Gabarito Lista 1

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Respostas dos Exercícios da 3a Lista de Matemática II
Parte I.
1) 288
2) a) 10 b) 1 c) 21
2
d)
1
2
(e2 − 3) e) 5
2
f) ln 27
16
3) 47, 5
4)
166
27
5) a)
∫ 1
0
∫ 1
y
f(x, y)dxdy
b)
∫ 1
0
∫ √y
y
f(x, y)dxdy
c)
∫ 1
0
∫ √y
−√y
f(x, y)dxdy +
∫ √2
1
∫ √2+y2
−
√
2−y2
f(x, y)dxdy
6) a)
256
21
b)
1
2
e16 − 17
2
d)
144
20
e)
1
2
(1− e−1)
8)
1
12
9)
7
4
10)
∫ 1
0
∫ 1
0
e−x−ydxdy = 0, 3996
Parte II.
1) a) 16 b) −α c) 0
2) a) Paralelogramo de vértices (0, 0), (6, 3), (12, 1) e (6,−2)
b) A região limitada pela reta y = 1, pelo eixo y e por y =
√
x
3) a)
8
5
ln 8 b) 3
2
sin 1 c) pi
2
(2 ln 2− 1) d) 97, 2
Parte III.
1) (a)
n∑
i=0
m∑
j=0
p∑
k=0
f(xijk, yijk, zijk)∆xi∆yj∆zk
(b)
∫∫∫
R
f(x, y, z)dxdydz = lim
n,m,k→+∞
n∑
i=0
m∑
j=0
p∑
k=0
f(xijk, yijk, zijk)∆xi∆yj∆zk
2
2) a) 1 b) 1 c)
pi3
2
(1− cos 1)
3) a)
∫ 1
0
∫ 1−x2
0
∫ 1−z
x2
dydzdx b)
∫ 1
0
∫ √1−z
−√1−z
∫ 1−z
x2
dydxdz
4)
∫ 1
0
∫ 1
y
∫ y
0
fdzdxdy =
∫ 1
0
∫ x
0
∫ y
0
fdzdydx
5) Volume=
∫ 1
0
∫ 1−x
2
x
2
∫ 2−x−2y
0
dzdydx =
1
3
6) a) 1 b)
1
3
(e3 − 1) c) −1
3
Parte IV.
1) 12
2) a)
3212500pi
7
b)
pi
2
(5e3 − 2)
3)
4
3
piabc
4) 384pi
5)
12pi
5
6) Basta mostrar que lim
R→+∞
∫ 2pi
0
∫ pi
0
∫ R
0
ρ2e−ρ
2
ρ2 sinϕdϕdρdθ = 2pi.