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Circuitos Elétricos EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 2 1 Esta aula: Conceitos fundamentais: bipolos, tensão e corrente Geradores de tensão e de corrente Convenções Transferência de energia Resistores TEORIA DE CIRCUITOS Circuito elétrico: • Coleção de dispositivos elétricos conectados de uma forma particular. • Permite mover ou transferir cargas elétricas por um percurso especificado. Exemplos de dispositivos elétricos: Bipolos (dois terminais) Capacitor Indutor Resistor Gerador de tensão Gerador de corrente CapacitorCapacitor IndutorIndutor ResistorResistor Gerador de tensão Gerador de corrente EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 2 2 Corrente elétrica: movimentação de cargas elétricas livres • Nos materiais condutores: elétrons • Em gases ionizados, semicondutores, soluções eletrolíticas: cargas positivas fazem parte da corrente também. Átomos: prótons + nêutrons + elétrons 1 elétron: 191024,6 −×− coulomb (C) Corrente elétrica: carga em movimento Formalmente: taxa de variação da carga no tempo dt dqi = ampère (A) (ou C/s) Convenção: • Corrente convencional: movimento de cargas positivas • Corrente eletrônica: movimento de elétrons EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 2 3 Tensão elétrica: trabalho para mover uma unidade de carga (1 coulomb) através de um bipolo, de um terminal a outro. Tensão: 1 volt = 1 joule/Coulomb 0>V I + − Gerador de tensão 0>V I + − Gerador de tensão Consideremos um bipolo passivo, mostrado na figura, atravessado por um corrente I. A movimentação dessa carga requer uma certa quantidade de energia, fornecida por um gerador externo, conectado ao bipolo. Convenção: V5 + − A3 V5− + − A3−Mesmo circuito V5 + − A3 V5 + − A3 V5− + − A3− V5− + − A3−Mesmo circuito EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 2 4 Geradores e receptores de energia I V I VOU Absorvendo energia: bipolos passivos I V I VOU Absorvendo energia: bipolos passivos I V I V I VOU Absorvendo energia: bipolos passivos I V I VOU Entregando energia: geradores I V I VOU Entregando energia: geradores I V I VOU Entregando energia: geradores EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 2 5 Energia e Potência Consideremos o circuito com um gerador de tensão de v volts, que estabelece uma corrente i através do bipolo. v + − i 0>v v + − i 0>v Supondo que a corrente i desloca a carga dq no intervalo dt , ou seja, dtidq = , então a energia transferida ao bipolo no intervalo dt é dqvdw = . A taxa de transferência de energia é, portanto, piv dt dqv dt dw === (watt, W) p é a potência instantânea dissipada no bipolo EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 2 6 i v i v i v Note-se que a energia entregue pelo gerador ao bipolo no intervalo ],[ 21 tt é dado por ∫=− 2 1 )()( 12 t t dtivtwtw (joule, J) Considere a convenção ao lado para a indicação das polaridades da tensão e da corrente em um bipolo genérico. • Se 0>= vip , então diz-se que bipolo absorve energia, • Se 0<= vip , então diz-se que bipolo fornece energia. Seja ( ) ( )∫ ∞− = t divtw τττ)( • Se 0)( ≥tw para todo t, então o bipolo é dito passivo, • Caso contrário, é dito ativo. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 2 7 Fontes ideais de tensão e de corrente Fonte de tensão: Tensão independe da corrente nos seus terminais. I V 0V I V 0V Símbolos: )(0 tvVariávelno tempo Fixa ou constante 0V + )(0 tvVariávelno tempo Fixa ou constante 0V + 0V + Fonte de corrente: corrente independe da tensão entre seus terminais. I V 0I I V 0I Símbolos: Variável no tempo Fixa ou constante 0 I)(0 ti Variável no tempo Fixa ou constante 0 I0I)(0 ti )(0 ti EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 2 8 Resistor • Elemento elétrico que apresenta (apenas) resistência à passagem de corrente elétrica. • Resistência: colisão dos elétrons livres da corrente nos átomos do material. • Equação que modela a resistência de um material: iRv = Lei de Ohm • R = Resistência elétrica do material, medida em ohms [Ω] ou V/A. • Um resistor não armazena energia, mas absorve potência, dissipando-a na forma de calor. • RG 1= : condutância, medida em siemens (S) v + − i R R vRiivp 2 2 ===v + − i R R vRiivp 2 2 === EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 2 9 Resistor linear: O valor da resistência independe do valor da corrente e da tensão. i v θ R=θtan i v θ R=θtan Exemplo de resistores não-lineares: • Diodo semicondutor i v 0,2 0,4 0,6 i v 0,2 0,4 0,6 ( ) ]1[exp0 −= TVvIi I0 = corrente de saturação reversa (mA) VT = tensão de transição (~ 25mV) EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 2 10 Código de cores para resistor: EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 2 11 Prefixos-padrão do Sistema Internacional Múltiplo Prefixo Símbolo 1012 Terá T 109 Giga G 106 Mega M 103 Quilo k 10-3 mili m 10-6 micro µ 10-9 nano n 10-12 pico p 10-15 femto f EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 3 1 Esta aula: Indutor e capacitor Fontes dependentes Indutor • Inicio de 1800’s: Cientista dinamarquês Oersted mostrou que uma corrente percorrendo um condutor produz um campo magnético. • Ampère realiza experimentos que mostram que o campo magnético e a corrente que o produz seguem uma relação linear. • Michael Farad e Joseph Henry: descobrem que campos magnéticos variantes produzem (indução) tensão em um circuito próximo. • Intensidade da tensão induzida é proporcional ao taxa de variação temporal da corrente que produz o campo magnético dt tdiLtv )()( = • L: constante de proporcionalidade chamada indutância, medida em Henry (H). EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 3 2 Corrente elétrica I atravessando um condutor leva ao aparecimento de um campo magnético, ou densidade de fluxo magnético B r I B r C I B r C S I B r C I B r C S Fluxo magnético: ∫ ⋅= S sdB r rφ Fluxo magnético )(tφ em um indutor linear de indutância L atravessado por uma corrente )(ti vale dt tdtvtiLt )()()()( φφ =→= I B r I B r EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 3 3 Exemplo de indutor: L espiras Área da seção transversal A µPermeabilidade Comprimento s L espiras Área da seção transversal A µPermeabilidade Comprimento s s ANL 2µ= H Ar: 70 104 −×== πµµ H/m Característica geral de um indutor i φFluxo magnético i φFluxo magnético φFluxo magnético EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC– UNICAMP – Aula 3 4 Consideremos um indutor linear de 2 H, atravessado por uma corrente )(ti variante mostrada abaixo. )(tv )(ti HL 2= )(tv )(ti HL 2= )(ti t 1− 0 1 2 3 )(tv t 1− 0 1 2 3 1 2 2− 1= dt di 1−= dt di 0= dt di )(ti t 1− 0 1 2 3 )(tv t 1− 0 1 2 3 1 2 2− 1= dt di 1−= dt di 0= dt di EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 3 5 Se aumentarmos a taxa de variação da corrente, teremos: )(ti t 1− 0 1 2 3 )(tv t 1− 0 1 2 3 1 8 8− )(ti t 1− 0 1 2 3 )(tv t 1− 0 1 2 3 1 ∞ ∞− )(ti t 1− 0 1 2 3 )(tv t 1− 0 1 2 3 1 8 8− )(ti t 1− 0 1 2 3 )(tv t 1− 0 1 2 3 1 ∞ ∞− )(ti t 1− 0 1 2 3 )(tv t 1− 0 1 2 3 1 ∞ ∞− Note que: • Para correntes constantes, indutor é um curto. • Esse modelo para o indutor não permite variações abruptas da corrente, pois tal situação leva à tensão e potencia infinitas. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 3 6 Retomando a expressão que relaciona a tensão e a corrente em um indutor: dttv L tdi dt tdiLtv )(1)()()( =→= A corrente no indutor no instante t pode ser obtida através da integral: )()(1)( )(1)()( )(1 0 0 )( )( 0 0 0 0 tidv L ti dv L titi dv L id t t t t t t ti ti += =− = ∫ ∫ ∫∫ ττ ττ ττ EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 3 7 Energia armazenada em um indutor Potência instantânea em um indutor: dt tidiLtitvp )()()( == W Energia armazenada: })]([)]({[ 2 1 )( 2 0 2 )( )( 0 00 titiL diiL dt dt tidiLdtp ti ti t t t t −= = = ∫ ∫∫ Se 0)( 0 =ti , então 2)]([ 2 1)( tiLtwL = joules EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 3 8 Esse modelo (matemático) é válido para indutores ideais (sem perdas resistivas). Indutor real: L LRL LR RL: Resistência do condutor usado para construir o indutor – dissipa energia na forma de calor Resumo: • Variação da corrente que atravessa um indutor induz tensão entre seus terminais • Corrente constante: indutor é um curto- circuito • Indutor armazena energia no campo magnético, mesmo quando a corrente é constante • Variação abrupta de corrente não são permitidas (pois requer tensão infinita) • Um indutor ideal não dissipa energia, apenas armazena-a. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 3 9 Capacitor Dispositivo elétrico capaz de armazenar cargas elétricas. Área A d Material dielétrico Permissividade ε Carga +q Carga –q v Área A d Material dielétrico Permissividade ε Material dielétrico Permissividade ε Carga +q Carga –q v • Carga +q é movida para a placa superiora, deixando a carga –q na placa superiora. • Trabalho realizado é v, proporcional à carga armazenada: Cvq = C = Capacitância Coulomb/volt ou Farad (F) Para capacitores de placas paralelas d AC ε= Ar: 854,8=ε pF/m EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 3 10 Corrente no capacitor: dt dvCi dt dqi =→= 0=i se v for constante. Tensão no capacitor { )(1)(1 0 Acumulada Carga 0 tvdti C tvdti C dv dt dvCi t t +=→=→= ∫ )(tvC )(ti + − )(tvC )(ti + − EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 3 11 Capacitor de 5µF alimentado por um gerador de corrente. )(tvFC µ5= )(ti+− )(tvFC µ5= )(ti + − )(ti t 0 1 2 3 )(tv t 0 1 2 3 20 8 (mA) (ms) (ms) (V) )(ti t 0 1 2 3 )(tv t 0 1 2 3 20 8 (mA) (ms) (ms) (V) Note que a mudança abrupta da tensão no capacitor requer uma corrente de intensidade infinita. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 3 12 Energia armazenada em um capacitor Potência instantânea em um capacitor: dt tvdCvtitvp )()()( == watts Energia armazenada: joule})]([)]({[ 2 1 2 0 2 )( )( 0 00 tvtvC dvvC dt dt dvvCdtp tv tv t t t t −= = = ∫ ∫∫ Se capacitor está descarregado, ou seja 0)( 0 =tv joule)]([ 2 1 2tvCwC = EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 3 13 Capacitor ideal: • Material dielétrico é ideal, de resistência infinita (sem corrente eletrônica entre as placas do capacitor): • Toda energia entregue ao capacitor é armazenada na forma de campo elétrico. Capacitor real: material dielétrico apresenta resitencia alta, mas finita C + − CRC + − CR RC: Resistência do dielétrico usado para construir o capacitor – dissipa energia na forma de calor EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 3 14 Resumo (capacitor) • Variação da tensão em um capacitor induz uma corrente entre seus terminais • Tensão constante: capacitor é um curto- circuito • Indutor armazena energia no campo elétrico, mesmo quando a corrente é constante • Variação abrupta de tensão não são permitidas (pois requer corrente infinita) • Um capacitor ideal não dissipa energia, apenas armazena-a. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 3 15 Fontes dependentes Fonte de tensão dependente: A tensão entre seus terminais depende da corrente ou da tensão em um outro bipolo 0v 0vv α= 0iv β=0 i 0v 0vv α= 0iv β=0 i0i Fonte de corrente dependente: A corrente que atravessa seus terminais depende da corrente ou da tensão em um outro bipolo 0v 0vi κ= 0ii ρ=0 i 0v 0vi κ= 0ii ρ=0 i0i EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 4 1 Esta aula: Circuito elétrico: nó, laço Leis de Kirchhoff das correntes e das tensões Associação de bipolos resistivos: serie e paralelo EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 4 2 Circuitos elétricos Conjunto de bipolos conectados de uma forma particular. Análise de um circuito: determinação das correntes e tensões em cada bipolo do circuito. Usando: Relações entre tensão e corrente dos bipolos, Leis de Kirchhoff. )(1 tv )(2 tv )(3 tv )(4 tv )(1 ti )(2 ti )(5 ti)(4 ti C 2R 1R L)(3 ti )(5 tv)(te )(1 tv )(2 tv )(3 tv )(4 tv )(1 ti )(2 ti )(5 ti)(4 ti C 2R 1R L)(3 ti )(5 tv)(te Conhecido: )(te , 1R , 2R , L e C Desconhecido: )(1 ti , )(2 tv , )(2 ti , )(3 tv , )(3 ti , )(4 tv , )(4 ti , )(5 tv e )(5 ti . EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 4 3 Dos modelos de funcionamento dos bipolos, sabemos que: )()(1 tetv = )()( 212 tiRtv = dt tdiLtv )()( 33 = dt tdvCti )()( 44 = )()( 525 tiRtv = Outras equações são necessárias para resolver o problema: • Lei de Kirchhoff das correntes, • Lei de Kirchhoff das tensões. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 4 4 Lei de Kirchhoff das correntes: Nó: ponto de ligação entre dois ou mais bipolos • A soma algébricadas correntes que saem de um nó é nula, ou • A soma das correntes que chegam a um nó é igual à soma das correntes que saem daquele nó. )(1 tv )(2 tv )(3 tv )(4 tv )(1 ti )(2 ti )(5 ti)(4 ti C 2R 1R L)(3 ti )(5 tv)(te Nó A Nó B Nó C )(1 tv )(2 tv )(3 tv )(4 tv )(1 ti )(2 ti )(5 ti)(4 ti C 2R 1R L)(3 ti )(5 tv)(te )(1 tv )(2 tv )(3 tv )(4 tv )(1 ti )(2 ti )(5 ti)(4 ti C 2R 1R L)(3 ti )(5 tv)(te Nó A Nó B Nó C Nó A: 0)()( 21 =− titi Nó B: 0)()( 32 =− titi Nó C: 0)()()( 542 =−− tititi Para um circuito com n nós, podemos escrever (n – 1) equações independentes de corrente. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 4 5 Lei de Kirchhoff das tensões: Laço: percurso fechado formado por bipolos e que não passe duas ou mais vezes pelo mesmo bipolo. Circuito Plano: Um circuito é dito plano se pudermos desenha-los em um plano sem cruzamento de bipolos. Malhas: laços em um circuito plano que não contém bipolos em seu interior. A soma algébrica das tensões ao longo de um laço é nula. Para um circuito de b bipolos e n nós, podemos escrever b – (n – 1) equações independentes relacionando as tensões. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 4 6 Considerando novamente o circuito anterior: )(1 tv )(2 tv )(3 tv )(4 tv C 2R 1R L )(5 tv)(te Laço II Laço I Laço III 2)14(54,5 =−−→== nb • Laço I: 0)()()()( 432 =−++ tvtvtvte • Laço II: 0)()()()( 532 =−++ tvtvtvte , desnecessária, pois é redundante. • Laço III: 0)()( 54 =− tvtv EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 4 7 Associação de bipolos resistivos Consideremos o circuito resistivo: 2R 1R 1i 2i 2v 1v E i 2R 1R 1i 2i 2v 1v E i São n = 3 nós, b = 3 bipolos: • b – (n – 1) = 1 equação de tensões, • n – 1 = 2 equações de correntes. 021 =−− vvE , 1ii = e 2ii = Equações dos bipolos: 111 Riv = e 222 Riv = Resolvendo para i: →−= iRiRE 21 21 RR Ei += Portanto: 21 1 1 RR REv += e 21 2 2 RR REv += EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 4 8 Note que: Os resistores 1R e 2R podem ser representados por um resistor equivalente 21 RRRT += : Associação em série de resistores. Os resistores 1R e 2R podem ser vistos como um divisor de tensão. 1R 1R nR ∑ = = n i iT RR 1 1R 1R nR ∑ = = n i iT RR 1 Consideremos agora o circuito: 2i 2v 1i 1v i I v 1R 2R 2i 2v 1i 1v i I v 1R 2R b = 3, n = 2: EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 4 9 Uma equações de corrente: 21 iii += Duas equações de tensão: 1vv = e 2vv = Bipolos: 111 Riv = , 222 Riv = e Ii = Então, +=+= 212 2 1 1 11 RR v R v R vI Ou, 21 11 1 RR Iv +×= 21 21 21 11 1 RR RR RR RT +=+= EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 4 10 Portanto: 21 2 1 RR RIi += e 21 1 2 RR RIi += Note-se que: A combinação dos resistores 1R e 2R pode ser substituída por 21 21 RR RRRT += : Associação em paralelo. A combinação dos resistores pode ser vista como um divisor de corrente 1R 1R nR TR1R 1R nR TR nT RRRR 1111 21 +++= K RG 1= é a condutância. Então, para associação em paralelo de resistores, temos nT GGGG +++= K21 EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 1 Esta aula: Análise nodal, Análise de malha. Análise Nodal Consideremos o circuito abaixo: 1R 3R 2R 1I 2I 3 1 2 3 1R 3R 2R 1I 2I 3 1 2 3 Redesenhando e designando o nó 3 como nó de referência, temos: 1R 3R 2R Ref 1v 2v 21 vv − 1I 2I 1R 3R 2R Ref 1v 2v 21 vv − 1I 2I Designamos uma tensão para cada nó, com relação ao nó de referência. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 2 Usando agora a Lei de Kirchhoff das correntes: Nó 1: 1 2 21 1 1 I R vv R v =−+ ou ( ) 121211 IvvGvG =−+ Nó 2: ( ) 232212 vGIvvG +=− Sistema de duas equações e duas incógnitas: ( ) ( ) =+− =−+ 223212 122121 IvGGvG IvGvGG Exemplo numérico: Para Ω= 21R , Ω= 52R e Ω=13R ; AI 31 = e AI 22 −= , teremos: Vv 51 = e Vv 5,22 = EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 3 Outro exemplo: S3 S1 S2 S4 S5A8− A25− A3− S3 S1 S2 S4 S5A8− A25− A3− Redesenhando A8− S4 S3 S1 A25− S5 S2 1v 2v 3v Ref A3− A8− S4 S3 S1 A25− S5 S2 1v 2v 3v Ref A3− EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 4 Escrevendo a Lei de Kirchhoff das correntes para os três nós, temos: −=−+ −=+− −=−− 251124 3263 11437 321 321 321 vvv vvv vvv Resolvendo esse sistema de equações, chegamos à Vv 11 = , Vv 22 = e Vv 33 = Note que podemos reescrever o sistema da seguinte forma: =+−− =−+− −=−− 251124 3263 11437 321 321 321 vvv vvv vvv ou − = −− −− −− 25 3 11 1124 263 437 3 2 1 v v v A matriz é simétrica! Isso pode ser usado na verificação das equações. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 5 Consideremos agora esse mesmo circuito, mas com uma fonte de tensão entre os nós 2 e 3: A8− S4 S3 S1 A25− S5 1v 2v 3v Ref V22 Super nó A3− A8− S4 S3 S1 A25− S5 1v 2v 3v Ref V22 Super nó A3− Dificuldade: não podemos associar a corrente entre os nós 2 e 3 à tensão do gerador de 22 V (a tensão do gerador independe da corrente). • Portanto, não podemos aplicar a Lei de Kirchhoff das correntes nos nós 2 e 3. • No entanto: Se a soma algébrica das correntes que saem de um nó é nula, então a soma algébrica das correntes que saem dos nós 2 e 3 (dito super-nó) também deve ser nula (Lei de Kirchhoff Generalizada) EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 6 Para o nó 1: 11437 321 −=−− vvv . Para super-nó (nós 2 e 3): 0255)(43)(3 231312 =+−+−+−− vvvvvv ou 28947 321 =++− vvv . Além disso, sabemos que 2223 =− vv . Finalmente: =+− =++− −=−− 22 28947 11437 32 321 321 vv vvv vvv Resolvendo, temos Vv 5,41 −= , Vv 5,152 −= e Vv 5,63 −= . EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 7 Consideremos agora a presença de um gerador de tensão dependente: A8− S4 S3 S1 A25− S5 1v 2v 3v Ref 8xi Super nó A3− xi A8− S4 S3 S1 A25− S5 1v 2v 3v Ref 8xi Super nó A3− xi Novamente, como temos um gerador de tensão entre os nós 2 e 3, consideraremos este par de nós como um super-nó. Aplicando a Lei de Kirchhoff, temos, como antes, Super-nó: 28947 321 =++−vvv Nó 1: 11437 321 −=−− vvv Entre os nós 2 e 3: 8 )(4 8 13 23 vvivv x −==− Ou 05,05,0 321 =−+− vvv Resulta: Vv 11 = , Vv 22 = e Vv 33 = EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 8 Resumo – Análise nodal Procedimento • Redesenhe o circuito, escolhendo um nó como referência, • Atribua uma variável para cada um dos outros nós, para indicar a tensão daquele nó com relação ao nó de referencia, • Se o circuito contiver apenas fontes de corrente, escreva a Lei de Kirchhoff das correntes para cada um dos nós, com exceção do nó de referência; resolva o sistema de equações para obter as tensões nos nós. • Se o circuito contiver fontes de tensão, escreva a Lei de Kirchhoff generalizada das correntes para os super-nós formados; além disso, relacione as tensões dos geradores às tensões dos nós; resolva o sistema de equações para obter as tensões nos nós. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 9 Análise de malhas Algumas definições (revisão): Circuito planar: Pode ser desenhado em um plano, sem que um ramo cruze outro. Exemplo de circuito não planar: Laço: percurso fechado formado por bipolos e que não passe duas ou mais vezes pelo mesmo bipolo ou nó. Malhas: laços em um circuito plano que não contém outros laços em seu interior. Corrente de malha: corrente que circula nos perímetro de uma malha EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 10 Exemplos: Não é laçoNão é laço Não é laçoNão é laço É laço, mas não é malhaÉ malha É laço, mas não é malhaÉ laço, mas não é malhaÉ malhaÉ malha EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 11 Análise de malhas: Aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões nas malhas do circuito, para obter as correntes de malha. Consideremos o circuito abaixo: 2i V7 Ω1 Ω2 Ω1 Ω2 Ω31i 2i 3i V6 1i 21 ii − 32 ii − 31 ii − 2i V7 Ω1 Ω2 Ω1 Ω2 Ω31i 2i 3i V6 1i 21 ii − 32 ii − 31 ii − Três malhas = três equações a partir da Lei de Kirchhoff das tensões: Para a malha I: ( ) ( ) 0267 2121 =−−−−− iiii ou 123 321 =−− iii EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 12 Repetindo para as outras malhas, chegamos ao sistema: =+−− =−+− =−− 6632 036 123 321 321 321 iii iii iii que resulta em: Ai 31 = , Ai 22 = e Ai 33 = . Note que podemos escrever o sistema de equação por meio de uma equação matricial: = −− −− −− 6 0 1 632 361 213 3 2 1 i i i Matriz de resistência −− −− −− = 632 361 213 R EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 13 Se: • Circuito contiver apenas fontes de tensão independentes, • Correntes de malhas são indicadas no sentido horário, • Linhas de R contiverem os coeficientes de K21,ii , (ordenados), • i-ésima linha corresponde à i-ésima malha, então, R será uma matriz simétrica (teste para verificar a correção da matriz). Consideremos agora a presença de um gerador de corrente no circuito anterior, ou seja: V7 Ω1 Ω2 Ω1Ω2 Ω31i 2i 3i A7 31 ii − V7 Ω1 Ω2 Ω1Ω2 Ω31i 2i 3i A7 31 ii − EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 14 Não podemos escrever a Lei de Kirchhoff das tensões para as malhas 1 e 3 (não sabemos relacionar sua tensão à sua corrente.) Porém, sabemos que 731 =− ii . Da 2a. malha, temos 036 321 =−+− iii Precisamos de mais uma equação: obtida pela aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões para o laço formado pelas malhas 1 e 3: V7 Ω1 Ω2 Ω1Ω2 Ω31i 2i 3i A7 V7 Ω1 Ω2 Ω1Ω2 Ω31i 2i 3i A7 ( ) ( ) 037 33221 =−−+−− iiiii AiAiAi ii iii iii 2,5,2,9 7 036 744 321 31 321 321 ===⇒ =− =−+− =+− EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 15 Consideremos, por fim, a presença de um gerador dependente: A15 Ω1 Ω2 Ω1 Ω2 Ω3 1i 2i 3i9 xv xv A15 Ω1 Ω2 Ω1 Ω2 Ω3 1i 2i 3i9 xv xv Com antes, precisamos de três equações relacionando as correntes de malha. A primeira pode ser obtida da malha 2: 0)(32)(1 32212 =−++− iiiii ou 036 321 =−+− iii Seguindo o procedimento adotado para o caso da presença de gerador de corrente (abrir o circuito naquele ponto), resulta em um circuito com apenas a malha 2, de onde já extraímos uma equação. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 16 Porém, por inspeção, temos que Ai 151 = e 03 2 3 1 9 32113 =++−→=− iiivii x , completando o conjunto de equações necessário, resultando em: Ai 151 = , Ai 112 = e Ai 173 = . EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 17 Resumo – Análise de mlaha Procedimento Esse método é válido apenas para circuitos planos. • Indique as correntes de malha, • Se o circuito contiver apenas geradores de tensão, escreva a Lei de Kirchhoff das tensões para cada uma das malhas e resolva o sistema de equações obtido. • Se o circuito contiver geradores de corrente, substitua-os por circuitos abertos (o que reduz o número de malhas), escreva a Lei de Kirchhoff para as malhas restantes e resolva o sistema de equações obtido. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 6 1 Esta aula: Fontes reais, Linearidade e circuitos lineares, Superposição. Fontes Reais Fonte de tensão ideal: a tensão entre seus terminais é fixa e não depende da corrente em seus terminais. No entanto, fontes reais apresentam uma diminuição na tensão de saída com o aumento da corrente nos seus terminais. Exemplo: V12 V12 Sem carga 0=i V12 V11 Com carga A100=i V12 V12 Sem carga 0=i V12 V11 Com carga A100=i EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 6 2 Podemos modelar essa fonte como a associação série de uma fonte ideal com um resistor (resistência interna): De uma forma geral, o modelo de uma fonte de tensão real consiste em uma fonte ideal em série com um resistor de resistência svR . sv svR LR Lv Li sv svR LR Lv Li A corrente e a tensão na carga são: Lsv S L RR vi += e SLsv L L vRR Rv += V12 Ω0,01 EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 6 3 Da mesma forma, não existem fontes de correntes ideais, pois a potência disponível é sempre finita. Uma fonte de corrente real é modelada como a associação paralelo entre uma fonte ideal e um resistor. si siR LR Lv Li si siR LR Lv Li A corrente e a tensão na carga são: S Lsi si L iRR Ri += e SLsi Lsi L iRR RRv += EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 6 4 Equivalência entre fontes reais: duas fontes (uma de tensão e outra de corrente) são ditas equivalentes se produzirem valores idênticos de corrente e de tensão para dada (qualquer) resistência de carga.Portanto: Lsi s Lsv ssi L RR v RR iRi +=+= para qualquer LR ssisv RRR ==⇒ e sss iRv = Importante: Note que as relações de equivalência entre duas fontes nos permitem transformar uma fonte de tensão em uma fonte de corrente (e vice-versa). Exemplo de equivalência entre fontes: V12 Ω100 Lv Li A12,0 Ω100 Lv Li V12 Ω100 Lv Li Lv Li A12,0 Ω100 Lv Li Lv Li EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 6 5 A potência absorvida por uma carga: 0 200 400 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Fonte de tensão RL (ohm) P L (W ) 0 200 400 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Fonte de corrente RL (ohm) P L (W ) Como esperado, as duas fontes entregam à carga a mesma potência, independentemente do valor da carga. No entanto, as potências dissipadas nos resistores internos são diferentes, bem como as potências que as fontes ideais entregam, como mostram as figuras a seguir. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 6 6 100 101 102 103 104 0 0.5 1 1.5 Fonte de tensão RL (ohm) P ot ên ci a (W ) Fonte ideal Dissip. Rs Dissip. carga 100 101 102 103 104 0 0.5 1 1.5 Fonte de corrente RL (ohm) P ot ên ci a (W ) Fonte ideal Dissip. Rs Dissip. carga EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 6 7 Para pensar: Determine a potência entregue pela fonte ideal de tensão quando 0=LR . Repita agora para a fonte de corrente, quando ∞=LR . Compare esses valores de potência. Não coincidentemente, a máxima potência absorvida pela carga ocorre quando sL RR = . De fato, se diferenciarmos a expressão da potência na carga com relação à LR e igualarmos a expressão resultante à zero, temos: Lsv LS LLL RR RvRip +== 2 0 )( )(2)( 4 222 =+ +−+= LS LSLSSLS l L RR RRRvvRR dR dp que resulta em sL RR = . Teorema da máxima transferência de potência: uma fonte independente de tensão ou de corrente, ambas com resistência interna sR , entrega a máxima potência a uma carga resistiva quando essa tem resistência sL RR = . EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 6 8 Linearidade Definições importantes: Elemento (bipolo) linear: apresenta uma relação tensão – corrente linear. Ou seja, a multiplicação por K da corrente que atravessa o elemento resulta também na multiplicação por K da tensão sobre o elemento. Exemplos de relações lineares: • iRvxcy ×=→×= Resistor • dt diLv dt dxcy ×=→×= Indutor • i Cdt dvxc dt dy ×=→×= 1 Capacitor Fonte dependente linear: aquela cuja tensão (ou corrente) é proporcional apenas à primeira potência de alguma tensão ou corrente do circuito (ou à soma de termos de primeira potência). Exemplo: 13ivx −= ou 21 212 vvix −= EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 6 9 Circuito linear: contém apenas elementos lineares, fontes independentes e fontes dependentes lineares. Em circuitos lineares: a multiplicação de todas as fontes independentes por K resulta na multiplicação por K de todas as tensões e correntes do circuito. Teorema da Superposição: Em qualquer circuito resistivo contendo diversas fontes, a tensão (ou corrente) em qualquer resistor pode ser calculada pela soma algébrica das tensões (ou correntes) causadas por cada fonte independente atuando isoladamente (ou seja, com todas as fontes de tensão substituídas por curtos-circuitos e todas as fontes de corrente substituídas por circuitos abertos). Implicação: Considere que um circuito tenha N fontes independentes e que desejemos determinar a tensão em um dado bipolo. Realizamos, então, N experimentos nos quais apenas uma das fontes é ativada, determinando o valor da tensão sobre o bipolo em questão. A tensão procurada é a soma dos valores de tensão obtidos em cada experimento. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 6 10 Consideremos o exemplo abaixo, em que desejamos determinar a corrente xi . V3=sv A2=si Ω9 xi Ω6 V3=sv A2=si Ω9 xi Ω6 Aplicando o principio da sobreposição, temos: A2 Ω9 1,xi Ω6 V2,7 96 962 =+ ××=ABv A B A8,0 9 2,7 01, === =svxx ii V3 Ω9 2,xi Ω6 A2,0 96 3 02, =+== =sixx ii A2 Ω9 1,xi Ω6 V2,7 96 962 =+ ××=ABv A B A8,0 9 2,7 01, === =svxx ii V3 Ω9 2,xi Ω6 A2,0 96 3 02, =+== =sixx ii Portanto, A0,12,1, =+= xxx iii EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 6 11 Tomemos um caso com fonte dependente: V10 A3 xi Ω2 Ω1 xi2 V10 A3 xi Ω2 Ω1 xi2 1) Retirando o gerador de corrente, temos: V10 1,xi Ω2 Ω1 xi2 1022 1,1,1, =++ xxx iii A21, =xi V10 1,xi Ω2 Ω1 xi2 1022 1,1,1, =++ xxx iii A21, =xi 2) Retirando o gerador de tensão: A3 2,xi Ω2 Ω1 xi2 Av Bv A3 2,xi Ω2 Ω1 xi2 Av Bv Pela análise nodal: 0)(3 2 =−++− ABA vvv e 2,2 xB iv = Mas, sabemos também que )(2 2,xA iv −= , o que resulta em 532, −=xi Finalmente: A572,1, =+= xxx iii . EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 7 1 Esta aula: Teorema de Thévenin, Teorema de Norton. Suponha que desejamos determinar a tensão (ou a corrente) em um único bipolo de um circuito, constituído por qualquer número de fontes e de outros resistores. R i vR i vR i v O Teorema de Thévenin nos diz que podemos substituir todo o circuito, com exceção ao bipolo em questão, por um circuito equivalente contendo uma fonte de tensão em série com um resistor. Por sua vez, o Teorema de Norton nos diz que podemos substituir todo o circuito, com exceção ao bipolo em questão, por circuito equivalente contendo uma fonte de corrente em paralelo com um resistor. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 7 2 R i v Teorema de Thevenin Teorema de Norton R i vThv ThR R i vNi NR R i vR i vR i v Teorema de Thevenin Teorema de Norton R i vThv ThR R i vThv ThR R i vNi NR R i vNi NR EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 7 3 Consideremos um circuito elétrico que foi rearranjado na forma de outros dois circuitos, denotados por A e B. Circuito A: deve ser um circuito linear: • fontes independentes, • bipolos lineares e • fontes dependentes lineares. Circuito B: pode conter também elementos não – lineares. Restrição importante: Nenhuma fonte dependente do circuito A pode ser controlada por uma corrente ou tensão do circuito B e vice versa. Circuito B Circuito B Circuito Equivalente Thèvenin do circuito A Circuito A Circuito B Circuito B Circuito Equivalente Thèvenin do circuito A Circuito A Circuito B Circuito B Circuito B Circuito B Circuito Equivalente Thèvenin do circuito A Circuito A Circuito A EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 7 4 Teorema de Thévenin: Defina uma tensão cav como a tensão que aparece nos terminais de A se o circuito B é desconectado, de forma que nenhuma corrente fluí do circuito A para o circuito B. Então, as tensões e correntes em B permanecerãoinalteradas se desativarmos todas as fontes independentes de A e uma fonte de tensão cav for conectada em série com o circuito A “desativado”. Desativar fontes: • Substituir fontes independentes de corrente por circuitos abertos, • Substituir fontes independentes de tensão por curto-circuitos. Circuito B Circuito A desativado ccv Nenhuma fonte de tensão ou corrente Circuito B Circuito B Circuito A desativado Circuito A desativado ccv Nenhuma fonte de tensão ou corrente EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 7 5 Teorema de Norton Defina uma corrente cci como a corrente que flui nos terminais de A se os pontos de conexão entre A e B são curto-circuitados, de forma que nenhuma tensão é fornecida por A. Então, as tensões e correntes em B permanecerão inalteradas se desativarmos todas as fontes independentes de A e uma fonte de corrente cci for conectada em paralelo com o circuito A “desativado”. Circuito B Circuito A desativado cc i Nenhuma fonte de tensão ou corrente Circuito B Circuito B Circuito A desativado Circuito A desativado cc i Nenhuma fonte de tensão ou corrente Consideremos o circuito abaixo, para o qual desejamos determinar os equivalentes de Thévenin e de Norton sob o ponto de vista o resistor 1R . EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 7 6 V4 mA2 Ωk2 Ωk3 Ω= k11R V4 mA2 Ωk2 Ωk3 Ω= k11R Tensão em aberto: V4 mA2 Ωk2 Ωk3 cav1i mA21 =i ( )( ) V8 1021024 33 = ××+= −cav V4 mA2 Ωk2 Ωk3 cav1i mA21 =i ( )( ) V8 1021024 33 = ××+= −cav Resistência do circuito desativado: Ωk2 Ωk3 ⇒ Ωk5 Ωk2 Ωk3 ⇒ Ωk5 Portanto, o circuito redesenhado com o equivalente de Thévenin é: EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 7 7 V8 Ωk5 Ω= k11R V8 Ωk5 Ω= k11R Para construir o equivalente de Norton, precisamos determinar a corrente de curto- circuito: V4 mA2 Ωk2 Ωk3 1i 2i 212 =− ii 0324 21 =−− ii mA6,12 == ccii cci V4 mA2 Ωk2 Ωk3 1i 2i 212 =− ii 0324 21 =−− ii mA6,12 == ccii 212 =− ii 0324 21 =−− ii mA6,12 == ccii cci Finalmente, o circuito com o equivalente de Norton é: Ωk5 Ω= k11R ,6mA1 Ωk5 Ω= k11R ,6mA1 EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 7 8 Note que o equivalente de Norton pode ser obtido a partir do equivalente de Thévenin (e vice-versa) por meio de princípio da equivalência entre fontes de tensão e de corrente reais. Consideremos agora um circuito com uma fonte de corrente dependente linear, cujo equivalente de Thévenin estamos interessados: V4 4000 xv Ωk2 Ωk3 xv A B V4 4000 xv Ωk2 Ωk3 xv A B Tensão em aberto: A tensão de circuito aberto é a própria tensão de controle da fonte de corrente, ou seja xca vv = . Então, aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões na malha (note que há apenas uma!), temos: V80 4000 k24 ==→=−×+ caxxx vvvv EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 7 9 Resistência do circuito desativado, entre A e B: 4000 xv Ωk2 Ωk3 xv ?=ThR A B 4000 xv Ωk2 Ωk3 xv ?=ThR A B Note que não conseguimos calcular a resistência entre A e B devido à presença do gerador de corrente. Porém, podemos determinar essa resistência indiretamente, por meio da relação entre os equivalentes de Thévenin e de Norton: cav R cci R cc ca i vR = cav R cci R cc ca i vR = EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 7 10 Portanto, precisamos determinar cci . V4 0 4000 =xv Ωk2 Ωk3 0=xv V4 Ωk2 Ωk3 cci mA8,0 A 5000 4 = =cci V4 0 4000 =xv Ωk2 Ωk3 0=xv V4 Ωk2 Ωk3 cci mA8,0 A 5000 4 = =cci Finalmente, Ω=Ω×= − k10108,0 8 3R , e V8 Ωk10 mA8,0 Ωk10 V8 Ωk10 mA8,0 Ωk10 EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 8 1 Esta aula: Amplificador operacional, Análise de circuitos com AO. Amplificador operacional Símbolo: Entrada não-inversora Entrada inversora Saída1 2 3 Entrada não-inversora Entrada inversora Saída1 2 3 Características principais de um amplificador operacional ideal: • As correntes de entrada são nulas, • A diferença de potencial entre os terminais de entrada é nula. 01 =i 02 =i 0=v 03 ≠i 01 =i 02 =i 0=v 03 ≠i A Lei de Kirchhoff das correntes não pode ser aplicada no terminal 3, pois o amplificador operacional tem outros terminais não mostrados, cujas correntes desconhecemos. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 8 2 Consideremos o seguinte circuito empregando um amplificador operacional: gv 1R 2R 3R gi i 3v a b c d gv 1R 2R 3R gi i 3v a b c d Buscaremos uma relação entre a tensão 3v , no resistor 3R , e a tensão do gerador gv . Começaremos pela malha com o gerador. Usando a LKT, temos: 01 =− vvg ou gvv =1 (1) gv 1R 2R 3R 0=gi 1v 0=v a b c d gv 1R 2R 3R 0=gi 1v 0=v a b c d EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 8 3 Em seguida, aplicamos a LKC no nó b: 0 2 2 1 1 =+ R v R v ou gvR Rv 1 2 2 −= (2) Finalmente, aplicamos a LKT na malha com 3R : 0321 =−− vvv ou 213 vvv −= (3) Substituindo (1) e (2) em (3), tem-se gvR Rv += 1 2 3 1 gv 1R 2R 3R a b c d 1v 2v 0=igv 1R 2R 3R a b c d 1v 2v 0=i gv 1R 2R 3R 1v 2 v 3 v a b d gv 1R 2R 3R 1v 2 v 3 v a b d EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 8 4 Portanto, podemos interpretar esse circuito como contendo uma fonte de tensão dependente, controlada por outra tensão ( gv ): gv 3R 3v i 0=gi gvR R + 1 21 gv 3R 3v i 0=gi gvR R + 1 21 De fato, esse circuito é um amplificador de tensão não-inversor de ganho 121 RR+=µ . Se fizermos ∞=1R e 02 =R , o ganho é unitário, e teremos um “seguidor de tensão”, que isola o circuito conectado à entrada do circuito conectado à saída. Ev Sv 0=Ei Ev Sv 0=Ei EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 8 5 Consideremos uma outra configuração envolvendo um amplificador operacional: 1R 2R Ev Sv 1R 2R Ev Sv Estamos novamente procurando uma expressão para a relação ES vv . Aplicando a LKT na malha na entrada: 1vvE = (1) LKT para a malha envolvendo ambos resistores: 021 =−−− SE vvvv ou 2vvS −= (2) 1R 2R Ev Sv 1v 0=1R 2R Ev Sv 1v 0= 1R 2R Ev Sv 1v 2v 1R 2R Ev Sv 1v 2v EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 8 6 LKC no nó a: 21 ii = , pois 0=ei . Ou: 2 2 1 1 R v R v = (3) Aplicando (1) e (2) em (3), temos: →−= 21 R v R v SE 1 2 R R v v E S −= ou ES vR Rv 12−= Portanto, esse circuito pode ser interpretado como um amplificador inversor de tensão, de ganho 12 RR− . Note a corrente de entrada nesse circuito (vista pelo circuito acoplado à entrada) não é nula, e vale 11 Rvi E= . 1R 2R2i 1i ei a1 v 2v 1R 2R2i 1i ei a1 v 2v 1R 2R2i 1i ei a1 v 2v EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 8 7 Portanto, um modelo para esse circuito inclui uma fonte de tensão dependente controlada por tensão, como mostrado a seguir: Sv 1i EvR R 1 2 1REv Sv 1i EvR R 1 2 1REv Note que podemos também escrever 12 1 2 iRR vRv ES −=−= , o que nos leva a um modelo com uma fonte de tensão dependente controlada por corrente: Sv 1i 12 iR1REv Sv 1i 12 iR1REv EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 8 8 Vamos agora tomar os terminais 3 e 4 (indicados no circuito) como sendo os terminais de saída: 1R 2 R Ev 1i 0=ei 2i Sv 34 1 2 1R 2 R Ev 1i 0=ei 2i Sv 34 1 2 Relembrando, temos 1 12 R vii E== . Portanto, sob o ponto de vista dos terminais 3 e 4, temos um resistor de valor 2R em paralelo com um gerador de corrente 12 Rvi E= : Sv 1i 1R vE 1REv 1 2 2R 3 4 Sv 1i 1R vE 1REv 1 2 2R 3 4 Portanto, podemos construir um modelo envolvendo na saída uma fonte de corrente dependente controlada por tensão (a de entrada, Ev ). EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 8 9 Podemos também obter um modelo envolvendo um gerador de corrente agora controlado por corrente, usando simplesmente 12 ii = : Sv 1i 1i1REv 1 2 2R 3 4 Sv 1i 1i1REv 1 2 2R 3 4 EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 9 1 Esta aula: Análise nodal geral, Análise de laço, Independência de equações. Em todos os tipos de análises apresentados até agora, buscamos inicialmente um conjunto de equações independentes envolvendo correntes de malhas ou tensões de nós. Em circuitos complexos (não – planares): temos que selecionar, dentre o conjunto de equações, um sub-conjunto de equações independentes. Laços Exemplo: 1R 2R 3R 6R 5R 7R 9R 4R 8R gv a b d c e f Laços (15) 1 – 3 – 7 – 8 – 6 – 4 1 – 3 – 4 – 5 1 – 3 – 7 – 9 2 – 3 – 5 – 6 1 – 2 – 8 – 9 1 – 2 – 6 – 4 … 1R 2R 3R 6R 5R 7R 9R 4R 8R gv a b d c e f Laços (15) 1 – 3 – 7 – 8 – 6 – 4 1 – 3 – 4 – 5 1 – 3 – 7 – 9 2 – 3 – 5 – 6 1 – 2 – 8 – 9 1 – 2 – 6 – 4 … EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 9 2 Destes 15 laços, estamos procurando o conjunto mínimo (suficiente) de laços que levam a equações independentes. Para determinar esse conjunto de laços, descreveremos duas técnicas baseadas nas Leis de Kirchhoff e em conceitos de grafos. Alguns conceitos importantes de grafos: Grafos: conjunto de nós e ramos Exemplo: a d c e f b 1 3 2 4 6 79 5 8 Ramo Nó a d c e f a d c e f b 1 3 2 4 6 79 5 8 Ramo Nó EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 9 3 Grafo conexo: existe um percurso composto de um ou mais ramos entre quaisquer dois nós do grafo. Grafo não-conexo Grafo não-conexo Grafo conexo Grafo não-conexo Grafo conexo Árvore: porção (ou sub-grafo) conexa de um grafo que: (i) contem todos os nós do grafo, (ii) mas não contem nenhum laço. 1 2 4 1 2 4 2 3 5 Grafo Árvore Árvore 76 1 2 4 1 2 4 2 3 5 Grafo Árvore Árvore 76 EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 9 4 Nesse exemplo: Todas as árvores tem 3 ramos (necessário para conectar 4 nós) Se incluirmos mais um ramo, criamos um laço. Co-árvore (correspondente a uma árvore): é o conjunto de ramos (e seus nós) que não estão em uma dada árvore. Enlace: dada uma árvore, enlace é qualquer ramo que não pertença àquela árvore. 3 65 Co-árvore 7 3 65 7 2 4 Árvore 1 3 65 Co-árvore 7 3 65 7 2 4 Árvore 1 2 4 Árvore 1 EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 9 5 Surge neste ponto a seguinte questão: Dado um circuito com B ramos e N nós, quantos ramos e nós uma árvore desse grafo terá? 1) Pela definição de árvore, qualquer árvore deverá conter N nós. 2) Quanto ao número de ramos: Considere que vamos construir uma árvore, partindo de um ramo e seus dois nós (1 ramo, 2 nós). A cada novo ramo adicionado, adicionamos também um nó. Portanto, ao final: Qualquer árvore: N nós e N – 1 ramos, Qualquer co-árvore: L = B – N + 1 enlaces. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 9 6 Análise Nodal Vamos agora apresentar um método para que nos permite escrever um conjunto de equações nodais (ou seja, baseada na LKC) independentes e que sejam suficientes. Procedimento: 1. Dado o circuito com B ramos e N nós, desenhamos o grafo correspondente e escolhemos uma das suas árvores, 2. Atribuímos a cada ramo da árvore uma tensão (são, portanto, N – 1 tensões), 3. Escrevemos a LKC para cada um dos N – 1 nós do grafo, em função das tensões dos ramos. Regras para a construção da árvore: • Fontes de tensão devem estar associadas a ramos da árvore (obrigatório). • As tensões que controlem fontes dependentes devem estar associadas a ramos da árvore (desejável). • Fontes de corrente deve ser associadas a enlaces, ou seja, os ramos dessas fontes não devem aparecem na árvore (obrigatório). • Correntes que controlem fontes dependentes dever estar associadas a enlace (desejável). EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 9 7 Consideremos o exemplo: yv4S2 S2 S1 A2 S1 xv2 V1 yv xv a b c d e yv4S2 S2 S1 A2 S1 xv2 V1 yv xv yv4S2 S2 S1 A2 S1 xv2 V1 yv xv a b c d e O grafo correspondente está mostrado abaixo, como a árvore selecionada, seguindo as regras de construção. yv xv 0v 1v a b c d e yv xv 0v 1v a b c d e EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 9 8 • Note que temos, à primeira vista, quatro tensões de ramo: xv , yv , 0v e 1v . • Com essas quatro tensões, podemos determinar a tensão de qualquer outro ramo (dos outros quatro restantes) – suficiência. • No entanto, como V10 =v e yvv 41 = , temos, na realidade, duas incógnitas ( xv e yv ). • Portanto, precisamos de duas equações independentes, obtidas a partir da aplicação da LKC em dois nós. • Como os ramos b–c e d–e contem fontes de tensão, não poderemos aplicar a LKC nos nós b, c, d e e. De fato, b–c e d–e tornam-se super-nós. Portanto, das 5 equações nodais possíveis, restarão apenas 3. Escolhemos o nó a e o super-nó d–e. yv xv 0v 1v a b c d e yv xv 0v 1v a b c d e EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 9 9 Voltando ao circuito original: para o nó a, temos yv4 S2 S2 S1 A2 S1 xv2 V1 yv xv 2v yv4 S2 S2 S1 A2 S1 xv2V1 yv xv 2v Aplicando a LKC no nó a temos: 022 2 =−+− vvx Note que a tensão 2v pode ser escrita como: yyx vvvv 42 −−= Portanto, 0)4(22 =−−−+− yyxx vvvv ou 253 =− yx vv EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 9 10 Para o super-nó, temos yv4S2 S2 S1 A2 S1 xv2 V1 yv xv 2v 3v yv4S2 S2 S1 A2 S1 xv2 V1 yv xv 2v 3v Aplicando a LKC no super-nó: 022 32 =−++ yx vvvv , em que yvv −=13 , resultando em 283 −=− yx vv Portanto, o sistema de equações −=− =− 283 253 yx yx vv vv leva à: V9/26=xv e V3/4=yv EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 9 11 O sistema de equações obtido é suficiente e independente: • Suficiente (ou seja, basta para calcularmos qualquer tensão e corrente no circuito): como vimos, conhecendo xv e yv , podemos determinar qualquer tensão no circuito. • Independente: cada vez que escrevemos uma equação pela aplicação da LKC, incluímos um novo ramo (isto é, um bipolo), o que torna essa equação independente das outras. Observações importantes: • Para um circuito com B ramos e N nós, haverá N – 1 equações nodais. • No entanto, cada fonte de tensão reduz em 1 o número de equações (pois elas levam à formação de super-nós). EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 9 12 Análise de laço Apresentaremos agora um método para determinar um conjunto de equações de laço (pela aplicação da LKT), que sejam independentes e suficientes. Procedimento: 1. Dado o circuito com B ramos e N nós, desenhamos o grafo correspondente e escolhemos uma das suas árvores (mais a respeito a seguir). 2. Tomamos individualmente cada ramo da co- árvore (ou seja, enlace) associada à arvore escolhida e adicionamos à arvore, fazendo aparecer um laço (B – N + 1 laços). 3. A cada laço formado, atribuímos uma corrente de laço. 4. Escrevemos a LKT para cada laço formado, em função das correntes de laço. Portanto, teremos B – N + 1 equações de laço. Regras para a construção da árvore: • Fontes de tensão devem estar associadas a ramos da árvore (obrigatório). • As tensões que controlem fontes dependentes devem estar associadas a ramos da árvore (desejável). EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 9 13 • Fontes de corrente deve ser associadas a enlaces, ou seja, os ramos dessas fontes não devem aparecem na árvore (obrigatório). • Correntes que controlem fontes dependentes dever estar associadas a enlace (desejável). Consideremos o exemplo: B = 7, N = 5. V7 Ω1 Ω2 Ω1 Ω2 Ω3A7 V7 Ω1 Ω2 Ω1 Ω2 Ω3A7 Árvore escolhida: EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 9 14 Note que temos três enlaces (B – N + 1 = 3) e, portanto, teremos três equações de laço. Quando adicionamos à arvore um dos enlaces, resulta nas correntes de enlace Ai , Bi e Ci : Ai Bi Ci Ai Ci Bi Ai Bi Ci Ai Ci Bi O próximo passo é escrever a LKT para cada um dos laços, em função das correntes de laços. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 9 15 As equações são: Ω3Ai a b c Ci Ω1 Ω2 Ω1 Ω2 V7 A7 Ω3Ai a b c Ci Ω1 Ω2 Ω1 Ω2 V7 A7 Note que pelo ramo a – b – c passa apenas a corrente de laço Ai , que deve valer 7 A, devido a presença do gerador de corrente. Portanto, 7=Ai V7 Ω1 Ω2 Ω1 Ω2 Ω3 A7 Ai Ci Bi V7 Ω1 Ω2 Ω1 Ω2 Ω3 A7 Ai Ci Bi 03)(2)(1 =+++− BCBAB iiiii EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 9 16 V7 Ω1 Ω2 Ω1 Ω2 Ω3 A7 Ai Ci Bi V7 Ω1 Ω2 Ω1 Ω2 Ω3 A7 Ai Ci Bi 0)(27 =−+− CCB iii Usando A7=Ai , resulta no sistema: =+ =+ 732 726 CB CB ii ii com solução A5,0=Bi e A2=Bi . EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 9 17 Da mesma forma que no caso da análise nodal, o sistema de equações obtido aqui é suficiente e independente: • Suficiente: o conhecimento das correntes de laço permite calcular a corrente em qualquer ramo do circuito. • Independente: cada laço é criado adicionando à árvore um enlace (isto é, um bipolo) que não foi usado anteriormente, o que faz com que as equações obtidas pela aplicação da LKT sejam independentes. Observações importantes: • Para um circuito com B ramos e N nós, haverá B – N + 1 equações de laço. • No entanto, cada fonte de corrente reduz em 1 o número de equações. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 10 1 Esta aula: Cortes e análise nodal. Corte: Consideremos um grafo conexo G: define-se corte como um conjunto C de ramos de G, tal que a remoção de todos os ramos pertencentes a C resulta na separação de G em duas partes. Exemplos: 1 4 2 5 6 7 9 3 8 Corte C1: 1, 3, 5, 6 e 7 Corte C1 Duas partes separadas Corte C2: 1, 2, 5 e 4 1 4 2 5 6 7 9 3 8 Corte C2 Duas partes separadas 1 4 2 5 6 7 9 3 8 1 4 2 5 6 7 9 3 8 Corte C1: 1, 3, 5, 6 e 7 Corte C1 Duas partes separadas Corte C2: 1, 2, 5 e 4 1 4 2 5 6 7 9 3 8 1 4 2 5 6 7 9 3 8 Corte C2 Duas partes separadas EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 10 2 Corte Fundamental: Consideremos um grafo G e uma de suas árvores T. Seja L o conjunto de enlaces correspondentes à árvore T. Cada ramo da árvore T, juntamente com um subconjunto de enlaces de L, define um corte fundamental C daquela árvore, ou seja, divide a árvore em duas partes separadas. Os enlaces de L que pertencem à C são aqueles que conectam as duas partes separadas. Portanto, cada ramo da árvore está associado a um corte fundamental. Vejamos um exemplo: considere a árvore G e uma das suas árvores T mostradas abaixo: 1 4 2 5 6 7 9 3 8 1 4 2 5 8 Grafo G Árvore T 1 4 2 5 6 7 9 3 8 1 4 2 5 8 1 4 2 5 8 Grafo G Árvore T EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 10 3 O corte fundamental associado ao Ramo 5 é mostrado abaixo 1 4 2 5 86 7 9 C1 O corte C1, associado ao ramo 5, é composto, portanto, por C1 = {5, 6, 7, 9} e divide T em duas partes separadas: 1 4 2 8 T1 T2 1 4 2 8 T1 T2 EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 10 4 Vamos agora aplicar esses conceitos na análise de circuitos. Consideremos o grafo associado a um circuito e também uma de suas árvores. Podemos aplicar a LKC nos cortes fundamentais dessa árvore: A soma algébrica das correntes que atravessam um corte é nula. Portanto, a aplicação da LKC em cada corte leva uma equação. Vejamos um exemplo: Seja o circuito mostrado abaixo: 0V2 Ω1 Ω2 Ω5,0 1A1 Ω1 0V2 Ω1 Ω2 Ω5,0 1A1 Ω1 EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 10 5 O grafo e uma de suas árvores são: Árvore: 1, 2 e 4 1 2 5 4 3 6 Grafo 1v 2v 4v Árvore: 1, 2 e 4 1 2 5 43 6 Grafo 1 2 5 4 3 6 Grafo 1v 2v 4v • Como esperado, a árvore tem três ramos, pois o grafo possui quatro nós. • Associamos a cada ramo da árvore um valor de tensão. • Note que a tensão de qualquer ramo pode ser escrita em função das tensões dos ramos da árvore. • Temos três incógnitas ( 21,vv e 4v ), o que requer três equações independentes. • De fato, essa árvore possui três cortes fundamentais (uma para cada ramo da árvore), o que nos leva às três equações procuradas. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 10 6 • No entanto, não nos serve a aplicação da LKC no corte associado ao ramo 1, pois temos ali uma fonte de tensão. • Porém, 1v não é uma incógnita ( V201 =v ), e precisamos, na verdade, de duas equações. Tomemos, então, o corte associado ao ramo 2: 1v 2v 4v Corte C1: 2, 3, 5 e 6 2 5 3 6 0V2 Ω1 Ω2 Ω5,0 1A1 Ω1 1v 2v 4v 220 v− 42 vv − 1v 2v 4v Corte C1: 2, 3, 5 e 6 2 5 3 6 0V2 Ω1 Ω2 Ω5,0 1A1 Ω1 1v 2v 4v 220 v− 42 vv − Escrevendo a LKC para as correntes que atravessam o corte, resulta em: 011 2 20 11 2422 =−−−−+ vvvv ou 215,2 42 =− vv . EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 10 7 Tomando o corte associado ao ramo 4, temos: 1v 2v 4v Corte C2: 3, 4 e 6 3 6 0V2 Ω1 Ω2 Ω5,0 1A1 Ω1 1v 2v 4v 42 vv − 4 1v 2v 4v Corte C2: 3, 4 e 6 3 6 0V2 Ω1 Ω2 Ω5,0 1A1 Ω1 1v 2v 4v 42 vv − 4 011 5,01 442 =++−− vvv ou 113 42 −=+− vv O sistema de equações obtido é: −=+− =− 113 215,2 42 42 vv vv que leva à V82 =v e V14 −=v EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 11 1 Esta aula: Associação de capacitores e indutores. Indutor: Tensão é proporcional à taxa de variação temporal da corrente: dttv L tdi dt tdiLtv )(1)()()( =→= )()(1)( 0 0 tidv L ti t t += ∫ ττ Características: • Variação da corrente que atravessa um indutor induz tensão entre seus terminais • Corrente constante: indutor é um curto- circuito • Indutor armazena energia no campo magnético, mesmo quando a corrente é constante • Variação abrupta de corrente não são permitidas (pois requer tensão infinita). • Um indutor ideal não dissipa energia, apenas armazena-a EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 11 2 Capacitor: corrente é proporcional à taxa de variação temporal da tensão: dt tdvCti )()( = { )(1)( 0 Acumulada Carga 0 tvdti C tv t t += ∫ Características: • Variação da tensão em um capacitor induz uma corrente entre seus terminais • Para tensão constante, capacitor é um curto- circuito. • Capacitor armazena energia no campo elétrico, mesmo quando a corrente é constante. • Variação abrupta de tensão não são permitidas (pois requer corrente infinita) • Um capacitor ideal não dissipa energia, apenas armazena-a. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 11 3 Associação em série de indutores Sv eqLSv 1v 2v Nv 1L 2L NL i i Sv eqLSv 1v 2v Nv 1L 2L NL i i Estamos interessados em determinar o valor da indutância equivalente eqL . Aplicando a LKT no circuito da esquerda, temos: ( ) .21 21 21 dt diLLL dt diL dt diL dt diL vvvv N N NS L L L ++= +++= +++= Aplicando a LKT agora para o circuito da esquerda, temos dt diLv eqS = . Portanto, para associação em série de indutores: Neq LLLL L++= 21 . EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 11 4 Associação em paralelo de indutores 1i 2i Ni Si v 1L 2L NL Si Si v eqL 1i 2i Ni Si v 1L 2L NL Si Si v eqL Vamos aplicar a LKC no nó (único) do circuito da esquerda: ∑∫∑ ∑ ∫∑ == == + = +== N n n t t N n n N n n t tn N n nS tidv L tidv L ii 1 0 1 1 0 1 )()(1 )()(1 0 0 ττ ττ Para o circuito da direita temos: )()(1 0 0 tidv L i S t teq S += ∫ ττ . Note que a LKC requer que no instante 0t a soma das correntes nos ramos seja igual à )( 0tiS . Portanto, resulta que, para associação em paralelo de indutores, Neq LLLL 1111 21 L++= EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 11 5 Associação em série de capacitores SvSv 1v 2v Nvi i 1C 2C NC eqCSvSv 1v 2v Nvi i 1C 2C NC eqC Para o circuito da esquerda, temos: ∑∫∑ ∑ ∫∑ == == + = +== N n n t t N n n N n n t tn N n nS tvdi C tvdi C vv 1 0 1 1 0 1 )()(1 )()(1 0 0 ττ ττ Para o circuito da direita, vale: )()(1 0 0 tvdi C v S t teq S += ∫ ττ Note que a LKT impõe que no instante 0t a soma das tensões nos capacitores seja igual à )( 0tvS . Portanto, resulta que, para associação em série de capacitores, Neq CCCC 1111 21 L++= . EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 11 6 Associação em paralelo de capacitores 1i 2i Ni Si v 1C 2C NC Si Si v eqC 1i 2i Ni Si v 1C 2C NC Si Si v eqC Finalmente temos: ( ) ,21 21 21 dt dvCCC dt dvC dt dvC dt dvC iiii N N NS L L L ++= +++= +++= e dt dvCi eqS = Portanto, para associação em paralelo de capacitores: Neq CCCC L++= 21 . EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 11 7 Consideremos agora um circuito que contenha os tres tipos de bipolos passivos que conhecemos, como mostrado abaixo. 1C 2C L R Sv Si Sv 1v 2v Ref Li 1C 2C L R Sv Si Sv 1v 2v Ref Li Todos os métodos de análise que estudamos até agora são válidos na análise desse circuito. Por exemplo, podemos aplicar a análise nodal, tomando os nós indicados na figura, obtendo as equações diferenciais-integrais: ( ) 0)(1 222101 0 =+−++−∫ dtdvCRvvtidvvL L t t S τ 0)( 1221 =−−+− SS iR vv dt vvdC EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 12 1 Esta aula: Dualidade, Linearidade e Principio da Superposição. Dualidade Dois circuitos são ditos duais se as equações de malhas que caracterizam um deles têm a mesma forma matemática que as equações nodais que caracterizam o outro. Dois circuitos são ditos duais exatos se cada equação de malha de um circuito é numericamente idêntica a uma das equações nodais do outro circuito. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 12 2 Consideremos o circuito, com um capacitor com tensão V10=Cv no instante 0=t . F8 Ω3 Ω5H4 V6cos2 t 2i1i V10=Cv F8 Ω3 Ω5H4 V6cos2 t 2i1i V10=Cv As equações de malha desse circuito são: t dt di dt dii 6cos2443 211 =−+ 105 8 144 0 22 21 −=+++− ∫t ididtdidtdi τ . Para obtermos as equações nodais que são exatas duais, substituímos as correntes de malha 1i e 2i por duas tensões nodais 1v e 2v (com relação a uma dada referência): t dt dv dt dvv6cos2443 211 =−+ (1) 105 8 144 0 22 21 −=+++− ∫t vdvdtdvdtdv τ (2) EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 12 3 Vamos construir o circuito cujas equações nodais são iguais a essas: Termo 13v : corresponde a um resistor de resistência Ω31 conectado entre o nó 1 e o nó de referência, Termo t6cos2 : indica a presença de uma fonte de corrente conectada entre o nó 1 e o nó de referência, Termo ∫t dv 0 28 1 τ : indutor de 8H conectado entre o nó 2 e o nó de referência. Termo 15v : resistor de resistência Ω51 conectado entre o nó 2 e o nó de referência, Termo 10− : indica uma fonte de corrente de 10 A saindo do nó 2, que representa a corrente do indutor no instante 0=t . Termos comuns às duas equações dt vvd dt dv dt dv )(444 2121 −=− : Correspondem a um capacitor de 4F conectado entre os nós 1 e 2. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 12 4 Portanto, o circuito dual exato é: S3 S5 H8 F4 1v 2v Ref Li S3 S5 H8 F4 1v 2v Ref Li Uma outra forma de construir o circuito dual é como segue: Associar a cada malha do circuito um nó (exceto o de referência) do circuito dual, Desenhar um nó de referência, Elementos que são comuns a duas malhas devem ser conectados entre os dois nós correspondentes, Elementos que aparecem em apenas uma das malhas devem aparecer no circuito dual conectados entre o nó correspondente e o nó de referência. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 12 5 O circuito obtido pelo procedimento é: F8Ω3 Ω5 H4V6cos2 t F4 S3 A6cos2 t H8 S5 Referência F8Ω3 Ω5 H4V6cos2 t F4 S3 A6cos2 t H8 S5 Referência Note que a dualidade é definida com base em malhas e nós. Portanto, circuitos não planares não possuem duais. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 12 6 Dualidade – Resumo tensão corrente carga fluxo resistência condutância indutância capacitância curto-circuito circuito aberto série paralelo nó (exceto o de referência) malha nó de referência malha externa lei de Kirchhoff das tensões lei de Kirchhoff das correntes EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 12 7 Linearidade e Superposição Circuitos contendo fontes independentes, fontes lineares dependentes, resistores linear, capacitores linear e indutores linear são ditos lineares. Tensões iniciais de capacitores e correntes iniciais de indutores devem ser tratadas como fontes independentes sob o ponto de vista do Princípio da Superposição. Ou seja: na aplicação do Princípio de Superposição, cada valor inicial e tensão ou corrente deve ser colocado inativo por vez. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 12 8 EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 13 1 Esta aula: Circuitos RL sem fontes independentes. Consideremos inicialmente um circuito contendo apenas um resistor e um indutor, sem fontes independentes – circuito autônomo. O indutor armazena energia: corrente inicial no indutor, ou seja, no instante 0=t , é 0I . RL )(ti Lv Rv 0I RL )(ti Lv Rv 0I Temos, então, 0=+ RL vv , ou 00 =+→=+ i L R dt diRi dt diL . ∫∫ −=→−= tti I dt L R i didt L R i di 0 )( 0 EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 13 2 t L RIit L Ri t t I −=−→−= 0 0 lnlnln 0 . Finalmente: −= t L RIti exp)( 0 . Uma forma alternativa para obter )(ti é por meio da integral indefinida: Kt L Ridt L R i di +−=→−= ∫∫ ln . A constante K é escolhida para garantir que a solução acima satisfaça a condição inicial para a corrente: 00)( Iti t == . Ou seja: KIi == 0ln)0(ln . Portanto: →+−= 0lnln ItL Ri −= t L RIti exp)( 0 EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 13 3 Um terceiro método para encontrar a função )(ti que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial é baseado na suposição da forma da solução, testando-a a justando-a por substituição. Circuitos com capacitores e indutores: correntes têm a forma de funções exponenciais (ou soma de exponenciais). Portanto, suporemos que ( )tsAti 1exp)( = . Substituindo em 0=+ i L R dt di , temos: ( ) ( ) 0expexp 111 =+ tsAL RtsAs , ou ( ) 0exp 11 = + tsA L Rs Há dois coeficientes a serem determinados: 1s e A. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 13 4 Essa equação é satisfeita por uma das três condições: 1. 0=A : Não é uma solução, pois leva à 0)( =ti para todo t, 2. −∞=1s : Também não é uma solução, pois leva à 0)( =ti para todo t, 3. LRs −=1 : É a solução escolhida. Portanto, −= t L RAti exp)( . Resta determinar o valor de A: pela aplicação da condição inicial, temos: At L RAIti t t = −== == 0 00 exp)( Portanto, como esperado, 0IA = e, finalmente, −= t L RIti exp)( 0 EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 13 5 Propriedades da resposta exponencial A função −= t L RIti exp)( 0 , para dois valores de razão LR , é mostrada na figura abaixo: t 0 )( I ti ( ) 1L R ( ) 2L R 1t 2t ( ) ( ) 21 L R L R >1 t 0 )( I ti ( ) 1L R ( ) 2L R 1t 2t ( ) ( ) 21 L R L R >1 Observa-se que, quanto menor for a razão LR , mais “larga” será a curva. Uma forma mais precisa de definir essa largura da curva é: Tempo necessário, denotado por τ , para a corrente cair a zero se a taxa de decréscimo observada em 0=t fosse mantida. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 13 6 t 0 )( I ti τ baty += t 0 )( I ti τ baty += A taxa de decréscimo observada em 0=t é a derivada de )(ti em 0=t : L Rt L R L R I ti dt d tt −= −−= == 000 exp)( . O segmento de reta indicado na figura acima tem expressão 1+−= t L Ry . Portanto: R L−=τ segundos Ou seja, quanto maior for L ou menor for R, mais lentamente a intensidade da corrente circulando cairá. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 13 7 Um exemplo de como o circuito analisado foi obtido: RL0I A B A B RL0I A B A B Ambas chaves trocam de posição no instante 0=t . • A energia armazenada no indutor com a chave na posição A é 2 02 1 LIWL = . Se L cresce, maior será a energia armazenada e, portanto, maior será o tempo necessário dissipar a potência no resistor na forma de calor, com a chave na posição B. • A potência dissipada no resistor na forma de calor é RipR 2= . Por outro lado, se R diminui, menor será potência dissipada pelo resistor. EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 14 1 Esta aula: Circuitos RC sem fontes independentes. Circuitos singulares. Vamos considerar
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