Aula 06 - Análise de Desempenho do Grafico de Controle

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Análise de Desempenho do Gráfico X-Barra / R
Prof. Dr. Rafael H. P. Lima
Cálculo dos Limites de Controle
 Na aula anterior calculamos os limites de controle para o 
caso do fornecedor de sistemas de direção:
X-Barra R
LSC 625,564 1,5
LM 625,155 0,71
LIC 624,746 0
Observação: a média está um pouco acima do valor alvo.
Cálculo dos Limites de Controle
Gráfico X-Barra Gráfico R
Note que o processo esteve aparentemente sob controle durante a 
fase de cálculo dos limites de controle.
Fase de Uso do Gráfico
 Os limites de controle estão fixados
 Observe o comportamento do processo caso ele mantenha 
um desvio padrão de 0,305 com média 625,15 durante as 
20 primeiras amostras
Gráfico X-Barra Gráfico R
Fase de Uso do Gráfico
 Se o processo se mantiver sob controle, a probabilidade 
de erro do Tipo 1 será α = 0,0027.
 Assim, o Comprimento Médio da Sequência (CMS) será:
 Em outras palavras, ocorrerá um erro do Tipo 1 a cada 
370 amostras retiradas do processo sob controle
370
0027,0
11


CMS
Fase de Uso do Gráfico
 Suponha que as 20 amostras seguinte foram retiradas do 
processo fora de controle, com desvio na média igual a 1 
desvio padrão
A partir daqui o processo está 
fora de controle
Fase de Uso do Gráfico
 Apesar de os 20 pontos terem sido retirados de um 
processo fora de controle, apenas 3 foram indicados 
como causas especiais
 Quando o processo está fora de controle, estamos 
interessados em calcular a probabilidade β de 
cometermos um erro do Tipo 2
 O valor de β indica o desempenho do gráfico de controle 
e resulta em uma Curva Característica de Operação
Análise de Desempenho
 Suponha que a média do processo tenha sofrido um 
desvio de magnitude k, expresso da seguinte maneira:
 Como não sabemos o valor exato das médias, temos que 
usar estimativas:
 k 01
 ˆˆˆ 01 k
Análise de Desempenho
 Graficamente, temos a seguinte situação:
nLLSC   0ˆ
nLLIC   0ˆ
0ˆLM
 k 01 ˆˆ
ZLSC
ZLIC
O valor de β será a área entre ZLIC e ZLSC, que corresponde à 
probabilidade de não detectar a causa especial quando ela está 
ocorrendo com magnitude k e usando limites de controle com L 
desvios padrão.
Análise de Desempenho
 O valor de β será obtido da seguinte forma:
 Transformando a expressão acima em termos de φ(z) que 
representa a distribuição acumulada normal padrão:
  kLSCxLIC  01|Pr
)()( nkLnkL 
Análise de Desempenho
 Exemplo: calcule a probabilidade de não detectarmos 
uma causa especial de magnitude k = 1σ na primeira 
amostra, considerando limites de controle de L = 3 
desvios padrão e amostras n = 5. E se utilizássemos n = 6, 
teríamos um melhor desempenho?
7775,0)236,5()764,0(
)513()513(




O risco de não detectarmos na primeira amostra é 77,75%
Análise de Desempenho
 Podemos calcular o Comprimento Médio da Sequência da 
seguinte maneira:
 Em média, usando amostras de tamanho n = 5 e limites 
de L = 3, precisaremos de 4,49 amostras para detectar 
uma variação de magnitude k = 1σ
49,4
7775,01
1
1
1




 CMS
Análise de Desempenho
 Curva Característica da Operação
Análise de Desempenho
 O gráfico de R busca avaliar as variações na variância do 
processo ao longo do tempo
 Suponha que uma mudança no desvio padrão tenha 
ocorrido com magnitude λ
0101
0
1 
 
Análise de Desempenho
 Graficamente temos a seguinte situação:
RLRLSC ˆ
RLM 
01 RR 
ZLSC
ZLIC
RLRLIC ˆ
Análise de Desempenho
 Note que:
0
1
0
2
2
1
0
1 .
R
R
R
d
d
R



2
03
0303
ˆˆˆˆ
10 d
Rd
dd RR
 
Análise de Desempenho
 O valor de β para amostras de tamanho n ≤ 6 é:
 Para amostras com tamanho n > 6:














 L
d
d
1
1
3
2
























 
L
d
dL
d
d
1
1
1
1
3
2
3
2
Análise de Desempenho
 Exemplo: para amostras de tamanho n = 5, qual é a 
probabilidade de não detectarmos uma variação no 
desvio padrão de magnitude λ = 2 ?
 Há uma probabilidade de 56,12% de não detectarmos na 
primeira amostra uma causa especial que dobre o desvio 
padrão do processo.
5612,0)1539,0(
2
3
1
2
1
864,0
326,2
















Análise de Desempenho
 Curva Característica da Operação