Unidade 2 Parte 3

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Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
 
DISCIPLINA: CÁLCULO II 
UNIDADE 2: (Parte 3) 
2.4 Cálculo de Áreas 
O cálculo de áreas de figuras planas pode ser feito por integração. 
Caso 1: Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas x = a, x = 
b e o eixo dos x, onde f é contínua e 𝑓(𝑥) ≥ 0, ∀ 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. 
 
Neste caso, a área é dada por 
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
Exemplo: Encontre a área limitada pela curva 𝑦 = 4 − 𝑥2 e o eixo dos x. 
4 − 𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥 = ±2 
 
 
 
 
No intervalo [−2,2], 𝑦 = 4 − 𝑥² ≥ 0. Assim, 
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𝑆 = ∫ (4 − 𝑥2)𝑑𝑥 = (4𝑥 −
𝑥³
3
)
2
−2
|
2
−2
= (8 −
8
3
) − (−8 +
8
3
) = 8 −
8
3
+ 8 −
8
3
= 16 −
16
3
=
48 − 16
3
=
32
3
𝑢. 𝑎 
Caso 2: Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas x = a, x = 
b e o eixo dos x, onde f é contínua e 𝑓(𝑥) ≤ 0, ∀ 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. 
 
Basta tomar o módulo da integração 
𝑆 = |∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
| 
Exemplo 1: Encontre a área limitada pela curva 𝑦 = −4 + 𝑥2 e o eixo dos x. 
−4𝑥 + 𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥 = ±2 
No intervalo [−2,2], 𝑦 = −4 + 𝑥² ≤ 0 
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𝑆 = |∫ (−4 + 𝑥2)𝑑𝑥
2
−2
| = |(−4𝑥 +
𝑥³
3
) |
2
−2
| = |(−8 +
8
3
) − (8 −
8
3
)| =
= |−8 +
8
3
− 8 +
8
3
| = |−16 +
16
3
| = |
−48 + 16
3
| = |
−32
3
| =
32
3
𝑢. 𝑎 
Exemplo 2: Encontrar a área da região S, limitada pela curva 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 e pelo eixo dos 
𝑥 de 0 até 2𝜋. 
No intervalo [0, 𝜋], 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≥ 0 e no intervalo [𝜋, 2𝜋], 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≤ 0. Portanto, 
𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2 
𝑆 = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝜋
0
+ |∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥
2𝜋
𝜋
| 
𝑆 = (− cos 𝑥) |
𝜋
0
+ |(− cos 𝑥) |
2𝜋
𝜋
| 
𝑆 = −𝑐𝑜𝑠𝜋 − (− cos 0) + |− cos 2𝜋 − (−𝑐𝑜𝑠𝜋)| 
𝑆 = 1 + 1 + |−1 + (−1)| ⇒ 𝑆 = 1 + 1 + 2 ⇒ 𝑆 = 4 𝑢. 𝑎 
Caso 3: Cálculo da área da figura plana limitada pelos gráficos de f e g, pelas retas x = 
a e x = b onde f e g são funções contínuas em [𝑎, 𝑏] e 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. 
 
 
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𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
− ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 ⇒ 𝑆 = ∫ (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
 
Exemplos: 
1) Encontre a área limitada por 𝑦 = 𝑥2 e 𝑦 = 𝑥 + 2. 
. 
𝑥2 = 𝑥 + 2 ⇒ 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 
𝑥′ = 2 e 𝑥′′ = −1 
No intervalo [−1,2], 𝑥 + 2 ≥ 𝑥2, logo: 
𝑆 = ∫ (𝑥 + 2) − 𝑥2𝑑𝑥
2
−1
= (
𝑥²
2
+ 2𝑥 −
𝑥3
3
) |
2
−1
= (
2²
2
+ 2.2 −
23
3
) − (
(−1)2
2
+ 2. (−1) −
(−1)3
3
)
= (2 + 4 −
8
3
) − (
1
2
− 2 +
1
3
) = 6 −
8
3
−
1
2
+ 2 −
1
3
=
9
2
 𝑢. 𝑎 
2) Encontre a área limitada pelas curvas 𝑦 = 𝑥3 e 𝑦 = 𝑥. 
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𝑥3 = 𝑥 ⇒ 𝑥3 − 𝑥 = 0 ⇒ 𝑥. (𝑥2 − 1) ⇒ 𝑥 = 0 ou 𝑥 = ±1 
𝐒 = 𝐒𝟏 + 𝐒𝟐 
No intervalo [−1,0], 𝑥 < 𝑥³ e no intervalo [0,1], 𝑥 > 𝑥³. Logo, 
𝑆 = |∫ (𝑥3 − 𝑥)𝑑𝑥
0
−1
| + ∫ (𝑥 − 𝑥3)𝑑𝑥 = |(
𝑥4
4
−
𝑥2
2
) |
0
−1
|
1
0
+ (
𝑥2
2
−
𝑥4
4
) |
1
0
⇒ 𝑆 =
1
2
 𝑢. 𝑎 
Observamos que poderíamos ter calculado a área da seguinte forma: 
𝑆 = 2 ∫ (𝑥 − 𝑥3)𝑑𝑥 =
1
2
 𝑢. 𝑎
1
0