Lista II Exercícios Probabilidade e Estatística

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FACULDADE BRASILEIRA 
Credenciada pela Portaria/MEC No 259 de 11.02.1999 
 
Cursos: Engenharia Civil
Disciplina: Probabilidade e Estatística
Assunto: 
Turmas: CIV131MA / MEC 131MA / CIV 132NA / MEC 132NA
 
 Lista
1) Qual a probabilidade de, num baralho com 52 cartas, ao se retirarem 4, 
cartas, ao acaso, sem reposição, se obter uma quadra?
OBS. Uma Quadra é o conjunto de quatro cartas de mesmo número
uma de cada naipe. 
2) Duas bolas vão ser retiradas de uma urna que contém 2 bolas brancas, 3
pretas e 4 verdes. Qual a probabilidade de que ambas
a) Sejam verdes? 
b) Sejam da mesma cor? 
 
3) Lançam-se 3 moedas, verifique se são independentes os eventos:
A: Saída de cara na 1ª moeda;
B: Saída de coroa na 2ª e 3ª moedas.
 
4) Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna contém 4 
bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe
também ao acaso, uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca? 
 
5) Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que contém 6 vermelhas, 4 
brancas e 5 azuis. Determinar a probabilidade dela: 
a) ser vermelha; 
b) ser branca; 
c) ser azul; 
d) não ser vermelha; 
e) ser vermelha ou branca;
f) de que 3 bolas sejam retiradas na ordem vermelha, branca e azul, quando 
cada bola for recolocada; 
g) o mesmo, porém quando as bolas não forem recolocadas.
 
259 de 11.02.1999 – D.O.U. de 17.02.1999 
 
 
: Engenharia Civil e Engenharia Mecânica - Período: 2014/1
Probabilidade e Estatística - Prof.ª: Valéria Ribeiro
Assunto: Probabilidade e Variáveis aleatórias 
CIV131MA / MEC 131MA / CIV 132NA / MEC 132NA
Lista II de Exercícios – 1° Bimestre 
 
1) Qual a probabilidade de, num baralho com 52 cartas, ao se retirarem 4, 
cartas, ao acaso, sem reposição, se obter uma quadra? 
OBS. Uma Quadra é o conjunto de quatro cartas de mesmo número
2) Duas bolas vão ser retiradas de uma urna que contém 2 bolas brancas, 3
pretas e 4 verdes. Qual a probabilidade de que ambas 
 
verifique se são independentes os eventos:
A: Saída de cara na 1ª moeda; 
B: Saída de coroa na 2ª e 3ª moedas. 
4) Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna contém 4 
bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela r
também ao acaso, uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca? 
5) Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que contém 6 vermelhas, 4 
brancas e 5 azuis. Determinar a probabilidade dela: 
e) ser vermelha ou branca; 
f) de que 3 bolas sejam retiradas na ordem vermelha, branca e azul, quando 
 
g) o mesmo, porém quando as bolas não forem recolocadas. 
 
Período: 2014/1 
Prof.ª: Valéria Ribeiro 
CIV131MA / MEC 131MA / CIV 132NA / MEC 132NA 
1) Qual a probabilidade de, num baralho com 52 cartas, ao se retirarem 4, 
OBS. Uma Quadra é o conjunto de quatro cartas de mesmo número (ou letra), 
2) Duas bolas vão ser retiradas de uma urna que contém 2 bolas brancas, 3 
verifique se são independentes os eventos: 
4) Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna contém 4 
se, ao acaso, uma urna e dela retira-se, 
também ao acaso, uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca? 
5) Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que contém 6 vermelhas, 4 
f) de que 3 bolas sejam retiradas na ordem vermelha, branca e azul, quando 
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Credenciada pela Portaria/MEC No 259 de 11.02.1999 
 
6) Um dado honesto é lançado duas vezes. 
a) Determine a probabilidade de ocorrer um 4, 5 ou 6 no primeiro lance e um 1, 2 
3 ou 4 no segundo lance. 
b) Agora, determine a possibilidade de aparecer um 4, pelo menos uma vez, em 
dois lances. 
 
7) Uma bolsa contém 4 bolas brancas e 2 pretas; outra contém 3 brancas e 
pretas. Se for retirada uma bola de cada bolsa, determine a probabilidade de: 
a) ambas serem brancas: 
b) ambas serem pretas: 
c) uma ser branca e a outra preta. 
 
8) Determinar a probabilidade de haver meninos e meninas em famílias com 3 
crianças, admitindo-se as mesmas possibilidades para ambos. 
 
9) Dado o seguinte conjunto de dados: 
 
Bacia 
Hidrográfica 
A 
Cheia / Seca C 
Afluentes 5 
 
a) Qual a probabilidade de se selecionar uma 
condições de cheia ou tenha 8 afluentes? 
b) Qual a probabilidade de uma vez selecionada uma bacia que se apresente 
em condições de cheia, ela tenha 8 afluentes? 
 
10) Seja um lote com 20 peças, sendo 5 defeituosas. 
peças do lote (uma amostra aleatória de quatro peças). Qual é a probabilidade 
de se obter, exatamente, duas defeituosas na amostra? 
 
11) Uma rede de computadores é composta por um servidor e cinco clientes (A, 
B, C, D e E). Registros anteriores indicam que do total de pedidos de consulta, 
259 de 11.02.1999 – D.O.U. de 17.02.1999 
6) Um dado honesto é lançado duas vezes. 
probabilidade de ocorrer um 4, 5 ou 6 no primeiro lance e um 1, 2 
3 ou 4 no segundo lance. 
b) Agora, determine a possibilidade de aparecer um 4, pelo menos uma vez, em 
7) Uma bolsa contém 4 bolas brancas e 2 pretas; outra contém 3 brancas e 
pretas. Se for retirada uma bola de cada bolsa, determine a probabilidade de: 
a) ambas serem brancas: 
c) uma ser branca e a outra preta. 
8) Determinar a probabilidade de haver meninos e meninas em famílias com 3 
se as mesmas possibilidades para ambos. 
9) Dado o seguinte conjunto de dados: 
B C D E F G H I 
C S C S C S S S 
6 2 7 6 8 8 9 11 
a) Qual a probabilidade de se selecionar uma bacia que se apresente em 
condições de cheia ou tenha 8 afluentes? 
b) Qual a probabilidade de uma vez selecionada uma bacia que se apresente 
em condições de cheia, ela tenha 8 afluentes? 
10) Seja um lote com 20 peças, sendo 5 defeituosas. Escolha, aleatoriamente, 4 
peças do lote (uma amostra aleatória de quatro peças). Qual é a probabilidade 
de se obter, exatamente, duas defeituosas na amostra? 
11) Uma rede de computadores é composta por um servidor e cinco clientes (A, 
tros anteriores indicam que do total de pedidos de consulta, 
probabilidade de ocorrer um 4, 5 ou 6 no primeiro lance e um 1, 2 
b) Agora, determine a possibilidade de aparecer um 4, pelo menos uma vez, em 
7) Uma bolsa contém 4 bolas brancas e 2 pretas; outra contém 3 brancas e 5 
pretas. Se for retirada uma bola de cada bolsa, determine a probabilidade de: 
8) Determinar a probabilidade de haver meninos e meninas em famílias com 3 
J 
C 
4 
bacia que se apresente em 
b) Qual a probabilidade de uma vez selecionada uma bacia que se apresente 
Escolha, aleatoriamente, 4 
peças do lote (uma amostra aleatória de quatro peças). Qual é a probabilidade 
11) Uma rede de computadores é composta por um servidor e cinco clientes (A, 
tros anteriores indicam que do total de pedidos de consulta, 
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Credenciada pela Portaria/MEC No 259 de 11.02.1999 
 
cerca de 10% vem do cliente A, 15% do cliente B, 15% 
de C, 40% de D e 20% de E. Se o pedido não for feito de forma adequada, a 
consulta apresentará erro.
Usualmente, ocorrem os seguintes percentu
cliente A, 2% do cliente B, 0.5% de C, 2% de D e 8% de E.
a. Qual a probabilidade do sistema apresentar erro?
b. Qual e a probabilidade de uma consulta ter originado do cliente E, sabendo
que esta apresentou erro?
 
12) Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas; duas peças são retiradas 
aleatoriamente. Calcule: 
A probabilidade de ambas serem defeituosas
A probabilidade de ambas não serem defeituosas
A probabilidade de ao menos uma ser defeituosa. 
 
13) Uma caixa tem 3 moe
terceira viciada, de modo que a probabilidade de ocorrer cara nesta moeda é 
1/5. Uma moeda é selecionada ao acaso da caixa. Saiu cara.Qual a 
probabilidade de que a terceira moeda tenha sido selecionada?
 
14) A caixa A tem 9 cartas numeradas de 1 a 9. A caixa B tem 5 cartas 
numeradas de 1 a 5. Uma caixa é escolhida ao acaso e uma carta é retirada. Se 
o número é par, qual a probabilidade de que a carta sorteada tenha vindo de A?
 
15) Dois processadores tipos A e B são colocados em teste por 50 mil horas. A 
probabilidade de que um erro de cálculo aconteça em um processador do tipo A 
é de 1/30, no tipo B, de 1/80 e em ambos, 1/1000. Qual a probabilidade de que :
a) Pelo menos um dos processad
b) Nenhum processador tenha apresentado erro?
c) Apenas o processador A tenha apresentado erro?
 
16) De um total de 500 estudantes da área de exatas, 200 
Diferencial e 180 estudam Álgebra Linear. Esses dados incluem 130 estudantes 
que estudam ambas as disciplinas. Qual é a probabilidade de que um estudante 
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cerca de 10% vem do cliente A, 15% do cliente B, 15% 
de C, 40% de D e 20% de E. Se o pedido não for feito de forma adequada, a 
consulta apresentará erro. 
Usualmente, ocorrem os seguintes percentuais de pedidos inadequados: 1% do 
cliente A, 2% do cliente B, 0.5% de C, 2% de D e 8% de E. 
a. Qual a probabilidade do sistema apresentar erro? 
b. Qual e a probabilidade de uma consulta ter originado do cliente E, sabendo
que esta apresentou erro? 
Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas; duas peças são retiradas 
A probabilidade de ambas serem defeituosas 
A probabilidade de ambas não serem defeituosas 
A probabilidade de ao menos uma ser defeituosa. 
13) Uma caixa tem 3 moedas: uma não viciada, outra com duas caras e uma 
terceira viciada, de modo que a probabilidade de ocorrer cara nesta moeda é 
1/5. Uma moeda é selecionada ao acaso da caixa. Saiu cara. Qual a 
probabilidade de que a terceira moeda tenha sido selecionada? 
caixa A tem 9 cartas numeradas de 1 a 9. A caixa B tem 5 cartas 
numeradas de 1 a 5. Uma caixa é escolhida ao acaso e uma carta é retirada. Se 
o número é par, qual a probabilidade de que a carta sorteada tenha vindo de A?
processadores tipos A e B são colocados em teste por 50 mil horas. A 
probabilidade de que um erro de cálculo aconteça em um processador do tipo A 
é de 1/30, no tipo B, de 1/80 e em ambos, 1/1000. Qual a probabilidade de que :
a) Pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro? 
b) Nenhum processador tenha apresentado erro? 
c) Apenas o processador A tenha apresentado erro? 
16) De um total de 500 estudantes da área de exatas, 200 estudam Cálculo 
Diferencial e 180 estudam Álgebra Linear. Esses dados incluem 130 estudantes 
que estudam ambas as disciplinas. Qual é a probabilidade de que um estudante 
de C, 40% de D e 20% de E. Se o pedido não for feito de forma adequada, a 
ais de pedidos inadequados: 1% do 
b. Qual e a probabilidade de uma consulta ter originado do cliente E, sabendo-se 
Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas; duas peças são retiradas 
das: uma não viciada, outra com duas caras e uma 
terceira viciada, de modo que a probabilidade de ocorrer cara nesta moeda é 
1/5. Uma moeda é selecionada ao acaso da caixa. Saiu cara. Qual a 
caixa A tem 9 cartas numeradas de 1 a 9. A caixa B tem 5 cartas 
numeradas de 1 a 5. Uma caixa é escolhida ao acaso e uma carta é retirada. Se 
o número é par, qual a probabilidade de que a carta sorteada tenha vindo de A? 
processadores tipos A e B são colocados em teste por 50 mil horas. A 
probabilidade de que um erro de cálculo aconteça em um processador do tipo A 
é de 1/30, no tipo B, de 1/80 e em ambos, 1/1000. Qual a probabilidade de que : 
estudam Cálculo 
Diferencial e 180 estudam Álgebra Linear. Esses dados incluem 130 estudantes 
que estudam ambas as disciplinas. Qual é a probabilidade de que um estudante 
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escolhido aleatoriamente esteja estudando Cálculo 
Diferencial ou Álgebra Linear?
 
(A)0,26 
(B)0,50 
(C)0,62 
(D)0,76 
 
17) Suponha que um número seja sorteado de 1 a 10, inteiros positivos. Seja X 
o número de divisores do número sorteado. Calcular o 
divisores do número sorteado. 
 
18) Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas.Retire 
três bolas, sem reposição, e defina a variável aleatória X
igual ao número de bolas pretas. Obtenha a função de distribuição de 
probabilidade de X. 
 
19) Considere novamente a urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. 
Seja X a variável aleatória igual ao número de bolas pretas, depois de três 
extrações sem reposição. Encontre a distribuição de 3X e X
 
20) Num Jogo de dados, Claudio
face 1 em um dos dados apenas, 
dois dados apenas, Cláudio ganha R$ 50,00 e se sair face 1 nos três dados , 
Claudio ganha R$80,00. Calcule o 
 
 
 
 
 
 
 
 
259 de 11.02.1999 – D.O.U. de 17.02.1999 
escolhido aleatoriamente esteja estudando Cálculo 
Diferencial ou Álgebra Linear? 
17) Suponha que um número seja sorteado de 1 a 10, inteiros positivos. Seja X 
o número de divisores do número sorteado. Calcular o número médio de 
divisores do número sorteado. 
18) Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas.Retire 
três bolas, sem reposição, e defina a variável aleatória X 
igual ao número de bolas pretas. Obtenha a função de distribuição de 
19) Considere novamente a urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. 
Seja X a variável aleatória igual ao número de bolas pretas, depois de três 
eposição. Encontre a distribuição de 3X e X2. 
Claudio paga R$20,00 a Lúcio e lança 3 dados. Se sair 
face 1 em um dos dados apenas, Claudio ganha R$ 20,00. Se sair face 1 em 
dois dados apenas, Cláudio ganha R$ 50,00 e se sair face 1 nos três dados , 
ganha R$80,00. Calcule o lucro médio de Claudio em uma jogada.
 
17) Suponha que um número seja sorteado de 1 a 10, inteiros positivos. Seja X 
número médio de 
18) Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas.Retire 
igual ao número de bolas pretas. Obtenha a função de distribuição de 
19) Considere novamente a urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. 
Seja X a variável aleatória igual ao número de bolas pretas, depois de três 
paga R$20,00 a Lúcio e lança 3 dados. Se sair 
ganha R$ 20,00. Se sair face 1 em 
dois dados apenas, Cláudio ganha R$ 50,00 e se sair face 1 nos três dados , 
em uma jogada. 
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Gabarito: 
1) Resp. P(A) = 0,000048 = 0,0048%
2) Resp. a) 16,67% 
3) 
 
 
 
 
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Resp. P(A) = 0,000048 = 0,0048% 
 
b)27,78% 
 
 
 
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4) P(B) = P(I ∩ B) + P(II 
19/30= 63,33% 
5) Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que contém 6 vermelhas, 4 
brancas e 5 azuis. Determinar a probabilidade dela: 
a) ser vermelha: P(V) = 6/15 = 2/5 
b) ser branca: P(B) = 4/15 
c) ser azul: P(A) = 5/15 = 1/3 
d) não ser vermelha: P=(ÑV) = 9/15 = 3/5 
e) ser vermelha ou branca: 
f) de que 3 bolas sejam retiradas na ordem vermelha, branca e azul, quando 
cada bola for recolocada: 
8/225 (ev. indep.) 
g) o mesmo, porém quando as bolas não forem recolocadas: 
P(V∩B∩A) = P(V).P(B|V).P(A|BV) = (6/15).(4/14).(5/13)= 4/91 (ev. dep.) 
6) Um dado honesto é lançado duas vezes. 
a) Determine a probabilidade de ocorrer um 4, 5 ou 6 no
1, 2 3 ou 4 no segundo lance. 
P(1,2,3,4|4,5,6) = P(1,2,3,4).P(4,5,6) = (4/6).(3/6)=(2/3).(1/2)=(2/6)= (1/3) = 
33,33% 
b) Agora, determine a possibilidade de aparecer um 4, pelo menos uma vez, em 
dois lances. 
A = Sair 4 no 1º lance;
A<B não são mutuamente exclusivos => ou A, ou B, ou ambos. 
P(AUB) = P(A) + P(B) 
Porém, A + B são independentes= > então P(A
P(AUB) = P(A) + P(B) 
 
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B) + P(II ∩ B) = (½).(3/5) + (1/2).(4/6) = 
Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que contém 6 vermelhas, 4 
brancas e 5 azuis. Determinar a probabilidade dela: 
P(V) = 6/15 = 2/5 
P(B) = 4/15 
P(A) = 5/15 = 1/3 
P=(ÑV) = 9/15 = 3/5 
e) ser vermelha ou branca: P(V ou B) = 10/15 
f) de que 3 bolas sejam retiradas na ordem vermelha, branca e azul, quando 
cada bola for recolocada: P(V∩B∩A) = P(V).P(B).P(A) = (2/5).(4/15).
g) o mesmo, porém quando as bolas não forem recolocadas: 
A) = P(V).P(B|V).P(A|BV) = (6/15).(4/14).(5/13)= 4/91 (ev. dep.) 
Um dado honesto é lançado duas vezes. 
a) Determine a probabilidade de ocorrer um 4, 5 ou 6 no primeiro lance e um 
1, 2 3 ou 4 no segundo lance. 
P(1,2,3,4|4,5,6) = P(1,2,3,4).P(4,5,6) = (4/6).(3/6)=(2/3).(1/2)=(2/6)= (1/3) = 
b) Agora, determine a possibilidade de aparecer um 4, pelo menos uma vez, em 
lance; B = Sair 4 no 2º lance 
A<B não são mutuamente exclusivos => ou A, ou B, ou ambos. 
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 
Porém, A + B são independentes = > então P(A∩B) = P(A).P(B) 
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A).P(B) = (1/6) + (1/6) – (1/36) = (11/36) 
 
Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que contém 6 vermelhas, 4 
f) de que 3 bolas sejam retiradas na ordem vermelha, branca e azul, quando 
A) = P(V).P(B).P(A) = (2/5).(4/15).(1/3)= 
A) = P(V).P(B|V).P(A|BV) = (6/15).(4/14).(5/13)= 4/91 (ev. dep.) 
primeiro lance e um 
P(1,2,3,4|4,5,6) = P(1,2,3,4).P(4,5,6) = (4/6).(3/6)=(2/3).(1/2)=(2/6)= (1/3) = 
b) Agora, determine a possibilidade de aparecer um 4, pelo menos uma vez, em 
A<B não são mutuamente exclusivos => ou A, ou B, ou ambos. 
B) = P(A).P(B) 
(1/36) = (11/36) 
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Credenciada pela Portaria/MEC No 259 de 11.02.1999 
 
7) a) ambas serem branc
P(B1,B2) = P(B1∩B2) = P(B1).P(B2) ´= (4/6).(3/8) = (1/4) (indep.) 
b) ambas serem pretas: 
P(P1,P2) = P(P1).P(P2) = (2/6).(5/8) = (5/24) (indep.) 
c) uma ser branca e a outra preta. 
P(B1,P2) + P(P1,B2) = P(B1).P(P2) + P(P1).P(B2) = (13/24)
 
8) Seja O = menino, A = menina 
As probabilidades seriam: 
P(OOO) = P(O).P(O).P(O) = 1/8 
P(AAA) = P(A).P(A).P(A) = 1/8 
P(2O 1A) = P(OOA) + P(OAO) + P(AOO) = 3/8
P(1O 2A) = P(OAA) + P(AAO) + P(AOA) = 3/8 
P(Probabilidade de Haver meninas e 
 
9) a) Qual a probabilidade de se selecionar uma bacia que se apresente em 
condições de cheia ou tenha 8 afluentes? 
P(AUB) = P (A) + P(B) 
P(AUB) = (5/10) + (2/10) 
b) Qual a probabilidade de uma vez selecionada uma bacia que se apresente 
em condições de cheia, ela tenha 8 afluentes? 
P(A∩B) = P(A).P(B|A) = (5/10). (1/5) = (1/10) 
 
10) 
 
11) a) Qual a probabilidade do sistema apresentar erro? 
Seja R o evento ocorrer erro
259 de 11.02.1999 – D.O.U. de 17.02.1999 
a) ambas serem brancas: 
B2) = P(B1).P(B2) ´= (4/6).(3/8) = (1/4) (indep.) 
b) ambas serem pretas: 
P(P1,P2) = P(P1).P(P2) = (2/6).(5/8) = (5/24) (indep.) 
c) uma ser branca e a outra preta. 
P(B1,P2) + P(P1,B2) = P(B1).P(P2) + P(P1).P(B2) = (13/24) 
O = menino, A = menina 
As probabilidades seriam: 
P(OOO) = P(O).P(O).P(O) = 1/8 
P(AAA) = P(A).P(A).P(A) = 1/8 
P(2O 1A) = P(OOA) + P(OAO) + P(AOO) = 3/8 
P(1O 2A) = P(OAA) + P(AAO) + P(AOA) = 3/8 
Probabilidade de Haver meninas e meninas) = 6/8 = ¾ = 0,75 = 75%
a) Qual a probabilidade de se selecionar uma bacia que se apresente em 
condições de cheia ou tenha 8 afluentes? 
P(AUB) = P (A) + P(B) – P(A∩B) = P(A) + P(B) – P(A).P(B) 
P(AUB) = (5/10) + (2/10) – (10/100) = (6/10) 
al a probabilidade de uma vez selecionada uma bacia que se apresente 
em condições de cheia, ela tenha 8 afluentes? 
P(A).P(B|A) = (5/10). (1/5) = (1/10) 
a) Qual a probabilidade do sistema apresentar erro? 
Seja R o evento ocorrer erro 
B2) = P(B1).P(B2) ´= (4/6).(3/8) = (1/4) (indep.) 
meninas) = 6/8 = ¾ = 0,75 = 75% 
a) Qual a probabilidade de se selecionar uma bacia que se apresente em 
al a probabilidade de uma vez selecionada uma bacia que se apresente 
 
 
FACULDADE BRASILEIRA 
Credenciada pela Portaria/MEC No 259 de 11.02.1999 
 
b) Qual e a probabilidade de uma consulta ter 
originado do cliente E, sabendo
 
12) 
13) Resolução: 
Considere os seguintes eventos
A: Primeira Moeda, 
 B: Segunda Moeda 
C: Terceira Moeda 
259 de 11.02.1999 – D.O.U. de 17.02.1999 
Qual e a probabilidade de uma consulta ter 
originado do cliente E, sabendo-se que esta apresentou erro? 
 
 
Considere os seguintes eventos 
 
 
 
FACULDADE BRASILEIRA 
Credenciada pela Portaria/MEC No 259 de 11.02.1999 
 
 
 
14) Resolução: 
P(A) = ½ -� P(P/A) = 4/9 
P(B) = ½ -� P(P/B) = 2/5 
P(P) = P(A ∩ P) + P(B ∩ P) = P(A).P(P/A) + P(B).P(P/B)
P(P) = [(½).(4/9)] +[(1/2).(2/5)] = 19/45
P(A/P) = P(A ∩ P)/ P(P) 
P(A/P) = (2/9)/(19/45) = 10/19 = 0,5263 = 52,63% 
 
15) a) Pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro?
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A 
0.04483 
b) Nenhum processador tenha apresentado erro?
c) Apenas o processador A tenha apresentado erro?
16) Solução: Vamos representar
Álgebra linear pelo conjunto A no diagrama de Venn
quantidade de elementos dos conjuntos, começando sempre pelo número de 
259 de 11.02.1999 – D.O.U. de 17.02.1999 
 
 
 
∩ P) = P(A).P(P/A) + P(B).P(P/B) 
P(P) = [(½).(4/9)] +[(1/2).(2/5)] = 19/45 
P(A/P) = (2/9)/(19/45) = 10/19 = 0,5263 = 52,63% 
15) a) Pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro?
− P(A ∩ B) = 0.0333333333333333 + 0.0125 
b) Nenhum processador tenha apresentado erro? 
c) Apenas o processador A tenha apresentado erro? 
Solução: Vamos representar Cálculo diferencial pelo pelo conjunto C e 
Álgebra linear pelo conjunto A no diagrama de Venn-Euler a seguir, colocando a 
quantidade de elementos dos conjuntos, começando sempre pelo número de 
 
15) a) Pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro? 
0.0333333333333333 + 0.0125 − 0.001 = 
 
 
pelo conjunto C e 
Euler a seguir, colocando a 
quantidade de elementos dos conjuntos, começando sempre pelo número de 
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elementos da interseção. Ao colocar o número de 
elementos de um conjunto, não podemos es
intersecção. 
Observe que: 70 + 130 + 50 + 250 = 500.
favoráveis é o número de elementos do conjunto C união com A, ou seja, 
n(CÈA) = 70 + 130 + 50 = 250.
500 estudantes da área de
= 1/2 = 0,5 = 50%. Portanto, a opção correta é (B).
 
17) 
18) Resolução: Repare 
possibilidades em 8 de ser uma bola preta; mas, a segunda terá 5 em 7 se a 
primeira for vermelha, ou 4 em 7 se a primeira foi preta, e assim por diante.
 
259 de 11.02.1999 – D.O.U. de 17.02.1999 
elementos da interseção. Ao colocar o número de 
elementos de um conjunto, não podemos esquecer de descontar os da 
 
Observe que: 70 + 130 + 50 + 250 = 500. Assim, o número de resultados 
favoráveis é o número de elementos do conjunto C união com A, ou seja, 
n(CÈA) = 70 + 130 + 50 = 250. O número de resultados possíveis é o tota
500 estudantes da área de exatas. Logo, a probabilidade é P(C ou
Portanto, a opção correta é (B). 
 
18) Resolução: Repare que não há reposição: a primeira extração tem 5 
possibilidades em 8 de ser uma bola preta; mas, a segunda terá 5 em 7 se a 
primeira for vermelha, ou 4 em 7 se a primeira foi preta, e assim por diante.
de descontar os da 
 
Assim, o número de resultados 
favoráveis é o número de elementos do conjunto C união com A, ou seja, 
O número de resultados possíveis é o total de 
ou A) = 250/500 
 
que não há reposição: a primeira extração tem 5 
possibilidades em 8 de ser uma bola preta; mas, a segunda terá 5 em 7 se a 
primeira for vermelha, ou 4em 7 se a primeira foi preta, e assim por diante. 
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A partir do diagrama de arvore, podemos construir uma 
PPP, PPV, etc. 
Finalmente, observe que são equivalentes os eventos:
Somando as probabilidades dos eventos, encontradas
função de distribuição de X:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A partir do diagrama de arvore, podemos construir uma tabela com os eventos 
 
Finalmente, observe que são equivalentes os eventos: 
 
Somando as probabilidades dos eventos, encontradas anteriormente, obtemos a 
função de distribuição de X: 
tabela com os eventos 
anteriormente, obtemos a 
 
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19) 
20) 
 
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Bons Estudos!
Profª Valéria Ribeiro.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bons Estudos! 
Valéria Ribeiro.