 da extremidade à direita, então o 
módulo de F 1 deveria ser o triplo do módulo de F 2 .
Podemos notar que o produto F1L1 deve ser sempre igual ao produto F2L2
F1
F2
L1 L2
Definimos o produto da força pela distância perpendicular, do ponto de referência 
à linha de ação da força como sendo o torque ou momento da força em relação ao ponto 
de referência. No caso de se ter apenas forças atuando em um único plano, (o plano da 
folha), podemos definir como positivo todo torque que tende a girar o sistema no sentido 
anti-horário em relação a um eixo de referência, e como negativo, todo torque que tende a 
girar o sistema no sentido horário em relação a um eixo de referência. Desse modo, no 
exemplo anterior, podemos dizer que o torque da força F , em relação ao ponto de apoio 
é positivo e igual a L1 e o torque da força F 2 , em relação ao ponto de apoio é negativo e 
igua a -F2 L2. Como o produto F1 L1 deve ser igual ao produto F2 L2 a fim de que a haste 
43
esteja em equilíbrio, então podemos afirmar que a soma dos torques das forças F 1 e F 2 
em relação ao ponto de apoio é zero.
De fato, a segunda condição de equilíbrio nos garante que para um corpo não girar, 
a somatória dos torques em relação a qualquer eixo deve ser igual a zero.
4. APARATO EXPERIMENTAL
Nesta experiência iremos fazer uso de uma régua de madeira, dois dinamômetros, 
fios suspensos no teto, ganchos de arame rígido e um peso móvel.
5. PROCEDIMENTO
a) Monte o sistema mostrado na figura abaixo.
b) Zere as escalas dos dois dinamômetros.
c) Pendure o peso no gancho móvel.
d) Desloque a posição do peso de 10 em 10 cm e a cada nova posição anote os valores 
indicados em cada um dos dinamômetros.
e) Desmonte o sistema e determine o valor do peso móvel.
f) Faça o gráfico dos valores das forças indicadas em cada dinamômetro em função da 
posição do peso na régua.
g) Verifique se a soma das duas forças é sempre constante e compare com o peso do 
objeto pendurado. Comente em seu relatório o que você esperava obter teoricamente.
h) Calcule o módulo do torque das forças exercidas pelos dois suspensórios, em relação ao 
ponto de aplicação do peso móvel. Verifique se os torques são iguais a cada nova 
posição do peso e comente em seu relatório o que você esperava obter.
i) Calcule o torque do peso móvel em relação a uma das extremidades e o torque da força 
exercida pelo suspensório oposto à essa mesma extremidade. Verifique se os valores dos 
torques calculados é o mesmo a cada nova posição. Comente o que você esperava obter 
teoricamente.
44
Dinamômetro Dinamômetro
Gancho
Régua
45
EXPERIÊNCIA 3
LEI DO RESFRIAMENTO DE NEWTON
1. INTRODUÇÃO
Vimos na parte teórica deste curso que a atividade radiativa de um material decai 
exponencialmente com o tempo. Veremos nesta experiência que tal forma de decaimento 
não é exclusiva de atividade radiativa; podemos encontrá-la em um número muito grande 
de aplicações; dentre elas, a lei do resfriamento de Newton.
2. OBJETIVOS
Esta prática tem a finalidade de exercitar a análise de relações exponenciais entre 
grandezas físicas. Após o treinamento, o aluno deverá estar apto a explicar a melhor forma 
de coletar dados para verificar se uma dada relação entre duas grandezas é exponencial 
por meio de análise de tabelas. Uma vez identificado que a relação é exponencial, o aluno 
deverá ser capaz de expressá-la analiticamente, simplesmente analisando a tabela. O aluno 
também deverá ser capaz de identificar relações exponenciais pela simples observação de 
gráfico mono-log, bem como expressá-la analiticamente através de análise do gráfico.
3. RESUMO TEÓRICO
Se temos um objeto ligeiramente mais quente do que o meio ambiente, então pela 
lei do resfriamento de Newton, devemos ter:
t = to exp (-k t)
onde t é a diferença de temperatura entre o objeto e o meio ambiente,
to é a diferença de temperatura entre o objeto e o meio ambiente no tempo igual a 
zero,
46
exp representa a função exponencial na base neperiana,
k é uma constante que depende do objeto em estudo, e 
t é o tempo transcorrido.
Assim, se temos os seguintes dados da tabela abaixo relativos ao refriamento de 
um objeto em função do tempo,
t (s) 00 10 20 30 50 80 130 180 280
T(oC) 66,4 63,9 61,6 59,4 55,4 50,3 43,7 38,8 32,7
e sabendo que a temperatura ambiente era de 26,0 oC, para verificar a lei do resfriamento 
de Newton, precisamos calcular primeiro, a diferença de temperatura entre o objeto e o 
meio ambiente para depois analisar os resultados ou seja, precisamos da tabela
t (s) 00 10 20 30 50 80 130 180 280
T(oC) 40,4 37,9 35,6 33,4 29,4 24,3 17,7 12,8 6,7
Note que se tivéssemos todos os intervalos de tempo constantes, seria fácil 
verificar se a relação entre as grandezas tempo e temperatura é realmente exponencial (v. 
apostila crescimento e decrescimento exponencial), ou seja que a lei de Newton é 
realmente válida para este caso. Tendo em vista a escolha pouco adequada para 
realizarmos a análise de tabelas, mais fácil é verificar a relação existente entre as 
grandezas através de um gráfico mono-log.
Em nossa experiência também devemos tomar alguns cuidados antes de analisar os 
resultados obtidos. Em primeiro lugar, devemos lembrar que a lei do refriamento de 
Newton refere-se à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do meio 
ambiente, de modo que não podemos deixar de medir a temperatura ambiente para