Exercícios com Gabarito Matriz (Colégio Militar2°ano)

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Isolando a matriz X nas equações matriciais 
 
Importante! 
Vamos considerar dois tipos de equações: 
I) aquelas que apresentam multiplicação entre matrizes, as 
dicas só serão válidas se todas as matrizes forem 
quadradas de mesma ordem; 
II) aquelas que apresentam apenas adições, subtrações e 
produtos de números reais por matrizes, as dicas serão 
sempre válidas, desde que as matrizes sejam do mesmo 
tipo. 
 
Exercícios propostos: 
 
01. Dada a equação A.X + B = C, em que A, B e C são 
matrizes de ordem n e invertíveis (inversíveis ou não 
singulares), então: 
a) X = B
–1
.(C – A) c) X = A–1.(C – B) 
b) X = (C – B).A–1 d) X = A–1.(B – C) 
02. Dada a matriz A = 






15
23
, determine a matriz X tal 
que X.A = A. O que pode ser dito a respeito da matriz X? 
03. Dadas as matrizes A = 






 21
04
, B = 






43
22
 e 
C = 








22
13
, obtenha a matriz X para cada caso: 
a) X + A = B 
b) 3.(X + A) = X + B 
c) A.X = C 
04. Isole a matriz X na equação A
t
 . X = B
t
, sabendo que 
X, A e B são matrizes quadradas de ordem n. 
05. Dadas as matrizes A = 








32
11
 e B = 






41
03
, 
obtenha a matriz X tal que A . X = B. 
06. Resolva a equação matricial 














12
31
51
20
X
. 
07. Isole X nas equações abaixo: 
a) A + 2.X = B e) A.B = X.C 
b) 2A + B = X + 2C f) X.B + A = C 
c) 3X + 2A = B
t
 + 2X g) A
–1
.X = B
–1
 
d) 2X
t
 – 3A = B h) X.Bt = A 
08. Resolva a equação 














75
26
37
12
X
. 
09. Isole X na equação matricial, sendo A, B e X matrizes 
quadradas de mesma ordem: 
a) (X.A)
t
 = B.A b) (X.B)
t
 = A. 
Lembrar que: 
I) Dadas as matrizes A, B, C e 0 (nula) do mesmo tipo e 
sejam r e s números reais. 
a) A + B = B + A 
b) (A + B) + C = A + (B + C) 
c) A + 0 = A 
d) r(A + B) = r.A + r.B = A.r + B.r 
e) (r + s).A = r.A + s.A 
f) r(s.A) = (rs).A 
 
II) Seja Am x n, e sejam B e C com os tipos corretos de 
modo que as somas e os produtos estejam definidos. 
a) A.(B.C) = (A.B).C propriedade associativa 
b) A(B + C) = A.B + A.C propriedade distributiva 
pela esquerda 
c) (B + C).A = B.A + C.A propriedade distributiva 
pela direita 
d) r(A.B) = (r.A).B = A.(r.B) para todo real r 
e) I.A = A = A.I I é a matriz identidade, 
elemento neutro da 
multiplicação de matrizes 
 
III) Cuidados! 
1. Em geral, A.B  B.A. 
Quando A.B = B.A, dizemos que as matrizes comutam. 
2. As leis de cancelamento não valem para a multiplicação 
de matrizes. Isto é, AB = AC, então não é verdade, em 
geral, que B = C. 
3. Se o produto AB for a matriz nula, NÃO se pode 
concluir, em geral, que A = 0 ou B = 0. 
 
IV) Sejam A e B matrizes cujos tipos são apropriados para 
as seguintes somas e produtos. 
a) (A
t
)
t
 = A 
b) (A + B)
t
 = A
t
 + B
t
 = B
t
 + A
t
 
c) para qualquer real r, (rA)
t
 = r.A
t
 
d) (A.B)
t
 = B
t
.A
t 
Observe que o produto ficou invertido 
 
V) 
a) Se A for uma matriz inversível, então A
–1
 é inversível e 
(A
–1
)
–1
 = A 
b) Se A e B são matrizes inversíveis de ordem n, então 
A.B também é, e a inversa de A.B é o produto das inversas 
de A e B com a ordem invertida. Isto é, (A.B)
–1
 = B
–1
.A
–1
 
(Observe que o produto ficou invertido) 
c) Se A é uma matriz inversível, então A
t
 também é, e a 
inversa de A
t
 é a transposta de A
–1
. Isto é, 
(A
t
)
–1
 = (A
–1
)
t
 
 
 
3 
Matrizes 
Correção Comentários 
 
01. 
A.X + B = C Equação do tipo I, apresenta produto de matrizes 
A.X + B + (–B) = C + (–B) Eliminando B do 1º membro, somando os dois membros pela oposta de B: –B. Observação: 
na prática, pode-se passar a matriz para o outro membro, trocando o sinal da mesma 
A.X = C – B 
A
–1
.A.X = A
–1
.(C – B) Multiplicando a equação à esquerda pela inversa de A. Lembre-se que A–1.A = I 
I.X = A
–1
.(C – B) I.X = X. A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação de matrizes 
X = A
–1
.(C – B) Solução: letra c) 
 
02. 
X.A = A  X.A.A–1 = A.A–1 Equação do tipo I. Multiplicando a equação à direita pela inversa de A (A–1). 
X = I A matriz X é a matriz identidade de ordem 2. 
 
03. 
a) X + A = B Equação do tipo II 
X + A + (–A) = B + (–A) Eliminando A do 1º membro, somando os dois membros pela oposta de A 
X = B + (– A) 
X = 






43
22
+ 








21
04
 
X = 






62
22
 
 
b) 3.(X + A) = X + B Equação do tipo II 
3X + 3A = X + B Multiplicando o número real pelas matrizes. 
3X – X = B – 3A 
2X = B – 3A x(1/2) Multiplicando a equação por ½ 
X = 
 A3B
2
1

 
X = 






50
15
 
 
c) A.X = C Equação do tipo I 
A
–1
.A.X = A
–1
.C Multiplicando a equação à esquerda pela inversa de A. 
X = A
–1
.C 
A
–1
 = 









41
02
Adet
1
 det A = –8 – 0 = –8 
A
–1
 = 









 41
02
8
1
 = 













2
1
8
1
0
4
1
 
X = 













2
1
8
1
0
4
1
.








22
13
 = 














4
9
12
11
4
1
4
3
 
 
04. At . X = Bt Equação do tipo I 
(A
t
 )
–1
 . A
t
 . X = (A
t
 )
–1
 . B
t 
Multiplicando a equação à esquerda pela inversa de A
t
. 
I . X = (A
–1
)
t
 . B
t 
Observe que foram usadas duas propriedades: (A
t
 )
–1
 . A
t
 = I e (A
t
)
–1
 = (A
–1
)
t
 
X = (B.A
–1
)
t 
Muita atenção: observe que de forma geral (A.B)
t
 = B
t
.A
t
. 
 
05. Equação do tipo I, multiplique a equação à esquerda pela inversa da matriz A. Solução: X = 








47
410
 
 
06. Equação do tipo I, multiplique a equação à direita pela inversa da matriz 






51
20
. Solução: X = 










2
2
9
11 
 
07. 
a) A + 2.X = B Equação do tipo II 
X = 
 AB
2
1

 ou X = 
 )A(B
2
1

 
 
b) 2A + B = X + 2C Equação do tipo II 
X = 2A + B – 2C 
 
c) 3X + 2A = B
t
 + 2X Equação do tipo II 
3X – 2X = Bt – 2A 
X = B
t
 – 2A 
 
d) 2X
t
 – 3A = B Equação do tipo II 
2X
t
 = B + 3A 
X
t
 =
 A3B
2
1

 
 ttX
 =
 
t
A3B
2
1







 Fazendo a transporta nos dois membros. 
X =
 
t
A3B
2
1







=
 tt A3B
2
1

 
 
e) A.B = X.C Equação do tipo I 
A.B.C
–1
 = X.C.C
–1
 Multiplicando a equação à direita pela inversa de C. 
A.B.C
–1
 = X 
 
f) X.B + A = C Equação do tipo I 
X.B = C – A 
X.B.B
–1
 = (C – A).B–1 Multiplicando a equação à direita pela inversa de B. 
X = (C – A).B–1 
 
g) A
–1
.X = B
–1 
Equação do tipo I 
A.A
–1
.X = A.B
–1 
Multiplicando a equação à esquerda pela inversa de A
–1
, que é a matriz A. 
X = A.B
–1
 
 
h) X.B
t
 = A Equação do tipo I 
X.B
t
.(B
t
)
–1
 = A.(B
t
)
–1
 Multiplicando a equação à direita pela inversa de B
t
. 
X = A.(B
t
)
–1
 ou X = A.(B
–1
)
t08. Equação do tipo I, multiplique a equação à direita pela inversa da matriz 






37
12
. Solução: X = 








1964
24
 
09. 
a) 
Solução 1: 
(X.A)
t
 = B.A Equação do tipo I 
[(X.A)
t
]
t
 = (B.A)
t
 Fazendo a transporta nos dois membros. 
X.A = A
t
.B
t
 Muita atenção: observe que (A.B)
t
 = B
t
.A
t
. 
X.A.A
–1
 = A
t
.B
t
.A
–1
 Multiplicando a equação à direita pela inversa de A
–1
. 
X = A
t
.B
t
.A
–1
 
 
Solução 2: 
(X.A)
t
 = B.A 
A
t
.X
t
 = B.A Desenvolvendo (X.A)
t
 = A
t
.X
t
. 
(A
t
)
–1
.A
t
.X
t
 = (A
t
)
–1
.B.A Multiplicando a equação à esquerda pela inversa de A
t
. 
X
t
 = (A
t
)
–1
.B.A 
(X
t
)
t
 = [(A
t
)
–1
.B.A]
t
 Fazendo a transporta nos dois membros e a propriedade associativa para o produto no 
segundo membro. 
X = (B.A)
t
.[(A
t
)
–1
]
t 
Lembrando que (A
t
)
–1
 = (A
–1
)
t
, (A
t
)
t
 = A e desenvolvendo (B.A)
t
 = A
t
.B
t
. 
X = A
t
.B
t
.A
–1
 
 
 
 
 
b) 
Solução 1: 
(X.B)
t
 = A Equação do tipo I 
[(X.B)
t
]
t
 = A
t
 Fazendo a transporta nos dois membros. 
X.B = A
t
 
X.B.B
–1
 = A
t
.B
–1
 Multiplicando a equação à direita pela inversa de B
–1
. 
X = A
t
.B
–1
 
 
Solução 2: 
(X.B)
t
 = A 
B
t
.X
t
 = A Desenvolvendo (X.B)
t
 = B
t
.X
t
. 
(B
t
)
–1
.B
t
.X
t
 = (B
t
)
–1
.A Multiplicando a equação à esquerda pela inversa de B
t
. 
X
t
 = (B
t
)
–1
.A 
(X
t
)
t
 = [(B
t
)
–1
.A]
t
 Fazendo a transporta nos dois membros. 
X = A
t
.[(B
t
)
–1
]
t 
Lembrando que (A
t
)
–1
 = (A
–1
)
t
, (A
t
)
t
 = A. 
X = A
t
.B
–1
 
 
 
Comentários finais 
 
Sendo A = 






 12
03
 e B = 






1
9
, encontre a matriz X, tal que A.X = B. 
Para resolver a equação acima, não é possível aplicar o que aprendemos nos problemas anteriores, pois a matriz B não é 
quadrada de ordem 2, então: 
 
1x22x2 BX.A 
 Como o produto existe então a matriz X tem o número de linhas igual ao número de 
colunas da matriz A, logo duas linhas, e o número de colunas é igual ao da matriz C, logo 
uma coluna. 


















 1
9
b
a
.
12
03
 Fazendo X = 






b
a
, realizando o produto entre as matrizes e igualando os resultados. 





1ba2
9b.0a.3
 Resolvendo o sistema. 
 
a = 3 e b = 7 
 
X = 






7
3
 
 
 
 
 
 
 
 
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